Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Persamaan Diferensial Parsial Transformasi Variabel
Yunita S. Anwa Anwar r Universitas Universitas Mataram
Mataram, April 2016
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Bentuk Kanonik dari PDP
Bentuk umum PDP Orde-Dua Au xx + Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = G
dengan A, B , C , D , E , F dan G adalah konstan atau fungsi dalam x dan y . Berdasarkan nilai B 2 − 4AC , PDP terbagi menjadi : 1 2 3
Hiperbolik, jika B 2 − 4AC > 0 Parabolik, jika B 2 − 4AC = 0 Eliptik, jika B 2 − 4AC < 0
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Contoh 1
2 3 4
− u = 0 → B 2 − 4AC = 02 − 4 · (−1) · 1 = 4 > 0(Hiperbolik) u = 0 → B 2 − 4AC = 12 − 4 · 0 · 0 = 1 > 0 (Hiperbolik) u − u = 0 → B 2 − 4AC = 02 − 4 · (−1) · 0 = 0 (Parabolik) u + u = 0 → B 2 − 4AC = 02 − 4 · 1 · 1 = −4 < 0(Eliptik) u tt
xx
tx t
xx
xx
yy
yu xx + u yy = 0
0 − 4AC = −4y = 0 0 >
B 2
, ,
<
,
untuk y < 0 (Hiperbolik); untuk y = 0 (Parabolik); untuk y > 0 (Eliptik)
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Perhatikan kembali PDP Orde-Dua: Au xx + Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = G
Akan dicari solusi PDP Orde-Dua dengan memperkenalkan variabel baru v = v (x , y ) dan z = z (x , y ) Variabel-variabel baru ini ditransformasikan ke dalam PDP yang akan menyederhanakan PDP tersebut Dengan memanfaatkan aturan rantai, diperoleh: u x = u v v x + u z z x u y = u v v y + u z z y u xx = u vv v x 2 + 2u vz v x z x + u zz z x 2 + u v v xx + u z z xx u yy = u vv v y 2 + 2u vz v y z y + u zz z y 2 + u v v yy + u z z yy u xy = u vv v x v y + u vz (v x z y + v y z x ) + u zz z x z y + u v v xy + u z z xy
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Substitusikan u x , u y , u xx , u xy , u yy ke PDP, diperoleh persamaan : A1 u vv + B 1 u vz + C 1 u zz + D 1 u v + E 1 u z + F 1 u = G
dimana A1 = Av x 2 + Bv x v y + Cv y 2 B 1 = 2Av x z x + B (v x z y + v y z x ) + 2Cv y z y C 1 = Az x 2 + Bz x z y + Cz y 2 D 1 = Av xx + Bv xy + Cv yy + Dv x + Ev y E 1 = Az xx + Bz xy + Cz yy + Dz x + Ez y F 1 = F
Akan ditunjukkan jika PDP hiperbolik (atau parabolik, eliptik), dapat ditemukan transformasi yang menyederhanakan PDP → bentuk kanonik
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Bentuk Kanonik dari Persamaan Hiperbolik Bentuk kanonik dari persamaan hiperbolik adalah: u vz = f (v , z , u , u v , u z )
Diberikan B 2 − 4AC > 0. Akan dicari fungsi v = v (x , y ) dan z = z (x , y ) sedemikian hingga A1 (v , z ) = Av x 2 + Bv x v y + Cv y 2
=0
C 1 (v , z ) = Az x 2 + Bz x z y + Cz y 2
=0
yang dapat dinyatakan dalam bentuk: v x 2 v x A( ) + B + C = 0 v y v y z x 2 z x A( ) + B + C = 0 z y z y
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Diperoleh persamaan karakteristik v x = v y
−B +
√
B 2
2A
− 4AC , z
− B − =
x
z y
√
B 2 2A
− 4AC
Ditetapkan v (x , y ) dan z (x , y ) adalah konstan, dengan kata lain diferensial total dv dan dz adalah nol, yaitu dv = v x dx + v y dy = 0
−→
dz = z x dx + z y dy = 0
−→
dy = dx dy = dx
Sehingga persamaan karakteristiknya menjadi: dy = dx
−
v x B = v y
−
√
B 2 2A
− 4AC
− −
v x v y z x z y
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
atau dy = dx
−
z x B + = z y
√
B 2 2A
− 4AC
Dengan mengintegralkan masing-masing persamaan (terkadang diperlukan pemisahan variabel sebelum pengintegralan) diperoleh: dy = dx dy = dx
−
v x B = v y
−
z x B + = z y
−
√
B 2 2A
− 4AC →
c 1 = v (x , y )
B 2 2A
− 4AC →
c 2 = z (x , y )
√
Bentuk Kanonik dari PDP
Persamaan Hiperbolik
Contoh-Contoh
Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial u xx + u xy − 2u yy = 0 Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial u xx + 4u xy + 3u yy = 0 Example Tentukan solusi umum persamaan diferensial u xx − 2sin x · u xy − cos2 x · u yy − cos x · u y = 0
