PDP Hiperbolik
Pada bagian ini, kita akan membahas solusi numerik untuk persamaan gelombang yang merupakan salah satu contoh PDP hiperbolik. Persamaan gelombang dinyatakan dalam persamaan diferensial sebagai berikut
dengan suatu kondisi
(0, ) = (ℓ , ) ) = 0 , untuk > 0, 0, (,0) = () () , dan
(,0) = () , untuk 0 ≤ ≤
ℓ
dimana α adalah konstanta. Kita tentukan ukuran time-step sebesar k, jarak tiap mesh point adalah h. = ℎ = dengan i = 0, 1, ...,m dan j = 0, 1, .... Pada bagian interior, posisi mesh points ditentukan oleh koordinat (, ), ), karenanya persamaan gelombang ditulis menjadi
Formula centered-difference digunakan sebagai pendekatan numerik persamaan gelombang pada tiap-tiap suku. Untuk turunan kedua terhadap t
dan turunan kedua terhadap x
Dengan mensubtitusikan kedua persamaan di atas kedalam persamaan sebel umnya
maka dapat diturunkan formula finite-difference untuk PDP hiperbolik sebagai berikut
Jika = /ℎ maka persamaan ini dapat ditulis kembali ,
sehingga , + 1 selaku solusi numerik dapat dihitung denganmerubah sedikit suku-suku pada formula di atas
dengan = 1, 2 , . . . , − 1 = 1, 2, . . .. Kondisi syarat batas ditentukan sebagai berikut
sementara kondisi awal dinyatakan
Berbeda dengan PDP eliptik dan PDP parabolik, pada PDP hiperbolik, untuk menghitung mesh point (j + 1), diperlukan informasi mesh point (j) dan (j − 1). Hal ini sedikit menimbulkan masalah pada langkah/iterasi pertama karena nilai untuk j = 0 sudah ditentukan oleh persamaan (8.66) sementara nilai untuk j = 1 untuk menghitung w i,2, harus diperoleh lewat kondisi kecepatan awal
Salah satu cara pemecahan dengan pendekatan forward-difference adalah
konsekuensinya
Contoh
Jika persamaan gelombang pada contoh soal ini dibandingkan dengan persamaan (8.61), maka diketahui nilai α = 1 dan ℓ = 1. Dari sini, nilai h dapat dihitung, yaitu h =
ℓ/m
= 1/4 =
0, 25. Sementara nilai k diperoleh dari k = T/N = 1, 0/4 = 0, 25. Dengan diketahuinya nilai α, h, dan k, maka λ dapat dihitung, yaitu persamaan (8.64)
λ
=
αk/h
= 1. Selanjutnya, nilai
λ
ini dimasukkan ke
