LAPORAN MATEMATIKA TENTANG DASAR BILANGAN HIPERBOLIK
OLEH: DAUT TABAROK 130533608-298 DHANI KUSUMA TRIADI 130533608-294 GILANG LOVIANINDRA CIPTA 130533608-285
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK ELEKTRO PRODI S1 PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA I NFORMATIKA Desember 2013
Bilangan hiperbolik Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri, yang sifatnya merupakan fungsi sirkular. Lebih sederhana lagi merupakan fungsi lingkaran. perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik, selalu berubahrubah dan membentuk pola yang sama. Pemanfaatan persamaan hiperbolik dibidang teknik elektro sangat banyak sekali, namun pada pertemuan ini diambil pada saluran panjang transmisi tenaga listrik. Kemampuan menyelesaikan persoalan saluran panjang, ditunjang oleh pemakaian bilangan kompleks pada persamaan hiperbolik. Bekal yang diberikan akan bermanfaat untuk penerapan penerapan yang lain di bidang intra teknik teknik elektro maupun antar bidang. Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik. exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret.
Persamaan bil. kompleks dan hiperbolik
Bentuk terakhir dalam persamaan bilangan komplek adalah exponensial, Yaitu
apa titik temu kedua persamaan ini adalah exponensial. e xponensial. Persamaan bilangan kompleks,
bila dijumlahkan
hiperbolik ANGKA.
Sistem bilangan real dapat diperpanjang dengan cara yang baru. Sedangkan persamaan aljabar x2 - 1 = 0 memiliki solusi bilangan real x = ± 1, kita menganggap keberadaan baru nomor, yang u unipotent, yang memiliki sifat aljabar yang u 6 = ± 1 tapi u2 = 1. Dalam hal dasar standar {1, u}, nomor hiperbolik w 2 IH dapat ditulis dalam bentuk w = x + uy mana x, y adalah nyata angka. Dengan demikian angka hiperbolik IH? IR [u] hanya nyata nomor diperluas untuk menyertakan u unipotent dengan cara yang sama bahwa bilangan kompleks CI? IR [i] adalah bilangan real diperluas untuk mencakup i imajiner. Bilangan hiperbolik .
System bilangan real bisa di perluas dengan cara yang baru. Padahal persamaan aljabar x2 − 1 = 0 punya solusi bilangan real x = ±1, kita asumsikan keberadaan dari angka baru, unipotent u.dimana aljabarnya u ≠±1 but
= 1. Dalam hal standar basis {1, u},semua angka hiperbolik
w
bisa di tulis dengan bentuk w = x + uy dimana x,y adalah bilangan real. Jumlah hiperbolik
∊
IH
|w|j: = |z1-z2 I1| e1 + |z1 + z2 i1| e2 akan disebut sebagai j-modulus w = z1 + z2 i2. Dalam rumus di atas, akar kuadrat dari bilangan kompleks (di C (i1) atau C (i2)) dipahami sebagai salah satu dari dua nilai yang mungkin yang diambil dengan non-negatif bagian nyata: diberikan α,β,€,R, dari dua nilai
Kita memilih
Di mana
Selanjutnya, j-modulus dapat juga dibenarkan sebagai berikut: pertama,
Persamaan Hiperbolik
Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri, yang sifatnya merupakan fungsi sirkular. Lebih sederhana lagi merupakan fungsi lingkaran. Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik, selalu berubah-rubah dan membentuk pola yang sama. Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik. Apa itu exponensial ? exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan hasil dari penjumlahan sebuah deret.
untuk pangkat 1 nilai dari
. Jadi exponensial
memiliki bilangan dasar 2,718281828…….. Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut Sinh
Cosh
dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi turunan yang lain sepeti, tgh
F ungsi H iperbolik
Fungsi Hiperbolik
1. Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x, salah satunya deret dari
e
x
2
x
e
1 x
3
x
2!
4
x
3!
x
5
x
4!
6
5!
x
6!
...
Apabila x diganti dengan – x maka e
x
1 x
2
x
2!
3
x
3!
4
x
4!
2. Sinus hiperbolik dari x Definisi:
x
e
ex 2
5!
6
x
6!
...
sinh x
sinh x sinus hiperbolik dari x
Dalam bentuk deret sinh x memuat
5
x
3
sinh x x
x
3!
5
x
5!
7
x
7!
9
x
9!
11
x
11!
...
semua pangkat ganjil dan bertanda positif.
3. Cosinus hiperbolik dari x Definisi:
x
e
ex
cosh x cosinus hiperbolik dari x
2
Dalam bentuk deret cosh x memuat
2
cosh x
1
x
e
x
e
x
2!
4
x
6!
8
x
10
8!
b. Grafik
x
x
e
dan
12!
ex tanh x tangen hiperbolik dari x ex
a. Grafik dari
e
10!
12
tanh x
5. Grafik Fungsi Hiperbolik
x
...
semua pangkat genap dan bertanda positif.
4. Tangen hiperbolik dari x Definisi:
cosh x
x
dan
e
cosh x
x
x
e
positif untuk semua harga x
cosh 0 1
nilai dari
Kurva simetris terhadap sumbu y
Untuk setiap satu harga
cosh x tidak
pernah kurang dari 1 cosh(x) cosh x
cosh x tertentu
dapat diperoleh dua buah
harga x, yang berjarak sama dari titik asal, yaitu c. Grafik
sinh x
sinh 0 0
x
a .
sinh x memiliki
semua nilai dari
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk setiap satu harga
sampai sinh(x) sinh x
sinh x hanya
ada satu harga x riil
d. Grafik
cosh x dan sinh x
Jika
e. Grafik
x
,
maka
sinh x cosh x
tanh x
tanh 0 0
tanh x selalu
Kurva simetris terhadap titik asal
Untuk
x
terletak diantara
,
maka
y
tanh x 1
1 dan y 1 tanh(x) tanh x
Untuk
x
,
maka
tanh x 1
f. Grafik
cosh x , sinh x ,
dan
tanh x
6. Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik sinh
1
cosh
tanh
1
1
x
x
x
ln
1
x
ln
ln
1 1
2
x
1
2 x
2 x
1
x x
Contoh penjelasannya: Misalkan e
y
tanh y
e e
y
ey x(ey ey )
y
e (1 y
tanh1 x
y
x
1
x) ey (1 x)
e
y
e x ey
2y
e
y
tanh y
y
(1 x)
1 x 1 x
tanh1 x
1 2
1 x 1 x
ln
7. Identitas hiperbolik x
cosh x
e
ex 2
dan
x
sinh x
e
ex 2
cosh x sinh x e
x
cosh x sinh x e
x
jika dikalikan keduanya maka 2
jika dikuadratkan
cosh x sinh x 1 2
2
2
2x
cosh x 2 sinh x cosh x sinh x e cosh x 2 sinh x cosh x sinh x e 2
2
2x
keduanya dikurangkan maka
sinh 2x 2sinh x cosh x 2
2
cosh 2x cosh x sinh x
1 2 s inh2 x
keduanya ditambahkan maka
2 cosh2 x 1 tanh 2x
sinh 2x
cosh 2x
2 sinh x cosh x 2
2
cosh x sinh x
2 tanh x
2
1 tanh x
Identitas trigonometri
Identitas hiperbolik
cot x 1 / tan x
coth x 1 / tanh x
sec x 1 / cos x
sech x 1 / cosh x
cosec x 1 / sin x
cosech x 1 / sinh x
cos x sin x 1
cosh x sinh x 1
sec2 x 1 tan2 x
sech x 1 tanh x
cosec2x 1 cot2 x
cosech x coth x 1
sin 2x 2sin x cos x
sinh 2x 2sinh x cosh x
2
2
cos 2x
cos
1
2 cos
2
x
x
2
2
2
2
2
2
sin
2 sin 2
2
2
2
2
cosh 2x cosh x sinh x
x
x
1 2 s inh2 x
1
2 cosh2 x 1
8. Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik j
cos j sin
j
cos j sin
e e
ej 2 cos
cos cosh j
ej 2j sin
j sin
Jika ditambahkan :
e
Jika dikurangkan :
e
cos cosh j dan sin sinh j ,
j
j
substitusi
jx
cos cosh j cos jx cosh(j x) 2
cosh(x ) cos jx cosh x cosh x cos jx
[karena cosh(-x)=cosh x]
sinh j
j sin
sinh j
j sin jx
sinh(j2x) sinh(x )
j sin jx
sinh x
[karena sinh(-x)=-sinh x]
sin jx j sinh x
sin jx j sinh x sinh jx j sin x cos jx cosh x
cosh jx cos x
tan jx j tanh x tanh jx j tan x
Contoh penggunaan : sin(A B) sin A cos B cos A sin B sin(x jy) sin x cos jy cos x sin jy sin(x jy) sin x cosh y j cos x sinh y
cos(A B) cos A cos B sin A sin B cos(x jy) cos x cos jy sin x sin jy cos(x jy) cos x cosh y j sin x sinh y
Fungsi
hiperbolik
memiliki
nama
yang
mirip
dengan
fungsi
trigonmetric , tetapi mereka didefinisikan dalam hal fungsi eksponensial . Dalam unit ini kita mendefinisikan tiga fungsi hiperbolik utama , dan sketsa grafik mereka . Kami juga membahas beberapa identitas yang berkaitan fungsi-fungsi ini , dan menyebutkan fungsi invers dan fungsi timbal balik . Dalam rangka untuk menguasai teknik-teknik yang dijelaskan di sini sangat penting bahwa Anda melakukan banyak praktek latihan sehingga mereka menjadi sifat kedua . • menentukan fungsi f ( x ) = cosh x dan f ( x ) = sinh x dalam hal fungsi eksponensial , dan menentukan fungsi f ( x ) = tanh x dalam hal cosh x dan sinh x , • sketsa grafik dari cosh x , sinh x dan tanh x , • mengenali identitas cosh2 x - sinh2 x = 1 dan 2x sinh sinh x = 2 cosh x ,
• memahami arti dari fungsi invers sinh - 1 x , cosh - 1 x dan tanh - 1 x dan specify domain mereka , • menentukan fungsi reprocal sech x , csch x dan coth x . Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks untuk cos dan sin adalah cosh z
1 2
e
z
e z , sinh z
1 2
e
z
e z
.
Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil, yaitu; tanh z
coth z
sinh z
sec hz
cosh z cosh z
cschz
sinh z
1 cosh z 1 sinh z
1. cosh iz = cos z
Hubungan fungsi
2. sinh iz = i sin z
hiperbolik dengan
3. cos iz = cosh z
fungsi
4. sin iz = i sinh z
trigonometri Bukti :
1.
Karena
cosh z
dengan iz diperoleh
1 2
e
z
e z
coshiz
1 2
e
maka dengan mengganti z
iz
e iz cos z
.
4.
Karena
sin z
1 2i
(eiz eiz )
maka dengan mengganti z
dengan iz diperoleh sin iz
1 2i
2
2
(ei z e i z )
i2
1 2i
1 2i
(e z e z ) i
(e z e z ) 1 2
1 2i
(e z e z )
(e z e z ) i sinh z
Sifat-sifat
Untuk bilangan kompleks z dan w , dimana z = x + iy dan k
fungsi
bilangan bulat,maka
hiperbolik
1. cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y 2. sinh z = sin x cos y - i cosh x sin y 3. sinh z sinh z 4. cosh z cosh z 5. tanh z tanh z 2
2
2
2
2
2
6. |sinh z| = sinh x + sin y 7. |cosh z| = sinh x + cos y 2
2
8. cosh z - sinh z = 1 9. sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w 10.cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w 11. sinh z = 0 z = k i , k = 0, ±1, ±2, ...
12.cosh z = 0
z
+ 2k )i, k = 0, ±1, ±2, ... = ( /2
13. sinh(-z) = - sinh z 14.cosh(-z) = cosh z 15. sinh(z + i) = -sinh z 16.cosh(z + i) = -cosh z 17.tanh(z + i) = tanh z 18.-i sinh(iz) = sin z 19.cosh(iz) = cosh z 20.-i sin(iz) = sinh z
Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hampir sama dengan turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada 3.7. Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks, e z e z 1 z z (sinh z ) 2 2 (e e ) cosh z dz dz . d
d
Secara analog akan didapatkan d dz d dz d dz
(cosh z ) sinh z
(tanh z ) sec h 2 z
(coth z ) csc h 2 z
d dz d dz
(sec hz ) sec hz tan z
(cschz ) csc hz coth z
1. The definisi di: The kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik adalah de ned oleh
Setiap properti dari fungsi hiperbolik berikut ini dari de nitions. catatan bahwa cosh (x) dan sinh (x) yang diucapkan \ kawsh x "dan \ menang x". Jika Anda pernah membutuhkan mereka, empat fungsi hiperbolik lainnya dened menggunakan cosh (x) dan sinh (x) persis seperti yang Anda akan menebak:
2. Grafik: Grafik dari cosh (x) dan sinh (x) adalah
cosh (x)
sinh (x)
Perhatikan bahwa cosh (x), seperti cos (x), adalah bahkan fungsi, sedangkan sinh (x), seperti dosa (x), adalah fungsi ganjil. Juga mencatat bahwa cosh (0) = cos (0) = 1, sementara sinh (0) = sin (0) = 0. Paralel antara fungsi hiperbolik dan trigono-mereka rekan-rekan metrik kuat. Yang paling penting menjadi ini ... 3. Derivatif:
Ini seperti derivatif untuk cos (x) dan dosa (x), tetapi dengan tidak dikurangi bodoh
tanda-tanda untuk mengingat! Terakhir, dan benar-benar sedikit, adalah ... 5. Identitas:
Ini, tentu saja, sejajar dengan cos2 Pythagoras identitas (x) + sin2 (x) = 1. jika Anda mengganti X = cos (x) dan Y = sin (x) menjadi identitas Pythagoras, Anda mendapatkan persamaan untuk lingkaran: X2 + Y 2 = 1. Jika Anda mengganti X = cosh (x) dan Y = sinh (x) ke dalam identitas di atas untuk cosh (x) dan sinh (x), Anda mendapatkan persamaan untuk hiperbola: X2 Y 2 = 1, fungsi hiperbolik maka istilah. 2 Oke, itu semua yang Anda benar-benar harus tahu. Namun, ada yang lain fakta keren tentang fungsi hiperbolik pada bagian berikutnya yang perlu cepat baca. Anda dapat melakukan ini diam-diam dengan tidak ada orang lain di sekitar, sehingga tidak ada yang tahu Anda menjadi geek matematika lengkap. FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK Definisi fungsi kompleks hiperbolik
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
Hubungan
Fungsi
Kompleks
Hiperbolik
Dengan
Fungsi
Kompleks
Trigonometrik yaitu,
Hyperbolik Polar form
Setiap angka kompleks yang bukan 0 z
∊
₵ bisa di tulis di dalam bentuk
polar z = r(cos θ + i sin θ) ≡ r exp i θ untuk 0 ≤ θ ≥2 π, diman θ = axis positif dan r = |z| ≡
(y/x) adalah sudut dari vector z dengan x-
√ adalah jarak Euclid dari titik z ke pusat. Semua
titik di bilangan kompleks memenuhi persamaan |z| = r adalah jari-jari lingkaran dimana r ≥ 0. Demikian pula himpunan semua titik pada bidang hiperbolik yang memenuhi Persamaan |w|h = p>0 empat percabangan hiperbola dari radius hiperbolik p. bilangan hiperbolik seperti w = x + y dapat ditulis w= ±p(coshØ + sinhØ) ≡ ±p exp uØ dimana w terletak pada kuadran hiperbolik HI atau H-III w= ±p(coshØ + sinhØ) ≡ ±pu exp uØ ketika w terletak pada kuadran hiperbolik H-II atau H-IV, Kuadran hiperbolik dibatasi
oleh
garis isotropik |w|h = 0, yang merupakan assymtotes dari p-hiperbola |w|h = p>0. Masing-masing dari empat cabang hiperbolik tercakup persis, dalam arah yang ditunjukkan sebagai parameter Ø meningkat, -∞ <Ø<∞. Sudut hiperbolik Ø didefinisikan oleh Ø ≡ dan
H-II,
atau,
Ø ≡
(y/x)
(y/x) dalam kuadran H-I
dalam
H-II
dan
H-IV.
hanya
sebagai daerah sektor lingkaran satuan dengan sudut pusat θ adalah
θ,
wilayah unit sektor hiperbolik ditentukan oleh sinar dari titik asal ke titik exp uØ= coshØ + sinhØ adalah Ø.
Bentuk polar dari bilangan kompleks menyediakan geometris familiar interpretasi bilangan kompleks perkalian
exp i . exp i = exp [i(θ1+ θ2) ] Demikian pula bentuk polar hiperbolik memberikan interpretasi geometris bilangan hiperbolik perkalian, tetapi karena bilangan hiperbolik dibagi menjadi empat kuadran yang dipisahkan oleh garis isotropic.
A. Invers hiperbolik
Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai, pada saat mencari nilai fungsi hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y. Invers berarti kebalikanya yaitu yang diketahui sumbu y , yang akan dicari adalah sumbu x. Notasi invers hiperbolik Rumus :
sinh y
Atau
cosh y
Kasus Soal :
sinh Jawab : cara dengan rumus!!!
sinh Sama dengan Sin x = 2,111 ½ (
) = 2,111
= 4,222
= 4,222
( – 1
= 4,222
( – 4,222 – 1 = 0
Dengan menggunakan rumus abc!!!
dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula, maka jawaban yang tepat adalah ,
X = ln 4,446 X = 1.492 cara langsung,
x = 2,111 hyp shift sin = 1,492
M ENGHI TUNG H ARGA FUNGSI H I PERBOLI K ►
Harga sinh x, cosh x, dan tanh x untuk beberapa harga dapat dicari dalam tabel,
►
tetapi untuk harga x lainnya, harga fungsi hiperbolik ini harus kita hitung sendiri.
JAWAB: Contoh 1. Menghitung sinh 1,275 = ? x
-x
sinh x = ½ (e – e ) 1,275
sinh 1,275 = ½ (e
– e
-1,275
).
Dengan menggunakan kalkulator, didapat :
e1,275 = 3,579
dan
e --1,275 = (1 / 3,759) = 0,2794
Jadi, sinh 1,275 = ½ (3,579 – 0,279) = ½ (3,300) = 1,65 Jadi, sinh 1,275 = 1,65 Contoh 2. Menghitung cosh 2,156 = ? x
-x
cosh x = ½ (e + e )
cosh 2,156 = ½ (e2,156 + e -2,156). Dengan menggunakan kalkulator, didapat : 2,156
e
= 8,637
dan
e
-2,156
= (1 / 8,637) = 0,116
Jadi, cosh 2,156 = ½ (8,637 + 0,116) = ½ (8,753) = 4,377
Jadi, cosh 2,156 = 4,377 Contoh 3. Menghitung tanh 1,27 = ? tanh x =
tanh 1,27 = Jadi, tanh 1,27 =
=
tanh 1,27 = 0,854 MENGHITUNG INVERS FUNGSI HIPERBOLIK -1
Menghitung tanh 0,623 = ? x -
ARTI NYA tanh x = 0,623 -x
-x
x
-x
e - e = 0,623 (e + e )
(1 – 0,623) e x
e x -
e
x -
-e
+ e
= 0,623 x -
= (1 + 0,623) e-x
0,377 e x
= (1,623 e-x
= 1,623/e2 MAKA
x 2
(e ) = 1,623/ 0,377 = x = =
2,073 ln 2,073 0,7299
Identitas hiperbolik
coth x
= 1 / tanh x
-1
jadi, tanh 0,623 = 0,730
sech x = 1 / cosh x
cosech x = 1 / sinh x
cosh x - sinh x = 1
sech x
cosech2 x = 1 - coth2 x
sinh 2 x
cosh 2 x = cosh x + sinh x
2
2
2
2
= 1 - tanh x
= 2 sinh x cosh x 2
2
2
= 1 + (2 sinh x) 2
= (2 cosh x) + 1
Daf tar pustaka: G. B. Th omas, Jr ., CAL CUL US, Addi son-Wesl ey, 1953. www.google.com
