8.2 Bentuk Kanonik Persamaan Ruang Keadaan.pdf

Bentuk Kanonik Persamaan Ruang Keadaan Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Pengantar Bentuk Kanonik Kanonik Observab Observable le

Materi Bentuk Bentuk Kanonik Kanonik Jordan Jordan

Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

• Pada bagian ini akan dibahas mengenai Persamaan Keadaan sebagai bentuk kanonik k anonik • Bent Bentuk uk pers persam amaa aan n Kano Kanoni nik k terd terdir irii dari dari dua dua bentuk: bentuk: yaitu aitu persam persamaan aan Kanoni Kanonik k Obser Observab vable le dan Kanonik Jordan •  Bentuk kanonik ini merupakan suatu bentuk yang tidak unik dari sebuah persamaan dinamika sistem

Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Perancangan pengendalian: 1. Konvensional 2. Modern Pengendalian secara Konvensional: berdasarkan pada hubungan masukan dengan keluaran sistem atau fungsi transfer tr ansfer,, Pengendalian secara modern: berdasarkan diskripsi persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial orde pertama, dapat digunakan menjadi menjadi persamaan diferensial matrik-vektor matrik -vektor orde pertama. Sifat system system dapat dilihat dari koefisien bentuk kanonik persamaan ruang keadaan 





Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Bentuk persamaan persamaan diferensial: ( n)

( n 1)

( n 1)

(n)

( n 2 )

 y  a1  y  .....  an1 y  an y  b0 u  b1 u  b2 u  ...  bnu Pers. (1)

Persamaan Persamaan fungsi transfer dari bentuk PD diatas di atas G ( s )



Y  ( s ) U ( s )



b0 s

m

a0 s

n

m 1



b1 s



a1 s

 b 1  a

n



m 1

 s



bm

 s n 1



an

Pers. (2)

Bentuk persamaan  K anonik  nonik  “Controllable” dari Pers. (1)

Pers. (3) 1

Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

nonik  “Controllable” dari Pers. (1) Bentuk persamaan  K anonik 

2

Pers. (4)

Bentuk kanonik Controllable Controllable sangat penting dalam penentuan letak pole - pole

Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Bentuk Persamaan Kanonik Observable

Pers. (5)

Y=CX+Du

Pers. (6)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Prosedur Prosedur memperoleh memperoleh Persamaan Persamaan Kanonik 1. Menentukan Eigen Value matrik A Eigenvalue Matrik Matri k Anx n Eigenvalue dari matrik A matrik  Anxn adalah akar dari persamaan karakteristik yang dinyatakan sebagai diterminan berikut, λI  A

0

eigenvalue sering disebut akar - akar karakteristik .

Pers. (7)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Prosedur Prosedur memperoleh memperoleh Persamaan Persamaan Kanonik 2. Menjadikan matrik A dalam bentuk diagonalisasi diagonal isasi matrik matrik Jika Jika suat suatu u matrik atrik Anxn   dengan   eigenvalue-eigenvalue   yang yang berbeda berbeda dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:  0  0  A   :   0  a

n

1

0

..

0

1

..

:

:

0

0

a

n

1

a

n

0 2

..

  0  :   1   a1  0

Pers. (8)

Maka suatu transformasi variable variabl e state yang diperoleh dari

x=Pz dimana, P

 1     1    12   :  1 1 n

1

1

..

 2

 3

..

2

2

..

 2

 3

:

:

 2 n

1

 3 n

1

..

Pers. (9)      2     :  1     1

n

n

n

n

Pers. (10)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Prosedur Prosedur memperoleh memperoleh Persamaan Persamaan Kanonik 1,

2,….,3

  sam sama deng dengan an eige eigenv nva alue lue dar dari A   yan yang g berb berbed eda a akan akan mentransformasi P-1AP menjadi matrik diagonal, atau   0  AP     0  0

1

P

1

0

 2

  0

         0

      0      0

Pers. (11) (11)

n

Perhatikan matrik matrik Pers. 10, merupakan matrik diagonal dengan koefisien koefi sien matik matik adalah nilai eigen value. Maka akan diperoleh diperol eh persamaan persamaan keluaran keluar an (Pers. 9) menjadi :  = −1  = [1 1 … 1]z

Pers. (12)

Pengantar 

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Contoh Contoh Soal 1 Persamaan diferensial sebuah system dinyatakan dalam bentuk:

 y  6 y  11 y  6 y  6u Teliti apakah persamaan diferensial tersebut “Controllable” dan Observable Penyelesaian Berdasarkan Persamaan Berdasarkan  Persamaan keadaan dan Persamaan keluaran:

 x1   0 1 0   x1  0  x    0 0 1   x   06u   2   2     x3   6 11  6  x3  1

 y

 1

0

Bentuk persamaan kanonik ini adalah : “Controllable”

 x1    0  x 2    x3 

Pengantar 

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Soal Latihan 1 Sebuah Sebuah system dengan dengan persamaan diferensial diferensial berikut ini:

  4 y  6 y  8 y 2 y

 10u

Uji Uji Pers Persam amaa aan n Diffe Differe rens nsia iall ters terseb ebut ut unt untuk sifa sifatt “Controllable” dan “Observable”

Pengantar 

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Soal Latihan 2 Sebuah Sebuah system dengan dengan persamaan diferensial diferensial berikut ini:

  4 y  6 y  8 y 2 y

 10u

Tentukan (a) Diagonalisasi mat matrik rik dari bentuk PD di atas dan (b). Persamaan keluaran

Ringkasan

Pengantar 

Materi

Contoh Soal

 

Latihan

Ringkasan

Ringkasan

1. Persamaan state space, dapat diidentifikasi sebagai persamaan kanonik “Controllable” dan “Observable” 2. Sifat “Controllable” dan “Observable”, dapat diidentifikasi diidentifikasi dari dari operasi operasi matematis matrik A, B, C dan D

Sekian dan terimakasih