BAB VI TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI
V1.1 Transformasi Kanonik
Pilihan koordinat umum q sebenarnya tidak ada pembatasan; dan mereka dapat berupa s besaran yang secara tunggal menentukan menentukan kedudukan system dalam ruang..Dalam ruang..Dalam hal ini persamaan persamaan Lagrange Lagrange sama sekali tak bergantung bergantung pada pilihan koordinat, koordinat, atau dengan kata lain ,q3 , , persamaan persamaan Lagrange Lagrange bersifat bersifat invariant (tak berubah) terhadap transformasi transformasi kumpulan kumpulan q1,q2 ,q
koordinatt lain lain yang bebas Q1 ,Q Kumpulan an koordina koordinatt Q yang baru ini adalah …ke koordina ,Q2 ,Q ,Q3 ,…. ,….Kumpul merupakan fungsi q yang secara eksplisit bergantung pula pada waktu t sehingga: Qi=Qi (q,t) yang dikenal sebagai transformasi titik Karena persamaan Lagrange tak berubah dibawah transformasi titk, maka persamaan Hamilton juga demikian. Akan tetapi untuk persamaan Hamilton sesungguhnya dimungkinkan rangkum rangkuman an yang lebih lebih luas. luas. Ini disebabk disebabkan an karena karena dalam dalam persam persamaan aan Hamilt Hamilton, on, perlak perlakuan uan terhadap momentum p juga merupakan perubah yang sama kedudukannya dengan koordinatq. koordinat q. Oleh karena itu transformasi titik buat persamaan Hamilton, dapat diperluas hingga meliputi 2s perubah perubah bebas p dan q. Jadi Jadi kedua-duanya kedua-duanya harus harus ditransform ditransformasikan asikan menurut: menurut:
qi pi
⇒ ⇒
= Qi (qi , pi , t ) P i = P i (qi , pi , t )
Qi
(V1.1.1)
Mula Mulaii sekar sekarang ang p dan P adal adalah ah mome momentu ntum m umum umum dan dan variab variabel el Q dan dan P dise disebut but variab variabel el kanonik. Perluasan ini adalah merupakan keuntungan menggunakan sajian Hamilton. Akan tetapi tidak semua semua transformasi transformasi (V1.1.1) (V1.1.1) dapat mempertahan mempertahankan kan bentuk kanonik persamaan persamaan Hamilton. Untuk keperluan ini, syarat yang harus dipenuhi sehingga persamaan gerak Hamilton dalam perubah baru Q, P, yakni bila ada fungsi Hamilton yang baru K = K (Q, P , t ) sehingga: dK dt
=
∂ K dQ ∂ K dP + ∂Q dt ∂ P dt
(V1.1.2a)
1
Q
=
∂ K ∂ P
P =
;
−
∂ K ∂Q
(V1.1.2b)
Jika ini dipenuhi dipenuhi maka transform transformasi asi (V1.1.1) (V1.1.1) disebut kanonik kanonik dan persamaan persamaan (V1.1.2b) (V1.1.2b) bisa diperoleh dari prinsip aksi..
Untuk merumuskan transformasi kanonik kita meninjau kembali prinsip variasi, yakni:
t 2
δ
− H p q dt = 0 ∑ i i ∫ t i
(V1.1.3)
1
yang pada uraian uraian lalu lalu telah telah digunak digunakan an menurun menurunkan kan persam persamaan aan gerak gerak Hamilt Hamilton. on. Menuru Menurutt keterangan keterangan di atas, variasi ini berlaku untuk sembarang sembarang system koordinat dan momentum. momentum. Oleh karena itu, buat perubah baru P dan Q juga harus memenuhi asas variasi pada persamaan (V1.1.3) agar persamaan Hamilton (V1.1.2b) dapat diturunkan dari:
t 2
− P Q K ∫ t ∑i i dt = 0
δ
(V1.1.4)
1
Kedua variasi (V1.1.3) dan (V1.1.4) hanya akan setara bila integrannya sama terlepas dari pada perbedaan perbedaan dengan diferens diferensial ial total total suatu fungsi fungsi F terhadap terhadap koordinat, koordinat, momentum momentum dan waktu. waktu. Dengan Dengan demikian menurut uraian uraian di atas, dari kedua persamaan persamaan (V1.1.3) dan (V1.1.4) haruslah dipenuhi syarat:
λ ( pi q i − H )
= ( P iQ i − K ) +
∂ F ∂t
(V1.1.5)
dimana :
F adalah fungsi sembarang yang punya turunan kedua yang kontinu
λ
adalah adalah konstant konstantaa skala skala yang selalu selalu dapat dapat dibuat dibuat sama sama dengan dengan satu satu
dengan melakukan transformasi yang tepat. tepat.
Bila hubungan antara P,Q dengan p,q sebagai P=µ p, Q= νq dan K=µνH, maka:
2
∂ K = ν ∂ H = ν q = Q ∂ P ∂ p ∂ K ∂ H = µ = − µ p = − P ∂Q ∂q Transformasi skala bersifat kanonik jika: p′q i′ − H ′ = µυ ( pi q i − H )
(V1.1.6a)
Karena itu selalu dipilih λ=1, maka:
pi q i − H = P iQ i − K +
dF
(V1.1.6b)
dt
Jadi setiap transformasi kanonik ditandai dengan suatu fungsi tertentu F yang disebut fungsi generator transformasi.
Berdasarkan persamaan (V1.1.6b) di atas dapat pula dituliskan sebagai:
dF = pi dqi − P i dQi
+ ( K − H )dt
(V1.1.7)
Sehingga segera kita melihat bahwa:
pi
=
∂ F ∂qi
;
P i =
−
∂ F ∂Qi
;
K = H +
∂ F ∂t
(V1.1.8)
Berdasarkan persamaan ini, maka kita dapat melihat bahwa F adalah merupakan fungsi dari perubah koordinat lama dan baru serta waktu; yakni F = F ( q, Q, t ) . Fungsi pembangkit ini dikenal sebagai fungsi pembangkit jenis pertama . Dengan demikian transformasi ini bersifat
3
kanonik karena hubungan persamaan (V1.1.8) dan fungsi pembangkit ini memenuhi persamaan transformasi dari Lagrangian, yakni:
L( q, q , t ) = L′(Q, Q , t ) +
d F (q, Q, t ) dt
(V1.1.9)
Contoh 1: Dengan menggunakan fungsi pembangkit tipe pertama, carilah syarat agar
persamaan suatu osilator harmonic 1-dimensi bersifat kanonik
Jawab:
Hamiltonian osilator harmonic 1-dimensi adalah:
H =
p 2 2m
+
1 2
kq 2
=
1 2m
( p 2
+ m 2ω 2q 2 )
(1)
Bentuk jumlah kuadrat memberi ide:
p
= f ( p) cos Q
q
=
f ( P ) mω
(2)
sin Q
Dengan mesubstitusi ini ke dalam Hamiltonian di atas, maka diperoleh:
H =
f 2 ( P ) 2m
≡ K
(3)
f(P) harus dipilih supaya transformasinya bersifat kanonik. Dengan membagi p dengan q, maka: p q
= mω cot Q
⇒
p
= mω q cot Q =
∂ F 1 ∂q
(4)
sehingga F 1 =
1 2
mω q 2 cot Q
(5)
4
Selanjutnya untuk:
∂ F 1 mω q 2 P = − = ∂Q 2 sin 2 Q
⇒
q2
=
2 P mω
sin 2 Q
(6)
atau 2 P
=
q
mω
(7)
sin Q
Jadi transformasi akan bersifat kanonik bila:
f ( P )
=
2mω P
(8)
Hasil transformasinya adalah:
K = Q
Jadi
q
=
=
2 P mω
f 2 ( P ) 2m
∂ K = ω ∂ P
sin(ω t + Q0 )
= ω P = E
⇒
Q
2 E
=
mω 2
sehingga P
=
E
ω
= ω t + Q0
sin(ω t + Q0 )
(9)
Dapat pula lebih menguntungkan bila fungsi generator itu bukannya dinyatakan dalam perubah (q,Q,t) melainkan dalam perubah (q,P,t). Kadang-kadang fungsi generator tipe I, penyelesaian transformasinya tidak dapat diperoleh sehingga perlu dicobakan fungsi generator F2= F2(q,P,t) dengan menuliskan dalam bentuk sebagai berikut: F = F 2 ( q, P , t ) −
∑ Q P i i
i
(V1.1.10)
Bila ini disubstitusikan ke dalam syarat transformasi kanonik, maka:
5
∑ p q − H = ∑ P Q − K + dF dt i
i
i
i
i
i
dF 2
= ∑ P iQ i − K +
dt
i
Q − ∑ P iQ − ∑ P i i
i
i
(V1.1.11a)
∂ F ∂ F Q ∂ F 2 − ∑ P = − K + ∑ 2 q i + 2 P i + ∂ P i ∂t i i i i ∂qi atau
K − H − ∂ F = 0 P + ∑ p − ∂∂ F q q + ∑ Q − ∂∂ F P ∂t 2
i
i
2
i
i
i
i
2
i
i
(V1.1.11b)
karena q,P dianggap bebas, maka:
pi
=
∂ F 2 ∂qi
;
Qi
=
∂ F 2 ∂ P i
K = H +
;
∂ F 2 ∂t
(V1.1.12)
Untuk generator tipe III: F3=F3(p,Q,t)
F = F 3 ( p, Q, t ) +
∑ q p i
(V1.1.13a)
i
i
Dengan cara yang sama, akan diperoleh:
P i =
−
∂ F 3 ∂qi
;
qi
=
∂ F 3 ∂ pi
;
K = H +
∂ F 3 ∂t
(V1.1.13b)
Selanjutnya untuk generator tipe IV, yakni:
F4=F4(p,P,t) Transformasi generatornya diberikan oleh:
6
F = F 4 ( p, P , t ) +
∑ q p − ∑ Q P i
i
i
(V1.1.14a)
i i
i
dan diperoleh: qi
=−
∂ F 4 ∂ pi
;
Qi
=
∂ F 4 ∂ P i
;
K = H +
∂ F 4 ∂t
(V1.1.14b)
Daftar fungsi pembangkit persamaan kanonik
F 1 ( q, Q, t )
F 2 (q, P , t )
F 3 ( p, Q, t )
F 4 ( p, P , t )
∂ F 1 ∂q ∂ F P = − 1 ∂Q ∂ F K = H + 1 ∂t
∂ F 2 ∂q ∂ F Q= 2 ∂ P ∂ F K = H + 2 ∂t
∂ F 3 ∂ p ∂ F P = − 3 ∂Q ∂ F K = H + 3 ∂t
∂ F 4 ∂ p ∂ F Q= 4 ∂ P ∂ F K = H + 4 ∂t
p
=
p
=
p
=−
p
=−
VI.2 Beberapa Gambaran Tentang Transformasi Kanonik
Perlu dikemukakan bahwa transformasi kanonik dalam sajian Hamiltonian memiliki banyak sekali kemungkinan yang tidak mengubah arti perubah lama dan keperubah baru. Dalam hal ini karena transformasi pada persamaan (V1.1.1) menghubungkan besaran P,Q terhadap q dan p, maka perubah Q kiranya tidak lagi mesti sebagai perubah yang berhubungan dengan ruang. Sebagai contoh, akan diberikan beberapa transformasi khusus dan generatornya yakni: 1. Transformasi Qi=pi , P i=-qi dengan fungsi generator F =
∑ q Q sama sekali i
i
i
tak
mengubah persamaan kanonik Hamilton. Hal ini dapat dilihat, karena F tak bergantung pada waktu secara eksplisit maka:
7
∂ F 1 = Qi ∂qi ∂ F P i = − 1 = −qi ∂Qi pi
=
Dalam hal ini, tidak penting yang mana koordinat dan yang mana momentum karena bersifat kanonik.
2. Fungsi generator F 2
= ∑ q P i i i
∂ F 2 ∂q = ∑ i P i = P i ∂qi i ∂qi ∂ F ∂ P Qi = 2 = ∑ qi i = qi ∂ P i i ∂ P i K = H pi
=
Ini adalah transformasi identitas
3. Fungsi generator F 2 p j Q j
= ∑ f i (qi ,......qn , t ) P i i
∂ F 2 ∂ f = ∑ i P i ∂q j i ∂q j ∂ F = 2 = f j (q1, q2 ,...qn , t ) ∂ P j
=
Transformasi ini adalah transformasi koordinat.
VI.3 Kurung Poisson
Misalkan f(q,p,t) suatu fungsi terhadap koordinat, momentum dan waktu. Turunan totalnya terhadap waktu adalah: df dt
=
∂ f ∂ f ∂ f + ∑ q k + p k ∂t k ∂qk ∂ pk
(VI.3.1)
Dengan memasukkan harga q k dan p k dari persamaan Hamilton pada persamaan (V.5.7), kita dapat menyatakan :
8
df dt
=
∂ f + [ H , f ] ∂t
(VI.3.2a)
dengan
∂ H ∂ f ∂ H ∂ f − ∂qk ∂pk k ∂ pk ∂qk
[ H , f ] = ∑
(VI.3.2b)
Pernyataan (VI.3.2b) dikenal sebagai “ kurung Poisson” (Poisson bracket) besaran H dan f. Kita melihat dari persamaan (VI.3.2a), bila suatu besaran; katakanlah f disini merupakan integral gerak, maka df/dt=0. Ini berarti
∂ f + [ H , f ] = 0 . ∂t
Kalau integral gerak itu tak
bergantung secara eksplisit terhadap waktu, maka:
[ H , f ] = 0
(VI.3.3)
yang menunjukkan bahwa kurung Poisson H dan f haruslah lenyap. Sesuai denga analogi persamaan (VI.3.2b), maka kurung Poisson bagi besar g dan f didefinisikan berdasarkan sangkutan:
∂ g ∂ f ∂ g ∂ f − ∂ ∂ ∂ ∂ p q q p k k k k k
[ g , f ] = ∑
(VI.3.4)
Dapat pula ditunjukkan bahwa kurung Poisson memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
[ g , f ] = −[ f , g ]
(VI.3.5)
[ f , C ] = 0 ,
(VI.3.6)
C suatu tetapan
[ f 1 + f 2 , g ] = [ f 1 , g ] + [ f 2 , g ]
(VI.3.7)
[ f 1 f 2 , g ] = f 1[ f 2 , g ] + f 2 [ f 1 , g ]
(VI.3.8)
9
Kalau persamaan (VI.3.4) diambil turunan parsialnya terhadap waktu, maka akan:
∂ ∂ f ∂ g [ f , g ] = , g + f , ∂t ∂t ∂t
(VI.3.9)
Jika salah satu dari f atau g adalah koordinat atau momentum, maka dipenuhi sangkutan:
[ f , qk ] =
∂ f ∂ pk
[ f , pk ] = −
(VI.3.10)
∂ f ∂qk
(VI.3.11)
Dengan menggunakan persamaan (VI.3.10) dan (VI.3.11), maka dapat pula ditunjukkan bahwa:
[ qi , qk ] = [ pi , pk ] = 0
,
[ pi , qk ] = δ ik
(VI.3.12)
Contoh 2: Tentukan kurung Poisson terhadap komponen Cartesian momentum linear p dengan
momentum sudut L=r x p Jawab. Dengan menggunakan persamaan (VI.3.11), dan menyatakan momentum sudut
sebagai Lα
= ε αβγ xβ pγ
maka:
[ L , p ] = − ∂ ( yp − zp ) = − p x
y
∂ y
z
y
z
∂( yp − zp ) = p y ∂ z z y [ L y , p x ] = − ∂ ( zp x − xp z ) = pz ∂ x [ L y , p z ] = − ∂ ( zp x − xp z ) = − pzx ∂ z [ L x , p x ] = L y , p y = [ L z , pz ] = 0 [ L x , p z ] = −
10
Selanjutnya perubahan p dan q dalam sajian Hamiltonian sering disebut perubah yang berpasangan secara konjugat kanonis. Syarat yang menghubungkan perubah yang berkonjugasi secara kanonis adalah kurung Poisson. Dalam hubungan ini jika [f,g] pq merupakan kurung Poisson bagi besaran f dan g terhadap p dan q. Sementara [f,g]P,Q sebagai kurung Poisson bagi besaran yang sama terhadap sebagai kurung Poisson bagi besaran yang sama terhadap peubah P,Q, maka akan dipenuhi hubungan, yakni:
[ f , g ] p, q = [ f , g ] P ,Q
(V1.3.13)
Hal ini dapat ditunjukkan secara langsung dengan menggunakan transformasi (V1.1.12). Dalam hal ini:
∂ f ∂ g ∂ f ∂ g − P Q Q P ∂ ∂ ∂ ∂ i i i i i ∂ f ∂ pi ∂ g ∂qi ∂ f ∂qi ∂ g ∂ pi = ∑ − p P q Q q Q p P ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i i i i i i i i i ∂ f ∂ g ∂ f ∂ g ∂qi ∂ pi = ∑ − p q q p Q P ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i i i i i i i
[ f , g ] P ,Q = ∑
(V1.3.14)
∂qi ∂ pi =1. ∂ ∂ Q P i i
Ini dapat
∂Qi ∂ 2Φ dan = ∂qi ∂ P i ∂qi
sehingga
Bahwa persamaan (V1.3.13) dipenuhi, tinggal menunjukkan bahwa
diperlihatkan karena menurut persamaan (V1.1.12),
nyata
∂ pi ∂ 2Φ = ∂ P i ∂ P i ∂qi
∂qi ∂ pi =1. Karena dipenuhinya rumus (VI.3.12) ∂ ∂ Q P i i [ Qi , Qk ] p, q = [ P i , P k ] p , q = 0 [ Qi , P k ] p , q = δ ik
dan (V1.3.13) , maka juga berlaku:
(V1.3.15)
Inilah syarat yang harus dipenuhi suatu transformasi p, q ⇒ P , Q bila dinyatakan dalam kurung Poisson bersifat kanonik
11
Contoh 3: Perlihatkan bahwa transformasi berikut ini kanonik:
Q
=
2q exp(t ) cos p
,
P =
2q exp( −t ) sin p
Jawab: Dengan menggunakan kurung Poisson sebagai syarat kanonik, [ Q, P ]
[ Q, P ] =
=
= 1 , maka:
∂Q ∂ P ∂Q ∂ P − ∂q ∂ p ∂ p ∂q 1 2
+
−
1
( 2q ) 2 . 2 exp(t ) cos p 2q exp( −t ) cos p =
1
1
2q exp(t ) sin p. ( 2q ) 2 . 2 exp( −t ) sin p 2
= cos 2 p + sin 2 p =1 Contoh 4: Perlihatkan secara langsung bahwa transformasi berikut:
Q
= log(
1 q
sin p )
,
P = q cot p
adalah kanonik. Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni:
i) ii )
∂q ∂ P = ∂ p ∂ Q ∂Q ∂q − = ∂ P p ∂
Tinjau Q
1 = log sin p ⇒ q
P = q cot p
q
= exp( −Q) sin p
= exp( −Q) sin p
cos p sin p
= exp( −Q) cos p
12
∂q = − exp( −Q) sin p = −q ∂Q ∂ P • = − exp( −Q) sin p = −q ∂ p •
Dengan demikian transformasi di atas adalah kanonik, karena:
∂q ∂ P = ∂ p = −q Q ∂ Contoh 5: Persamaan transformasi antara dua koordinat adalah: 1
Q
= log(1 + q
2
1
cos p )
1
⇒
exp(Q)
= 1 + q 2 cos p
1
1
P = 2(1 + q cos p ) q sin p 2
⇒ exp(Q) − 1 = q 2 cos p
2
Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni
i) ii )
∂q ∂ P = ∂ p Q ∂ ∂Q ∂q − = ∂ P p ∂ 2
eQ − 1 q = cos p eQ − 1 exp(Q) ∂q • = 2 ∂Q cos p cos p =
2 exp(Q) 2
cos p
1
q 2 cos p 1
=
2 exp(Q) q 2 cos p
12 12 P = 21 + q cos p q sin p exp(Q) − 1 exp(Q) − 1 . cos p = 21 + cos p .sin p cos p = 2 exp(Q)( exp(Q) − 1) tan p
13
•
exp(Q) ∂ P = 2 exp(Q)( exp(Q) − 1) 2 cos p ∂ p 1
= 2q 2 cos p.
exp(Q) cos2 p 1
=
2 exp(Q )q 2 cos p
Jadi transformasi di atas adalah kanonik, karena: 1
∂q ∂ P = = ∂Q ∂ p
2 exp(Q )q 2 cos p
Sedangkan fungsi pembangkitnya (diberikan F 3 = F 3 ( p, Q ) ) adalah:
∂ F 3 = 2 exp( Q)( exp( Q) −1) tan p ∂Q F 3 = −2 ∫ (e 2 Q − eQ ) tan pdQ
• P = −
1 2Q Q = −2 e − e tan p + f ( p ) 2 ∂ F ∂ f 1 • q = − 3 = −( 2eQ − e 2Q ) 2 + ∂ p cos p ∂ p 2 eQ −1 ∂ f 1 Q 2Q ( ) = − − + 2 e e cos 2 p ∂ p cos p ∂ f 1 = ; f ( p ) = tan p ∂ p cos 2 p
Dengan demikian fungsi pembangkitnya adalah: F 3
= −( exp( 2Q) − 2 exp(Q) + 1) tan p = −( exp(Q) − 1) 2 tan p
V.4 Persamaan Hamilton-Jacobi
14
Pada uraian yang lalu besaran aksi telah diketahui sebagai fungsi dari koordinat dan waktu. Dalam hal ini, menurut persamaan integral aksi, perubahan aksi dari suatu lintasan ke lintasan lain, adalah:
t 2
δ I =
∂ L ∂ L ∂ L q + δ ∫ t ∂q ∂q δ q + ∂t δ t dt
(VI.4.1a)
1
Dan jika Lagrangian tidak bergantung waktu secara eksplisit, maka
t 2
δ I =
∂ L
∂ L = 0 sehingga: ∂t
∂ L
∫ ∂q δ q + ∂q δ q dt
(VI.4.1b)
t 1
Karena prinsip Hamilton menyatakan bahwa “ perubahan system dari keadaan t 1 ke keadaan t 2 yang membuat integral aksi stasioner/ekstremum”, sehingga:
t ∂ L d ∂ L L ∂ 0 = δ I = ∫ ∑ − δ qi dt + δ q q dt q ∂ ∂ ∂qi t i i t i t 2
2
1
1
Jika pada suku ke 2 (dua) pada ruas kanan, dengan mengambil δ q (t 1 )
δ q (t 2 ) = δ q dan mengganti
∂ L = p , ∂q
(VI.4.2)
= 0 dan
menandai
maka diperoleh δ I = pδ q . Jadi terlihat bahwa turunan
parsial aksi terhadap koordinat adalah merupakan momentum, yaitu:
∂ I = p ∂q
(VI.4.3)
Dengan demikian aksi dapat dipandang secara eksplisit merupakan fungsi waktu dan koordiant dengan meninjau lintasan yang bermula pada saat t1 pada kedudukan q1.
15
Jadi dI dt
Selanjutnya dari aksi diperoleh
L
Disisi lain H ( qi , pi ; t )
=
=
dI dt
∂ I ∂ I ∂ I + q = + pq ∂t ∂q ∂t
(VI.4.4)
= L , maka:
∂ I + pq ∂t
, atau
∂ I = L − pq ∂t
(VI.4.5)
= ∑ q i pi − L(qi , q i ; t ) , maka akan diperoleh persamaan buat aksi I(q,t) i
yang ditentukan oleh:
∂ I + H (q, p; t ) = 0 ∂t
Sementara
(VI.4.6)
∂ I = p , maka dengan mengganti dari dalam Hamiltonian diperoleh: ∂q ∂ I + H q , q , ∂t 1 2
qn ,
∂ I ∂ I , , ∂q1 ∂q2
, . . .,
∂ I ; t = 0 ∂qn
(VI.4.7)
yang menentukan besaran aksi I(q,t). Persamaan diferensial parsial orde satu terhadap waktu ini dikenal sebagai persaman Hamilton-Jacobi. Seperti halnya persamaan Lagrange dan persamaan kanonik Hamilton, maka juga persamaan Hamilton-Jacobi adalah merupakan adalah basis dalam menentukan metode umum mengintegralkan persamaan gerak. Sebelum mengupas metode di atas, perlu dikemukakan kenyataan bahwa setiap persamaan diferensial parsial orde satu memiliki penyelesaian yang hanya bergantung pada satu fungsi sembarang. Dalam penerapan mekanisme integral umum persamaan Hamilton-Jacobi
16
kurang penting dibanding dengan integral lengkap, yang mengandung tetapan bebas sebanyak perubah bebas. Untuk perubah bebas dalam persamaan Hamilton-Jacobi terdiri atas perubah waktu dan koordinat . Untuk system dengan n buah derajat kebebasan, integral lengkapnya hruslah mengandung n+1 buah tetapan integrasi. Karena fungsi aksi I terpaut dalam persamaan melalui turunan, maka satu diantara tetapan itu haruslah bersifat menjumlah, sehingga integral lengkap persamaan Hamilton-Jacobi akan dapat disajikan sebagai: I = f ( q1 , q2 ,..., qn; ;α 1 , α 2 ,...,α n ; t )
(VI.4.8)
Untuk menentukan hubungan integral lengkap persamaan Hamilton-Jacobi dengan penyelesaian persamaan gerak yang dicari, maka dalam transformasi kanonik dari perubah p,q ke perubah yang baru, kita pilih f(t,q,α) sebagai fungsi generator dengan perubah momentum baru. Misalkan koordinat baru itu adalah β1,…,
α1,
…,αnsebagai
βn , dan mengingat fungsi
generator adalah merupakan fungsi koordinat lama dengan momentum baru, maka: 1). pi
=
∂ f ∂qi
2) β i
=
∂ f ∂α i
3) H ′ = H +
∂ f ∂t
Akan tetapi karena f juga mengikuti persamaan Hamilton-Jacobi, maka Hamiltonian baru H ′ = H +
∂ f ∂ I = H + = 0 . ∂t ∂t
Ini berarti H ′ = 0 , akibatnya α i
=−
∂ H ′ ∂ H ′ = 0 , β i = = 0, ∂β i ∂α i
sehingga αi=tetap, βi=tetap. Selanjutnya persamaan Hamilton-Jacobi akan mengambil bentuk yang lebih sederhana bila H tidak bergantung pada
waktu secara eksplisit; yaitu bila system konservatif.
Ketergantungan aksi terhadap waktu ditentukan oleh suku –Et, sehingga aksi akan dapat dinyatakan sebagai: I (q, t ) = I 0 ( q ) − Et
(VI.4.9)
17
yang dikenal sebagai solusi umum persamaan Hamilton-Jacobi
Contoh 6: Tinjaulah osilator harmonic dimana Hamiltoniannya adalah:
H =
p 2 2m
+
1 2
mω 2 q 2
=
1 2m
( p + m ω q ) 2
2
2
2
(1a)
dengan
ω =
k
(1b)
m
Persamaan Hamilton-Jacobi
∂ I + H (q, p; t ) = 0 ∂t ∂ I 1 ∂ I + ( ) 2 + m 2ω 2q 2 = 0 ∂t 2m ∂q dimana telah digunakan
(2)
∂ I = p . ∂q
Kalau I diketahui, maka p=p(t) dan q=q(t) dapat dicari. Andaikan solusinya:
I (q, t ) = I 0 (q ) − Et
Jika diderensialkan terhadap q maka akan diperoleh:
∂ I ∂ I 0 = ∂q ∂q
(3)
sehingga:
∂ I 0 2 2 2 2 ∂ I + m ω q + = 0 2m ∂q ∂t 1
(4)
18
karena
∂ I = − H , ∂t
dimana H tiada lain adalah energi total osilator (H=T+V) karena
dibangkitkan oleh gaya konservatif. Dengan menandai H=E , maka:
∂ I 0 2 2 2 2 + m ω q = 2mE q ∂
atau
I 0
1 2 2
= ∫ ( 2mE − m ω q )
(5)
dq
(6a)
2 E 2 = mω ∫ 2 − q 2 dq mω
(6b)
2
2
1
atau
I 0
sehinga: 1
I (q, t )
2 E 2 = mω ∫ 2 − q 2 dq − Et mω
(7)
Transformasi kanonik dari perubah q,p ke perubah baru, yakni:
p
=
∂ I ⇒ ∂ E
Q
=
∂ I ∂ I = = β ∂ P ∂ E
maka: 1
∂ I ∂ 2 E 2 2 = mω ∫ − q dq − t β = ∂ E ∂ E mω 2
(8)
atau 1
1 ∂ 2 E 2 2 − = q dq β + t = mω ∫ ∂ E mω 2 ω ∫
dq 2 E 2
mω
−q
(9)
2
Selanjutnya dengan menggunakan sifat integral:
∫ a
dx 2
− x 2
= arc sin
x a
maka 19
1 β + t = arc sin ω q 2 E
q 2 E mω 2
= sin ( ω t + φ )
, atau (10) dengan
φ = ωβ
mω 2 Akhirnya diperoleh solusi osilator harmonic, yakni:
q (t )
=
2 E 2
mω
sin ( ω t + φ )
(11)
Soal latihan:
1. Transformasi berikut:
= q cosα − p sin α P = q sin α + p cos α Q
a. Tunjukkan bahwa transformasi ini adalah kanonik untuk semua harga α. b. Dapatkan generatornya (gunakan tipe II) 2. Carilah syarat agar transformasi berikut: Q dimana
=
α p x
, P = β x 2
α dan β adalah konstan, merepresentasikan sebuah transformasi kanonik untuk
system satu derajat kebebasan. 3. Persamaan transformasi: Q1
= q12
Q2
= q2 sec p2
,
P 1 =
p1 cos p2
− 2q2
2q1 cos p2
, P 2 = sin p2
− 2q1
adalah kanonik. Tentukan fungsi generatornya. 4. Jika Lagrangian L(q, q , t ) diganti oleh: L′(q, q , t ) = L( q, q , t ) +
dF (q, t ) dt
20
dimana F(q,t) adalah sebuah fungsi tetapan, persamaan gerak Lagrange akan invariant. Buktikan bahwa transformasi ini kanonik dan carilah fungsi generator yang berkaitan dengan transformasi ini.
21
