CI41A – Mecánica de Fluidos Prof. Yarko Niño
Sem. Primavera 2006 Auxs.:Amparo Edwards Cristián Godoy
Control #1 #1 (CI41A – Hidráulica) Martes 05 de Septiembre 2006 P1.- Se requiere diseñar la operación de un sistema de bombeo, para la extracción de agua desde un embalse cercano a Santiago. Por ello, se le ha pedido a usted que estime la forma de operación de estas, para dos periodos críticos del año (verano e invierno). La operación consiste en abrir y cerrar las válvulas de cada una de las ramas del sistema de bombeo. La suma de las pérdidas friccionales y singulares de la cada rama del sistema de bombas, se puede estimar mediante la ecuación entregada, la cual depende del caudal circulante por la rama correspondiente. Las pérdidas singulares en el resto del sistema, deberán ser estimadas con los parámetros dados. Q2
2 5 Q2
2
Bb
Qsistema
Bc
Ze
Ba
Q
Qsistema
Q1
2
1 3 Q1
K codo (90º,R codo ) SB Z invierno
K codo (45º,R codo )
Z =0
(L, D,
)
Zverano
Q
Las ecuaciones características de las bombas y la suma de pérdidas por cada rama, se entregan a continuación.
H a 50 10 Qa
2
H b 25 8 Qb
2
1 3 Q12
H c 30 9 Qc
2
2 5 Q2 2
Indicación: Para el cálculo de las pérdidas singulares en codos, utilice las estimaciones para “Smooth Bend in Circular Pipe” – B.- Sharp Bends (pág. 2 apunte “Pérdidas Singulares”). © 2006. Prohibida la reproducción sin la autorización de la División de Recursos Hídricos y Medio Ambiente, Depto. de Ingeniería Civil, U. de Chile.
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Se pide: a.- Determine la altura de elevación requerida (para ser entregada por el sistema de bombas), en ambos casos (invierno y verano). (2 ptos.) b.- Analice las posibles formas de operar el sistema en ambos casos (cada posibilidad tendrá un puntaje asociado), con sus respectivos parámetros: funcionamiento de bombas, altura de elevación entregada, caudal circulante por rama, altura de elevación a perder mediante la válvula. (2 ptos.) c.- Analice e indique cuál será la opción más económica en cada uno de los casos posible. (2 ptos.) Gráficos Curva Característica Bomba y Eficiencia Ha v/s Qa
Hb v/s Qb
60.0
30.0
50.0
25.0
Eff =80%
40.0
70%
a 30.0 H
60%
10.0
10.0
5.0
0.0 0.000
70%
b H15.0
60%
20.0
Eff =80%
20.0
0.0 0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
0.000
0.500
Qa
1.000
1.500
2.000
3.00
4.00
Qb
Hsistem a v/s Qsistem a
Hc v/s Qc 60.0 35.0 30.0
50.0
Eff =80%
25.0
70%
20.0 c
H
a m e t s i s H
60%
15.0 10.0 5.0
30.0 20.0 10.0
0.0 0.000
40.0
0.500
1.000
1.500
2.000
Qc
0.0 0.00
1.00
2.00 Qsistema
Datos: Zinvierno [m] =
5
L [m] =
500
Qinvierno [mt3 /s] =
0,6
D [mm] =
600
Zverano [m] =
-3
[mm] =
0,05
Qverano [mt /s] =
0,8
[m2 /s] =
Ze [m] =
20
3
R (codos) [m]=
1,0 x 10
-6
0,45
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Pauta P1 Control#1 Primavera 2006 a.- Determine la altura de elevación requerida (para ser entregada por el sistema de bombas), en ambos casos (invierno y verano). (2 ptos.) La altura de elevación mínima requerida para la elevación de los caudales indicados, se calcula mediante la siguiente expresión. En donde Zinicial, corresponde a la cota del embalse.
H SB
f L Q Z e Z inicial K 90º K 45º K entrada K salida * 2 gD D 2
2
Las pérdidas de entrada y salida son 0,5 y 1; respectivamente. Y las pérdidas en los codos se calcularán con las tablas y conociendo los ángulos y el radio de curvatura de los codos.
K º F R / D ; Re 5
En ambos casos el Re > 5x10 ; y R/D = 0,75 < 2 , así podremos obtener de la tabla:
Reinvierno 1, 27 E 6 Re verano 1, 7 E 6
K 90º 0, 4 K 45º 0,14 Sólo faltará calcular el coeficiente friccional para cada caso (invierno o verano):
INVIERNO: D/ = Re =
f
invierno=
12000 Transición
v [m/s] =
2,122
1,27E+06 0,0116
0,013
0,0129
0,0129
VERANO: D/ = Re =
f
verano=
12000 Transición
v [m/s] =
2,829
1,70E+06 0,0116
0,0127
0,0126
0,0126
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2
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Con lo que obtenemos las alturas dinámicas necesarias en ambas condiciones. Hsb (invierno) [m] = Hsb (verano) [m] =
26,656 43,620
b.- Analice las posibles formas de operar el sistema en ambos casos (cada posibilidad tendrá un puntaje asociado), con sus respectivos parámetros: funcionamiento de bombas, altura de elevación entregada, caudal circulante por rama, altura de elevación a perder mediante la válvula. (2 ptos.) Para la estimación de los caudales circulante en el sistema, se utilizarán las ecuaciones que se muestran a continuación:
H1 50 13Q1
H 2 55 8 9 5 Q1
2
Q1
50 H 1
55 H 2
Q2
13
2
22
Con esto, más la conservación del caudal:
Q1 Q2 QT Q1 QT Q2 H sistema 50 13Q1 55 22Q2 2
2
Q1 QT Q2 2
50 13 QT Q2 55 22Q2 2 50 13 QT 2 2 Q2 QT Q2 2 55 22Q2 2
9 Q2 2 26 QT Q2 5 13 QT 2 0 2
Q2
26 QT 26 QT 4 9 5 13 QT 2
29
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Caso invierno: Operan Solución 1:
Solución 2:
Solución 3:
H1 [mt] = 3 Q1 [m /s] = Perd Valv 1 [m] H2 [mt] = 3 Q2 [m /s] = Perd Valv 2 [m] Hsist [mt] = 3 Qsit [m /s] = Perd Valv 1 [m] Perd Valv 2 [m]
=
=
= =
45,32 0,6 18,664 47,08 0,6 20,424 3 49,83 Q1 [m /s] = 3 0,600 Q2 [m /s] = 23,173 23,173 2
Q2
A
By C 0,115 0,485 A, B y C
26 0,6 26 0, 6 4 9 5 13 0,62
29
0.485 m3 s 3 0,115 Q2 Q m s 1 3 2.22 m s Caso verano: Operan Solución 1:
Solución 2:
Solución 3:
H1 [mt] = 3 Q1 [mt /s] = Perd Valv 1 [m] H2 [mt] = 3 Q2 [mt /s] = Perd Valv 2 [m] Hsist [mt] = 3 Qsit [mt /s] = Perd Valv 1 [m] Perd Valv 2 [m]
=
=
= =
41,68 0,8 -1,940 40,92 0,8 -2,700 3 49,00 Q1 [mt /s] = 3 0,800 Q2 [mt /s] = 5,380 5,380
2
Q2
26 0,8 26 0,8 4 9 5 13 0,82
No posible
No posible 0,277 0,522 A, B y C
29
0.522 m3 s 3 Q 0,277 m s Q2 1 3 2.833 m s
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c.- Analice e indique cuál será la opción más económica en cada uno de los casos posible. (2 ptos.)
Pot electrica Caso invierno:
Solución 1: Solución 2: Solución 3:
QH
Potencia Eléctric a Pot H1 [kW] = Pot H2 [kW] = Pot Hsist [kW] =
-355,31 -354,91 -401,74
Caso invierno:
Sol uci ón 1: Sol uci ón 2: Sol uci ón 3:
Potencia Eléctric a Pot H1 [ kW] = Pot H2 [ kW] = Pot Hsist [kW] =
-435,70 -411,29 -539,26
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P2) Se tiene un estanque de área Ae que descarga a la atmósfera, mediante una tubería de área transversal Ao . La descarga del estanque se regula mediante una válvula ubicada en el extremo aguas abajo de la tubería. Adicionalmente, existe una recarga constante de valor Qo sobre el estanque. (1)
(2)
Qo
A
Cc x Av
De, Ae H(t) (1)
(2)
Do, Ao
Despreciando pérdidas singulares y friccionales del sistema: Considerando que la altura del estanque varía con la expresión:
H (t ) Ho sen t
, ctes 0
Encuentre una expresión para la apertura de la válvula en función del tiempo Av(t ) .
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Pauta P2 Control#1 Primavera 2006
a) En el estanque:
V Q ENTRA QSALE t
Q ENTRA Qo
(0.5 Pto)
QSALE u Ao
(0.5 Pto)
V Ae H (t )
Ae
V H (t ) Ae t t
(0.5 Pto)
Qo Ae H (t ) H (t ) (0.5 Pto) Qo u Ao u Ao Ao t t
2 Ae H (t ) u (t ) Ao t t 2
Euler en la tubería:
(0.5 Pto)
L u
g t
B1 B0 0
(1)
Ao u (t ) Cc Av
u1 Ao u Ao u 2 Cc Av u 2 (t ) 2
2
Ao u B1 B2 2 g Cc Av 2 g u2
(0.5 Pto)
2
(0.5 Pto)
Para determinar B0 se pueden tomar dos consideraciones distintas: (0.5 Pto)
Despreciando altura de velocidad y efectos impermanentes (en la ecuación de Euler dentro del estanque): B0 H (t )
Sin despreciar altura de velocidad y efectos impermanentes (en la ecuación de Euler dentro del estanque): H (t ) H (t ) 2
g
t 2
H (t ) 2 1 B0 H (t ) 0 2 g t
H (t ) 2 1 H (t ) 2 H (t ) B0 H (t ) t 2 g g t 2
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Reemplazando en (1)
L
L
g
g
Ae H (t ) 2
Ao
t 2
Ae H (t ) 2
Ao
t 2
2
2
1 Ao Qo Ae H (t ) H (t ) 0 ó Cc Av Ao Ao t 2 g
Ao Cc Av
2
2 H t 2 1 H t 2 H t 1 Qo Ae H t H t 0 2 g t Ao Ao t 2 g t 2 g
(0.5 Pto) Además, H (t ) Ho sen t
H (t ) 2 H (t ) cos t ; 2 sen t (0.5 Pto) 2 t t 2
2
L Ae 1 Ao Qo Ae 2 sen t cos t Ho sen t 0 g Ao Cc Av Ao Ao 2 g
ó 2
2
L Ae 1 1 Ao Qo Ae 2 2 sen t cos t 2 2 cos t Ho sen t g Ao 2 g Cc Av Ao Ao 2 g
Ho sen t
2 sen t g
0
Ecuaciones de las cuales es posible despejar Avt (1.0 Pto)
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