UNIVERSIDAD FINIS TERRAE Carrera: Ingeniería Comercial
Segundo Semestre Año 2014 Prof. Jorge Rozas Ayudante: Andrés Celedon
Pauta Ayudantía Nº 2 Intervalos de Confianza para una y dos poblaciones. 1. Una empresa exportadora está evaluando la conveniencia de mantener los mercados actuales debido a la baja de los precios. Escoge una muestra al azar de 70 ventas realizadas registrándose el precio por caja y el número de cajas vendidas, obteniéndose: N° Cajas
7
12
26
20
Precio (en miles$) 6
5,4
4,5 3
5 2,2
a) Usando un intervalo de confianza del 95% para el precio promedio ¿Ha bajado el precio promedio por caja de su valor histórico de $4800? Indique la calidad de la estimación realizada. Solución: Los datos que nos entregan son los siguientes:
√ √ √
Por lo tanto estamos hablando de un intervalo de confianza para la media , con la varianza desconocida, entonces
[] ̅
Por lo tanto, el precio promedio por caja si ha bajado con respecto a su valor histórico de $4.800.
b) Se quiere reducir el error de estimación en un 30% ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra? Solución:
( )
2. Considere la población de funcionarios de una determinada empresa. Se ha realizado una campaña de promoción de seguros generales entre ellos y queremos evaluar los resultados de ella. Suponemos que obtenemos una muestra aleatoria de tamaño 30 del valor de los bienes asegurados por estos funcionarios. Sean (en millones de pesos) los valores asegurados por los 30 funcionarios: 0
0
505
201
904
0 0
0
0
101
0
0
0
104
1401
0
0
98
0
0
703
0
0
0
507
0
0
0
998
0
a) Estimar la media de los seguros generales tomados en la población con un nivel de confianza del 90% y suponiendo que la población se distribuye normalmente. Solución: Los datos que nos entregan son los siguientes:
Valores asegurados ($)
N° Funcionarios
Xi*ni
Xi˄2*ni
0
20
0
0
505
1
505
255025
201
1
201
40401
904
1
904
817216
101
1
101
10201
104
1
104
10816
1401
1
1401
1962801
98
1
98
9604
703
1
703
494209
507
1
507
257049
998
1
998
996004
∑
30
5522
4853326
√ √ √ √ √ []
Por lo tanto estamos hablando de un intervalo de confianza para la media , con la varianza desconocida, entonces
Por lo tanto
b) Estimar la proporción de funcionarios de la empresa que adquirieron seguros por bienes, con un nivel de confianza del 95%. Solución: Se debe determinar los siguientes estimadores
̂
̂ Se calcula el intervalo de confianza para la proporción
Reemplazando
̂ ̂̂ []
3. En una financiera el tiempo histórico de espera de los clientes para ser atendidos es de 4,8 minutos. En el libro de reclamos, se nota un aumento del número de clientes que se quejan por la espera para ser atendidos. El gerente de personal desea determinar si el tiempo de espera se ha modificado para ello tomo una muestra de 60 clientes registrándose el tiempo de espera en la siguiente tabla: Tiempo (min) 4,5 N° Clientes
3
4,6
4,7
4,8
5,0
5,2
4
9
10
16
8
5,5 5,.6 7
3
a) Si la estimación la realizo con un 95% de confianza ¿A qué conclusión llego? Solución:
Tiempo (min) Xi N° Clientes ni
Xi*ni
Xi˄2 *ni
4,5
3
13,5
60,75
4,6
4
18,4
84,64
4,7
9
42,3
198,81
4,8
10
48
230,4
5
16
80
400
5,2
8
41,6
216,32
5,5
7
38,5
211,75
5,6
3
16,8
94,08
∑
60
299,1
1496,75
√ √ √ √ √ []
Los datos que nos entregan son los siguientes:
Por lo tanto estamos hablando de un intervalo de confianza para la media , con la varianza desconocida, entonces
Se puede concluir que el promedio histórico no lo contiene el intervalo, por lo que se debe modificar el tiempo promedio de espera. b) Estime con un 95% de confianza la proporción de clientes que espere más de 5 minutos para ser atendido. Solución: Se debe determinar los siguientes estimadores
̂ ̂
Se calcula el intervalo de confianza para la proporción
̂ ̂̂ Reemplazando
[]
c) Estime con un 95% de confianza la varianza para la variable “Tiempo de espera” Solución: Por lo que el intervalo de confianza para la varianza estará dado por
[] 4. Un estudio comercial de tarjetas de crédito reveló los siguientes hechos: 131 de 468 mujeres pagan con tarjeta 57 de 237 hombres pagan con tarjeta
¿Es posible concluir a través de un intervalo de confianza del 95% que hombres y mujeres difieren en el uso de la tarjeta? Solución: Se tiene los siguientes datos:
Mujeres: Hombres:
Por lo tanto el intervalo de confianza es el siguiente:
̂ ̂ ̂̂ ̂̂ ̂ ̂ ̂ ̂ []
Por lo tanto
Se concluye que usando un nivel de confianza del 95%, no es significativa la diferencia ya que el “0” se encuentra contenido por el intervalo. 5. En un trabajo de investigación se encontró que el contenido promedio de ácido úrico en 12 niños con el Síndrome de Down fue de 4,75 mg/100ml, mientras que en 18 niños normales el valor promedio encontrado fue de 3,95 mg/100 ml. Mediante trabajos previos se había determinado que las varianzas de ambos grupos son 1,02 y 0,98 respectivamente. Suponiendo que la concentración de ácido úrico es una variable que se distribuye normalmente construya un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de medias poblacionales. Solución: El intervalo de confianza que ocuparemos es:
Los datos entregados son
Entonces
[]
