PROBLEMA 1
La empresa HN Ltda., produce el bien Q. La producción del bien, en esta empresa, se puede representar por la función Q(K,L)=2KL, donde K y L representan los factores productivos capital y trabajo, los que tienen un precio de $2 y $3, respectivamente. El cuerpo directivo de la empresa ha determinado determinado que se deben vender 300 unidades del bien para satisfacer la demanda, ya que de no hacerlo podría perder competitividad. Sin embargo, cuenta con un presupuesto de sólo 150 unidades monetarias. Se le solicita a usted, como consultor experto, lo siguiente: a) (3 ptos ptos)) Det Deter ermi mina narr la la máx máxim imaa prod produc ucci ción ón de la empr empres esa. a. b) b) (3 pto ptos) s) Det Deter ermi mina narr el cos costo to mín mínim imoo de la la empr empres esaa para para sat satis isfa face cerr la dem deman anda da.. SOLUCIÓN: a) El pro probl blem emaa a reso resolv lver er es: es: Max Q s.a. 2C+3T=150 Es decir, L
= 2CT + λ ⋅ (150 − 2C − 3T )
CPO: ∂ L = 2T − 2λ = 0 ∂C
∂ L = 2C − 3λ = 0 ∂T ∂ L = 150 − 2C − 3T = 0 ∂λ
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, se obtiene que el punto crítico es: 75 ,25 ,25 (C , T , λ ) = (1 pto) 2 CSO: 0 H
= −2 −3
−2
−3
0
2
2
0
Condición del máximo: Como n-m=2-1=1 n-m=2-1=1 y además además ( − 1)
m +1
= ( − 1) 2 = 1 > 0 , entonces:
= 24 > 0 , entonces el punto es máximo. (1 pto) 75 Entonces, (C , T , λ ) = ,25 ,25 maximiza la producción en 2 det( H 2 )
b) El proble problema ma a reso resolve lverr es: es: Min 2C+3T s.a. Q=300
Q(
72 , 25) 2
= 2 ⋅ 75 ⋅ 25 = 1875 (1 pto) 2
Es decir, L
= 2C + 3T + λ ⋅ (300 − 2CT )
CPO: ∂ L = 2 − 2T ∂C
λ =
0
∂ L = 3 − 2C λ = 0 ∂T ∂ L = 300 − 2CT = 0 ∂λ
1 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, se obtiene que el punto crítico es(C , T , λ ) = 15 ,10 , 10 (1 pto)
CSO: 0 H
= − 2T − 2C
0 − 2T − 2C − 2λ ⇒ H (15 ,10 ) = − 20 0 − 2λ 0 − 30
− 20 0
− 30 −1
−1 5
5 0
Condición del mínimo: Como n-m=2-1 =1 y además ( − 1) m = ( − 1)1 = −1 < 0 , entonces: det( H 2 )
= −240 < 0 , entonces el punto es mínimo. (1 pto)
Entonces,
(C , T , λ )
1 = 15 ,10 , minimizan el costo a 10
C = 2 * 15 + 3 * 10 = 30 + 30 = 60
(1 pto)
PROBLEMA 2
Suponga que U es una función de utilidad para la cual U ( x, y, z ) = xyz , donde x, y y z representan el número de unidades de los artículos A, B y C, respectivamente, los cuales son consumidos semanalmente por una persona particular. Además suponga que los precios unitarios de A, B y C son $2, $3 y $4, respectivamente, y que el gasto total semanal para estos artículos se ha presupuestado en $90. ¿Cuántas unidades de cada artículo deben comprarse semanalmente para maximizar la utilidad de la persona? SOLUCIÓN: ∞) , que maximice Se desea determinar el valor de x, y y z, cada uno en el intervalo [0,+ restricción de presupuesto 2 x + 3 y + 4 z = 90 . Por lo tanto el problema a resolver es:
Max
U = xyz
s.a. 2 x +3 y +4 z = 90
El lagrangiano es: F ( x, y , z , λ )
CPO:
= xyz + λ ( 90 − 2 x − 3 y − 4 z )
U ( x, y, z )
sujeta a la
F x ( x, y , z , λ )
= yz − 2λ = 0 (1)
F y ( x , y , z , λ )
= xz − 3λ = 0 (2)
F z ( x , y , z , λ )
= xy − 4λ = 0 (3)
F λ ( x, y, z , λ )
= 90 − 2 x − 3 y − 4 z = 0 (4) 2
1
3
2
(1.0 ptos)
Despejando y = x , z = x , sustituyendo en (4):
2 1 2 x + 3 x + 4 x − 90 = 0 ⇒ x 3 2
= 15; y = 10; z =
15 2
(1.0 ptos)
CSO: Calculando las segundas derivadas evaluadas en el punto crítico:
∂ 2 F 0 , ∂2 F = 0 , ∂2 F = 0 , ∂ 2 F 0 , = ∂ y 2 = ∂ y 2 ∂ x 2 ∂λ 2 ∂ F ∂ F = −4 = −3 , y∂λ ∂ ∂ z ∂λ 2
2
∂ F
x∂ y ∂
= z =
15 2
2 ∂ F F ∂ = x =15 , , = y =10 , ∂ y∂ z ∂ x∂ z 2
2
0 − 2 − 3 − 4 15 2 0 10 − 2 H = 15 0 15 − 3 2 − 4 10 15 0
(1,0 ptos)
Condición del máximo: Como n-m=3-1=2 y además ( − 1) m +1 = ( − 1) 2 = 1 > 0 , entonces: 0 det H 3
15
= −2
0
−3
15
0 det H 4
− 2 −3
=
−2 −3 −4
2
2
45 = 2 0 + − 3( − 4 − 0) = 45 +12 = 57 > 0 2
0
−2 −3 − 4 0 15 2 10
15 2
−2 −3 −4
10
=2
0
15
15
0
15
2 10
0
15
15
0
−2 −3 −4 −3
0 10
15 2 15
10 0
−2 −3 −4 +4
0 15 2
15 2 0
10 15
=
2
∂ F
x∂λ ∂
= −2
15 15 = 2(10 * −45 − 15 * 0 ) − 3( − 2 * −150 + 10 * 0 ) + 4 − 2 * * 15 + * 0 = −900 + 900 − 900 = −900 < 0 Como det 2 2
H3 >0 y det H4 <0, entonces el punto crítico es máximo.
(2,0 ptos)
Por lo tanto los valores que maximizan la utilidad son: x = 15; y = 10 ; z =
15 2
Y además su valor es: U (15 ,10 ,
15 2
)
=15 ⋅10 ⋅ 15 =1125 2
(1,0 ptos) + (1.0 ptos base)
U = [ 25( p 2
− 2 p1 ) + 1000 ]( p1 − 20 ) + [ 25( p1 − p 2 ) + 2000 ]( p 2 − 10 ) 2 2 U = 50 p1 p 2 − 50 p1 − 25 p 2 + 1750 p1 + 1750 p 2 − 40000 C . P .O :
∂U = 50 p 2 −100 p1 + 1750 = 0 ∂ p1 ∂U = 50 p1 − 50 p 2 + 1750 = 0 ∂ p 2 2 Ptos.
− 50 p 2 = 1750 50 p1 − 50 p 2 = −1750 p1 = 70 ∧ p 2 = 105
100 p1
1 Ptos. C .S .O : 2 U ∂ 2U 100 , ∂ 2U ∂ =− = −50, = 50 2 2 ∂ p1 ∂ p 2 ∂ p1 ∂ p 2
1 Pto. H 1 H 2
= −100 < 0 − 100 50 = = 2500 > 0 ∴max imo 50 − 50
2 Ptos.
PROBLEMA 3
. Una empresa elabora 2 productos A y B con las siguientes funciones de costo por unidad y de demanda :
= p B − 2 p A +100 Q B ( p A , p B ) = p A − p B + 200 C ( A) = 20 C ( B) = 10 Q A ( p A , p B )
Donde p A , p B son los precios de los productos A y B respectivamente. Utilizando la condición de segundo orden determine la combinación de precios que maximicen la utilidad. U = Q A ( p A , p B )( p A − 20) + Q B ( p A , p B )( p B − 10) = ( p B − 2 p A + 100)( p A − 20) + ( p A − p B + 200)( p B − 10) U = p A p B − 2 p A + 100 p A − 20 p B + 40 p A − 2000 + p A p B − p B + 200 p B − 10 p A + 10 p B − 2000 2
2
U = 2 p A p B − 2 p A − p B + 130 p A + 190 p B − 4000 2
2
(1 pto.)
CPO :
∂U = 2 p B − 4 p A +130 = 0 ∂ p A ∂U = 2 p A − 2 p B +190 = 0 ∂ p B Q B ( p A , p B ) = p A − p B + 200 ⇒ p A = 160 ∧ p B = 255
(2 ptos.)
CSO
∂ 2U = −4 ∂ p A 2 ∂ 2U = −2 ∂ p B 2 ∂2U =2 ∂ p A ∂ p B −4 2 ⇒ det( H 1 ) = −4 < 0 H = −2 2 det( H 2 ) = 8 − 4 = 4 > 0 Por lo tanto p A = 160 ∧ p B = 255 maximizan la utilidad.
(2 ptos.)
(1 pto.)
PROBLEMA 4 .- Una empresa tiene tres fábricas ubicadas en distintas ciudades del país, en cada un a de las cuales se elabora el mismo producto. La empresa A produce “x” cantidad, la empresa B “y” cantidad y la empresa C produce “z” cantidad. Se sabe que los costos de producción de las
distintas fábricas son: A = 3 x 2 + 200 ; B = y 2 + 400 y C = 2 z 2 + 300 . Si se quiere surtir un pedido de 1100. Minimice el costo total
SOLUCION
Se minimiza el costo total sujeto a una restricción de pedido: MinCT
= 3 x 2 + y 2 + 2 z 2 + 900
s.a. x + y
+ z = 1100
Por Lagrange: α ( x , y )
= 3 x 2 + y 2 + 2 z 2 + 900 − λ (1100 − x − y − z )
C.P.O
∂α = 6 x + λ = 0 ∂ x ∂α = 2 y + λ = 0 ∂ y ∂α = 4 z + λ = 0 ∂ z ∂α = x + y + z −1100 = 0 ∂λ
⇒
x
= λ 6
, y
=
λ
2
, z =
λ
4
Reemplazo los valores en la restricción: λ
+
λ
+
λ
= 1100
6 2 4 11λ = 13200 λ
⇒
= 1200
C.S.O.
0 1 H= 1 1
1
1
1
6
0
0
0
2
0
0
0
4
El determinante de la matriz es:
x
= 200
, y = 600 , z = 300
det H
1
1
1
0
1
1
= −1 6
0
0
+4 1
6
0
0
2
0
1
0
2
1 =−1 −2 6
1 +4 −1 0 0
1
1 2
+1
1 6
= −44 <0 0
1
Condición del mínimo:
( − 1) k det H > 0 ⇒ min imo
Por lo tanto, las cantidades que minimizan el costo son: x
= 200 , y = 600
, z = 300
Y el costo total mínimo es: 660900. (Calcular)
PREGUNTA 5 La función de producción de una empresa es P ( K , L ) = 80 L3 / 4 K 1 / 4 , donde L y K representan respectivamente el número de unidades de mano de obra y capital utilizadas y P el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $ 60 y cada unidad de capital cuesta $ 200.- y la empresa dispone de $ 40.000.- destinados a producción. Emplear el método de Lagrange para obtener el nivel de producción máximo. Proceder de acuerdo con el siguiente esquema: 2.1.-Plantear las condiciones de primer grado sobre la función ampliada ( Lagrange) hasta obtener el sistema de ecuaciones, sin resolverlo. 2.2.-Determinar la matriz de Hesse Orlada 2.3.-Identificar cada uno de los menores orlados ( determinantes) que son necesarios para tomar la decisión( no es necesario calcularlos). 2.4.-Señalar las condiciones que deben cumplirse para la existencia de un máximo de producción.
SOLUCIÓN 2.1.P(K, L) 40.000 Función
= 80L 3/4 K 1/4 = 200K + 60L Ampliada
Función
Producción
Restricció n :
F(L, K, λ)
Presupuest
= 80L
3/4
1/4
K
aria
+ λ(40.000 − (200K + 60L)) 0.75 ptos
Condicione s de primer orden
∂ F = 60 L−1 / 4 K 1 / 4 − λ 60 = 0 ∂ L x0 = ( K 0 , L0 ; λ 0 )
;
∇ F ( L, K , λ ) = 0 ∂ F ∂ F = 20 L3 / 4 K −3 / 4 − λ 200 = 0 = 40.000 − (200K + 60L) = 0 .Se obtiene ∂ K ∂λ
0.75 ptos Condiciones Suficientes
2.2.-
0 6 0 − 5 / 4 1/ 4 ( L, ,λ ) = 6 0− 1 L 5 K H K 2 01 L0− 15/ K 4 − 3/ 4
2 00
1 L 5 K 3/ 4 − 7 / 4 − 1 L 5 K − 1/ 4 − 3 / 4
1.5 ptos
2.3.-¿Cuántos menores debo calcular? n = 2 ; p = 1, entonces, debo calcular 2-1 = 1 menor orlado. 0.75 ptos
60 0 −5 / 4 1 / 4 ¿Cuál menor orlado? . det( H ( K , L, λ )) = det( 60 − 15 L K 200 15 L−1 / 4 K −3 / 4
200 15 L−1 / 4 K −3 / 4 ) 0.75 ptos − 15 L3 / 4 K −7 / 4
2.4.-Debo evaluar la matriz de Hesse Orlada en el punto estacionario ,luego debo determinar, H ( K 0 , L0 , λ 0 ) 2
Para la toma de decisión se debe considerar lo siguiente:”Si los signos de los principales
menores orlados evaluados en el punto estacionario, alternan el signo, partiendo por ( −1) p 1 , donde p es el número de restricciones, entonces sobre el punto estacionario se produce un valor máximo local y es +
F ( K 0 , L0 ; λ 0 ) .Como en este ejercicio tenenos sóla una restricción, entonces
0.75 ptos
( −1) p +1
=1 > 0
, luego ,
H ( K 0 , L0 , λ 0 ) 2
>
0
entonces
se
produce
un
valor
máximo
local
PROBLEMA 6
Una joven entendida de vinos tiene M$ 3000 para hacerse una pequeña bodega. Le gustan dos cosechas en particular: un caro burdeos francés de 1987 ( VF ) que cuesta M$ 20 la botella y un vino similar de 1993 producido en California menos caro ( VC ) que cuesta M$ 10. Si su utilidad viene caracterizada por la siguiente función:
1
2
U (V C ,V F ) = V V F 3 3 C
¿Que cantidad V C , V F debe comprar para maximizar su utilidad?
SOLUCION: 1
Máx.
2
U (V C ,V F ) = V V F 3 3 C
1
2
L(V C ,V F , λ ) = V C V F 3 3
CPO
+
s.a.:
λ (3000− 10V C −
3000
=10V + 20V C
F
20V F )
⇒ ∇ L (V C ,V F , λ ) = 0
∂ L 1 − 23 23 (1) = V V − 10λ = 0 ∂V C 3 C F ∂ L 2 13 − 13 ( 2) = V V − 20λ = 0 ∂V F 3 C F ∂ L (3) = 3000 − 10V C − 20V F = 0 ∂λ Dividiendo las ecuaciones (1)/(2)
1 3 2 3
−
2
2
V C 3V F 3 1
V C V F 3
−
1 3
=
1 2
Se obtiene: VC =100; V F =100 CSO
0 10 2 −5 2 H = 10 − V C 3 V F 3 9 −1 2 20 2 V C − 3V F 3 9
20 2 − 2 −1 V C 3V F 3 9 − 2 13 −34 V C V F 9
(3 ptos.)
H 2
Para VC =100; VF =100
es igual a 2>0
La conclusión dado que H2 es mayor que cero es que se trata de un valor máximo, por lo tanto la joven debe comprar la misma cantidad de ambos vinos, que es de 100 botellas. (3 ptos.)
PROBLEMA 7
Suponga que un monopolista está practicando discriminación de precios en la venta de un producto cobrando diferentes precios en dos mercados separados. En el mercado A la función de demanda es
p a
= 100 − q
a
, y en el mercado B es pb
= 84 − q
b
donde p a y pb son los precios respectivos por unidad.
Si la función de costos del monopolista es:
C ( q a , qb ) = 600 + 4( q a
+
qb )
a. ¿Cuánto debe venderse en el mercado para maximizar la utilidad? b. ¿Qué precios de venta dan la utilidad máxima? c. Encuentre la utilidad máxima SOLUCION:
a) Los ingresos de cada mercado son:
I a ( pa , qa ) = pa qa ⇒ I a ( qa ) = ( 10 0− qa ) qa = 1 0 0qa − q 2 a 2 I b ( pb , qb ) = pb qb ⇒ I b ( qb ) = ( 84 − qb ) qb = 84qb − q b
Luego la utilidad corresponde a :: π ( qa , qb )
π ( q a , qb )
= I a ( qa ) + I b (qb ) − C (q z , qb ) = 100 q a − q a2 + 84qb − qb2 − 600 − 4 q a − 4qb2
CPO
∇π (qa , qb ) = 0 = 96 qa + 80 qb − qa2 − qb2 − 600
∂ π (qa , qb ) 2 = 9 −6 qa = 0 ∂ qa * * ⇒ qa = 4 ∧8 qb = 4 π ∂ = 8 −0 2qb = 0 ∂ qb
(2 ptos.)
CSO:
[ H 1 ] = (−1)1 (−2) = 2 > 0 ∂ 2π 2 q [ H 2 ] = ∂ a
− 2 0 = ⇒ det[ H ] = − 2(− 2) − 0 = 4 > 0 ⇒ es maximo 2 ∂ π 0 − 2 ∂qb2
(-1)¹det[H1]>0 entonces (-1)¹*-2>0 (-1)²det[H1]>0 entonces (-1)²* 4>0
(2 ptos.)
Por lo tanto, es un máximo.
− b) pa* = pa (q a* ) = 100 − q a* = 52 ∧ pb = 84 − qb* = 44
(1 pto.)
c) Utilidad Máxima
= 96 q a + 80 qb − q a2 − qb2 − 600 = 96 ( 48) + 80 ( 40 ) − ( 48) 2 − ( 40 ) 2 − 600 = 3304 *
*
π ( q a , q b )
(1 pto.)
PROBLEMA 8
El restaurante “DON PEPE S.A.” Debe abastecer con cierta cantidad de mercadería a dos plantas distintas, A y B. Los costos totales del restaurante para tal efecto son:
C ( q1 , q 2 )
=
1 3 q1 15
+ 1695 q1 + 5q 22 − 10 q1 q 2 − 1750 q 2
Donde q1 y q 2 son las cantidades de mercadería en miles de ambas plantas respectivamente.
a) Encuentre las cantidades q1 y q 2 que minimicen los costos de la empresa. (4 ptos.) b) Determine la concavidad de la función de costos en los puntos q1 y q 2 . (2 ptos.) SOLUCION:
a) C.P.O:
∂C ( q1 , q 2 ) 1 2 = q1 + 1695 − 10q 2 = 0 5 ∂q1 (1) ∂C ( q1 , q 2 ) = 10q 2 − 10q1 − 1750 = 0 ∂q 2
De (1) saco que:
10 q 2
= 10 q1 + 1750 ⇒ q 2 = q1 + 175
reemplazo : 1 2 q1 + 1695 − 10 q1 − 1750 5 q12 − 50 q1 − 275 = 0 q1
= 55 ⇒ q 2 = 230
C.S.O:
=0
2 5q − 1 − 1 0 1 0 1
[H]=
Donde al reemplazar q1 , los determinantes son:
[h1]= 220 >0 y [h2]= (220-100)=120 >0. Por lo tanto las cantidades que minimizan los costos son q1 =55000 y q 2 =230000 (Por enunciado, las cantidades están en miles). (4 ptos.)
b) Considerando que [h1]= 220 >0 y en el punto (55,230)
[h2]= (220-100)=120 >0 entonces la función es cóncava
(2 ptos.)
