Ayudantía 6 Óptica y Electromagnetismo Profesores: Carlos Cárdenas, Rafael González Ayudantes: Edgar Barriga, Sebastián De la Maza, Humberto Loguercio,
Andrés Robles, Francisca Vera 8 de Mayo de 2017
1. Considere Considere una cuña con resistividad resistividad uniforme uniforme ρ, ρ , ver figura. Demuestre que la resistencia entre la cara A y B está dada por ρL R = ln(y ln( y2 /y1 ) ω(y2 − y1 )
Solución
Partiremos dividiendo la cuña en rectángulos de espesor infinitesimal dl, dl , altura h altura h y y ancho w ancho w como se muestra en la figura.
Tomamos un rectángulo a distancia l de la cara A, A , con esto podemos establecer una semejanza de triángulos, como se observa en la siguiente figura.
La semejanza establecida es DE BC = AE AC h − y1 y2 − y1 = l L l h = y 1 + (y2 − y1 ) L
(1)
Derivando (1) se obtiene dl (y2 − y1 ) L L dl = dh (y2 − y1 ) dh =
La resistencia de la cuña es
L
R =
ρ
0
(2)
dl A
(3)
Siempre que la corriente vaya unicamente en la dirección en que crece L. En (3), A = hw es el área de la sección transversal con h variable. Observamos que, cuando l = 0, h = y 1 y que cuando l = L, h = y 2 . Con esto, el valor de A y (2), podemos expresar la resistencia de (3) como
L
y2
R =
ρ
(y2 −y1 ) dh
y1
R =
ρL
hw
y2
dh h
w(y2 − y1 ) y ρL R = [log(h)]yy w(y2 − y1 ) ρL R = ln(y2 /y1 ) ω(y2 − y1 ) 1
2 1
2
2. Determine la magnitud y sentido de la corriente que circula por la resistencia de 20Ω y la diferencia de potencial entre los puntos a y b.
Solución
Para encontrar la corriente, primero es necesario calcular la resistencia equivalente, para o cual se puede reorganizar el circuito de la siguiente manera
Podemos ver que las resistencias de 20Ω y 5Ω están en serie, entonces la resistencia equivalente entre estas corresponde a 25Ω. Entonces la resistencia equivalente de las que están en paralelo quedaría 1 1 1 1 85 = + + = Re 10 5 25 250 250 ≈ 2, 94 Re = 85 Tenemos el siguiente circuito
Por lo tanto la resistencia total del sistema corresponde a RT = 10 + 2, 94 = 12, 94Ω 3
Ahora se puede calcular la corriente total del circuito I , ya que se sabe que la diferencia de potencial eléctrico en el circuito es de 25 V . I 0 =
∆V 25V = = 1, 93A RT 12, 94Ω
En la figura no es necesario considerar I 2 ni I 3 , y siguiendo la segunda ley de Kirchhoff se tiene 0 = 25V − 20ΩI 1 − 5ΩI 1 − 10ΩI 0 25ΩI 1 = 25V − 10Ω · 1, 93A I 1 = 0, 228A El voltaje en b es V b = 25V , la caída de voltaje hasta el punto a es V = I 1 25Ω = 0, 228 · 25 = 5, 7V Así que el voltaje en a es V a = 25 − 5, 7 = 19, 3V . Y la diferencia de voltaje entre a y b es ∆V = V b − V a = 25 − 19, 3 = 5, 7V 3. Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b. Además determine la potencia disipada en cada una de las resistencias.
Solución
a) Primero hay que encontrar la corriente en el resistor de 2Ω, o sea, I 3 . Por leyes de Kirchhoff I 1 = I 2 + I 3
(1)
Luego en la parte superior del circuito, por segunda ley de Kirchhoff ∆V − I 1 R1 − I 3 R2 = 0 12V − 4I 1 − 2I 3 = 0 4
(2)
Y de la parte inferior tenemos que: 8V − 6I 2 + 2I 3 = 0 Al despejar I 1 en (2) nos queda I 1 = 3 −
I 3 2
(3)
(4)
Luego al igualar (1) en (4) I 3 2 3I 3 2
I 2 + I 3 = 3 − I 2 = 3 − En (3) despejamos I 2 obteniendo I 2 =
4 I 3 + 3 3
(5)
(6)
Igualando (5) y (6), se puede calcular I 3 3−
3I 3 4 I 3 = + 2 3 3 I 3 = 0, 909A
Luego la diferencia de potencial entre a y b es V b − V a =
I 3 R2 =
−
(0, 909) · 2 = −1, 82V
−
b) Primero hay que encontrar el valor de cada intensidad, ya calculamos I 3 = 0, 909A, con esta intensidad podemos despejar de (6) I 2 = 1, 636A y de (4) I 1 = 2, 54A. Y finalmente para calcular la potencia disipada por las resistencias se utiliza P = I 2 R Entonces para cada resistencia quedaría R1 = 4Ω → P = 2, 542 · 4 = 25, 91W R2 = 2Ω → P = 0, 9092 · 2 = 1, 652W R3 = 6Ω → P = 1, 6362 · 6 = 16, 05W
5
