U.C.V.
F.I.U.C.V.
ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA – (0260) TERCER PARCIAL (25%) – 23/02/11 PROFESOR: JOSÉ LUIS QUINTERO
CICLO BÁSICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
1. Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a,b). Si E(x) = 10 y V(X) = 12 , halle la probabilidad de que X se encuentre (3 puntos) entre 5 y 12.
2. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes tiene una distribución normal con media 100 horas y desviación estándar de 20 horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad del siguiente (2 puntos) mes se encuentre entre 50 y 80 horas? b. ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse para que la (3 puntos) probabilidad de excederlo sea sólo de 0.0985?
3. Se ha observado durante mucho tiempo que una máquina determinada para llenar botellas, tiene una varianza en las cantidades de llenado de 1 onza. Sin embargo, el promedio de las onzas de llenado depende de un ajuste. Si en un día se llevan a cabo 25 observaciones de la cantidad de líquido servido, todas con el mismo ajuste en la máquina: a. Calcule la probabilidad de que la media muestral quede dentro de 0.3 onzas de diferencia con respecto al promedio verdadero de la población. b. ¿Cuántas observaciones observaciones se deben efectuar efectuar en la muestra para que x quede a menos de 0.3 onzas del promedio verdadero con una probabilidad de 0.95?
(3 puntos + 3 puntos = 6 puntos)
4. Sea X una variable aleatoria a leatoria con su distribución de probabilidad: 0 < x <1 (α + 1)xα . f(x) = 0 e n ot o t r o ca c a s o Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de α , basado en una (3 puntos) muestra aleatoria de tamaño n.
5. La Dirección Nacional de Tráfico quiere conocer la velocidad a la que circulan los automóviles en un tramo determinado de una carretera. Para una muestra de siete automóviles, el radar señaló las siguientes velocidades en kilómetros por hora: 79 73 68 77 86 71 69 Calcule un intervalo de confianza del 80% para la varianza poblacional.
(3 puntos)
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ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA – (0260) TERCER PARCIAL (25%) – 23/02/11 PROFESOR: JOSÉ LUIS QUINTERO
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CICLO BÁSICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
PREGUNTA 1.
(3 puntos)
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a,b). Si E(x) = 10 y V(X) = 12 , calcule la probabilidad de que X se encuentre entre 5 y 12.
SOLUCIÓN. E(x) = a + b = 20 , V(x) = (b − a)2 = 144 . 4b2 − 80b + 400 = 144 . a = 4 , b = 16 . P(5 ≤ x ≤ 12) =
∫
12
5
dx 7 . = 12 12
PREGUNTA 2.
(5 puntos)
El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes tiene una distribución normal con media 100 horas y desviación estándar de 20 horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad del siguiente mes se encuentre entre 50 y 80 horas?
SOLUCIÓN.
(2 puntos) 80 − 100 50 − 100
b. ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse para que la probabilidad de excederlo sea sólo de 0.0985?
SOLUCIÓN.
(3 puntos)
M − 100 P(X > M) = 0.0985 ⇒ P Z > = 0.0985 ⇒ 1 − F(Z) = 0.0985 20 ⇒ F(Z) = 0.9015 ⇒ Z = 1.29 ⇒ M = 1.29 ∗ 20 + 100 = 125.8
PREGUNTA 3.
(6 puntos)
Se ha observado durante mucho tiempo que una máquina determinada para llenar botellas, tiene una varianza en las cantidades de llenado de 1 onza. Sin embargo, el promedio de las onzas de llenado depende de un ajuste. Si en un día se llevan a cabo 25 observaciones de la cantidad de líquido servido, todas con el mismo ajuste en la máquina: a. Calcule la probabilidad de que la media muestral quede dentro de 0.3 onzas de diferencia con respecto al promedio verdadero de la población.
SOLUCIÓN.
(3 puntos)
P( x − µ ≤ 0.3) = P(− 0.3 ≤ x − µ ≤ 0.3) = P(µ − 0.3 ≤ x ≤ µ + 0.3) µ + 0.3 − µ µ − 0.3 − µ − P Z1 ≤ P(x ≤ µ + 0.3) − P(x ≤ µ − 0.3) = P Z2 ≤ 1/5 1/5 P(Z2 ≤ 1.5) − P(Z1 ≤ −1.5) = 0.9332 − 0.0668 = 0.8664 .
b. ¿Cuántas observaciones se deben efectuar en la muestra para que x quede a menos de 0.3 onzas del promedio verdadero con una probabilidad de 0.95?
SOLUCIÓN.
(3 puntos)
P( x − µ ≤ 0.3) = P(− 0.3 ≤ x − µ ≤ 0.3) = P(µ − 0.3 ≤ x ≤ µ + 0.3) µ + 0.3 − µ µ − 0.3 − µ P(x ≤ µ + 0.3) − P(x ≤ µ − 0.3) = P Z2 ≤ − P Z1 ≤ = 0.95 1/ n 1/ n
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ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA – (0260) TERCER PARCIAL (25%) – 23/02/11 PROFESOR: JOSÉ LUIS QUINTERO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
−0.3 0.3 P Z2 ≤ − P Z1 ≤ = F (Z2 ) − F ( −Z2 ) = 0.95 = 2F(Z2 ) − 1 = 0.95 1/ n 1/ n F(Z2 ) = 0.975 ⇒ Z2 = 1.96 ⇒ 1.96 = 0.3 n ⇒ n = 42.68 ≈ 43 .
PREGUNTA 4.
(3 puntos)
Sea X una variable aleatoria con su distribución de probabilidad: (α + 1)xα 0
SOLUCIÓN. n
n
L(x1 ,..., xn , α ) = (α + 1)n ∏ xiα ⇒ A(x1 ,..., xn , α ) = Ln(L(x1 , ..., xn ,α )) = Ln((α + 1)n ∏ xiα ) i =1
i =1
n
n
i =1
i =1
= Ln((α + 1)n ∏ xiα ) = nLn(α + 1) + α ∑ Ln(xi ) ⇒
∂A n = + ∑ Ln(xi ) = 0 ∂α α + 1 i =1
⇒ α = −1 −
n
n n
∑ Ln(xi )
i =1
De modo que α ˆ = −1 −
n n
.
∑ Ln(xi )
i =1
PREGUNTA 5.
(3 puntos)
La Dirección Nacional de Tráfico quiere conocer la velocidad a la que circulan los automóviles en un tramo determinado de una carretera. Para una muestra de siete automóviles, el radar señaló las siguientes velocidades en kilómetros por hora: 79 73 68 77 86 71 69 Calcule un intervalo de confianza del 80% para la varianza poblacional.
SOLUCIÓN. x=
79 + 73 + 68 + 77 + 86 + 71 + 69 ≈ 74.71 7
(74.71 − 79)2 + (74.71 − 73)2 + (74.71 − 68)2 + (74.71 − 77)2 + (74.71 − 86)2 + (74.71 − 71)2 + (74.71− 69)2 6 18.4041 + 2.9241 + 45.02 41 + 5.2441 + 127.4 641 + 13.7641 + 32.6041 = ≈ 40.9048 6
S2x =
χ26,0.1 = 10.6446 ; χ26,0.9 = 2.2041 ;
6 × 40.9048 6 × 40.9048 < σ2 < ⇒ 23.057 < σ2 < 111.351 10.6446 2.2041
