Teorema Nilai Rata-rata
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis real demikian pula dalm kuliah kalkulus diferensial. Pada bab ini akan diberikan teorema penting terkait dengan derivatif suatu fungsi dan beberapa contohnya, dimulai dengan meninjau hubungan antara nilai ekstrem relatif (maksimum atau minimum relatif) suatu fungsi dan nilai derivatifnya Sebelum pembahasan lebih lanjut, diberikan terlebih dahulu pengertian maksimum dan minimum relatif suatu fungsi. Fungsi f Fungsi f :: [a [ a, b] R mempunyai nilai maksimum relatif di titik c titik c [a, b] jika terdapat persekitaran persekitaran dari titik c dengan radius 0, yaitu 0, yaitu Fungsi f : f : [a, b]
≤ ∈ ∩ ≥ ∈ ∩
( )sehingga
[ , ]
R mempunyai nilai minimum relatif di titik c titik c
dari titik c dengan radius 0, yaitu 0, yaitu Jika fungsi f fungsi f :: [a, b]
( ).
[a, b] jika terdapat persekitaran persekitaran
( )sehingga
[ , ]
R mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik c titik c
( ).
[a, b]
maka fungsi f dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif di titik c titik c [a, b] Pembahasan selanjutnya memberikan justifikasi secara teoritis sebagai suatu proses yang umum untuk menemukan titik dimana fungsi f mempunyai f mempunyai ekstrem relatif dengan mencari harga derivatif fungsi di suatu titik di dalam domainnya agar sama dengan nol. Namun cara tersebut hanya dapat diaplikasikan pada titik-titik interior dari suatu interval. Untuk kejelasan hal ini perhatikan contoh berikut.
= . Dapat dimengerti bahwa = 0 adalah satu-satunya titik dimana f mencapai nilai minimum relatif dan x = 1 adalah satuDiberikan fungsi f fungsi f :: [0, 1] R yang didefinisikan dengan
x
satunya titik dimana f mencapai f mencapai nilai maksimum relatif, akan tetapi tak satupun dapat ditemukan harga nol dari derivatifnya. derivatifnya. Sebelum diberikan Teorema 2.1 perlu diberikan terlebih dahulu pengertian titik interior (interior point ) suatu himpunan tak kosong dengan topologi biasa pada garis real. Diberikan S R, titik c radius 0 , yaitu
S disebut titik interior himpunan S, jika terdapat persekitaran c dengan
( ) sehingga berlaku
( ) S .
Koleksi semua titik interior himpnan S disebut interior (bagian dalam) himpunan S dan dinotasikan dengan .
Sangatlah mudah dimengerti bahwa interior setiap interval tertutup terbatas [a [a, b] pada garis real adalah (a (a, b). Teorema 2.1 (Teorema Ekstrem Interior) Diberikan c titik interior interval I = I = [a [ a, b] dan fungsi f : f : [a [ a, b] R mempunyai nilai ekstrem
′
relative. Jika fungsi f mempunyai derivatif di titik c, maka
12
= 0.
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Bukti:
Dibuktikan untuk kasus f mempunyai nilai maksimum relative. Misalkan
′ ′ ′ ′ − ∀∈ ≠ − ∈ − − − − − − ′ − ∀∈ ≠ − ∈ − − − − − − ′
Andaikan (i)
≠ 0, maka
Untuk
maka terdapat
0 atau
0.
0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I)
( ) I , sehingga
( )
Jika
dan
>
maka
Hal ini bertentangan dengan (ii) Untuk
maka terdapat
Jika
maksimum relative.
> 0,
,
.
> 0 , sehingga diperoleh ( ) =( ) >0
>0 > . sebagai maksimum relative.
0, analogi dengan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I)
( ) I , sehingga ( )
dan
<
maka
Hal ini bertentangan dengan Dari (i) dan (ii) terbukti
< 0,
,
.
< 0 , sehingga diperoleh ( ) =( ) >0
>0 > . sebagai maksimum relative.
= 0.
Bukti untuk kasus f mempunyai nilai minimum relative diserahkan kepada pembaca untuk latihan. Akibat 2.2 Diberikan f : [a, b]
R fungsi kontinu pada interval [a, b] dan f mempunyai nilai ekstrem
′
relative di c (a, b), maka derivatif fungsi f di titik c tidak ada atau
= 0.
Untuk memperjelas pemahaman Akibat 4.2, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi bernilai = real pada [–1, 1] yang didefinisikan dengan maka f mencapai nilai minimum relative di
′
0 tidak ada.
0 (–1, 1). Tetapi
Teorema 2.3 (Teorema Rolle) Andaikan fungsi f kontinu pada [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik dalam interval
terbuka (a, b) dan
=
= 0 , maka terdapat paling sedikit satu titik c
′ ≠ ∈ ∈ ′ ∈ = 0.
Bukti:
(a, b) sehingga
∈ ∈
= 0 untuk setiap [ , ], maka jelas = 0 untuk setiap [ , ]. 0 untuk setiap ( , ), maka > 0 untuk setiap ( , ) atau Untuk kasus untuk setiap ( , ). Jika
13
<0
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
> 0 untuk setiap ( , ). Oleh karena f kontinu pada [a, b] , berdasarkan Teorema Maksimum-Minimum (Teorema
Tanpa menghilangkan keumuman bukti, untuk selanjutnya diasumsikan
∈
16.3 pada Buku Analisis Real I) maka f mempunyai nilai maksimum di suatu titik c [a, b]. Karena
=
′
= 0 maka c (a, b) dan karena
′
ada maka berdasarkan Teorema 2.1
= 0.
Teorema 2.4 (Teorema Nilai Rata-rata = TNR) Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], derivatif fungsi f ada di setiap titik dalam interval terbuka (a, b) , maka terdapat paling sedikit satu titik c (a, b) sehingga
− ′ − =
Y
(
).
(b, f (b))
y = f ( x )
y = ( x )
(a, f (a))
a
0
b
c
X
Bukti Didefinisikan fungsi
−− − − − ∀∈ =
Dapat dijelaskan bahwa merupakan fungsi yang kontinu pada I = [a, b] dan terdiferensial pada (a, b) serta (a) = (b) = 0. Jelaskan! Berdasarkan Teorema Rolle, maka terdapat paling sedikit satu titik c (a, b) sehingga Perhatikan:
′ ′− − − ′− − − ′ − −
′
= 0.
=
0=
=
(
).
Teorema 2.5 Misalkan fungsi f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], f terdiferensial pada interval terbuka (a, b) dan =0 ( , ) maka f fungsi konstan pada [a, b].
′ ∀ ∈
14
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Bukti
∀ ′ − − − − = = 0(
sehingga maka
∈∈
= > . Berdasarkan TNR, maka terdapat ( ) untuk < < < . Oleh karena = 0 untuk . ). Terbukti =
Cukup dibuktikan bahwa
′
( , ) ( , )
Akibat 2.6 Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu pada interval tertutup I = [a, b], terdiferensial pada interval terbuka (a, b) dan = ( , ) , maka terdapat suatu konstanta C
′ ′ ∀ ∈
sehingga Bukti
=
+ .
− ∀∈ ′ ′ − ′ ∀∈
sehingga = ( ) = 0 , sehingga berdasarkan Teorema 2.5 = [ , ].
Didefinisikan suatu fungsi
=
Karena
maka
=
Dengan demikian
′ ′ −′ = =
( ). pada [a, b].
Untuk memperjelas teorema tersebut di atas, perhatikan contoh berikut. Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan dengan
∀ ∈ − ∀ ∈ − ′ ′ ∀ ∈ − =3 =
Perhatikan bahwa
2
,
[ 2,2] dan ( 2,2) dan
=3 =
2
+ 4, + 4.
[ 2,2]
Selanjutnya diberikan pengertian fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun sebagai berikut. a. Fungsi f : [a, b]
∈ ∈ dengan
1
<
2
c.
1
<
2
d. Fungsi f : [a, b]
1)
(
2 ).
R dikatakan monoton turun pada [a, b] jika untuk setiap
[ , ] dengan
1, 2
≤ ≥
berlaku (
Fungsi f : [a, b] 1, 2
R dikatakan monoton naik pada [a, b] jika untuk setiap
berlaku (
b. Fungsi f : [a, b] dengan
1)
(
2 ).
∈ ∈ 1,
2
[ , ]
1,
2
[ , ]
R dikatakan monoton naik tegas pada [a, b] jika untuk setiap
1
<
2
berlaku (
1)
< (
2 ).
R dikatakan monoton turun tegas pada [a, b] jika untuk setiap
[ , ] dengan 1 < 2 berlaku ( e. Fungsi f turun jika fungsi – f naik.
1)
> (
2 ).
Teorema berikut menunjukkan hubungan turun atau naiknya suatu fungsi dengan nilai derivatifnya pada suatu interval. Teorema 2.7 Diberikan fungsi f : [a, b] R terdiferensial pada interval [a, b], maka:
′ ≥ ′ ≤
a. fungsi f naik pada [a, b] jika dan hanya jika
b. fungsi f turun pada [a, b] jika dan hanya jika
∈∈
0 untuk setiap 0 untuk setiap
[ , ] [ , ]
Bukti Bukti bagian a. (i) Syarat perlu
∈ ′ ∈
[ , ] dengan 1 < 2 berlaku ada untuk ( 1) ( 2 ). Diketahui pula f terdiferensial pada [a, b], berarti [ , ]. [ , ]. Ambil sembarang Diketahui f naik pada [a, b], berarti untuk setiap
≤ ∈
15
1, 2
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
≤ − ≤ − ≥ − ≥ − ≥ − − ≥ ′ → − − ≥ ′ ≥ ∈ ′ ≥ ∈ ∈ ′ − − ∈ ′ ≥ ′ − ≥ − ≤ < , karena f naik maka ( ) Akibatnya Jika
( ) sehingga ( )
> , karena f naik maka ( ) Akibatnya juga Jika
0
( )
0
0.
( ) sehingga ( )
( )
0.
Berdasarkan Teorema 12.9 (pada Buku Analisis Real I) maka diperoleh ( ) = lim 0.
0 untuk setiap
Karena c sembarang anggota [a, b], maka dapat disimpulkan
[ , ].
(ii) Syarat cukup
0 untuk setiap [ , ]. Ambil sembarang 1 , 2 [ , ] dengan 1 < 2 . Oleh karena f terdiferensial pada ( 1 , 2 ) dan f kontinu pada [ 1 , 2 ]. Selanjutnya dengan menggunakan TNR dapat dipilih titik ( 1 , 2 ) sehinga ( 2 2 1 = 1 ). 0 dan 1 < 2 maka ( 2 0, sehingga diperoleh Karena 2 1 = 1) ( 1) ( 2 ). Kesimpulannya fungsi f naik. Diketahui
Bukti bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Teorema berikut memberikan suatu syarat cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrem relative di titik interior pada suatu interval yang disebut uji derivative pertama. Teorema 2.8 Diberikan fungsi f : [a, b] R kontinu pada interval [a, b] dan c titik interior [a, b]. Misalkan f
∈ ∈
terdiferensial pada ( , ) dan ( , a. Jika terdapat ( , setiap b. Jika terdapat ( , setiap Bukti a. Jika
) , maka: [ , ] dengan sifat ( ) 0 untuk setiap ( + ) maka f mencapai maksimum relative di titik c. 0 untuk setiap ( [ , ] dengan sifat ( ) + ) maka f mencapai minimum relative di titik c.
∈ − ′ ≥
′ ≥ ′ ≤
∈ − ′ ≤ ∈ − ′ ≥ , ) dan
( )
0 untuk
, ) dan
( )
0 untuk
∈ ′ − − −≥ ≥ ∈ − ∈ − ∈ ′ − ′ ≤ −≤ ≥ ∈
Karena
(
, ), maka berdasarkan TNR terdapat ( , ) sehingga = . untuk setiap 0 maka diperoleh 0. Jadi
, ).
+ ), maka berdasarkan TNR terdapat ( , ) sehingga = . untuk setiap 0 maka diperoleh 0. Jadi ( , + ).
Demikian halnya jika Karena
(
( ,
Terbukti f mencapai nilai maksimum relative di c.
b. Bukti bagian b diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Untuk lebih memperjelas pemahaman Teorema 2.8 perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi
∈ −
= 3 2 + 6 untuk setiap [ 3,1]. Dengan menggunakan uji derivative pertama akan ditentukan nilai ekstrem relative fungsi f . bernilai real f yang didefinisikan dengan
16
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
′ ∈ − ∈ − ∈ ∈ − − ∈ −
[ 3,1]. Dapat ditentukan c = –1 dan = 1, sehingga jika ( , ) maka ( 2, 1), akibatnya diperoleh 0 untuk setiap ( 2, 1). ( , + ) maka ( 1,0), diperoleh 0 untuk setiap ( 1,0). Selanjutnya jika Jadi f mancapai minimum relative di c = –1. Perhatikan
= 6 + 6 untuk setiap
′ ≤ ′ ≥
∈∈ −− −
Penerapan Teorema Nilai Rata-rata (Ketidaksamaan)
≥ ∀∈ ∈ − − ′ − ≥ ∀ ∈ ∈ ′ − − −− −− − ∈ − − ≥ ∀ ≤ ∀ ≥ ∈ ′ − − − − ≤ ≤ ≤ −≤ ≤ − ≤ ≤ ≥ ∀ − ′ − ∀ − ∈ ′ − − − −
1. Buktikan bahwa
1+
.
Penyelesaian:
= kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 3 kasus, yaitu: Karena
a. Jika b. Jika
= 0 , maka benar 0 = 1 + 0 > 0 , dengan menggunakan TNR pada interval [0, ] terdapat 0 = ( 0) 0
(0, ) sehingga
=
0
Oleh karena
c.
Jika
(0, ) maka
= + =1+ > 1 , sehingga diperoleh
1+
< 0 , dengan menggunakan TNR pada interval [ , 0] terdapat 0 = (0 )
> 0. ( , 0) sehingga
0
Oleh karena Akibatnya
= ( ) 1 = < 1 , dan dikarenakan
( , 0) maka 1+ < 0.
2. Tunjukkan sin
> 0 , maka 1
<
.
0.
Penyelesaian:
= sin kontinu dan terdiferensial pada R maka TNR dapat digunakan untuk membuktikan ketidaksamaan tersebut. Selanjutnya akan ditunjukkan dalam 2 kasus, yaitu: a. Jika = 0 , maka benar sin0 = 0 (0, ) sehingga b. Jika > 0 , dengan menggunakan TNR pada interval [0, ] terdapat 0 = ( 0) sin sin 0 = (cos ) sin = (cos ) Oleh karena 1 cos yang berakibat , ini 1 maka cos sin ekuivalen dengan sin . Karena
3. Ketidaksamaan Bernoully Jika > 1 maka (1 + )
1+
,
>
1.
Bukti:
= (1 + ) , maka = (1 + ) 1 , > 1. Selanjutnya akan dibuktikan dalam 3 kasus, yaitu: a. Jika = 0 , maka benar (1 + 0) = 1 + . 0 b. Jika > 0 , dengan menggunakan TNR pada interval [0, ] terdapat (0, ) sehingga 0 = ( 0) Jika
(1 + )
17
1=
(1 + )
1
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
− ∈ − − − ∈ ′ − − − − − − − − − ∈ − − − − − − − − (1 + ) = 1 +
Jika c.
Jika
(0, ) dan karena
1<
1
(1 + )
1
> 1 , maka (1 + )
> 1 . Oleh karenanya
(1 + ) = 1 + (1 + ) 1 > 1 + < 0 , dengan menggunakan TNR pada interval [ , 0] terdapat 0 = (0 ) 1
Oleh karena
(1 + ) =
( , 0) sehingga
1
(1 + )
(1 + ) = 1 (1 + ) 1 ( , 0), dan karena > 1 , maka (1 + ) 1 < 1 . OLeh karenanya (1 + ) =
1
1
(1 + )
(1 + ) = 1 +
(1 + )
1
<
1
>1+
Sifat-sifat Nilai Tengah Derivatif Pada bagian ini diakhiri dengan memberikan suatu teorema menarik yang dikenal dengan teorema Darboux. Teorema tersebut menyatakan bahwa, jika fungsi bernilai real f terdiferensial
′
pada domainnya, maka fungsi
′
mengambil pada nilai A dan B maka setiap nilai Lemma 2.9 Diberikan interval diperoleh:
′ ′ −
,
′
mempunyai nilai tengah. Hal tersebut mempunyai maksud, jika
juga berada di antara A dan B.
, fungsi f : [a, b]
( ) > 0 maka terdapat bilangan < < + . b. Jika ( ) < 0 maka terdapat bilangan < < . a. Jika
∈
[ , ] dan f terdiferensial di c,
R ,
> 0 sehingga ( ) >
untuk setiap
> 0 sehingga ( ) >
untuk setiap
∈ ∈
[ , ] dengan [ , ] dengan
Bukti a. Bukti bagian a ini diserahkan kepada pembaca untuk latihan b. Jika
′ − → −
<0
maka
( )
lim
<0
berdasarkan sifat limit fungsi (Teorema 12.14 pada Buku Analisis Real I) maka terdapat sehingga
− ∀∈ ∩ ≠ − − ∈ − − ∈ − − − − − − − ( )
Berarti ada
Jika
< 0,
,
> 0 sehingga untuk setiap
[ , ] dan
<
<
maka
,
,
dengan 0 < ( ) < 0.
( )
.
<
berlaku
< 0 , sehingga diperoleh ( ) =( ) >0 >
18
>0 .
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
Teorema 2.10 (Teorema Darboux)
′ ′ ∈ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ − → ∀ ∈ ′ ′ −′ ′ −′∈ ′ ′ −′∈ − ∈ ′ −′ ′ ′ − − → − − ′ ∈ − −
Jika fungsi bernilai real f terdiferensial pada interval , dan k suatu bilangan di antara ( , ) sehingga = . dan maka terdapat paling sedikit satu titik
Bukti
<
Kemungkinan dapat terjadi (i)
untuk kemungkinan (i). Misalkan < <
<
. Didefinisikan fungsi :
=
,
<
. Kita buktikan
dengan
,
,
Karena f terdiferensial pada , maka f kontinu pada , . Perhatikan bahwa = maksimum pada
= untuk setiap karena <
<
atau (ii)
,
.
. Oleh karenanya g memiliki nilai < . Oleh karena maka
> 0 . Berdasarkan Lemma 2.9 bagian a, maka ada > 0 sehingga ( ) > ( ) [ , ] dengan < < + . Jadi ( ) bukan nilai maksimum g. Selanjutnya = < 0 . Berdasarkan Lemma 2.9 bagian b, maka ada > 0 maka
( ) > ( ) untuk setiap [ , ] dengan < < . Jadi ( ) juga bukan nilai maksimum g. Jadi nilai maksimum g tidak dicapai baik di a maupun di b. Oleh karena itu ada titik ( , ) sehingga ( ) maksimum, dan berdasarkan Teorema = 0. = = 0. Dengan demikian diperoleh = . Jadi sehingga
Contoh 2.11
Diberikan fungsi signum g yang dibatasi (restriksi) pada domain [ 1,1], : [ 1,1] , yaitu 1 , >0 = 0 , =0 1 , <0 Dapat dimengerti bahwa fungsi g tidak memenuhi sifat nilai tengah derivative pada [ 1,1]. Oleh karenanya menggunakan Teorema Darboux, tidak terdapat fungsi f sehingga setiap
= ( ) untuk
[ 1,1]. Dengan kata lain tidak ada fungsi pada [ 1,1] yang mempunyai turunan fungsi g.
LATIHAN 2 1. Tentukan ekstrem relative, interval dimana fungsi naik dan interval dimana fungsi turun a. b. c. d.
= = =
≠ ∈ − ≠ − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤− ∀ ∈ 1
+ ,
1
2 +1
0
,
2
=2 +
+2,
1
2
>0
0
,
2. Tentukan ekstrem relative fungsi-fungsi berikut dengan domain tertentu. a. b. c. d.
=
2
3
=1 = =
2
3
1,
4
(
1)2 , 0
12 ,
8,0
4
2
2
3
9
3. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa
sin
sin
,
19
,
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
Teorema Nilai Rata-rata
4. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa 1 < log < 1, untuk > 1
− − →′ ′ → → ≠ → ≠ ′
5. Diberikan : [ , ] bahwa, jika lim 6. Diberikan :
,
fungsi kontinu pada ( ) = , maka ( ) =
dan terdiferensial pada ( , ), Tunjukkan
didefinisikan dengan
+2
=
2
sin
1
,
0
0 , =0 Tunjukkan bahwa fungsi f mempunyai minimum mutlak di = 0 , tetapi derivatifnya mempunyai nilai positif dan negative di sekitar 0. 7. Diberikan :
didefinisikan dengan
=
+2
2
sin
1
,
0
0 , =0 0 = 1 , akan tetapi di sekitar 0 manapun derivatifnya mempunyai Tunjukkan bahwa fungsi nilai positif dan negative, jadi fungsi g tidak monoton di sekitar 0.
20
Thobirin – Herawan, Analisis Real II
