Rumus Statistik
Rata-rata Hitung (Mean)
Rata-rata atau Mean adalah ukuran statistik kecenderungan terpusat sama halnya seperti Median dan Modus.
Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata-rata hitung (aritmatik), rata-rata geometrik, rata-rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya disebut dengan kata "rata-rata" saja, maka rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung (aritmatik).
Penghitungan
Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu kelompok sampel acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut.
Jika dinotasikan dengan notasi sigma, maka rumus di atas menjadi:
Keterangan:
= rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
n = jumlah sampel
Contoh Penghitungan
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas. Kita bisa mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur tinggi badannya. Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa tersebut dalam ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata :
sehingga
Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa di kelas tersebut adalah 170,1 cm. Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel di halaman Menghitung Rata Dengan Microsoft Excel.
Contoh Soal No. 1
Hitunglah rata-rata dari data 6, 6, 4, 6, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 8!
Jawab:
Dari data tersebut dapat kita ketahui bahwa jumlah data adalah 11 (n = 11). Dengan menggunakan rumus kita dapat menghitung rata-ratanya.
Rata-rata dari data tersebut adalah 5,55.
Contoh Soal No. 2
Diberikan data sebagai berikut: 4, 3, 5, 4, 6, 3, 6, 7, 8, 7, 8, 8. Hitunglah rata-ratanya!
Jawab:
Jumlah data di atas adalah sebelas (n = 11). Rata-rata
Rata-rata dari data tersebut adalah 5,75.
Contoh Soal No. 3
Rata-rata nilai ujian matakuliah statistika 29 orang mahasiswa adalah 70. Ketika nilai ujian matakuliah statistika milik Andi digabungkan dengan nilai-nilai mahasiswa tersebut, rata-rata nilai naik menjadi 71. Berapakah nilai Andi tersebut?
Jawab:
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan menambahkan total keseluruhan nilai mahasiswa dengan nilai Andi kemudian dibagi dengan jumlah mahasiswa yang nilainya dijumlahkan (termasuk Andi).
Dari soal diketahui jumlah mahasiswa sebelum nilai Andi dimasukkan adalah 29 (n = 29) dan rata-ratanya adalah 70 ( = 70). Total keseluruhan nilai mahasiswa sebelum nilai Andi dimasukkan adalah
Dengan masuknya nilai Andi, jumlah mahasiswa bertambah menjadi 30 (n = 30) dan rata-rata nilainya naik menjadi 71 ( = 71). Selanjutnya nilai Andi dapat diketahui dengan memasukkan komponen yang baru tersebut pada rumus rata-rata.
Dengan demikian, nilai rata-rata Andi adalah 100.
Contoh Soal No. 4
Berikut ini adalah data nilai mahasiswa untuk mata kuliah statistika, nilai mahasiswa diurutkan dari yang terendah ke yang tertinggi: 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9. Menurut pertimbangan dosen, mahasiswa harus mengulang ujian kembali untuk memperbaiki nilai apabila nilai yang mereka dapatkan berada di bawah rata-rata. Berapa orangkah yang harus memperbaiki nilainya tersebut?
Jawab:
Sebelum menghitung jumlah mahasiswa yang harus memperbaiki nilainya, kita harus menghitung dulu rata-rata nilai tersebut. Diketahui banyaknya data adalah 20 (n = 20), sehingga nilai rata-ratanya dapat dihitung sebagai berikut.
Rata-rata nilai mahasiswa adalah 6, dengan demikian mahasiswa yang harus mengulang ujian adalah mahasiswa yang nilainya berada di bawah 6. Jumlah mahasiswa yang nilainya di bawah 6 adalah 8 orang.
Contoh Soal No. 5
Sebuah keluarga memiliki 8 orang anak, yaitu A, B, C, D, E, F, G, H. Umur A adalah 2x + 1 tahun, umur B adalah x + 1 tahun, umur C, D, E, F, G dan H berturut-turut adalah x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, x + 6 dan x + 7 tahun. Jika rata-rata umur semua anak tersebut adalah 7. Berapakah umur A?
Jawab:
Umur A adalah 2x + 1, dimana untuk menghitungnya, nilai x harus kita ketahui terlebih dahulu. Dari soal diketahui rata-rata umur adalah 7 dan banyaknya data adalah 8 (n = 8). Jika komponen-komponen yang diketahui dalam soal di atas dimasukkan ke dalam rumus rata-rata, maka
Nilai x adalah 3, dengan demikian umur A adalah 2(3) + 1 = 7 tahun.
Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)
Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman (variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan akar kuadrat dari varian.
Oleh karena itu, jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman dari suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, selanjutnya semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.
Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, selanjutnya dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai positif.
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan ukuran data (n).
Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian sampel.
Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilai varian sampel mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian sampel menjadi:
Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Misalkan satuan nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi (simpangan baku).
Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku) tersebut bisa diturunkan :
Rumus varian :
Rumus standar deviasi (simpangan baku) :
Keterangan:
s2 = varian
s = standar deviasi (simpangan baku)
xi = nilai x ke-i
= rata-rata
n = ukuran sampel
Contoh Penghitungan
Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data tersebut diketahui bahwa jumlah data (n) = 10, dan (n - 1) = 9. Selanjutnya dapat dihitung komponen untuk rumus varian.
Dari tabel tersebut dapat ketahui:
Dengan demikian, jika dimasukkan ke dalam rumus varian, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,32.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.
Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel. Lihat artikel:
Menghitung Varian Sampel dengan Microsoft Excel
Menghitung Standar Deviasi Sampel dengan Microsoft Excel
Menghitung Varian dan Standar Deviasi Secara Manual
Rata-rata Hitung Data Berkelompok
Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.
Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu dengan menggunakan titik tengah, menggunakan simpangan rata-rata sementara dan menggunakan kode (coding). Rumus ketiga cara penghitungan rata-rata data berkelompok tersebut adalah sebagai berikut.
1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
Rumus yang digunakan adalah
2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara
Rumus yang digunakan adalah
dimana
3. Menggunakan pengkodean (coding)
Rumus yang digunakan adalah
Keterangan:
= rata-rata hitung data berkelompok
= rata-rata sementara
fi = frekuensi data kelas ke-i
xi = nilai tengah kelas ke-i
ci = kode kelas ke-i
p = panjang interval
Contoh Penghitungan
Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!
Jawab:
1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.
Dari tabel di atas diperoleh
Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.
2. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara
Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya.
Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah
3. Cara coding
Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.
Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini.
Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut.
Dari ketiga cara mencari rata-rata data berkelompok di atas, metode menggunakan titik tengah atau cara biasa merupakan metode yang paling banyak digunakan karena proses penghitungannya sangat mudah. Oleh karena itu untuk penghitungan-penghitungan selanjutnya sangat disarankan untuk menggunakan tersebut.
Contoh Soal No. 1
Nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah sebagai berikut.
Hitunglah rata-rata dari nilai mahasiswa tersebut!
Jawab:
Rumus yang digunakan untuk mencari rata-rata data berkelompok di atas adalah
Untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus tersebut, kita harus mencari komponen-komponen dari rumus tersebut yaitu komponen fi xi dan komponen fi.
Dari tabel di atas, komponen fi xi dan komponen fi, yaitu
Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.
Rata-rata nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah 64,36.
Median Data Berkelompok
Pada data tunggal, penghitungan median cukup mudah. Data diurutkan berdasarkan nilai datanya mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar. Kemudian median bisa diketahui langsung dari nilai tengah urutan data tersebut.
Namun pada data berkelompok, cara tersebut tidak bisa digunakan. Data berkelompok merupakan data yang berbentuk kelas interval, sehingga kita tidak bisa langsung mengetahui nilai median jika kelas mediannya sudah diketahui.
Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus berikut ini.
Me = median
xii = batas bawah median
n = jumlah data
fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median
fi = frekuensi data pada kelas median
p = panjang interval kelas
Contoh Soal No. 1
Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai sampel dalam penelitian kesehatan di sebuah universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat badan disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini.
Hitunglah median berat badan mahasiswa!
Jawab:
Sebelum menggunakan rumus di atas, terlebih dahulu dibuat tabel untuk menghitung frekuensi kumulatif data. Tabelnya adalah sebagai berikut.
Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan digunakan pada rumus.
Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di antara data ke 13 dan 14. Data ke-13 dan 14 ini berada pada kelas interval ke-4 (61 – 65). Kelas interval ke-4 ini kita sebut kelas median.
Melalui informasi kelas median, bisa kita peroleh batas bawah kelas median sama dengan 60,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah 9, dan frekuensi kelas median sama dengan 5. Diketahui juga, bahwa panjang kelas sama dengan 5.
Secara matematis bisa diringkas sebagai berikut:
xii = 60,5
n = 26
fkii = 9
fi = 5
p = 5
Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunakan rumus median data berkelompok.
Sehingga median berat badan mahasiswa adalah 64,5 kg.
Contoh Soal No. 2
Berikut ini adalah data berat badan 50 orang mahasiswa jurusan statistika yang telah dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval berat badan. Hitunglah median berat badan mahasiswa tersebut.
Jawab:
Hitung terlebih dahulu frekuensi kumulatif dari data tersebut. Selanjutnya tentukan kelas interval yang memuat median data.
Karena jumlah data (mahasiswa) adalah 50, maka median data terletak pada data ke-25 dan data ke-26.
Dari hasil penghitungan frekuensi kumulatif di atas, dapat kita ketahui bahwa median terletak pada kelas interval ketiga, yaitu kelas interval 70 – 74. Frekuensi kelas interval dimana median terletak adalah 15, sedangkan frekuensi kumulatif sebelum kelas interval median adalah 16.
Selain itu dapat kita ketahui juga bahwa panjang interval adalah 5 dan batas bawah kelas median adalah 69,5.
Secara matematis, nilai-nilai tersebut dapat kita tulis dalam notasi sebagai berikut.
xii = 69,5
n = 50
fkii = 16
fi = 15
p = 5
Dengan menggunakan rumus median data berkelompok di atas, kita dapat mengetahui median berat badan mahasiswa.
Dengan demikian median berat badan mahasiswa jurusan statistika adalah 72,5 kg.
Rentang (Range)
Dalam sekelompok data kuantitatif akan terdapat data dengan nilai terbesar dan data dengan nilai terkecil. Rentang (range) atau disebut juga dengan jangkauan adalah selisih antara data dengan nilai yang terbesar dengan data denga nilai yang terkecil tersebut.
R = xb – xk
R = Rentang
xb = nilai data tang terbesar
xk = nilai data tang terkecil
Modus Data Berkelompok
Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak.
Namun nilai yang dihasilkan dari nilai tengah kelas interval ini adalah nilai yang kasar. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.
Mo = modus
b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang kelas interval
b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya
b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya
Contoh:
Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi sebuah universitas.
Berapakah modus nilai statistik mahasiswa tersebut?
Jawab:
Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) karena kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27. Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas interval sama dengan 5.
Dengan begitu bisa kita menghitung modus nilai statistik mahasiswa sebagai berikut.
