Rata Rata Simpangan Dan Simpangan Baku

TUGAS STATISTIK  RATA RATA RATA RATA SIMPANGAN DAN SIMPANGAN BAKU BAK U

DISUSUN OLEH : Hengki Adi Saputra 11!1"#1

%$DOSEN PEMBIMBING : Se&'i Ri(a)ati* M+Pd

PROGRAM STUDI EKONOMI ISLAM

,AKULT ,AKULTAS AS S-ARIAH DAN EKONOMI ISLAM INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI IAIN .BENGKULU/ #$1

RATA RATA SIMPANGAN DAN SIMPANGAN BAKU

Barangkali ukaran simpangan yang paling banyak digunakan dalah Simpangan baku  atau deviasi standar. Simpangan baku data sampel disimbul dengan s, sedangkan untuk populasi diberi simbul σ (baca : sigma). Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x 1, x2, . . . , x n dan rata

rata

 x

Σ( x i −  x) 2 n −1

, maka statistik s dihitung dengan: s !

"angkat dua dari simpangan baku dinamakan varians.

Simpangan baku s dihitung sebagai berikut 1). #itung ratarata

 x

2). $entukan selisih x1 

 x

, x2 

 x

, . . . , x n 

 x

%). $entukan kuadrat selsisih tersebut, yakni (x 1   x

 x

)2, (x2 

 x

)2, . . . , (xn 

)2

&). 'uadratkuadrat tersebut diumlahkan ). Jumlah tersebut dibagi oleh (n * 1) +). alu diambil akarnya yang positi-.



0nt2 :

iberikan sampel dengan data : /, 0, 1, 11, &. ntuk menentukan simpangan baku s, kita buat tabel berikut:

xi /

xi  

 x

(xi  

 x

)2

Rata-rata  = 8, dari kolom (2), bahwa Σ (xi - ) = 0. Karena itulah di sini diambil kuadratnya yang dituliskan ada kolom (!). "idaat Σ (xi - )2 = !0.  x

 x

0

  1

1

1

2

&

11

%

3

&

&

1+

 x

%

didapat : S !

o

&

=

0,)

 ! 2,0&.

2

Bentuk lain untuk rumus varians ialah : s  !

nΣx i

− (Σ xi ) 2 n(n − 1) 2

"ada rumus ini tidak perlu dihitung ratarata.

xi /

xi2 +&

0

&3

1

1

11

121

"ihasilkan Σ xi = #0 dan Σ (xi2 = !$0. "engan n = $, didaat %arians  x% − ( &)  x &  s = = 0,  dan s = 0,) = 2,&#. 2

& & o

2

1+ %

ntuk data dari sampel telah disusun dalam da-tar distribusi -rekuensi, 4arians s2 dipakai rumus : s2 !

Σ- i ( xi −  x) 2 n −1

 atau s2 !

nΣ- i x i

− (Σ f i xi ) 2 n(n − 1) 2

ntuk: xi ! tanda kelas, - i ! -rekuensi yang sesuai dengan tanda kelas x i n ! ∑- i.



5ontoh :

ntuk menghitung 4arians s 2 dari data dalam a-tar

67 (2) tentang

kelembaban selama / hari. ntuk lebih mudahnya digunakan rumus kedua.



ntuk menggunakan 8umus di atas maka dibuat tabel pembantu seperti di  ba9ah ini :

'elembaban

- i

xi

xi2

1

%,

12+,2

%,

1.2+,2

&&0%/,/0

&1 

2

&,

20,2

3,

&.1&,

1//%&2,0

1 * +



,

%/,2

200,

1.&1,2

/1&0+3,%0

+1 * 0

1

+,

&23,2

3/2,

+&.%%,0

01 * /

2

0,

0,2

1//0,

1&2.+,2

/1 * 3

2

/,

0%1,2

101,

1&+.2,

3 * 1 Jumlah

12 /

3, 

312,2 

11&+, +1%,

13.&&%, &/%.%1,

(x) %1  &

- ixi2

- ixi

- ixi%

ari tabel didapat : n ! ∑ - i ! /, ∑ - ixi ! +.1% dan ∑ - ixi2 ! &/%.%1.  s

Sehingga diperoleh 4arians:



2

=

/ x &/%.%1 − (+.1%) / x03

Cara koding , seperti ketika menghitung ratarata

 x

2

= 102,1

, l dapat digunakan

 uga di sini sehingga perhitungan akan lebih sederhana. 8umusnya adalah : 2

2

s  ! p

 nΣ f i ci 2 − (Σ f i ci ) 2         n ( n 1 ) −    

dengan :  p ! panang kelas inter4al, ci ! nilai koding, dan n ! ∑- i.



0nt2 :

ntuk data di atas, ika dipakai 8umus 67 (3) ini, maka diperlukan tabel  berikut :

dst

&

- ici &

- ici2 1+

&,

%

+

1/



,

2

1

2

+1 * 0

1

+,

1

1

1

01 * /

2

0,







/1 * 3

2

/,

1

2

2

'elembaban (x) %1  &

-6  1

x6 %,

&1 

2

1 * +

c6

3 * 1 12 3, 2 2& &/ Jumlah /   3 1%0 2 ari tabel didapat p ! 1, n ! ∑- i ! /, ∑- ici ! 3 dan ∑- i ci ! 1%0, sehingga didapat 4arians.

 / x1%0 − (3) 2 s  ! (1)    / x03 2



2

      = 102,1  

#asilnya sama dengan bila digunakan sebelumnya. sebenarnya yang terakhir didapat dari yang pertama dengan menggunakan transpormasi c i !  x i

−  x   p

 berdasarkan si-at :

1) Jika tiap nilai data x i ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka simpangan baku s tidak berubah.

2) Jika tiap nilai data x i dikalikan dengan bilangan yang sama d, maka simpangan bakunya menadi hal d kali simpangan baku yang asal. o

 Simpangan baku gabungan. Jika terdapat k buah subsampel :

Subsampel 1 : berukuran n 1 dengan simpangan baku s 1 Subsampel 2 : berukuran n 2 dengan simpangan baku s 2 . Subsampel k : berukuran n k  dengan simpangan baku s k 

merupakan sebuah sampel berukuran n ! n 1 ; n2 ; ; nk , maka simpangan  baku untuk sampel ini merupakan  simpangan baku gabungan  yang dihitung dengan rumus :

s2 !

2

s  !

∑(ni − 1) si2 ∑ ni − k  (n1

 atau lengkapnya

− 1) s12 + (n2 − 1) s22 + ... + (nk  − 1) s k 2 n1 + n2 + ... + nk  − k 

dengan s2 berarti 4arians gabungan.

o

Contoh :

#asil pengamatan pertama terhadap 1& obyek memberikan s ! 2,0 sedangkan  pengamatan yang kedua kalinya terhadap 2% obyek menghasilkan s ! %,%/.
2

s  !

(1& − 1)( 2,0) 2

+ (2% − 1)(%,/) 2 = /,001/ 1& + 2% − 2

sehingga simpangan baku gabungan s ! 2,3+

Angka Baku dan Ke3i4ien 5aria4i 6 o

 Satuan simpangan baku.
x1, x2,  , xn sedangkan rataratanya ! dirumuskan stuan simpangan baku::  =i !

 xi

−  x  s

 untuk i ! 1, 2, , n (1)

 x

dan simpangan baku ! s.,

o

 Angka baku atau angka standar  adalah distribusi baru, yang mempunyai rata

rata

 x 

 x 

dan simpangan baku s  yang ditentukan. dirumus : = i !

  x −  x     (2) +  s   i    s    

"erhatikan bah9a untuk

 x   !

 dan s  ! 1, 8umus (2) menadi 8umus (1),

sehingga angka = sering pula disebut angka standar.



5ontoh :

1) alam psikologi, test >echslerBelle4ue diubah ke dalam angka baku dengan ratarata ! 1 dan simpangan baku ! %.

2) $est 'lasi-ikasi mum $entara di ?merika biasa diadikan angka baku dengan ratarata ! 1 dan sipangan baku ! 2

%) @Araduate 8ecord xaminationC di S? dinyatakan dalam angka standar  dengan ratarata !  dan simpangan baku ! 1



?ngka baku dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi ses uatu hal.



0nt2 :

Seorang mahasis9a mendpat nilai /+ pada uian akhir matematika dimana ratarata dan simpangan baku kelompok, masingmasing 0/ dan 1. pada uian akhir statistika dimana ratarata kelompok /& dan simpangan baku 1/, ia mendapat nilai 32. alam mata uian mana ia mencapai kedudukan yang lebih  baikD



 Jawab : engan rumus 7(11) didapat : untuk matematika = ! untuk statistika

=!

/+ − 0/ 1 32 − /& 1/

= ,/ = ,&&


 /+ − 0/  = 11+      1    32 − /&   = 1/,3     1/  

= ! 1 ; 2 

untuk statistika

alam sistem ini ia lebih unggul dalam matematika.

o

kuran 4ariasi atau dispersi yang diuraikan dalam bagianbagian lalu merupakan dispersi absolut . 7ariasi  cm untuk ukuran arak 1 m dan 4ariasi  cm untuk ukuran arak 2 m elas mempunyai pengaruh yang  berlainan. ntuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan 4ariasi antara nilainilai besar dan nilainilai kecil, digunakan dispersi relatif  yang ditentukan oleh : ispersi 8elati- !

o

 DispersiAb solut   Rata − rata

Jika untuk dispersi absolut diambil simpangan baku, maka didapat koefisien variasi, disingkat '7. dirumuskan dalam persen. Jadi diperoleh : '7 ! SimpanganBaku rata − rata

o

 x1E

'oe-isien 4ariasi tidak tergantung pada satuan yang digunakan, karenanya dapat dipakai untuk membandingkan 4ariasi relati- beberapa kumpulan data dengan satuan yang berbeda.



0nt2 :

Semacam lampu elektron ratarata dapat diapakai selama %. am dengan simpangan baku 1. am. ampu model lain rataratanya 1.  am dengan simpangan baku 2. am. ari sini mudah dihitung :

1.

'7 (lampu pertama) ! '7 (lampu kedua)

!

%.

 x1 E = %E

2. 1.

 x1E = 2E

$ernyata lampu kedua secara relati- mempunyai masa pakai yang lebih uni-orm.

Simpangan baku (Standard de4iation) adalah suatu nilai yang menunukan tingkat ( deraat ) 4ariasi kelompok atau ukuran standart penyimpangan dari reratanya. Simbol simpangan baku populasi adalah

σ    atau σ   n

sedangkan untuk sampel ( s, sd, atau

σ  

n1 ). "ada prinsipnya perhutungan simpangan baku sama dengan perhitungan lain pada ukuran pemusatan dimana terdapat perbedaan -ormula maupun cara perhitungan untuk  data tunggal dan data berkelompok. ?dapun cara perhitungannya adalah sebagai berikut : 1. "erhitungan simpangan baku untuk data tunggal. Simpangan baku untuk data tunggal dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

σ   n1

!

∑

 x

2

−

( ∑ x ) 2 n

n −1

atau

s!

∑ x

2

n −1

5ontoh : ata kemampuan dosen Fakultas G sebagai berikut :

 Ho. 1 2 % &  + 0 / 3 1

G 0 0 / / + 0 1 3 3 0

G  2 +2 &3 +& 022 %+ +2 1 /1 32 +2

∑

n ! 1

σ   n1

∑ x

!

2

−

∑

G ! /

( ∑ x) 2 n

++12 −

 !

1%22, 3

=

( /) 2 1

1 − 1

n −1

!

G  2 ! ++12

1&+,3 ! 12,12

8umus yang digunakan di atas adalah rumus angka kasar. i samping rumus tersebut, masih ada rumus lain yang dipakai untuk menghitung standar de4iasi sebagaimana terlihat dalam contoh berikut :

 Ho.

G

1 2 % &  + 0 / 3 1 n ! 1

∑

( X   −

x , 1, , &, 2, , 13, 3, 1&, , 

0 0 / / + 0 1 3 3 0 G ! /

G  2

X  )

∑

%,2 11,2 ,2 2,2 &2,2 %,2 %/,2 3,2 21,2 %,2 G  2 ! 1%22,

'emudian dilakukan perhitungan ratarata sebagai berikut :  X    !

∑  X  n

!

/ 1

! /,. Setelah diketahui rerata, berikutnya dilakukan

 perhitungan simpangan baku dengan rumus de4iasi sebagai berikut : s!

2.

∑ x

2

n −1

 !

1%22, 1 − 1

!

1&+,3

! 12,12

"erhitungan simpangan baku untuk data bergolong. "erhitungan simpangan baku untuk data bergolong dapat dilakukan dengan menggunakan -ormula sebagai berikut :

∑  fx − ∑  f   − 1 ∑  f   − 1 2

σ  

n

 !

−1

( ∑  fx) 2

∑  fx ∑  f   − 1 2

atau

s!

Berikut ini adalah nilai uian pengantar statistik Sosial mahasis9a program ekstensi 6lmu ?dministrasi Hegara F6S6"H5H : +, +%, ++, ++, +0, +0, +0, +/, 0, 0,01, 01, 02, 02,02,02,0%, 0%, 0&, 0&,0&, 0&, 0&, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0+, 0+, 00, 00,00, 0/,0/,0/, 0/,0/,0/, 03, 03, /, /, /, /, /, /1, /1, /1, /2,/2, /%, /%, /&, /&, /&, /&, /, /, /0, /0, /0, /3, /3, 3, 3%, 3&, 3&. Setelah melalui proses pembuatan distribusi -rekuensi, data tersebut selanutnya dimasukan dalam tabel sebagai berikut : Ta7e& Di4tri7u4i ,rekuen4i Ni&ai U8ian Stati4tika S4ia& Ma2a4i4)a Prgra9 Eten4i I&9u Ad9ini4tra4i Negara ,ISIP;UN0EN Titik N+

Ni&ai

1 2 % &  + 0

+ +& +  +3 0  0& 0  03 /  /& /  /3 3  3&

∑

3 

tenga2

2 + 1 2 1+ 0 &

.
- ! 0

∑

3

  2

12& &2 1/ 1& 1%12 +3 %+/

%/&& &&/3 1/& 323 +02& 0+3 /&+& 

-x

!

3  2

∑

0+// 2+3%& 000+ 11// 10/& 23/% %%/+ -x  2  ! &2%/

&%

σ  

n

−1

 !

∑

  fx

2

−

( ∑  fx) 2

∑  f   − 1  !

∑  f   − 1

&2%/ −

( &%) 2

0 − 1  ! 0 − 1

&3,+&

! 0,&

"erhitungan di atas merupakan cara menghitung standar de4iasi dengan angka kasar  ( Raw Score). ?da cara lain untuk menghitung standar de4iasi yang hasilnya akan sama dengan cara pertama yakni dengan rumus de4iasi. ?dapun cara perhitungan dimaksud adalah seperti berikut ini : Ta7e&

Di4tri7u4i ,rekuen4i Ni&ai U8ian Stati4tika S4ia& Ma2a4i4)a Prgra9 Eten4i I&9u Ad9ini4tra4i Negara ,ISIP;UN0EN Bata4 ke&a4 N+

Ni&ai

1 2 % &  + 0

+ +& +  +3 0  0& 0  03 /  /& /  /3 3  3&

3 

.
2 + 1 2 1+ 0 &

+&, +3, 0&, 03, /&, /3, 3&,

∑

- !

∑

0

G!

(< ;  X   )  1 1    1 1 

  2

22 1 2  2 1 22 

-x  2

∑

0+// 2+3%& 000+ 11// 10/& 23/% %%/+ -x  2  ! %&2

+,

Setelah pengelompokan data dalam tabel distribusi -rekuensi, selanutnya dicari ratarata dengan mengacu pada batas kelas. "roses perhitungannya adalah sebagai berikut :

!

∑  X  n

+,

!

0

 X  

= 03, . Berdasarkan nilai mean tersebut, selanutnya dilengkapi

nilainilai dalam tabel. Setelah mendapatkan nilainilai yang dikehandaki oleh rumus untuk perhitungan simpangan baku, maka akan dilakukan perhitungan simpangan baku sebagai berikut :

∑  fx ∑  f   − 1 2

s!

!

%&2 0 − 1

!

&3,+&

 ! 0,&

DA,TAR PUSTAKA

Supranto, J. 2/. Statistik eori dan Aplikasi. rlangga: Jakarta.

>iboso, Iusu-. 2. !etode Statistik. Aaah
aan, ?nto. 1302. "engantar !etode Statistik  Jilid 6."%S Jakarta

#arini, sri dkk. 20. !etode Statistika. "restasi "ustaka: Jakarta

Sudiono, ?nas. 2&.  "engantar Statistik "endidikan. 8aa Ara-indo "ersada : Jakarta.