12. Rangkaian Listrik II Nilai Sesaat Nilai Puncak Nilai Efektif Dan Nilai Rata Rata Fungsi Sinusoida

12.

Rangkaian Listrik II NILAI SESAAT, NILAI PUNCAK , NILAI EFEKTIF DAN NILAI RATA-RATA FUNGSI SINUSOIDA

12.1

Fungsi-Fungsi Pri!"ik Sebuah fungsi periodik secara matematis didefinisikan : f(t) = f( t + nT )

……………….( 12-1 )

dimana : n = sebuah biangan buat T = periode !entuk-bentuk geombang geombang periodik "ang umum# ditun$ukkan pada gambar 1.

Gambar 1

%ika fungsi adaah periodik# paing tidak daam satu periode digambarkan sebuah geombang. geombang. &rafik dari '(t)# i(t)# dan p(t) berturut-turut merupakan merupakan bentuk geombang dari tegangan# arus dan da"a# "ang dapat merupakan fungsi-fungsi periodik dan fungsi-fungsi "ang tidak periodik. ungsi-fungsi tegangan '(t)# fungsi arus i(t) merupakan pern"ataan matematis "ang sering diberikan daam beberapa bentuk# misan"a misan"a : fungsi sinus dan cosinus. eru eru ditekanka ditekankann bah*a bah*a persamaa persamaann dasar dasar "ang berhubungan berhubungan dengan arus dan tegang teg angan an unt untuk uk tiga tiga eemen eemen rangka rangkaia iann bera beraku ku tan tanpa pa me mempe mperha rhatik tikan an bentu bentukk matematisn"a. 12.1.1

Ni#ai Ssaat iai sesaat , adaah niai "ang berubah-ubah terhadap *aktu didaam suatu periode tertentu. isan"a tegangan tegangan '(t)# arus arus i(t) dan da"a da"a p(t) merupakan merupakan tegangan# arus# dan da"a da"a sesaat. &ambar 1 menun$ukkan niai sesaat dari suatu geombang periodik.

12.1.2

Ni#ai $aksi%u% & Ni#ai Pun'ak ( iai maksimum atau niai puncak : adaah ampitudo tertinggi dari suatu geombang periodik daam satu periode.

PUSAT PENGE$)ANGAN PENGE$)ANGAN )A*AN ) A*AN A+AR-U$)

Ir. S.O.D. Li%!ng

RANGKAIAN LISTRIK II

1

12.1.

Ni#ai Rata-Rata ungsi periodik periodik umum f(t)# dengan periode periode T# mempun"ai suatu niai niai rata-rata / a'# "ang diberikan oeh persamaan : 1

T

/a' = ----- 0 f(t) dt T

……………….( 12-2 )



!entuk-bentuk geombang geombang dengan simetris setengah geombang# geombang# "aitu : f(t) = - f( t +  T )# seperti ditun$ukkan pada gambar 2 mempun"ai mempun"ai niai rata-rata rata-rata no.

Gambar 2

Saah satu contoh bentuk geombang $enis ini adaah geombang sinusoida# dimana niai rata-rata / a' dihitung pada niai positif dari setengah periode dan kadang-kadang disebut rata-rata setengah periode. 12.1.3

Ni#ai Ekti & R!!t $an $an Suar, R$S ( Sebuah arus i(t) "ang mengair pada tahanan murni 4# akan menghasikan da"a sesaat p(t)# dengan niai rata-rata rata-rat a . 5a"a rata-rata  ini dapat dihasikan daam tahanan 4 oeh arus 6 "ang besarn"a konstan. %adi arus i(t) i(t) dikatakan mempun"ai mempun"ai niai niai efektif 6 rms "ang eki'aen terhadap arus konstan ini. 5engan cara "ang sama# beraku untuk fungsi tegangan dimana niai efektifn"a adaah 7rms. ungsi periodik umum f(t)# dengan periode T# mempun"ai niai efektif / rms "ang diberikan oeh persamaan : 1 /rms =

T

----- 0 f(t) 2 dt T


……………….( 12- )





2

12.2

Fungsi-Fungsi Sinus!i"a

12.2.1

Ni#ai Ssaat Arus "an Tgangan 8rus i(t) = 6m sin ( 9t +  )# atau i(t) = 6m cos ( 9t +  ) Tegangan Tegangan '(t) = 7m sin ( 9t 9t + ; )# atau '(t) = 'm cos ( 9t + ; )# adaah sebuah arus dan teg tegang angan an "ang "ang berub berubahah-ub ubah ah terhad terhadap ap *aktu *aktu secara secara sinuso sinusoid ida# a# sepert sepertii ditun$ukkan pada gambar . v(t), i(t)

v(t), i(t)

Vm; Im

Vm; Im t

t

Gambar 3

8rus i(t) dan tegangan '(t) berturut-turut merupakan niai sesaat dari arus dan tegangan sinusoida. 12.2.2

Ni#ai $aksi%u% Arus "an Tgangan Tgangan iai maksimum maksimum arus i(t) = 6 m sin ( 9t 9t +  )# atau i(t) = 6 m cos ( 9t +  ) dan tegangan '(t) = 7m sin ( 9t + ; )# atau '(t) = 7 m cos ( 9t + ; ) adaah ampitudo ampitudo "ang "ang paing besar daam daam suatu periode# "aitu "aitu : I% dan /$.

12.2.

Ni#ai Rata-Rata Arus "an Tgangan Tgangan
%adi

untuk menghitung niai rata-rata fungsi sinusoida diakukan pada niai positif dari setengah periode ( setengah geombang ). 12.2.3

Ni#ai Ekti Arus "an Tgangan Tgangan Seperti diketahui bah*a tegangan pada termina keuar (

outlet

) da"a "ang tersedia

dirumah-rumah dirumah-rumah adaah tegangan sinusoida "ang mempun"ai frekuensi

 >? dan

tegangan 22 7. Tegangan 22 7 ini sudah tentu bukan merupakan niai sesaat dari tegangan# karena tegang teg angan an sesaa sesaatt bukan bukan sebuah sebuah konsta konstanta nta dan dan $uga $uga bukan bukan me merup rupaka akann harga harga maksimum 7m. %ika bentuk geombang tegangan tersebut diperihatkan diperihatkan pada sebuah osi osios osko kopp sina sinarr kato katoda da "ang "ang tea teahh dika dikaiibr bras asi#i# akan akan dipe dipero roe ehh bah* bah*aa harg hargaa maksimum tegangan pada outet da"a adaah 22 @ 2 atau 11 'ot. PUSAT PENGE$)ANGAN PENGE$)ANGAN )A*AN ) A*AN A+AR-U$)





Aita $uga dapat men"esuaikan konsep rata-rata kepada 22 'ot# karena harga ratarata dari sebuah geombang sinusoida adaah no. iai 22 'ot adaah niai efektif dari tegangan sinusoida. iai efektif adaah ukuran keefektifan dari sebuah sumber tegangan daam memberikan da"a pada sebuah beban tahanan. -

Ni#ai Ekti Arus Pri!"ik iai efektif dari setiap arus periodik : adaah sama dengan harga dari arus searah "ang mengair meaui tahanan 4# "ang memberi da"a sama kepada tahanan 4 seperti "ang diberikan oeh arus periodik . 5engan perkataan ain :

-

membiark membiarkan an arus arus period periodik ik "ang "ang ddiber iberikan ikan mengai mengairr meaui meaui taha tahanan nan sebar sebarang ang 4# tentukan da"a sesat i2 R dan cari harga rata-rata dari i2 R pada suatu periode ( da"a rata-rata ).

-

Aemu Aemudi dian an suat suatuu arus arus sear searah ah dia diair irka kann me mea au uii taha tahana nann 4 "ang ang sama sama dan dan mengatur harga arus searah sampai diperoeh da"a rata-rata "ang sama. !esarn"a arus searah tersebut merupakan niai efektif dari arus periodik "ang diberikan dan gagasan ini ditun$ukkan pada gambar 3. i (t )

Ieff

+ v( t )

+ R

~

R

Veff

-

-

a

b Gambar 4

5ari 5ari gamba gambarr 3 : %ika %ika tahana tahanann tahanan tahanan 4 mene menerim rimaa da"a da"a rata-ra rata-rata ta "ang "ang sama sama pada pada gam gambar bar 3a dan gambar gambar 3b# 3b# maka maka harga harga efe efekti ktiff dari dari arus i(t) adaah 6 eff # dan harga efektif dari tegangan '(t) adaah 7eff . 5a"a rata-rata rata-rata "ang "ang diberikan diberikan arus periodik periodik i(t) pada tahanan tahanan 4 ( gambar gambar 3a) adaah : 1

T

 = ----- 0 i2 4 dt T 


4 T = ----- 0 i2 dt

………………..( B )

T 



3

5a"a rata-rata "ang diberikan oeh arus searah pada tahanan 4 ( gambar 3b) adaah :  = 6eff 2 4

……………….(BB)

ersamaan ( B ) = persamaan ( BB )# diperoeh : 4

T

1 T

6eff 2 4 = ----- 0 i2 dt T

6eff 2 = ----- 0 i2 dt



T 

1 T I 0

----  i2 "t

………………...(12-3 )

T  5ari persamaan ( 12-3 ) dapat diihat bah*a 6 eff tidak bergantung pada niai tahanan 4. -

Ni#ai Ekti Tgangan Tgangan Pri!"ik
/ 0

………………..( 12- )

T  Catatan :

niai efektif sering disebut dengan niai akar kuadrat rata-rata atau disingkat niai 4S ( 4oot-ean SDuare 'aue ).

-

Ni#ai Ekti )ntuk G#!%ang Sinus!i"a

a. Arus Sinus!i"a !entuk !entuk umum umum arus arus sinusoi sinusoida da : i(t) = 6m cos ( 9t +  )# mempun"ai periode T = 2 EF9 dari persamaan ( 12-3 ) niai efektifn"a : 1 T 6eff =

---- 0

1 T i2 dt

----- 0 6m2 cos2 ( 9t +  ) dt

=

T 

T  2 EF9

6eff = 6m

( 9 F 2 E ) 0 G  +  cos ( 2 9t + 2  ) dt  2EF9

6eff = 6m

(9F3E) G t H 


6m = ---------

atau 6m = @ 2 6eff

@2 Ir. S.O.D. Li%!ng




>ubungan antara arus efektif dan arus maksimum : I% I 0 -------

atau

I % 0 4 2 I

………………..( 12-I )

42 b. Tgangan Sinus!i"a !entuk umum tegangan sinusoida : '(t) = 7m cos ( 9t + ; )# mempun"ai periode T = 2 EF9 5engan cara "ang sama akan diperoeh bah*a : /% / 0 -------

atau

/ % 0 4 2 /

………………..( 12-J )

42 5ari persamaan ( 12-I ) dan ( 12-J ) dapat diihat bah*a : iai efektif arus dan tegangan sinusoida adaah sebuah kuantitas rie "ang tidak bergantung pada sudut fasa dan secara numerik sama dengan #JJ kai niai maksimumn"a. Catatan : Catatan : -

5aa 5aam m prak prakte tek# k# nia niaii efek efektitiff bias biasan an""a dipa dipaka kaii daa daam m bida bidang ng tran transm smis isii atau atau distribu distribusi si da"a da"a dan mesin mesin "ang berputar berputar## sedangka sedangkann harga harga maksimum maksimum ebih ebih sering digunakan daam bidang eektronika dan komunikasi.

-

5aa 5aam m kead keadaa aann tuna tunakk sinu sinuso soid ida# a# arus arus dan tega tegang ngan an phas phasor or dapa dapatt dibe diberi rika kann sebagai niai maksimum atau maupun niai efektif# dan keduan"a han"a berbeda dengan sebuah faktor @ 2. 5aam niai maksimum tegangan dituis :    7 5aam niai efektif tegangan dituis

:    7rms

( 61eff 2 + 62eff 2 + ------------ + 6 eff 2 )


………………..( 12-K )



I

12.

Da5a Rata-Rata & A3rag 3a#u ( 5aam pembahasan pembahasan mengenai harga rata-rata rata-rata untuk da"a sesaat p(t)# pertama-tama harus secara $eas didefinisikan inter'a *aktu dimana proses rata-rata tersebut berangsung berangsung ( misan"a dipiih dipiih inter'a *aktu dari t 1 ke t2 ). >arga rata-rata diperoeh dengan mengintegrasi da"a sesaat p(t) dari t 1 ke t2 dan membagi hasin"a dengan inter'a *aktu t 2 - t1# $adi diperoeh : 1

t2

 = ------- 0 p(t) dt

………………..( 12-L )

t2 - t1 t1 dimana :  =

harga rata-rata "ang bukan merupakan fungsi *aktu# akan tetapi fungsi dari t 1 dan t 2# "aitu kedua saat "ang mendefinisikan inter'a integrasi.

Aetergantungan  pada inter'a *aktu tertentu dapat din"atakan ebih sederhana# $ika p(t) merupakan merupakan sebuah fungsi fungsi periodik. periodik. Aita menganggap bah*a fungsi pemaksa dan respons dari rangkaian : -

semu semuan an""a ada adaa ahh peri period odik ik##

-

kead keadaa aann tun tunak ak tea teahh dic dicap apai ai##

-

*aau *aaupun pun tidak tidak per peruu merup merupaka akann keada keadaan an ma manta ntapp sinuso sinusoida ida..

Fungsi Pri!"ik !entuk geombang periodik "ang umum seperti ditun$ukkan pada gambar  dan diidentifikasi sebagai da"a sesaat p(t). 8kan diperihatkan diperihatkan bah*a harga rata-rata dari da"a sesaat p(t) dapat dihitung pada inter'a satu periode periode "ang mempun"ai titik a*a atau titik permuaan permuaan sebarang.

Gambar 5




J

ertama-tama dihitung da"a rata-rata dengan mengintegrasi da"a sesaat p(t) dari t

1

ke t2 = t1 + T# diperoeh : 1

t1 + T

1 = ---- 0 p(t) T

dt

t1

Aemudian dengan mengintegrasi dari *aktu t M ke *aktu tM + T# diperoeh : 1

tM + T

M = ---- 0 p(t) T

dt

tM

Aesamaan  1 dan M men$adi $eas dari intepretasi grafik dan integra. %adi# %adi# da"a da"a rata-rata rata-rata dapa dapatt dihitung dihitung deng dengan an menginte mengintegrasi grasikan kan da"a sesaat pad padaa setiap setiap inter'a inter'a "ang satu periode pan$angn"a pan$angn"a dan membagin membagin"a "a deng dengan an periode periode tersebut. %adi bentuk umum dari da"a rata-rata untuk fungsi-fungsi periodik periodik : 1

tM + T

M = ---- 0 p(t)

dt

T tM
"t

………………..( 12-1 )

T  8tau : 1  = ----

tM + nT 0

p(t) dt

( n = 1# 2# # … )

n T tM untuk tM =  1 P 0 ----

T  6&t(

"t

( n = 1# 2# # …)

………………..( 12-11 )

nT  dimana :  = da"a rata-rata ( Natt ) T = periode

C!nt!7 8 Pr7itungan "a5a rata-rata untuk g#!%ang 6ri!"ik PUSAT PENGE$)ANGAN PENGE$)ANGAN )A*AN ) A*AN A+AR-U$)



K

Sebuah arus berbentuk geombang gigi gerga$i diberikan kepada sebuah tahanan 4# seperti ditun$ukkan pada gambar Ia. Tentukan Tentukan da"a rata-rata. rata-rat a. i(t)

i( t )

R

~

Gambar 6a

6m i( t) = ----- t

 O t P T

T 6m i( t ) = ---- ( t - T )

T O t P 2T

T dan seterusn"a 1 p( t ) = i 2 4 = --------- 6m2 4 t 2

 O t P T

T2 1 p( t ) = i 2 4 = --------- 6m2 4 ( t - T ) 2

T O t P 2T

T2 dan seterusn"a p( t )

5ari gambar Ib# dengan mengintegrasikan p( t ) pada daerah satu periode# dari t =  ke t = T# diperoeh : 1 t

6m2 4

 = ---- 0 -------- t 2 dt dt = Q 6m2 4 T

T2

Gambar 6 b

emiihan daerah daerah satu periode "ang "ang ain# misan"a dari t = #1 T ke t = 1#1 T# akan menghasikan $a*aban "ang sama. 5emikian $uga integrasi dari  ke 2 T dan pembagian oeh 2 T# akan menghasikan $a*aban "ang "ang sama.




L

Datar Pustaka 1.

Niiam Niiam >. >a"t >a"t %r# %r# %ack %ack R. Aemme Aemmer" r"##  Rngineer Rngineering ing Cicuit Cicuit 8na"s 8na"sis is ##  c&ra* c&ra*->i ->i..

2.

antu anturr Siab Siaban an##  4an 4angka gkaian ian istr istrik ik # ene enerbi rbitt Rra Rrangg ngga. a.

.

4.%. 4.%. Smith Smith##  Circ Circui uit# t# 5e'ic 5e'ices es and and S"st S"stems ems # %oh %ohnn Nie Nie"" U Son Sons. s.

3.

.R. .R. 7an 7an 7a 7akenbu kenburg# rg#  et* et*ork ork 8na" 8na"si siss # renti renticece->a >a## 6n 6nc. c.

%akarta# September 2K 6r. S.V.5. imbong




1

12. Rangkaian Listrik II Nilai Sesaat Nilai Puncak Nilai Efektif Dan Nilai Rata Rata Fungsi Sinusoida

Recommend Documents