OSCILACIÓN FORZADA L asOs c i l a ci o ne sf o r z a da s:e sunos c i l a do ra r mó ni c o,s epo neenmo mo v i mi en t os ac á nd ol odes u p os i c i ó ndee qu i l i b r i oyab an do ná ndo l oas uo sc i l a ci ónl i b r eT amb i é ns ep ue depo nere n mo vi mi en t oapl i c ándol eun af uer z av ar i abl ec onel t i empo.Set r at ar ás ol oel c as oenel c ual l a f uer z av ar í ad emaner asi nus oi dal c onel t i empo. Ye lOs c i l a do ra r mó ni c o:Esuno sc i l a do rq uev ap er d i en doe ne r g i a( l a sc r e st av ar e s uc i e nd oe n u nao nd as i n os o i d al ) .So nd e3c l a s es . -Os c i l a dors o br e amo r t i g ua do -Os c i l adorc onamor t i guami ent ocr í t i c o -Os c i l a dorc onamor t i guami e nt odéb i l
OSCILACIONES
Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.
FI!"# $%& 'scilación libre. (a en)ol)ente din*mica muestra fases de ataque y ca+da Oscilación amortiguada Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el prod produc ucto to del del coq coque ue de las las part partíc ícul ulas as (mol (moléc écul ulas as)) ! la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez m"s energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.
FI!"# $& 'scilación amortiguada
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma )ar+a en el tiempo -según una cur)a eponencial/, haci0ndose cada )ez m*s peque1a hasta llegar a cero. Es decir, el sistema -la part+cula, el p0ndulo, la cuerda de la guitarra/ se detiene finalmente en su posición de reposo. (a representación matem*tica es , donde es el coeficiente de amortiguación. 2otemos que la amplitud es tambi0n una función del tiempo -es decir, )ar+a con el tiempo/, mientras que a y son constantes que dependen de las condiciones de inicio del mo)imiento. 2o obstante, la frecuencia de oscilación del sistema -que depende de propiedades intr+nsecas del sistema, es decir, es caracter+stica del sistema/ no )ar+a -se mantiene constante/ a lo largo de todo el proceso. -3al)o que se estu)iera ante una amortiguación muy grande./
Oscilación autosostenida
3i logramos continuar introduciendo energ+a al sistema, reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación autosostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en un )iol+n frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.
FI!"# $4& 'scilación autosostenida. (a en)ol)ente din*mica presenta una fase casi estacionaria -F5E/, adem*s de las fases de ataque y ca+da (a acción del arco sobre la cuerda repone la energ+a perdida debido a la amortiguación, logrando una fase -o estado/ casi estacionaria. 6referimos llamarla fase casi estacionaria 7y no estado estacionario, como suele
encontrarse en alguna literatura7 debido a que, en condiciones pr*cticas, resulta sumamente dif+cil que la energ+a que se introduce al sistema sea eactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. En consecuencia, la amplitud durante la fase casi estacionaria no es en rigor constante, sino que sufre peque1as )ariaciones, cuya magnitud depender* de nuestra habilidad para compensar la energ+a perdida. 3i la energ+a que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde producto de la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación menor, cuyas caracter+sticas dependen de la relación eistente entre la energ+a perdida y la que se continúa introduciendo. 8ambi0n en este caso el sistema termina por detenerse, aunque demore m*s tiempo. -En música lo llamar+amos decrescendo./ 6or el contrario, si la energ+a que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación eistente entre la energ+a perdida y la que se continúa introduciendo. -En música lo llamar+amos crescendo./
Oscilación forzada
(as oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante -llamada generador G/ sobre un sistema oscilador -llamado resonador R /. En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador -9g/, y no en su frecuencia natural -9r/. Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema ser* igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que )ibran :por simpat+a:. ;ebe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. (a generación de una oscilación forzada depender* de las caracter+sticas de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.
Resonancia
3i, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del generador -9g/ coincide con la frecuencia natural del resonador -9r/, se dice que el sistema est* en resonancia. (a amplitud de oscilación del sistema resonador R depende de la magnitud de la fuerza periódica que le aplique el generador G, pero tambi0n de la relación eistente entre 9g y 9r. 5uanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del generador y la frecuencia del resonador, menor ser* la amplitud de oscilación del sistema resonador -si se mantiene in)ariable la magnitud de la fuerza periódica que aplica el generador/. ', lo que es lo mismo, cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador y el resonador, mayor cantidad de energ+a se requerir* para generar una determinada amplitud en la oscilación forzada
-en el resonador/. 6or el contrario, en el caso en que la frecuencia del generador y la del resonador coincidieran -resonancia/, una fuerza de peque1a magnitud aplicada por el generador G puede lograr grandes amplitudes de oscilación del sistema resonador R . (a Figura $< muestra la amplitud de oscilación del sistema resonador, para una magnitud constante de la fuerza periódica aplicada y en función de la relación entre la frecuencia del generador 9g y la frecuencia del resonador 9r.
FI!"# $<& 5ur)a 9g>9r = % =? "esonancia
de
resonancia
a
=
f
-t/
En un caso etremo el sistema resonador puede llegar a romperse. Esto es lo que ocurre cuando un cantante rompe una copa de cristal emitiendo un sonido con la )oz. (a ruptura de la copa no ocurre solamente debido a la intensidad del sonido emitido, sino fundamentalmente debido a que el cantante emite un sonido que contiene una frecuencia igual a la frecuencia natural de la copa de cristal, haci0ndola entrar en resonancia. 3i las frecuencias no coincidieran, el cantante deber+a generar intensidades mucho mayores, y aún as+ ser+a dudoso que lograra romper la copa. El caso de resonancia es importante en el estudio de los instrumentos musicales, dado que muchos de ellos tienen lo que se conoce como resonador, como por ejemplo la caja en la guitarra. (as frecuencias propias
estudiamos las oscilaciones amortiguadas tomando como modelo una part+cula de masa m unida a un muelle el*stico de constante k que eperimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la )elocidad. 5omo aplicación pr*ctica describimos un modelo simplificado que eplica la deformación de un balón cuando choca contra una pared r+gida.
Oscilaciones amortiguadas
(a eperiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo )ibrante tal como un resorte o un p0ndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.
6ara eplicar el amortiguamiento, podemos suponer que adem*s de la fuerza el*stica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la )elocidad F r= -λ v, donde λ€ es una constante que depende del sistema f+sico particular. 8odo cuerpo que se mue)e en el seno de un fluido )iscoso en r0gimen laminar eperimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la )elocidad y de sentido contrario a 0sta. (a ecuación del mo)imiento se escribe ma=-kx-λv
Epresamos la ecuación del mo)imiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la deri)ada segunda de la posición x, y la )elocidad es la deri)ada primera de x.
(a solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente epresión
(a caracter+sticas esenciales de las oscilaciones amortiguadas& •
(a amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo.
•
(a energ+a del oscilador tambi0n disminuye, debido al trabajo de la fuerza F r de rozamiento )iscoso opuesta a la )elocidad.
•
En el espacio de las fases -v-x/ el mó)il describe una espiral que con)erge hacia el origen.
3i el amortiguamiento es grande, γ puede ser mayor que ω 0, y ω puede llegar a ser cero -oscilaciones cr+ticas/ o imaginario -oscilaciones sobreamortiguadas/. En ambos casos, no hay oscilaciones y la part+cula se aproima gradualmente a la posición de equilibrio. (a energ+a que pierde la part+cula que eperimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Condiciones iniciales
(a posición inicial x0 y la )elocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial ϕ . 6ara t=0,
x0=A·senϕ v0=7 Aγ ·senϕ +Aω ·cosϕ
En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y ϕ a partir de los datos de x0 y v0
Ejemplo&
3ea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ω0=%$$ rad>s, y cuya constante de amortiguamiento γ=@.$ s7%. 3abiendo que la part+cula parte de la posición x0=A con )elocidad inicial nula, v0=$, escribir la ecuación de la oscilación amortiguada. (a frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es
A=A·senϕ $=−7Α·senϕ€ B99.75C A·cosϕ (a ecuación de la oscilación amortiguada es x=A.$%Cep-7@t /Csen-DD.@At+%.A/
5omo )emos la amplitud A no es A ni la fase inicial φ es >, como en las oscilaciones libres
osiciones de retorno
(as posiciones de m*imo desplazamiento, son aquellas en las que la )elocidad del mó)il es cero. En la epresión de la )elocidad ponemos v=$ y despejamos el argumento ωt+φ tan-ωt+φ/=ω/γ
(as posiciones de los puntos de retorno son
3i el mó)il parte de la posición x0 con )elocidad v0=$, la fase )ale tanφ=ω/γ, y A=x0 / senφ
Ejemplo!
(as sucesi)as posiciones de los puntos de retorno para ω0=%$$ rad>s, γ=@.$ s7% del ejemplo del apartado anterior son& t 0=$, x0=A t 1=$.$4%, x1=7<.$% t 2=$.$4, x2=4. t 3=$.$D<, x3=7.AG
y as+, sucesi)amente. La energ"a del oscilador amortiguado
(a energ+a de la part+cula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energ+a cin0tica de la part+cula y de la energ+a potencial del muelle el*stico deformado.
Introducimos las epresiones de la posición x y de la )elocidad v de la part+cula en función del tiempo t .
3i la constante de amortiguamiento γ es peque1a, como hemos )isto en el ejemplo del apartado anterior ω0≈ω
(a energ+a decrece eponencialmente con el tiempo, pero con una peque1a ondulación debida al segundo t0rmino entre par0ntesis, tal como apreciamos en la figura
Acti#idades
3e introduce •
la posición inicial x0, en el control de edición titulado osición
•
la )elocidad inicial del mó)il v0, en el control de edición titulado $elocidad.
•
la constante de amortiguamiento H, en el control de edición titulado Cte% amortiguamiento
•
la frecuencia angular natural del oscilador ω 0 = %$$ rad>s no se puede modificar
3e pulsa el botón titulado Empieza. 6robar con los siguientes )alores de la constante de amortiguamiento γ & A -amortiguadas/, %$$ -cr+ticas/, %%$ -sobreamortiguadas/. •
3e obser)a la posición del mó)il en función del tiempo en la parte izquierda de la )entana, gr*fico x-t . El )alor de la posición x del mó)il se muestra en la esquina superior izquierda.
•
(a trayectoria del mó)il en el espacio de las fases, gr*fico v-x, en la parte superior derecha.
•
(a energ+a total del mó)il en función del tiempo, gr*fica E-t , en la parte inferior derecha.
