LA ECUACIÓN DE ENERGÍA Formas de la ecuación de energía: La energía cinética y la energía interna de un fluido caracterizan la energía entrando y saliendo de un sistema por transporte convectivo, una expresión útil de la ecuación de energía podría ser la siguiente expresión:
Convección libre (natural) y forzada Son los mecanismos de transporte de calor asociados al desplazamiento de una masa de fluido. En el caso de la convección forzada este desplazamiento está provocado por una fuerza externa, mientras que en la convección natural es el propio gradiente de temperatura el que origina el movimiento del fluido, ocasionado por las diferencias de densidades creadas en el seno del mismo. La aproximación utilizada en convección libre sólo es válida para velocidades muy pequeñas. De igual manera la diferencia de concentraciones entre dos puntos de una disolución puede provocar
la aparición de corrientes de convección natural. El número de Grashof (Gr) es un número adimensional representativo de los procesos de convección natural. Gr es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas que provoca el flujo de convección libre. El número Gr requiere del coeficiente de expansión volumétrica para su evaluación.
Los números de Prandtl (Pr) y de Grashof (Gr) se utilizan para el estudio de la variación de cantidad de movimiento y temperatura para convección libre.
La variación en la densidad es importante porque aumenta la fuerza de flotabilidad; de esta manera las fuerzas de flotabilidad aparecen la ecuación de estado , esta ecuación es obtenida desarrollando la serie de Taylor para ρ como función de la T, considerando la presión constante y dejando solamente los primeros dos términos de la serie. Cuando esta ecuación de estado se sustituye en el término ρg en la ecuación de movimiento, se obtiene la ecuación de Boussinesq, la cual es útil para analizar problemas de transferencia de calor:
Para convección forzada, el término de flotabilidad es despreciable y en convección libre ibre el tér términ mino , es peq pequeño eño y pued puedee ser omiti mitido do,, parti articu cula larm rmeente nte en siste istema mass verticales y flujo rectilíneo. La expresión propuesta por Boussinesq para calcular el transporte turbulento de cantidad de movimiento es totalmente análoga a la Ley de Newton de la viscosidad, con la única diferencia de
que se substituye la viscosidad del fluido (µ) por la denominada viscosidad de remolino (µ (t)). El valor de la nueva viscosidad depende de las propiedades físicas de la mezcla en las condiciones de presión y temperatura del fluido, del sistema de flujo que se está utilizando y de la posición. Para la convección forzada: Reynolds (Re) y Prandtl (Pr) y Brinkman (Br, sólo si la disipación viscosa es importante).
Condiciones para Pr: Pr> 1 la vorticidad se difunde más rápidamente que la temperatura (capa límite de velocidad más gruesa que la capa límite térmica). Pr< 1 la temperatura se difunde más rápidamente que la vorticidad (capa límite térmica más gruesa que la capa límite de velocidad). Revisar las ecuación de la tabla 11.4.1 del libro Bird, Steward y Lightfoot, Transport Phenomena, Second Edition, Jhon Wiley & Sons, 2002. -La transferencia de energía por convección involucra el transporte de energía a través del movimiento continuo de elementos de volumen de un fluido. -Esto implica que para poder evaluar los perfiles de temperatura y los flujos de energía en un sistema con convección es necesario conocer previamente los perfiles de velocidad. Es decir que debe resolverse el balance microscópico de cantidad de movimiento. -Esta metodología sólo puede aplicarse a sistemas muy simples y de poco interés práctico. -No obstante, su empleo es útil ya que permite entender ciertos fenómenos básicos y además muchas de las ecuaciones resultantes pueden luego resolverse por solución numérica. -Existen dos tipos de transporte de energía por convección según cual sea la fuerza impulsora que la genere: -Convección Forzada: el movimiento del fluido es generado por fuerzas impulsoras externas. Por ejemplo: aplicación de gradientes de presión con una bomba, un soplador, etc.
-Convección Natural: el movimiento del fluido es generado por variaciones de densidad. Estas a su
vez pueden ser producidas por la existencia de gradientes de temperatura o de concentración en el seno del fluido. -Se ve que en la convección natural la transferencia de energía depende del movimiento del fluido y a su vez éste depende del gradiente de temperatura que lo origina. Por lo tanto, esto produce un "acoplamiento" de las ecuaciones gobernantes, ya que deben ser resueltas simultáneamente. Procedimiento para resolver problemas de transferencia de energía por convección: -Si tenemos transferencia de energía por convección forzada en un fluido newtoniano de ρ, μ y k constantes. La sistemática en el planteo de las ecuaciones gobernantes del sistema es la siguiente: 1) Plantear la ecuación de continuidad 2) Plantear el balance microscópico de cantidad de movimiento 3) Introducir la ecuación de continuidad en el balance microscópico de cantidad de movimiento 4) Plantear las condiciones de contorno 5) Integrar para obtener el perfil de velocidades: v=v(x,y,z,t) 6) Plantear el balance microscópico de energía interna
7) Introducir el perfil de velocidades v=v(x,y,z,t) en el balance microscópico de energía interna 8) Plantear las condiciones de contorno 9) Integrar para obtener el perfil de temperatura: T=T(x,y,z,t) -Sin embargo, en aquellos casos en los que existen propiedades fisicoquímicas del fluido que dependen fuertemente de la temperatura (como por ejemplo la viscosidad) o en casos de convección natural el planteo anterior se ve modificado. -Por ejemplo si μ varía marcadamente con T no es posible obtener v=v(x,y,z,t) pues previamente se debería conocer T=T(x,y,z,t). -En este caso las ecuaciones gobernantes están "acopladas" y deben resolverse simultáneamente (lo cual es muy difícil) o se debe suponer una funcionalidad de la propiedad en cuestión con la temperatura que las desacople. Por ejemplo suponer que μ es una función lineal de T.
-Para convección natural, donde la fuerza impulsora es el gradiente de temperatura la resolución es numérica e iterativa: • Se supone un perfil de temperatura • Se calcula el perfil de velocidad • Se calcula el perfil de temperatura • Se compara con el perfil de temperatura supuesto • Se prosigue hasta lograr convergencia Coeficientes de transferencia calórica para convección forzada alr ededor de objetos sumergidos: Cuando existe transferencia calórica hacia o desde un objeto alrededor del cual circula un fluido, se procede de manera análoga a lo planteado para flujo en conductos definiéndose un coeficiente de transferencia calórica según: donde A es el área de transferencia, To es la temperatura media de la superficie del solido y T ∞ es la temperatura del fluido lejos del sólido. También en estos sistemas se puede definir un coeficiente local de transferencia de energía según: donde To es la temperatura de la superficie del sólido en un punto de superficie dA. Teniendo en cuenta estas definiciones es posible evaluar los coeficientes de transferencia calórica para flujo de fluidos alrededor de objetos de diferentes formas. Coeficientes de transferencia calórica para convección forzada en esferas sumergidas: El coeficiente medio se encuentra correlacionado en términos
La correlación puede ser representada matemáticamente con la siguiente ecuación:
Esta ecuación predice que para un fluido en reposo absoluto (v ∞=0) el Num es igual a 2. Este valor puede ser deducido a partir del balance microscópico de energía interna. Así, si suponemos reposo absoluto del fluido, en él solo puede existir conducción radial. Por lo tanto el balance microscópico de energía interna queda:
Condiciones de frontera:
r= R r= ∞
T=T0 T=T∞
integrando:
De donde:
Escribiendo la ecuación para el flujo de calor utilizando la ley de Fourier y la definición de coeficiente de transferencia calórica: Reemplazando:
Coeficientes de transferencia calórica para convección natural alrededor de objetos sumergidos: Siguiendo la misma metodología que en convección forzada, puede definirse un coeficiente de transferencia calórica según: donde Ts es la temperatura media de la superficie del sólido y T es la temperatura lejos del sólido. Es posible demostrar que en estos casos: donde el subíndice "f" indica que las propiedades físicas han sido evaluadas a la temperatura media denominada de "film":
-La única propiedad que no se evalúa a Tf es el coeficiente de expansión volumétrico que se evalúa a . -El coeficiente de expansión volumétrico puede evaluarse fácilmente para gases si se supone que son gases ideales. Así:
Para gases ideales:
Reemplazando:
