Respuesta forzada. Abstract Forced response is the behaviour of a system due to — Forced an external energy source, dependent on the form of forcing function. The analysis is important to different applications. Using the final value theorem is easy to find the forced response in a simple system; this theorem is just valid with stable sys tems. Palabras Claves Fuente de excitación, función de — Fuente transferencia, respuesta forzada, teorema del valor final, tiempo de estado estacionario.
I. I NTRODUCCIÓN NTRODUCCIÓN l análisis de la respuesta forzada de un sistema es muy importante ya que en aplicaciones como comunicaciones, donde los mensajes se transmiten en forma de señal eléctrica que generalmente generalmente pueden ser ser un voltaje o una corriente que varían en el tiempo de tal modo que transmiten información, para ello es necesario producir una u na forma de salida deseada. En este documento se explican algunos conceptos básicos acerca de lo que es la respuesta forzada, cuando ocurre y formas de llegar a ella.
Así se puede decir que la respuesta forzada tiene la misma forma de la señal de excitación, como se indica en la tabla 1. Fuente de excitación excitación
Respuesta Forzada
K Kt Kt2 Ksin(wt+ɸ) Ke-at e-at(K 1cos(wt)+K 2sin(wt))
A At+B At2+Bt+C Acos(wt0)+Bsin(wt) Ae-at e -at(A1cos(wt)+A2sin(wt))
E
II. ¿QUÉ ES LA RESPUESTA FORZADA ? [1] La respuesta forzada expresa la influencia una fuente de excitación excitación sobre un sistema. Su nombre se deriva del esfuerzo esfuerzo que esta hace, con el fin de que los parámetros del sistema varíen en la misma forma como lo hace la fuente. En la figura 1 se puede observar la respuesta natural y forzada de un sistema, se puede ver que el sistema tiende a estabilizarse después de cierto tiempo.
Figura 1. Respuesta natural y forzada de un sistema.
A diferencia de la la respuesta natural o libre que depende de los los efectos de las condiciones iniciales del sistema, la respuesta forzada solo depende del efecto de las entradas del sistema.
Tabla 1. Respuesta forzada ante distintas formas de excitación.
No para todas las las entradas, la respuesta forzada no no tendrá la misma forma que la entrada. Por ejemplo: para una onda cuadrada como entrada, su respuesta forzada no es una onda cuadrada. En sistemas inesta inestables, bles, los cuales tienen polos en la la parte derecha del plano como se observa en la figura 2, no es posible determinar determinar una respuesta forzada. forzada.
Figura 2. Respuesta de un sistema, de acuerdo a la ubicación de sus polos en el plano.
III. TIEMPO DE ESTADO ESTACIONARIO. El tiempo de estado estacionario es el tiempo que tarda un sistema en alcanzar su respuesta forzada. Por ejemplo en un circuito RC el tiempo de estado estacionario es aproximadamente 5τ donde τ es el producto entre la
resistencia y la capacitancia (R*C).
IV. TEOREMA DEL VALOR FINAL. El teorema del valor final permite determinar a partir de la función de transferencia F(s) el comportamiento de f(t) en su respuesta forzada. El teorema del valor final afirma:
V. EJEMPLOS A. Encuentre los valores de tiempo de estado estacionario y valor final del voltaje en el condensador para el circuito de la figura 3, donde el interruptor ha estado cerrado por mucho tiempo y en t = 0 es abierto.
Figura 4. Respuesta al escalón del siste ma del ejemplo B.
Como se puede observar en la figura 4 el sistema se estabiliza en 0.1 alcanzando su respuesta forzada como fue determinado con el teorema del valor final. C. Para un sistema con la siguiente función de transferencia encuentre el valor final para una entrada escalón.
Para una entrada escalón:
H(s)= −3
Figura 3. Circuito para el ejemplo A.
En t = 0 se tiene que el capacitor tiene un voltaje inicial de 15V que es el mismo voltaje que cae sobre R2 si se asume el capacitor como un circuito abierto. Luego de abierto el interruptor se tiene un circuito RC simple sin fuente y se
−
= 3 → Al graficar la respuesta del sistema a un escalón se obtiene: lim
−3
puede hallar el tiempo de estado estacionario 5τ. 10Ω*20mF = τ Entonces τ = 0.2 seg el tiempo de estado estacionario es 5* τ= 1 seg.
Con estos datos es posible determinar que V c(t) =15e-t/0.2 V. El valor final se determina de la siguiente manera: Figura 5`. Respuesta al escalón para el sistema del ejemplo C.
lim 150.2 =
→∞
0
B. Para un sistema con la siguiente función de transferencia encuentre el valor final para una entrada escalón. .
Para una entrada escalón:
H(s)=+ 1 0.5
lim →
5
= 0.1
Al graficar la respuesta de este sistema a un escalón se obtiene:
¿Por qué no se estabilizó el sistema en -5/3? Es importante destacar que el teorema del valor final no es válido si hay polos en el lado derecho del plano s. VI. CONCLUSIONES La respuesta forzada depende de la forma de la función de excitación, a excepción de algunos casos, como lo es una entrada de onda cuadrada. El teorema de valor final es válido sólo si los polos de la función de transferencia, a excepción de un polo de primer orden en el origen, están en la mitad izquierda del plano s. El análisis de la respuesta forzada es importante para distintos tipos de aplicaciones.
R EFERENCIAS [1] D. Rairán, (2007), “Sin una ecuación” [en línea], disponible en: http://200.69.103.48/comunidad/profesores/drairan/documents/materias/ frecuencia-2009-I/1.5%20Respuesta%20forzada%20y%20completa.pdf , recuperado: Marzo de 2013. [2] “Respuesta completa Circs. 1er orden ” [en línea], disponible en: http://www2.ing.puc.cl/iee1122/Circuitos%20primer%20orden.pdf , recuperado: Marzo de 2013. [3] “Régimen libre, forzado y transitorio” [en línea], disponible en: http://www.uco.es/investiga/grupos/giie/cirweb/teoria/tema_14/tema_14 _01.pdf , recuperado: Marzo de 2013. [4] “Respuesta forzada de un circuito RLC” [en línea], disponible en: http://ebookbrowse.com/respuesta-forzada-y-completa-circs-pdfd200043777 recuperado: Marzo de 2013. [5] J. Nilsson y S. Riedel,Circuitos Eléctricos. Madrid: Pearson educación, 2005, pp 593-596. [6] M. Sadiku y C.Alexander, Fundamentos de circuitos eléctricos, Madrid: McGraw Hill 2006, pp 254-284.
