SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJA Seminarski rad Dr. sc. Andrej Jokić
Student: Mario Pandža Matični broj: 0035190127
Zagreb, lipanj 2016.
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
SADRŽAJ ................................................................ ............................................ ........................... ..... 1 1. Metoda Lagrangeovih množitelja .......................................... 1.1 Tekst zadatka ..................................... ........................................................... ............................................ ............................................. ................................... ............ 1 ............................................................... ................................... ............. 1 1.2 Opis metode Lagrangeovih Lagrangeovih množitelja ......................................... 1.3 Karush-Kuhn-Tucker uvjeti optimalnosti ........................................................ ........................................................................ ................ 2 1.4 Optimizacijski problem s dvije varijable var ijable ............................................................ ......................................................................... ............. 3 1.4.1 Opis problema ............................................................. ................................................................................... ............................................. ......................... 3 .................................................................. .......................................... ................... 3 1.4.2 Matematički zapis problema ........................................... ................................................................. ............................................ ...................................... ................ 3 1.4.3 Grafičko rješenje ........................................... 1.4.4 Optimizacijski problem ........................................ .............................................................. ............................................. ............................... ........ 5 ............................................................................. .................... 5 1.4.5 Metoda Lagrangeovih množitelja. ......................................................... .................................................................. ............................................. .................................. ............ 8 1.4.6 Optimalno rješenje ........................................... 1.5 Optimizacijski problem s tri varijable ......................... ............................................... ............................................. ............................... ........ 8 1.5.1 Opis problema ............................................................. ................................................................................... ............................................. ......................... 8 .................................................................. .......................................... ................... 9 1.5.2 Matematički zapis problema ........................................... 1.5.3 Optimizacijski problem ........................................ .............................................................. ............................................. ............................... ........ 9 ............................................................................. .................... 9 1.5.4 Metoda Lagrangeovih množitelja. ......................................................... .................................................................. ............................................. ................................ .......... 11 1.5.5 Optimalno rješenje ........................................... 2. Optimalna sinteza ravninskog mehanizma .......................................... ................................................................. ................................. .......... 12 2.1 Tekst zadatka ..................................... ........................................................... ............................................ ............................................. ................................. .......... 12 2.2 Sinteza mehanizma ............................ .................................................. ............................................ ............................................ ................................. ........... 12 2.3 Sinteza Chebysheva λ mehanizma .......................................................... ................................................................................ ...................... 12 ............................................................... ............................................ ...................... 18 3. Topološko optimiranje konstrukcije ......................................... 3.1 Tekst zadatka ..................................... ........................................................... ............................................ ............................................. ................................. .......... 18 .................................................................. ............................................ ................................. ........... 18 3.2 Topološko optimiranje ............................................ ........................................................ ............................................ ...................... 20 3.3 Topološko optimiranje konstrukcije. .................................. ...................................... 21 3.3.1 Nosač bez otvora opterećen kontinuiranim opterećenjem ...................................... .................................................................. ..................... 21 3.3.2 Nosač bez otvora opterećen s dvije sile .............................................
3.3.3 Nosač bez otvora opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem .................. 22 ...................................... 22 3.3.4 Nosač s otvorom opterećen kontinuiranim opterećenjem ....................................... ................................................................ ......................... ... 23 3.3.5 Nosač s otvorom opterećen s dvije sile .......................................... 3.3.6 Nosač s otvorom opterećen s
.................. 23 dvije sile i kontinuiranim opterećenjem ...................
3.4 BESO2D programski paket ............................. .................................................... .............................................. ........................................ ................. 24 Fakultet strojarstva i brodogradnje
I
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
SADRŽAJ ................................................................ ............................................ ........................... ..... 1 1. Metoda Lagrangeovih množitelja .......................................... 1.1 Tekst zadatka ..................................... ........................................................... ............................................ ............................................. ................................... ............ 1 ............................................................... ................................... ............. 1 1.2 Opis metode Lagrangeovih Lagrangeovih množitelja ......................................... 1.3 Karush-Kuhn-Tucker uvjeti optimalnosti ........................................................ ........................................................................ ................ 2 1.4 Optimizacijski problem s dvije varijable var ijable ............................................................ ......................................................................... ............. 3 1.4.1 Opis problema ............................................................. ................................................................................... ............................................. ......................... 3 .................................................................. .......................................... ................... 3 1.4.2 Matematički zapis problema ........................................... ................................................................. ............................................ ...................................... ................ 3 1.4.3 Grafičko rješenje ........................................... 1.4.4 Optimizacijski problem ........................................ .............................................................. ............................................. ............................... ........ 5 ............................................................................. .................... 5 1.4.5 Metoda Lagrangeovih množitelja. ......................................................... .................................................................. ............................................. .................................. ............ 8 1.4.6 Optimalno rješenje ........................................... 1.5 Optimizacijski problem s tri varijable ......................... ............................................... ............................................. ............................... ........ 8 1.5.1 Opis problema ............................................................. ................................................................................... ............................................. ......................... 8 .................................................................. .......................................... ................... 9 1.5.2 Matematički zapis problema ........................................... 1.5.3 Optimizacijski problem ........................................ .............................................................. ............................................. ............................... ........ 9 ............................................................................. .................... 9 1.5.4 Metoda Lagrangeovih množitelja. ......................................................... .................................................................. ............................................. ................................ .......... 11 1.5.5 Optimalno rješenje ........................................... 2. Optimalna sinteza ravninskog mehanizma .......................................... ................................................................. ................................. .......... 12 2.1 Tekst zadatka ..................................... ........................................................... ............................................ ............................................. ................................. .......... 12 2.2 Sinteza mehanizma ............................ .................................................. ............................................ ............................................ ................................. ........... 12 2.3 Sinteza Chebysheva λ mehanizma .......................................................... ................................................................................ ...................... 12 ............................................................... ............................................ ...................... 18 3. Topološko optimiranje konstrukcije ......................................... 3.1 Tekst zadatka ..................................... ........................................................... ............................................ ............................................. ................................. .......... 18 .................................................................. ............................................ ................................. ........... 18 3.2 Topološko optimiranje ............................................ ........................................................ ............................................ ...................... 20 3.3 Topološko optimiranje konstrukcije. .................................. ...................................... 21 3.3.1 Nosač bez otvora opterećen kontinuiranim opterećenjem ...................................... .................................................................. ..................... 21 3.3.2 Nosač bez otvora opterećen s dvije sile .............................................
3.3.3 Nosač bez otvora opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem .................. 22 ...................................... 22 3.3.4 Nosač s otvorom opterećen kontinuiranim opterećenjem ....................................... ................................................................ ......................... ... 23 3.3.5 Nosač s otvorom opterećen s dvije sile .......................................... 3.3.6 Nosač s otvorom opterećen s
.................. 23 dvije sile i kontinuiranim opterećenjem ...................
3.4 BESO2D programski paket ............................. .................................................... .............................................. ........................................ ................. 24 Fakultet strojarstva i brodogradnje
I
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
........................................................ .............. 24 3.4.1 Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjem .......................................... ................................................................... ........................................ ................. 25 3.4.2 Nosač opterećen s dvije sile ............................................ ................................... 26 3.4.3 Nosač opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem .................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ...................... 27 3.5 Osvrt na rješenje ........................................... LITERATURA ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ................................. .......... 28
Fakultet strojarstva i brodogradnje
II
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
POPIS SLIKA Slika 1. Projektni prostor bez ograničenja ................................................................................. 4 Slika 2. Projektni prostor s ograničenjima ................................................................................. 4 Slika 3. Prostorna orijentacija .................................................................................................... 9 Slika 4. Chebyshev λ mehanizam ........................................................................................... 12 Slika 5. Ilustracija metode fleksibilnog poliedra ...................................................................... 13 Slika 6. Prikaz operacija nad poliedrom................................................................................... 14 Slika 7. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za 75 ................................. 14 Slika 8. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za 85 ................................. 14 Slika 9. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za 90 ................................. 15 Slika 10. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za 95 ............................... 15 Slika 11. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za 100 .............................. 15 Slika 12. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za 105 .............................. 16
Slika 13. Putanja točke T .......................................................................................................... 16 Slika 14. Projektni prostor za 105 ................................................................................. 17 Slika 15. Izgled mehanizma nakon provedene sinteze ............................................................. 17 Slika 16. Proces topološkog optimiranja kontinuiranih struktura ............................................ 19 Slika 17. Skica nosača s tri različita opterećenja ..................................................................... 20 Slika 18. Nosač diskretiziran s 2250 konačnih elemenata ....................................................... 20 Slika 19. Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjem .......................................................... 21 Slika 20. Optimirani oblik nosača bez otvora opterećenog kontinuiranim opterećenjem ....... 21 Slika 21. Nosač opterećen s dvije sile ...................................................................................... 21 Slika 22. Optimirani oblik nosača bez otvora opterećenog s dvije sile .................................... 21 Slika 23. Nosač opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem ...................................... 22
Slika 24. Optimirani oblik nosača bez otvora opterećenog s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem ............................................................................................................................ 22 Slika 25. Mreža konačnih elemenata s označenim otvorima r =3 (gore) i r =2 (dolje) ............. 22 Slika 26. Optimirani oblici nosača s otvorima r =3 (gore) i r =2 (dolje) opterećenih kontinuiranim opterećenjem ..................................................................................................... 23 Slika 27. Optimirani oblici nosača s otvorima r =3 (gore) i r =2 (dolje) opterećenih s dvije sile .................................................................................................................................................. 23 Slika 28. Optimirani oblici nosača s otvorima r =3 (gore) i r =2 (dolje) opterećenih s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem ..................................................................................................... 23 Slika 29. Mreža s 2250 konačnih elemenata ............................................................................ 24 Slika 30. Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjem .......................................................... 24 Slika 31. Raspodjela naprezanja nosača opterećenog kontinuiranim opterećenjem ................ 24
Slika 32. Optimirani oblik nosača dobiven programskim paketima BESO (gore) i Mathematica (dolje) ................................................................................................................. 25 Slika 33. Nosač opterećen s dvije sile ...................................................................................... 25 Slika 34. Raspodjela naprezanja nosača opterećenog s dvije sile ............................................ 25
Fakultet strojarstva i brodogradnje
III
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
Slika 35. Optimirani oblik nosača dobiven programskim paketima BESO (gore) i Mathematica (dolje) ................................................................................................................. 26 Slika 36. Nosač opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem ...................................... 26
Slika 37. Raspodjela naprezanja nosača opterećenog s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem .................................................................................................................................................. 26
Slika 38. Optimirani oblik nosača dobiven programskim paketima BESO (gore) i Mathematica (dolje) ................................................................................................................. 26
Fakultet strojarstva i brodogradnje
IV
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
POPIS TABLICA Tablica 1. Dobiveno numeričko rješenje za razne kuteve zakreta .................................... 16
Fakultet strojarstva i brodogradnje
V
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
1. Metoda Lagrangeovih množitelja 1.1 Tekst zadatka
Odabrati/smisliti jedan optimizacijski problem s dvije i jedan s tri varijable, s ograničenjima jednakosti i nejednakosti, te ih riješiti metodom Lagrangeovih množitelja. Odabrani primjeri ne smiju biti primjeri obrađeni na nastavi ili riješeni primjeri iz nastavnih materijala. Rješenje treba sadržavati uvodni dio s detaljnim opisom metode, opisom uvjeta optimalnosti i postupkom rješavanja.
1.2 Opis metode Lagrangeovih množitelja Jedan od čestih problema u fizici i mehanici je traženje ekstrema, odnosno minimuma ili maksimuma određene funkcije, što nije uvijek jednostavno riješiti. Ukoliko imamo funkciju f(x) kojoj tražimo ekstrem i funkciju ograničenja h(x)=c nužan uvjet za optimu m glasi: f ( x) h( x)
(1.1)
gdje je skalarna vrijednost. Gornji uvjet je nužan, ali ne i
dovoljan, tj. točka koja zadovoljava gornji uvjet je tek kandidat za točku optimuma te je potrebno provjeriti sve kandidate. Kako bi se povezala zadana funkcija i funkcija ograničenja uvodi se pomoćna, tzv. Lagrangeova funkcija koja glasi: L( x, ) f ( x) h( x)
(1.2)
naziva se Lagrangeov množitelj (multiplikator) te iako na prvi pogled izgleda kako komplicira zadani problem, pri praktičnom rješavanju prilično olakšava određivanje stacionarnog stanja funkcije, tj. točke optimuma. Skalarna vrijednost
Iz uvjeta:
L( x, ) 0
(1.3)
L x ( x, ) f ( x) h( x) 0
(1.4)
L ( x, ) h( x) 0
(1.5)
slijede uvjeti stacionarnosti:
Iz gornjih jednadžbi je također vidljivo da se iz Lagrangeove funkcije mogu izvesti nužni uvjeti optimalnosti. U općenitom slučaju, kada se traži stacionarno stanje funkcije F ( x1 ,x2 ,...,xn) uz ograničenja:
Fakultet strojarstva i brodogradnje
1
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
hi ( x1 , x2 ,...., xn ) 0; i 1, 2,...., m
(1.6)
formira se funkcija: L( x1 , x2 ,...., xn , ) F( x1, x2,...., xn)
m
h( x , x ,...., x ) 1
i i
2
(1.7)
n
i 1
pa se iz uvjeta:
L x 0;
j 1, 2,..., n; L i hi 0; i 1, 2,..., m
j
(1.8)
može odrediti m+n nepoznanica x1 , x2 ,..., xn i 1, 2 ,..., m . 1.3 Karush-Kuhn-Tucker uvjeti optimalnosti
Ukoliko se uz ograničenja jednakosti pojave i ograničenja nejednakosti: g j ( x1, x2 ,..., xn ) 0;
j 1, 2,..., p
(1.9)
uz postojeće Lagrangeove množitelje 1 , 2 ,..., m postoje i dodatni Lagrangeovi množitelji 1 , 2 ,..., p te Lagrangeova funkcija postaje: L( x1 , x2 ,..., xn , i , j ) F( x1, x2,..., xn )
p
m
h ( x , x ,..., x ) g ( x, x ,..., x ) (1.10) i i
1
2
n
i 1
j
j
1
2
n
j 1
Formiraju se uvjeti:
x, L( x1 , x2 ,..., xn , i , j ) 0
(1.11)
hi ( x1 , x2 ,..., xn ) 0; i 1, 2,..., m
(1.12)
g j ( x1, x2 ,..., xn ) 0; j g j ( x1 , x2 ,..., xn ) 0;
j 0;
j 1, 2,..., p j 1, 2,..., p
(1.14)
j 1, 2,..., p
Gornji uvjeti su Karush-Kuhn- Tucker nužni uvjeti optimalnosti ili
Fakultet strojarstva i brodogradnje
(1.13)
(1.15)
skraćeno KKT uvjeti.
2
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
1.4 Optimizacijski problem s dvije varijable 1.4.1 Opis problema
Industrija automobila mora proizvesti 600 automobila u određenom vremenskom intervalu. Industrija sadrži 2 proizvodna pogona. Zbog različite radne snage, tehnološkog napretka, itd. , oni koriste različit broj jedinica radne snage i različit broj jedinica materijala. Pogon 1 ima troškove od 15 jedinica po proizvodu, a pogon 2 ima troškove od 10 jedinica po proizvodu. Pogon 1 koristi 2 jedinice sata radne snage i 3 jedinice materijala, a pogon 2 koristi 3 jedinice sata radne snage i 4 jedinice materijala. Ukupan broj jedinica sati radne snage iznosi 1700, a ukupan broj jedinica materijala iznosi 2000 koji se mogu raspodijeliti po pogonima. Koliko
automobila mora proizvoditi pojedini pogon da bi troškovi bili minimalni?
1.4.2 Matematički zapis problema Troškovi tvrtke mogu se zapisati kao: troškovi f ( x1 , x2 ) 15 x1 10 x2
(1.16)
x1 broj automobila u pogonu1
(1.17)
x2 brojautomobila u pogonu 2
(1.18)
Varijable:
Ograničenja jednakosti i nejednakosti: količina automobila x1 x2 600
(1.19)
vrijeme izrade 2 x1 3x2 1700
(1.20)
količina materijala 3 x1 4 x2 2000
(1.21)
1.4.3 Grafičko rješenje Na Slici 1 prikazan je projektni prostor bez ogr aničenja.
Fakultet strojarstva i brodogradnje
3
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
600 10000 5000
400 0
200 -5000 2
0
X
-600
-400
-200
0
-10000
200
400
600
-200
-400
-600 X1
Slika 1. Projektni prostor bez ograničenja
Na Slici 2. prikazan je projektni prostor s ograničenjima jednakosti i nejednakosti. Količina proizvedenih automobila ograničenje je jednakosti, dok su vrijeme izrade i količina utrošenog materijala ograničenja nejednakosti. 600
400
10000
200 5000
0
2
X
-600
Količina
-400
-200
0
200
400
0
600
automobila Vrijeme izrade Količina
materijala
-200 -5000
-400 -10000
-600 X1
Slika 2. Projektni prostor s ograničenjima
Fakultet strojarstva i brodogradnje
4
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Sa Slike 2. očitano je optimalno rješenje: x1 400
(1.22)
x2 200
(1.23)
1.4.4 Optimizacijski problem
Optimizacijski problem se zapisuje kao: min f ( x1 , x2 ) 15 x1 10 x2 uz
h( x1 , x2 ) x1 x2 600 0 g1 ( x1 , x2 ) 2 x1 3x2 1700 0
(1.24)
g2 ( x1 , x2 ) 3x1 4 x2 2000 0
1.4.5 Metoda Lagrangeovih množitelja Formira se Lagrangeova funkcija: L( x1 , x2 , , 1, 2 ) 15 x1 10 x2 ( x1 x2 600) 1(2 x1 3x2 1700) 2 (3 x1 4 x2 2000) (1.25) KKT uvjeti glase: 0 x L ( x1 , x2 , , 1, 2 ) 15 21 3 2
(1.26)
x L( x1 , x2 , , 1, 2 ) 10 3 1 4 2 0
(1.27)
L( x1, x2 , , 1, 2 ) x1 x2 600 0
(1.28)
1 g1 ( x1 , x2 ) 1 (2 x1 3 x2 1700) 0
(1.29)
2 g2 ( x1 , x2 ) 2 (3 x1 4 x2 2000) 0
(1.30)
1 , 2 0
(1.31)
1
2
Kako postoje dva Lagrangeova množitelja nejednakosti postoje četiri slučaja koja je potrebno promatrati:
Slučaj 1 Pretpostavljene vrijednosti Lagrangeovih množitelja nejednakosti iznose :
Fakultet strojarstva i brodogradnje
1 0
(1.32)
2 0
(1.33)
5
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
KKT uvjeti postaju:
15 0 15
(1.34)
10 0 10
(1.35)
x1 x2 600
(1.36)
2 x1 3x2 1700
(1.37)
3 x1 4 x2 2000
(1.38)
Iz uvjeta (1.34) i (1.35) vidljivo je da Lagrangeov množitelj poprima različite vrijednosti što nije moguće, stoga ovaj slučaj ne zadovoljava KKT uvjete.
Slučaj 2 Pretpostavljene vrijednosti Lagrangeovih množitelja nejednakosti iznose : 1 0
(1.39)
2 0
(1.40)
15 3 2 0
(1.41)
10 4 2 0
(1.42)
x1 x2 600
(1.43)
2 x1 3x2 1700
(1.44)
3 x1 4 x2 2000
(1.45)
KKT uvjeti postaju:
Uvrštavanjem (1.41) u (1.42) dobiva se: 30
(1.46)
2 5
(1.47)
Zatim uvrštavanjem (1.43) u (1.45) dobiva se: x1 400
(1.48)
x2 200
(1.49)
Svi ostali uvjeti su zadovoljeni, i uvr štavanjem u funkciju cilja dobiva se:
Fakultet strojarstva i brodogradnje
6
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
F opt 8000
(1.50)
Slučaj 3 Pretpostavljene vrijednosti Lagrangeovih množitelja nejednakosti iznose: 1 0
(1.51)
2 0
(1.52)
15 2 1 0
(1.53)
10 3 1 0
(1.54)
x1 x2 600
(1.55)
2 x1 3x2 1700
(1.56)
3 x1 4 x2 2000
(1.57)
KKT uvjeti postaju:
Uvrštavanjem (1.53) u (1.54) dobiva se: 25
(1.58)
1 5
(1.59)
Zatim uvrštavanjem (1.55) u (1.56) dobiva se : x1 100
(1.60)
x2 500
(1.61)
Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti u uvjet (1.57) dobiva se: 3 x1 4 x2 2000 3 100 4 500 2000
(1.62)
2300 2000
iz čega se vidi da ni ovaj slučaj ne zadovoljava KKT uvjete.
Slučaj 4 Pretpostavljene vrijednosti Lagrangeovih množitelja nejednakos ti iznose: 1 0
Fakultet strojarstva i brodogradnje
(1.63)
7
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
2 0
(1.64)
15 21 3 2 0
(1.65)
10 31 4 2 0
(1.66)
x1 x2 600
(1.67)
2 x1 3x2 1700
(1.68)
3 x1 4 x2 2000
(1.69)
KKT uvjeti postaju:
Uvrštavanjem (1.67) u (1.68) dobiva se: x1 100
(1.70)
x2 500
(1.71)
Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti u uvjet (1.69) dobiva se: 3 x1 4 x2 2000 3 100 4 500 2000
(1.72)
2300 2000
iz čega se vidi da ni ovaj slučaj ne zadovoljava KKT uvjete.
1.4.6 Optimalno rješenje Nakon provedenih analiza mogućih slučajeva dobiveno je optimalno rješenje. Optimalno bi bilo proizvesti 400 automobila u pogonu 1 te 200 automobila u pogonu 2. Ukupni iznos
troškova tada bi iznosio: troškovi f ( x1, x2 ) 15 x1 10 x2 15 400 10 200 8000
(1.73)
1.5 Optimizacijski problem s tri varijable 1.5.1 Opis problema
Prostorija mora biti sagrađena od materijala koji košta 1 jedinicu po kvadratnom metru za gornju stanicu (krov), 2 jedinice po kvadratnom metru za dvije bočne strane i 3 jedinice po kvadratnom metru za prednju i stražnju stranicu. Volumen prostorije iznosi 756 m 3, a visina ne smije biti veća od 3 m. Potrebno je odrediti dimenzije prostorije da bi troškovi bili minimalni. Fakultet strojarstva i brodogradnje
8
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Slika 3. Prostorna orijentacija
1.5.2 Matematički zapis problema Troškovi izgradnje mogu se zapisati kao: troškovi f ( x, y, z ) (krov) (bočnestranice) (prednja i stražnja stranica)
xy 2 (2 yz) 3 (2 xz ) xy 4 yz 6 xz
(1.74)
Varijable: x širina
(1.75)
y duljina
(1.76)
z visina
(1.77)
Volumen xyz 756
(1.78)
Visina z 3
(1.79)
Ograničenja jednakosti i nejednakosti :
1.5.3 Optimizacijski problem
Optimizacijski problem se zapisuje kao: min f ( x, y, z) xy 4 yz 6 xz uz
h( x, y, z) xyz 756 0
(1.80)
g1 ( x, y, z) z 3 0
1.5.4 Metoda Lagrangeovih množitelja
Fakultet strojarstva i brodogradnje
9
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Formira se Lagrangeova funkcija: L( x, y, z, , 1) xy 4 yz 6 xz ( xyz 756) 1( z 3)
(1.81)
x L( x, y, z, , 1) y 6 z yz 0
(1.82)
y L( x, y, z, , 1) x 4 z xz 0
(1.83)
z L( x, y, z, , 1) 4 y 6 x xy 1 0
(1.84)
L( x, y, z, , 1) xyz 756 0
(1.85)
1 g1 ( x, y, z) 1 ( z 3) 0
(1.86)
1 0
(1.87)
KKT uvjeti glase:
Kako postoji jedan Lagrangeov množitelj nejednakosti postoje dva slučaja koja je potrebno promatrati:
Slučaj 1 Pretpostavljena vrijednost Lagrangeova množitelja nejednakosti iznosi: 1 0
(1.88)
y 6 z yz 0
(1.89)
x 4z xz 0
(1.90)
4 y 6 x xy 0
(1.91)
xyz 756
(1.92)
z 3
(1.93)
KKT uvjeti postaju:
Jednadžbe (1.89), (1.90), (1.91) i (1.92) predstavljaju sustav četiri jednadžbe s četiri nepoznanice čije rješenje iznosi:
Fakultet strojarstva i brodogradnje
x 12,63
(1.94)
y 18,95
(1.95)
z 3,16
(1.96)
10
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Kao što se vidi iz jednadžbe (1.96), vrijednost visine prostorije u ovom slučaju je veća od dopuštene, odnosno narušeno je ograničenje nejednakosti, stoga ovaj slučaj ne zadovoljava KKT uvjete. Slučaj 2
Pretpostavljena vrijednost Lagrangeova množitelja nejednakosti iznosi: 1 0
(1.97)
y 6 z yz 0
(1.98)
x 4z xz 0
(1.99)
4 y 6 x xy 1 0
(1.100)
xyz 756
(1.101)
z 3
(1.102)
KKT uvjeti postaju:
Jednadžbe (1.98), (1.99) i (1.101) predstavljaju sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice čije rješenje iznosi: x 2 42 12,96
(1.103)
y 3 42 19, 44
(1.104)
Iz KKT uvjeta, odnosno iz jednadžbe (1.102) vidljiva je vrijednost treće dimenzije: z 3
(1.105)
1 6 ,22 0
(1.106)
Iz jednadžbe (1.100) dobiva se:
Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti u funkciju cilja dobiva se: Fopt 718,5
(1.107)
1.5.5 Optimalno rješenje Nakon provedene analize mogućih slučajeva dobiveno je optimalno rješenje. Optimalno bi bilo izgraditi prostoriju širine 12,96 m, duljine 19,44 m i visine 3 m. Ukupni iznos troškova tada bi iznosio: troškovi f ( x, y, z) xy 4 yz 6 xz 12,96 19, 44 4 19, 44 3 6 12,96 3 71 8,5 (1.108) Fakultet strojarstva i brodogradnje
11
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
2. Optimalna sinteza ravninskog mehanizma 2.1 Tekst zadatka Iz literature ili primjera iz nastave odabrati primjer 2D mehanizma kod kojeg se zahtijeva
određena zakonitost gibanja točke ili člana mehanizma. Provesti postupak optimalne sinteze mehanizma, obrazložiti i opisati postupak sinteze, opisati i obrazložiti rezultate. 2.2 Sinteza mehanizma
Često se u praksi susreću slučajevi u kojima je potrebno konstruirati mehanizam koji će pratiti zadanu trajektoriju. Mehanizam kojim će se ispuniti takvi zahtjevi ostvaruje se sintezom mehanizma. No, kako često postoji više rješenja koji zadovoljavaju zadane uvjete, nakon provedene sinteze mehanizma preko koje se dobije broj i raspored članova mehanizma, potrebno je provesti i optimiranje čime se određuju optimalne dimenzije članova mehanizma. 2.3 Sinteza Chebysheva
mehanizma
Za Chebyshev λ mehanizam potrebno je provesti optimalnu sintezu mehanizma. Točka T mora se gibati po pravcu zakrenutom u odnosu na os X za 5° oko pozitivne osi Z . Za zadani
mehanizam potrebno je odrediti dužine članova a i b (d = 1) takve da otklon putanje točke T od zadanog pravca bude minimalan prilikom zakretanja pogonskog člana a za zadani kut koji iznosi 75°, 85°, 90°, 95°, 100°, 105°. Skica mehanizma zajedno s trajektorijom točke T prije izvršene optimizacije prikazana je na slici ispod.
Slika 4. Chebyshev
Fakultet strojarstva i brodogradnje
mehanizam
12
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Sinteza mehanizma provedena je u programskom paketu Wolfram Mathematica 10.0. Nakon unošenja ulaznih podataka i definiranja projektnih varijabli a i b, zajedno s kutom optimiranja od 5°, unesena je funkcija cilja
preko koje se tražilo da razlika između maksimalnog i
minimalnog odstupanja putanje od zadanog pravca bude minimalna. min yT ,max yT ,min
(2.1)
Kako bi se pojednostavnio postupak, neće se optimirati trajektorija prikazana na slici 4. nego će se cijeli koordinatni sustav zarotirati za 5° iz globalnog xy u lokalni x'y' koordinatni sustav. Na taj način će ciljani pravac u zakrenutom koordinatnom sustavu predstavljati horizontalnu liniju. Matrica rotacije definirana je na sljedeći način: cos( 0 ) sin( 0 ) cos(5o ) sin(5o ) J o o sin( ) cos( ) 0 0 sin(5 ) cos(5 )
(2.2)
Traženje minimuma ciljne funkcije riješeno je uporabom numeričke metode fleksibilnog poliedra koja se zasniva na formiranju lanaca poliedara promjenjivog smjera i veličine koji osiguravaju pomak prema minimumu funkcije cilja. Na slici 5. prikazana je ilustracija formiranja lanaca poliedara prilikom minimiziranja ciljne funkcije dvaju varijabli X1 i X2.
Slika 5. Ilustracija metode fleksibilnog poliedra
U dvodimenzionalnom prostoru početni poliedar je trokut omeđen točkama 1, 2 i 3 koje se
mogu smjestiti proizvoljno u projekti prostor, ali vodeći računa o tome da tvore istostraničan trokut kojem će se u narednim koracima mijenjati dimenzije, oblik i položaj prema čemu je metoda i dobila ime. U sljedećem koraku računaju se vrijednosti ciljne funkcije u svakoj točci poliedra i odbacuje se ona koja ima najlošiju vrijednost ciljne funkcije, a novi vrh poliedra traži se preko operacija prikazanih na slici 6.
Fakultet strojarstva i brodogradnje
13
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Slika 6. Prikaz operacija nad poliedrom
U slučaju Chebysheva mehanizma numeričko rješenje za različite kutove zakreta prikazano je na grafovima ispod gdje se vide vrijednosti ciljne funkcije po koracima.
Slika 7. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za
75
Slika 8. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za
Fakultet strojarstva i brodogradnje
85
14
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
Slika 9. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za
90
Slika 10. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za
95
Slika 11. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za
100
Fakultet strojarstva i brodogradnje
15
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Slika 12. Promjena vrijednosti ciljne funkcije po koracima za Tablica 1. Dobiveno numeričko rješenje za razne
105
kuteve zakreta
F cil=D ymax
a
b
L put
L put/D ymax
75°
0,012165
0,18548
0,52124
1,14613
94,2191
85°
0,012521
0,18512
0,52787
1,22437
97,783
90°
0,012578
0,18355
0,52841
1,26015
100,185
95°
0,01258
0,18354
0,52843
1,29355
102,827
100°
0,01258
0,18354
0,52843
1,3196
104,897
105°
0,01258
0,18354
0,52843
1,33733
106,307
Iz tablice se može zaključiti da se najbolje rješenje postiže za promjenu kuta od 105 , te da dužine članova u tom slučaju iznose: a 0,18354
(2.3)
b 0,52843
(2.4)
Putanja točke T prikazana je na slici 13.
Slika 13. Putanja točke T
Fakultet strojarstva i brodogradnje
16
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Projektni prostor i graf 14.
na kojem se vidi optimalno rješenje funkcije cilja prikazani su na slici
Slika 14. Projektni prostor za
105
Na slici 15. prikazan je izgled mehanizma s ucrtanom putanjom točke T nakon provedene sinteze.
Slika 15. Izgled mehanizma nakon provedene sinteze
Fakultet strojarstva i brodogradnje
17
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
3. Topološko optimiranje konstrukcije 3.1 Tekst zadatka a)
Provesti topološku optimizaciju nosača s domenom, opterećenjem i položajem oslonaca prema priloženim skicama. Odnos dimenzija domene l:h birati između 6:1 i 10:1. Najprije provesti optimizaciju bez otvora, a zatim s otvorima prema osobnom izboru. Udaljenost sila F od oslonaca je 0.35l.
Rješenje treba sadržavati: - opis osnova metode topološkog optimiranja; - izbor algoritma i opis njegovog rada; - rješenje zadanih problema uz variranje dimenzija otvora; - zaključak i diskusiju rezultata; b) Slobodno dostupni program BESO2D primijeniti u topološkom optimiranju nekoliko konstrukcija prema osobnom izboru.
3.2 Topološko optimiranje Iako je najčešći način primjene zakona mehanike analiza konstrukcije, tj. određivanje odziva konstrukcije (npr . polja naprezanja ili deformacija) dok su opterećenja, rubni uvjeti pomaka i geometrija konstrukcije, tj. drugim riječima topologija i oblik konstrukcije poznati, moguće je primijeniti i obrnut pristup zvan strukturalno optimiranje. U tom slučaju zakoni mehanike se upotrebljavaju kako bi se odredila topologija i oblik same konstrukcije uz unaprijed definira ne zahtjeve za odzivom konstrukcije.
Uobičajena je podjela područja optimiranja konstrukcija prema fizikalnom značenju projektnih varijabli u tri kategorije: optimiranje dimenzija, optimiranje oblika i optimiranje topologije.
Važno je napomenuti kako se promjenom oblika i dimenzija konstrukcije ne mijenja njena topologija. Tako će početna konstrukcija i konstrukcija dobivena optimiranjem dimenzija i oblika početne konstrukcije imati: - isti broj čvorova i isti broj elemenata (štapova ili greda), te elemenata u konstrukciji
isti način povezivanja čvorova i
- isti broj otvora u konstrukciji kontinuirane strukture Postoje dva osnovna tipa topološkog optimiranja, čija primjena ovisi o vrsti konstrukcije čija se topologija optimira. Za diskretne konstrukcije, kao što su primjerice rešetkaste konstrukcije
problem optimalne topologije sastoji se u određivanju optimalnog broja, pozicija i međusobne Fakultet strojarstva i brodogradnje
18
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
povezanosti strukturnih elemenata. Drugi tip topološkog optimiranja namijenjen je
optimiranju kontinuiranih struktura, kojima se oblik vanjskih i unutrašnjih rubova (kontura) optimira istodobno sa brojem unutrašnjih otvora s ciljem optimalnog zadovoljavanja zadanog projektnog kriterija.
Postoje dva osnovna pristupa topološkom optimiranju kontinuiranih struktura: a) geometrijski ili makropristup b) optimiranje temeljeno na raspodjeli materijala ili mikropristup
čime se mijenja topologija konstrukcije, a zatim se metodama optimiranja oblika traži optimalan oblik tih otvora. Osnovni problem ovakvog pristupa je kako odrediti broj i razmještaj otvora koji je potrebno dodati u konstrukciju kako bi se dobila bolja top ologija s gledišta zadanog projektnog Geometrijski pristup temelji se na dodavanju otvora u konstrukciju
kriterija. Kod optimiranja temeljenog na raspodjeli materijala kod kojeg su topologija i geometrija konstrukcije opisane tzv. „0-1“ raspodjelom materijala u prostoru domene rješenja. Optimizacijski problem zadan je domenom Ω, rubnim uvjetima i opterećenjima definiranim unutar domene Ω, kriterijem optimizacije, te ograničenjima. Svaka točka domene Ω ima svoju
gustoću zastupljenog materijala ( x) 0 ( x) , gdje funkcija raspodjele materijala ( x) može poprimati sve vrijednosti između 0 (bez materijala) i 1 (potpuno iskorišten materijal). Sama domena Ω diskretizira se određenim brojem konač nih elemenata. Može se reći kako je problem topološkog optimiranja zamijenjen problemom optimalne raspodjele materijala.
Slika 16. Proces topološkog
Fakultet strojarstva i brodogradnje
optimiranja kontinuiranih struktura 19
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
3.3 Topološko optimiranje konstrukcije Potrebno je provesti topološku optimizaciju nosača s domenom, opterećenjem i položajem oslonaca prema slici 17.
Slika 17. Skica nosača s tri različita opterećenja
Prema zadanim uvjetima, odabrane su dimenzije: l 100
(3.1)
h 10
(3.2)
Iz toga slijedi da su sile F od oslonaca udaljene za 0 ,35l 0,35 100 35 . Optimizacija će se
prvo provesti bez otvora za sve zadane slučajeve opterećenja, a zatim s uključenim otvo rom u programskom paketu Wolfram Mathematica 10.0.
Za sve slučajeve mreža konačnih elemenata je ista i definirana s 150 elemenata u smjeru osi x i 15 el emenata u smjeru osi y, odnosno s ukupno 2250 konačnih elemenata. Na slici 18. prikazana je mreža konačnih elemenata bez otvora.
Slika 18. Nosač diskretiziran s 2250
Fakultet strojarstva i brodogradnje
konačnih elemenata 20
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
3.3.1 Nosač bez otvora opterećen kontinuiranim opterećenjem Opterećenje nosača sa zadanim rubnim uvjetima prikazano je na slici 19.
Slika 19. Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjem
Na slici 20. prikazan je optimirani oblik
(nakon 40 iteracija) nosača bez otvora opterećenog
kontinuiranim opterećenjem.
Slika 20. Optimirani oblik nosača bez
otvora opterećenog kontinuiranim opterećenjem
3.3.2 Nosač bez otvora opterećen s dvije sile Opterećenje nosača sa zadanim rubnim uvjetima prikazano je na slici 21.
Slika 21. Nosač opterećen s dvije sile
Na slici 22. prikazan je optimirani oblik dvije sile.
(nakon 40 iteracija) nosača bez otvora opterećenog s
Slika 22. Optimirani oblik nosača bez otvora opterećenog s dvije sile
Fakultet strojarstva i brodogradnje
21
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
3.3.3 Nosač bez otvora opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem
Opterećenje nosača sa zadanim rubnim uvjetima prikazano je na slici 23.
Slika 23. Nosač opterećen s dvije sile
Na slici 24. prikazan je optimirani oblik
i kontinuiranim opterećenjem
(nakon 40 iteracija) nosača bez otvora opterećenog s
dvije sile i kontinuiranim opterećenjem.
Slika 24. Optimirani oblik nosača bez otvora opterećenog s dvije sile i kontinuiranim
opterećenjem
3.3.4 Nosač s otvorom opterećen kontinuiranim opterećenjem Mreža konačnih elemenata s označenim otvor ima prikazana je na slici 25.
Slika 25. Mreža konačnih elemenata s
označenim otvorima r =3 (gore) i r =2 (dolje)
Opterećenje nosača sa zadanim rubnim uvjetima prikazano je na slici 19. Na slici 26. prikazani su optimirani oblici (nakon 40 iteracija) nosača s otvor ima opterećenih kontinuiranim opterećenjem.
Fakultet strojarstva i brodogradnje
22
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Slika 26. Optimirani oblici nosača s otvorima r =3 (gore) i r =2 (dolje) opterećenih kontinuiranim
opterećenjem
3.3.5 Nosač s otvorom opterećen s dvije sile Opterećenje nosača sa zadanim rubnim uvjetima prikazano je na slici 21. Na slici 27. prikazani su optimirani oblici (nakon 40 iteracija) nosača s otvor ima opterećenih s dvije sile.
Slika 27. Optimirani oblici nosača s otvorima r =3 (gore) i r =2 (dolje) opterećenih s dvije sile
3.3.6 Nosač s otvorom opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem Opterećenje nosača sa zadanim rubnim uvjetima prikazano je na slici 23. Na slici 28. prikazani su optimirani oblici (nakon 40 iteracija) nosača s otvor ima opterećenih s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem.
Slika 28. Optimirani oblici nosača s otvor ima r =3 (gore) i r =2 (dolje) opterećenih s dvije sile i
kontinuiranim opterećenjem Fakultet strojarstva i brodogradnje
23
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
3.4 BESO2D programski paket BESO2D (eng. Bi-directional Evolutionary Structural Optimization) slobodno je dostupan
programski paket za topološko optimiranje konstrukcija. Iskoristit će se za topološko optimiranje nosača iz prethodnog primjera prikazanog na slici 17., ali bez otvora , te će se napraviti usporedba s prethodno dobivenim rezultatima u programskom paketu Wolfram Mathematica 10.0.
Mreža konačnih elemenata prikazana je na slici 29.
Slika 29. Mreža s 2250 konačnih elemenata
Dodana su svojstva materijala: E 210000MPa
(3.1)
0 ,3
(3.2)
7800kg/m3
(3.3)
3.4.1 Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjem Opterećenje i rubni uvjeti prikazani su na slici 30.
Slika 30. Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjem
Na slici 31. prikazana je raspodjela naprezanja nosača .
Slika 31. Raspodjela naprezanja nosača opterećenog
Fakultet strojarstva i brodogradnje
kontinuiranim opterećenjem
24
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Na slici 32. prikazan je
optimirani oblik nosača opterećenog kontinuiranim opterećenjem zajedno s optimiranim oblikom nosača dobiv enog programskim paketom Wolfram
Mathematica 10.0.
Slika 32. Optimirani oblik nosača dobiven programskim paketima BESO (gore) i Mathematica (dolje)
3.4.2 Nosač opterećen s dvije sile Opterećenje i rubni uvjeti prikazani su na slici 33.
Slika 33. Nosač opterećen s dvije sile
Na slici 34. prikazana je
raspodjela naprezanja nosača.
Slika 34. Raspodjela naprezanja nosača
opterećenog s dvije sile
Na slici 35. prikazan je optimirani oblik
nosača opterećenog s dvije sile zajedno s optimiranim oblikom nosača dobivenog programskim paketom Wolfram Mathematica 10.0.
Fakultet strojarstva i brodogradnje
25
Optimiranje konstrukcija
Mario Pandža
Slika 35. Optimirani oblik nosača dobiven programskim paketima BESO (gore) i Mathematica (dolje)
3.4.3 Nosač opterećen s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem Opterećenje i rubni uvjeti prikazani su na slici 36.
Slika 36. Nosač opterećen s dvije sile
Na slici 37. prikazana je
i kontinuiranim opterećenjem
raspodjela naprezanja nosača.
Slika 37. Raspodjela naprezanja nosača opterećenog s dvije sile
i kontinuiranim opterećenjem
Na slici 38. prikazan je optimirani oblik
nosača opterećenog s dvije sile i kontinuiranim opterećenjem zajedno s optimiranim oblikom nosača dobivenog programskim paketom Wolfram Mathematica 10.0.
Slika 38. Optimirani oblik nosača dobiven programskim paketima BESO (gore) i Mathematica (dolje)
Fakultet strojarstva i brodogradnje
26
Mario Pandža
Optimiranje konstrukcija
3.5 Osvrt na rješenje U slučaju analize domene bez središnjeg otvora najveća razlika u rješenju može se primijetiti između slučajeva kontinuiranog opterećenja i opterećenja koncentriranim silama. U prvom slučaju vidljiv je veći broj potrebnih štapova raspoređen skoro duž cijelog nosača, a u drugom slučaju manji broj štapova, malo većeg poprečnog presjeka, postavljenih bliže osloncima. Također, može se primijetiti da za sva tri slučaja opterećenja sredina nosača ostaje neiskorištena, tj, nepopunjena materijalom. Stoga, ne čudi da se prilikom analize domene sa središnjim otvorom, bilo da se radi o većem ili manjem otvoru, rezultati ne razlikuju previše u odnosu na one dobivene u prvom slučaju. Osim u programskom paketu Wolfram Mathematica, analiza istih nosača provedena je i u slob odno dostupnom programskom paketu za topološko optimiranje konstrukcija BE SO2D. Rezultati dobiveni tim programskim paketom ne razlikuju se previše od rezultata dobivenih u Wolfram Mathematici, pogotovo u slučaju opterećenja samo dvjema koncentriranim silam a.
Fakultet strojarstva i brodogradnje
27
