02-Optimasi Tanpa Kendala (Materi)

OPTIMASI TANPA KENDALA TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

REVIEW • Disebut juga unconstrained optimization • Optimasi suatu fungsi tanpa adanya syarat-syarat tertentu yang membatasinya • Dibedakan menjadi 2, yaitu: – Optimasi tanpa kendala dengan satu variabel bebas – Optimasi tanpa kendala dengan lebih dari satu variabel bebas

OPTIMASI TANPA KENDALA DENGAN SATU VARIABEL BEBAS

KEOPTIMALAN FUNGSI • Kondisi perlu (necessary condition) untuk sebuah fungsi agar dapat mencapai kondisi optimal adalah derivatif pertama atau turunan pertama dari fungsi harus bernilai atau sama dengan nol

f  x  0 x

MAKSIMUM ATAU MINIMUM • Untuk mengetahui apakah nilai optimal suatu fungsi adalah maksimum atau minimum dapat dilihat dari kondisi cukupnya (sufficient condition), yaitu dilihat dari nilai derivatif kedua atau turunan kedua fungsi tersebut.  2 f  x  0; optimum maksimum 2  x  2 f  x  0; optimum minimum 2  x

CONTOH (1) Diketahui fungsi penerimaan total (total revenue) atas penjualan roti di Toko Sedap adalah TR = 64x - 4x2 + 5000. Tentukan jumlah produk yang terjual untuk dapat mencapai penerimaan maksimum dan buktikan apakah nilai optimal tersebut optimum!

CONTOH (2) Manajer keuangan PT. Maju Terus telah merumuskan biaya produksi untuk produk AC mereka sebagai fungsi biaya TC = 8x2 – 1440x + 80000 dimana x merupakan jumlah AC yang diproduksi. Tentukan jumlah produk yang harus diproduksi untuk dapat mencapai biaya minimum dan buktikan bahwa nilai optimal tersebut optimum!

CONTOH (3) Diketahui fungsi biaya total atas produksi pensil merk XYZ adalah TC = 1/3x3 – 19x2 + 360x + 780. Tentukan jumlah produk yang harus diproduksi agar biayanya minimum dan buktikan apakah nilai optimal tersebut optimum!

OPTIMASI TANPA KENDALA DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABEL BEBAS

KEOPTIMALAN FUNGSI Misal suatu fungsi y = f(x1, x2, xn). Untuk menentukan nilai optimal fungsi, maka turunan parsial (partial derivatif) pertama dari fungsi tersebut harus bernilai nol. y  F1  0,..........persamaan 1 x1 y  F2  0,..........persamaan 2 x 2 y  Fn  0,..........persamaan n x n

MAKSIMUM ATAU MINIMUM Untuk menguji apakah nilai optimal suatu fungsi y = f(x1, x2, xn) bernilai optimum maksimum atau minimum, digunakan Hessian Matrix. H1  F11 H2 

F11

F12

F21

F22

F11 F12 ... F1n H 3  F21 F22 ... F2 n F31

F32 ... F3n

Fij sebagai unsur hessian matrix merupakan turunan parsial (partial derivatif) kedua dari fungsi y.

CONTOH (1) PT. Enaak memproduksi dua macam produk, yaitu sirup jeruk dan sirup leci. Diketahui fungsi penerimaan total atas penjualan kedua produk tersebut adalah TR = 20x1 –x12 + 10x2 – x22. Tentukan jumlah produk terjual agar penerimaannya maksimum dan buktikan bahwa nilai tersebut optimum!

CONTOH (2) Diketahui fungsi biaya atas produksi sepatu dan kaus kaki suatu perusahaan adalah TC = 4x12 – 136x1 + x22 – 54x2 + 21000 dimana x1 merupakan jumlah produksi sepatu dan x2 merupakan jumlah produksi kaus kaki. Tentukan jumlah sepatu dan kaus kaki yang harus diproduksi agar biayanya minimum dan buktikan bahwa nilainya optimum!

Any Question??

TERIMA KASIH ATAS PERHATIAN ANDA