UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA) FACUL FACULT TAD DE D E INGENIERÍA INGEN IERÍA ELECTRÓNICA ELEC TRÓNICA Y ELÉCTRICA ELÉCT RICA E.A.P. INGENIERÍA DE ELECTRÓNICA
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INTRODUCCIÓN.TIPO DE ONDAS Ondas transversales y longitudinales En las ondas transversales la perturbación es en una direción perpendicular al desplazamiento de la onda. En el caso de las ondas longitudinales, la perturbación es en la misma dirección. Teniendo en cuenta el medio en el que se propagan:
Ondas mecánicas, que se propagan en un medio en el que la substancia que constituye el medio es la que se deforma. La deformación tiende a corregirse mediante fuerzas restauradoras que aparecen como consecuencia de la deformación. Ondas en una cuerda Ondas de sonido, que se propagan en un fluido, generalmente aire Olas, tsunamis
Ondas electromagnéticas: Un tipo de ondas pueden viajar en el espacio vacío, y se denomina radiación electromagnética, luz visible, radiación infraroja, radiación ultravioleta, rayos gamma, rayos X, microondas, ondas de radio y TV. Este tipo de ondas consiste en campos eléctricos y magnéticos oscilando en la dirección perpendicular al movimiento.
Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo. Vibración
Propagación
Ondas transversales: Las oscilaciones ocurren perpendicularmente a la dirección de propagación en que se transfiere la energía de la onda. Así ocurre por ejemplo en una onda viajera en una cuerda tensa, en este caso la magnitud que varía es la distancia desde la posición horizontal de equilibrio. Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales.
Vibración
Propagación
Ondas longitudinales: Aquellas en que la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Así el movimiento de las partículas del medio es o bien en el mismo sentido o en sentido opuesto a la propagación de la onda. Por ejemplo, la propagación del sonido en un fluido: lo que cambia en este caso es la presión en el medio.
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INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO Espacio
Tiempo
y f x v t
Ecuación de ondas
Velocidad de fase
Signo -
La ecuación de onda describe una onda viajera si está presente el grupo ( x v t ). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio, caso distinto del de las ondas estacionarias que se considerarán después.
La onda viaja hacia la derecha
Forma de onda (perfil) f
Y 0,15
Signo + 0,10
La onda viaja hacia la izquierda 0,05
Y 0,15 0,00
Forma de onda (perfil) f
y f x v t
0,10 -0,05 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
X
0,05
0,00
y f x v t
X
-0,05 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
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ONDAS ARMÓNICAS Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno. Onda armónica moviéndose hacia la derecha y A cos
o
Ecuación de onda
2
y A sin
2
y
x v t
x
es una distancia
Podemos elegir cualquiera de las dos formas 2 añadiendo una fase inicial 0 al argumento de y A cos x v t 0 la función …… lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia. Por ejemplo: Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces 0 = 0 y nos queda 2
x v t
x x0
y
yt cos
¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno? Respuesta: y A sin
2
x
0 / 2
x v t / 2
Esto describe exactamente la misma onda Recordatorio: sin
/ 2 sin
/ 2
Una cosa más Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico.
x x0
x v t
y A cos
?
2
x0 v t 0
y depende sólo del tiempo
Perfil de onda en t = 0
sin / 2
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ONDAS ARMÓNICAS / 2
Periodo
2
Ec. de onda armónica x v t 0 Recordatorio: la función coseno f t f t T y A cos (eligiendo forma coseno) es periódica, verificando que. Fase Desplazamiento
y A cos
Espacio
2
Tiempo
x v t 0
Amplitud
Fase inicial
Velocidad de fase
Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad
espacio tiempo
Longitud de onda Puntos en fase
Cresta
y
y
T y x0 ,t 1
A y x ,t 1 0
x x1
x x2
x
T
t t 1
t t 2
t
y x2 ,t 0
-A
Valle Perfil de onda para t = t 0
Period
y x0 ,t 2
Dependencia temporal en x = x0
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ONDAS ARMÓNICAS / 3 2
Ec. de onda armónica x v t 0 y A cos (eligiendo forma coseno) Fase Desplazamiento
Tiempo
Espacio
y A cos
2
Amplitud
x v t 0
Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A. Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es 2 . . Número de ondas k : número de ondas contenido en una vuelta completa (2 radianes). A veces se le llama número de ondas angular o número de ondas circular. 2 k Unidades S.I.: rad/m, pero a menudo se indica solo m-1.
Fase inicial
Velocidad de fase
Periodo T : tiempo que tarda la fase de la onda armónica en aumentar 2 radianes.
Frequencia f : inversa del periodo. La frecuencia nos dice el número 1 de oscilaciones por unidad de f T tiempo. Unidades S.I.: s-1 (1 s-1 = 1 Hz). Frecuencia angular : número de oscilaciones en un intervalo 2 2 f T de fase de 2 radianes.
2 / 3 m
k
2
1st onda
2nd onda
f
1
2
Hz
2
2
4 rad/s
3 m-1
x (m)
3rd onda
La velocidad de fase está dada por t (s)
2 / 3
2
T / 2 s
2
2
v
T
k
En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de onda se escribe como
y A cosk x t
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EJEMPLOS
Ejemplo 1: pulso viajero Ecuación de onda
y
4 2
El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) a razón de 0.50 m/s
4 x v t
donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
1,0
t = 5
y (m)
t = 10
t = 0
0,8
Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.
0,6
0,4
0,2
0,0 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x (m)
8
8
EJEMPLOS / 2
Ejemplo 2: pulso viajero Ecuación de onda
y
sen2 x t 2
1 2 x t
donde x, y están en m, t en s Escribamos la ecuación de onda de modo que el grupo x+v·t aparezca explícitamente Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
y
Este pulso se mueve hacia la izquierda (sentido negativo del eje X) a razón de 0.50 m/s. Véase que v t = t /2.
t sen 2 x 2 t 1 4 x 2
2
0,5
y (m)
0,4
t = 0
0,3
t = 2
0,2
t = 4
0,1 0,0 -0,1 -0,2
Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.
-0,3 -0,4 -0,5 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x (m)
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EJEMPLOS / 3
Ejemplo 3: onda armónica viajera Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 1.00 m/s
Onda armónica y cos x t donde x, y están en m, t en s Comparar con y A cosk x t
k 1 m-1
2
2 m
2
1 rad/s
A 1 m
v
T 2 s
T
f
1 T
1 2
s
-1
k
v
Hz
T
1 rad/s
1 m -1 2 m 2 m
1 m/s
1 m/s
1,2
1,0
y (m)
t = 0
0,8
t = 1
0,6 0,4
t = 2
0,2
0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
-1,2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x (m)
10
EJEMPLOS / 4
Ejemplo 4 Onda armónica
y cos2 x t sin2 x t
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 0.50 m/s
donde x, y están en m, t en s Número de ondas y frecuencia
y (m) ,
y coskx t sinkx t
t 0 t
1,6 1,4
Comparando A = 1 m, y k 2 m
2 k
-1
m
2
t
1,0
2
T f
1 T
4
1,2
0,8
1 rad/s
0,6 0,4
2 s
0,2 0,0 0,2
1 2
0,4
s
-1
0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Velocidad de fase v
1 rad/s k
2 m -1
1,6 1,8
0.5 m/s
0
1
2
3
4
5
6 6
7 7
8
x (m)
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