SEMINARIO DE ARITMÉTICA CICLO: ANUAL – UNI 2002-I EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Se conoce que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación están bien definidas en el conjunto de los los enter enteros os Z, es deci decirr que que la suma suma,, dife difere renci nciaa y producto de 2 números enteros, es otro entero (Ley de Clausura ó cerradura). Ahora, si consideramos un par de números enteros, a y b (b ≠ 0) y establecemos el cociente a ÷ b ó a/b; tal que:
a = c ⇔∈Z. 28= 7∈Ζ . b 4 15=3∈Z. 28=7∈Z 5 4
Por
ejemplo:
1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 ,......... ......... 2 4 6 8 10 12 3, 6 , 9 , 12, 15, 18, .......... ... 7 14 21 28 35 42 5, 10, 15, 20, 25, 30, .......... ... 1 2 3 4 5 6
Pero:
13= c∉Z yaquenoexiste c∈Z t 2 De ahí ahí que que la oper operac ació ión n de divi divisi sión ón no este este bien bien defi defini nida da en z, sien siendo do nece necesa sari rio o defi defini nirr un nuev nuevo o conjunto donde este incluido Z y estén bien definidas las operaciones de adición, sustracción multiplicación y división y ampliando Z.
De aqu aquí se defi efine una rela elación en Z x Z* de equivalencia: “R”: “R”: dados 2 pares ordena enados a/b y c/d son equivalentes si y sólo si ad = bc, denotado:
a~c b d
⇔ad= bc
por
ejemplo:
2 ~ 6 yaque2×9 = 6×3 3 9
Consideramos el conjunto de pares de entero: (a; b) con b≠ 0 que denotemos mediante la operación de división:
Por ser una relación de equivalencia cumple con ser:
a :z* =Z −{0} b Z ×Z *
a)
a ~ a yaqueab= ba b b
={ a b b ≠0}
De aquí hay muchos pares ordenados aparentemente son diferentes pero “consideramos” como el mismo.
Refle Ref lexiv xivaa:
que que
b)
Simét Sim étric ricaa:
a ~ c ⇒ c ~ a yaque: b d d b
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2
a ~ c ⇒ ad= bc b d
Observándose que no hay un par que pueda estar en 2 clases, de aquí que sean disjuntos y que la unión de todas las clases de equivalencia de esta forma nos de
⇒ bc= ad ⇒ cb= da ⇒ c =a d b c)
Transitiva:
Z×Z* .
Definición: El conjunto de los números racionales es:
Q = a / (a,b)∈ Z × Z * , donde a b b
a ~ c ∧ c ~ e⇒ a ~e b d d f b f
a c ~ ⇔ ad= bc b d
a sellamaclase a/bo número racional b
adcf = bcde⇒ a
c e ~ ⇔ cf = de d f
⇒
a b
Según esto es posible clasificar a todas los pares a/b *
Representación gráfica de Q como partición de Z×Z*
*
de Z×Z , es decir que se está particionando Z ×Z en clases de equivalencia o simplemente clases, por ejemplo: 1/2 pertenece a la clase.
...,-4 , -3 , - -2 , -1 , 1 , 2 , 3 -8 -6 - 4 - 2 2 4 6
Observaciones: 1) El conjunto Q es un conjunto de conjuntos de conjuntos donde cada número racional tiene infinidad de representantes.
2)
La gráfica de cualquier clase
a b
es parte de
una recta que pasa por el origen y cuya Que llamaremos [1/2] ó [4/8] entendiéndose que nos indica la clase a la cual pertenece 1/2 ó 4/8, los cuales son representantes de una misma clase, siendo el representante “canónico” aquel cuyos términos son enteros positivos PESI. Otras clases:
{
-3 = ...,-9 , -6 , -3, 3 12 8 4 - 4 4
{
1 = ...,-3 , -2 , -1 , 1, - 3 - 2 -1 1 4
{
0 = ..., 0 , 0 , 0 , 0 - 3 - 2 -1 1 2
pendiente es
3)
Se
b. a tiene
que
1 2 -1 , osea1 = 2 -1 2 4 -2 2 4 -2 De lo anterior tenemos que pese a que ½ y -1/-2 son pares ordenados diferentes, según nuestra relación “∼” son equivalentes y en forma usual decimos que son iguales, de modo que cuando hablemos del número racional [1/2] simplemente diremos, el número racional ½ que podemos llamarlo 2/4 ó -1/-2, etc.
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3
El conjunto Z coincide con el conjunto de clases
n n , con 1 1
= n luego Z
⊂Q
5.
cualesquiera distintos(una mayor que otro), siempre puede encontrarse otro número racional que en forma particular podría ser la misma de los dos racionales dados. Veamos en la recta numérica.
Refiriéndonos a 2 cualesquiera números racionales a/b y c/d, definimos para ellos:
Adición:
a c ad+ bc + = b d b.d
Sustracción:
a c ad−bc − = b d b.d
a c Multiplicación: . b d División:
Ejemplos:
=
En general si tenemos 2 números racionales a y b tal que: a a
a+a
a.c b.d
a c a.d + = b d b.c
2 9 y 3 5
Si escogemos
c=
b+a : ∈Q, tenemo 2
2 9 2.5+9.3 37 + = = 3 5 3.5 15 2 9 2.5+9.3 17 − = = 3 5 3.5 15
Es importante darse cuenta que sea cual el punto que se elija hay una infinidad de números racionales próximos a él.
2 9 2.9 18 x = = 3 5 3.5 15
Pese a lo anterior, no es posible que los números racionales cubran toda la recta numérica y la cuál todavía tiene “huecos” que corresponde a otros números los llamados números racionales, por ejemplo:
2 9 2.5 10 x = = 3 5 3.9 27
2,− 2,
3
3,− 3
,
3
2,− 2, ........ ,
: los cuales no pueden provenir de dividir 2 números enteros. Vemos la representación geométrica de 6.
Definición: La relación ≤ (de orden) en un conjunto A se llama denso, si dados dos elementos cualesquiera a y b de A. Tales que a < b, existe un elemento c ∈ A tal que a < c < b. De lo anterior tenemos que Q es denso con el orden ≤ o sim plemente, pues entre 2 racionales
2
y
− 2.
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4 i)
Propia: Cuando es menor que la unidad
A <1 , de donde A < B B
ƒ=
Que se obtiene al hacer girar en sentido horario y antihorario respectivamente al extremo final de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tomándolo como radio centrado en O. Veamos analíticamente que racional; si lo fuese
ii)
Impropio: Cuando es mayor que la unidad
A <1 , de donde A > B B
ƒ=
2 non es
2 podría ser igual
Ejemplos:
al representante canónico de algún racional, osea:
1 3 11 , , son fracciones propias 2 4 21 5 17 16 ; ; **** son fracciones 2 11 35 *
2 =P, dondep y q son P 2q2
=>
p2 ......... (1)
=
p2 es par = > p espar , de la forma2k = >
En (1): 2q2
OBS: Toda fracción impropia se puede como
(2k)2
=
q2
= >
una fracción mixta, osea con parte entera más una fraccion impropia.
2k2
=
Se obtuvo entonces que p y q son partes, lo cual es imposible pues son PESI, pero esta imposibilidad a contradicción deviene de que pensábamos al inicio de que
impropias
2.
Por su denominador
i)
2 era un número racional.
De lo anterior la recta numérica quedaría completa y representaría a la recta real, debiendo entenderse que el conjunto de los números reales es la unión disjunta (intersección nula) de los conjuntos de números racionales con el de los irracionales.
Son aquellos números racionales que no son enteros.
A B
ƒ=
ii)
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Decimal : Cuando su denominador es una potencia entera de 10
, B = 10t ; k ∈ Z-
Ordinario o común : Cuando su denominador no es una potencia entera de 10
f = ƒ=
A y B ∈Z ; B
≠0
y A
≠
Clasificación de las fracciones: 1.
Por la comparación de su valor con respecto a la unidad
A B
, B ≠ 10t; k ∈ Z+
Ejemplos:
*
7 37 25 son fracciones , , 100010 10
decimales
**
4 17 24 , , 5 16 28
ordinarias
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son fracciones
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3.
5
3; 7 ; 9 ; 3 →3×21; 7×9 ; 8 10 13 4 3×21 10×9
Por su grupos de fracciones
i)
Homogéneas: Cuando todas tienen igual denominador ∴
ii)
Heterogéneas: Cuando al menos dos de sus denominadores son diferentes
4.
3< 9 < 7 < 3 8 13 10 4
Por los divisores de sus términos
Ejemplos
Reductible: Cuando sus términos tienen
i)
2 9 20 * son fracciones homogénas , , 9 7 7 1 6 30 ** son fracciones heterogéneas ; ; 6 5 18
divisores comunes, osea A y B no PESI Ejemplo:
ii)
Irreductible: Cuando sus términos no tienen divisores en común, o sea son PESI
OBS: i. Para comparar el valor de 2 fracciones se puede utilizar la forma siguiente:
Observaciones:
Ejemplo: ¿Quién es mayor 3/7 ó 15/19?
1.
3 ??15 → 3 × 19 ??15× 7 7 19 7 19 19 7 (I)
(II)
(II)
Dado el conjunto de fracciones homogéneas, será mayor aquella que presente mayor numerador Ejemplo: Ordenar de mayor a menor:
P d
=
P Q
=
P; dp dp
Q d =
=
q
p y q P.E.S.I.
p esfracción irreducti l q
Ejemplos:
* 20 ; 36 ; 28 esfracción irred 16 26 16 * * 7 ; 18 ; 17 sonirreductib le 13 13 27
8>7> 3 ∴ 3 5 20 Dado un conjunto de fracciones con igual numerador será mayor la que tiene menor denominador y recíprocamente será menor la que tiene mayor denominador. Ejemplo: Ordenar de menor a mayor
una fracción reductible entonces
fracción irreductible equivalente a f 1 se divide cada término entre “d”
8 ; 9 ; 7; 3 →8×20; 9× 3 15 5 20 3×20 15×
iii.
P Q
MCD(P,Q) = d ≠ 1 luego, para lograr obtener la
Determinando, por comparación, la relación de orden entre 57 y 105 (57<105) se tiene la misma relación de orden en (II) y por consiguiente en (I), verificando que: 3/7 < 15/19 ii.
Sea f 1 =
2.
A partir de dos fracciones irreductibles se puede obtener todas las fracciones equivalentes a ellas Ejemplo:
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Determinar una fracción equivalente a 27/72, sabiendo que la diferencia de sus términos es 15.
Sol:
27=3 , la función es: A =3k B 8k 72 8
Por dato: 8k – 3k = 15; k = 3
Luego:
A =3(3)- A = 9 B 8(3) B 24
Propiedades
1.
Siendo n∈Z+ i) ii)
A < 1f → = 1 B A < 1f → sea f 1= B
sea f
2.
A f+ nf < 1 ∧ = 2 B+ n Af + n f <1 ∧ 2= B+ n
1< 2 1< 2
Dadas las fracciones irreductibles f 1 =
a b
y
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