INDICE
1. L AS PROPOS PROPOSII CION CI ONES ES DE L A TEORI T EORI A DE NUMER NUMEROS OS.. 2. OTROS OTR OS PROBLEM PROBL EM AS FAM FA M OSOS OSOS.. 3. L O NECESARI NECESARIO O Y L O SUFICI SUFICI ENTE. 4. PRI PRIME MERAS RAS PROPOSI PROPOSI CION CI ONES ES SOBRE DI VI SI BIL I DAD 5. ALGUNOS PASATIEMPOS IMPOSIBLES 6. TRES TR ES PROPI EDADES DE LOS L OS ENTEROS ENTE ROS POSI POSI TI VOS 7. SUMATORIA UMATORIA Y MULTI PLICATORIA 8. EL MAXI MO COMUN DI VISOR VISOR 9. ECUACIONES L I NEALES DIOFANTI DIOFANTI NAS 10. L A REL ACI ON DE CONGRU CONGRUENCIA ENCIA ENTRE E NTEROS 11. NÚMEROS, NÚMEROS, NUM NUM ERAL ES Y SI STEM TE M AS DE NUMERACI NUMERAC I ÓN 12. NUMERACIONES POSICIONALES 13. CRITERI CRI TERI OS DE DI DI VIS VI SI BIL I DAD Y CONGRU CONGRUENCIAS ENCIAS 14. TODO DEPENDE DEPENDE DE DE SABER SABER CONTAR 15. AL GORIT M OS BASADO BASADOS S EN EL SISTEM A DE DE NUM NUM ERACI ON ANEXOS: A1. A1. EL MÉ TODO TODO AXI OMÁTI CO A2. A2. AXI AX I OMAS OMA S DE LOS ENTEROS A3. A3. EL PRI PRINCIPI NCIPI O DEL DEL BUEN ORDEN ORDEN
1. L AS PROPOS PROPOSII CI ON ONES ES DE L A TEORI T EORI A DE NUME NUMEROS ROS..
Indudablem ndudablemente la base base de todo ese inm inmenso enso océano que es la la matemática ática radica radica en en la la aritm aritméti ética ca y la geom geometrí etría. a. Nuestro uestro estudio estudio se centrará en la la prim pri mera de éstas éstas que trata, como la Teoría eoría de Números, úmeros, de los números natural naturales es y enteros. enteros. Se trata de anal analizar proposiciones que se refieren a éstos. El lector entonces, debe tener confianza en el estudio que inicia pues trabajará básicamente con los los el elementos con los los cual cuales indud indudab abllemente debe debe estar star fam f amiliarizado. arizado. Sin Sin em embargo bargo el exceso exceso de confi confianza no es es conveni conveniente ente pues, pues, como comenta comenta J ames R. Newman: "Se "Se supone comúnm comúnmente ente que la aritm aritméti ética ca es es la la rama más senci sencillla de las Matem atemáticas. áticas. Nada más lejos de la la verdad. verdad. El tem tema es es dif difícil cil de plan plante tear ar aunque aunquese adm admite que que la prácti práctica ca dela aritm aritmét étiica el elemental ental es bas bastan tante te fácil ácil". En ef efecto, comprobar comprobar la la falsedad alsedad o veraci veracida dad d de proposiciones como 22+23=45 ó 425×236=263020 es una tarea de la aritmética elemental que puede puede resolver resolver cualqui cualquier er al alumno umno de tercero prim primaria. aria. No se necesi necesita ta más que el sim simple ple manejo de algoritmos1 y‚ esto es lo que en la mayoría de los casos se enseña en la matem atemática de la escuel scuela prim primaria. aria. L a justif ustificación de éstos y otros al algoritm goritmos, os, as asíí como como la la verificación de propiedades más generales exigen casi siempre mayor madurez matemática. Así los griegos pitagóricos sabían que la suma de los n primeros números impares coinciden con n2. Este hecho se comprueba comprueba fácil ácilmente para casos particul particulares. ares. Por ejempl ejemplo, o, llos os prim primeros 4 números números im impares son: 1,3,5 1,3,5 y 7 cuya sum suma es 16. ¿Pero ¿Pero cómo cómo comprobar que en todos los casos se cumple?
1
Un algoritmo se puede entender como una receta o procedimiento para efectuar una tarea.
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
rgumentación ón geom geométri étrica ca para para compro comprobar bar que la sum suma delos prim pri meros Figura 1. A rgumentaci impares es un número cuadrado perfecto. Podríamos sumar los primeros 100 impares desde 1 hasta 199 y obtener 10.000 o comprobar con ayuda de modernos computadoras para números muy grandes y muchas veces, obteniendo siempre resultados positivos y sin embargo siempre faltarían casos y no podremos estar convencidos absolutamente de que la proposición analizada sea cierta para todo número natural. Con ayuda ayuda de la intui intuici ción ón geom geomé étrica trica pode podemos convence convencernos rnos de la la certeza certeza de de la proposici proposición ón tal tal y como como razonaban razonaban los prim primeros matem atemáticos. áticos. Observando Observando la la figura 1, se nota cómo al ir añadiendo impares siempre se obtiene un cuadrado de lado igual al número de impares que se llevan. Aunque este este argumento no es una dem demostraci ostración ón en el se senti ntido do moderno, moderno, es induda indudabl ble e que es una muy buena explicación que nos exime de cualquier intento de comprobación con muchos números. Vemos entonces entonces que no vasta sum sumar, ar, restar, etc. para anal analiizar la l a verdad verdad o fal falseda sedad de las proposiciones aritméticas, y que para hacerlo es necesario utilizar otras ramas del saber matem atemático, ático, como en en el caso expuesto expuesto en el el cual nos hem hemos ayudado ayudado con la la geom geometrí etría. a. En realidad son pocas las ramas de las matemáticas que no se utilizan en lo que hoy se denomina "Teoría de Números" que es al fin y al cabo una aritmética avanzada y que como se comentaba anteriormente es mucho más difícil de lo que en principio puede uno suponer. Para dar una dimensión de los problemas centrales de esta rama de la matemática -que no se trabajarán en este texto-, comentaremos por ahora el famoso "Último teorema de Fermat" como un problema planteado hace más de tres siglos y que a pesar de los grandes
esf esfuerzos dedicados dedicados y a los los avances avances de otras ramas ramas de la Mate Matem mática, ática, no ha podido podido ser resuelto. Alrededor de 1637 1637 Fermat, ermat, juri jurista sta y parlam parlamentario ntario francé francéss cuya diversi diversión ón era era las las matemáticas y del cual el lector oirá hablar mucho, escribió al margen de un libro -la Aritmética de Diofantus-: "Es im imposibl posible e descomponer poner un cubo como la l a suma de dos cubos, una cuarta potencia o en general cualquier potencia como la suma de dos potencias del mismo orden orden mientras entras éste sea mayor que dos, dos, y ciert ciertam amente he encontrado ncontrado una dem demostraci ostración ón magnífi agnífica ca de esto esto pero el marge argen n es demasiado asiado peque pequeño para para contener contenerla".
En otras palabras lo que Fermat aseguraba tener demostrado era que la ecuación:
xn+yn=zn no tiene solución para x, y, z, enteros no nulos y siendo n un entero mayor que 2. Esta sencilla proposición no ha podido ser demostrada ni refutada, a pesar del gran avance de la matem atemática ática y de los grandes matem atemáticos áticos que lo lo han intenta intentado. do. Nótese que paran=2 existen muchas triplas de enteros x, y, z que resuelven la ecuación (por ejemplo, x=3, y=4, stas reci recibe ben n el el nombre nombre de Tripla z=5). Estas Triplas s Pita Pitagórica ricas. Esta pequeña introducción ha querido mostrar al lector nuestro objeto de estudio, los números enteros, objetos con los cuales estamos familiarizados desde niños y que a pesar de haber sido trabajados por la humanidad por siglos y siglos contienen gran cantidad de misteri sterios. os. Por Por esto la la Ari Aritm tmét étiica coronada coronada por Gau Gauss ss como la la rei reina de las matem atemáticas es es al decir de Bell "el último gran continente salvaje de las matemáticas". PREGUNTAS PREGUNTAS Y EJ ERCI CIOS CI OS..
suma de los prim primeros n números forman los números triangulares como se muestra 1. L a sum enseguida:
a. "La suma de dos números triangulares seguidos da un número cuadrado perfecto".
Por ejemplo, l0+l5=52 mientras 10+6=42. Explique con un argumento geométrico él por qué de esta proposición. b. Completando el cuadrado demuestre que el n-ésimo número Triangular es n(n+1)/2. 2. Las propiedades que hoy en día se exponen sobre las operaciones entre números se
pueden argumentar de manera geométrica.
Por ejemplo la famosa identidad
(a+b)2=a2+2ab+b2 se explica por medio de dibujo de la figura:
a b
a2
a+b
b2
a. Argumentar de manera geométrica la propiedad distributiva: a(b+c) = ab +ac. b. Lo mismo para las siguientes identidades: (a-b)b=ab-b2, (a+b)(a-b)+b2 =a2. 3. ¿Qué civilizaciones anteriores a la griega conocieron las triplas Pitagóricas? 4. Si x, y, z es una tripla pitagórica también son triplas pitagóricas sus dobles y en general kx, ky, kz también para k entero positivo. ¿Por qué‚? La tripla kx, ky, kz es un múltiplo
de x, y, z. Muestre una tripla pitagórica queno sea múltiplo dela ya citada 3, 4, 5.
2. OTROS PROBLEM AS FAMOSOS.
En la aritmética como en la geometría los griegos constituyen la primera gran ruptura que el hombre conoce en la historia de la matemática, pues no se conoce cultura anterior que haya comprendido el concepto de 'demostración'.
Más aun, la aristocracia griega
despreciaba la aritmética práctica que se aplicaba al comercio y que llamaban logística, tal vez como reacción o muestra de admiración ante el gran edificio que se construía sobre la aritmética teórica. Euclides en sus célebres ELEMENTOS DE GEOMETRIA dedica cuatro de los trece libros a este tema. La siguiente proposición es un magnífico ejemplo de la elegancia y acierto de la matemática helénica. Proposición 1. Los números primos son infinitos. Demostración. Supongamos lo contrario, es decir que sólo hay un número finito de primos
lo que implica que existe una enumeración de tales números digamos p1, p2, p3, ...,pn. Consideremos el número m=p1×p2×p3×...×pn+1. Este número no puede ser primo por cuanto estamos suponiendo que todos los primos son p1, p2, p3, ...,pn y m es mayor que todos ellos, entonces m debe ser no primo y se debe dejar dividir por al menos uno de los primos digamos pi. Pero esto tampoco es posible (¿Por qué?) Tenemos entonces quemno es compuesto y tampoco es primo, contradicción que nos obliga a aceptar que hay infinitos números primos.C La demostración de esta proposición es un bonito ejemplo del método de demostración por reducción al absurdo que consiste en suponer que la conclusión del teorema no es cierta lo cual nos lleva por medio de razocinios lógicos a algo que sabemos es falso, obligándonos a aceptar la conclusión del teorema. Más adelante profundizaremos sobre este método de demostración.
A pesar de sus grandes avances las matemáticas griegas no fueron en ningún momento acabadas por cuanto dejaron abiertos a la humanidad interesantes problemas que ellos no pudieron resolver en torno a los cuales ha girado buena parte del trabajo posterior. De estos problemas los que se refieren a la geometría han sido todos resueltos, en diferentes épocas y tras laboriosos esfuerzos. Sin embargo, hay problemas de la aritmética que permanecen después de dos mil años aun en el misterio. Un ejemplo de estos misterios se refiere a los números perfectos: un número perfecto es aquel que coincide con la suma de sus divisores positivos y menores que él. El primer número perfecto es 6=1+2+3 y el segundo es 28=1+2+4+7+14. Todos los números perfectos que se conocen desde los griegos hasta nuestros días son pares, pero nadie ha podido demostrar que no existen números perfectos impares (¿habrá?) Este es el primer gran interrogante, si existen o no perfectos impares, pero sobre los perfectos pares tampoco se sabe mucho! Como se verá mas adelante Euclides demostró que todo perfecto par es de la forma 2c(2c+1-1) en donde 2c+1-1 es primo. Esta es una caracterización de los perfectos pares por cuanto todo número de esta forma es necesariamente un perfecto par. Surge entonces el importante problema de saber cuantos números de la forma 2c+1-1 son primos. En 1644 el fraile franciscano Martín Mersenne (1588-1648) aseguró que 2n-1 es primo solamente para los primos n=2,3,5,7,13,19,31,67,127 y 257. En 1880 se demostró que para n=61 se obtiene un número primo contradiciendo hipótesis de Mersenne, por lo cual se
supuso que 67 solamente era un error de algún copista negligente por 61. Pero en 1903, Cole demostró que para n=67 se obtiene un número compuesto comprobándose definitivamente que Mersenne se equivocó. En 1947 se habían encontrado cinco fallas en la lista de Mersenne. Hoy en día se sigue trabajando para conseguir un criterio que nos indique cuándo un número de la forma 2n-1, con n primo, es primo. Además con la ayuda de los modernos computadores se conocen más de 30 primos para los cuales el correspondiente número de Mersenne es primo. Por ejemplo en 1988 se descubrió que para n=110503 el número de Mersenne correspondiente (que tiene 33265 cifras decimales!) es primo.
Muchos han sido los esfuerzos para encontrar una fórmula que produzca sólo números primos. Buscando tal fórmula Fermat pensó erróneamenteque los números dela forma: n
22 + 1 cuando n=1,2,3..., son primos. Se necesitó casi un siglo para que Euler demostrara que para n=5 el número correspondiente de Fermat no es primo y sólo hasta 1880 Next demostró que para n=6 la hipótesis de Fermat tampoco se tiene. Hoy en día se conocen muchos números de Fermat que no son primos y se saben criterios para determinar cuando un número de Fermat es primo. Pero los números de Fermat fueron más importantes de lo que él mismo pensó. Gauss los utilizó para caracterizar los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás, caracterización que en 1801 resolvía por completo uno de los problemas planteados por los griegos referentes a la geometría. Pero Fermat no sólo planteó problemas que han sido dolor de cabeza para los matemáticos. Demostró también muchos resultados que hoy en día son clásicos. Por ejemplo los números primos impares son de la forma 4k+1 o 4k-1; se puede demostrar por un método parecido al de Euclides (proposición 1), que los primos de la forma 4k-1 son infinitos. No tan fácil veremos más adelante que los primos de la forma 4k+1 también son infinitos. Fermat demostró que todo primo de la forma 4k+1 se puede escribir como la suma de dos cuadrados mientras que ningún primo de la forma 4k-1 se puede expresar así. Otro de los resultados de este gran matemático es el llamado "Primer teorema de Fermat" (o "débil”) que indica que si n es cualquier número que no se deja dividir por el primo p entonces el número np-1-1 es divisible por p. Este resultado, piedra angular de la Teoría de Números, junto con el teorema de Wilson serán demostrados más adelante. El teorema de Wilson asegura que si p es primo el producto de los antecesores de p sumado con 1 es un número divisible por p. Refirámonos finalmente, a la conocida conjetura de Goldbach (1690-1764) quien en 1742 en una carta escrita a Euler, conjeturó que todo entero positivo par mayor que 2, es la suma de dos primos y que todo entero positivo impar mayor que 5, es la suma de tres primos. La
hipótesis para los números pares se ha comprobado para números menores que un millón pero parece estar muy remota una prueba general. Aunque no es nuestra intención atacar estos problemas famosos, esperamos que esta breve incursión histórica de una idea de la dimensión que tiene esta rama de la matemática, de la cual este libro no pretende ser sino una modesta introducción. PREGUNTAS Y EJ ERCI CIOS. 1. Explique cuales fueron las primeras actividades del hombre que lo llevaron a
profundizar en el estudio de las propiedades de los números. 2. Por qué‚ los primeros conocimientos sobre las propiedades de los números fueron
considerado mágicos y guardados en secreto por diferentes sectas religiosas? (Aún hoy en día para mucha de ellas los números guardan ese carácter mágico). 3. Hacer una lista de los primeros cinco números perfectos pares. 4. Expresar como suma de cuadrados perfectos: l3, 29, 53, 101. 5. Demostrar agotando todos los casos que el primo 127 no se puede expresar como la
suma de dos cuadrados. 6. Demuestre que si n es par diferente de 2, 2n-1 no es primo. 7. Demostrar que 3428-1 es divisible por 29. 8. Se define n! (que se lee "n factorial") como el producto de todos los antecesores de n
incluyendo el mismo n, así: 5!=5×4×3×2=120 6!=?
Formule el Teorema de Wilson en términos de factoriales. Qué se puede decir de la siguiente proposición: "n siempre divide a n!". Qué de la proposición: "si n es menor que m entonces m divide a n!". Compruebe el teorema de Wilson para los primeros cinco primos. 9. Descomponer los siguientes pares como la suma de dos números cada uno primo: 86,
142, 210. 10. En qué‚ consiste la tabla de Eratóstenes para construir primos? Construir la tabla de
Eratóstenes para números menores que 200.
1a matemática es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias B. Pierce-
3. L O NECESARI O Y L O SUFICI ENTE
Supongamos que el lector está familiarizado con los conectivos lógicos que se dan entre proposiciones, tales como la negación (∼), la conjunción (∧), la disyunción (∨), la implicación y la equivalencia ( ⇒, ⇔), así como con los cuantificadores universal y existencial. Diremos algo sobre la implicación y la equivalencia quenos sirve para analizar ciertas técnicas de demostración. La mayoría de las proposiciones de la matemática son de tipo "si p entonces debe cumplir q", resumiremos p⇒q, en donde p juega el papel de hipótesis y q el de tesis o conclusión.
Se pueden dar diferentes versiones idiomáticas de éste conectivo lógico; en español se usa "si p entonces q", "p implica q", "q siempre que p", "para que suceda p es necesario que q", "para que q es suficiente que p", etc. Sea p, por ejemplo, la proposición " a y b son pares" y q la proposición "a+b es par", p⇒q se puede leer: "Si a y b son pares entonces a+b
también lo es", como quien dice "la suma de dos pares es un par", o, "condición suficiente para que a+b sea par es que a y b sean pares". La recíproca de la proposición p⇒q es la proposición q⇒p que en general tiene diferente valor de verdad. En el ejemplo anterior mientras "la suma de pares es par" es una proposición cierta, su recíproca "si la suma de dos números es par entonces ambos números son pares" es falsa, puesto que 5+3 es par siendo uno de los sumandos impar. La contrarrecíproca de la proposición p⇒q es la proposición ∼q⇒∼p que es equivalente a la original, por lo tanto, para demostrar una implicación podemos demostrar su contrarecíproca.
Así, para, mostrar que "todo par elevado al cuadrado es par" (n par implica n2 par) podemos mostrar que "si el cuadrado de un número es impar, el número debe ser impar" (n2 no par implica n no par) que es equivalente. En el ejemplo inicial la contrarecíproca de "la suma de dos pares es un par" es la proposición "si la suma de dos números no es par entonces ambos números no pueden ser pares" o lo que es lo mismo "si la suma de dos números no es par entonces alguno de los números es impar". Muchas veces la hipótesis o la tesis viene en forma de conjunción o disyunción. Por ejemplo la forma (p∧q)⇒r, que es la forma de la proposición que acabamos de analizar. En efecto, si convenimos en que p, r, q sean las proposiciones "a es par", "b es par", "a+b es par" respectivamente, se ve más claramente porqué la contrarecíproca tiene como conclusión que alguno de los números es impar, ya que la negación de p∧q es ∼p∨∼q y la forma de la contrarecíproca ser ∼r⇒ (∼q∨∼p). Probar la contrarecíproca es hacer la prueba por contradicción: Para demostrar p⇒q se supone que la conclusión no es cierta o sea ∼q y se deduce que la hipótesis fallaría o sea que ∼p; se está demostrando que ∼q⇒∼p. Otra propiedad que nos interesa resaltar de la lógica deproposiciones es que la negación de una implicación p⇒q es equivalente a ∼(p∧∼q). Esta es la razón para que negar la proposición "la suma de dos números es impar implica que ambos son pares", sea afirmar que "existen números cuya suma es par sin que ambos sean pares". La equivalencia entre p⇒q y ∼(p∧∼q) nos ayuda también a explicar las demostraciones por contradicción: Se
trata de ver que es imposible que se cumpla la hipótesis sin que se cumpla también la tesis. Cuando tanto p⇒q como su recíproca q⇒p, son ciertas se dice que p y q son equivalentes y se nota p⇔q. Por ejemplo, "n2 es par" y "n es par" son proposiciones equivalentes, pues tanto "si n2 es par entonces n es par" como "si n es par su cuadrado también lo es" son proposiciones ciertas.
Otras versiones idiomáticas para esta equivalencia son: " a es par sí y sólo sí a2 lo es" o "condición necesaria y suficiente para que n2 sea par es que n lo sea". La equivalencia también se utiliza en las definiciones, por ejemplo para definir par podemos decir " n es par sí y sólo sí existe un entero k tal que a=2k". Las equivalencias lógicas (tautológicas) son válidas por su forma sin importar el contenido de las proposiciones 'internas'. Así, "k no es primo par sí y sólo sí k no es primo o k es impar", es una equivalencia válida por su forma pues ∼(p∧q)⇔(∼p∨∼q) es cierta sin importar el valor de verdad de p y q. La tabla 1 muestra una lista de las principales equivalencias lógicas. Digamos para terminar esta sección, que siempre que p y q sean equivalentes la proposición p se puede reemplazar por q y el revés. La equivalencia es, con respecto a las proposiciones, como una igualdad. ∼(∼p)
⇔
p
Doble negación es afirmación.
p∧(q∧r) ⇔ (p∧q)∧r
La conjunción y la disyunción son
p∨(q∨r) ⇔ (p∨q)∨r
asociativas.
p∨(q∧r) ⇔ [(p∨q)∧(p∨r)] p∧(q∨r) ⇔ [(p∧q)∨(p∧r)]
Disyuntiva.
∼(p∧q)
⇔
(∼p∨∼q)
Negación de ∧.
∼(p∨q)
⇔
(∼p∧∼q)
Negación de ∨.
(p⇒ q) ⇔ (∼q⇒ ∼p) ∼(p⇒ q) ⇔
(p∧∼q )
La contrarecíproca es equivalente a la original. Negación de la implicación.
((p∧q)⇒ r) ⇔ ((p∧∼r)⇒ ∼q) ((p∧q)⇒ r) ⇔ (∼r⇒ (∼q∨∼q)) TABL A 1: Algunas equivalencias lógicas importantes.
PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS
1. Dar otras versiones idiomáticas de p⇒q. Cómo se dice en inglés?
2. Sean p,q,r,s las siguientes proposiciones:
p: x es par q: y es par r: x+y es par s: x2+y2 es par
Según esto, identifique cada proposición de la izquierda con su respectiva fórmula a la derecha.
a. Si x es par, y es par entonces x+y es par. b. Es imposible que x2+y2 sea par, siendo x e
a. (∼q∧r)⇒p b. ∼s⇒(∼p∨∼q)
y impares. c. Condición necesaria para que x2+y2 sea
c. (p∧q)⇒r
impar es que alguno de ellos sea impar. d. Condición suficiente para que x sea impar
d. ∼(s∧∼p∧∼q)
es que x+y sea par siendo e impar.
3. La recíproca de la contrarrecíproca es equivalente a la recíproca. Dé un ejemplo.
4. Las siguientes proposiciones son todas falsas. Muestre en cada caso un contraejemplo: a. Si a2 no es par a3 sí lo es. b. n2+2n siempre es par. c. Si n es primo 2n-1 también lo es.
d. Si n es positivo n3-6n2+11n-6=0.
5. Expresar en forma de implicación el último teorema de Fermat.
6. ¿Cuál es el recíproco del teorema de Wilson?
7. De las proposiciones siguientes señale aquellas equivalencias al primer teorema de
Fermat: a. Todo número primo p mayor que 2 divide a np-1-1 y no divide a n. b. Siendo p un primo mayor que 2, si p no divide a pp-1-1 entonces p divide a n. c. Si p es número mayor que 2 que no divide a n y no divide a np-1-1 entonces p no es
primo.
8. Cada proposición de la izquierda tiene una proposición a la derecha que es lógicamente
equivalente. Señálela: a. Si un número es par su cuadrado
también lo es. b. La suma de dos impares es par. c. Si no es par no es múltiplo de 4. d. Condición necesaria para ser par es
ser múltiplo de 4. e. Todo número cuyo cuadrado es par,
es par.
a. Condición suficiente para que el
cuadrado de un número sea par, es que el número lo sea b. No hay impares decuadrado par. c. No existen impares cuya suma sea
impar. d. Los múltiplos de 4 son siempre
pares. e. Condición
suficiente
múltiplo de 4 es ser par.
para
ser
9. Analice la demostración de Euclides de la infinitud de los primos (proposición 1
sección 2) en términos de una implicación entre las proposiciones " A es el conjunto de todos los números primos" y "A es infinito".
4. PRIMERAS PROPOSICI ONES SOBRE DIVI SIBIL IDAD
Demostremos a continuación algunas proposiciones más con el fin de familiarizar al lector con el concepto de prueba que con la idea de avanzar en la teoría. Para ello nos fundamentaremos solamente en las propiedades que se conocen de los números a través del álgebra elemental. Empecemos por unas definiciones que despejan pequeñas dudas sobre términos a emplear. Definición 1. Un número n es par sí y sólo sí existe un entero k tal que n=2k. Se dice también que n es múltiplo de 2 o que 2 divide a n. n es múltiplo de msí y sólo sí existe k entero tal que n=mk.
Se dice en este caso que mdivide a n o que n es múltiplo de my se nota m|n. Un número p mayor que 1 es primo si sus únicos divisores positivos son 1 y el mismo p. Caso contrario, p se dice compuesto. NOTA: El 1 no se considera ni primo ni compuesto.
La demostración de las das primeras proposiciones son ejemplos de demostraciones directas, que consisten simplemente en traducir las hipótesis para que después de una leve manipulación algebraica se encuentre la tesis formulada. Proposición 1. La suma de dos múltiplos de k es un múltiplo de k. Demostración. Sean u y v los múltiplos de k, según la definición existen n y m tales que u=nk y v=mk entonces u+v=(n+m)k
lo que nos indica que u+v es múltiplo de k, pues se puede expresar como un número (n+m) multiplicado por k. Proposición 2. Si mes múltiplo de k su cuadrado también lo es. Demostración. Si m es múltiplo de k, existe un n tal que m=nk entonces m2=n2k2 lo que
implica que m2=(n2k)k
o sea, que m2 también es múltiplo de k. Corolario. El cuadrado de un par es par. Demostración. Esto es sólo una particularización (cuando k=2) de la proposición 2.
Este corolario junto con la recíproca nos produce la proposición siguiente que demostraremos por contradicción. Aceptamos como cierto que cualquier número entero es par (de forma 2k) o bien impar (de la forma 2k+1). Proposición 3. Un número es par sí y sólo sí su cuadrado también lo es. Demostración. Por el corolario anterior se tiene que si n es par su cuadrado también lo es.
Debemos demostrar que si n2 es par entonces n es par. Si no fuera así (suponiendo lo contrario), es decir si n2 es par siendo n impar, entonces n sería de la forma 2k+1 y su cuadrado ser de la forma 2(2k2+2k)+1, o sea, impar. Esto es contrario a lo supuesto, concluimos entonces que n debe ser par. Esta última demostración se puede hacer por el método directo (ejercicio). Muchas de las proposiciones que se demuestran por contradicción se pueden demostrar directamente, sin
embargo, muchas veces el absurdo es un método de demostración es irremplazable tanto por la claridad en la exposición como por la dificultad para plantearla directamente. Piénsese en la demostración de la infinitud de los primos dada por Euclides (proposición 1 sección 2) y nótese la dificultad (imposibilidad?) para ser hecha directamente. La siguiente proposición es una de esas en donde para su demostración es claramenteventajoso utilizar el método por reducción al absurdo (por contradicción). Proposición 4. Si un número n mayor que 1 es compuesto entonces tienepor lo menos un divisor ente 1 y n . Demostración. Supongamos lo contrario, es decir que n es compuesto pero que todos sus
divisores no triviales (diferentes de n y 1) son mayores que n . Sea entonces k uno de tales divisores, por definición existen tal que n=nk. Como mtambién es un divisor de n no trivial por la suposición que hemos hecho tenemos m> n
y
k> n
Según las leyes de las desigualdades se deduce que mk> n n
o sea que n>n lo cual es imposible! Concluimos que n debe tener divisores no triviales menores que n . En lo que se sigue utilizaremos las siguientes definiciones: Definición 2. Diremos que a y b son de igual paridad si ambos son pares o ambos impares. Si n es entero positivo se define n! (se lee n factorial) como el producto de n por todos sus antecesores positivos (ver ejercicio 8 sección 2).
EJ ERCICI OS Y PREGUNTAS
1. Demostrar que la suma de impares es par. 2. a. Demostrar que la diferencia de múltiplos de k es un múltiplo de k. b. En la demostración de la infinitud de los primos (proposición 1 sección 2) ¿Dónde
se utiliza este hecho? 3. Demuestre que la diferencia de dos números es par sí y sólo sí ambos números son de
igual paridad. 4. Los únicos números que no tienen sino un divisor son ... 5. ¿Qué números son divisores de 0? ¿Qué números se pueden decir que son divisibles por
0 según la definición 1? 6. A es un conjunto de números, decimos que A es cerrada para cierta operación, si todo
par de éstos al operarlos producen un elemento de A. De ésta forma, la proposición 1 de esta sección prueba quelos pares son cerrados para la suma. a. Pruebe que los impares son cerrados para el producto, pero no para la suma. b. Pruebe que los números de la forma 4n+1 no son cerrados para la suma pero si para
el producto. 7. Pruebe que los números de la forma 4n+2 son el doble de números impares. 8. Para cada una de las siguientes proposiciones decir si son falsas o ciertas, justificando
cada respuesta con una demostración o un contraejemplo según el caso: a. n siempre es divisible de (n+1)! b. Si n no es un primo entonces divide a (n-1)! c. k divide siempre a cualquier múltiplo de k. d. Si n es múltiplo de k entonces para cualquier h se tiene que k divide a nh e. k siempre divide a nk f. Los números de la forma 4n+2 son cerrados para el producto.
g. Para todo entero n se tieneque n(n+1) es par. h. Los números de la forma 2n son cerrados para la suma y para el producto. i. Un número es divisible por 12 sí y sólo sí es divisible por 3 y por 2. 9. ¿Qué opina de la demostración siguiente, en donde se intenta probar el reciproco del
teorema de Wilson (ejercicio 6 sección 3)? Sea n un número mayor que 1 compuesto entonces n divide a (n-1)! Hacemos m=(n-1)!+1. Si n divide a m entonces divide a la diferencia m-(n-1)! (por dividir a ambos miembros), pero está diferencia es 1, lo que nos lleva a una contradicción que nos obliga a aceptar que si n es primo n no divide a (n-1)!+1. contradicción quenos obliga a aceptar que si n es primo n no divide
5. AL GUNOS PASATI EMPOS I MPOSI BLES. Hemos visto en el numeral anterior algunas propiedades de los números que se refieren a la divisibilidad, especialmente por 2, de tal forma que podemos decir que dominamos la aritmética de los pares e impares. Vamos a mostrar sencillas aplicaciones de estos resultados para completar el vistazo general que queremos dar al principio de este libro, aunque hacemos la aclaración que el objetivo de éste no incluye mostrar las posibles aplicaciones de la aritmética y la teoría de números, que son muchas. Las que trabajaremos aquí se refieren a algunos juegos o pasatiempos en los cuales se descubre de manera contundente y con un análisis muy simple, ciertos casos en los cuales no hay solución. A llenar el cuadrado... Consideremos un rectángulo dividido en n×m cuadrados iguales. Por ejemplo en la figura 1 el rectángulo se divide en 4×7 cuadrados. En un rectángulo de este tipo se escogen dos cuadros arbitrarios denotados por I y F (inicial y final). I
Se trata de partir del cuadro inicial para llegar al final, moviéndose cada vez un sólo cuadro pero siempre horizontal o verticalmente, de tal F’
F
Figura 1.
forma que al final se haya pasado por cada uno de los cuadros restantes unaúnica vez.
Así en la figura 2 se muestra una solución sencillísima que puede animar al lector para que busque una solución cuando se trata de ir de I a hasta F'. Si el lector no encuentra una solución podrá ofrecer con toda seguridad gran cantidad de dinero a algún amigo para que le ayude a resolverlo.
Figura 2.
En realidad, aunque el problema planteado de ir de I hasta F sea tan fácil de resolver, cuando se trata de ir desde I hasta F' es imposible. Figura 3. ¿Por qué? Veamos: coloreando los cuadros a manera de un tablero de ajedrez con cuadros blancos y negros (figura 3) se nota que para ir de un cuadro a otro del mismo color se necesita un número par de pasos, es más: "para ir de un cuadro a otro se necesita un número par de pasos si y solo si los cuadros son del mismo color". Además también es fácil darse cuenta que "en k pasos se recorren k+1 cuadros". Combinando estos hechos tenemos una explicación del por qué ciertos juegos son imposibles: "Si el número de cuadros a recorrer es par, el cuadro inicial y el cuadro final deben ser de diferente color, mientras si es impar los cuadros final e inicial deben ser del mismo color". Nótese que cumplirse la condición no nos asegura que el problema tenga solución, pero si no se cumple la condición es garantía para que el pasatiempo sea imposible de resolver. Dibujar sin levantar el lápiz: Es un pasatiempo que conocemos desde la infancia, a veces fácil, a veces difícil y otras imposible. En la figura 4 se muestran varios ejemplos. 1
B 2
A
3
a.
b.
c.
d.
Figura 4. Grafos para dibujar sin levantar el lápiz y sin repetir línea. Estos objetos que la matemática llama gráficos o grafos se componen de vértices y arcos.
A cada arco le corresponden dos
vértices v1 y v2 que son los extremos del arco. Si v1=v2 se forma un bucle (figura 5).
Figura 5. Bucle.
e.
Los arcos los notaremos con números y los vértices con letras mayúsculas. Así el grafo de la figura 3. a) tiene dos vértices A y B y tres arcos 1,2 y 3. En él todos los arcos tienen los mismos vértices extremos A y B. El número de arcos que caen sobre un vértice se llama orden del vértice. En el grafo de la figura 3.a) el grado del vértice A es 3, igual al del vértice B. La primera condición para que un grafo se pueda dibujar como queremos es que cualquier par de vértices se puedan unir por medio de una sucesión de arcos; en términos matemáticos que el grafo se conexo, en términos intuitivos, simplemente se exige que el grafo debe estar "junto", no debe haber pedazos aislados. Es claro entonces que si no es conexo debe haber por lo menos dos vértices que no se pueden conectar por ningún camino y por lo tanto es imposible resolver el problema. Ser conexo es condición necesaria pero no suficiente para que el grafo se pueda recorrer pasando por todos los arcos sin repetir ninguno y sin levantar la mano. Por ejemplo el grafo de la figura 3.b) es conexo pero es imposible recorrerlo de la manera exigida. Buscamos pues una condición más fuerte que se convierta en suficiente. Formalicemos más nuestro lenguaje. Notaremos XnY (donde X e Y representan vértices y n es un número correspondiente a un arco) el hecho que el arco n tenga vértices X e Y. En estos términos, que un vértice A se pueda conectar con el vértice B, significa que hay una sucesión de k+1 vértices A=X0,X1,...,Xk (que pueden estar repetidos) y de k arcos n1,...,nk tal que An1 X1,X1n2X2, ...,Xk-1nkB Ahora bien, si el grafo tiene k arcos y se puede dibujar de la forma descrita partiendo del vértice I y terminando en el vértice F, entonces los k arcos se podrán colocar de tal forma que para determinados vértices V1,V2,...,Vk-1, suceda: In1 V1,V1n2V2, ...,Vk-1nkF
(1)
Nótese ahora que cada uno de los vértices Vi, aunque puede aparecer más de una vez, perdón, mas de dos veces, siempre aparecer un número par de veces (salvo I y F): en efecto, siempre que se de la situación Vi-1niXi, enseguida tenemos, Vini+1Vi+1. Por otra parte, en (1) aparece cada vértice tantas veces como arcos existan con algún extremo en él, es decir, tantas veces como el orden del respectivo vértice. Se deduce que cada vértice "interno" debetener orden par y se tiene el siguiente resultado: Proposición 1: Para que un grafo conexo pueda ser dibujado sin levantar el lápiz y sin repetir línea es necesario que salvo los vértices inicial y final, los demás sean todos de orden par. Esta condición que no sólo es necesaria sino también suficiente es uno de los primeros resultados en lo que hoy se conoce como Teoría de Grafos y fue establecido por Euler en 1735. La suficiencia de la condición no la podemos demostrar con los conceptos introducidos en este libro. El lector interesado puede consultar cualquier libro elemental de Teoría de Grafos. El juego del solitario: Este último juego que analizaremos es de remoto origen aunque la primera referencia que se conoce de él la debemos a Leibniz. Consideremos un tablero en forma arbitraria repartido en cuadros arreglados en filas y columnas.
Figura 6.
En determinados cuadros del tablero aparecen piezas de juego, a lo m s una por cuadro. Un movimiento, o salto, es posible cuando sobre tres cuadros A, B y C adyacentes sobre una fila o una columna, hay piezas sobre A y sobre B pero no sobre C. El salto consiste en mover la pieza que está sobre A hasta C retirando del juego la ficha que estaba sobre B (Figura 6). El objeto del juego es llevar las fichas hasta cierta y determinada configuración; generalmente se debe dejar una única ficha en el tablero (es claro que en la posición inicial debe haber por lo menos un lugar vacío). Lo que queremos al aplicar los conceptos de teoría de números es averiguar si algún juego propuesto es de imposible solución o si el resultado est determinado de alguna manera. Deseamos escribir una ecuación que describa el proceso del juego y que tendrá como variables el número de piezas en juego y el número de saltos; es pues natural utilizar números enteros porque no concebimos "medio salto" o "siete cuartos de fichas".
Para facilitar nuestra tarea coloreamos los cuadros de cada diagonal con tres colores diferentes. La primera diagonal se colorea digamos de verde, la siguiente de azul y la que viene de rojo, para seguir con la siguiente que coloreamos de verde y continuar de manera cíclica: azul, rojo, verde; azul, rojo, verde; etc. La figura 7 muestra un rectángulo 7×5 donde cada cuadro se ha marcado con las letras V, A o R , según se haya coloreado de verde azul o rojo en el procesos que acabamos de describir. V
A
R
V
A
A
R
V
A
R
R
V
A
R
V
V
A
R
V
A
A
R
V
A
R
R
V
A
R
V
V
A
R
V
A
Figura 7.
Veamos en este ejemplo una sucesión de saltos permitidos como los que se muestran en la figura 8. En la tabla 1 se indica en cada posición cuántas fichas están colocadas en cada color. Vemos que en cada salto crece un color y decrecen los otros dos: crece el color a donde la ficha desplazada llega y decrecen el valor del color donde estaba y del color de la que fue sacada del juego. Realmente esta observación es válida en general, podemos afirmar que: "Si por efecto de un salto se llega a determinado color, el número de fichas correspondiente a ese color crece una unidad y los otros colores decrecen cada uno, también en una unidad" . •
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Inicio
Posición 1.
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Posición 2.
Posición 3.
Posición 4.
Figura 8. Sucesión de saltos.
Verdes
Azules
Rojos
Total
Inicio
11
12
11
34
1
12
11
10
33
2
11
10
11
32
3
12
9
10
31
4
11
10
9
30
Tabla 1. Se muestra los cambios de valores en la sucesión de la figura 8 según la coloración de la figura 7. Por esta razón llamando V, A y R el número de fichas que están inicialmente en cada color y V',A', y R' el número de fichas en cada color finalmente y v, a y r el número de saltos que terminan en cadacolor, se debe cumplir:
V+v-a-r = V' A+a-v-r = A' R+r-v-a = R' Ecuaciones que, por cualquiera de los métodos usuales se puede comprobar, son equivalentes al sistema de ecuaciones: 2v = (A+R)-(A'+R') 2a = (V+R)-(V'+R') 2r = (A+V)-(A'+R') Lo quenos indica que: A+R y A'+R' son de igual paridad V+R y V'+R' son de igual paridad A+V y A'+V' son de igual paridad Estas condiciones necesarias para que un juego sea soluble pueden resultar algunas veces suficientes para demostrar que ciertos juegos son imposibles. Otro sistema de condiciones necesarias parecido a (2) se obtiene al colorear las otras diagonales. Al combinar los dos sistemas de condiciones se alcanza a determinar un buen número de juegos imposibles como se puede ver en el siguiente ejemplo: Ejemplo: Supongamos que el juego propuesto se lleva a cabo en un tablero como el de la figura 7, en donde la posición inicial contiene todos los cuadros con fichas con excepción del extremo superior izquierdo. Los valores de V, A y R son V=11, A=12 y R=11. Si se quiere llegar al final del juego con una única ficha, los valores posibles de V', A' y R' serían (1,0,0), (0,1,0) o (0,0,1). Pero la primera y las última de estas posibilidades no cumplen las condiciones (2). Por lo tanto la última ficha debe quedar en uno de los cuadros coloreados de azul.
Ahora podemos colorear las otras diagonales, con los colores blanco, marrón y negro, (B, M y N) como se muestra en la figura 9. Haciendo el análisis correspondiente para este caso obtenemos que la última ficha debe quedar colocada en un cuadro blanco. Los únicos cuadros que son azules en la primera coloración y blancos en ésta, están marcados con una ×
en la figura 10. Estos son naturalmente los únicos lugares en donde puede en donde
puede quedar la última ficha.
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
×
×
×
×
×
×
Figura 9.
Figura 10.
EJ ERCICIOS 1. Determinar si en los siguientes tableros es posible recorrer todos los cuadros partiendo deI y llegando a F.
I
I I F F
F
2. Para cada uno de los grafos conexos siguientes determinar si se puede o no dibujar sin levantar la mano y sin repetir linea, en caso afirmativo determinar una ruta.
3. En la demostración de la proposición 1 (que se hace antes de enunciarla) ¿qué resultado de paridad se utiliza? ¿Dónde? 4. En la ciudad de K niesberg desembocan dos ríos formando dos islas como se muestra en la figura adjunta, configuración en la que además hay siete puentes. Hace algunos siglos una diversión dominical consistía en tratar de recorrer los siete puentes sin repetir ninguno. Corría el rumor de que tal propósito era imposible.
Interpretando el problema como un grafo que se debe dibujar sin levantar la mano y sin repetir línea (aquí los arcos son los puentes) y utilizando la teoría de esta sección, demostrar que el problema realmente es imposible. Así lo demostró Euler en 1735. 5. a. En un grafo sin bucles la suma de los órdenes de todos los vértices debe se par. Por qué? b. Dividiendo los vértices entre los que tienen orden par y los que tienen orden impar y aprovechando el resultado anterior, demuestre que en un grafo sin bucles, siempre hay un número par de vértices de orden impar.
6. Explique por qué, el conjunto de condiciones (2) conjuntamente con sus equivalentes para la coloración en sentido contrario, son condiciones necesarias pero no suficientes para que un juego propuesto de solitario tenga solución. 7. Analizar por el método expuesto si los siguientes juegos son posibles y en caso afirmativo mostrar una solución salto a salto.
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? •
?
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8. Considere un juego planteado como en la posición inicial de la figura 8. a. Si se quiere terminar con una sola ficha en el tablero, dónde quedar colocadaésta? b. Además de la posición inicial estudiada, cuáles otras posiciones iniciales conllevan a la posición final mostrada en la figura adjunta ? c. Muestre que el juego propuesto con la posición inicial de la figura 7 y con posición final como se muestra en la figura, es efectivamente realizable. muestra en la figura, es efectivamente realizable.
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6. TRES PROPI EDADES DE LOS ENTEROS POSITI VOS
En ésta sección expondremos tres principios fundamentales que serán el fundamento de la teoría expuesta en las secciones siguientes. Estos tres principios algoritmo de la división, el teorema fundamental de la aritmética y el principio de inducción se darán aquí sin su demostración, que dejaremos pendiente para cuando tratemos la axiomática de los enteros. Buscamos mas que todo que el lector se familiarice con la exposición formal de éstos para que pueda aplicarlos cuando sea necesario. En la sección 4 asegurábamos que todo número entero es o bien par (de la forma 2k) o bien impar (de la forma 2k+1), este resultado es en realidad un caso particular de la siguiente proposición que formaliza algo que manejamos desde niños. Proposición 1. (Algoritmo de la División) Sea n cualquier entero y m un entero positivo, entonces existen q y r enteros únicos tales que i) n=mq+r ii) 0
Lo que nos dice la proposición es que cualquier entero (n) se puede dividir por otro mayor que 0 (el divisor es m) obteniendo de manera unívoca un cociente (q) y un residuo (r) que debe ser positivo menor que el divisor o ser 0. Por ejemplo, si n=19, m=5, los valores de q y r serán 3 y 4 respectivamente. Proposición 2. Todo número elevado al cuadrado o bien es múltiplo de 4, o bien es de la forma 4k+1. Demostración. Según el algoritmo de la división los números enteros al dividirlos por 4
pueden tener residuos 0, 1, 2 ó 3. Por ésta razón todo número entero es de la forma 4n, 4n+1, 4n+2 o bien 4n+3.
Sabemos que los números de la forma 4n son cerrados para la multiplicación, igual sucede con los de la forma 4n+1, lo cual implica que sus cuadrados son de la misma forma lo que está de acuerdo con la proposición. Por otra parte si un número tiene la forma 4n+2 su cuadrado 16n2+16n+4 es múltiplo de 4, mientras que si tiene la forma 4n+3 su cuadrado 16n2+24n+9 es de la forma 4n+1 (tomando n como...). Vemos entonces que en todos los casos se obtiene o bien un múltiplo de 4 ó un número de la forma 4n+1, completando la demostración de la proposicióng. Para enunciar el siguiente principio supongamos que p1,p2,...,pn, ... es la sucesión ordenada de números primos. Según esto p1=2, p2=3, p3=5, p4=7, etc. El Teorema Fundamental de la Aritmética nos garantiza que todo número mayor que 1 es factorizable de manera única, como un producto de potencias de primos. Proposición 3. (Teorema Fundamental de la Aritmética /1/) Para todo entero positivo a existen α 1,α 2,α 3, .....,α n naturales únicos tales que: a= p1α 1 pα 2 2 ...pα n n siendo p1,p2,...,pn la sucesión ordenada de números primos.
Las célebres descomposiciones en factores primos que se aprenden en la aritmética elemental son ejemplos de aplicación de éste importante teorema. Por ejemplo, si a=24 decimos que a=23×31, entonces n=2, α 1=3 y a=21×72 entonces n=4, α 1=1,α 2=α 3=0 y α 4=2.
La siguiente proposición nos enuncia el Principio de Inducción; sin que podamos decir de él que se aprende en la escuela primaria, sí podemos asegurar que es un principio muy útil para hacer demostraciones y que su razón lógica se encuentra en la misma razón de ser de los números naturales. En efecto, una propiedad básica e intuitivamente clara de los números naturales es que a cada uno le sigue otro, y a éste, otro, y así sucesivamente, entonces se agotan todos potencialmente. Este "así sucesivamente" es lo que se formaliza en el citado principio. Veamos primero un ejemplo:
Ejemplo 1. En la sección 1 hemos visto como los griegos visualizaban el hecho de que los primeros n números impares suman exactamente n2. También podemos razonar así: El primer impar r es 1. Su suma que es 12. El segundo impar es 1× 2+1 y la suma del primero y el segundo es 12+1× 2+1 que es (1+1)2 o sea 22. Sabiendo que la suma de los primeros impares es 22 podemos sumarle a ésta el tercer impar que es 2× 2+1 y obtenemos: 22+2× 2+1=(2+1)2=9; así obtenemos que la suma de los tres primeros impares es 32.
Supongamos que siguiendo este proceso hemos llegado hasta 36 y sabemos que la suma de los primeros 36 impares es 362. Como el siguiente impar es 2×36+1, la suma de los primeros 37 números impares ser: 362+2×36+1=(36+1)2 o sea que se cumple la hipótesis para 37. Podríamos decir "...y así sucesivamente..." pero es mejor formalizar aún más. En términos generales lo que sucede es la siguiente: Si aceptamos que para un n particular la proposición es cierta, es decir, que la suma de los primeros n impares es n2, sumando a éstos el (n+1) impar, que es 2n+1 obtenemos que la suma de los primeros n+1 impares ser n2+2n+1=(n+1)2, o sea que la proposición es cierta para n+1. Tenemos entonces, que si
consideramos cierta la proposición para un número particular automáticamente ser cierta para su siguiente. Así podremos recorrer todos los naturales desde que aseguremos que la proposición se cumple para los primeros. Se acepta entonces que la proposición es cierta para cualquier k, por que potencialmente se sabe que hay un camino, una cadena que se puede recorrer paso a paso. Esto nos asegura el Principio de Induccióng. Proposición 4. (Principio de Inducción) Sea P(n) una proposición para cada natural n tal que: i) P(0) es cierta ii) Siempre que P(k) es cierta se sigue que P(k+1) también lo es.
Entonces la proposición es cierta para cualquier n natural.
Según esto, para demostrar la proposición P(n) por inducción sobre n, debemos probar primero que P(0) es cierta (casi siempre es muy fácil) y luego deducir que P(k+1) es cierta suponiendo que P(k) lo es. La verificación de estas dos condiciones asegura, por el Principio de Inducción, queP(n) es cierta para todo natural n. Veamos otro ejemplo: Ejemplo 2. Demostrar por inducción sobre n que 10n-1 siempre es divisible por 9. Demostración. i) Es claro que la hipótesis se cumpla cuando n=0. También es fácil comprobar que se
cumple para n=1 y n=2 (aunque no es necesario). ii) Supongamos que P(k) es cierto, o sea, que 10k-1 es múltiplo de 9 es decir que existe un
entero s tal que 10k-1=9 Debemos deducir que se cumple P(k+1) o sea que 10k+1-1 es también múltiplo de 9, es decir, debemos encontrar un t entero tal que 9t=10k+1-1. Pero 10 k+1-1=(10 k-1)10+9=9s×10+9 de donde haciendo t=10s+1 , tenemos: 10 k+1-1=9t y hemos demostrado que P(k+1) también es cierto. Así por el Principio de Inducción hemos probado que la proposición propuesta es cierta par todo natural n. El Principio de Inducción no sirve únicamente para hacer demostraciones. Es muy útil también para hacer definiciones /1/ que son llamadas Definiciones Recursivas. Primero aclaremos cuáles son los objetos que se van a definir. Una función f que a cada natural n le asocia cualquier elemento f (n) de un conjunto B se llama una Sucesión en B. Por ejemplo la sucesión 1 al natural 1 se le asocia 1, a 2 le asocia 12 y a 4 le asocia 14 , n etc.
A veces, en lugar de escribir una fórmula se escriben los primeros términos con la esperanza de encontrar una fórmula observando la relación que hay entre los términos mostrados. Así en el ejemplo anterior se mostrarían 1, 12 , 13 , 14 , ..... y se pueden suponer que sigue 15 , 16 , 17 , .... pero nada nos lo asegura. Una forma de definir ser entonces mostrar unos primeros términos (con uno basta) y decir cómo se forman los siguientes, o sea, dar una regla para conocer el n-énesimo término cuando se conocen los primeros n-1. Esto se hace de manera implícita muchas veces. Por ejemplo para definir an se dice que a0=1, a1=a, a2=a⋅a, a2=a⋅a⋅a y así sucesivamente se entiende que cada término se obtiene multiplicando el anterior por a. Es decir, si damos por conocido el valor de an-1, el término an se formar según la fórmula: an=an-1⋅a
y esta es la ley recursiva que nos permite hablar de an para cada n que sea entero. Colorario. (Definiciones Recursivas) Si se da un valor a f(1) y se da una regla para calcular f(n) en base al valor de f(n-1), entonces queda definida y determinada la función f(n) para todo entero positivo n. Ejemplo 2. Generalmente cuando hay puntos sucesivos lo que se quiere indicar se puede formalizar con definiciones recursivas.
Por ejemplo, si queremos que si sea la suma de las potencias desde 0 hasta i de un número fijo x, no necesariamentenatural, es decir queremos que: Si=1+x+x2 +..+ xi
podemos definir Si=1+x y Sn= Sn-1+xn. Esta última igualdad nos indica que para formar el término n-ésimo tomamos el término anterior y le sumamos la potencia correspondiente. Nótese que aquí hay doble aplicación de las definiciones recursivas: Para encontrar la potencia siguiente y para agregar a la suma que lleva. Hacemos notar también que se pueden dar otras definiciones para Si. En efecto, si definimos recursivamente Si=1+x y S'n-1+1 se puede comprobar que para todo k, Sk=S'k (ejercicio 15).
Las definiciones recursivas son muy útiles puesto que sirven para formar algoritmos que calculen la función y además son la base para hacer las demostraciones de sus propiedades. Por ejemplo el ejercicio 13 e) pide que e demuestre por inducción una fórmula directa para hallar el valor de Sk. PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS 1. Por qué del algoritmo de la división se deduce que todo número es par o impar? 2. En cada caso encuentre q y r que hagan cumplir el algoritmo de la división para n y m
dados: a) n=25 m=8
b) m=25 n=8
c) n=25 m=5
d) m=1 N=25
3. ¿Por qué el algoritmo de la división no es cierto para m=0? 4. ¿Qué problema hay en definir el algoritmo de la división para m=0 sin exigir que m sea
positivo? 5. Demuestre que no hay números cuadrados de la forma 6n+2 ó 6n+5. 6. Demuestre que ningún número de la forma 4n+3 es la suma de dos cuadrados. 7. Sean b y menteros positivos. Si q es el cociente y r es el residuo cuando el entero a se
divide por b, demostrar que cuando ma se divide entre mb el cociente es q y el residuo es mr. 8. Si p y q son primos tales que p|q demostrar que p=q.
9. Sean a, b, c enteros con b>0 y c>0. Si q es el cociente cuando a se divide por b y q' es
el cociente cuando q se divide entre c, demostrar que q' es el cociente cuando a se divide por bc. 10. Si n es entero positivo y p1, p2,...,pn son primos positivos distintos, demostrar que el
entero (p1p2...pn)+1 no es divisible por ninguno de esos primos. 11. Demuestre que si (a, b, c) es una tripla pitagórica y a, b, c no son todos pares, entonces
dos de ellos, incluyendo c, son impares y el otro es par. 12. Dar una demostración para el recíproco del teorema de Wilson. 13. Demostrar por inducción sobre n: a) La suma delos primeros n números es
1 . 2n(n + 1)
b) La suma delos primeros n números pares es n(n+1). c) an-1 es divisible por a-1. d) an-bn es divisible por a-b. n 1 (r no es 1) e) 1+r+r2+...+rn=1− r 1− +
14. Definir n! recursivamente. 15. Se define recursivamente Sk y S'k así: S0 = 1 Sk = Sk-1+x S'k = xS'k-1+1
Demostrar que para todo k entero positivo se tiene: Sk=S'k 16. En base a la definición recursiva de an demostrar por inducción sobre n: i) anam=an+m
ii) (an)m=anm 17. Sea p1α 1 p2α 2 ...pα n n y a= p1 β 1 p β 2 2 ...pnβ n las descomposiciones en factores primos de a y b
según el Teorema Fundamental de la Aritmética. a) Demuestre que ab tiene representación: p1α 1
+ β 1
pα 2 2
+ β 2
...pα n n
+ β n
b) Demuestre que para que a divida a b es condición necesaria y suficiente que para
todo i de 1 a n se cumpla que α i≤ β i.
7. SUMATORIA Y MULTI PLI CATORIA
Las operaciones principales entre números, la suma y el producto, son asociativas y conmutativas, lo cual significa que cuando hay sucesivas sumas o productos los paréntesis se pueden eliminar. En otras palabras, es posible sumar todos los elementos de un conjunto finito de números y también se pueden multiplicar. Así, si A es un conjunto finito de números
∑x x∈A
se lee como "Sumatoria de los x de A" y simboliza la suma de todos los números del conjunto A y
∏x x∈A
se lee como "Productoria de los x deA" o "multiplicatoria" ó simplemente "Producto de los xdeA", simbolizando el producto de todos los números del conjunto A. Generalmente los elementos deA se enumeran y se notana1,a2,. . . ,an, entonces la suma y el producto se notan: n
n
∑a
∏a
i
i
i =1
i =1
La manipulación de ésta notación es importante porque nos lleva no sólo a comprobar los valores de ciertas sumas y productos sino también a descubrirlos. Para ésto basta con manejar unas propiedades de ésta notación. Nos referiremos al símbolo ä aunque estas propiedades tienen su correspondencia para
Propiedades.
∏.
Sean L
subíndices negativos), k un número cualesquiera, entonces se cumple:
M
M
i=L
i=L
1. k∑ ai =∑ kai . M
2.
∑ (a
i
M
M
i=L
i=L
+ bi ) =∑ ai +∑ bi .
i=L M
3.
∑ k =(M-L+1)k
(Suma deuna constante).
i=L M +P
M
4.
∑a = ∑a i=L
i= L+ P
M
5.
(Cambio de límites).
i−P
i
∑ (a
i
− ai −1 ) =aM-aP-1
(Propiedad telescópica).
i=P L+ N
M
6.
M
∑ a =∑ a + ∑ a . i
i
i=L
i i = L + N +1
i=L
Demostración. Todas las demostraciones se pueden hacer por inducción (si M=L+q la inducción se hace sobre q; ejercicio 3) sin embargo se dar n argumentos intuitivos: M
M
i=L
i=L
1. k∑ ai =k(aL+aL+1+aL+2+...+aM)=kaL+kaL+1+kaL+2+...+kaM=∑ kai . M
2.
∑ (a
i
M
M
i=L
i=L
+ bi ) =∑ ai +∑ bi .
i=L
La suma de la izquierda es: (aL+bL)+(aL+1+bL+1)+...+(aM+bM) y reagrupando se tiene: (aL+aL+1+...+aM)+(bL+bL+1+...+bM) que es la suma de la derecha. 3. En ∑ k hay (M-L+1) sumandos, todos iguales ak, su suma es por lo tanto k(M-L+1) 4. Nótese que éstas son simplemente dosformas de escribir lo mismo; ambas sumatorias tienen M-L+1 sumandos y ambas empiezan en aL terminando en aM. M
5.
∑ (a
i
− ai −1 )
= (aP-aP-1)+(aP+1-aP)+...+(aM-1-aM-2)+(aM-aM-1)
i=P
= -aP-1+(aP-aP)+...+( aM-1-aM-1)+aM = aM-aP-1
6.
M
L+ N
i=L
i=L
∑ ai =(aL+aL+1+...+aL+N)+(aL+N+1+aL+N+2+...+aM)= ∑ ai +
M
∑a
i i = L + N +1
Como decíamos en un principio, con éstas propiedades podemos hallar los valores de ciertas sumas, por ejemplo de progresiones aritméticas. n
Ejemplo 1. Sabiendo que ∑ i = i =1
n(n + 1) encontrar el valor de 1+4+7+...+(3n-2). 2 n
Solución. Se nos pide hallar el valor de ∑ (3i − 2) tenemos: i =1 n
∑ (3i − 2)
n
=
i =1
n
∑ 3i - ∑ 2 i =1
(Por propiedad de linealidad)
i =1
n
n
i =1
i =1
= 3∑ i - ∑ 2 n(n + 1) -2(n-1+1) =3 2 =
n
(Aplicamos 3) y el valor de ∑ i i =1
n(3n − 1) g 2
Nótese que el resultado puede comprobarse por inducción pero éste método, insistimos, tiene la ventaja de encontrar el valor buscado; la inducción se efectúa cuando ya se conoce el resultado o cuando se presiente. n
En el ejemplo anterior supusimos conocido el valor de
∑ i ; en realidad su valor se puede i =1
encontrar aplicando las propiedades enunciadas para
∑,
como veremos a continuación. n
La demostración es importante porque ilustra el método para encontrar
i =1
n
Proposición 1.
∑i = i =1
n(n + 1) 2
Demostración. Partimos de la igualdad:
n
∑i , ∑i 2
i =1
3
, etc.
n−1
∑i2
n
=
i =1
∑ (i − 1)
2
(Propiedad 4).
i=2 n
=
∑i
2
n
n
i =2
i=2
-2∑ i +∑ 1
i=2
(Por linealidad). (Se suma y se resta 1, se aplica
n ⎛ n 2 ⎞ = ⎜ ∑ i ⎟ -1-2∑ i +(n-1) i=2 ⎝ i =1 ⎠
propiedad 3). (Se “saca” n2 de ∑ i 2 y en ∑ i se
⎡⎛ n ⎞ ⎤ = ∑ i +(n -1)-2⎢⎜ ∑ i ⎟ − 1⎥ +(n-1) i =1 ⎣⎝ i =1 ⎠ ⎦ n−1
2
2
introduce 1, que enseguida se resta).
Tomando los dos extremos de estas igualdades vemos que en ambos miembros de éstas aparece n−1
∑i
2
i =1
término que entonces podemos eliminar para despejar la suma buscada y obtener n
2∑ i =n(n+1) i =2
Lo que nos conduce inmediatamente a la igualdad buscada.g El lector no debe perderse en los cálculos de la anterior demostración, aunque sí los debe comprobar, lo importante es que vea cúal es el truco fundamental que se utiliza: Se trata de
∑i . Este truco como decíamos, se emplea para encontrar ∑ i una vez se conoce ∑ i : Se desarrollar
∑i
2
como ∑ (i − 1) para luego eliminar 2
2
2
desarrolla ∑ i 3 como ∑ (i − 1) para luego eliminar 3
∑i
3
(Ejercicio 6).
Otra suma que nos interesa, es la suma de progresión aritmética, es decir la suma de las potencias de un número (ejemplo 3 y ejercicio 13 e) de la sección 6). De ella da razón la siguiente proposición: n
Proposición 2.
n+1
∑ xi = x i =0
−1 −1
Demostración. Como xes una constante: n
n
x∑ x
i
=
i =0
∑x
i +1
(Propiedad 1)
i=0 n+1
=
∑x
i
(Propiedad 4)
i =1
⎛ n+1 i ⎞ = ⎜ ∑ x ⎟ -1 ⎝ i =0 ⎠ n
=
(Suma y resta)
∑ x +(xn+1-1) i
(Separando el último termino de la suma)
i =1
Se tieneentonces que n
n
x∑ x =∑ xi +(xn+1-1) i
i =0
i =1
y despejando ∑ xi obtenemos el resultado de la proposición.
EJ ERCICIOS 1. Calcular los valores numéricos de las siguientes expresiones: 6
a) d)
∑i
2
4
b)
∑i
i =1
i =1
6
3
∏ (i + 1)
e)
i =1
2
10
i +1
(− 1)
c)
∑ (2i + 1) i =3
j
3
∑∏ i
f)
j
∏∑ i j =1 i =1
j =1 i =1
2. Exprese en términos de sumatorian!
3. Demostrar por inducción las propiedades de
∑
Ud. debe partir de la definición
recursiva de ∑ . ¿Cuál propiedad encierra esta definición? 4. Formular propiedades de ∏ análogas a las enunciadas para∑ .
5. Dado por conocido el valor de
∑ i y utilizando las propiedades de ∑
encontrar:
a) La suma de los primeros n impares. b) 2+8+14+...+(6n-4). c) La suma de los n primeros números de la sucesión 3,8,13,... 6. Deducir una fórmula para : n
a)
∑i
2
i =1
n
b)
∑i
n
3
c)
i =1
∏2
i
i =1
7. Deducir una fórmula para hallar el valor de: n
a)
n
∑x
i
b)
i =1
∑ k(k1+ 1) i =1
8. Deducir una fórmula para :
⎛ ⎞ a) ∏ ⎜⎜1− 1 ⎟⎟ j ⎠ j = 2 ⎝ n
b)
n
⎛
j =1
⎝
⎞
∏ ⎜⎜1− j1 ⎟⎟ 2
⎠
9. Un cuadro mágico de orden n es un cuadrado dividido en cuadrados en donde se colocan los números de 1 hasta n2 de tal manera que cada fila o diagonal suman lo mismo. A continuación un cuadro mágico de orden 3: 8
1
6
3
5
7
4
9
2
En general cuánto vale la suma de los números decada columna fila o diagonal de un cuadro mágico de orden n? 10. En la demostraciones la proposiciones 1 y 2 se utiliza varias veces la propiedad 6. ¿Dónde?
8. EL MAXI MO COMUN DIVI SOR.
La relación "n divide a m" tiene sentido cuando n y mson enteros o naturales, pero no para fraccionarios o reales (por qué?) En la sección 4 vimos la forma de demostrar las propiedades mas elementales sobre esta relación, propiedades que resumimos a continuación utilizando la notación "n|m", también introducida en esa sección. Propiedades de la relación " n divide a m". Siendo a, b, c enteros no nulos se tiene: 1) a|0 y ±1|a 2) a|a 3) Si a|b y b|c entonces a|c. 4) Si a|b y b|a entonces a=±b 5) Si a|b y a|c entonces para cualesquier enteros x, y se tiene que a|(xb+yc) 6) Si a|b entonces |a|≤ |b|.
En base a estas propiedades desarrollaremos el concepto de máximo común divisor de dos enteros a y b (no nulos). En aritmética elemental se conocen algoritmos para encontrar el máximo común divisor de dos enteros y se entiende que por ejemplo el máximo común divisor de 9 y 12 es 3, ya que de los divisores positivos comunes de 9 y 12 el mayor es 3. Nosotros nos basaremos en la siguiente definición: Definición 1. Dados dos enteros a, b ninguno nulo, Máximo Común Divisor de a y b que
notaremos (a,b), ser el entero positivo c tal que: i) c|a y c|b. ii) Si x|a y x|b entonces x|c.
La condicióni nos indica quec debe ser un común divisor y a condición ii no señala que es el máximo. En los ejercicios 4 y 5 se da una necesaria discusión sobre esta definición. La siguiente proposición nos permite hablar del m.c.d. de tres o mas números.
Proposición. ((a,b),c)=(a,(b,c)) Demostración. Sean d=(a,b), e=(b,c), f=(a,e) y g=(d,c) debemos demostrar que g=f.
Por ser g=(d,c) entonces g|d y g|c. Por ser d=(a,b) y g|d tenemos que d|a y d|b o sea se tiene que g divide a a,b y c. Pero si g divide a b y a c entonces g debe dividir a e=(b,c) y como también divide a a entonces g|f. De manera similar se ve que f|g lo que implica que g=ñf , pero como ambos son positivos concluimos que g=f. Para hallar (n,m) un método muy antiguo, llamado el algoritmo de Euclides, consiste en hacer divisiones sucesivas, como mostraremos en el siguiente ejemplo para enseguida formalizar: Ejemplo 1. Para hallar (32,18) dividimos 32 entre 18 y obtenemos como residuo 14, luego
dividimos 18 entre 14 obteniendo como residuo 4, enseguida dividimos 14 entre 4 y obtenemos residuo 2, y al dividir 4 entre 2 obtenemos residuo 0. Como 2 es el último residuo no nulo, 2 es el máximo común divisor de 32 y 18. Dividendo
Divisor
Residuo
32
18
14
18
14
4
l4
4
2
(32,18)
Tabla 1. Divisiones sucesivas para encontrar
(32,l8) según el algoritmo euclideano.
Proposicion 2. (Algoritmo Euclideano)
Si a y b son enteros positivos por el algoritmo de la división (Propiedad 6-1 Capítulo 1) podemos encontrar r1...rk y q1...qk+1 tales que:
(1)
a = bq1+r1
0 < r1< b=r0
b = r1q2+r2
0 < r2
r1 = r2q3+r3
0 < r3
rk-3 = rk-2qk-1+rk-1
0 < rk-1
rk-2 = rk-1qk+rk
0 < rk
rk-1 = rkqk+1 de esta forma, el último residuo no nulo rk, es el máximo común divisor de a y b. Demostración. Vamos a proceder por inducción sobre k, que es el número de pasos que
hay en el proceso. Notemos que el proceso se detiene cuando rk+1=0 pues no se puede hacer la siguiente división. i) Si k=0 o sea el primer residuo r1 es 0, entonces a es múltiplo de b y por tanto (ejercicio
2) el máximo común divisor es b. ii) Supongamos que se tiene demostrado cuando hay sólo k-1 residuos, entonces
empecemos el proceso en la segunda ecuación de (1) o sea en b=r1q1+r2. Partiendo de esta ecuación hasta llegar a la última tenemos k-1 residuos no nulos, entonces por hipótesis de inducción podemos decir querk=(b1,r1). Tenemos: i) rk|by rk|r1 ii) x|b y x|r1 ⇒ x|rk
Como r0>r1>...>0 entonces algún rk+1 debe ser cero, esto nos garantiza que el proceso descrito en (1) es finito. Pero a=bq1+r1 entonces rk|a y tenemos que
i)' rk|a y rk|b.
Ahora bien, si x|a y x|b entonces x|a-bq1 o seax|r1 y por ii) tenemos quex|rk , por tanto: ii)' x|ay x|b entonces x|rk.
i)' e ii)' nos garantizan que (a,b)=rk con lo cual queda demostrada la proposición. Corolario. Si a y b son enteros, los números de la forma α a+ β b α , β∈ Z se llaman
combinación lineal de a y b. La menor combinación lineal positiva de dos enteros no nulos es el máximo común divisor. Ejemplo 2. Para expresar (32,18) como combinación lineal de 32 y 18 podemos recurrir
al algoritmo euclidiano pero en sentido inverso. Según este (tabla 1) tendríamos: 32 = 18×1+l4 l8 = 14×1+4 l4 = 4×3+4 4 = 2×2 Entonces de la penúltima ecuación tenemos: 2=14-4×3 Pero 4=l8-14×1 entonces 2=l4-(18-14×1)×3=14×4-18×3 y como l4=32-18 entonces 2=(32-18)×4-18×3=32×4+(18)×(-7) y hemos encontrado α =4 y β =-7 tal que 2=(32,18)= 32α +18 β . Este proceso es el que utilizamos para la demostración general. Demostración. Nótese primero que si x es combinación lineal de n y m, y a la vez mes
combinación lineal de n y m', entonces x es combinación lineal de n y m' (ejercicio 7). Por esta razón y según las ecuaciones de (1) vemos querk es combinación lineal derk-1 y rk-2 y a la vez rk-1 es combinación lineal de rk-2 y rk-3 entonces rk es combinación lineal derk-2 y rk-3. Por este proceso "vamos subiendo" hasta llegar a que rk es combinación lineal de r1 y b, pero como r1 es combinación lineal de a y b vemos que rk, el máximo común divisor, es combinación lineal dea y b.
Por otra parte, el máximo común divisor divide a a y divide a b y por tanto a cualquier combinación lineal de a y b y se deduce que es la menor de todas las combinaciones lineales positivas dea y b. Definición. a y b se llaman primos relativos si y sólo si (a,b)=1. Proposición 3. (Lema de Euclides) Supongamos que a y b son primos relativos y que a|bc
entonces a|c. Demostración. Como (a,b)=1, según el corolario anterior existen α , β tales que 1=α a+ β b
multiplicado por c a ambos lados obtenemos que c=α ac+ β bc como a|bc y a|α ac entonces a|c. El siguiente resultado, cuya demostración se deja como ejercicio al lector, establece un método muy usado para construir el máximo común divisor de dos números: Se descomponen en factores primos y se escogen aquellos factores comunes con su menor exponente. Proposición 4. Si la descomposiciones en factores primos de a y b son:
a= p1α 1 pα 2 2 … pα nn y b= p1 β 1 p β 2 2 … pnβ n entonces el máximo común divisor de a y b, (a,b) tiene como descomposición en factores primos p1γ 1 p2γ 2 … pnγ n donde γ i es el mínimo entre α i y β i.
EJ ERCICIOS ERCICIOS
el máxim áximo común divi divisor sor de los si siguie guientes ntes pare pares s de de enteros. nteros. Expresarl xpresarlo o 1. Encontrar el como combinación lineal de los dos números: i) 52, 38
ii) 81, 110
iii) 320, 112
iv) iv) 7469,238
(a, ka) ka)=a (con a>0) y que que (1 (1, a)=1 2. Demuestre que (a,
3. Sea d=(a,b), demuestre que
a.b es un entero múltiplo de a y b. d
uestre que que la def definici nición ón 1 es una buena def definici nición. ón. Es decir, cir, que si dos núm números c 4. Demuestre y c' cumplen la definición se debe tener c=c'. c=c'. puede defi defini nirr com como aquel entero c tal que: 5. El máximo común divisor de a y b se puede |b. i) c|a y c|b. |b) implica x
entonces x es combinación lineal de n y m'. 8. Demostrar que a y b son primos relativos si 1 se puede expresar como combinación
lineal dea de a y b. (ma,mb))=m(a,b). 9. Si mes un entero positivo, demostrar que (ma,mb
primo y a es un un entero no nulo nulo entonces entonces o (a (a,p)=1 o 10. Demostrar que si p es un número pri (a,p)=p. (p,q)=1 11. Si p y q son primos distintos entonces (p (a,bc))=1 si y solo si (a (a,b)=1 y (a,c)=1. 12. Probar que (a,bc (x,z)=(z,t) 13. Si x=yz+t , probar que (x 14. Si a y b son primos relativos y c pertenece a los enteros positivos entonces: i) existen α y β tales 1=αa+βb.
a-b.a+b) es 1 o 2. ii) (a-b.a+b) iii) Si a|bc entonces a|c.
ab|c. iv) iv) Si (a|c y b|c) entonces ab|c. c,ab)=(c,a)(c,b). v) (c,ab) (a2+b2,a+b) sabiendo que (a (a,b)=1? 15. ¿Cómo es (a
⎛ a ⎞ impar entonces (a (a,b)=⎜ ,b⎟ 16. Pruebe que si a es par y b es im ⎝ 2 ⎠ )(b,c). 17. Probar que si c|ab entonces c|(a,c)(b Supóngase que (a,b)=1. Prue Pruebe be por inducción inducción que (an,b)=1 (Utilice el resultado del 18. a) Supóngase problema 12). uestre que si (a,b)=1 entonces (a (an,bn)=1. b) Demuestre sando b) dem demostrar que si si a y b son entero enteros s tales tales quea quean|bn entonces a|b. c) Usando b=b'd, demostrar que ((a',b' a',b'))=1. 19. Si d=(a,b), a=a'd y b=b'd, 20. Demostrar la proposición 4 (utilice los resultados del ejercicio 17 de la sección 6).
21. Demuestre que el corolario de la proposición 2 implica lo siguiente: "Si los múltiplos de
a se marcan en rojo sobre una recta y los múltiplos de b en verde donde a y b son enteros positivos cuyo máximo común divisor es g, entonces g ser la distancia más corta de cualquier punto verde a cualquier otro rojo". pk+1 ab,p)=1 demostrar ostrar que k+1 solo cuando k=s y p|(a+b). p|(a+b). 22. Si (ab,p) ap + bps
23. Supóngase que
a c y son dos fracciones reducidas a su expresión más simple b d
((a ((a,b)=(c,d)=1). Demostrar ostrar que si
a c ad + cb + = es un entero entero entoncesb entonces b=d o b=-d. b=-d. b d bd
números a y b son primos relativos y su 24. En base a la proposición 4 demostrar que si dos númerosa producto producto es es un cuadrado, entonces entonces cada cada uno es es un cuadrado perf perfecto. ecto. Deduci educirr esta misma proposición del resultado establecido en el ejercicio l4. efi nirr forma formallmente mínim nimo común múlti últipl plo. o. Demostrar ostrar que que éste se puede puede obtener obtener 25. Defini multiplicando los dos números y dividiendo el producto por el máximo común divisor. Demostrar ostrar fi finalm nalmente que tam también bién se pued puede e obtener obtener descomponie poniendo en factores factores primos y formando el producto de todos los primos cada uno con su mayor exponente. 26. Definir recursivamente el máximo común divisor de n números.
Definir
recursi recursivam vamente combi combinación nación li lineal neal de n núm números. Demostrar ostrar que el máxi máxim mo común diviso divisorr den de n números es la menor combinación lineal positiva de estos n números. 27. Formalizar la demostración dada para el colorario de esta sección procediendo por
inducción sobrek sobre k. 28. a) Demostrar que si b y c son enteros positivos tales que bc es un cuadrado perfecto y
(b,c)=1 entonces entonces ambos ambos b y c son cuadrados perfectos.
la anteri anterior or demuestre uestre que no exi existen sten enteros a y b tales que a2=2b2 (esto b) En base a la demuestra que raíz de dos no es racional!). que a2=3b2. c) Probar que no existen enteros no nulos a y b tales quea un entero entero positi positivo vo que no es es cuadrado perfecto rf ecto probar que no exi existen sten enteros d) Si n es un no nulos a y b tales a2=nb2. 29. Demostrar el teorema fundamental de la aritmética (sección 6).
9. ECUACIONES L I NEALES DI DI OFANTI OFANTI NAS
Un problema adivinanza típico es el siguiente: María compra pollos a $50 y patos a $70, con un costo total total de $530. $530. Cuántos uántos pollos poll os y cuántos cuántos patos compró. Haciendo x el el número de poll pollos e y el el número de patos tenem tenemos la la ecuación cuación 50x+70y=530 que es equival equivalente ente a 5x+7y=53.
(1)
Es claro que la solución x e y deben deben ser enteras y posi positi tivas, vas, pues no se concibe conciben n respuestas respuestas como 3 de ppollos y 27 de patos ni tampoco ((-3) pol polllos. Ecuaci cuacione ones s como como éstas stas en 4 5 que las las soluci soluciones ones deben deben ser enteras se denom denomiinan ECUACIONES DIOFANTINAS en honor honor a Diof Diofa antos (S. I I I D.C D.C.), matem temáti ático de la “segunda gunda escue scuela alejandri andrina na” ” y que es conside considerado rado pi pionero onero del del álgebra y la la teorí teoría a de números. En su aritm aritmé ética tica Diofan ofantos tos da da “rece “recetas” para para resolver resolver éstas éstas y otras ecuaci ecuaciones. ones. Es claro claro que la teoría teoría de números es es el estudio de ecuaciones diofantinas en gran parte, así pues el “Ultimo Teorema de Fermat” establ stablece ece la imposibi posibillidad dad de resolución resoluci ón de cie ciertas ecuaci cuacione ones s diof diofan anti tinas nas.. Por Por ahora, ahora, vamos a trabaj trabajar con algunas ecuaciones ecuaciones lineales neales di diofan ofanti tina nas, s, como como la la ecuaci cuación ón (1). Con los elementos que tenemos sobre máximo común divisor podemos justificar el procedimiento que se ilustra en el siguiente ejemplo: (5,7)= =1 existe según el corolario de la sección anterior una E j emplo plo 1. Sabemos que (5,7) solución a la ecuación 5α +7 β =1 Sea esta α =3 y β =-2. Podemos entonces entonces conocer una soluci solución ón entera para la ecuación ción (1) a saber: x0=53α =159 y y0=53 β =-106 ¿Ha ¿Hay otras soluci solucione ones s a la ecuaci cuación? ón? Supongam Supongamos que que x, y es otra solución, cómo es? Ten Tendríam íamos
5x+7y=53 5x0+7y0=53 Estando estas dos ecuaciones tenemos: 5(x-x0)=7(y0-y) Como (5,7)=1 y se tiene 5|7(y0-y). La proposición de la sección anterior nos permite deducir que 5|(y0-y) es decir que para algún t entero 5t=y0-yde donde tenemos quey=y0-5t=-l06-5t. Para encontrar los valores dex reemplazamos el valor de (y0-y) en (2) por 5t y obtenemos: 5(x-x0)=7×5t de dondex-x0=7t o sea quex=7t+x0=159+7t. Tenemos entonces que: x=159+7t y=-(106+5t) dando valores a t, obtenemos soluciones para la ecuación (1) así para t=0,1,2,3 se tiene x=159,166,173, 180 y=-106,-111,-116,-121. Ya habíamos dicho que nos interesan sólo las soluciones positivas. ¿Cuálest hacen a x e y positivos? Según (3) tendríamos: 159 +7y>0 y -106-5t>0 desigualdades que al despejar t nos indican: t>− 15977
y t>− 1065
o sea que t debe estar entre -22.7 y -21..2 y el único valor entero posible para t ser t=-22 por lo tanto las únicas soluciones positivas son: x=5 , y=4 Este proceso es general y los formalizamos en el siguiente resultado. Proposición 1. Sean a,b,c enteros no nulos, la ecuación
ax+by=c
(4)
tiene solución si y solo (a,b)|c Demostración. Esto es una consecuencia del corolario de la sección anterior.
En el ejercicio se pide encontrar la forma general de las soluciones a la ecuación (4) cuando estas existen. El método utilizado en el ejemplo 1 se puede expandir a ecuaciones con más de dos variables como veremos enseguida. Ejemplo 2. Supongamos que queremos encontrar:
5x+7y-10z=12
(5)
como (5,7)=1 por la proposición 1 tenemos que la ecuación 5x+7y=u
(6)
siempre tiene solución para cualquier u entero, debemos resolver entonces, reemplazando u en (5): u-10z=12 que tiene solución particular u0=22 y z0=1 y por el método del ejemplo anterior vemos que u=22+10s y z=1+s entonces la ecuación (6) queda: 5x+7y=22+10s
(7)
como para s=0, tenemos u=22, z=1, resolviendo (7) para s=0 obtenemos que x0=3, y0=1, z0=1 es una solución particular de (5), y de (7) podemos plantear 5(x-2s)+7y=22 que nos dan las soluciones para (5) que estamos buscando: x-2s=3+7t o seax=3+7t+2s y=1-5t z=1+s al hacer variar t y s obtenemos todas las soluciones posibles enteras. La existencia de soluciones para ecuaciones diofantinas de más de dos variables se establece en el resultado siguiente:
Proposición 2. La ecuación diofantina
a1x1 +a2x2+...+anxn=c tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a1, a2,..., an divide a c. Demostración. Procedemos por inducción paran. i) Paran=2 la proposición 1 nos garantiza el resultado. ii) Supongamos que el resultado se tiene para n=k y queremos probarlo para n=k+1. Si
tenemos: a1x1 +a2x2+...+akxk+ak+1xk+1 =c
(8)
Sea d' el máximo común divisor de a1, a2,..., ak; sabemos por hipótesis de inducción que la ecuación a1x1 +a2x2+...+akxk=c’ tiene solución única y exclusivamente cuando d'|c', o sea cuando c'=d'x. Ahora por la proposición 1 la ecuación a1x1 +a2x2+...+akxk+ak+1xk+1=c tiene solución si y sólo si (d',ak+1)|c que es lo mismo que exigir que el máximo común divisor dea1, a2,..., ak+1 divide ac. PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS 1. Determinar una solución general de la ecuación lineal diofantina i) 23x+37y= ii) 2072x+1813y=2849. 2. En el plano señalar los puntos enteros de las rectas 3x-2y=2 y 3x-2y=0. 3. Determinar todas las soluciones de 19x+20y=1909 con x>0 y y>0.
4. Sean my n enteros diferentes. ¿Cuántos fraccionarios con denominadorn o mhay entre
1 y 0? ¿Cuál es la menor distancia entre dos fracciones de éstas? 5. Encontrar una solución general para la ecuación
1321x+5837y+1926z=2983. 6. Cuando el Señor González en 1911 cambió su cheque por x pesos con y centavos, el
cajero se equivocó y pagó y pesos con x centavos. El Señor González recibió el doble de la cantidad mas dos centavos. ¿De cuánto era el cheque? 7. ¿Qué tan separados están los puntos enteros de la recta
7x+5y=53 8. Demostrar que cuando (a,b)=1 entonces ab<0 si y sólo si existe un número infinito de
soluciones positivas (x>0,y>0) para la ecuación ax+by=c. 9. Resolver en forma general los siguientes sistemas de ecuaciones para x, y, z enteros. i) 2x+3y+z=25
4x+6y-2z=12
ii) 12x+16y-4z=4
y+z=3
10. Determinar las condiciones necesarias y suficientes para que las ecuaciones
ax+by+cz=d a'x+b'y+c'z=d' tengan soluciones en enteros. Exhibir un método general para encontrar la forma general de las soluciones.
10. LA REL ACI ON DE CONGRUENCI A ENTRE ENTEROS.
Con base en los resultados obtenidos en la sección 8 desarrollaremos una notación muy útil dentro de la teoría de números, notación introducida por Gauss. Definición 1. Siempre que m|(a-b) diremos que a es congruente con b modulo my se notar
a≡b(mod m) (sólo se exige quemsea diferente de 0). Esta notación puede interpretarse como que a y b al dividirse por m tienen el mismo residuo. En efecto, si a y b tiene el mismo residuo al dividirse por m se tiene: a=k1m+r y b=k2m+r que implica (a-b)=(k1-k1)m, o sea que, m|(a-b). Por otra parte, como 0 es el único múltiplo demque está entre-my msi a≡b(mod m), aplicando algoritmo de la división tendremos a=q1+r1; b=q2+r2 con 0
Proposición 1. a≡ b(mod m) si y sólo si a y b tienen el mismo residuo al dividirlos por m. Ejemplo 1. Según el algoritmo de la división al dividir por 4 se puede obtener un único
residuo entre 0 y 3 y por lo tanto un número debe ser de una única forma: 4n, 4n+1, kn+2 o 4n+3. Esto nos ayuda a demostrar, por ejemplo, que todo número cuadrado es un múltiplo de 4 o es de la forma 4n+1 (Proposición2 sección 6). Los números de la forma 4n, los múltiplos de 4, son congruentes entre sí, modulo 4. Los de la forma 4n+1, por ejemplo 41 y l009, son congruentes entre sí todos. Lo mismo sucede con los de la forma 4n+2 y por su lado con los de la forma 4n+3. Hacer congruencias modulo 4 es pues, formar los números enteros en 4 “grupos” como se ve en la figura 1. ...
-8 -4
0
4
8
...
...
-7 -3
1
5
9
...
...
6
-2
2
6 10 ...
...
-5 -1
3
7 11 ...
Figura1. Los números de cada fila son congruentes entre si modulo 4.
En estos “grupos” que se forman, la relación de congruencia modulo 4 hace el papel de igualdad. Esto nos garantiza en formageneral el siguiente resultado. Proposición 2. La relación “ser congruente(mod 4)” es una relación de equivalencia en
los enteros, es decir, se cumplen las siguientes leyes: Reflexiva: Siempre a≡ a(mod m). Simétrica: Si a≡ b(mod m) ⇒ b≡ a(mod m). Transitiva: Si a≡ b(mod m) y b≡ c(mod m) ⇒ a≡ c(mod m). Demostración. A manera de ilustración hacemos la demostración de la simetría. La
reflexiva y transitiva quedan a cargo del lector. Simetría: Si a≡b(mod m) según la definición 1, m|b-a lo que implica que m|-(b-a) o sea m|a-bque significa que b≡a(mod m).
Además de ser la relación de congruencia una relación de equivalencia, tiene otra característica que la hace supremamente útil: es compatible con la suma y la multiplicación de enteros. Esto es lo que indica el siguiente resultado. Proposición 3.
Si a≡ b(mod m) para cualquier c entero se tiene ac≡ bc(mod m) y
a+c≡ b+c(mod m). Demostración. Si a≡b(mod m) por definiciónm|b-a entonces m|c(b-a) y por lo tanto
m|cb-ca lo que indica queca≡cb(mod m). Así mismo, si m|b-a entonces m|(b+c)-(a+c) por tanto a+c≡b+c(mod m). Ejemplo 3.
Sabemos que 10≡1(mod 9) por la proposición anterior vemos que
102≡10(mod 9) y aplicando que la relación de congruencia es simétrica y transitiva vemos que: 102≡10(mod 9) y 10≡1(mod 9) ⇒ 102≡1(mod 9) multiplicando por el mismo número 3 vemos que 3×102≡3(mod 9) entonces 3×102+1≡4(mod 9) o sea que 301≡4(mod 9). Resumidamente se ha visto que como 10≡1(mod 9) entonces(3(10)2+1)≡(3(1)2+1)(mod 9). En el ejercicio 5 se pide demostrar que si a+c≡b+c(mod m) entonces a≡b(mod m). Esta es una justificación para la ley cancelativa de la suma en congruencia. Se podría esperar tener una ley parecida para el producto pero se puede buscar un contraejemplo rápidamente ,así cuando m=24 1×6≡5×6 y sin embargo no es cierto que módulo 24 1≡5. La siguiente proposición nos indica cuándo es posible cancelar factores comunes en una congruencia. Proposición 4. Si (m,c)=1 y ac≡ bc(mod m) entonces a≡ b(mod m).
Demostración. Si ac≡bc(mod m) entonces m|(b-a)c, como (m,c)=1 según la última
proposición de la sección 8 concluimos que m|b-a y por lo tanto a≡b(mod m). Una generalización de este resultado se encuentra en el ejercicio 12. Definición 2. Un conjunto de números {a0, a1, ..., am-1} es un sistema completo de residuos
módulo msi en él hay uno y sólo un representante de cada residuo al dividir por m. En otras palabras se deben cumplir dos condiciones: i) i≠ j ⇒ ai no es congruente con a j módulo m. ii) Para cualquier entero a existe un 0≤i
La primera condición indica que no hay en {a0, a1, ..., am-1} dos números con el mismo residuo, la segunda condición asegura que ahí están todos los residuos posibles. Ejemplo 2. Para buscar un sistema completo deresiduos módulo 4, según la figura 1, basta
tomar 4 enteros, cada uno de una fila diferente. Así el conjunto {0,-3,6,11} es un sistema completo de residuos módulo 4, mientras si tomamos {6,10,5,8} no es un sistema completo de residuos pues 6≡10(mod 4) y además no hay ninguno que tenga residuo 3. Fijemos nuestra atención en el s.c.r. {8,-3,6,11} teniendo en cuenta las proposiciones 2 y 3 vemos que: 8+(-3)≡(-3) y 6+11≡(-3) y 6+(-3)≡11, etc. y así con el producto (-3)×11≡6 y (-3) ×11≡11 y 6×11≡6, etc. Podemos resumir esto haciendo tablas de multiplicar y sumar tendremos: +
8 -3 6 11
8 8 -3 6 11
-3 -3 6 11 8
6 6 11 8 -3
11 11 8 -3 6
⋅
8 -3 6 11
8 8 8 8 8
-3 8 -3 6 11
6 8 8 8 6
11 8 6 6 -3
Tablas 1.
En este sistema completo de residuos el 8, por ejemplo, representa todos los números que tienen el mismo residuo que él al ser dividido por 4: todos los múltiplos de 4; -3 representa los números de la forma 4n+1; el 6 los de la forma 4n+2 y 11 a los de la forma 4n+3. Un
sistema canónico de residuos equivalente al anterior sería {0,1,2,3} en donde las tablas nos quedan: +
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
⋅
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Tablas 2.
Nótese que aquí 3×3≡1 indica que dos números de la forma 4n+3 multiplicados nos da uno de la forma 4n+1. Definición 3. Cuando hablemos de la aritmética modulo m nos referiremos a las
operaciones entre los números 0,1,2,..,(m-1) según la relación de congruencia (mod m). Los cálculos en la aritmética módulo m se hacen como en los números en cuanto se cumplen propiedades como la distributiva, las dos operaciones sin conmutativa y modulativa etc. Sin embargo hay una diferencia importante: la ley cancelativa para el producto es más restringida en la aritmética módulo m según la proposición 4. Por otra parte cuando el módulo es primo podemos hablar de inversos multiplicativos lo cual no sucede en los enteros, donde los únicos que tienen inversos multiplicativos son..... Estas propiedades básicas son formalizadas en la siguiente afirmación. Proposición 5. (Propiedad de la aritmética mod. m).
i) Ley cancelativa para la suma: a+x≡ a+y ⇒ x≡ y. ii) Para todo a y b existe un único x tal que: a+x≡ b. iii) m es primo para todo a no congruente con 0 y todo b existe un único x tal que: a⋅ x≡ b. iv) Si m es primo para todo a no congruente con 0, todo b y c existe un único x tal que: ax+b ≡ c.
Demostración. i) Si a+x≡a+y(mod m) entonces m|(a+x)-(a+y) lo que implica que m|x-y o sea que
x≡y(mod m). ii) Vemos primero que para todo a existe (-a) tal quea+(-a)=0.
Hágase simplemente (-a)=m-a
cuando a≠0 y (-0)=0.
Para resolver la ecuación
a+x≡b(modm) tómesex≡b+(-a)(mod m) y se tendrá: a+x≡a+( b+(-a)) ≡b. iii) Consideremos los residuos 0,a,2a,...,(m-1)a . Entre estos residuos no pueden existir
dos repetidos pues si ia≡ ja como mes primo, (m,a)=1 y podemos aplicar la proposición 4 obteniendo i≡ j o sea i=j. Esta consideración nos garantiza que entre 0,a,2a,...,(m-1)a a no hay dos residuos iguales y por lo tanto 0,a,2a,...,(m-1)a es un sistema completo de residuos modulo m entre los cuales debe estar la clase residual de b, por tanto existe un x, único como residuo, tal queax≡b(mod m). La parte cuatro de la demostración se deja como ejercicio al lector. La demostración de la parte 3, como ya se indicó, es básica y sutil. Su argumento lo resaltamos en la siguiente proposición que ser utilizada mas adelante. Proposición 6. Si a no es congruente con 0 módulo m cuando m es primo entonces el
conjunto 0,a,2a,...,(m-1)a es un sistema completo de residuos. Como consecuencias de la proposición 6 encontramos la parte iii) de la proposición 5, así como el Teorema débil de Fermat y el Teorema de Wilson, con los cuales cerramos esta sección. Proposición 7. (Teorema débil de Fermat) Si p no es primo y a no es múltiplo de p,
entonces: ap-1≡ 1(mod p)
Demostración. Según la proposición 6 los residuos 0,1,2,3,....,(m-1) son exactamente los
residuos dea,2a,3a,...,(m-1)a; salvo el orden. Por esta razón tenemos: 1×2×...× (p-1)≡1×a×2a×...×(p-1)a lo cual indica que: (p-1)!≡(p-1)!ap-1 y como (p-1)! no es múltiplo de p existe según la proposición 5 iii) existe un único x tal que: (p-1)!x≡(p-1)!(mod p). por tanto, ap-1≡1(mod p). Proposición 8. (Teorema de Wilson) Si p es primo entonces:
(p-1)! ≡ -1(mod p) Demostración. Sabemos que en 0,1,2,...,(p-1) están todos los residuos módulo p y además
que todo residuo no nulo a tiene su inverso multiplicativo a-1 (ejercicio 22). Cuáles residuos entre 1 y p-1 tienen residuo igual a si mismo, es decir, para qué x se cumple xx≡1(mod p)? Claramenteparax≡1 y x≡-1 se tiene. ¿Hay otros? Si p divide ax2-1, p debe dividir a (x-1)(x+1) o sea: (x-1)(x+1)≡0(modp) pero esto sólo es posible cuando o bien x-1≡0(mod p) o bien x+1≡0(mod p) (véase ejercicio 15). Esto nos asegura que los únicos residuos que elevados al cuadrado son congruentes con 1 son 1 y -1. O seaque cada uno tiene su inverso multiplicativo diferente salvo el 1 y -1 (o seam-1). Ahora bien, como p es impar hay p-1 residuos no nulos de los cuales p-3 (salvo el 1 y -1) tienen su inverso diferente, por tanto al multiplicar 2,3,...,(p-2) tenemos un número par de residuos que se agrupan 2 a dos anulándose todos, por lo tanto 2×3×...×(p-2)≡1(mod p) y tenemos que (p-1)!≡-1(mod p).
Para aclarar un poco el proceso seguido en estas últimas demostraciones analicemos un caso concreto. Ejemplo 3. Sea p=7 y a=4, según la aritmética módulo p (tabla 3) los elementos
0,4,2×4,3×4,4×4,5×4 y 6×4 (la fila 5 de la tabla del producto) es un sistema completo de residuos (proposición 6) y por tanto (4×1)×(4×2)×(4×3)×...×(4×6)≡1×2x3×...×6(mod 7) y se tiene 46×6!≡6!(mod 7) lo que implica que 46≡1(mod 7) como lo asegura el Teorema débil de Fermat. Por otro lado, según la tabla 2×4≡1 y 3×5≡1, por tanto: 6!=2×3×4×5×6≡6≡-1(mod 7) que es el teorema de Wilson. + 1 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
×
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6
0 2 4 6 1 3 5
0 3 6 2 5 1 4
Tabla 3. Suma y producto módulo 7. EJ ERCICIOS. 1. Demostrar que la relación de congruencia es reflexiva y transitiva. 2. Demostrar que si a≡b(mod m) y c≡d(mod m) entonces,
a+c≡b+d(mod m)
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1
3. Hacer las tablas de adición y multiplicación módulo 11 y 12 y encontrar todos los
residuos xque en cada caso cumplan la ecuación dada: a. 3x≡6(mod 11)
b. 3x≡6(mod 12)
c. 3x≡7(mod 11)
d. 3x≡7(mod 12)
e. x2≡1(mod 11)
f. x2≡8(mod 12)
g. x2≡3(mod 11) 4. Qué horas indica el reloj si: a. 29 horas antes indicaba las 11. b. 100 hora antes eran las 2. c. 50 horas después ser n las 6. 5. Determine la forma de todos los enteros que cumplen a la vez cada par de congruencias: a. x≡3(mod 7) y x≡4(mod 9) b. x≡5(mod 6) y x≡8(mod 12) 6. Explicar en términos de congruencias (módulo 4): a. El doble de un impar sumado con un múltiplo de 4 es un número de la forma 4n+2. b. Un número no primo de la forma 4n+3 tiene al menos un divisor diferente de él, de
la forma 4n+3. c. Lo anterior no es cierto si cambio 4n+3 por 4n+1. 7. ¿Qué sepuede concluir de que a2≡b2(mod p) cuando p es primo? 8. En la aritmética módulo mse puede hablar de algoritmo de la división? 9. Encontrar todas las triplas (x, y, z) modulo 5 tales que
x2+y2=z2 10. Demostrar que si a+b≡c+b(mod m) entonces a≡c(mod m).
11. Demostrar que si n es entero positivo impar entonces
1+2+3+... +(n-1) ≡0(modn) 12. Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que x≡y(mod m) implica
quef (x)≡f (y)(mod m). 13. Sea (m,c)=d y m=dn; si ac≡bc(mod m) entonces a≡b(mod n). 14. Demostrar que si p es primo xp+yp≡(x+y)p. 15. Demostrar que si p es primo ab≡0(mod p) implica a≡0(mod p) o b≡0(mod p). ¿Qué se
puede decir si p no es primo? 16. Probar que cuando p es primo impar xp+yp-≡0(mod p) implicaxp+yp≡0(mod p2). 17. Siendo p primo ap≡a(mod m). 18. A qué congruencia de grado inferior a 7 es equivalente la congruencia:
2x17+6x16+x14+5x12+3x11+2x10+x9+5x8+2x7+3x5+4x4+6x3+4x2+x+2≡0(mod 7)? 19. Probar el teorema débil de Fermat demostrando que
(1+1 +...+1)p=(1+1+...+1) siempre que el número de 1's se menor quep. 20. Si a0, a1,..., am-1 es un sistema residual completo módulo m, entonces ka0, ka1,..., kam-1
también lo es. Demostrar que esto setienesi k es primo relativo con m. 21. Deducir un resultado similar al anterior para los enteros ka0+1, ka1+1,..., kam-1+1, 22. Demostrar que si (a,m)=1 entonces:
i) Existe a-1 tal queaa-1≡1(mod m). ii) Si ax≡0(modm) entonces x≡0(modm). 23. Demostrar que cuando p es primo, si a0, a1,..., an no son múltiplos de p entonces
a0a1...an no es múltiplo dep.
1. LAS PROPOSICI ONES DE L A TEORI A DE NUMEROS.
Indudablemente la base de todo ese inmenso océano que es la matemática radica en la aritmética y la geometría. Nuestro estudio se centrará en la primera de éstas que trata, como la Teoría de Números, de los números naturales y enteros. Se trata de analizar proposiciones que se refieren a éstos. El lector entonces, debe tener confianza en el estudio que inicia pues trabajará básicamente con los elementos con los cuales indudablemente debe estar familiarizado. Sin embargo el exceso de confianza no es conveniente pues, como comenta James R. Newman: "Se supone comúnmente que la aritmética es la rama más sencilla de las Matemáticas. Nada más lejos de la verdad. El tema es difícil de plantear aunquese admite que la práctica dela aritmética elemental es bastante fácil". En efecto, comprobar la falsedad o veracidad de proposiciones como 22+23=45 ó 425×236=263020 es una tarea de la aritmética elemental que puede resolver cualquier alumno de tercero primaria. No se necesita más que el simple manejo de algoritmos1 y‚ esto es lo que en la mayoría de los casos se enseña en la matemática de la escuela primaria. La justificación de éstos y otros algoritmos, así como la verificación de propiedades más generales exigen casi siempre mayor madurez matemática. Así los griegos pitagóricos sabían que la suma de los n primeros números impares coinciden con n2. Este hecho se comprueba fácilmente para casos particulares. Por ejemplo, los primeros 4 números impares son: 1,3,5 y 7 cuya suma es 16. ¿Pero cómo comprobar que en todos los casos se cumple?
1
Un algoritmo se puede entender como una receta o procedimiento para efectuar una tarea.
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
Figura 1. Argumentación geométrica para comprobar que la suma delos primeros
impares es un número cuadrado perfecto. Podríamos sumar los primeros 100 impares desde 1 hasta 199 y obtener 10.000 o comprobar con ayuda de modernos computadoras para números muy grandes y muchas veces, obteniendo siempre resultados positivos y sin embargo siempre faltarían casos y no podremos estar convencidos absolutamente de que la proposición analizada sea cierta para todo número natural. Con ayuda de la intuición geométrica podemos convencernos de la certeza de la proposición tal y como razonaban los primeros matemáticos. Observando la figura 1, se nota cómo al ir añadiendo impares siempre se obtiene un cuadrado de lado igual al número de impares que se llevan. Aunque este argumento no es una demostración en el sentido moderno, es indudable que es una muy buena explicación que nos exime de cualquier intento de comprobación con muchos números. Vemos entonces que no vasta sumar, restar, etc. para analizar la verdad o falsedad de las proposiciones aritméticas, y que para hacerlo es necesario utilizar otras ramas del saber matemático, como en el caso expuesto en el cual nos hemos ayudado con la geometría. En realidad son pocas las ramas de las matemáticas que no se utilizan en lo que hoy se denomina "Teoría de Números" que es al fin y al cabo una aritmética avanzada y que como se comentaba anteriormente es mucho más difícil de lo que en principio puede uno suponer. Para dar una dimensión de los problemas centrales de esta rama de la matemática -que no se trabajarán en este texto-, comentaremos por ahora el famoso "Último teorema de Fermat" como un problema planteado hace más de tres siglos y que a pesar de los grandes
esfuerzos dedicados y a los avances de otras ramas de la Matemática, no ha podido ser resuelto. Alrededor de 1637 Fermat, jurista y parlamentario francés cuya diversión era las matemáticas y del cual el lector oirá hablar mucho, escribió al margen de un libro -la Aritmética de Diofantus-: "Es imposible descomponer un cubo como la suma de dos cubos, una cuarta potencia o en general cualquier potencia como la suma de dos potencias del mismo orden mientras éste sea mayor que dos, y ciertamente he encontrado una demostración magnífica de esto pero el margen es demasiado pequeño para contenerla".
En otras palabras lo que Fermat aseguraba tener demostrado era que la ecuación:
xn+yn=zn no tiene solución para x, y, z, enteros no nulos y siendo n un entero mayor que 2. Esta sencilla proposición no ha podido ser demostrada ni refutada, a pesar del gran avance de la matemática y de los grandes matemáticos que lo han intentado. Nótese que paran=2 existen muchas triplas de enteros x, y, z que resuelven la ecuación (por ejemplo, x=3, y=4, z=5). Estas reciben el nombre de Triplas Pitagóricas.
Esta pequeña introducción ha querido mostrar al lector nuestro objeto de estudio, los números enteros, objetos con los cuales estamos familiarizados desde niños y que a pesar de haber sido trabajados por la humanidad por siglos y siglos contienen gran cantidad de misterios. Por esto la Aritmética coronada por Gauss como la reina de las matemáticas es al decir de Bell "el último gran continente salvaje de las matemáticas". PREGUNTAS Y EJ ERCI CIOS. 1. La suma de los primeros n números forman los números triangulares como se muestra
enseguida:
a. "La suma de dos números triangulares seguidos da un número cuadrado perfecto".
Por ejemplo, l0+l5=52 mientras 10+6=42. Explique con un argumento geométrico él por qué de esta proposición. b. Completando el cuadrado demuestre que el n-ésimo número Triangular es n(n+1)/2. 2. Las propiedades que hoy en día se exponen sobre las operaciones entre números se
pueden argumentar de manera geométrica.
Por ejemplo la famosa identidad
(a+b)2=a2+2ab+b2 se explica por medio de dibujo de la figura:
a b
a2
a+b
b2
a. Argumentar de manera geométrica la propiedad distributiva: a(b+c) = ab +ac. b. Lo mismo para las siguientes identidades: (a-b)b=ab-b2, (a+b)(a-b)+b2 =a2. 3. ¿Qué civilizaciones anteriores a la griega conocieron las triplas Pitagóricas? 4. Si x, y, z es una tripla pitagórica también son triplas pitagóricas sus dobles y en general kx, ky, kz también para k entero positivo. ¿Por qué‚? La tripla kx, ky, kz es un múltiplo
de x, y, z. Muestre una tripla pitagórica queno sea múltiplo dela ya citada 3, 4, 5.
2. OTROS PROBLEM AS FAMOSOS.
En la aritmética como en la geometría los griegos constituyen la primera gran ruptura que el hombre conoce en la historia de la matemática, pues no se conoce cultura anterior que haya comprendido el concepto de 'demostración'.
Más aun, la aristocracia griega
despreciaba la aritmética práctica que se aplicaba al comercio y que llamaban logística, tal vez como reacción o muestra de admiración ante el gran edificio que se construía sobre la aritmética teórica. Euclides en sus célebres ELEMENTOS DE GEOMETRIA dedica cuatro de los trece libros a este tema. La siguiente proposición es un magnífico ejemplo de la elegancia y acierto de la matemática helénica. Proposición 1. Los números primos son infinitos. Demostración. Supongamos lo contrario, es decir que sólo hay un número finito de primos
lo que implica que existe una enumeración de tales números digamos p1, p2, p3, ...,pn. Consideremos el número m=p1×p2×p3×...×pn+1. Este número no puede ser primo por cuanto estamos suponiendo que todos los primos son p1, p2, p3, ...,pn y m es mayor que todos ellos, entonces m debe ser no primo y se debe dejar dividir por al menos uno de los primos digamos pi. Pero esto tampoco es posible (¿Por qué?) Tenemos entonces quemno es compuesto y tampoco es primo, contradicción que nos obliga a aceptar que hay infinitos números primos.C La demostración de esta proposición es un bonito ejemplo del método de demostración por reducción al absurdo que consiste en suponer que la conclusión del teorema no es cierta lo cual nos lleva por medio de razocinios lógicos a algo que sabemos es falso, obligándonos a aceptar la conclusión del teorema. Más adelante profundizaremos sobre este método de demostración.
A pesar de sus grandes avances las matemáticas griegas no fueron en ningún momento acabadas por cuanto dejaron abiertos a la humanidad interesantes problemas que ellos no pudieron resolver en torno a los cuales ha girado buena parte del trabajo posterior. De estos problemas los que se refieren a la geometría han sido todos resueltos, en diferentes épocas y tras laboriosos esfuerzos. Sin embargo, hay problemas de la aritmética que permanecen después de dos mil años aun en el misterio. Un ejemplo de estos misterios se refiere a los números perfectos: un número perfecto es aquel que coincide con la suma de sus divisores positivos y menores que él. El primer número perfecto es 6=1+2+3 y el segundo es 28=1+2+4+7+14. Todos los números perfectos que se conocen desde los griegos hasta nuestros días son pares, pero nadie ha podido demostrar que no existen números perfectos impares (¿habrá?) Este es el primer gran interrogante, si existen o no perfectos impares, pero sobre los perfectos pares tampoco se sabe mucho! Como se verá mas adelante Euclides demostró que todo perfecto par es de la forma 2c(2c+1-1) en donde 2c+1-1 es primo. Esta es una caracterización de los perfectos pares por cuanto todo número de esta forma es necesariamente un perfecto par. Surge entonces el importante problema de saber cuantos números de la forma 2c+1-1 son primos. En 1644 el fraile franciscano Martín Mersenne (1588-1648) aseguró que 2n-1 es primo solamente para los primos n=2,3,5,7,13,19,31,67,127 y 257. En 1880 se demostró que para n=61 se obtiene un número primo contradiciendo hipótesis de Mersenne, por lo cual se
supuso que 67 solamente era un error de algún copista negligente por 61. Pero en 1903, Cole demostró que para n=67 se obtiene un número compuesto comprobándose definitivamente que Mersenne se equivocó. En 1947 se habían encontrado cinco fallas en la lista de Mersenne. Hoy en día se sigue trabajando para conseguir un criterio que nos indique cuándo un número de la forma 2n-1, con n primo, es primo. Además con la ayuda de los modernos computadores se conocen más de 30 primos para los cuales el correspondiente número de Mersenne es primo. Por ejemplo en 1988 se descubrió que para n=110503 el número de Mersenne correspondiente (que tiene 33265 cifras decimales!) es primo.
Muchos han sido los esfuerzos para encontrar una fórmula que produzca sólo números primos. Buscando tal fórmula Fermat pensó erróneamenteque los números dela forma: n
22 + 1 cuando n=1,2,3..., son primos. Se necesitó casi un siglo para que Euler demostrara que para n=5 el número correspondiente de Fermat no es primo y sólo hasta 1880 Next demostró que para n=6 la hipótesis de Fermat tampoco se tiene. Hoy en día se conocen muchos números de Fermat que no son primos y se saben criterios para determinar cuando un número de Fermat es primo. Pero los números de Fermat fueron más importantes de lo que él mismo pensó. Gauss los utilizó para caracterizar los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás, caracterización que en 1801 resolvía por completo uno de los problemas planteados por los griegos referentes a la geometría. Pero Fermat no sólo planteó problemas que han sido dolor de cabeza para los matemáticos. Demostró también muchos resultados que hoy en día son clásicos. Por ejemplo los números primos impares son de la forma 4k+1 o 4k-1; se puede demostrar por un método parecido al de Euclides (proposición 1), que los primos de la forma 4k-1 son infinitos. No tan fácil veremos más adelante que los primos de la forma 4k+1 también son infinitos. Fermat demostró que todo primo de la forma 4k+1 se puede escribir como la suma de dos cuadrados mientras que ningún primo de la forma 4k-1 se puede expresar así. Otro de los resultados de este gran matemático es el llamado "Primer teorema de Fermat" (o "débil”) que indica que si n es cualquier número que no se deja dividir por el primo p entonces el número np-1-1 es divisible por p. Este resultado, piedra angular de la Teoría de Números, junto con el teorema de Wilson serán demostrados más adelante. El teorema de Wilson asegura que si p es primo el producto de los antecesores de p sumado con 1 es un número divisible por p. Refirámonos finalmente, a la conocida conjetura de Goldbach (1690-1764) quien en 1742 en una carta escrita a Euler, conjeturó que todo entero positivo par mayor que 2, es la suma de dos primos y que todo entero positivo impar mayor que 5, es la suma de tres primos. La
hipótesis para los números pares se ha comprobado para números menores que un millón pero parece estar muy remota una prueba general. Aunque no es nuestra intención atacar estos problemas famosos, esperamos que esta breve incursión histórica de una idea de la dimensión que tiene esta rama de la matemática, de la cual este libro no pretende ser sino una modesta introducción. PREGUNTAS Y EJ ERCI CIOS. 1. Explique cuales fueron las primeras actividades del hombre que lo llevaron a
profundizar en el estudio de las propiedades de los números. 2. Por qué‚ los primeros conocimientos sobre las propiedades de los números fueron
considerado mágicos y guardados en secreto por diferentes sectas religiosas? (Aún hoy en día para mucha de ellas los números guardan ese carácter mágico). 3. Hacer una lista de los primeros cinco números perfectos pares. 4. Expresar como suma de cuadrados perfectos: l3, 29, 53, 101. 5. Demostrar agotando todos los casos que el primo 127 no se puede expresar como la
suma de dos cuadrados. 6. Demuestre que si n es par diferente de 2, 2n-1 no es primo. 7. Demostrar que 3428-1 es divisible por 29. 8. Se define n! (que se lee "n factorial") como el producto de todos los antecesores de n
incluyendo el mismo n, así: 5!=5×4×3×2=120 6!=?
Formule el Teorema de Wilson en términos de factoriales. Qué se puede decir de la siguiente proposición: "n siempre divide a n!". Qué de la proposición: "si n es menor que m entonces m divide a n!". Compruebe el teorema de Wilson para los primeros cinco primos. 9. Descomponer los siguientes pares como la suma de dos números cada uno primo: 86,
142, 210. 10. En qué‚ consiste la tabla de Eratóstenes para construir primos? Construir la tabla de
Eratóstenes para números menores que 200.
1a matemática es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias B. Pierce-
3. L O NECESARI O Y L O SUFICI ENTE
Supongamos que el lector está familiarizado con los conectivos lógicos que se dan entre proposiciones, tales como la negación (∼), la conjunción (∧), la disyunción (∨), la implicación y la equivalencia ( ⇒, ⇔), así como con los cuantificadores universal y existencial. Diremos algo sobre la implicación y la equivalencia quenos sirve para analizar ciertas técnicas de demostración. La mayoría de las proposiciones de la matemática son de tipo "si p entonces debe cumplir q", resumiremos p⇒q, en donde p juega el papel de hipótesis y q el de tesis o conclusión.
Se pueden dar diferentes versiones idiomáticas de éste conectivo lógico; en español se usa "si p entonces q", "p implica q", "q siempre que p", "para que suceda p es necesario que q", "para que q es suficiente que p", etc. Sea p, por ejemplo, la proposición " a y b son pares" y q la proposición "a+b es par", p⇒q se puede leer: "Si a y b son pares entonces a+b
también lo es", como quien dice "la suma de dos pares es un par", o, "condición suficiente para que a+b sea par es que a y b sean pares". La recíproca de la proposición p⇒q es la proposición q⇒p que en general tiene diferente valor de verdad. En el ejemplo anterior mientras "la suma de pares es par" es una proposición cierta, su recíproca "si la suma de dos números es par entonces ambos números son pares" es falsa, puesto que 5+3 es par siendo uno de los sumandos impar. La contrarrecíproca de la proposición p⇒q es la proposición ∼q⇒∼p que es equivalente a la original, por lo tanto, para demostrar una implicación podemos demostrar su contrarecíproca.
Así, para, mostrar que "todo par elevado al cuadrado es par" (n par implica n2 par) podemos mostrar que "si el cuadrado de un número es impar, el número debe ser impar" (n2 no par implica n no par) que es equivalente. En el ejemplo inicial la contrarecíproca de "la suma de dos pares es un par" es la proposición "si la suma de dos números no es par entonces ambos números no pueden ser pares" o lo que es lo mismo "si la suma de dos números no es par entonces alguno de los números es impar". Muchas veces la hipótesis o la tesis viene en forma de conjunción o disyunción. Por ejemplo la forma (p∧q)⇒r, que es la forma de la proposición que acabamos de analizar. En efecto, si convenimos en que p, r, q sean las proposiciones "a es par", "b es par", "a+b es par" respectivamente, se ve más claramente porqué la contrarecíproca tiene como conclusión que alguno de los números es impar, ya que la negación de p∧q es ∼p∨∼q y la forma de la contrarecíproca ser ∼r⇒ (∼q∨∼p). Probar la contrarecíproca es hacer la prueba por contradicción: Para demostrar p⇒q se supone que la conclusión no es cierta o sea ∼q y se deduce que la hipótesis fallaría o sea que ∼p; se está demostrando que ∼q⇒∼p. Otra propiedad que nos interesa resaltar de la lógica deproposiciones es que la negación de una implicación p⇒q es equivalente a ∼(p∧∼q). Esta es la razón para que negar la proposición "la suma de dos números es impar implica que ambos son pares", sea afirmar que "existen números cuya suma es par sin que ambos sean pares". La equivalencia entre p⇒q y ∼(p∧∼q) nos ayuda también a explicar las demostraciones por contradicción: Se
trata de ver que es imposible que se cumpla la hipótesis sin que se cumpla también la tesis. Cuando tanto p⇒q como su recíproca q⇒p, son ciertas se dice que p y q son equivalentes y se nota p⇔q. Por ejemplo, "n2 es par" y "n es par" son proposiciones equivalentes, pues tanto "si n2 es par entonces n es par" como "si n es par su cuadrado también lo es" son proposiciones ciertas.
Otras versiones idiomáticas para esta equivalencia son: " a es par sí y sólo sí a2 lo es" o "condición necesaria y suficiente para que n2 sea par es que n lo sea". La equivalencia también se utiliza en las definiciones, por ejemplo para definir par podemos decir " n es par sí y sólo sí existe un entero k tal que a=2k". Las equivalencias lógicas (tautológicas) son válidas por su forma sin importar el contenido de las proposiciones 'internas'. Así, "k no es primo par sí y sólo sí k no es primo o k es impar", es una equivalencia válida por su forma pues ∼(p∧q)⇔(∼p∨∼q) es cierta sin importar el valor de verdad de p y q. La tabla 1 muestra una lista de las principales equivalencias lógicas. Digamos para terminar esta sección, que siempre que p y q sean equivalentes la proposición p se puede reemplazar por q y el revés. La equivalencia es, con respecto a las proposiciones, como una igualdad. ∼(∼p)
⇔
p
Doble negación es afirmación.
p∧(q∧r) ⇔ (p∧q)∧r
La conjunción y la disyunción son
p∨(q∨r) ⇔ (p∨q)∨r
asociativas.
p∨(q∧r) ⇔ [(p∨q)∧(p∨r)] p∧(q∨r) ⇔ [(p∧q)∨(p∧r)]
Disyuntiva.
∼(p∧q)
⇔
(∼p∨∼q)
Negación de ∧.
∼(p∨q)
⇔
(∼p∧∼q)
Negación de ∨.
(p⇒ q) ⇔ (∼q⇒ ∼p) ∼(p⇒ q) ⇔
(p∧∼q )
La contrarecíproca es equivalente a la original. Negación de la implicación.
((p∧q)⇒ r) ⇔ ((p∧∼r)⇒ ∼q) ((p∧q)⇒ r) ⇔ (∼r⇒ (∼q∨∼q)) TABL A 1: Algunas equivalencias lógicas importantes.
PREGUN PREGUNTAS TAS Y EJ ERCICI OS
1. Dar otras versiones idiomáticas de p⇒q. Cómo ómo se se dice dice en inglés inglés? ?
2. Sean p,q,r,s las siguientes proposiciones:
p: x es par q: y es par r: x+y es par s: x2+y2 es par
Según esto, identifique cada proposición de la izquierda con su respectiva fórmula a la derecha.
a. Si x es par, y es par entonces x+y es par. b. Es imposible que x2+y2 sea par, siendo si endo x e
a. (∼q∧r)⇒p b. ∼s⇒(∼p∨∼q)
y impares. c. Condición necesaria para que x2+y2 sea
c. (p∧q)⇒r
impar par es que alguno de ell ellos sea impar. par. d. Condición suficiente para que x sea impar
d. ∼(s∧∼p∧∼q)
es que x+y sea par siendo siendo e impar.
3. L a recí recíproca proca de la contrarrecíproca contrarrecíproca es es equival equivale ente a la la recí recíproca proca.. Dé un ejemplo. plo.
4. L as sigui siguien entes tes proposici proposicione ones s son son todas todas falsas. alsas. Muestre uestre en cada caso un contraej contraejemplo: plo: a. Si a2 no es par a3 sí lo es. b. n2+2n siem siempre es par. c. Si n es primo 2n-1 también bién lo lo es.
d. Si n es positivo n3-6n2+11n-6=0.
5. Expresar en forma forma de impli plicación cación el últi últim mo teorem teorema de de Fermat.
6. ¿Cuál es el recíproco del teorema de Wilson?
7. De las proposiciones siguientes señale aquellas equivalencias al primer teorema de
Fermat: a. Tod Todo número primo p mayor que 2 divi divide de a np-1-1 y no divide a n. b. Siendo p un prim primo mayor mayor que 2, si p no divide a pp-1-1 entonces ntonces p divide a n. c. Si p es número mayor que 2 que no divi divide de a n y no divide a np-1-1 entonces p no es
primo.
8. Cada proposición de la izquierda tiene una proposición a la derecha que es lógicamente
equivalente. Señálela: a. Si un número es par su cuadrado
tambié bién lo lo es. b. L a suma de dos im impares es es par. c. Si no es par no es múltiplo de 4. d. Condición necesaria para ser par es
ser múltiplo de 4. e. Tod Todo número cuyo cuadrado es par,
es par.
a. Condición suficiente para que el
cuadrado cuadrado de un número sea sea par, es que el número lo lo sea b. No hay im impares decuadrado par. par. c. No existen existen im impares cuya suma sea
impar. d. L os múlti últipl plos os de 4 son sie siempre
pares. e. Condición
suficiente
múltiplo de 4 es ser par.
para
ser
9. A nalice la demostración ción de de Eucli Euclides de la infi infinitud nitud de los pri prim mos (proposici (proposición ón 1
sección 2) en términos de una implicación entre las proposiciones " A es el conjunto de todos los números primos" y "A es in infinito fi nito". ".
4. PRIM PRI M ERAS PROPOS PROPOSI CI ON ONES ES SOBRE DI DI VI SI BIL I DAD
Demostremos a continuación algunas proposiciones más con el fin de familiarizar al lector con el el concepto concepto de prueba prueba que con la la idea de avanzar avanzar en en la la teoría. orí a. Para el ello nos fundamentaremos solam sol amente en las las propieda propi edades des que se conocen de los los números números a través través del del álgebra álgebra elem elemental. Empecemos por unas defini defi nici ciones ones que despej despejan an pequeñ pequeñas as dudas dudas sobre térmi términos a emplea plear. Definición 1. Un núm número n es es par par sí y sól sólo o sí existe existe un entero k tal que n=2k. n=2k. Se dice dice también bién que que n es múlti últipl plo o de 2 o que 2 divi divide de a n. n es múltiplo de msí y sólo sí existe k entero tal que n=mk.
Se dice dice en en este caso que mdivide a n o que n es múltiplo de my se nota m|n. Un número p mayor que 1 es primo si sus únicos divisores positivos son 1 y el mismo p. Caso contrario, p se dice dice compuesto. NOTA: El 1 no se considera ni primo ni compuesto.
L a demostraci ostración ón de las das prim pri meras proposi proposici ciones ones son ej ejemplos plos de demostraci ostraciones ones directas, directas, que consiste consisten n sim simplem plemente en tradu traduci cirr las l as hipótesi hipótesis s para para que despué después s de una leve manipulación algebraica se encuentre la tesis formulada. Proposición 1. La suma de dos múltiplos de k es un múltiplo de k. Demostración. Sean u y v los múltiplos de k, según la definición existen n y m tales que u=nk y v=mk entonces u+v=(n+m)k
lo que nos indica que u+v es múltiplo de k, pues se puede expresa xpresar como un númer número (n+m) multiplicado por k. Proposición 2. Si mes múlti últipl plo o de k su cuadrado tambié bién lo lo es. Demostración. Si m es múltiplo de k, existe un n tal que m=nk entonces m2=n2k2 lo que
implica que m2=(n2k)k
o sea, que m2 también es múltiplo de k. Corolario. El cuadrado de un par es par. Demostración. Esto es sólo una particularización (cuando k=2) de la proposición 2.
Este corolario junto con la recíproca nos produce la proposición siguiente que demostraremos por contradicción. Aceptam ceptamos como cierto cierto que cual cualquier quier número entero es par par (de (de forma 2k) o bien impar (de la forma 2k+1). Proposición 3. Un número es par sí y sólo sí su cuadrado también lo es. Demostración. Por el corolario anterior se tiene que si n es par su cuadrado también lo es.
Debemos demostrar que si n2 es par par entonces entonces n es par. par. Si no fuera uera así (sup (suponi onie endo lo contrario), es decir si n2 es par siendo n impar, entonces n sería de la forma 2k+1 y su cuadrado ser de la forma 2(2k2+2k)+1, o sea, im impar. par. Esto es contrari contrario o a lo supue supuesto, sto, concluimos entonces que n debe ser par. Esta últi últim ma dem demostración ostración se puede hacer hacer por el el método dire directo (ejerci (ejercici cio). o). Muchas uchas de las proposiciones que se demuestran por contradicción se pueden demostrar directamente, sin
embargo, muchas veces el absurdo es un método de demostración es irremplazable tanto por la claridad en la exposición como por la dificultad para plantearla directamente. Piénsese en la demostración de la infinitud de los primos dada por Euclides (proposición 1 sección 2) y nótese la dificultad (imposibilidad?) para ser hecha directamente. La siguiente proposición es una de esas en donde para su demostración es claramenteventajoso utilizar el método por reducción al absurdo (por contradicción). Proposición 4. Si un número n mayor que 1 es compuesto entonces tienepor lo menos un divisor ente 1 y n . Demostración. Supongamos lo contrario, es decir que n es compuesto pero que todos sus
divisores no triviales (diferentes de n y 1) son mayores que n . Sea entonces k uno de tales divisores, por definición existen tal que n=nk. Como mtambién es un divisor de n no trivial por la suposición que hemos hecho tenemos m> n
y
k> n
Según las leyes de las desigualdades se deduce que mk> n n
o sea que n>n lo cual es imposible! Concluimos que n debe tener divisores no triviales menores que n . En lo que se sigue utilizaremos las siguientes definiciones: Definición 2. Diremos que a y b son de igual paridad si ambos son pares o ambos impares. Si n es entero positivo se define n! (se lee n factorial) como el producto de n por todos sus antecesores positivos (ver ejercicio 8 sección 2).
EJ ERCICI OS Y PREGUNTAS
1. Demostrar que la suma de impares es par. 2. a. Demostrar que la diferencia de múltiplos de k es un múltiplo de k. b. En la demostración de la infinitud de los primos (proposición 1 sección 2) ¿Dónde
se utiliza este hecho? 3. Demuestre que la diferencia de dos números es par sí y sólo sí ambos números son de
igual paridad. 4. Los únicos números que no tienen sino un divisor son ... 5. ¿Qué números son divisores de 0? ¿Qué números se pueden decir que son divisibles por
0 según la definición 1? 6. A es un conjunto de números, decimos que A es cerrada para cierta operación, si todo
par de éstos al operarlos producen un elemento de A. De ésta forma, la proposición 1 de esta sección prueba quelos pares son cerrados para la suma. a. Pruebe que los impares son cerrados para el producto, pero no para la suma. b. Pruebe que los números de la forma 4n+1 no son cerrados para la suma pero si para
el producto. 7. Pruebe que los números de la forma 4n+2 son el doble de números impares. 8. Para cada una de las siguientes proposiciones decir si son falsas o ciertas, justificando
cada respuesta con una demostración o un contraejemplo según el caso: a. n siempre es divisible de (n+1)! b. Si n no es un primo entonces divide a (n-1)! c. k divide siempre a cualquier múltiplo de k. d. Si n es múltiplo de k entonces para cualquier h se tiene que k divide a nh e. k siempre divide a nk f. Los números de la forma 4n+2 son cerrados para el producto.
tieneque n(n+1) es par. g. Para todo entero n se tiene forma 2n son cerrados cerrados para para la la suma y para el producto. producto. h. L os números de la form i. Un número es divisible por 12 sí y sólo sí es divisible por 3 y por 2. 9. ¿Qué opina de la demostración siguiente, en donde se intenta probar el reciproco del
teorema de Wilson (ejercicio 6 sección 3)? Sea n un númer número mayo mayorr que 1 compuesto entonces n divide a (n-1)! Hacemos m=(n-1)!+1. Si n divide a m entonces divide a la diferencia m-(n-1)! (por dividir a ambos miembros), pero está diferencia es 1, lo que nos lleva a una contradicción que nos obliga a aceptar que si n es primo n no divide a (n-1)!+ 1)!+1. contradicción contradicci ón quenos obliga obli ga a acepta ceptarr que si si n es primo n no divide
5. AL GUNOS GUNOS PASAT PASATII EMPOS EM POS I MPOSI MPOSI BLES BLE S. Hemos visto en el numeral anterior algunas propiedades de los números que se refieren a la divisibilidad, especialmente por 2, de tal forma que podemos decir que dominamos la aritm aritmética ética de los pares pares e im impares. pares. V amos a mostrar senci sencilllas apl aplicacione caciones s de estos estos resultad resultados os para completa pletar el vi vistazo gene general ral que queremos dar al al princi principi pio o de este li libro, aunque unque hace hacem mos la la aclara claraci ción ón que el objetivo de éste no incluye mostrar las posibles aplicaciones de la aritmética y la teoría de números, que son son muchas. uchas. L as que trabaj trabajarem aremos aquí aquí se ref refieren eren a algunos algunos juegos uegos o pasatiem tiempos en los los cuales cuales se descubre de manera contundente y con un anál análiisis sis muy simple, ciertos casos en los cuales no hay solución. A llenar nar el cuadra cuadrado... do... Consi onsiderem deremos un rectángul ngulo divi dividi dido do en n×m cuadrados iguales. Por ejemplo en la figura 1 el rectángulo se divide en 4×7 cuadrados. En un rectángul rectángulo o de este este tipo tipo se escoge escogen n dos cuadros cuadros arbitrari arbitrarios os denotad denotados os por I y F (inicial y final). I
Se trata de partir del cuadro inicial para llegar al final, moviéndose cada vez un sólo cuadro pero siempre horizontal o verticalmente, de tal F’
F
Figura 1. 1.
forma que al final nal se haya pasad pasado o por cada cada uno uno de los los cuadros restan restantes tes unaúnica única vez.
A sí en la figura fi gura 2 se muestra uestra una una soluci solución ón senci sencilllísim sima que que pue puede anim nimar al al le l ector pa para que busque una soluci solución ón cuando cuando se trata trata de ir de I a hasta hasta F'. Si Si el lector no encue encuentra una solución podrá ofrecer con toda seguri segurida dad d gran canti cantida dad d de dine dinero ro a al algún amigo para que que le le ayude a resolverl resolverlo. o.
F igura 2. 2.
En real realidad, dad, aunque aunque el problem problema plan plantea teado de ir de I hasta F sea tan fácil de resolver, cuando se trata trata de ir ir desde I hasta F' es imposible. Figura 3. 3. ¿Por ¿Por qué? Vea V eamos: colorean coloreando do los los cuadros cuadros a manera de un un tabl tablero de ajedrez edrez con cuadros blancos y negros (figura 3) se nota que para ir de un cuadro a otro del mismo color se necesi necesita ta un número par de pasos, es más: más: "para "para ir ir de un cuadro a otro otro se necesi necesita ta un número par de pas pasos os si y solo solo si los cuadros son del del mismo color" color".. Adem demás tambié bién es es fá fácil cil darse darse cuenta que "en k pasos se recorren recorren k+1 cuadros". dros". Combinan ombinando do estos hechos hechos tenem tenemos una explicación del por qué ciertos juegos son imposibles: "Si el número de cuadros a recorrer es par, el cuadro inicial y el cuadro final deben ser de diferente color, mientras si es impar los cuadros final e inicial deben ser del mismo color". Nótese que cumplirse la condición no nos asegura que el problema tenga solución, pero si no se cumple la condición es garantí garantía a para que el pasa pasati tiem empo sea im imposibl posible e de resol resolver. ver. Dibujar sin levantar el lápiz: Es un pasatiempo que conocemos desde la infancia, a veces fácil cil, a vece veces s difí dif ícil cil y otras otras im imposi posible. ble. En la la figu figura ra 4 se muestran varios rios ejemplos. 1
B 2
A
3
a.
b.
c.
d.
F igur igura 4. 4. Grafos para dibujar sin levantar el lápiz y sin repetir línea. Estos objetos que la matemática llama gráficos o grafos se componen de vértices y arcos.
A cad cada a arco le corre corresponden dos
vértices v1 y v2 que son los los extrem extremos del arco. Si v1=v2 se forma un bucle (figura 5).
F igura 5. 5. Bucle.
e.
L os arcos arcos los los notaremos con núm números y los los vérti vértices ces con le letras mayúsculas. A sí el grafo grafo de la figura 3. a) tie tiene dos vértice vértices s A y B y tres arcos 1,2 y 3. En él todos los arcos tie tienen nen los mismos vérti vértices ces extremos A y B. El número de arcos que que caen sobre sobre un vértice vértice se llama orden del del vértice. vértice. En el grafo grafo de la figura 3.a) el grado del vértice A es 3, igual al del vértice B. L a prim primera condi condición ción para para que un un grafo grafo se pueda di dibujar bujar como como querem queremos es que cual cualquier quier par par de vérti vértices ces se pue puedan dan unir unir por medi medio o de una suces sucesiión de arco arcos; s; en térmi términos nos matemáticos áticos que el el grafo grafo se conexo, conexo, en términos intui intuiti tivos, vos, sim simplem plemente ente se exige exige que que el grafo grafo debe debe estar "j "junto", no debe habe haberr pedazos pedazos ai aislad slados. os. Es claro claro entonce entonces s que que si si no es es conexo debe haber por lo menos menos dos vértices vérti ces que no se pueden conectar conectar por ningún ningún camino y por lo lo tanto tanto es im imposible posible resolve resolver el proble problema. Ser conexo es condi condición ción necesa cesari ria a pero pero no suficiente para que el grafo se pueda recorrer pasando por todos los arcos sin repetir ning ninguno uno y sin sin le levanta vantarr la la mano. Por ejemplo plo el el grafo de la figura 3.b) es cone conexo xo pero es imposibl posible e recorre recorrerlo rl o de la manera anera exigi exigida da.. Buscamos pues una una condici condición ón más fuerte uerte que que se convierta en suficiente. Formalicemos más nuestro lenguaje. Notaremos XnY (donde X e Y representan vértices vértices y n es un un número correspondi correspondiente ente a un arc arco) o) el hecho que el arco n tenga tenga vérti vértices ces X e Y. Y. En estos términos, que un vértice A se pue pueda da conectar con el vértice vértice B, significa que hay una sucesión de k+1 vértices vértices A=X0,X1,...,Xk (que pueden pueden estar estar repe repetidos) tidos) y de k arcos n1,...,nk tal que An1 X1,X1n2X2, ...,Xk-1nkB Ahora bien, si el grafo tiene k arcos y se puede puede di dibuja bujar de la la forma forma descri descrita ta partie rti endo del vértice I y terminando en el vértice F, entonces los k arcos se podrán colocar de tal forma que para determinados rminados vért vértiices V1,V2,...,Vk-1, suceda: suceda: In1 V1,V1n2V2, ...,Vk-1nkF
(1)
Nótese ahora que cada uno uno de los los vértices vérti ces Vi, aunque puede puede aparecer más de una vez, perdón, mas de dos veces, siem siempre aparecer un número número par de veces (salvo (salvo I y F): en efecto, siempre que se de la situación Vi-1niXi, enseguida guida tenemos, Vini+1 i+1Vi+1 i+1. Por otra parte, parte, en (1) aparece cada cada vérti vértice ce tantas tantas veces veces como arcos exista exi stan n con algún algún extremo en él, él, es deci decir, r, tantas veces veces como como el orden del del resp respecti ectivo vo vértice. vérti ce. Se deduce que cada cada vérti vértice ce "interno" "interno" debetener tener orden par par y se tien tiene e el sigui siguien ente te resul resultad tado: o: Proposición 1: Para que un grafo conexo pueda ser dibujado sin levantar el lápiz y sin repetir línea es necesario que salvo los vértices inicial y final, los demás sean todos de orden par. Esta condición que no sólo es necesaria sino también suficiente es uno de los primeros resultados en lo que hoy se conoce como Teoría de Grafos y fue establecido por Eule uler en 1735. 1735. La L a suf sufiicie ciencia ncia de de la condición condici ón no la podemos demostrar con los los conceptos conceptos introduci ntroducidos dos en este libro. El lector ector inte interesado puede consul consultar tar cual cualquier li libro el elementa entall de Teo Teoría de Gra Grafos fos. El juego del solitario: Este último juego que analizaremos es de remoto origen aunque la prim primera refere referenci ncia a que se conoce de de él la l a debem debemos a L eibni eibniz. z. Conside onsiderem remos un tablero blero en forma arbitraria repartido en cuadros arreglados en filas y columnas.
Figura 6. 6.
En determinados cuadros del tablero aparecen piezas de juego, a lo m s una por cuadro. Un movimiento, o salto, es posible cuando sobre tres cuadros A, B y C adyacentes sobre una fila o una columna, hay piezas sobre A y sobre B pero no sobre C. El salto consiste en mover la pieza que está sobre A hasta C retirando del juego la ficha que estaba sobre B (Figura 6). El objeto del juego es llevar las fichas hasta cierta y determinada configuración; generalmente se debe dejar una única ficha en el tablero (es claro que en la posición inicial debe haber por lo menos un lugar vacío). Lo que queremos al aplicar los conceptos de teoría de números es averiguar si algún juego propuesto es de imposible solución o si el resultado est determinado de alguna manera. Deseamos escribir una ecuación que describa el proceso del juego y que tendrá como variables el número de piezas en juego y el número de saltos; es pues natural utilizar números enteros porque no concebimos "medio salto" o "siete cuartos de fichas".
Para facilitar nuestra tarea coloreamos los cuadros de cada diagonal con tres colores diferentes. La primera diagonal se colorea digamos de verde, la siguiente de azul y la que viene de rojo, para seguir con la siguiente que coloreamos de verde y continuar de manera cíclica: azul, rojo, verde; azul, rojo, verde; etc. La figura 7 muestra un rectángulo 7×5 donde cada cuadro se ha marcado con las letras V, A o R , según se haya coloreado de verde azul o rojo en el procesos que acabamos de describir. V
A
R
V
A
A
R
V
A
R
R
V
A
R
V
V
A
R
V
A
A
R
V
A
R
R
V
A
R
V
V
A
R
V
A
Figura 7.
Veamos en este ejemplo una sucesión de saltos permitidos como los que se muestran en la figura 8. En la tabla 1 se indica en cada posición cuántas fichas están colocadas en cada color. Vemos que en cada salto crece un color y decrecen los otros dos: crece el color a donde la ficha desplazada llega y decrecen el valor del color donde estaba y del color de la que fue sacada del juego. Realmente esta observación es válida en general, podemos afirmar que: "Si por efecto de un salto se llega a determinado color, el número de fichas correspondiente a ese color crece una unidad y los otros colores decrecen cada uno, también en una unidad" . •
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Inicio
Posición 1.
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Posición 2.
Posición 3.
Posición 4.
Figura 8. Sucesión de saltos.
Verdes
Azules
Rojos
Total
Inicio
11
12
11
34
1
12
11
10
33
2
11
10
11
32
3
12
9
10
31
4
11
10
9
30
Tabla 1. Se muestra los cambios de valores en la sucesión de la figura 8 según la coloración de la figura 7. Por esta razón llamando V, A y R el número de fichas que están inicialmente en cada color y V',A', y R' el número de fichas en cada color finalmente y v, a y r el número de saltos que terminan en cadacolor, se debe cumplir:
V+v-a-r = V' A+a-v-r = A' R+r-v-a = R' Ecuaciones que, por cualquiera de los métodos usuales se puede comprobar, son equivalentes al sistema de ecuaciones: 2v = (A+R)-(A'+R') 2a = (V+R)-(V'+R') 2r = (A+V)-(A'+R') Lo quenos indica que: A+R y A'+R' son de igual paridad V+R y V'+R' son de igual paridad A+V y A'+V' son de igual paridad Estas condiciones necesarias para que un juego sea soluble pueden resultar algunas veces suficientes para demostrar que ciertos juegos son imposibles. Otro sistema de condiciones necesarias parecido a (2) se obtiene al colorear las otras diagonales. Al combinar los dos sistemas de condiciones se alcanza a determinar un buen número de juegos imposibles como se puede ver en el siguiente ejemplo: Ejemplo: Supongamos que el juego propuesto se lleva a cabo en un tablero como el de la figura 7, en donde la posición inicial contiene todos los cuadros con fichas con excepción del extremo superior izquierdo. Los valores de V, A y R son V=11, A=12 y R=11. Si se quiere llegar al final del juego con una única ficha, los valores posibles de V', A' y R' serían (1,0,0), (0,1,0) o (0,0,1). Pero la primera y las última de estas posibilidades no cumplen las condiciones (2). Por lo tanto la última ficha debe quedar en uno de los cuadros coloreados de azul.
Ahora podemos colorear las otras diagonales, con los colores blanco, marrón y negro, (B, M y N) como se muestra en la figura 9. Haciendo el análisis correspondiente para este caso obtenemos que la última ficha debe quedar colocada en un cuadro blanco. Los únicos cuadros que son azules en la primera coloración y blancos en ésta, están marcados con una ×
en la figura 10. Estos son naturalmente los únicos lugares en donde puede en donde
puede quedar la última ficha.
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
M
N
B
×
×
×
×
×
×
Figura 9.
Figura 10.
EJ ERCICIOS 1. Determinar si en los siguientes tableros es posible recorrer todos los cuadros partiendo deI y llegando a F.
I
I I F F
F
2. Para cada uno de los grafos conexos siguientes determinar si se puede o no dibujar sin levantar la mano y sin repetir linea, en caso afirmativo determinar una ruta.
3. En la demostración de la proposición 1 (que se hace antes de enunciarla) ¿qué resultado de paridad se utiliza? ¿Dónde? 4. En la ciudad de K niesberg desembocan dos ríos formando dos islas como se muestra en la figura adjunta, configuración en la que además hay siete puentes. Hace algunos siglos una diversión dominical consistía en tratar de recorrer los siete puentes sin repetir ninguno. Corría el rumor de que tal propósito era imposible.
Interpretando el problema como un grafo que se debe dibujar sin levantar la mano y sin repetir línea (aquí los arcos son los puentes) y utilizando la teoría de esta sección, demostrar que el problema realmente es imposible. Así lo demostró Euler en 1735. 5. a. En un grafo sin bucles la suma de los órdenes de todos los vértices debe se par. Por qué? b. Dividiendo los vértices entre los que tienen orden par y los que tienen orden impar y aprovechando el resultado anterior, demuestre que en un grafo sin bucles, siempre hay un número par de vértices de orden impar.
6. Explique por qué, el conjunto de condiciones (2) conjuntamente con sus equivalentes para la coloración en sentido contrario, son condiciones necesarias pero no suficientes para que un juego propuesto de solitario tenga solución. 7. Analizar por el método expuesto si los siguientes juegos son posibles y en caso afirmativo mostrar una solución salto a salto.
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? •
?
? •
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8. Considere un juego planteado como en la posición inicial de la figura 8. a. Si se quiere terminar con una sola ficha en el tablero, dónde quedar colocadaésta? b. Además de la posición inicial estudiada, cuáles otras posiciones iniciales conllevan a la posición final mostrada en la figura adjunta ? c. Muestre que el juego propuesto con la posición inicial de la figura 7 y con posición final como se muestra en la figura, es efectivamente realizable. muestra en la figura, es efectivamente realizable.
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6. TRES PROPI EDADES DE LOS ENTEROS POSITI VOS
En ésta sección expondremos tres principios fundamentales que serán el fundamento de la teoría expuesta en las secciones siguientes. Estos tres principios algoritmo de la división, el teorema fundamental de la aritmética y el principio de inducción se darán aquí sin su demostración, que dejaremos pendiente para cuando tratemos la axiomática de los enteros. Buscamos mas que todo que el lector se familiarice con la exposición formal de éstos para que pueda aplicarlos cuando sea necesario. En la sección 4 asegurábamos que todo número entero es o bien par (de la forma 2k) o bien impar (de la forma 2k+1), este resultado es en realidad un caso particular de la siguiente proposición que formaliza algo que manejamos desde niños. Proposición 1. (Algoritmo de la División) Sea n cualquier entero y m un entero positivo, entonces existen q y r enteros únicos tales que i) n=mq+r ii) 0
Lo que nos dice la proposición es que cualquier entero (n) se puede dividir por otro mayor que 0 (el divisor es m) obteniendo de manera unívoca un cociente (q) y un residuo (r) que debe ser positivo menor que el divisor o ser 0. Por ejemplo, si n=19, m=5, los valores de q y r serán 3 y 4 respectivamente. Proposición 2. Todo número elevado al cuadrado o bien es múltiplo de 4, o bien es de la forma 4k+1. Demostración. Según el algoritmo de la división los números enteros al dividirlos por 4
pueden tener residuos 0, 1, 2 ó 3. Por ésta razón todo número entero es de la forma 4n, 4n+1, 4n+2 o bien 4n+3.
Sabemos que los números de la forma 4n son cerrados para la multiplicación, igual sucede con los de la forma 4n+1, lo cual implica que sus cuadrados son de la misma forma lo que está de acuerdo con la proposición. Por otra parte si un número tiene la forma 4n+2 su cuadrado 16n2+16n+4 es múltiplo de 4, mientras que si tiene la forma 4n+3 su cuadrado 16n2+24n+9 es de la forma 4n+1 (tomando n como...). Vemos entonces que en todos los casos se obtiene o bien un múltiplo de 4 ó un número de la forma 4n+1, completando la demostración de la proposicióng. Para enunciar el siguiente principio supongamos que p1,p2,...,pn, ... es la sucesión ordenada de números primos. Según esto p1=2, p2=3, p3=5, p4=7, etc. El Teorema Fundamental de la Aritmética nos garantiza que todo número mayor que 1 es factorizable de manera única, como un producto de potencias de primos. Proposición 3. (Teorema Fundamental de la Aritmética /1/) Para todo entero positivo a existen α 1,α 2,α 3, .....,α n naturales únicos tales que: a= p1α 1 pα 2 2 ...pα n n siendo p1,p2,...,pn la sucesión ordenada de números primos.
Las célebres descomposiciones en factores primos que se aprenden en la aritmética elemental son ejemplos de aplicación de éste importante teorema. Por ejemplo, si a=24 decimos que a=23×31, entonces n=2, α 1=3 y a=21×72 entonces n=4, α 1=1,α 2=α 3=0 y α 4=2.
La siguiente proposición nos enuncia el Principio de Inducción; sin que podamos decir de él que se aprende en la escuela primaria, sí podemos asegurar que es un principio muy útil para hacer demostraciones y que su razón lógica se encuentra en la misma razón de ser de los números naturales. En efecto, una propiedad básica e intuitivamente clara de los números naturales es que a cada uno le sigue otro, y a éste, otro, y así sucesivamente, entonces se agotan todos potencialmente. Este "así sucesivamente" es lo que se formaliza en el citado principio. Veamos primero un ejemplo:
Ejemplo 1. En la sección 1 hemos visto como los griegos visualizaban el hecho de que los primeros n números impares suman exactamente n2. También podemos razonar así: El primer impar r es 1. Su suma que es 12. El segundo impar es 1× 2+1 y la suma del primero y el segundo es 12+1× 2+1 que es (1+1)2 o sea 22. Sabiendo que la suma de los primeros impares es 22 podemos sumarle a ésta el tercer impar que es 2× 2+1 y obtenemos: 22+2× 2+1=(2+1)2=9; así obtenemos que la suma de los tres primeros impares es 32.
Supongamos que siguiendo este proceso hemos llegado hasta 36 y sabemos que la suma de los primeros 36 impares es 362. Como el siguiente impar es 2×36+1, la suma de los primeros 37 números impares ser: 362+2×36+1=(36+1)2 o sea que se cumple la hipótesis para 37. Podríamos decir "...y así sucesivamente..." pero es mejor formalizar aún más. En términos generales lo que sucede es la siguiente: Si aceptamos que para un n particular la proposición es cierta, es decir, que la suma de los primeros n impares es n2, sumando a éstos el (n+1) impar, que es 2n+1 obtenemos que la suma de los primeros n+1 impares ser n2+2n+1=(n+1)2, o sea que la proposición es cierta para n+1. Tenemos entonces, que si
consideramos cierta la proposición para un número particular automáticamente ser cierta para su siguiente. Así podremos recorrer todos los naturales desde que aseguremos que la proposición se cumple para los primeros. Se acepta entonces que la proposición es cierta para cualquier k, por que potencialmente se sabe que hay un camino, una cadena que se puede recorrer paso a paso. Esto nos asegura el Principio de Induccióng. Proposición 4. (Principio de Inducción) Sea P(n) una proposición para cada natural n tal que: i) P(0) es cierta ii) Siempre que P(k) es cierta se sigue que P(k+1) también lo es.
Entonces la proposición es cierta para cualquier n natural.
Según esto, para demostrar la proposición P(n) por inducción sobre n, debemos probar primero que P(0) es cierta (casi siempre es muy fácil) y luego deducir que P(k+1) es cierta suponiendo que P(k) lo es. La verificación de estas dos condiciones asegura, por el Principio de Inducción, queP(n) es cierta para todo natural n. Veamos otro ejemplo: Ejemplo 2. Demostrar por inducción sobre n que 10n-1 siempre es divisible por 9. Demostración. i) Es claro que la hipótesis se cumpla cuando n=0. También es fácil comprobar que se
cumple para n=1 y n=2 (aunque no es necesario). ii) Supongamos que P(k) es cierto, o sea, que 10k-1 es múltiplo de 9 es decir que existe un
entero s tal que 10k-1=9 Debemos deducir que se cumple P(k+1) o sea que 10k+1-1 es también múltiplo de 9, es decir, debemos encontrar un t entero tal que 9t=10k+1-1. Pero 10 k+1-1=(10 k-1)10+9=9s×10+9 de donde haciendo t=10s+1 , tenemos: 10 k+1-1=9t y hemos demostrado que P(k+1) también es cierto. Así por el Principio de Inducción hemos probado que la proposición propuesta es cierta par todo natural n. El Principio de Inducción no sirve únicamente para hacer demostraciones. Es muy útil también para hacer definiciones /1/ que son llamadas Definiciones Recursivas. Primero aclaremos cuáles son los objetos que se van a definir. Una función f que a cada natural n le asocia cualquier elemento f (n) de un conjunto B se llama una Sucesión en B. Por ejemplo la sucesión 1 al natural 1 se le asocia 1, a 2 le asocia 12 y a 4 le asocia 14 , n etc.
A veces, en lugar de escribir una fórmula se escriben los primeros términos con la esperanza de encontrar una fórmula observando la relación que hay entre los términos mostrados. Así en el ejemplo anterior se mostrarían 1, 12 , 13 , 14 , ..... y se pueden suponer que sigue 15 , 16 , 17 , .... pero nada nos lo asegura. Una forma de definir ser entonces mostrar unos primeros términos (con uno basta) y decir cómo se forman los siguientes, o sea, dar una regla para conocer el n-énesimo término cuando se conocen los primeros n-1. Esto se hace de manera implícita muchas veces. Por ejemplo para definir an se dice que a0=1, a1=a, a2=a⋅a, a2=a⋅a⋅a y así sucesivamente se entiende que cada término se obtiene multiplicando el anterior por a. Es decir, si damos por conocido el valor de an-1, el término an se formar según la fórmula: an=an-1⋅a
y esta es la ley recursiva que nos permite hablar de an para cada n que sea entero. Colorario. (Definiciones Recursivas) Si se da un valor a f(1) y se da una regla para calcular f(n) en base al valor de f(n-1), entonces queda definida y determinada la función f(n) para todo entero positivo n. Ejemplo 2. Generalmente cuando hay puntos sucesivos lo que se quiere indicar se puede formalizar con definiciones recursivas.
Por ejemplo, si queremos que si sea la suma de las potencias desde 0 hasta i de un número fijo x, no necesariamentenatural, es decir queremos que: Si=1+x+x2 +..+ xi
podemos definir Si=1+x y Sn= Sn-1+xn. Esta última igualdad nos indica que para formar el término n-ésimo tomamos el término anterior y le sumamos la potencia correspondiente. Nótese que aquí hay doble aplicación de las definiciones recursivas: Para encontrar la potencia siguiente y para agregar a la suma que lleva. Hacemos notar también que se pueden dar otras definiciones para Si. En efecto, si definimos recursivamente Si=1+x y S'n-1+1 se puede comprobar que para todo k, Sk=S'k (ejercicio 15).
Las definiciones recursivas son muy útiles puesto que sirven para formar algoritmos que calculen la función y además son la base para hacer las demostraciones de sus propiedades. Por ejemplo el ejercicio 13 e) pide que e demuestre por inducción una fórmula directa para hallar el valor de Sk. PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS 1. Por qué del algoritmo de la división se deduce que todo número es par o impar? 2. En cada caso encuentre q y r que hagan cumplir el algoritmo de la división para n y m
dados: a) n=25 m=8
b) m=25 n=8
c) n=25 m=5
d) m=1 N=25
3. ¿Por qué el algoritmo de la división no es cierto para m=0? 4. ¿Qué problema hay en definir el algoritmo de la división para m=0 sin exigir que m sea
positivo? 5. Demuestre que no hay números cuadrados de la forma 6n+2 ó 6n+5. 6. Demuestre que ningún número de la forma 4n+3 es la suma de dos cuadrados. 7. Sean b y menteros positivos. Si q es el cociente y r es el residuo cuando el entero a se
divide por b, demostrar que cuando ma se divide entre mb el cociente es q y el residuo es mr. 8. Si p y q son primos tales que p|q demostrar que p=q.
9. Sean a, b, c enteros con b>0 y c>0. Si q es el cociente cuando a se divide por b y q' es
el cociente cuando q se divide entre c, demostrar que q' es el cociente cuando a se divide por bc. 10. Si n es entero positivo y p1, p2,...,pn son primos positivos distintos, demostrar que el
entero (p1p2...pn)+1 no es divisible por ninguno de esos primos. 11. Demuestre que si (a, b, c) es una tripla pitagórica y a, b, c no son todos pares, entonces
dos de ellos, incluyendo c, son impares y el otro es par. 12. Dar una demostración para el recíproco del teorema de Wilson. 13. Demostrar por inducción sobre n: a) La suma delos primeros n números es
1 . 2n(n + 1)
b) La suma delos primeros n números pares es n(n+1). c) an-1 es divisible por a-1. d) an-bn es divisible por a-b. n 1 (r no es 1) e) 1+r+r2+...+rn=1− r 1− +
14. Definir n! recursivamente. 15. Se define recursivamente Sk y S'k así: S0 = 1 Sk = Sk-1+x S'k = xS'k-1+1
Demostrar que para todo k entero positivo se tiene: Sk=S'k 16. En base a la definición recursiva de an demostrar por inducción sobre n: i) anam=an+m
ii) (an)m=anm 17. Sea p1α 1 p2α 2 ...pα n n y a= p1 β 1 p β 2 2 ...pnβ n las descomposiciones en factores primos de a y b
según el Teorema Fundamental de la Aritmética. a) Demuestre que ab tiene representación: p1α 1
+ β 1
pα 2 2
+ β 2
...pα n n
+ β n
b) Demuestre que para que a divida a b es condición necesaria y suficiente que para
todo i de 1 a n se cumpla que α i≤ β i.
7. SUMATORIA Y MULTI PLI CATORIA
Las operaciones principales entre números, la suma y el producto, son asociativas y conmutativas, lo cual significa que cuando hay sucesivas sumas o productos los paréntesis se pueden eliminar. En otras palabras, es posible sumar todos los elementos de un conjunto finito de números y también se pueden multiplicar. Así, si A es un conjunto finito de números
∑x x∈A
se lee como "Sumatoria de los x de A" y simboliza la suma de todos los números del conjunto A y
∏x x∈A
se lee como "Productoria de los x deA" o "multiplicatoria" ó simplemente "Producto de los xdeA", simbolizando el producto de todos los números del conjunto A. Generalmente los elementos deA se enumeran y se notana1,a2,. . . ,an, entonces la suma y el producto se notan: n
n
∑a
∏a
i
i
i =1
i =1
La manipulación de ésta notación es importante porque nos lleva no sólo a comprobar los valores de ciertas sumas y productos sino también a descubrirlos. Para ésto basta con manejar unas propiedades de ésta notación. Nos referiremos al símbolo ä aunque estas propiedades tienen su correspondencia para
Propiedades.
∏.
Sean L
subíndices negativos), k un número cualesquiera, entonces se cumple:
M
M
i=L
i=L
1. k∑ ai =∑ kai . M
2.
∑ (a
i
M
M
i=L
i=L
+ bi ) =∑ ai +∑ bi .
i=L M
3.
∑ k =(M-L+1)k
(Suma deuna constante).
i=L M +P
M
4.
∑a = ∑a i=L
i= L+ P
M
5.
(Cambio de límites).
i−P
i
∑ (a
i
− ai −1 ) =aM-aP-1
(Propiedad telescópica).
i=P L+ N
M
6.
M
∑ a =∑ a + ∑ a . i
i
i=L
i i = L + N +1
i=L
Demostración. Todas las demostraciones se pueden hacer por inducción (si M=L+q la inducción se hace sobre q; ejercicio 3) sin embargo se dar n argumentos intuitivos: M
M
i=L
i=L
1. k∑ ai =k(aL+aL+1+aL+2+...+aM)=kaL+kaL+1+kaL+2+...+kaM=∑ kai . M
2.
∑ (a
i
M
M
i=L
i=L
+ bi ) =∑ ai +∑ bi .
i=L
La suma de la izquierda es: (aL+bL)+(aL+1+bL+1)+...+(aM+bM) y reagrupando se tiene: (aL+aL+1+...+aM)+(bL+bL+1+...+bM) que es la suma de la derecha. 3. En ∑ k hay (M-L+1) sumandos, todos iguales ak, su suma es por lo tanto k(M-L+1) 4. Nótese que éstas son simplemente dosformas de escribir lo mismo; ambas sumatorias tienen M-L+1 sumandos y ambas empiezan en aL terminando en aM. M
5.
∑ (a
i
− ai −1 )
= (aP-aP-1)+(aP+1-aP)+...+(aM-1-aM-2)+(aM-aM-1)
i=P
= -aP-1+(aP-aP)+...+( aM-1-aM-1)+aM = aM-aP-1
6.
M
L+ N
i=L
i=L
∑ ai =(aL+aL+1+...+aL+N)+(aL+N+1+aL+N+2+...+aM)= ∑ ai +
M
∑a
i i = L + N +1
Como decíamos en un principio, con éstas propiedades podemos hallar los valores de ciertas sumas, por ejemplo de progresiones aritméticas. n
Ejemplo 1. Sabiendo que ∑ i = i =1
n(n + 1) encontrar el valor de 1+4+7+...+(3n-2). 2 n
Solución. Se nos pide hallar el valor de ∑ (3i − 2) tenemos: i =1 n
∑ (3i − 2)
n
=
i =1
n
∑ 3i - ∑ 2 i =1
(Por propiedad de linealidad)
i =1
n
n
i =1
i =1
= 3∑ i - ∑ 2 n(n + 1) -2(n-1+1) =3 2 =
n
(Aplicamos 3) y el valor de ∑ i i =1
n(3n − 1) g 2
Nótese que el resultado puede comprobarse por inducción pero éste método, insistimos, tiene la ventaja de encontrar el valor buscado; la inducción se efectúa cuando ya se conoce el resultado o cuando se presiente. n
En el ejemplo anterior supusimos conocido el valor de
∑ i ; en realidad su valor se puede i =1
encontrar aplicando las propiedades enunciadas para
∑,
como veremos a continuación. n
La demostración es importante porque ilustra el método para encontrar
i =1
n
Proposición 1.
∑i = i =1
n(n + 1) 2
Demostración. Partimos de la igualdad:
n
∑i , ∑i 2
i =1
3
, etc.
n−1
∑i2
n
=
i =1
∑ (i − 1)
2
(Propiedad 4).
i=2 n
=
∑i
2
n
n
i =2
i=2
-2∑ i +∑ 1
i=2
(Por linealidad). (Se suma y se resta 1, se aplica
n ⎛ n 2 ⎞ = ⎜ ∑ i ⎟ -1-2∑ i +(n-1) i=2 ⎝ i =1 ⎠
propiedad 3). (Se “saca” n2 de ∑ i 2 y en ∑ i se
⎡⎛ n ⎞ ⎤ = ∑ i +(n -1)-2⎢⎜ ∑ i ⎟ − 1⎥ +(n-1) i =1 ⎣⎝ i =1 ⎠ ⎦ n−1
2
2
introduce 1, que enseguida se resta).
Tomando los dos extremos de estas igualdades vemos que en ambos miembros de éstas aparece n−1
∑i
2
i =1
término que entonces podemos eliminar para despejar la suma buscada y obtener n
2∑ i =n(n+1) i =2
Lo que nos conduce inmediatamente a la igualdad buscada.g El lector no debe perderse en los cálculos de la anterior demostración, aunque sí los debe comprobar, lo importante es que vea cúal es el truco fundamental que se utiliza: Se trata de
∑i . Este truco como decíamos, se emplea para encontrar ∑ i una vez se conoce ∑ i : Se desarrollar
∑i
2
como ∑ (i − 1) para luego eliminar 2
2
2
desarrolla ∑ i 3 como ∑ (i − 1) para luego eliminar 3
∑i
3
(Ejercicio 6).
Otra suma que nos interesa, es la suma de progresión aritmética, es decir la suma de las potencias de un número (ejemplo 3 y ejercicio 13 e) de la sección 6). De ella da razón la siguiente proposición: n
Proposición 2.
n+1
∑ xi = x i =0
−1 −1
Demostración. Como xes una constante: n
n
x∑ x
i
=
i =0
∑x
i +1
(Propiedad 1)
i=0 n+1
=
∑x
i
(Propiedad 4)
i =1
⎛ n+1 i ⎞ = ⎜ ∑ x ⎟ -1 ⎝ i =0 ⎠ n
=
(Suma y resta)
∑ x +(xn+1-1) i
(Separando el último termino de la suma)
i =1
Se tieneentonces que n
n
x∑ x =∑ xi +(xn+1-1) i
i =0
i =1
y despejando ∑ xi obtenemos el resultado de la proposición.
EJ ERCICIOS 1. Calcular los valores numéricos de las siguientes expresiones: 6
a) d)
∑i
2
4
b)
∑i
i =1
i =1
6
3
∏ (i + 1)
e)
i =1
2
10
i +1
(− 1)
c)
∑ (2i + 1) i =3
j
3
∑∏ i
f)
j
∏∑ i j =1 i =1
j =1 i =1
2. Exprese en términos de sumatorian!
3. Demostrar por inducción las propiedades de
∑
Ud. debe partir de la definición
recursiva de ∑ . ¿Cuál propiedad encierra esta definición? 4. Formular propiedades de ∏ análogas a las enunciadas para∑ .
5. Dado por conocido el valor de
∑ i y utilizando las propiedades de ∑
encontrar:
a) La suma de los primeros n impares. b) 2+8+14+...+(6n-4). c) La suma de los n primeros números de la sucesión 3,8,13,... 6. Deducir una fórmula para : n
a)
∑i
2
i =1
n
b)
∑i
n
3
c)
i =1
∏2
i
i =1
7. Deducir una fórmula para hallar el valor de: n
a)
n
∑x
i
b)
i =1
∑ k(k1+ 1) i =1
8. Deducir una fórmula para :
⎛ ⎞ a) ∏ ⎜⎜1− 1 ⎟⎟ j ⎠ j = 2 ⎝ n
b)
n
⎛
j =1
⎝
⎞
∏ ⎜⎜1− j1 ⎟⎟ 2
⎠
9. Un cuadro mágico de orden n es un cuadrado dividido en cuadrados en donde se colocan los números de 1 hasta n2 de tal manera que cada fila o diagonal suman lo mismo. A continuación un cuadro mágico de orden 3: 8
1
6
3
5
7
4
9
2
En general cuánto vale la suma de los números decada columna fila o diagonal de un cuadro mágico de orden n? 10. En la demostraciones la proposiciones 1 y 2 se utiliza varias veces la propiedad 6. ¿Dónde?
8. EL MAXI MO COMUN DIVI SOR.
La relación "n divide a m" tiene sentido cuando n y mson enteros o naturales, pero no para fraccionarios o reales (por qué?) En la sección 4 vimos la forma de demostrar las propiedades mas elementales sobre esta relación, propiedades que resumimos a continuación utilizando la notación "n|m", también introducida en esa sección. Propiedades de la relación " n divide a m". Siendo a, b, c enteros no nulos se tiene: 1) a|0 y ±1|a 2) a|a 3) Si a|b y b|c entonces a|c. 4) Si a|b y b|a entonces a=±b 5) Si a|b y a|c entonces para cualesquier enteros x, y se tiene que a|(xb+yc) 6) Si a|b entonces |a|≤ |b|.
En base a estas propiedades desarrollaremos el concepto de máximo común divisor de dos enteros a y b (no nulos). En aritmética elemental se conocen algoritmos para encontrar el máximo común divisor de dos enteros y se entiende que por ejemplo el máximo común divisor de 9 y 12 es 3, ya que de los divisores positivos comunes de 9 y 12 el mayor es 3. Nosotros nos basaremos en la siguiente definición: Definición 1. Dados dos enteros a, b ninguno nulo, Máximo Común Divisor de a y b que
notaremos (a,b), ser el entero positivo c tal que: i) c|a y c|b. ii) Si x|a y x|b entonces x|c.
La condicióni nos indica quec debe ser un común divisor y a condición ii no señala que es el máximo. En los ejercicios 4 y 5 se da una necesaria discusión sobre esta definición. La siguiente proposición nos permite hablar del m.c.d. de tres o mas números.
Proposición. ((a,b),c)=(a,(b,c)) Demostración. Sean d=(a,b), e=(b,c), f=(a,e) y g=(d,c) debemos demostrar que g=f.
Por ser g=(d,c) entonces g|d y g|c. Por ser d=(a,b) y g|d tenemos que d|a y d|b o sea se tiene que g divide a a,b y c. Pero si g divide a b y a c entonces g debe dividir a e=(b,c) y como también divide a a entonces g|f. De manera similar se ve que f|g lo que implica que g=ñf , pero como ambos son positivos concluimos que g=f. Para hallar (n,m) un método muy antiguo, llamado el algoritmo de Euclides, consiste en hacer divisiones sucesivas, como mostraremos en el siguiente ejemplo para enseguida formalizar: Ejemplo 1. Para hallar (32,18) dividimos 32 entre 18 y obtenemos como residuo 14, luego
dividimos 18 entre 14 obteniendo como residuo 4, enseguida dividimos 14 entre 4 y obtenemos residuo 2, y al dividir 4 entre 2 obtenemos residuo 0. Como 2 es el último residuo no nulo, 2 es el máximo común divisor de 32 y 18. Dividendo
Divisor
Residuo
32
18
14
18
14
4
l4
4
2
(32,18)
Tabla 1. Divisiones sucesivas para encontrar
(32,l8) según el algoritmo euclideano.
Proposicion 2. (Algoritmo Euclideano)
Si a y b son enteros positivos por el algoritmo de la división (Propiedad 6-1 Capítulo 1) podemos encontrar r1...rk y q1...qk+1 tales que:
(1)
a = bq1+r1
0 < r1< b=r0
b = r1q2+r2
0 < r2
r1 = r2q3+r3
0 < r3
rk-3 = rk-2qk-1+rk-1
0 < rk-1
rk-2 = rk-1qk+rk
0 < rk
rk-1 = rkqk+1 de esta forma, el último residuo no nulo rk, es el máximo común divisor de a y b. Demostración. Vamos a proceder por inducción sobre k, que es el número de pasos que
hay en el proceso. Notemos que el proceso se detiene cuando rk+1=0 pues no se puede hacer la siguiente división. i) Si k=0 o sea el primer residuo r1 es 0, entonces a es múltiplo de b y por tanto (ejercicio
2) el máximo común divisor es b. ii) Supongamos que se tiene demostrado cuando hay sólo k-1 residuos, entonces
empecemos el proceso en la segunda ecuación de (1) o sea en b=r1q1+r2. Partiendo de esta ecuación hasta llegar a la última tenemos k-1 residuos no nulos, entonces por hipótesis de inducción podemos decir querk=(b1,r1). Tenemos: i) rk|by rk|r1 ii) x|b y x|r1 ⇒ x|rk
Como r0>r1>...>0 entonces algún rk+1 debe ser cero, esto nos garantiza que el proceso descrito en (1) es finito. Pero a=bq1+r1 entonces rk|a y tenemos que
i)' rk|a y rk|b.
Ahora bien, si x|a y x|b entonces x|a-bq1 o seax|r1 y por ii) tenemos quex|rk , por tanto: ii)' x|ay x|b entonces x|rk.
i)' e ii)' nos garantizan que (a,b)=rk con lo cual queda demostrada la proposición. Corolario. Si a y b son enteros, los números de la forma α a+ β b α , β∈ Z se llaman
combinación lineal de a y b. La menor combinación lineal positiva de dos enteros no nulos es el máximo común divisor. Ejemplo 2. Para expresar (32,18) como combinación lineal de 32 y 18 podemos recurrir
al algoritmo euclidiano pero en sentido inverso. Según este (tabla 1) tendríamos: 32 = 18×1+l4 l8 = 14×1+4 l4 = 4×3+4 4 = 2×2 Entonces de la penúltima ecuación tenemos: 2=14-4×3 Pero 4=l8-14×1 entonces 2=l4-(18-14×1)×3=14×4-18×3 y como l4=32-18 entonces 2=(32-18)×4-18×3=32×4+(18)×(-7) y hemos encontrado α =4 y β =-7 tal que 2=(32,18)= 32α +18 β . Este proceso es el que utilizamos para la demostración general. Demostración. Nótese primero que si x es combinación lineal de n y m, y a la vez mes
combinación lineal de n y m', entonces x es combinación lineal de n y m' (ejercicio 7). Por esta razón y según las ecuaciones de (1) vemos querk es combinación lineal derk-1 y rk-2 y a la vez rk-1 es combinación lineal de rk-2 y rk-3 entonces rk es combinación lineal derk-2 y rk-3. Por este proceso "vamos subiendo" hasta llegar a que rk es combinación lineal de r1 y b, pero como r1 es combinación lineal de a y b vemos que rk, el máximo común divisor, es combinación lineal dea y b.
Por otra parte, el máximo común divisor divide a a y divide a b y por tanto a cualquier combinación lineal de a y b y se deduce que es la menor de todas las combinaciones lineales positivas dea y b. Definición. a y b se llaman primos relativos si y sólo si (a,b)=1. Proposición 3. (Lema de Euclides) Supongamos que a y b son primos relativos y que a|bc
entonces a|c. Demostración. Como (a,b)=1, según el corolario anterior existen α , β tales que 1=α a+ β b
multiplicado por c a ambos lados obtenemos que c=α ac+ β bc como a|bc y a|α ac entonces a|c. El siguiente resultado, cuya demostración se deja como ejercicio al lector, establece un método muy usado para construir el máximo común divisor de dos números: Se descomponen en factores primos y se escogen aquellos factores comunes con su menor exponente. Proposición 4. Si la descomposiciones en factores primos de a y b son:
a= p1α 1 pα 2 2 … pα nn y b= p1 β 1 p β 2 2 … pnβ n entonces el máximo común divisor de a y b, (a,b) tiene como descomposición en factores primos p1γ 1 p2γ 2 … pnγ n donde γ i es el mínimo entre α i y β i.
EJ ERCICIOS 1. Encontrar el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros. Expresarlo
como combinación lineal de los dos números: i) 52, 38
ii) 81, 110
iii) 320, 112
iv) 7469,238
2. Demuestre que (a, ka)=a (con a>0) y que (1, a)=1
3. Sead=(a,b), demuestre que
a.b es un entero múltiplo de a y b. d
4. Demuestre que la definición 1 es una buena definición. Es decir, que si dos números c
y c' cumplen la definición se debe tener c=c'. 5. El máximo común divisor de a y b se puede definir como aquel entero c tal que: i) c|a y c|b. ii) (x|a y x|b) implica x
Demostrar que esta definición es equivalente a la definición 1 (para esto, suponga quec' cumple la definición 1 y que c cumple la anterior definición y deduzca quec'=c). 6. Demostrar que (a,b)=(a,b+ka) para todo k. 7. Si x es combinación lineal de n y m, y a la vez m es combinación lineal de n y m'
entonces xes combinación lineal de n y m'. 8. Demostrar que a y b son primos relativos si 1 se puede expresar como combinación
lineal dea y b. 9. Si mes un entero positivo, demostrar que (ma,mb)=m(a,b).
10. Demostrar que si p es un número primo y a es un entero no nulo entonces o (a,p)=1 o
(a,p)=p. 11. Si p y q son primos distintos entonces (p,q)=1 12. Probar que (a,bc)=1 si y solo si (a,b)=1 y (a,c)=1. 13. Si x=yz+t , probar que (x,z)=(z,t) 14. Si a y b son primos relativos y c pertenece a los enteros positivos entonces: i) existen α y β tales 1=αa+βb. ii) (a-b.a+b) es 1 o 2. iii) Si a|bc entonces a|c. iv) Si (a|c y b|c) entonces ab|c. v) (c,ab)=(c,a)(c,b). 15. ¿Cómo es (a2+b2,a+b) sabiendo que (a,b)=1?
⎛ a ⎞ 16. Pruebe que si a es par y b es impar entonces (a,b)=⎜ ,b⎟ ⎝ 2 ⎠ 17. Probar que si c|ab entonces c|(a,c)(b,c). 18. a) Supóngase que (a,b)=1. Pruebe por inducción que (an,b)=1 (Utilice el resultado del
problema 12). b) Demuestre que si (a,b)=1 entonces (an,bn)=1. c) Usando b) demostrar que si a y b son enteros tales quean|bn entonces a|b. 19. Si d=(a,b), a=a'd y b=b'd, demostrar que (a',b')=1. 20. Demostrar la proposición 4 (utilice los resultados del ejercicio 17 de la sección 6).
21. Demuestre que el corolario de la proposición 2 implica lo siguiente: "Si los múltiplos de
a se marcan en rojo sobre una recta y los múltiplos de b en verde donde a y b son enteros positivos cuyo máximo común divisor es g, entonces g ser la distancia más corta de cualquier punto verde a cualquier otro rojo". pk+1 solo cuando k=sy p|(a+b). 22. Si (ab,p)=1 demostrar que k+1 ap + bps
23. Supóngase que
a c y son dos fracciones reducidas a su expresión más simple b d
((a,b)=(c,d)=1). Demostrar que si
a c ad + cb + = es un entero entoncesb=do b=-d. b d bd
24. En base a la proposición 4 demostrar que si dos númerosa y b son primos relativos y su
producto es un cuadrado, entonces cada uno es un cuadrado perfecto. Deducir esta misma proposición del resultado establecido en el ejercicio l4. 25. Definir formalmente mínimo común múltiplo. Demostrar que éste se puede obtener
multiplicando los dos números y dividiendo el producto por el máximo común divisor. Demostrar finalmente que también se puede obtener descomponiendo en factores primos y formando el producto de todos los primos cada uno con su mayor exponente. 26. Definir recursivamente el máximo común divisor de n números.
Definir
recursivamente combinación lineal de n números. Demostrar que el máximo común divisor den números es la menor combinación lineal positiva de estos n números. 27. Formalizar la demostración dada para el colorario de esta sección procediendo por
inducción sobrek. 28. a) Demostrar que si b y c son enteros positivos tales que bc es un cuadrado perfecto y
(b,c)=1 entonces ambos b y c son cuadrados perfectos.
b) En base a la anterior demuestre que no existen enteros a y b tales que a2=2b2 (esto
demuestra que raíz de dos no es racional!). c) Probar que no existen enteros no nulos a y b tales quea2=3b2. d) Si n es un entero positivo que no es cuadrado perfecto probar que no existen enteros
no nulos a y b tales a2=nb2. 29. Demostrar el teorema fundamental de la aritmética (sección 6).
9. ECUACIONES LINEALES DIOFANTI NAS
Un problema adivinanza típico es el siguiente: María compra pollos a $50 y patos a $70, con un costo total de $530. Cuántos pollos y cuántos patos compró. Haciendo x el número de pollos e y el número de patos tenemos la ecuación 50x+70y=530 que es equivalente a 5x+7y=53.
(1)
Es claro que la solución x e y deben ser enteras y positivas, pues no se conciben respuestas como 3 de ppollos y 27 de patos ni tampoco (-3) pollos. Ecuaciones como éstas en 4 5 que las soluciones deben ser enteras se denominan ECUACIONES DIOFANTINAS en honor a Diofantos (S. III D.C.), matemático de la “segunda escuela alejandrina” y que es considerado pionero del álgebra y la teoría de números. En su aritmética Diofantos da “recetas” para resolver éstas y otras ecuaciones. Es claro que la teoría de números es el estudio de ecuaciones diofantinas en gran parte, así pues el “Ultimo Teorema de Fermat” establece la imposibilidad de resolución de ciertas ecuaciones diofantinas. Por ahora, vamos a trabajar con algunas ecuaciones lineales diofantinas, como la ecuación (1). Con los elementos que tenemos sobre máximo común divisor podemos justificar el procedimiento que se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1. Sabemos que (5,7)=1 existe según el corolario de la sección anterior una
solución a la ecuación 5α +7 β =1 Sea esta α =3 y β =-2. Podemos entonces conocer una solución entera para la ecuación (1) a saber: x0=53α =159 y y0=53 β =-106 ¿Hay otras soluciones a la ecuación? Supongamos que x, y es otra solución, cómo es? Tendríamos
5x+7y=53 5x0+7y0=53 Estando estas dos ecuaciones tenemos: 5(x-x0)=7(y0-y) Como (5,7)=1 y se tiene 5|7(y0-y). La proposición de la sección anterior nos permite deducir que 5|(y0-y) es decir que para algún t entero 5t=y0-yde donde tenemos quey=y0-5t=-l06-5t. Para encontrar los valores dex reemplazamos el valor de (y0-y) en (2) por 5t y obtenemos: 5(x-x0)=7×5t de dondex-x0=7t o sea quex=7t+x0=159+7t. Tenemos entonces que: x=159+7t y=-(106+5t) dando valores a t, obtenemos soluciones para la ecuación (1) así para t=0,1,2,3 se tiene x=159,166,173, 180 y=-106,-111,-116,-121. Ya habíamos dicho que nos interesan sólo las soluciones positivas. ¿Cuálest hacen a x e y positivos? Según (3) tendríamos: 159 +7y>0 y -106-5t>0 desigualdades que al despejar t nos indican: t>− 15977
y t>− 1065
o sea que t debe estar entre -22.7 y -21..2 y el único valor entero posible para t ser t=-22 por lo tanto las únicas soluciones positivas son: x=5 , y=4 Este proceso es general y los formalizamos en el siguiente resultado. Proposición 1. Sean a,b,c enteros no nulos, la ecuación
ax+by=c
(4)
tiene solución si y solo (a,b)|c Demostración. Esto es una consecuencia del corolario de la sección anterior.
En el ejercicio se pide encontrar la forma general de las soluciones a la ecuación (4) cuando estas existen. El método utilizado en el ejemplo 1 se puede expandir a ecuaciones con más de dos variables como veremos enseguida. Ejemplo 2. Supongamos que queremos encontrar:
5x+7y-10z=12
(5)
como (5,7)=1 por la proposición 1 tenemos que la ecuación 5x+7y=u
(6)
siempre tiene solución para cualquier u entero, debemos resolver entonces, reemplazando u en (5): u-10z=12 que tiene solución particular u0=22 y z0=1 y por el método del ejemplo anterior vemos que u=22+10s y z=1+s entonces la ecuación (6) queda: 5x+7y=22+10s
(7)
como para s=0, tenemos u=22, z=1, resolviendo (7) para s=0 obtenemos que x0=3, y0=1, z0=1 es una solución particular de (5), y de (7) podemos plantear 5(x-2s)+7y=22 que nos dan las soluciones para (5) que estamos buscando: x-2s=3+7t o seax=3+7t+2s y=1-5t z=1+s al hacer variar t y s obtenemos todas las soluciones posibles enteras. La existencia de soluciones para ecuaciones diofantinas de más de dos variables se establece en el resultado siguiente:
Proposición 2. La ecuación diofantina
a1x1 +a2x2+...+anxn=c tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a1, a2,..., an divide a c. Demostración. Procedemos por inducción paran. i) Paran=2 la proposición 1 nos garantiza el resultado. ii) Supongamos que el resultado se tiene para n=k y queremos probarlo para n=k+1. Si
tenemos: a1x1 +a2x2+...+akxk+ak+1xk+1 =c
(8)
Sea d' el máximo común divisor de a1, a2,..., ak; sabemos por hipótesis de inducción que la ecuación a1x1 +a2x2+...+akxk=c’ tiene solución única y exclusivamente cuando d'|c', o sea cuando c'=d'x. Ahora por la proposición 1 la ecuación a1x1 +a2x2+...+akxk+ak+1xk+1=c tiene solución si y sólo si (d',ak+1)|c que es lo mismo que exigir que el máximo común divisor dea1, a2,..., ak+1 divide ac. PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS 1. Determinar una solución general de la ecuación lineal diofantina i) 23x+37y= ii) 2072x+1813y=2849. 2. En el plano señalar los puntos enteros de las rectas 3x-2y=2 y 3x-2y=0. 3. Determinar todas las soluciones de 19x+20y=1909 con x>0 y y>0.
4. Sean my n enteros diferentes. ¿Cuántos fraccionarios con denominadorn o mhay entre
1 y 0? ¿Cuál es la menor distancia entre dos fracciones de éstas? 5. Encontrar una solución general para la ecuación
1321x+5837y+1926z=2983. 6. Cuando el Señor González en 1911 cambió su cheque por x pesos con y centavos, el
cajero se equivocó y pagó y pesos con x centavos. El Señor González recibió el doble de la cantidad mas dos centavos. ¿De cuánto era el cheque? 7. ¿Qué tan separados están los puntos enteros de la recta
7x+5y=53 8. Demostrar que cuando (a,b)=1 entonces ab<0 si y sólo si existe un número infinito de
soluciones positivas (x>0,y>0) para la ecuación ax+by=c. 9. Resolver en forma general los siguientes sistemas de ecuaciones para x, y, z enteros. i) 2x+3y+z=25
4x+6y-2z=12
ii) 12x+16y-4z=4
y+z=3
10. Determinar las condiciones necesarias y suficientes para que las ecuaciones
ax+by+cz=d a'x+b'y+c'z=d' tengan soluciones en enteros. Exhibir un método general para encontrar la forma general de las soluciones.
10. LA REL ACI ON DE CONGRUENCI A ENTRE ENTEROS.
Con base en los resultados obtenidos en la sección 8 desarrollaremos una notación muy útil dentro de la teoría de números, notación introducida por Gauss. Definición 1. Siempre que m|(a-b) diremos que a es congruente con b modulo my se notar
a≡b(mod m) (sólo se exige quemsea diferente de 0). Esta notación puede interpretarse como que a y b al dividirse por m tienen el mismo residuo. En efecto, si a y b tiene el mismo residuo al dividirse por m se tiene: a=k1m+r y b=k2m+r que implica (a-b)=(k1-k1)m, o sea que, m|(a-b). Por otra parte, como 0 es el único múltiplo demque está entre-my msi a≡b(mod m), aplicando algoritmo de la división tendremos a=q1+r1; b=q2+r2 con 0
Proposición 1. a≡ b(mod m) si y sólo si a y b tienen el mismo residuo al dividirlos por m. Ejemplo 1. Según el algoritmo de la división al dividir por 4 se puede obtener un único
residuo entre 0 y 3 y por lo tanto un número debe ser de una única forma: 4n, 4n+1, kn+2 o 4n+3. Esto nos ayuda a demostrar, por ejemplo, que todo número cuadrado es un múltiplo de 4 o es de la forma 4n+1 (Proposición2 sección 6). Los números de la forma 4n, los múltiplos de 4, son congruentes entre sí, modulo 4. Los de la forma 4n+1, por ejemplo 41 y l009, son congruentes entre sí todos. Lo mismo sucede con los de la forma 4n+2 y por su lado con los de la forma 4n+3. Hacer congruencias modulo 4 es pues, formar los números enteros en 4 “grupos” como se ve en la figura 1. ...
-8 -4
0
4
8
...
...
-7 -3
1
5
9
...
...
6
-2
2
6 10 ...
...
-5 -1
3
7 11 ...
Figura1. Los números de cada fila son congruentes entre si modulo 4.
En estos “grupos” que se forman, la relación de congruencia modulo 4 hace el papel de igualdad. Esto nos garantiza en formageneral el siguiente resultado. Proposición 2. La relación “ser congruente(mod 4)” es una relación de equivalencia en
los enteros, es decir, se cumplen las siguientes leyes: Reflexiva: Siempre a≡ a(mod m). Simétrica: Si a≡ b(mod m) ⇒ b≡ a(mod m). Transitiva: Si a≡ b(mod m) y b≡ c(mod m) ⇒ a≡ c(mod m). Demostración. A manera de ilustración hacemos la demostración de la simetría. La
reflexiva y transitiva quedan a cargo del lector. Simetría: Si a≡b(mod m) según la definición 1, m|b-a lo que implica que m|-(b-a) o sea m|a-bque significa que b≡a(mod m).
Además de ser la relación de congruencia una relación de equivalencia, tiene otra característica que la hace supremamente útil: es compatible con la suma y la multiplicación de enteros. Esto es lo que indica el siguiente resultado. Proposición 3.
Si a≡ b(mod m) para cualquier c entero se tiene ac≡ bc(mod m) y
a+c≡ b+c(mod m). Demostración. Si a≡b(mod m) por definiciónm|b-a entonces m|c(b-a) y por lo tanto
m|cb-ca lo que indica queca≡cb(mod m). Así mismo, si m|b-a entonces m|(b+c)-(a+c) por tanto a+c≡b+c(mod m). Ejemplo 3.
Sabemos que 10≡1(mod 9) por la proposición anterior vemos que
102≡10(mod 9) y aplicando que la relación de congruencia es simétrica y transitiva vemos que: 102≡10(mod 9) y 10≡1(mod 9) ⇒ 102≡1(mod 9) multiplicando por el mismo número 3 vemos que 3×102≡3(mod 9) entonces 3×102+1≡4(mod 9) o sea que 301≡4(mod 9). Resumidamente se ha visto que como 10≡1(mod 9) entonces(3(10)2+1)≡(3(1)2+1)(mod 9). En el ejercicio 5 se pide demostrar que si a+c≡b+c(mod m) entonces a≡b(mod m). Esta es una justificación para la ley cancelativa de la suma en congruencia. Se podría esperar tener una ley parecida para el producto pero se puede buscar un contraejemplo rápidamente ,así cuando m=24 1×6≡5×6 y sin embargo no es cierto que módulo 24 1≡5. La siguiente proposición nos indica cuándo es posible cancelar factores comunes en una congruencia. Proposición 4. Si (m,c)=1 y ac≡ bc(mod m) entonces a≡ b(mod m).
Demostración. Si ac≡bc(mod m) entonces m|(b-a)c, como (m,c)=1 según la última
proposición de la sección 8 concluimos que m|b-a y por lo tanto a≡b(mod m). Una generalización de este resultado se encuentra en el ejercicio 12. Definición 2. Un conjunto de números {a0, a1, ..., am-1} es un sistema completo de residuos
módulo msi en él hay uno y sólo un representante de cada residuo al dividir por m. En otras palabras se deben cumplir dos condiciones: i) i≠ j ⇒ ai no es congruente con a j módulo m. ii) Para cualquier entero a existe un 0≤i
La primera condición indica que no hay en {a0, a1, ..., am-1} dos números con el mismo residuo, la segunda condición asegura que ahí están todos los residuos posibles. Ejemplo 2. Para buscar un sistema completo deresiduos módulo 4, según la figura 1, basta
tomar 4 enteros, cada uno de una fila diferente. Así el conjunto {0,-3,6,11} es un sistema completo de residuos módulo 4, mientras si tomamos {6,10,5,8} no es un sistema completo de residuos pues 6≡10(mod 4) y además no hay ninguno que tenga residuo 3. Fijemos nuestra atención en el s.c.r. {8,-3,6,11} teniendo en cuenta las proposiciones 2 y 3 vemos que: 8+(-3)≡(-3) y 6+11≡(-3) y 6+(-3)≡11, etc. y así con el producto (-3)×11≡6 y (-3) ×11≡11 y 6×11≡6, etc. Podemos resumir esto haciendo tablas de multiplicar y sumar tendremos: +
8 -3 6 11
8 8 -3 6 11
-3 -3 6 11 8
6 6 11 8 -3
11 11 8 -3 6
⋅
8 -3 6 11
8 8 8 8 8
-3 8 -3 6 11
6 8 8 8 6
11 8 6 6 -3
Tablas 1.
En este sistema completo de residuos el 8, por ejemplo, representa todos los números que tienen el mismo residuo que él al ser dividido por 4: todos los múltiplos de 4; -3 representa los números de la forma 4n+1; el 6 los de la forma 4n+2 y 11 a los de la forma 4n+3. Un
sistema canónico de residuos equivalente al anterior sería {0,1,2,3} en donde las tablas nos quedan: +
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
⋅
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Tablas 2.
Nótese que aquí 3×3≡1 indica que dos números de la forma 4n+3 multiplicados nos da uno de la forma 4n+1. Definición 3. Cuando hablemos de la aritmética modulo m nos referiremos a las
operaciones entre los números 0,1,2,..,(m-1) según la relación de congruencia (mod m). Los cálculos en la aritmética módulo m se hacen como en los números en cuanto se cumplen propiedades como la distributiva, las dos operaciones sin conmutativa y modulativa etc. Sin embargo hay una diferencia importante: la ley cancelativa para el producto es más restringida en la aritmética módulo m según la proposición 4. Por otra parte cuando el módulo es primo podemos hablar de inversos multiplicativos lo cual no sucede en los enteros, donde los únicos que tienen inversos multiplicativos son..... Estas propiedades básicas son formalizadas en la siguiente afirmación. Proposición 5. (Propiedad de la aritmética mod. m).
i) Ley cancelativa para la suma: a+x≡ a+y ⇒ x≡ y. ii) Para todo a y b existe un único x tal que: a+x≡ b. iii) m es primo para todo a no congruente con 0 y todo b existe un único x tal que: a⋅ x≡ b. iv) Si m es primo para todo a no congruente con 0, todo b y c existe un único x tal que: ax+b ≡ c.
Demostración. i) Si a+x≡a+y(mod m) entonces m|(a+x)-(a+y) lo que implica que m|x-y o sea que
x≡y(mod m). ii) Vemos primero que para todo a existe (-a) tal quea+(-a)=0.
Hágase simplemente (-a)=m-a
cuando a≠0 y (-0)=0.
Para resolver la ecuación
a+x≡b(modm) tómesex≡b+(-a)(mod m) y se tendrá: a+x≡a+( b+(-a)) ≡b. iii) Consideremos los residuos 0,a,2a,...,(m-1)a . Entre estos residuos no pueden existir
dos repetidos pues si ia≡ ja como mes primo, (m,a)=1 y podemos aplicar la proposición 4 obteniendo i≡ j o sea i=j. Esta consideración nos garantiza que entre 0,a,2a,...,(m-1)a a no hay dos residuos iguales y por lo tanto 0,a,2a,...,(m-1)a es un sistema completo de residuos modulo m entre los cuales debe estar la clase residual de b, por tanto existe un x, único como residuo, tal queax≡b(mod m). La parte cuatro de la demostración se deja como ejercicio al lector. La demostración de la parte 3, como ya se indicó, es básica y sutil. Su argumento lo resaltamos en la siguiente proposición que ser utilizada mas adelante. Proposición 6. Si a no es congruente con 0 módulo m cuando m es primo entonces el
conjunto 0,a,2a,...,(m-1)a es un sistema completo de residuos. Como consecuencias de la proposición 6 encontramos la parte iii) de la proposición 5, así como el Teorema débil de Fermat y el Teorema de Wilson, con los cuales cerramos esta sección. Proposición 7. (Teorema débil de Fermat) Si p no es primo y a no es múltiplo de p,
entonces: ap-1≡ 1(mod p)
Demostración. Según la proposición 6 los residuos 0,1,2,3,....,(m-1) son exactamente los
residuos dea,2a,3a,...,(m-1)a; salvo el orden. Por esta razón tenemos: 1×2×...× (p-1)≡1×a×2a×...×(p-1)a lo cual indica que: (p-1)!≡(p-1)!ap-1 y como (p-1)! no es múltiplo de p existe según la proposición 5 iii) existe un único x tal que: (p-1)!x≡(p-1)!(mod p). por tanto, ap-1≡1(mod p). Proposición 8. (Teorema de Wilson) Si p es primo entonces:
(p-1)! ≡ -1(mod p) Demostración. Sabemos que en 0,1,2,...,(p-1) están todos los residuos módulo p y además
que todo residuo no nulo a tiene su inverso multiplicativo a-1 (ejercicio 22). Cuáles residuos entre 1 y p-1 tienen residuo igual a si mismo, es decir, para qué x se cumple xx≡1(mod p)? Claramenteparax≡1 y x≡-1 se tiene. ¿Hay otros? Si p divide ax2-1, p debe dividir a (x-1)(x+1) o sea: (x-1)(x+1)≡0(modp) pero esto sólo es posible cuando o bien x-1≡0(mod p) o bien x+1≡0(mod p) (véase ejercicio 15). Esto nos asegura que los únicos residuos que elevados al cuadrado son congruentes con 1 son 1 y -1. O seaque cada uno tiene su inverso multiplicativo diferente salvo el 1 y -1 (o seam-1). Ahora bien, como p es impar hay p-1 residuos no nulos de los cuales p-3 (salvo el 1 y -1) tienen su inverso diferente, por tanto al multiplicar 2,3,...,(p-2) tenemos un número par de residuos que se agrupan 2 a dos anulándose todos, por lo tanto 2×3×...×(p-2)≡1(mod p) y tenemos que (p-1)!≡-1(mod p).
Para aclarar un poco el proceso seguido en estas últimas demostraciones analicemos un caso concreto. Ejemplo 3. Sea p=7 y a=4, según la aritmética módulo p (tabla 3) los elementos
0,4,2×4,3×4,4×4,5×4 y 6×4 (la fila 5 de la tabla del producto) es un sistema completo de residuos (proposición 6) y por tanto (4×1)×(4×2)×(4×3)×...×(4×6)≡1×2x3×...×6(mod 7) y se tiene 46×6!≡6!(mod 7) lo que implica que 46≡1(mod 7) como lo asegura el Teorema débil de Fermat. Por otro lado, según la tabla 2×4≡1 y 3×5≡1, por tanto: 6!=2×3×4×5×6≡6≡-1(mod 7) que es el teorema de Wilson. + 1 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
×
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6
0 2 4 6 1 3 5
0 3 6 2 5 1 4
Tabla 3. Suma y producto módulo 7. EJ ERCICIOS. 1. Demostrar que la relación de congruencia es reflexiva y transitiva. 2. Demostrar que si a≡b(mod m) y c≡d(mod m) entonces,
a+c≡b+d(mod m)
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1
3. Hacer las tablas de adición y multiplicación módulo 11 y 12 y encontrar todos los
residuos xque en cada caso cumplan la ecuación dada: a. 3x≡6(mod 11)
b. 3x≡6(mod 12)
c. 3x≡7(mod 11)
d. 3x≡7(mod 12)
e. x2≡1(mod 11)
f. x2≡8(mod 12)
g. x2≡3(mod 11) 4. Qué horas indica el reloj si: a. 29 horas antes indicaba las 11. b. 100 hora antes eran las 2. c. 50 horas después ser n las 6. 5. Determine la forma de todos los enteros que cumplen a la vez cada par de congruencias: a. x≡3(mod 7) y x≡4(mod 9) b. x≡5(mod 6) y x≡8(mod 12) 6. Explicar en términos de congruencias (módulo 4): a. El doble de un impar sumado con un múltiplo de 4 es un número de la forma 4n+2. b. Un número no primo de la forma 4n+3 tiene al menos un divisor diferente de él, de
la forma 4n+3. c. Lo anterior no es cierto si cambio 4n+3 por 4n+1. 7. ¿Qué sepuede concluir de que a2≡b2(mod p) cuando p es primo? 8. En la aritmética módulo mse puede hablar de algoritmo de la división? 9. Encontrar todas las triplas (x, y, z) modulo 5 tales que
x2+y2=z2 10. Demostrar que si a+b≡c+b(mod m) entonces a≡c(mod m).
11. Demostrar que si n es entero positivo impar entonces
1+2+3+... +(n-1) ≡0(modn) 12. Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que x≡y(mod m) implica
quef (x)≡f (y)(mod m). 13. Sea (m,c)=d y m=dn; si ac≡bc(mod m) entonces a≡b(mod n). 14. Demostrar que si p es primo xp+yp≡(x+y)p. 15. Demostrar que si p es primo ab≡0(mod p) implica a≡0(mod p) o b≡0(mod p). ¿Qué se
puede decir si p no es primo? 16. Probar que cuando p es primo impar xp+yp-≡0(mod p) implicaxp+yp≡0(mod p2). 17. Siendo p primo ap≡a(mod m). 18. A qué congruencia de grado inferior a 7 es equivalente la congruencia:
2x17+6x16+x14+5x12+3x11+2x10+x9+5x8+2x7+3x5+4x4+6x3+4x2+x+2≡0(mod 7)? 19. Probar el teorema débil de Fermat demostrando que
(1+1 +...+1)p=(1+1+...+1) siempre que el número de 1's se menor quep. 20. Si a0, a1,..., am-1 es un sistema residual completo módulo m, entonces ka0, ka1,..., kam-1
también lo es. Demostrar que esto setienesi k es primo relativo con m. 21. Deducir un resultado similar al anterior para los enteros ka0+1, ka1+1,..., kam-1+1, 22. Demostrar que si (a,m)=1 entonces:
i) Existe a-1 tal queaa-1≡1(mod m). ii) Si ax≡0(modm) entonces x≡0(modm). 23. Demostrar que cuando p es primo, si a0, a1,..., an no son múltiplos de p entonces
a0a1...an no es múltiplo dep.
12. NUMERACI ONES POSICI ONAL ES. Los sistemas denumeración utilizados por las antiguas civilizaciones: babilonia y maya son cada uno sistemas posicionales, el babilonio en base 60 y el maya en base 20, que utilizan para representar los números desde 1 hasta la base de un sistema aditivo, y para números mayores que la base por repetición de los primeros, en donde cada uno de éstos vale según la posición que ocupe. Además, como ya lo anotamos, los sistemas posiciones consideran de una u otra forma, lo que nosotros hoy en día llamamos el cero. Por ejemplo, en la numeración maya los números de uno a veinte (sin incluirlo) son notados por un sistema aditivo en donde las unidades son demarcadas con puntos o círculos llenos y cinco (5) unidades de demarcan por una raya horizontal (fig. 1). Los mayores que 19, desde 20 en adelante se representan por combinaciones de números menores que éste y el cero que es una figura que se ha interpretado como una concha o un fríjol.
60
63
3
215
12
871
45
Figura 1. Algunos numerales mayas.
Estos dos sistemas (el maya y el babilonio) utilizan pocos caracteres diferentes, lo que hace que para números grandes sea necesario muchos de éstos. Esta es una desventaja que les quita practicidad a pesar de que son muy efectivos, como todo sistema posicional, en cuanto a la realización de la operaciones básicas. El otro sistema posicional es el sistema decimal hindoarábigo que hoy en día representa el lenguaje más universal que el hombre ha adquirido. Esta numeración, también de origen
muy remoto se calcula nació en la India hace unos 2. 500 años. En los manuscritos budistas de Asaka del siglo III a. C. hallamos los símbolos 1,4,6; cien años después hallamos los símbolos 2,4,5,6,7 y 9 grabados en los monumentos de Nona Ghat y en el siglo II D. C. , periodo de las cuevas de Nasik, hallamos todas las cifras. El cero empezó entre los indostánicos como un puntico o circulito y el sánscrito lo designaba con la expresión "vacante" o "vacío". La primera referencia concreta a la numeración indostánica fuera de las fronteras de la India sehalla en la nota escrita por un sacerdote mesopotámico, Severus Sebokth, hacia 650 D. C. quien hablaba de nueve signos sin mencionar el cero. A fines del siglo VIII habían sido trasladadas a Bagdad unas tablas astronómicas, y los rabees doctos de la época conocieron estos signos. En el año 925 el estudioso Al-Khwarizmi escribió un librito sobre números el cual 300 años después fu‚ traducido en latín por Abelardo de Bath. El desarrollo del comercio, del sistema de intereses y en general la necesidad de efectuar las operaciones básicas de manera más rápida hace que este sistema se imponga definitivamente con el correr de los siglos. Muy ilustrativo es el cuadro de la figura 2 tomado de un libro muy popular en el siglo XVI (impreso por primera vez en 1503) y que muestra la disputa entre un abaquista (numeración romana) y un calculista de pluma y tinta (sistema induarábigo). Repárese en la angustia del abaquista contra la seguridad del calculista al tratar ambos dedividir 1234 entre 97. Nuestro interés girar en lo que sigue hacia la profundización en los sistemas de numeración posicional en diferentes bases con miras a explicar el por qué‚ de los algoritmos que utilizamos en las operaciones básicas y ciertos hechos que se pueden observar en la aritmética. Por ahora pensemos en la siguiente máquina de contar: consideremos tres relojes cada uno con los números del cero al nueve (fig. 3), que hallaremos Dial I, Dial II y Dial III. Este sistema funciona como los contadores del kilometraje de los automóviles, si comenzamos a dar vueltas al dial I en el sentido de las mancillas del reloj y contamos 1,2,. . . . , etc. de tal manera que cuando vaya a pasar de nueve al cero, el dial II se corre un lugar y éste a su
vez avanza un lugar al dial I II, cuando pase del nueve al cero entonces el dial I determinar las unidades, cadaavance del dial II supone diez unidades que ha recorrido el dial I.
Figura 2. Grabado del "Margarita Philosofica" de Greisch (1. 503). Así mismo el dial III se mueve un lugar cuando el dial II complete una vuelta de diez movimientos o sea cuando el dial I se haya movido cien veces. Así en la figura 3 el número representado es 520, 500 por el dial III, 20 por el dial II y cero por el dial I. Nótese que podemos agregar otros diales si queremos expresar números más grandes, por ejemplo el sexto dial indicaría "cien miles" mientras un último dial marcaría los millones. Cada dial se referirá a diferentes potencias Fig. 3: Diales para presentar números en el sistema posicionales de 10. Por esto un hindoarábigo.
0 9 8 7 6
1 2 3 4 5
0 9 8 7 6
0 1 2 3 4
9 8 7 6
5
1 2 3 4 5
Figura 3. Diales para presentar números en el sistema posicional indoarábigo.
Nuestro sistema denumeración se dice que es en base 10, pero que se trabaje con 10 dígitos (0,1,2,. . . ,9) es algo arbitrario (tal vez porque tenemos 10 dedos en las manos) pues se hubiera podido utilizar 3, 5, ó 12 dígitos (señales en los diales). Supongamos entonces que los diales no tienen sino tres señales: 0,1,2. En la figura 4 se muestran como funcionarían los tres diales en los primeros 11 movimientos. Los primeros tres números cero, uno y dos se representan igual que en nuestro sistema, pero en el tercer movimiento el dial! pasa a 0 y el dial II avanza un lugar quedando en 1, por eso el número que nosotros notamos 3 será notado 0l0. El dial II indicar entonces los múltiplos de 3. Así mismo podemos observar que el dial III representar los múltiplos de 9. Entonces el número escrito en base 3 como 211 equivale al número que en base 10 escribíamos como 22, ya que se tendrían 2 nueves, 1 tres y una unidad. Esta igualdad se expresar así: (211)3=(22)10 Aquí también podemos agregar cuantos diales queramos, y naturalmente en base 3, necesitaremos más dígitos que en base 10 para expresar un numero determinado. Por ejemplo: (21102)3=2×34+1×33+1×32+0×3+2=(200)10. Así como hemos hecho con tres, se puede utilizar cualquier base mayor que 1 para representar un entero positivo dado. Cuando se quiere utilizar una base mayor que la nuestra es necesario introducir nuevos dígitos. Por ejemplo, cuando se quiere trabajar en
base 12 podemos usar como dígitos: 1,2,...,9,A,B en donde A y B representan el 10 y el 11 de nuestra base decimal. Así: (3A)12=3×12+a=36+10=(46)10. Además. 0 2
0 1
2
0 2
2
0
2
1
2
0
2
2
1 0
1
2
0 1
1 0
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
2
1 0
1
2
0
1 0
1
2
1
Es de particular importancia resaltar que el sistema en base 2 también llamado sistema binario y que utiliza los símbolos 0 y 1, tiene en nuestra ‚poca gran figuración pues es utilizado por las modernas computadoras y por tanto más adelante profundizaremos sobre este tema. A continuación formalizaremos el resultado básico en que se basa toda la discusión, es decir, que cualquier numero entero positivo se puede expresar en cualquier base mayor que uno. Proposición 1. (Teorema fundamental de la numeración) Sea b un entero mayor que 1, que llamaremos base. Entonces para todo a entero positivo existen an,an-1,..,a1,a0 con cada ai que cumple 0
con con con
0≤a0
#
#
qn-2 = bqn-1+an-1 qn-1 = bqn+an
con con
0≤an-1
donde el último cociente qn es cero. Devolviéndonos vemos que: an = ban+an-1 = b(ban+an-1)+an-2 =
qn-1 qn-2 qn-3
#
b(...b(ban+an-1)+...)+ a3)+a2 = b(...b(ban+an-1)+...)+a2)+a1 = bnan+bn-1an-1+...+ba1+a0 =
q1 q0 a
Comprobando que los ai cumplen lo exigido, la demostración de que estos números enteros a0,a1,...,an (llamados dígitos de a) son únicos, la dejamos como ejercicio al lector. Ejemplo 1. Para pasar un número escrito en una base diferente de 10 a base decimal tenemos en cuenta la expresión (1) de la proposición anterior así: (100)3 = 1×32+0×3+0=(9)10 (222)4 = 2×42+2×4+2=(42) (222)3 = 2×32+2×3+2=(26) Ejemplo 2. Cuando se utiliza base mayor que la base nuestra, se acostumbra las letras A,B. C... para expresar lo que nosotros escribimos como 10, 11, 12,... por ejemplo en base 16: (ACE)16=10×162+6×16+14=(2670)10 pues (A)16=(10)10 y (E)16=(14)10 Ejemplo 3. Para pasar de base decimal a otra diferente aplicamos el algoritmo descrito en la demostración de la proposición anterior según el conjunto deecuaciones (2). De esta forma para determinar el desarrollo decimal de (26)3 dividimos sucesivamente así: 26 2
3 28 2
3 2 2
dividimos que significan que: 26=3×8+2 8=3×2+2 2=3×0+2 O sea que: 26=3×(3×2+2)+2 es decir: 26=32×2+3×2+2 y tenemos que: (26)10=(222)3
3 0
Ejemplo 4. Para pasar de base 10 a base mayor que 10 procedemos de igual forma teniendo en cuenta el significado de las letras A,B,C,... según se explicó en el ejemplo 3. (1425)10=(?)14 Haciendo las divisiones vemos que: 1425 = 14×101+11 101 = 14×7+3 entonces 1425 = 14(14×7+3)+11 1425 = 142×7+14×3+11 1425 = (73B)14
PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS 1. Enumere las desventajas del sistema de numeración como el maya y el babilonio. 2. ¿Cuántos caracteres se requieren para representar un número en base b? 3. Resuelva: a. (342)5=( ? )6 b. (241)6=( ? )5 c. (144)10=( ? )12 d. (ABC)16=( ? )10 e. (871)9=( ? )14 f. (6D2)16=( ? )11 4. Para pasar de base 3 a base 9=32 podemos proceder por el siguiente m‚todo ilustrado para el caso en que nos preguntan (120110)3 =(?)9 tomamos el número de base 3 y separamos cifras de derecha a izquierda dedos en dos:
12-01-10 cada pareja la traducimos a base 9 y en su orden estas cifras serán los dígitos del número en la nueva base: (12)3=(5)9; (01)3=(1)9; (10)3=(3)9 O sea: (120110)3=(513)9 a. Compruebe con este y otros casos que éste efectivamente es un m‚todo acertado para pasar de base 3 a base 9. b. Según esto explique cómo se hace el proceso inverso: pasar números de base 9 a base 3. c. Busque un método parecido para pasar numerales de base 2 a base 4 y numerales de base 2 a base 8. d. Generalice y demuestre un método para pasar de un número de base b a base bn y al contrario. 5. Un tendero sólo tiene una pesa de 1 kilo, otra de 2, otra de 4, una de 8, otra de 16 y una de 32. a. ¿Cómo hace para pesar 28 kilos, 39? b. Demuestre que puede pasar cualquier cantidad de kilos de 1 a 63. 6. El siguiente juego puede servir para descretar a sus amigos: se tiene cuatro cartas en donde están repetidos los números de 1 a 15 así: I
II
III
IV
1-3-5 7-9 11-13 15
2-3-6 7-10 11-14 15
4-5 6-7 12-13 14-15
8-9 10-11 12-13 14-15
Usted pide a alguien que pida un número secretamente (por ejemplo 11) y sólo le comunica en qué‚ tarjeta esta escrito (para el caso I, II y IV) y el único que esté escrito en exactamente esas tarjetas es el 11.
a. Describa cómo se determina el número pensado conociendo las tarjetas correspondientes. b. ¿Por qué‚ esta distribución funciona? c. Haga un juego parecido con cinco tarjetas y los números de 1 a 32.
13. CRITERI OS DE DIVISIBIL IDAD Y CONGRUENCIAS Cuando tenemos un número muy grande escrito en base 10 y deseamos saber si es múltiplo por ejemplo de 9 no necesitamos hacer la división, simplemente sumamos sus cifras y si el resultado es múltiplo de 9 el número original es múltiplo de 9. Este es un típico criterio de divisibilidad, que se utiliza desde la escuela primaria. Uno más sencillo es para saber si un número es par: se mira la última cifra y si ella es par todo el número es par. La justificación de estos criterios radica en el sistema de numeración que se utiliza y la demostración de su validez, que haremos aquí as ndonos el la teoría de congruencias, nos proporciona elementos para formular nuevos criterios de divisibilidad. El siguiente lema, que es consecuencia inmediata de la definición de congruencia, es la razón por la que utilizaremos esta teoría para lograr nuestros objetivos.
Lema 1. Un número k es divisible por c si y solo si k 0(mod c) ≡
Demostración. (obvio). Para la lectura de este capítulo además de manejar las congruencias el lector debe estar familiarizado con los sistemas de numeración posicionales (sección 12).
Se aplica
especialmente el Teorema fundamental de la numeración.
1. CRITERI OS DE LA ULTIM A CIFRA Algunas veces para ver si un número es divisible por otro es suficiente con observar la última cifra. Esto depende realmente de que el divisor divida la base, como cuando se trabaja en base 10 y se quiere saber si un entero es divisible por 2 o por 5.
Proposición 1. Sea a=(anan-1...a1a0)b si b 0(mod c) entonces a es divisible por c si y solo ≡
si a0 0(mod c) ≡
Demostración. Sabemos que a=a0+a1b+a2b2 + ...+ anbn
y como b≡0(mod c), aplicando aritmética de congruencias se obtiene que a≡a0(mod c), que en combinación con el lema 1 nos proporciona el resultado deseado. Nótese que lo que se demuestra es que, en este caso, la última cifra (a0) determina la clase de congruencia módulo c, a la quepertenece el entero a.
Ejemplo 1. Un número escrito en base 12 es divisible por 4 si termina en 0,4 u 8, pues estos son los tres dígitos de la base 12 que se dejan dividir por 4.
Ejemplo 2. Como ya se dijo una aplicación de al proposición 1 en base decimal son los conocidos criterios para saber cuando un entero es divisible por 2 o por 5. Sin embargo estos criterios no sirven cuando el número est escrito en cualquier base. Para base 15 el criterio del 2 no es válido aunque el del 5 casi. Por qué?
2. CRITERI OS DE L A SUMA DE LAS CIFRAS Otras veces la suma de las cifras indica si se es o no divisible por otro. Es el caso de los conocidos criterios para saber si un número es divisible por 3 o por 9, cuando est escrito en base decimal. La siguiente proposición justifica‚ estos y otros casos.
Proposición 2. Sea a=(anan-1...a1a0)b si b 1(mod c) entonces a es divisible por c si y solo ≡
si a0 + a1 + a2 + ... + an 0(mod c) ≡
Demostración. Sabemos que a=a0 + a1b + a2b2 + ... + anbn y como b≡1(mod c), aplicando aritmética de congruencias se obtiene que a0 a1b
≡ ≡
0(mod c) a1(mod c)
# 2
a2b anbn
≡ ≡
a2(mod c) an(mod c)
entonces sumando estas congruencias tenemos a≡a0+a1+a2+...+an(mod c), que en combinación con el lema 1 nos proporciona el resultado deseado. Presentamos las aplicaciones de esta proposición como corolarios:
Corolario 1. Si b es congruente con 1 módulo c y el número a este escrito en base b, entonces a es congruente con la suma de sus cifras módulo c.
Corolario 2. Si b es congruente con 1 módulo c, entonces para saber si un número (escrito en base b) es divisible por c es suficiente saber si la suma de sus cifras lo es.
Ejemplo 3. (Base decimal) La suma de las cifras del entero 19168639 es 43 por tanto: 19168639≡1(mod 3) 19168639≡7(mod 9)
Ejemplo 4. En base 4, la suma de las cifras del entero a es congruente con a módulo 3 pero no módulo 9.
3. CRITERI OS DE L A SUMA Y RESTA DE LAS CIFRAS Empecemos mostrando un ejemplo:
Ejemplo 5. Para saber si un número escrito en base decimal es divisible por 11, se halla la diferencia entre la suma de cifras de lugares pares y la suma de las cifras de lugares impares; el número es múltiplo de 11 , si y solo si, esta diferencia lo es. Digamos, para saber si 19168639 es divisible por 11, sumamos las cifras de lugares impares: 9+6+6+9=30 ; sumamos las cifras de lugares pares: 3+8+1 +1=13; hacemos la diferencia de estas dos sumas: 30-13=17. Como 17 no es múltiplo de 11 entonces 19168639 no es múltiplo de 11. Es mas, como se ve en la demostración de la siguiente proposición se tiene que 17≡19168639(mod 11). Nótese que si a=(an, an-1,...,a1, a0)b la diferencia entre la suma de cifras de lugares pares y la suma delas cifras de lugares impares viene dada por la expresión: a0-a1+a2-...+(-1)nan
Proposición 3. Sea a=(an, an-1,...,a1, a0)b si b -1(mod c) entonces a es divisible por c si y ≡
solo si a0-a1+a2-...+(-1)nan 0(mod c) ≡
Demostración. Ejercicio (es similar a la demostración de la proposición 2). Corolario 1. Si b es congruente con -1 módulo c, entonces para saber si un número (escrito en baseb) es divisible por c es suficiente saber si la suma de cifras de lugares pares menos la suma de las cifras de lugares impares es múltiplo dec.
4. CRITERI OS CON PAREJ AS Y TRIPLAS DE CI FRAS Algunas veces es conveniente considerar las cifras de un número tomadas de dos en dos, o de tres en tres (siempre de derecha a izquierda). Aquí realmente, se está pasando el número a base b2 o b3, como se resalta en el siguiente lema cuyo enunciado y demostración se dejó como ejercicio en sección anterior.
Lema 2. Las cifras de a escrito en base bm son las mismas que en base b pero tomadas de derecha a izquierda en grupos de m: Cada grupo de m cifras en base b corresponde a un dígito en base bm.
Ejemplo 6. Para pasar de base 2 a base 8 el entero (10010101110001110)2 traducimos los grupos de 3 así: (110)2=6;
(001)2=1;
(110)2=6;
(101)2=5;
(010)2=2;
(10)2 =2;
entonces las cifras en base 8 son 6, 1, 6, 5, 2, 2 (tomadas de derecha a izquierda) es decir: (10010101110001110)2=(225616)8. Si quisiéramos pasar a base16 escogeríamos grupos de a 4 y tendríamos: (1110)2=E ; (1000)2=8; (1011)2=B; (0010)2=2; (1)2=1 y tenemos: (10010101110001110)2=(12B8E)16. Cuando la base es muy grande podríamos agotar las letras del alfabeto, entonces no se acostumbra colocar nuevas letras, sino dejar los dígitos decimales. Por ejemplo para pasar de base decimal a base 100, se necesitaría agregar 90 nuevos dígitos, mejor entender las parejas de dígitos decimales como dígitos centesimales, así: (19168639)10 =(19-16-86-39)100
El aplicar el lema 2 con alguna de las proposiciones 1, 2 o 3, es un m‚todo para conseguir y explicar otros criterios de divisibilidad, como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 7. (Base decimal) Para saber si un entero es múltiplo de 100, todos sabemos que basta con saber si sus dos últimas cifras son exactamente 00. Claro! Cuando escribimos los números en base 100 los múltiplos de 100 son los que terminan en cero, pero este dígito se representa con dos ceros de la base decimal. Por otra parte, aplicando la proposición 1 al lema 2 obtenemos que por ejemplo cualquier entero es congruente modulo 25 con sus dos últimas cifras ya que 25 divide a 100. Otra manera de saber si un número escrito en base 10 es divisible por 11 es hacer la suma de
sus
cifras
tomadas
de
dos
en
dos.
Por
ejemplo:
19168639≡19+16+86+39=160≡60+1≡6(mod 11). Compare con el ejemplo 5!
Ejemplo 8. Busquemos un criterio para saber si un entero escrito en base 2 es múltiplo de 3. Como 4 1(mod 3) entonces en base 4 se puede aplicar la proposición 2 y tenemos que ≡
un número escrito en base 4 es congruente módulo 3 con la suma de sus cifras (ejemplo 4) pero según el lema 2 las cifras de base 4 son las parejas de cifras en base 2, entonces: "Un número escrito en base 2 es múltiplo de 3 si y solo si la suma de sus cifras tomadas de dos es dos dederecha a izquierda es múltiplo de 3".
5. SEPARANDO LAS ÚLTIMAS CIFRAS El operador "quitar" la última cifra, o las dos últimas, parece que no fuera un operador aritmético. Según el Teorema fundamental de la numeración, y trabajando en base decimal, si la última cifra den es a, entonces n tendrá la forma n=10n’+a
con 0
Ejemplo 9. Un número escrito en base 10 es divisible por 17, si y solo si, al quitar sus dos últimas cifras y restarlas del duplo de lo que queda el resultado es múltiplo de 17. Por ejemplo, para saber si 4767 es múltiplo de 17: quito 67 y lo que queda es 47, su duplo 94, menos 67, obtengo 27, que no es múltiplo de 17 por tanto 4767 tampoco lo es, pero si pruebo con 4267 tengo (42×2)-67 =84-67=17, y por tanto 4267 si es múltiplo de 17. La demostración de que este procedimiento es válido, parte de considerar n con la forma n=100n'+b , donde n' es lo “que queda” y b es el número representado por las dos últimas cifras, debemos ver que n≡0(mod 17) si y solo si, 2n'-b≡0(mod 17) y esta es una equivalencia decongruencias, que sedemuestra fácilmente: n=100n'+b≡0(mod 17)
⇔ ⇔ ⇔
15n'+b ≡0(mod 17) -2n'+b≡0(mod 17) 2n'-b≡0(mod 17)
PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS. Demostrar los siguientes criterios de divisibilidad:
1. En base diez un número es divisible por 2, si termina en cifra par. 2. En base diez un número es divisible por 5, si termina en 0 o 5.
3. En base diez un número es divisible por 20, si termina en 00, 20, 40, 60 ó 80. 4. En base 12 un número es divisible por 3, si su última cifra lo es. 5. En base 12 un número es divisible por 6, si termina en 0 ó 6. 6. En base 2 los múltiplos de 4 son aquellos que terminan en 00. 7. En base diez un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es divisible por 9. 8. En base 6 un número es divisible por 5, si la suma de sus cifras es divisible por 5. 9. En base diez un número es divisible por 37, si la suma de sus cifras tomadas de tres en tres, es divisible por 37.
10. En base 4 un número es divisible por 15, si la suma de sus cifras, tomadas de os en dos, es divisible por 15.
11. Si a un número que está escrito en base 10 y es múltiplo de 13, se le quita su última cifra y se le suma multiplicada por 4 a lo que queda, el resultado es múltiplo de 13.
12. Si a un número que está escrito en base 10 y es múltiplo de 11, se le quita su última cifra y se le suma alo que queda, el resultado es múltiplo de 11.
13. Enuncie y demuestre un criterio para saber si un número escrito en base decimal es divisible por 19.
14. TODO DEPENDE DE SABER CONTAR Nos proponemos analizar los algoritmos para efectuar operaciones aritméticas. Otra vez nuestro interés más que práctico es teórico: El análisis de diferentes algoritmos nos proporcionar para los números, sus relaciones y operaciones. Buscando lo fundamental vemos que lo mas elemental que podemos hacer es contar. Sabiendo contar, es decir sabiendo sumar 1, podemos realizar los algoritmos más comunes de la aritmética: Sumar dos números, restarlos, multiplicar, hallar cociente y residuo, etc. Para ver esto imaginemos que se deja programar, pero de aritmética no sabe sino sumar 1. Por dejarse programar entendemos que guarda números en memoria, que se nota en letras mayúsculas, asignar 6 a la memoria A, se notará 6
A
asignar a la memoria B, lo que est en la memoria A así
A
B
Determinar si los contenidos de las memorias A y B coinciden y según la respuesta seguir en procedimiento, lo que se notará así A =B No
Para presentar resultado se utilizar el símbolo A ES EL RESULTADO
y para finalizar el signo PARE
Si
Las asignaciones se enumeran en un rectángulo. Si suponemos que nuestra máquina sólo suma 1, el siguiente algoritmo representa un algoritmo que muestra los números de dos en dos, hasta llegar a m-2. 0
N
N
N+1
N
N+1
N
N =M
Si PARE
No
N es la variable donde se lleva la cuenta, se inicia en 0, y luego de presentarse se incrementa en 1 dos veces, para ese N ¿M volverse a presentar y seguir sucesivamente hasta que N sea igual a M, pero nótese que si en la variable M va un número impar el algoritmo no se detiene. ¿Cómo hacer para que el proceso se detenga siempre que M sea entero positivo? El primer método que un niño conoce para sumar es contar con los dedos de las manos. Para 3 y 6, se cuenta a partir de 6 y en una mano se lleva la cuenta de 1 incremento, cuando esa mano se lleve 3 entonces el proceso se detiene. Este algoritmo es representado por el siguiente diagrama en el cual se suma a y b. a b 0
S T MANO
MANO=T
Si
a+b=5
PARE
No S+1 MANO+1
S MANO
Los sumandos a y b son guardados en las memorias s y t, las memorias s y MANO se van incrementando de 1 en 1 hasta que MANO alcance a T, cuando esto suceda, la suma de los dos números es lo que est en la memoria 5. Para hacer el seguimiento de cualquier algoritmo se puede hacer lo que se llama "una Prueba de Escritorio", que es construir una tabla que muestre el valor de las diferentes
variables; una vez dados los datos iniciales. Para el ejemplo la tabla 1 muestra una prueba de escritorio cuando? Sumar 3 y 6. S
T
MANO
MANO=T
6 7 8 9
3
0 1 2 3
NO NO NO SI
Tabla 1. Por otra parte debemos observar que esta acertada manera de sumar con los dedos de las manos, está basada en la deficiencia recursiva de suma (a partir de sumar 1). Ese efecto recursivamente se puede definir n+m así: i) n+0=n ii) n+(m+1)=(n+m)+1 Para sumar 6+3 según esta definición, por i) saben que 6+0=6 por ii) saben que 6+1=6+(0+1)=(6+0)+1=7, otra vez aplicando ii) obtenemos 6+2: 6+(1+1)=(6+1)+1=7+1=8 y así: 6+3=6+(2+1)=(6+2)+1=8+1=9 El algoritmo que acabamos de mostrar es una demostración de la siguiente proposición. Proposición 1. Una máquina que sólo suma 1, puede sumar cualquier par de números
naturales. La máquina que pensamos ni siquiera decide cúal es el mayor de un par de números. Ella sólo sabe decir cuándo un par de números coinciden. Como ejercicio el lector debe programarla para que decida cúal de los números naturales a y b es el mayor. Se trata de ir calculando en memorias auxiliares incrementos de cada una de los números hasta que el uno alcance el otro. Esto demuestra la siguiente proposición.
Proposicion 2. Una máquina que sólo suma 1, puede programarse para que decida cúal
de los números es mayor. También se puede programar para hallar la diferencia. Las operaciones que hace nuestra máquina las efectúa con cantidades positivas, pero se pueden ampliar fácilmente para que trabaje con negativos.
Sin embargo seguiremos
trabajando sólo en números naturales. Las dos proposiciones anteriores no permiten que de ahora en adelante que nuestra máquina ya puede sumar cualquier par de números naturales. Hallar la diferencia del mayor al menor y decidir cúal es el más grande, es decir podemos hacer asignaciones del siguiente tipo: A+B
C, A-B
A ≥ B
C y tomar décimas de tipo
Si
A >B
No
Si
A>B
A: B A=B
No
Con estos procedimientos describiremos un algoritmo para que dados a y b, enteros positivos, encuentre el cociente al dividir a entre b.
a a b 0
A RESTO B C
RESTO
Si
No C+1 RESTO-B
Cociente de dividir a entre b
PARE
C RESTO
La base de este algoritmo es supremamente sencilla; el método más fácil para repartir A objetos entre B personas, es darle un objeto a cada persona (se resta B de A), luego vuelve a repartir una a cada uno (resta B del RESTO) y así hasta lo que quede (EL RESTO) sea
menor que el mínimo de personas (RESTO
1. Suponga que la máquina C, que sólo suma uno, sin ninguna subrutina; hacer programas para: a. Muestre los primeros n múltiplos de 2. b. Muestre los primeros n múltiplos de 3. c. Determine si n es par o impar. d. Halle el cociente y el residuo al dividir en 2. e. Halle el cociente y el residuo al dividir en 3. f. Muestre los números de la forma 4k+1. g. Halle la suma de los n primeros números. h. Dados a y b encuentre |a-b|. i. Dados a y b encuentre a÷b que es a-b si a>b y cero en caso contrario.
2. Suponga una máquina C, que tiene subrutinas para sumar cualquier par de números y decidir cúal de los dos es el mayor además de restar de un mínimo otro menor o igual. Diseñar un algoritmo para que la máquina: a. Dado a y b encuentre el residuo de dividir a entre b. b. Multiplique a y b. c. Halle el máximo común divisor de a y b ( se puede hacer sólo restando). d. Dados n, k, r n
∑ (ik + r ) = r + (r + k) + (r + 2k) + ... + (r + nk ) i =0
e. Dados my n positivos decidir si n|m. f. Decidir si n es primo.
g. Encuentre n2.
3. Supóngase ahora que nuestra máquina tiene subrutinas para las operaciones siguientes: Suma, resta, producto, cociente y residuo (se notan COC (a,b), RES (a,b)). Diseñar algoritmos para quela máquina: a. Calcule n! b. Calcule a-6. c. Exprese a en base b. d. Exprese (a,b) como combinación lineal de a y b. e. Exprese n como producto de factores primos.
4. ¿Qué hace el siguiente algoritmo?
0 a
S A RES(4,2)=0
No S=B+S
Si A=0
S
PARE
COC(4.2) B× A
A B
15. AL GORIT MOS BASADOS EN EL SISTEMA DE NUMERACI ON.
Los algoritmos expuestos en la sección anterior trabajan con números en "abstracto" por cuanto en ellos nada tiene que ver la representación de los números. Esta es una de las razones por la que esos algoritmos resultan ser tan poco prácticos, ya que una operación con números moderadamente grandes supone mucho tiempo de computación para ser llevada acabo. Cuando los números están escritos en determinado sistema de numeración se utilizan algoritmos muchos más rápidos que los expuestos anteriormente y son estos algoritmos los que se utilizan para hacer las operaciones básicas tanto manualmente como cuando se trabaja con aparatos de computación. El sistema de numeración en base diez, o sistema induarábico, se impuso definitivamente en nuestra civilización precisamente por ser mas práctico especialmente cuando se trabaja la multiplicación y la división, como ya se dijo en la sección 14. La palabra 'algoritmo' apareció en Europa conjuntamente con la aceptación del sistema induarábigo, para referirse a los métodos de cómputo de los calculistas de "pluma y papel'. Hoy en día, con la aparición de los ordenadores la palabra algoritmo se refiere a cualquier procedimiento ejecutable por la máquina, pero los cálculos sobre números que hace un ordenador se siguen basando en algoritmos parecidos a los manuales pero diseñados para el sistema de numeración posicional binario. Estos ser n los algoritmos que trabajaremos en esta sección. Algoritmos rápidos, que se utilizan para hacer las operaciones manualemente o por computador. Nuestro interés no es que el lector llegue a manejar estos algoritmos con destreza, lo que perseguimos es que se
logre descifrar el por qué de su efectividad, lo que a la larga puede dar la oportunidad de diseñar algoritmos propios. 312 45 156 90 78 180 * 39 360 * 19 720 * 9 1440 4 2880 2 5760 * 1 11520 312×45=360+720+1440+11520 =14040 Tabla 1. Método de multiplicación de los campesinos rusos aplicado para efectuar 312×45. En la columna de la izquierda se hacen sucesivas divisiones por 2 a partir de 312 (* denota que la división no es exacta). En la otra columna se hacen sucesivas multiplicaciones por 2 a partir del otro multiplicando que es 45. El producto se obtiene sumando los valores de la columna derecha correspondientes a *.
Empezamos con la descripción de un método muy antiguo empleado para multiplicar, que identificaremos como método de multiplicación de los campesinos rusos, que además de ser práctico, evita el uso de las tablas de multiplicar, pues solo exige saber sumar y saber multiplicar y dividir por dos. Para multiplicar dos números se dice que los campesinos rusos colocaban los dos números un al lado del otro y mientras uno se va dividiendo por dos el otro se va multiplicando por dos. Las divisiones se hacen, naturalmente enteras y los números no pares de esta columna se distinguen digamos con un * . El proceso termina cuando en la columna de los números que se van dividiendo se encuentre 1. El resultado del producto se encuentra sumando los números correspondientes a * en la columna de los números quese van multiplicando por 2. En la tabla 1 se ilustra el proceso cuando se trata de multiplicar 312 por 45. El lector puede comprobar con otras multiplicaciones que realmente este método es efectivo, pero el reto que se plantea es explicar el por qué. Es decir, se quiere una demostración de que el método sí funciona (ejercicio 6). Por ahora como unapista digamos
que aunque este procedimiento es válido no importa en que sistema de numeración se trabaje, su fundamentación radica en la expresión de uno delos multiplicandos en base 2. Ahora queremos revisar los algoritmos usuales aprendidos en la escuela primaria para efectuar las operaciones básicas. Empecemos por imaginarnos cómo se suma y se resta en sistemas aditivos, por ejemplo en el sistema egipcio explicado en la sección 13. La suma y la resta en estos sistemas es realmente sencilla y es de suponer que se actuaba tal como lo hacían los abaquistas, o hoy en día, cualquier tendero que quiere contar su dinero. Se trata de unir los signos similares y cuando se obtienen suficiente número de ellos se cambian por otro que represente un número mayor. Veamos el mismo ejemplo para sumar 5 y 9 que se mostró en la sección 10: //
/// +
///
//// =
////
+
//
=
// ∩
=
∩ //
(/// ///)
Cuando se completan 10 palotes se reemplazan por el numeral correspondiente ∩ . Como cuando se cambian 10 monedas de $1 por una de $10! El lector debe practicar otras sumas en éste y otros sistemas aditivos. Es al fin y al cabo un ejercicio de tenderos. Ahora bien, cuando se suma en sistemas posicionales el principio es el mismo: Si trabajamos en base 10, reunimos primero las unida des, si ellas sobrepasan a 10, guardamos una decena, así reunimos luego las decenas, siempre que encontremos diez decenas guardamos una centena y así sucesivamente. La razón por la cual cuando suma mos las cifras de un columna si la suma pasa de diez "llevamos" a la siguiente columna, lo que estamos haciendo es cambiar billetes de una denominación por otro de una denominación mas alta. El argumento también es válido para bases diferentes de diez. Si se trabaja en base b, para sumar dos números se van sumando sus cifras correspondientes y cuando la suma sobrepasa b se "lleva 1" a la columna siguiente. Así, si vamos a sumar (312)5 y (33)5
podemos colocar los números como si fuéramos a sumarlos en sistema induarábigo y sumamos columna por columna, de derecha a izquierda, teniendo en cuenta que cuando la suma sobrepase 5 escribimos la suma menos 5 y "llevamos 1" a la siguiente columna. 312 33 400 Al sumar los números de la primera columna de la derecha, las unidades, obtenemos 2+3=5, pero el dígito 5 no existe, en base 5 es 10 por lo tanto se escribe 0 y se lleva 1. Entonces en la segunda columna sumamos 3 y 1 y el 1 que llevábamos, obtenemos de nuevo 10 (o sea 5 ), escribimos 0 y llevamos 1 a la tercera columna. Ahora describiremos este algoritmo de manera mas precisa pensando en una máquina que recibe números hasta de n+1 dígitos y trabaja en base b. El fundamento del algoritmo lo especificamos en la siguiente proposición: Proposición 1. Si a=(an an-1 ... a0)b y entonces a+b=(cn+1 cn ... c0)b donde los ci se calculan así: r0=0, si ai+bi+rib entonces ci=ai+bi+ri-b y ri+1=1 cn+1=rn+1. Demostración. (Ejercicio). Los ri indican lo que se lleva de la anterior columna. Claro que si la máquina recibe sólo números de n+1 cifras cuando rn+1=1 esto significa que la suma ha rebosado la capacidad de la máquina y se debeemitir una señal de error. Supongamos que la máquina trabaja con b=2 como en realidad sucede con los modernos computadores. Un sumador lo podemos ver como una caja negra (en cuanto no nos interesa cómo actúa internamente) que recibe tres entradas, dos por donde llegan los números que se van a sumar dígito a dígito y otra por donde se retroalimenta con lo que "lleva". El sumador tiene además dos salidas: una por donde indica los dígitos de la suma y otra que indica cuanto lleva y retroalimenta al sumador pasando por un "delay" que retiene
la señal por un "instante" (estos aparatos funcionan controlados por un reloj que emite pulsos en intervalos de tiempo muy pequeños). ai bi
si
Sumador
ri+1
ri Dela
Figura 1. Diagrama de un sumador secuencial
La figura 1 muestra un esquema del sumador en donde ai y bi son los dígitos de los números a sumar, ri es lo que se lleva y si indica los dígitos de la suma. Los ai y bi entran externamente, mientras los ri son producidos por el mismo sumador salvo r0 que es 0. Insistimos en que el fundamento de este sumador es el mismo que el de la suma usual y que se expone en la proposición 1. En cierto sentido el sumador sabe sumar dos cifras en base 2. Esto es muy fácil y se lleva a cabo según se indica la tabla 2. ai 0 0 0 1 0 1 1 1
bi 0 0 1 0 1 0 1 1
ri 0 1 0 0 1 1 0 1
si 0 1 1 1 0 0 0 1
ri+1 0 0 0 0 1 1 1 1
Tabla 2. Salidas de acuerdo a las entradas del sumador secuencial. Recomendamos al lector hacer un análisis similar cambiando la operación suma por la resta. Habrá que elaborar y probar una proposición análoga a la proposición 1 para en base a ello describir el método general de restar (que es válido en cualquier base), y luego elaborar una tabla análoga a la tabla 2 que nos indique cómo funcionaría un "restador secuencial".
La multiplicación usual. Sabemos ya que el algoritmo usual que se utiliza para sumar es válido en cualquier base. La primera pregunta que nos proponemos responder es la siguiente: Es válido el algoritmo usual de la multiplicación en cualquier base? Antes de responder esta pregunta deberemos describir generosamente este algoritmo. Se distinguen dos casos : Multiplicación de cualquier número por otro de una sola cifra y multiplicación de dos números cualesquiera. En cualquier caso el primer paso consiste en memorizar unas odiosas tablas de multiplicar. Consiste en aprender "de memoria" (o guardar en memoria ?) el producto de todos los números de una sola cifra. En base 10 debemos aprender 81 resultados! Para la multiplicación de cualquier número por otro de una sola cifra el procedimiento secuencial es parecido al de la suma: se va multiplicando cifra por cifra y se "lleva" las decenas para irlas acumulando con el siguiente producto. Recordemos: 234×6: 6 por 4 da 24 escribe 4 lleva 2; 6 por 3 da 18 y 2 que se llevaba son 20, escribe 0 y lleva 2; 6 por 2 da 2 y 2 que se llevaba son 14, como no hay más cifras escribe 14. Sabiendo que para multiplicar por la 10 simplemente se agrega un cero la fundamentación del algoritmo radica en la ley distributiva. Para el ejemplo, el procedimiento quedaría claro si lo escribieramos así: 234×6 = (2×100 +3×10+4) ×6 = (2×100 +3×10) ×6+4×6 = (2×100 +3×10) ×6+2×10+4 = (2×100) ×6+(3×6+2) ×10+4 = (2×6×100)+(2×10+0) ×10+4 = (2×6+2) ×100)+0×10+4 = (1×10+4)×100+0×10+4 = 1×1000+4×100+0×10+4 = 1404
Este procedimiento que indudablemente es mas largo pero en él todo queda justificado, lo denominaremos multiplicación PASO A PASO. Proposición 2.
Si k=(anan1...a0)b y t es un número de una sola cifra entonces
kt=(cn+1cn...c0)b donde los ci se calculan así: r0=0, si ait+ri=(ef)b entonces ci=f y ri+1=e Demostración. (ejercicio). Mas importante que la demostración de la proposición 2, es comprender su significado: describe y justifica el algoritmo usual para multiplicar un número cualquiera por otro de una sola cifra. Para visualizar esto volvamos al ejemplo de la multiplicación de 234 por 6. En este caso según la notación de la proposición 2, b=10, c0=4, c1=3, c2=2 y t=4. La siguiente tabla muestra el procedimiento, que es el mismo utilizado anteriormente en donde los ri indican lo que se "lleva": i 0 1 2 3
ai 4 3 2 0
ri 0 2 2 1
(6ai+ri) 24 20 14 2
ri+1 2 2 1 0
ci 4 0 4 1
La proposición 2 además implica que el algoritmo para multiplicar en base 10 por un número de una sola cifra es válido para cualquier base. Trabajemos por ejemplo en base 5. La tabla dela suma y el producto se muestran en la tabla 3. + 1 2 3 4
1 2 3 4 10
2 3 4 10 11
3 4 10 11 12
4 10 11 12 13
2 2 4 3 11 4 13
×
3 11 14 22
4 13 22 31
Tabla 3. Sumay producto en base 5
Hallemos el producto de (323)5 y 4 tendríamos: b=5, a0=3, a1=2, a2=3, t=4. Deseamos hallar, según la proposición 2, los ci.
i 0 1 2 3
ai 3 2 3 0
(ait+ri)b 22 20 24 2
ri 0 2 2 2
ri+1 2 2 2 0
ci 2 0 4 2
Tenemos entonces que (323)5 4=(2402)5, como prueba podemos pasar a base 10: ×
(323)5=3×25+2×5 +3=(88)10 y (2402)5=2×125+4×25+2=(352)10, y en efecto sabemos que 88×4=352. El lector deber ejercitarse en la multiplicación de un número cualquiera por otro de una sola cifra para cualquier base. Esperamos que así quede explicado totalmente este caso. Para la multiplicación de dos números cualesquiera el algoritmo usual es también válido para cualquier base. Para multiplicar, por ejemplo, 342 por 135, primero multiplicamos 5 por 342, luego 3 por 342 y colocamos este producto un lugar corrido a la izquierda, finalmente 342 por 1 y colocamos el resultado dos lugares hacia la izquierda para así hacer la suma que nos proporciona el resultado. 342 × 135 1710 1026 342 46170 Lo aparentemente extraño en este procedimiento es por qué se corren los resultados a la izquierda. Esto queda claro si lo escribimos así: 342×5 342×30 342×100 342×135
= = = =
1710 10260 34200 46170
Este procedimiento se deriva entonces de la aplicación de la ley distributiva del producto y del hecho que al multiplicar por 10 (la base) se agrega un cero. Es fácil ver que entonces nuestro procedimiento es válido en cualquier base. Ahora bien en base dos se tiene la gran ventaja de que no toca aprender tablas de multiplicar, basta con saber sumar, pues multiplicar por 0 y por 1 es trivial. LA DIVISION USUAL: El algoritmo utilizado usualmente para dividir es de todos indudablemente el más confuso. Se invita al lector a que haga una prueba no matemática: Pregúntele a diez personas de nivel universitario el por qué hace las divisiones de la forma corriente, y si alguno le explica satisfactoriamente el por qué, regálele mil pesos. Seguro no gastar mucha plata! Nos limitaremos a traducir una división corriente por la misma pero paso a paso, con la esperanza de que el lector dilucide qué es lo que se hace para poder diseñar una forma de escribir las divisiones sin que se pierda la esencia de lo que se hace. Pensemos en dividir 3472 entre 32: 3472 32 -32 108 272 -256 16
Ahora observemos la misma división PASO A PASO: 3472 = = = = = =
3400+72 100×32+200+72 100×32+272 100×32+8×32+16 (100+8)×32+16 1080×32+16
Recordemos primero que cuando se trata de dividir a entre n lo que se busca es un cociente q y un residuo r tal que a=bn+r y que 0
dividir 272 entre 32 se puede ir multiplicando, 32 por 1 luego por 2 y así hasta que el producto supere a 272. Este método se sugirió en la sección anterior. Pero para dividir 3472 entre 32 habría que hacer entonces 108 productos, cosa nada practica ! Según se ve en la división paso a paso del ejemplo, lo que se hace es primero dividir 3400 entre 3200 (aparece 1 al cociente) luego se divide 270 entre 320 (aparece el 0 del cociente) y finalmente 272 entre 32 (aparece el 8 del cociente y el residuo final). Para la división el algoritmo usual también es válido cuando se trabaja con otras bases. Dividamos por ejemplo (2324)5 entre (13)5. Por comodidad omitamos la referencia a la base para este ejemplo. Los primeros múltiplos de 13 en base 5 son: 13, 31, 44, 112; empezamos dividiendo 2300 entre 1300 nos da 1 y sobra 1000; ahora debemos dividir 1020 entre 130, da 3 y nos sobra 1020-440=30. Finalmente dividimos 34 entre 13 no da 2 y sobra 3. Esta división paso a paso la escribimos así: 2324 = = = = = = = =
2300+24 (13×1×100+1000)+24 13×1×100+1020+4 13×1×100+(13×3×10+30)+4 13×1×100+13×3×10+34 13×1×100+13×3×10+13×2+3 13×(1×100+3×10+2)+3 13×132+3
Y resumidamente según el algoritmo usual, la operación se puede escribir así: 2324 13 102 132 34 3
COMENTARI O FINAL. El lector después de una lectura superficial a esta sección, puede pensar que lo que se ha hecho es complicar cosas que para él estaban muy claras. El primer avance es descubrir que los algoritmos usuales que se enseñan en la escuela primaria para las operaciones básicas no son tan claros, en especial el caso del producto y la división. Esto se entiende por cuanto estos algoritmos se impusieron por razones prácticas, como ya se dijo, y para los calculistas antiguos de pluma y papel, omitir los ceros, por ejemplo en el caso de la multiplicación, significaba ahorro de tiempo y tinta (que era muy costosa). Hoy en día, estas razones no son v lidas y el maestro del siglo XXI deber explicar estos algoritmos buscando primero su comprensión antes que la rapidez y efectividad en los cálculos. Queda pues el reto pedagógico de diseñar métodos para efectuar los mismos algoritmos de tal manera que el alumno no pierda de vista el sentido de lo que se est haciendo.
PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS
1. Efectuar en la base indicada: a. (231123)4+(322122)4 b. (A2B3)16-(BB1)16 c. (10110011000)2- (11101)2
2. Para multiplicar un número por 5 se le agrega un cero y se divide por 2. Demostrar que esta regla es válida cuando se trabaja en base decimal. Es v lida esta regla en otras bases?
3. a. Exprese un algoritmo para sumar d días, h horas, mminutos con d' días, h' horas, m' minutos. b. Exprese un algoritmo para restar d días, h horas, mminutos con d' días, h' horas, m' minutos.
4. Demostrar que si a=(anan-1...a0)b entonces ab=(anbnan-1...a0)b. Esto demuestra que para multiplicar un número escrito en base b por b simplemente se agregaun 0.
5. Al multiplicar un múltiplo de 3 menor que 30 por 37 se obtiene siempre como producto un número de 3 cifras iguales (base decimal). ¿Expliquepor qué?
6. Explicar el por qué del método de multiplicación de los campesinos rusos. (Ayuda: Exprese en base 2 el multiplicando que se va dividiendo ).
7. Demostrar la proposición 1 por inducción sobre n el número de cifras de los sumandos (ayuda: Si a=(anan-1...a0)b entonces a=anbn+(an-1...a0)b ) .
8. Una docena son 12 unidades y una grueza son 12 docenas. Usando aritmética en base 12 resolver las siguientes preguntas: a. Si 3 gruezas,5 docenas y 8 huevos se sustraen te un total de 9 gruesas y 2 docenas, cuántos huevos quedan. b. Si un supermercado recibe 3 cajas de remesas de huevos cada una de 3 gruesas 5 docenas y 8 huevos, cuantos huevos recibió en total. c. Si 11 gruesas, 10 docenas y 6 huevos se dividen en tres grupos de igual tamaño, con cuantos huevos quedacada grupo?
9. Efectuar las siguientes operaciones en la base indicada: a. (231123)4×(3)4
b. (A2B3)16×(3)16
c. (10110011000)2×(11101)2
d. (2313)4×(21)4
e. (10110011000)2÷(11101)2
f. (1123)4÷(12)4
10. Efectuar las operaciones de los ejercicios 2 y 9 ,paso a paso.
11. (Base decimal). a. Demostrar que si se toma un número de 3 cifras no repetidas y se suma con otro con las mismas 3 cifras pero en sentido contrario, y se resta del mayor el menor, se obtiene siempre un número de tres cifras cuyas cifras de los extremos suman 9 y la intermedia es 9. b. Si a,b,c son tres dígitos tales que a+c=9 y b=9 entonces demuestre que (abc)10+(cba)10=1089 c. Lo anterior justifica el siguienteacertijo: Piense un número de tres cifras cualesquiera (ejemplo 347) sin divulgarlo tome el número con las cifras contrarias (743) y reste del mayor el menor (743-347=396), el resultado súmele el mismo número pero de cifras contrarias (396+693=1089) siempre se obtiene1089 .
12. Para elevar al cuadrado un número que escrito en base decimal termina en 5 (por ejemplo 145) se toma el numero que queda al omitir el 5 (es decir 14) y se multiplica por su siguiente (14×15=210) al resultado se le adjunta 25 y ese es el cuadrado del número ( 1452=21025 ). a. Demostrar que esta regla es válida. b. Enuncie y demuestre una regla similar para elevar al cuadrado números que, escritos en base 2b, terminen enb.
13. Análogo al sumador secuencial que se presentó en esta sección: a. Construir un "sustractor secuencial" para números escritos en base 2. b. Construir un "duplicador secuencial" para números escritos en base decimal.
14. Para multiplicar en base decimal se puede utilizar la siguiente regla: "Sumar a cada dígito, si es par la mitad de su vecino a la derecha, si es impar sumarle 5 además ( las mitades se consideran en su parte entera y el vecino del primer dígito, de derecha a izquierda, es el 0)"
Por ejemplo para multiplicar 152 por 6 2 no tienevecino a la derecha y es par, pasa
2
5 su vecino es 2, mitad 1, 5+1=6 como 5 es impar se le agrega además 5, obteniéndose11, llevamos 1 y pasa
1
1 su vecino es 5, mitad 2, suma 7 mas lo que llevábamos nos da 8 y como 1 es impar se suman 5 obteniendo
13
el producto es…………………………………............................................1312
a. Describir formalmente el algoritmo. b. Explicar formalmente por qué funciona (Ayuda: Nótese que multiplicar por 6 es multiplicar por 5+1. Aproveche el ejercicio 2 de esta sección).
15. Diseñe un método para dividir dos números que sea el inverso de la multiplicación de los campesinos rusos.
16. Demostrar la proposición 2 por inducción sobre n el número de cifras del número de varias cifras que se va a multiplicar (ayuda: Si a=(anan-1...a0)b entonces a=anbn+(an-1...a0)b
" A parte delas imágenes que es todo lo que podemos ver realmente, imaginemos un mundo de cosas sólidas; y ..., este mundo está constituido de tal manera que cumple un cierto código de reglas, algunas llamadas axiomas, otras definiciones, otras postulados y algunas admitidas en el curso de la demostración ..." WILLIAM K. CLIFFORD (1845-1879)
A1. EL MÉTODO AXI OMÁTI CO.
Hemos visto anteriormente algunas demostraciones. Se hace una demostración para despejar dudas sobre una proposición viendo que ella se deriva de otras de las cuales no se tienen dudas. Pero “tener dudas” es algo relativo. Podría suceder lo que pasa ante un niño que pregunta y al obtener la respuesta hace otra pregunta y así indefinidamente. Lo mismo sucede con las definiciones. Se define un término conocido en base a otros ya conocidos, pero estos a su vez, para no dejar dudas, necesitan ser definidos y así sucesivamente. ¿Hasta cuándo? Parece que las explicaciones de la vida terminan en círculos viciosos. (Terminan?)
Históricamente, hasta donde se conoce, los griegos fueron los que hicieron demostraciones matemáticas. Pitágoras o alguno de sus alumnos, demostró el teorema que lleva su nombre, ya conocido por civilizaciones anteriores como la de babilonia; los pitagóricos y otras escuelas lograron otras demostraciones tanto de proposiciones de la geometría como de la aritmética. Fue Euclides quien elaboró un cuerpo admirablemente armónico de todos sus conocimientos en sus famosos “ELEMENTOS DE GEOMETRÍA” en donde todas las proposiciones eran demostradas a partir de otras que ya lo habían sido (TEOREMAS) o que eran aceptadas desde un principio como verdades (AXIOMAS)
Los “Elementos de Geometría ” de Euclides forman una de las obras más importantes de toda la historia y por más de veinte siglos son la base de la enseñanza de la geometría y la matemática en el mundo occidental. El método axiomático desarrollado por los griegos, esto es, a partir de verdades aceptadas e indiscutibles para que por medio únicamente de raciocinios lógicos se lleguen a otra s no triviales, se convierte en la máxima aspiración de filósofos y científicos de casi todas las épocas, algunas veces con gran éxito como en el caso de la mecánica de Newton. Pero la geometría de Euclides tuvo su gran crisis en el siglo XIX cuando la discusión sobre el quinto postulado(*) desemboca en la construcción que hacen Lobachewsky y Bolyai y más tarde Riemman, de geometrías que contradicen dicho postulado y conservan todo su rigor lógico. Surgen pues, muchas inquietudes que obligan a replantear ¿QUÉ EL MÉTODO AXIOMÁTICO? ¿Cuál es la “verdadera geometría”? La que adopta como axiomas las “verdades evidentes?” Pero, las “verdades evidentes” son claramente relativas y no siempre son verdades universales pues en principio, por ejemplo, es evidente que la tierra es plana y que el sol gira alrededor de ella, pero sabemos que esto no es así. Hoy día el método axiomático sigue siendo tan importante como antes aunque en las épocas modernas la concepción general sobre dicho método ha cambiado. Hay dos diferentes que resaltamos: Primero, la teoría que resulta susceptible de ser aplicada no sólo a una situación particular sino a todas aquellas donde los axiomas, dándoles cierta interpretación, se cumplen; en estos casos se dice que se tiene un MODELO para la teoría. Segundo, los axiomas ya no se entienden con verdades autoevidentes por sí mismas, sino que se consideran simplemente como proposiciones de las que se parte para de mostrar todo lo demás. Casi siempre se trabaja con referencia a un modelo, por lo que hay que tener sumo cuidado pues, puede haber verdades “evidentes” según el modelo, pero que necesitan ser demostradas por todos los modelos posibles.
Ahora bien, cuando se trabaja con pocos axiomas loa posible modelos son generalmente muchos. A medida que se agregan axiomas el número de modelos va disminuyendo hasta que se reduce básicamente a uno. En este caso se han logrado definir los elementos de dicho modelo, de manera implícita, pues no se ha dicho que son, cual es su naturaleza, sino que se han dado ciertas propiedades entre ellos que en fin de cuentas los caracterizan. Esto es lo que haremos a continuación para captar el concepto de número entero axiomáticamente. Empezaremos mencionando los axiomas para dominios enteros que se refieren a las operaciones de suma y producto (+,·), pero, para este sistema hay muchos modelos: los enteros, los polinomios, las clases residuales, los números racionales, los reales, etc. Entonces introduciremos unos axiomas que se refieren al orden hasta que básicamente no encontramos sino un modelo: Los números enteros. Esperamos que esta introducción sirva al lector para que no se extrañe al demostrar cuestiones que para él siempre han sido evidentes como que el cero multiplicado por cualquier número siempre es cero, o que el uno (1) es el primer entero positivo. Demostraremos precisamente todas estas propiedades básicas de los enteros.
A2. AXIOMAS DE L OS ENTE ROS No definiremos que es un número entero, ni la suma ni la multiplicación entre ellos. simplemente diremos que los enteros están dotados de estas operaciones (+,·) las cuales caracterizamos por cumplir los axiomas. Además aceptamos la existencia de dos enteros 0 y 1 (diferentes) de manera que se cumple: AXIOMAS ALGEBRAICOS Siendo a, b, c, d enteros cualesquiera se cumple: 1. CLAUSURA: a=c y b=d ⇒ (a+b)=(c+d) 2. ASOCIATIVIDAD: (a+b)+c=a+(b+c) (a·b)·c=a·(b·c) 3. MODULATIVA: a+o=a y a·1=a 4. I NVERSOS ADITI VOS: Existe (-a) tal quea+(-a)=0 5. CONMUTATIVA: a+b=b+a) a·b=b·a 6. DISTRIBUTIVA: a·(b+c)=a·b+a·c 7. CANCELAT IVA PARA EL PRODUCTO: Si a≠ 0 a·b=a.c⇒b=c Estos axiomas los cumplen los enteros, como es fácil ver; pero hay otros objetos, sistemas, que también los cumplen. Cuando un conjunto (no importa la naturaleza de sus elementos) dotado de dos operaciones (no importa lo que ellos signifiquen) cumplen los axiomas algebraicos anteriores se llama DOMI NIO ENTERO o un dominio de integridad (Integral Domain). A continuación mostraremos algunos ejemplos:
Ejemplo 1. El dominio entero más pequeño en el que se puede pensar debe tener por lo menos dos elementos: el uno y el cero. Sea A={0,1} y definamos las operaciones + y · como se indican en los cuadros:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
Entonces se verifican todos los axiomas. La clausura se garantiza por la manera como se han definido las operaciones. La conmutativa para + se ve haciendo tadas las combinaciones posibles, se ve que 0+1=1=1+0 1+1=0=1+1 0+0=0=0+0 Así se prueba todos los axiomas Ejemplo 2. Sea A={a,b,c,d} y se definen las operaciones así + a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
· a b c d
a a a a a
b a b c d
c a c a c
d a d c b
En este caso como en el anterior, hay que demostrar cada propiedad observando la posibilidad. Vemos que el papel del 0 es jugado por a mientras que b hace el papel del 1, pues son módulos para el producto y la suma, respectivamente. Se ve, pues que se cumplen todas las propiedades a excepción de la cancelativa para el producto. En efecto la cancelativa exige que si x≠ 0 para todo y, z se tiene quexy=yz debe obligar y=z. En nuestro caso c≠ a (hace el papel de 0) y se tiene cb=cd sin embargo b≠ d. Ejemplo 3. Los números reales R y los racionale Q son como los enteros, dominios enteros. Es más, R y Q tienen propiedades queno tiene Z (¿cuáles?).
Ejemplo 4. Sea A el conjunto de polinomios con coeficientes reales, con la suma y multiplicación corrientes. A forma un dominio entero. El papel de 0 y 1 lo hacen los polinomios constantes de valores 0 y 1 respectivamente. PROPIEDADES Proposición 1. El "0" es único como módulo de la suma. Demostración: Supongamos que existe otro elemento, llamémoslo 0' que se comporta como módulo, o sea para todo x∈Z se cumple que: x+0'=x. En especial para 0 y aplicando conmutativa se tendrá 0'+0=0. (1) y como 0 es módulo se tendrá 0'+0=0'. que en combinación con (1) por clausura, obliga 0=0'. g Proposición 2. El "1" es único como módulo del producto. Demostración: (Ejercicio) Proposición 3. El universo aditivo es único. Demostración: Supongamos que (-a) y a' son inversos aditivos de a por lo tanto se deben cumplir: (-a)+a=0
(1)
a'+a=0
(2)
De (2) por clausura: (a'+a)+(-a)=0+(-a)
Como 0 es módulo y asociando a la izquierda tenemos: a'+(a+(-a))=(-a) Pero: (a+(-a))=0 Entonces: a'=-a. Proposición 4. a·0=0 Demostración: Por modulativa 0+0=0, y multiplicando por a La clausura asegura que a(0+0)=a·0 Vemos quea·0 está actuando como módulo aditivo por la Proposición 1 se tiene que a·0=0 Proposición 5. (-1)a=-a Demostración: La idea es ver que (-1)a es el inverso aditivo dea. Calculemos pues (-1)a+a por clausura como 1a=a tenemos: (-1)a+a=((-1)+1)a. Pero (-1)+1=1+(-1)=0 Por lo tanto (-1)a+a=0· a Y la proposición 4 nos asegura que (-1)a+a=0 lo cual por proposición 3 nos indica que -a=(-1)a Pues (-1)a según (1) actúa como módulo. Proposición 6. -(-a)=a.
(1)
Demostración: Se trata de ver, apoyándonos de nuevo en la proposición 3, que aactúa como inverso aditivo para (-a) y esto es claro pues a+(-a)=(-a)+a=0 Proposición 7. (-1)·(-1)=1 Demostración: (Ejercicio) Proposición 8. (-a)(-a)=a·a Demostración: (Ejercicio) Proposición 9. La ecuación x+b=c, cualesquiera que sean b y c, tiene una única solución: Demostración : Si hacemos x=c+(-b) y reemplazando en la ecuación vemos que este valor la satisface. Esto asegura que existe al menos una solución. Veamos que ésta es la única. Supongamos otra, o seax' se cumple también: x'+ b=c Entonces por clausura: (x'+b)+(-b)=c+(-b) asociando en el miembro de la izquierda: x'+(b+(-b)=c+(-b) Pero como b+(-b)=0 aplicando modulativa se obtiene x'=c+(-b)
o seax'=x lo que indica que la solución es única. NOTACION: Se notaráa-bal elemento a+(-b). Proposición 10. En un dominio entero no hay divisores de cero, es decir, si ab=0 entonces se debe tener que, o biena=0, o bien b=0. Demostración: Esto es una consecuencia del axioma 7, o sea la ley cancelativa del producto. En efecto, supongamos quea·b=0 y a≠ 0. Por lo tanto se tiene a·b=a·0 Aplicando el axioma debemos tener que b=0 De la misma forma vemos que si a·b=0 y b=0 entonces a≠ 0. Se ve entonces que siempre que un producto seanulo, uno de sus factores debe ser nulo. EJ ERCICIOS 1. SeaA={0,1,2} indicar si los axiomas de dominio entero se cumplen para las operaciones definidas como indican las tablas a) + 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 2
2 2 0 0
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 2
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 2
b)
¿Quién hace el papel de 1?
c) + 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 1 2
1 1 1 2
2 2 2 2
2. Sea x un conjunto y A el conjunto de todos los subconjuntos de x. Entonces la ∪ e ∩ ; son operaciones definidas en A. Entendiendo la ∪
como la suma y la ∩ como
producto, ¿Cuáles axiomas de dominio entero se cumplen? 3. Complete la tabla de multiplicación para que el conjunto A={0,1,2,3,4} forme un dominio entero + 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 4
2 2 3 4 0
3 3 4 0 1
4 4 0 1 2
+ 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
NOTA: 4 juega el papel de módulo para el producto. Para averiguar, por ejemplo, cuanto es 2·3 se sabe que 4+4 =3 entonces 2·3=2(4+4)=2·4+2·4=2+2+4 4. Demuestre la Proposición 2. 5. Demuestre la Proposición 7. 6. Basándose en la Proposición 7 demostrar 8. 7. Demuestre que en un dominio entero si a, b, c, d son elementos cualesquiera, se cumplen las siguientes igualdades (justifique cada paso): a) a·(b-c)=a·b-c·d b) (a-c)+(c-d)=(a-d)
c) (a+b)·(a+c)=a·a+(b+c)·a+b·c d) (a-b) e) (a-b)·(a+b)=(a·a)-(b·b) f) (a-b)·(c-d)=(a.c+b.d)-(b.c+a.d) 8. Demuestre que si en un dominio entero x+a =x+b entonces a =b (cancelativa suma). 9. Se definea2=a·a demuestre que (a+b)2=a2+2ab+b2 y que (a-b)2. 10. Diga dóndeestáel error de la siguiente demostración: "Como 6=6 y 2=2 puedo decir que 6+2 =6+2 lo cual ímplica que 6-6 =2-2 y se tiene 3(2-2)=1(2-2) de donde 3=1" 11. EnZ se define: a⊕b=a+b-1
a⊗b= a.b - (a + b) + 2
Demostrar que (Z, ⊕, ⊗) también forma un dominio entero en donde el módulo para + es 1. ¿Cuál es el módulo para el producto?
12. Demostrar que los números reales dela formaa+b 2 de donde a, b son enteros forman un dominio entero.
13. Entre las matrices 2X2 con coeficientes reales está definida la suma y la multiplicación, sin embargo, no se forma un dominio entero. (¿Porqué?)
⎛ a − b ⎞ ⎟⎟ reales sí forman un dominio entero. 14. Demuestre que las matrices de la forma ⎜⎜ b a ⎝ ⎠
A4. EL PRINCIPI O DEL BUEN ORDEN
Como vimos en la sección anterior Z es un dominio entero ordenado, pero no es único, pues existen otros radicalmente diferentes. En esta sección introducimos un nuevo axioma llamado "Principio de Buen Orden" y desarrollamos sus consecuencias. Este axioma caracteriza a los enteros en cuanto el único dominio entero ordenado que lo cumple es Z (salvo notación). No podemos mostrar ejemplos radicalmente distintos, pues como se puede demostrar (1) básicamente no hay sino un ejemplo. Otro problema es saber si con estos axiomas podemos demostrar cualquier proposición que sea cierta en Z. La sorprendente respuesta a este problema fué dada por G del alrededor de 1930 y se la dejamos como inquietud al lector. Antes de enunciar el citado axioma, damos otra definición que corresponde a la intuición. Definición 1. Sea A un subconjunto de un dominio entero ordenado. Se dice que a es el primer elemento de A. sí y sólo sí, a∈ A y a< x para todo x∈ A.
Es claro que si un conjunto tiene primer elemento, es único. Por otra parte hay subconjuntos no vacíos de un dominio entero que no poseen primer elemento, considérese por ejemplo el conjunto de números pares como subconjunto deZ. AXIOM A DEL BUEN ORDEN:
Todo subconjunto no vacío de positivos tiene un primer elemento.
Por las razones explicadas anteriormente, habiendo aceptado este axioma sólo nos referíamos a Z; tenemos pues que todo subconjunto no vacío de enteros positivos tiene un primer elemento, en especial los enteros positivos deben tener un primer elemento. Proposición 1. El primer elemento de los enteros positivos es 1.
Demostración. Supongamos que existe un elemento c positivo que está antes que 1, a sea
que: 0
Por el principio de buen orden A debe poseer un primer elemento, llamémoslo a. Como a∈A entonces:
0
Sumando (-a) a estas dos desigualdades nos queda 0
ii) Si x∈ A⇒ (x+1)∈ A En estas condiciones A coincide con los enteros positivos. Demostración. Sea B el conjunto de enteros positivos que no están en A.
Si B es no vacío, por el principio de buen orden debe tener un primer elemento llamémoslo b. ¿Qué ocurre con b-1? Es entero y positivo pues b=1 ya que 1∈A; entonces b-1 puede
pertenecer o no a A. Analicemos ambos casos: a. Si b-1 es elemento de A por la hipótesis ii) se tiene que (b-1)+1∈A o sea que b∈A lo
cual es imposible pues b∈B. b. Si b-1 no es elemento de A pertenece a B, pero b-1< b entonces b no sería el primer
elemento de B, contrario a lo supuesto. Ambas proposiciones nos lleva a negar la existencia de b y la única posibilidad es que B sea vacío o sea que A comprende todos los enteros positivos. Corolario. Sea A un conjunto y a un entero tal que: i) a∈ A ii) Si k∈ A se puede asegurar que a+1∈ A entonces A comprende todos los enteros mayores que a. Demostración. Sea B={x-a+1| x∈A} demuéstrese por inducción que N⊆B. Sea y entero
tal que y>a entonces y-a+1∈N, lo que implica que (y-a+1)∈B o sea y∈A. Otra forma del principio de inducción se da en el ejercicio 4. El principio de inducción también sirve para definir funciones evaluadas en números enteros a partir de k: Proposición 3. (Definiciones Recursivas) Si se conoce el valor de f(k) y si conociendo el valor de f(n) se puede conocer el valor de f(n+1), entonces se conocen los valores de f para todo entero mayor o igual a k.
Demostración. (Ejercicio)
El lector debe estar familiarizado tanto en las demostraciones por inducción como con las definiciones recursivas; aquí ilustraremos estas aplicaciones con la demostración de un hecho muy sutil con el cual estamos tan familiarizados que no se ve generalmente la necesidad de su demostración. El axioma de asociatividad que se dió para dominios enteros se enuncia para tres ejemplos e intuitivamente se dá uno cuanto que es válida para n elementos o sea que en una suma de n elementos se pueden eliminar los paréntesis (por esta razón, se puede hablar de "una suma de n elementos" no así de "una resta de n elementos"). Demostraremos formalmente este hecho. Primero definíamos lo que sería (...((a1+a2)+a3)+...)+an-1+an para a1, a2,..., an-1, an elementos de un dominio entero. Definición. Sean a1, a2,..., an,... elementos de un dominio entero. Se define: i) S1=a1 ii) Si+1=Si+ai+1
Así mismo definimos S -r- para k > r -r+1i) Srr +1 =ar+1 k+1
ii) Sr=Sr
+ak+1
Nota. Obsérvese que intuitivamente Si = (...(a1+a2)+a3)+...+ai-1)+ai y Srk = (...((ar+1+ar+2)+...+ak-1)+ak Si se define por inducción sobre i y Sk por inducción sobre k.
con (k>r)
Proposición 4. (Ley Asociativa Generalizada) En las condiciones de la definición anterior se tiene que para todo n≥ 3 y para todo k
Demostración. Haremos inducción sobre n: i) Para n=3 tenemos: S1=a1; S2=a1+a2; S3=(a1+a2)+a3
Si k=1: S12 =a2 y S13 =a2+a3 Sk+Skn =S1+S1=a1+(a2+a3)
Y aplicando asociativa al último término de ésta ecuación vemos que Sk+Skn =(a1+a2)+a3
ó sea Sk+Skn =Sn
Si k=2 compruébelo usted mismo. Es mas fácil! ii) Supongamos ahora que el teorema es válido para n es decir que para 0
Pero Spn 1 =Spn +an+1 por definición y así mismo +
Sn+1=Sn+an+1
entonces Sp+Spn 1 =Spn +( Spn +an+1)=(Sp+Spn )+an+1 +
Aplicando la hipótesis deinducción al último miembro de la igualdad vemos que: Sp+Spn 1 =Sn+an+1 +
Lo que implica que Sp+Spn 1 =Sn+1 +
Completando la demostración.
EJ ERCICIOS 1. Definir Ultimo Elemento de A para A un subconjunto de un dominio entero ordenado. 2. Mostrar un subconjunto delos reales positivos, no vacío, que no tenga primer elemento. 3. Usando el principio del buen orden probar que si k>0 y a es cualquier entero, entonces
existe un n∈Z tal que nk
principio de inducción es correcta: "Supongamos que a cada entero positivo n está asociado una proposición Pn Entonces Pn es cierta para cada entero positivo n si cumple: i) P1 es cierta ii) Si k es un entero positivo tal que Pi es cierta para todo i
cierta". Esta forma del principio de inducción se llama "Principio de Inducción completa" 5. Completar la demostración del corolario de la proposición 2. 6. Demuestre la proposición 3. 7. Enuncie y demuestre la ley distributiva generalizada en un dominio entero.
11. NÚMEROS, NUMERAL ES Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN En el hombre de todas las épocas incluso en los más primitivos encontramos una facultad que podemos llamar el "sentido del número": facultad que le permite reconocer de alguna manera si de su pequeña colección de objetos se ha substraido o añadido alguno. Este sentido del número no debe ser confundido con la facultad de contar, que es probablemente mucho más reciente y que implica un proceso mucho más complicado. El origen del concepto del número está escondido tras del impenetrable velo de las incontables y remotas edades prehistóricas. Nos podemos dar una idea de cómo sucedió este desarrollo observando el estado mental de algunas tribus salvajes actuales correlacionándolo con el análisis socioantropológico de los diferentes estados del hombre primitivo y con hallazgos de vestigios de numeración escrita. Podemos partir de un sentido rudimentario del número, de alcance no mayor del que tienen algunos pájaros y suponer que éste fue el núcleo del que surgió nuestra idea del número. Sin duda alguna esta tan reducida capacidad mental hubiera llevado al hombre a un estancamiento total y no hubiera evolucionado más de lo que lo hacen o han hecho dichos animales. Pero a través de los siglos, las circunstancias economicosociales en las diferentes culturas hace que el hombre poco a poco vaya cambiando su concepción tan limitada del número. Muchos pueblos primitivos registran el número de sus rebaños, o de sus soldados, mediante inscripciones hechas en un trozo de madera o por medio de piedras puestas en una fila; entonces este hombre no hace otra cosa que comparar dos conjuntos pero es incapaz de crear el número como signo o concepto . Pasa el tiempo y el hombre encuentra signos, modelos para comparar en el medio que lo rodea: Las alas de un ave, para representar el dos, las patas de un animal para el cuatro, los dedos de la mano para representar el cinco, etc., y así poco a poco mientras avanza la
interminable evolución, este hombre va empleando mejor, enriqueciendo su lenguaje y reemplaza los sonidos por imágenes y los modelos originales toman la forma abstracta de los nombres de los números. Más tarde los modelos se organizan y se disponen en una sucesión que progresa en magnitudes crecientes, es decir una sucesión natural: uno, dos, tres,.... Así, una vez creado este sistema, contar era entonces asignarle a cada elemento de un conjunto dado un término de ésta sucesión hasta que la colección se agota y al último elemento se le asignaría un término el cual nos daba el dato de la cantidad de objetos de la colección. Vemos que el apareamiento por sí solo es incapaz de crear un arte de calcular. Sin nuestra facultad para disponer los objetos en sucesión ordenada, pocos progresos podían haberse obtenido.
Distingamos entonces el concepto abstracto de Número, del concepto de
numeral, que es el signo (sonoro y/o escrito) tal que le corresponde un número, y de un sistema denumeración, que es el esquema sistemático para nombrar los números. Así nuestro sistema denumeración es el hindoArábigo, sistema posicional en base diez, que nació en la India hace unos 2500 años y que fue llevado a Europa por los árabes, dándose a conocer en los siglos XIII y XIV e imponiéndose definitivamente en la cultura occidental con el desarrollo de la cultura capitalista. Nuestro interés es profundizar en éste sistema de numeración y en otros sistemas posicionales con bases diferentes y con éste fin describiremos algunos sistemas denumeración antiguos. Un sistema primitivo de cuentas usaba solamente un símbolo: una marca o una raya el cual era repetido de acuerdo a la necesidad. Pero para representar un número muy grande resultaba inconveniente pues demandaba el uso de tantas marcas como fuera la magnitud del número a representar, lo cual limitaba el uso del sistema. Si por ejemplo queríamos sumar dos cantidades cualesquiera tendríamos:
/ / / / / / / / / / / / / / / +/ / / / / / / / / / / / / / / =/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / nos damos cuenta de la dificultad que representa adicionar cantidades que no sean muy pequeñas. Un sistema de cuentas más refinado surgió de la agrupación de marcas en fardos del mismo tamaño. Así por ejemplo la suma anterior quedaría:
Entonces cuando se trataba de contar un rebaño de ovejas se procedía a hacerlo en grupos de a tres y resultaba más práctico que contarlas una a una. Así a cada grupo de éstos se le asignaba un nuevo símbolo repitiéndose éste cuantas veces fuera necesario. Luego se creaba un nuevo símbolo que representase un número determinado de los símbolos anteriores y así repitiendo este proceso de creación de nuevos símbolos como repetición de símbolos anteriores según las necesidades prácticas del conteo se obtiene un sistema de numeración que hoy en día denominamos aditivo. Un ejemplo muy ilustrativo de un sistema de numeración aditivo es el sistema egipcio. El sistema numérico aditivo que adoptó la civilización egipcia (años 30000-700 A.d.C.) tenía como primeros nueve numerales los siguientes: // // /// // / /// /, / /, / / /, / /, / / /, / / /, / / /, / / /, / / / / /, / / /, / / / El arreglo de las marcas variaba y usualmente se disponía geométricamente; por ejemplo, un grupo de tres por tres representaba el nueve. La huella talón fue el nuevo símbolo que representó diez cuentas y se escribía como una ∪ invertida ∩ . Por ejemplo (combinando la moderna ecuación con el antiguo sistema denumeración egipcio), tendríamos: //
/// +
///
//// =
////
// + (/// + ///) = // + ∩ = ∩ //
La tabla 1 reproduce los numerales básicos de la numeración egipcia. Algunos ejemplos con su numeral correspondiente en sistema hindoArábigo, son los siguientes:
273
1983 =
=
1'240.350 =
Numerales egipcios
Numerales hindoarabigos
(Unidad)
1
Huella del talón
10
Lazo de cuerda
100
Flor de loto
1.000
Extremo de un dedo
10.000
Mustela
100.000
Hombre asombrado
1'000.000
Tabla 1. Numerales básicos según el sistema denumeración egipcio.
Es importante notar que éste sistema, como todos los sistemas de numeración aditivos no considera el cero y además cada signo no representa sino un único número no importa que lugar ocupeen la expresión numérica. Un sistema considerablemente más sofisticado que el egipcio fue el sistema griego que utilizaba 27 símbolos (del alfabeto, la mayoría) como se muestra en la tabla 2.
Arábigo Griego Arábigo Griego Arábigo Griego 1 2 3 4 5 6 7 8 9
α β γ δ ε ς
ζ η θ
10 20 30 40 50 60 70 80 90
ι κ λ ν ξ υ π ο
100 200 300 400 500 600 700 800 900
ρ σ τ υ χ
∏
Tabla 2. Numerales básicos griegos. Todo número menor que mil podía expresarse de manera aditiva por la combinación de a lo más tres de los símbolos básicos. Por ejemplo para escribir 273 los griegos utilizarían la siguiente combinación: Hasta aquí, el sistema griego es netamente aditivo con mucha economía en cuanto a el número de símbolos que utiliza para representar cada número determinado pero que a cambio exige conocer más símbolos para poder expresar pocos números.
Sin embargo para números mayores que mil su numeración tenía rasgos
posicionales ya que los múltiplos de mil se expresaban colocando un apóstrofe ' al número correspondiente. Así 3000 se expresaba colocando un apóstrofe ' a la derecha (tres) para obtener. De la misma manera para expresar 3273 se escribiría. Cuando se quería expresar múltiplos de 10.000 se colocaba el número correspondiente encima de una M. Así el número 99.909 se escribía: Este sistema tiene la propiedad de que ciertos símbolos ligeramente modificados o en determinadas posiciones cambian de valor, sin embargo para efectos prácticos tenían
desventajas con el mismo sistema egipcio (figura 2). De todas maneras ante la ausencia del cero no podemos considerar el sistema griego como posicional. Los sistemas posicionales se caracterizan por incluir un símbolo para el cero y por cada símbolo tiene un valor de acuerdo a la posición que ocupe en la expresión numérica. Además de la numeración hindoarábiga son posicionales los sistemas de numeración de la 125 4 215 4 340
HOY
(Egipcios) (Griegos)
ρκε +δσι∈ = ?
Figura 2. Tres formas de efectuar la misma suma. Nótese que el sistema griego es el menos práctico. antigua Babilonia así como el sistema que utilizó la civilización Maya de la América precolombina.
PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS. 1. ¿Qué tuvieron que ver las siguientes actividades con el desarrollo de la idea de número y los numerales: la agricultura, la ganadería, el comercio, la moneda y la religión.?
2. Escriba en numerales egipcios los siguientes números: a. 220
b. 746
c. 1342
d. 12 346
3. Escribir los numerales actuales de los siguientes números escritos con numerales egipcios:
a.
b.
c.
d.
4. ¿Cuál es el número entre 1 y 1000 que para ser escrito en numerales egipcios necesita más caracteres?
5. ¿Cuáles son los números que escritos en numerales egipcios utilizan exactamente seis caracteres?
6. Escribir en numerales griegos los números del ejercicio 2. 7. ¿Cuáles son los números entre 100 y 1000 que se escriben en numerales egipcios con un sólo carácter una o varias veces repetido?
8. Escribir en numerales actuales los siguientes números presentados en numerales griegos.
a. χµδ
b. γβ
c. γπε
d. σλβαυξη
9. Describir el sistema de numeración romano. 10. Escriba en numerales romanos los numerales del ejercicio 2. 11. La tabla 3 muestra los numerales básicos de la numeración chino-japonesa. Para formar otros números, por ejemplo el 60 se escribe 215 =+ (doscientos más un diez, más un cinco).
(seis dieces) o
Numeración actual
Numeración China-japonés
Numeración actual
1
7
2
8
3
9
4
10
5
100
6
1000
Numeración China-japonés
Tabla 3. Numerales chino-japonés. a. Escribir los números del ejercicio 2 en numerales chino japoneses. b. ¿Cuántos numerales a lo más se necesitan para representar un número menor que 1000?
c. Hasta cuántas veces pueden repetirse un carácter en esta numeración cuando se escribe un número de 1 a 1000?
12. Describir las características más deseables y menos deseables de un sistema de numeración.
13. Hacer un análisis comparativo de los cinco sistemas de numeración: El sistema de cuentas, la numeración egipcia, el sistema griego, la numeración romana y la chino japonesa.
12. NUMERACI ONES POSICI ONAL ES. Los sistemas denumeración utilizados por las antiguas civilizaciones: babilonia y maya son cada uno sistemas posicionales, el babilonio en base 60 y el maya en base 20, que utilizan para representar los números desde 1 hasta la base de un sistema aditivo, y para números mayores que la base por repetición de los primeros, en donde cada uno de éstos vale según la posición que ocupe. Además, como ya lo anotamos, los sistemas posiciones consideran de una u otra forma, lo que nosotros hoy en día llamamos el cero. Por ejemplo, en la numeración maya los números de uno a veinte (sin incluirlo) son notados por un sistema aditivo en donde las unidades son demarcadas con puntos o círculos llenos y cinco (5) unidades de demarcan por una raya horizontal (fig. 1). Los mayores que 19, desde 20 en adelante se representan por combinaciones de números menores que éste y el cero que es una figura que se ha interpretado como una concha o un fríjol.
60
63
3
215
12
871
45
Figura 1. Algunos numerales mayas.
Estos dos sistemas (el maya y el babilonio) utilizan pocos caracteres diferentes, lo que hace que para números grandes sea necesario muchos de éstos. Esta es una desventaja que les quita practicidad a pesar de que son muy efectivos, como todo sistema posicional, en cuanto a la realización de la operaciones básicas. El otro sistema posicional es el sistema decimal hindoarábigo que hoy en día representa el lenguaje más universal que el hombre ha adquirido. Esta numeración, también de origen
muy remoto se calcula nació en la India hace unos 2. 500 años. En los manuscritos budistas de Asaka del siglo III a. C. hallamos los símbolos 1,4,6; cien años después hallamos los símbolos 2,4,5,6,7 y 9 grabados en los monumentos de Nona Ghat y en el siglo II D. C. , periodo de las cuevas de Nasik, hallamos todas las cifras. El cero empezó entre los indostánicos como un puntico o circulito y el sánscrito lo designaba con la expresión "vacante" o "vacío". La primera referencia concreta a la numeración indostánica fuera de las fronteras de la India sehalla en la nota escrita por un sacerdote mesopotámico, Severus Sebokth, hacia 650 D. C. quien hablaba de nueve signos sin mencionar el cero. A fines del siglo VIII habían sido trasladadas a Bagdad unas tablas astronómicas, y los rabees doctos de la época conocieron estos signos. En el año 925 el estudioso Al-Khwarizmi escribió un librito sobre números el cual 300 años después fu‚ traducido en latín por Abelardo de Bath. El desarrollo del comercio, del sistema de intereses y en general la necesidad de efectuar las operaciones básicas de manera más rápida hace que este sistema se imponga definitivamente con el correr de los siglos. Muy ilustrativo es el cuadro de la figura 2 tomado de un libro muy popular en el siglo XVI (impreso por primera vez en 1503) y que muestra la disputa entre un abaquista (numeración romana) y un calculista de pluma y tinta (sistema induarábigo). Repárese en la angustia del abaquista contra la seguridad del calculista al tratar ambos dedividir 1234 entre 97. Nuestro interés girar en lo que sigue hacia la profundización en los sistemas de numeración posicional en diferentes bases con miras a explicar el por qué‚ de los algoritmos que utilizamos en las operaciones básicas y ciertos hechos que se pueden observar en la aritmética. Por ahora pensemos en la siguiente máquina de contar: consideremos tres relojes cada uno con los números del cero al nueve (fig. 3), que hallaremos Dial I, Dial II y Dial III. Este sistema funciona como los contadores del kilometraje de los automóviles, si comenzamos a dar vueltas al dial I en el sentido de las mancillas del reloj y contamos 1,2,. . . . , etc. de tal manera que cuando vaya a pasar de nueve al cero, el dial II se corre un lugar y éste a su
vez avanza un lugar al dial I II, cuando pase del nueve al cero entonces el dial I determinar las unidades, cadaavance del dial II supone diez unidades que ha recorrido el dial I.
Figura 2. Grabado del "Margarita Philosofica" de Greisch (1. 503). Así mismo el dial III se mueve un lugar cuando el dial II complete una vuelta de diez movimientos o sea cuando el dial I se haya movido cien veces. Así en la figura 3 el número representado es 520, 500 por el dial III, 20 por el dial II y cero por el dial I. Nótese que podemos agregar otros diales si queremos expresar números más grandes, por ejemplo el sexto dial indicaría "cien miles" mientras un último dial marcaría los millones. Cada dial se referirá a diferentes potencias Fig. 3: Diales para presentar números en el sistema posicionales de 10. Por esto un hindoarábigo.
0 9 8 7 6
1 2 3 4 5
0 9 8 7 6
0 1 2 3 4
9 8 7 6
5
1 2 3 4 5
Figura 3. Diales para presentar números en el sistema posicional indoarábigo.
Nuestro sistema denumeración se dice que es en base 10, pero que se trabaje con 10 dígitos (0,1,2,. . . ,9) es algo arbitrario (tal vez porque tenemos 10 dedos en las manos) pues se hubiera podido utilizar 3, 5, ó 12 dígitos (señales en los diales). Supongamos entonces que los diales no tienen sino tres señales: 0,1,2. En la figura 4 se muestran como funcionarían los tres diales en los primeros 11 movimientos. Los primeros tres números cero, uno y dos se representan igual que en nuestro sistema, pero en el tercer movimiento el dial! pasa a 0 y el dial II avanza un lugar quedando en 1, por eso el número que nosotros notamos 3 será notado 0l0. El dial II indicar entonces los múltiplos de 3. Así mismo podemos observar que el dial III representar los múltiplos de 9. Entonces el número escrito en base 3 como 211 equivale al número que en base 10 escribíamos como 22, ya que se tendrían 2 nueves, 1 tres y una unidad. Esta igualdad se expresar así: (211)3=(22)10 Aquí también podemos agregar cuantos diales queramos, y naturalmente en base 3, necesitaremos más dígitos que en base 10 para expresar un numero determinado. Por ejemplo: (21102)3=2×34+1×33+1×32+0×3+2=(200)10. Así como hemos hecho con tres, se puede utilizar cualquier base mayor que 1 para representar un entero positivo dado. Cuando se quiere utilizar una base mayor que la nuestra es necesario introducir nuevos dígitos. Por ejemplo, cuando se quiere trabajar en
base 12 podemos usar como dígitos: 1,2,...,9,A 1,2,...,9,A,B en donde A y B representan representan el 10 y el 11 de nuestra base base deci decim mal. A sí: sí: (3 (3A)12=3×12+a=36+10=(46)10. Además. 0 2
0 1
2
0 2
2
0
2
1
2
0
2
2
1 0
1
2
0 1
1 0
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
1 0
1
2
0
2
2
0 1
2
1 0
1
2
0
1 0
1
2
1
Es de parti particul cular ar im importancia portancia resal resaltar tar que el sistem sistema en base base 2 también bién llam ll amado ado sistem sistema binario y que utiliza los símbolos 0 y 1, tiene en nuestra ‚poca gran figuración pues es util utilizado por las las modernas computa computadoras doras y por tanto m más ás adel delante ante profundi profundizarem zaremos sobre este tem tema. A continua continuación ción form forma alizarem zaremos el resul resultado tado básico sico en que que se ba basa toda toda la la discusión, discusión, es deci decir, r, que cual cualqui quier er numero entero positi positivo vo se puede puede expresa expresarr en cualquier quier base base mayor que uno. Proposición 1. (Teorem (Teorema fundam fundamental ental de la la numeración) eraci ón) Sea Sea b un enter entero mayor que 1, 1, que llamarem aremos base. base. Entonces ntonces par para a todo a enter ntero positi positivo vo exi existen an,an-1,..,a1,a0 con cada ai que cumple ple 0
con con con
0≤a0
#
#
qn-2 = bqn-1+an-1 qn-1 = bqn+an
con con
0≤an-1
donde el último cociente qn es cero. Devolvi evolvién éndonos donos vemos que: an = ban+an-1 = b(ban+an-1)+an-2 =
qn-1 qn-2 qn-3
#
b(...b(ban+an-1)+...)+ a3)+a2 = b(...b(ban+an-1)+...)+a2)+a1 = bnan+bn-1an-1+...+ba1+a0 =
q1 q0 a
Comprobando probando que los los ai cumple plen lo lo exigi exigido, do, la demostración ostración de que que estos números enteros enteros a0,a1,...,an (llamados dígitos de a) son únicos, la dejamos como ejercicio al lector. E j emplo 1. Para pasar un número escrito en una base diferente de 10 a base decimal tenemos en cuenta la expresión (1) de la proposición anterior así: (100)3 = 1×32+0×3+0=(9) 0=(9)10 (222)4 = 2×42+2×4+2=(42 2=(42)) (222)3 = 2×32+2×3+2=(26 2=(26)) E j emplo plo 2. Cuando se utiliza base mayor que la base nuestra, se acostumbra las letras A,B. A,B. C... ... para expr expre esar lo lo que que nosotr nosotros os escri scribim bimos como 10, 10, 11, 11, 12,... 12,... por ejemplo plo en base base 16: (ACE)16=10×162+6×16+14=(2670)10 pues (A)16=(10)10 y (E)16=(14)10 E j emplo 3. Para pasar de base decimal a otra diferente aplicamos el algoritmo descrito en la la demostración ostraci ón de de la propos proposiición ción ante anterrior según según el conjun conjunto to deecuaci ecuacione ones s (2). De esta esta forma para determinar el desarrollo decimal de (26)3 dividimos sucesivamente así: 26 2
3 28 2
3 2 2
dividimos que significan que: 26=3×8+2 8=3×2+2 2=3×0+2 O sea que: 26=3×(3×2+2)+2 es decir: 26=32×2+3×2+2 y tenemos que: (26)10=(222)3
3 0
E j emplo 4. Para ara pasar de base base 10 a base mayor que 10 proced procedem emos de igual igual form for ma teni tenie endo ndo en en cuenta el signif signifiicado de de las le letras tras A,B,C A,B,C,. ,... .. según según se expl xplicó en en el ejemplo plo 3. (1425)10=(?)14 Haciendo las divisiones vemos que: 1425 = 14×101+11 101 = 14×7+3 entonces 1425 1425 = 14(14× 14(14×7+3)+11 1425 = 142×7+14×3+1 11 1 1425 = (73B)14
PREGUN PREGUNTAS TAS Y EJ ERCICI OS 1. Enumere las desventajas del sistema de numeración como el maya y el babilonio. 2. ¿Cuán ¿Cuántos tos caracteres caracteres se requi requieren eren para represe representar un número número en base b? 3. Resuelva: a. (342)5=( ? )6 b. (241)6=( ? )5 c. (144)10=( ? )12 d. (ABC)16=( ? )10 e. (871)9=( ? )14 f. (6D (6D2)16=( ? )11 4. Para pasar de base 3 a base 9=32 podem podemos proceder por el sigui siguien ente te m‚todo il ilustrado para el caso en que nos preguntan (120110)3 (120110)3 =(?)9 ?)9 tomamos el número de base 3 y separamos cif ci fras de derecha derecha a izqui izquierda erda dedos en dos: dos:
12-01-10 cada parej pareja a la la traduci traducim mos a base 9 y en su su orden estas estas cif cifras serán serán los los dígi dígitos tos del número en la la nueva base: (12)3=(5)9; (01)3=(1)9; (10)3=(3)9 O sea: (120110)3=(513)9 a. Compruebe ompruebe con este y otros otros casos que éste ef efectivam ectivamente es un m‚todo acertado para pasar de base 3 a base 9. b. Según esto esto expli explique cómo se hace el el proceso proceso inverso: inverso: pasar números ros de base 9 a base 3. c. Busque un método pareci parecido do para pasar numerales ales de base 2 a base 4 y numerales rales de base 2 a base 8. d. Generali ralice y demuestre un método para pasar de un número de base b a base bn y al contrario. 5. Un tende tendero ro sólo sól o tien tiene e una una pe pesa de de 1 kil kilo, otra de 2, 2, otra de 4, 4, una de 8, otra otra de 16 y una de 32. a. ¿Cóm ¿Cómo o hace hace para pesa pesarr 28 kil ki los, 39? b. Demuestre que puede puede pasar cualqui cualquier er cantidad cantidad de kil kilos de 1 a 63. 63. 6. El sigui siguien ente te jue juego go puede servi servirr para descretar a sus sus am amigos: se tien tiene e cuatro cartas cartas en donde están repeti repetidos dos los los números de 1 a 15 así: así: I
II
III
IV
1-3-5 1-3-5 7-9 11-13 15
2-3-6 7-10 11-14 15
4-5 6-7 12-13 14-15
8-9 10-11 12-13 14-15
Usted pide pide a alguien alguien que pida pida un un número secretam secretamente ente (por ejem ejemplo plo 11) y sólo sólo le le comunica en en qué qué‚‚ tarj tarje eta esta esta escrito scrito (para (para el caso caso I, I, II I I y IV I V) y el único que esté escrito scrito en exactamente esas esas tarjeta tarjetas s es el 11.
a. Describa cómo se determina el número pensado conociendo las tarjetas correspondientes. b. ¿Por qué‚ esta distribución funciona? c. Haga un juego parecido con cinco tarjetas y los números de 1 a 32.
13. CRITERI OS DE DIVISIBIL IDAD Y CONGRUENCIAS Cuando tenemos un número muy grande escrito en base 10 y deseamos saber si es múltiplo por ejemplo de 9 no necesitamos hacer la división, simplemente sumamos sus cifras y si el resultado es múltiplo de 9 el número original es múltiplo de 9. Este es un típico criterio de divisibilidad, que se utiliza desde la escuela primaria. Uno más sencillo es para saber si un número es par: se mira la última cifra y si ella es par todo el número es par. La justificación de estos criterios radica en el sistema de numeración que se utiliza y la demostración de su validez, que haremos aquí as ndonos el la teoría de congruencias, nos proporciona elementos para formular nuevos criterios de divisibilidad. El siguiente lema, que es consecuencia inmediata de la definición de congruencia, es la razón por la que utilizaremos esta teoría para lograr nuestros objetivos.
Lema 1. Un número k es divisible por c si y solo si k 0(mod c) ≡
Demostración. (obvio). Para la lectura de este capítulo además de manejar las congruencias el lector debe estar familiarizado con los sistemas de numeración posicionales (sección 12).
Se aplica
especialmente el Teorema fundamental de la numeración.
1. CRITERI OS DE LA ULTIM A CIFRA Algunas veces para ver si un número es divisible por otro es suficiente con observar la última cifra. Esto depende realmente de que el divisor divida la base, como cuando se trabaja en base 10 y se quiere saber si un entero es divisible por 2 o por 5.
Proposición 1. Sea a=(anan-1...a1a0)b si b 0(mod c) entonces a es divisible por c si y solo ≡
si a0 0(mod c) ≡
Demostración. Sabemos que a=a0+a1b+a2b2 + ...+ anbn
y como b≡0(mod c), aplicando aritmética de congruencias se obtiene que a≡a0(mod c), que en combinación con el lema 1 nos proporciona el resultado deseado. Nótese que lo que se demuestra es que, en este caso, la última cifra (a0) determina la clase de congruencia módulo c, a la quepertenece el entero a.
Ejemplo 1. Un número escrito en base 12 es divisible por 4 si termina en 0,4 u 8, pues estos son los tres dígitos de la base 12 que se dejan dividir por 4.
Ejemplo 2. Como ya se dijo una aplicación de al proposición 1 en base decimal son los conocidos criterios para saber cuando un entero es divisible por 2 o por 5. Sin embargo estos criterios no sirven cuando el número est escrito en cualquier base. Para base 15 el criterio del 2 no es válido aunque el del 5 casi. Por qué?
2. CRITERI OS DE L A SUMA DE LAS CIFRAS Otras veces la suma de las cifras indica si se es o no divisible por otro. Es el caso de los conocidos criterios para saber si un número es divisible por 3 o por 9, cuando est escrito en base decimal. La siguiente proposición justifica‚ estos y otros casos.
Proposición 2. Sea a=(anan-1...a1a0)b si b 1(mod c) entonces a es divisible por c si y solo ≡
si a0 + a1 + a2 + ... + an 0(mod c) ≡
Demostración. Sabemos que a=a0 + a1b + a2b2 + ... + anbn y como b≡1(mod c), aplicando aritmética de congruencias se obtiene que a0 a1b
≡ ≡
0(mod c) a1(mod c)
# 2
a2b anbn
≡ ≡
a2(mod c) an(mod c)
entonces sumando estas congruencias tenemos a≡a0+a1+a2+...+an(mod c), que en combinación con el lema 1 nos proporciona el resultado deseado. Presentamos las aplicaciones de esta proposición como corolarios:
Corolario 1. Si b es congruente con 1 módulo c y el número a este escrito en base b, entonces a es congruente con la suma de sus cifras módulo c.
Corolario 2. Si b es congruente con 1 módulo c, entonces para saber si un número (escrito en base b) es divisible por c es suficiente saber si la suma de sus cifras lo es.
Ejemplo 3. (Base decimal) La suma de las cifras del entero 19168639 es 43 por tanto: 19168639≡1(mod 3) 19168639≡7(mod 9)
Ejemplo 4. En base 4, la suma de las cifras del entero a es congruente con a módulo 3 pero no módulo 9.
3. CRITERI OS DE L A SUMA Y RESTA DE LAS CIFRAS Empecemos mostrando un ejemplo:
Ejemplo 5. Para saber si un número escrito en base decimal es divisible por 11, se halla la diferencia entre la suma de cifras de lugares pares y la suma de las cifras de lugares impares; el número es múltiplo de 11 , si y solo si, esta diferencia lo es. Digamos, para saber si 19168639 es divisible por 11, sumamos las cifras de lugares impares: 9+6+6+9=30 ; sumamos las cifras de lugares pares: 3+8+1 +1=13; hacemos la diferencia de estas dos sumas: 30-13=17. Como 17 no es múltiplo de 11 entonces 19168639 no es múltiplo de 11. Es mas, como se ve en la demostración de la siguiente proposición se tiene que 17≡19168639(mod 11). Nótese que si a=(an, an-1,...,a1, a0)b la diferencia entre la suma de cifras de lugares pares y la suma delas cifras de lugares impares viene dada por la expresión: a0-a1+a2-...+(-1)nan
Proposición 3. Sea a=(an, an-1,...,a1, a0)b si b -1(mod c) entonces a es divisible por c si y ≡
solo si a0-a1+a2-...+(-1)nan 0(mod c) ≡
Demostración. Ejercicio (es similar a la demostración de la proposición 2). Corolario 1. Si b es congruente con -1 módulo c, entonces para saber si un número (escrito en baseb) es divisible por c es suficiente saber si la suma de cifras de lugares pares menos la suma de las cifras de lugares impares es múltiplo dec.
4. CRITERI OS CON PAREJ AS Y TRIPLAS DE CI FRAS Algunas veces es conveniente considerar las cifras de un número tomadas de dos en dos, o de tres en tres (siempre de derecha a izquierda). Aquí realmente, se está pasando el número a base b2 o b3, como se resalta en el siguiente lema cuyo enunciado y demostración se dejó como ejercicio en sección anterior.
Lema 2. Las cifras de a escrito en base bm son las mismas que en base b pero tomadas de derecha a izquierda en grupos de m: Cada grupo de m cifras en base b corresponde a un dígito en base bm.
Ejemplo 6. Para pasar de base 2 a base 8 el entero (10010101110001110)2 traducimos los grupos de 3 así: (110)2=6;
(001)2=1;
(110)2=6;
(101)2=5;
(010)2=2;
(10)2 =2;
entonces las cifras en base 8 son 6, 1, 6, 5, 2, 2 (tomadas de derecha a izquierda) es decir: (10010101110001110)2=(225616)8. Si quisiéramos pasar a base16 escogeríamos grupos de a 4 y tendríamos: (1110)2=E ; (1000)2=8; (1011)2=B; (0010)2=2; (1)2=1 y tenemos: (10010101110001110)2=(12B8E)16. Cuando la base es muy grande podríamos agotar las letras del alfabeto, entonces no se acostumbra colocar nuevas letras, sino dejar los dígitos decimales. Por ejemplo para pasar de base decimal a base 100, se necesitaría agregar 90 nuevos dígitos, mejor entender las parejas de dígitos decimales como dígitos centesimales, así: (19168639)10 =(19-16-86-39)100
El aplicar el lema 2 con alguna de las proposiciones 1, 2 o 3, es un m‚todo para conseguir y explicar otros criterios de divisibilidad, como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 7. (Base decimal) Para saber si un entero es múltiplo de 100, todos sabemos que basta con saber si sus dos últimas cifras son exactamente 00. Claro! Cuando escribimos los números en base 100 los múltiplos de 100 son los que terminan en cero, pero este dígito se representa con dos ceros de la base decimal. Por otra parte, aplicando la proposición 1 al lema 2 obtenemos que por ejemplo cualquier entero es congruente modulo 25 con sus dos últimas cifras ya que 25 divide a 100. Otra manera de saber si un número escrito en base 10 es divisible por 11 es hacer la suma de
sus
cifras
tomadas
de
dos
en
dos.
Por
ejemplo:
19168639≡19+16+86+39=160≡60+1≡6(mod 11). Compare con el ejemplo 5!
Ejemplo 8. Busquemos un criterio para saber si un entero escrito en base 2 es múltiplo de 3. Como 4 1(mod 3) entonces en base 4 se puede aplicar la proposición 2 y tenemos que ≡
un número escrito en base 4 es congruente módulo 3 con la suma de sus cifras (ejemplo 4) pero según el lema 2 las cifras de base 4 son las parejas de cifras en base 2, entonces: "Un número escrito en base 2 es múltiplo de 3 si y solo si la suma de sus cifras tomadas de dos es dos dederecha a izquierda es múltiplo de 3".
5. SEPARANDO LAS ÚLTIMAS CIFRAS El operador "quitar" la última cifra, o las dos últimas, parece que no fuera un operador aritmético. Según el Teorema fundamental de la numeración, y trabajando en base decimal, si la última cifra den es a, entonces n tendrá la forma n=10n’+a
con 0
Ejemplo 9. Un número escrito en base 10 es divisible por 17, si y solo si, al quitar sus dos últimas cifras y restarlas del duplo de lo que queda el resultado es múltiplo de 17. Por ejemplo, para saber si 4767 es múltiplo de 17: quito 67 y lo que queda es 47, su duplo 94, menos 67, obtengo 27, que no es múltiplo de 17 por tanto 4767 tampoco lo es, pero si pruebo con 4267 tengo (42×2)-67 =84-67=17, y por tanto 4267 si es múltiplo de 17. La demostración de que este procedimiento es válido, parte de considerar n con la forma n=100n'+b , donde n' es lo “que queda” y b es el número representado por las dos últimas cifras, debemos ver que n≡0(mod 17) si y solo si, 2n'-b≡0(mod 17) y esta es una equivalencia decongruencias, que sedemuestra fácilmente: n=100n'+b≡0(mod 17)
⇔ ⇔ ⇔
15n'+b ≡0(mod 17) -2n'+b≡0(mod 17) 2n'-b≡0(mod 17)
PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS. Demostrar los siguientes criterios de divisibilidad:
1. En base diez un número es divisible por 2, si termina en cifra par. 2. En base diez un número es divisible por 5, si termina en 0 o 5.
3. En base diez un número es divisible por 20, si termina en 00, 20, 40, 60 ó 80. 4. En base 12 un número es divisible por 3, si su última cifra lo es. 5. En base 12 un número es divisible por 6, si termina en 0 ó 6. 6. En base 2 los múltiplos de 4 son aquellos que terminan en 00. 7. En base diez un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es divisible por 9. 8. En base 6 un número es divisible por 5, si la suma de sus cifras es divisible por 5. 9. En base diez un número es divisible por 37, si la suma de sus cifras tomadas de tres en tres, es divisible por 37.
10. En base 4 un número es divisible por 15, si la suma de sus cifras, tomadas de os en dos, es divisible por 15.
11. Si a un número que está escrito en base 10 y es múltiplo de 13, se le quita su última cifra y se le suma multiplicada por 4 a lo que queda, el resultado es múltiplo de 13.
12. Si a un número que está escrito en base 10 y es múltiplo de 11, se le quita su última cifra y se le suma alo que queda, el resultado es múltiplo de 11.
13. Enuncie y demuestre un criterio para saber si un número escrito en base decimal es divisible por 19.
14. TODO DEPENDE DE SABER CONTAR Nos proponemos analizar los algoritmos para efectuar operaciones aritméticas. Otra vez nuestro interés más que práctico es teórico: El análisis de diferentes algoritmos nos proporcionar para los números, sus relaciones y operaciones. Buscando lo fundamental vemos que lo mas elemental que podemos hacer es contar. Sabiendo contar, es decir sabiendo sumar 1, podemos realizar los algoritmos más comunes de la aritmética: Sumar dos números, restarlos, multiplicar, hallar cociente y residuo, etc. Para ver esto imaginemos que se deja programar, pero de aritmética no sabe sino sumar 1. Por dejarse programar entendemos que guarda números en memoria, que se nota en letras mayúsculas, asignar 6 a la memoria A, se notará 6
A
asignar a la memoria B, lo que est en la memoria A así
A
B
Determinar si los contenidos de las memorias A y B coinciden y según la respuesta seguir en procedimiento, lo que se notará así A =B No
Para presentar resultado se utilizar el símbolo A ES EL RESULTADO
y para finalizar el signo PARE
Si
Las asignaciones se enumeran en un rectángulo. Si suponemos que nuestra máquina sólo suma 1, el siguiente algoritmo representa un algoritmo que muestra los números de dos en dos, hasta llegar a m-2. 0
N
N
N+1
N
N+1
N
N =M
Si PARE
No
N es la variable donde se lleva la cuenta, se inicia en 0, y luego de presentarse se incrementa en 1 dos veces, para ese N ¿M volverse a presentar y seguir sucesivamente hasta que N sea igual a M, pero nótese que si en la variable M va un número impar el algoritmo no se detiene. ¿Cómo hacer para que el proceso se detenga siempre que M sea entero positivo? El primer método que un niño conoce para sumar es contar con los dedos de las manos. Para 3 y 6, se cuenta a partir de 6 y en una mano se lleva la cuenta de 1 incremento, cuando esa mano se lleve 3 entonces el proceso se detiene. Este algoritmo es representado por el siguiente diagrama en el cual se suma a y b. a b 0
S T MANO
MANO=T
Si
a+b=5
PARE
No S+1 MANO+1
S MANO
Los sumandos a y b son guardados en las memorias s y t, las memorias s y MANO se van incrementando de 1 en 1 hasta que MANO alcance a T, cuando esto suceda, la suma de los dos números es lo que est en la memoria 5. Para hacer el seguimiento de cualquier algoritmo se puede hacer lo que se llama "una Prueba de Escritorio", que es construir una tabla que muestre el valor de las diferentes
variables; una vez dados los datos iniciales. Para el ejemplo la tabla 1 muestra una prueba de escritorio cuando? Sumar 3 y 6. S
T
MANO
MANO=T
6 7 8 9
3
0 1 2 3
NO NO NO SI
Tabla 1. Por otra parte debemos observar que esta acertada manera de sumar con los dedos de las manos, está basada en la deficiencia recursiva de suma (a partir de sumar 1). Ese efecto recursivamente se puede definir n+m así: i) n+0=n ii) n+(m+1)=(n+m)+1 Para sumar 6+3 según esta definición, por i) saben que 6+0=6 por ii) saben que 6+1=6+(0+1)=(6+0)+1=7, otra vez aplicando ii) obtenemos 6+2: 6+(1+1)=(6+1)+1=7+1=8 y así: 6+3=6+(2+1)=(6+2)+1=8+1=9 El algoritmo que acabamos de mostrar es una demostración de la siguiente proposición. Proposición 1. Una máquina que sólo suma 1, puede sumar cualquier par de números
naturales. La máquina que pensamos ni siquiera decide cúal es el mayor de un par de números. Ella sólo sabe decir cuándo un par de números coinciden. Como ejercicio el lector debe programarla para que decida cúal de los números naturales a y b es el mayor. Se trata de ir calculando en memorias auxiliares incrementos de cada una de los números hasta que el uno alcance el otro. Esto demuestra la siguiente proposición.
Proposicion 2. Una máquina que sólo suma 1, puede programarse para que decida cúal
de los números es mayor. También se puede programar para hallar la diferencia. Las operaciones que hace nuestra máquina las efectúa con cantidades positivas, pero se pueden ampliar fácilmente para que trabaje con negativos.
Sin embargo seguiremos
trabajando sólo en números naturales. Las dos proposiciones anteriores no permiten que de ahora en adelante que nuestra máquina ya puede sumar cualquier par de números naturales. Hallar la diferencia del mayor al menor y decidir cúal es el más grande, es decir podemos hacer asignaciones del siguiente tipo: A+B
C, A-B
A ≥ B
C y tomar décimas de tipo
Si
A >B
No
Si
A>B
A: B A=B
No
Con estos procedimientos describiremos un algoritmo para que dados a y b, enteros positivos, encuentre el cociente al dividir a entre b.
a a b 0
A RESTO B C
RESTO
Si
No C+1 RESTO-B
Cociente de dividir a entre b
PARE
C RESTO
La base de este algoritmo es supremamente sencilla; el método más fácil para repartir A objetos entre B personas, es darle un objeto a cada persona (se resta B de A), luego vuelve a repartir una a cada uno (resta B del RESTO) y así hasta lo que quede (EL RESTO) sea
menor que el mínimo de personas (RESTO
1. Suponga que la máquina C, que sólo suma uno, sin ninguna subrutina; hacer programas para: a. Muestre los primeros n múltiplos de 2. b. Muestre los primeros n múltiplos de 3. c. Determine si n es par o impar. d. Halle el cociente y el residuo al dividir en 2. e. Halle el cociente y el residuo al dividir en 3. f. Muestre los números de la forma 4k+1. g. Halle la suma de los n primeros números. h. Dados a y b encuentre |a-b|. i. Dados a y b encuentre a÷b que es a-b si a>b y cero en caso contrario.
2. Suponga una máquina C, que tiene subrutinas para sumar cualquier par de números y decidir cúal de los dos es el mayor además de restar de un mínimo otro menor o igual. Diseñar un algoritmo para que la máquina: a. Dado a y b encuentre el residuo de dividir a entre b. b. Multiplique a y b. c. Halle el máximo común divisor de a y b ( se puede hacer sólo restando). d. Dados n, k, r n
∑ (ik + r ) = r + (r + k) + (r + 2k) + ... + (r + nk ) i =0
e. Dados my n positivos decidir si n|m. f. Decidir si n es primo.
g. Encuentre n2.
3. Supóngase ahora que nuestra máquina tiene subrutinas para las operaciones siguientes: Suma, resta, producto, cociente y residuo (se notan COC (a,b), RES (a,b)). Diseñar algoritmos para quela máquina: a. Calcule n! b. Calcule a-6. c. Exprese a en base b. d. Exprese (a,b) como combinación lineal de a y b. e. Exprese n como producto de factores primos.
4. ¿Qué hace el siguiente algoritmo?
0 a
S A RES(4,2)=0
No S=B+S
Si A=0
S
PARE
COC(4.2) B× A
A B
15. AL GORIT MOS BASADOS EN EL SISTEMA DE NUMERACI ON.
Los algoritmos expuestos en la sección anterior trabajan con números en "abstracto" por cuanto en ellos nada tiene que ver la representación de los números. Esta es una de las razones por la que esos algoritmos resultan ser tan poco prácticos, ya que una operación con números moderadamente grandes supone mucho tiempo de computación para ser llevada acabo. Cuando los números están escritos en determinado sistema de numeración se utilizan algoritmos muchos más rápidos que los expuestos anteriormente y son estos algoritmos los que se utilizan para hacer las operaciones básicas tanto manualmente como cuando se trabaja con aparatos de computación. El sistema de numeración en base diez, o sistema induarábico, se impuso definitivamente en nuestra civilización precisamente por ser mas práctico especialmente cuando se trabaja la multiplicación y la división, como ya se dijo en la sección 14. La palabra 'algoritmo' apareció en Europa conjuntamente con la aceptación del sistema induarábigo, para referirse a los métodos de cómputo de los calculistas de "pluma y papel'. Hoy en día, con la aparición de los ordenadores la palabra algoritmo se refiere a cualquier procedimiento ejecutable por la máquina, pero los cálculos sobre números que hace un ordenador se siguen basando en algoritmos parecidos a los manuales pero diseñados para el sistema de numeración posicional binario. Estos ser n los algoritmos que trabajaremos en esta sección. Algoritmos rápidos, que se utilizan para hacer las operaciones manualemente o por computador. Nuestro interés no es que el lector llegue a manejar estos algoritmos con destreza, lo que perseguimos es que se
logre descifrar el por qué de su efectividad, lo que a la larga puede dar la oportunidad de diseñar algoritmos propios. 312 45 156 90 78 180 * 39 360 * 19 720 * 9 1440 4 2880 2 5760 * 1 11520 312×45=360+720+1440+11520 =14040 Tabla 1. Método de multiplicación de los campesinos rusos aplicado para efectuar 312×45. En la columna de la izquierda se hacen sucesivas divisiones por 2 a partir de 312 (* denota que la división no es exacta). En la otra columna se hacen sucesivas multiplicaciones por 2 a partir del otro multiplicando que es 45. El producto se obtiene sumando los valores de la columna derecha correspondientes a *.
Empezamos con la descripción de un método muy antiguo empleado para multiplicar, que identificaremos como método de multiplicación de los campesinos rusos, que además de ser práctico, evita el uso de las tablas de multiplicar, pues solo exige saber sumar y saber multiplicar y dividir por dos. Para multiplicar dos números se dice que los campesinos rusos colocaban los dos números un al lado del otro y mientras uno se va dividiendo por dos el otro se va multiplicando por dos. Las divisiones se hacen, naturalmente enteras y los números no pares de esta columna se distinguen digamos con un * . El proceso termina cuando en la columna de los números que se van dividiendo se encuentre 1. El resultado del producto se encuentra sumando los números correspondientes a * en la columna de los números quese van multiplicando por 2. En la tabla 1 se ilustra el proceso cuando se trata de multiplicar 312 por 45. El lector puede comprobar con otras multiplicaciones que realmente este método es efectivo, pero el reto que se plantea es explicar el por qué. Es decir, se quiere una demostración de que el método sí funciona (ejercicio 6). Por ahora como unapista digamos
que aunque este procedimiento es válido no importa en que sistema de numeración se trabaje, su fundamentación radica en la expresión de uno delos multiplicandos en base 2. Ahora queremos revisar los algoritmos usuales aprendidos en la escuela primaria para efectuar las operaciones básicas. Empecemos por imaginarnos cómo se suma y se resta en sistemas aditivos, por ejemplo en el sistema egipcio explicado en la sección 13. La suma y la resta en estos sistemas es realmente sencilla y es de suponer que se actuaba tal como lo hacían los abaquistas, o hoy en día, cualquier tendero que quiere contar su dinero. Se trata de unir los signos similares y cuando se obtienen suficiente número de ellos se cambian por otro que represente un número mayor. Veamos el mismo ejemplo para sumar 5 y 9 que se mostró en la sección 10: //
/// +
///
//// =
////
+
//
=
// ∩
=
∩ //
(/// ///)
Cuando se completan 10 palotes se reemplazan por el numeral correspondiente ∩ . Como cuando se cambian 10 monedas de $1 por una de $10! El lector debe practicar otras sumas en éste y otros sistemas aditivos. Es al fin y al cabo un ejercicio de tenderos. Ahora bien, cuando se suma en sistemas posicionales el principio es el mismo: Si trabajamos en base 10, reunimos primero las unida des, si ellas sobrepasan a 10, guardamos una decena, así reunimos luego las decenas, siempre que encontremos diez decenas guardamos una centena y así sucesivamente. La razón por la cual cuando suma mos las cifras de un columna si la suma pasa de diez "llevamos" a la siguiente columna, lo que estamos haciendo es cambiar billetes de una denominación por otro de una denominación mas alta. El argumento también es válido para bases diferentes de diez. Si se trabaja en base b, para sumar dos números se van sumando sus cifras correspondientes y cuando la suma sobrepasa b se "lleva 1" a la columna siguiente. Así, si vamos a sumar (312)5 y (33)5
podemos colocar los números como si fuéramos a sumarlos en sistema induarábigo y sumamos columna por columna, de derecha a izquierda, teniendo en cuenta que cuando la suma sobrepase 5 escribimos la suma menos 5 y "llevamos 1" a la siguiente columna. 312 33 400 Al sumar los números de la primera columna de la derecha, las unidades, obtenemos 2+3=5, pero el dígito 5 no existe, en base 5 es 10 por lo tanto se escribe 0 y se lleva 1. Entonces en la segunda columna sumamos 3 y 1 y el 1 que llevábamos, obtenemos de nuevo 10 (o sea 5 ), escribimos 0 y llevamos 1 a la tercera columna. Ahora describiremos este algoritmo de manera mas precisa pensando en una máquina que recibe números hasta de n+1 dígitos y trabaja en base b. El fundamento del algoritmo lo especificamos en la siguiente proposición: Proposición 1. Si a=(an an-1 ... a0)b y entonces a+b=(cn+1 cn ... c0)b donde los ci se calculan así: r0=0, si ai+bi+rib entonces ci=ai+bi+ri-b y ri+1=1 cn+1=rn+1. Demostración. (Ejercicio). Los ri indican lo que se lleva de la anterior columna. Claro que si la máquina recibe sólo números de n+1 cifras cuando rn+1=1 esto significa que la suma ha rebosado la capacidad de la máquina y se debeemitir una señal de error. Supongamos que la máquina trabaja con b=2 como en realidad sucede con los modernos computadores. Un sumador lo podemos ver como una caja negra (en cuanto no nos interesa cómo actúa internamente) que recibe tres entradas, dos por donde llegan los números que se van a sumar dígito a dígito y otra por donde se retroalimenta con lo que "lleva". El sumador tiene además dos salidas: una por donde indica los dígitos de la suma y otra que indica cuanto lleva y retroalimenta al sumador pasando por un "delay" que retiene
la señal por un "instante" (estos aparatos funcionan controlados por un reloj que emite pulsos en intervalos de tiempo muy pequeños). ai bi
si
Sumador
ri+1
ri Dela
Figura 1. Diagrama de un sumador secuencial
La figura 1 muestra un esquema del sumador en donde ai y bi son los dígitos de los números a sumar, ri es lo que se lleva y si indica los dígitos de la suma. Los ai y bi entran externamente, mientras los ri son producidos por el mismo sumador salvo r0 que es 0. Insistimos en que el fundamento de este sumador es el mismo que el de la suma usual y que se expone en la proposición 1. En cierto sentido el sumador sabe sumar dos cifras en base 2. Esto es muy fácil y se lleva a cabo según se indica la tabla 2. ai 0 0 0 1 0 1 1 1
bi 0 0 1 0 1 0 1 1
ri 0 1 0 0 1 1 0 1
si 0 1 1 1 0 0 0 1
ri+1 0 0 0 0 1 1 1 1
Tabla 2. Salidas de acuerdo a las entradas del sumador secuencial. Recomendamos al lector hacer un análisis similar cambiando la operación suma por la resta. Habrá que elaborar y probar una proposición análoga a la proposición 1 para en base a ello describir el método general de restar (que es válido en cualquier base), y luego elaborar una tabla análoga a la tabla 2 que nos indique cómo funcionaría un "restador secuencial".
La multiplicación usual. Sabemos ya que el algoritmo usual que se utiliza para sumar es válido en cualquier base. La primera pregunta que nos proponemos responder es la siguiente: Es válido el algoritmo usual de la multiplicación en cualquier base? Antes de responder esta pregunta deberemos describir generosamente este algoritmo. Se distinguen dos casos : Multiplicación de cualquier número por otro de una sola cifra y multiplicación de dos números cualesquiera. En cualquier caso el primer paso consiste en memorizar unas odiosas tablas de multiplicar. Consiste en aprender "de memoria" (o guardar en memoria ?) el producto de todos los números de una sola cifra. En base 10 debemos aprender 81 resultados! Para la multiplicación de cualquier número por otro de una sola cifra el procedimiento secuencial es parecido al de la suma: se va multiplicando cifra por cifra y se "lleva" las decenas para irlas acumulando con el siguiente producto. Recordemos: 234×6: 6 por 4 da 24 escribe 4 lleva 2; 6 por 3 da 18 y 2 que se llevaba son 20, escribe 0 y lleva 2; 6 por 2 da 2 y 2 que se llevaba son 14, como no hay más cifras escribe 14. Sabiendo que para multiplicar por la 10 simplemente se agrega un cero la fundamentación del algoritmo radica en la ley distributiva. Para el ejemplo, el procedimiento quedaría claro si lo escribieramos así: 234×6 = (2×100 +3×10+4) ×6 = (2×100 +3×10) ×6+4×6 = (2×100 +3×10) ×6+2×10+4 = (2×100) ×6+(3×6+2) ×10+4 = (2×6×100)+(2×10+0) ×10+4 = (2×6+2) ×100)+0×10+4 = (1×10+4)×100+0×10+4 = 1×1000+4×100+0×10+4 = 1404
Este procedimiento que indudablemente es mas largo pero en él todo queda justificado, lo denominaremos multiplicación PASO A PASO. Proposición 2.
Si k=(anan1...a0)b y t es un número de una sola cifra entonces
kt=(cn+1cn...c0)b donde los ci se calculan así: r0=0, si ait+ri=(ef)b entonces ci=f y ri+1=e Demostración. (ejercicio). Mas importante que la demostración de la proposición 2, es comprender su significado: describe y justifica el algoritmo usual para multiplicar un número cualquiera por otro de una sola cifra. Para visualizar esto volvamos al ejemplo de la multiplicación de 234 por 6. En este caso según la notación de la proposición 2, b=10, c0=4, c1=3, c2=2 y t=4. La siguiente tabla muestra el procedimiento, que es el mismo utilizado anteriormente en donde los ri indican lo que se "lleva": i 0 1 2 3
ai 4 3 2 0
ri 0 2 2 1
(6ai+ri) 24 20 14 2
ri+1 2 2 1 0
ci 4 0 4 1
La proposición 2 además implica que el algoritmo para multiplicar en base 10 por un número de una sola cifra es válido para cualquier base. Trabajemos por ejemplo en base 5. La tabla dela suma y el producto se muestran en la tabla 3. + 1 2 3 4
1 2 3 4 10
2 3 4 10 11
3 4 10 11 12
4 10 11 12 13
2 2 4 3 11 4 13
×
3 11 14 22
4 13 22 31
Tabla 3. Sumay producto en base 5
Hallemos el producto de (323)5 y 4 tendríamos: b=5, a0=3, a1=2, a2=3, t=4. Deseamos hallar, según la proposición 2, los ci.
i 0 1 2 3
ai 3 2 3 0
(ait+ri)b 22 20 24 2
ri 0 2 2 2
ri+1 2 2 2 0
ci 2 0 4 2
Tenemos entonces que (323)5 4=(2402)5, como prueba podemos pasar a base 10: ×
(323)5=3×25+2×5 +3=(88)10 y (2402)5=2×125+4×25+2=(352)10, y en efecto sabemos que 88×4=352. El lector deber ejercitarse en la multiplicación de un número cualquiera por otro de una sola cifra para cualquier base. Esperamos que así quede explicado totalmente este caso. Para la multiplicación de dos números cualesquiera el algoritmo usual es también válido para cualquier base. Para multiplicar, por ejemplo, 342 por 135, primero multiplicamos 5 por 342, luego 3 por 342 y colocamos este producto un lugar corrido a la izquierda, finalmente 342 por 1 y colocamos el resultado dos lugares hacia la izquierda para así hacer la suma que nos proporciona el resultado. 342 × 135 1710 1026 342 46170 Lo aparentemente extraño en este procedimiento es por qué se corren los resultados a la izquierda. Esto queda claro si lo escribimos así: 342×5 342×30 342×100 342×135
= = = =
1710 10260 34200 46170
Este procedimiento se deriva entonces de la aplicación de la ley distributiva del producto y del hecho que al multiplicar por 10 (la base) se agrega un cero. Es fácil ver que entonces nuestro procedimiento es válido en cualquier base. Ahora bien en base dos se tiene la gran ventaja de que no toca aprender tablas de multiplicar, basta con saber sumar, pues multiplicar por 0 y por 1 es trivial. LA DIVISION USUAL: El algoritmo utilizado usualmente para dividir es de todos indudablemente el más confuso. Se invita al lector a que haga una prueba no matemática: Pregúntele a diez personas de nivel universitario el por qué hace las divisiones de la forma corriente, y si alguno le explica satisfactoriamente el por qué, regálele mil pesos. Seguro no gastar mucha plata! Nos limitaremos a traducir una división corriente por la misma pero paso a paso, con la esperanza de que el lector dilucide qué es lo que se hace para poder diseñar una forma de escribir las divisiones sin que se pierda la esencia de lo que se hace. Pensemos en dividir 3472 entre 32: 3472 32 -32 108 272 -256 16
Ahora observemos la misma división PASO A PASO: 3472 = = = = = =
3400+72 100×32+200+72 100×32+272 100×32+8×32+16 (100+8)×32+16 1080×32+16
Recordemos primero que cuando se trata de dividir a entre n lo que se busca es un cociente q y un residuo r tal que a=bn+r y que 0
dividir 272 entre 32 se puede ir multiplicando, 32 por 1 luego por 2 y así hasta que el producto supere a 272. Este método se sugirió en la sección anterior. Pero para dividir 3472 entre 32 habría que hacer entonces 108 productos, cosa nada practica ! Según se ve en la división paso a paso del ejemplo, lo que se hace es primero dividir 3400 entre 3200 (aparece 1 al cociente) luego se divide 270 entre 320 (aparece el 0 del cociente) y finalmente 272 entre 32 (aparece el 8 del cociente y el residuo final). Para la división el algoritmo usual también es válido cuando se trabaja con otras bases. Dividamos por ejemplo (2324)5 entre (13)5. Por comodidad omitamos la referencia a la base para este ejemplo. Los primeros múltiplos de 13 en base 5 son: 13, 31, 44, 112; empezamos dividiendo 2300 entre 1300 nos da 1 y sobra 1000; ahora debemos dividir 1020 entre 130, da 3 y nos sobra 1020-440=30. Finalmente dividimos 34 entre 13 no da 2 y sobra 3. Esta división paso a paso la escribimos así: 2324 = = = = = = = =
2300+24 (13×1×100+1000)+24 13×1×100+1020+4 13×1×100+(13×3×10+30)+4 13×1×100+13×3×10+34 13×1×100+13×3×10+13×2+3 13×(1×100+3×10+2)+3 13×132+3
Y resumidamente según el algoritmo usual, la operación se puede escribir así: 2324 13 102 132 34 3
COMENTARI O FINAL. El lector después de una lectura superficial a esta sección, puede pensar que lo que se ha hecho es complicar cosas que para él estaban muy claras. El primer avance es descubrir que los algoritmos usuales que se enseñan en la escuela primaria para las operaciones básicas no son tan claros, en especial el caso del producto y la división. Esto se entiende por cuanto estos algoritmos se impusieron por razones prácticas, como ya se dijo, y para los calculistas antiguos de pluma y papel, omitir los ceros, por ejemplo en el caso de la multiplicación, significaba ahorro de tiempo y tinta (que era muy costosa). Hoy en día, estas razones no son v lidas y el maestro del siglo XXI deber explicar estos algoritmos buscando primero su comprensión antes que la rapidez y efectividad en los cálculos. Queda pues el reto pedagógico de diseñar métodos para efectuar los mismos algoritmos de tal manera que el alumno no pierda de vista el sentido de lo que se est haciendo.
PREGUNTAS Y EJ ERCICI OS
1. Efectuar en la base indicada: a. (231123)4+(322122)4 b. (A2B3)16-(BB1)16 c. (10110011000)2- (11101)2
2. Para multiplicar un número por 5 se le agrega un cero y se divide por 2. Demostrar que esta regla es válida cuando se trabaja en base decimal. Es v lida esta regla en otras bases?
3. a. Exprese un algoritmo para sumar d días, h horas, mminutos con d' días, h' horas, m' minutos. b. Exprese un algoritmo para restar d días, h horas, mminutos con d' días, h' horas, m' minutos.
4. Demostrar que si a=(anan-1...a0)b entonces ab=(anbnan-1...a0)b. Esto demuestra que para multiplicar un número escrito en base b por b simplemente se agregaun 0.
5. Al multiplicar un múltiplo de 3 menor que 30 por 37 se obtiene siempre como producto un número de 3 cifras iguales (base decimal). ¿Expliquepor qué?
6. Explicar el por qué del método de multiplicación de los campesinos rusos. (Ayuda: Exprese en base 2 el multiplicando que se va dividiendo ).
7. Demostrar la proposición 1 por inducción sobre n el número de cifras de los sumandos (ayuda: Si a=(anan-1...a0)b entonces a=anbn+(an-1...a0)b ) .
8. Una docena son 12 unidades y una grueza son 12 docenas. Usando aritmética en base 12 resolver las siguientes preguntas: a. Si 3 gruezas,5 docenas y 8 huevos se sustraen te un total de 9 gruesas y 2 docenas, cuántos huevos quedan. b. Si un supermercado recibe 3 cajas de remesas de huevos cada una de 3 gruesas 5 docenas y 8 huevos, cuantos huevos recibió en total. c. Si 11 gruesas, 10 docenas y 6 huevos se dividen en tres grupos de igual tamaño, con cuantos huevos quedacada grupo?
9. Efectuar las siguientes operaciones en la base indicada: a. (231123)4×(3)4
b. (A2B3)16×(3)16
c. (10110011000)2×(11101)2
d. (2313)4×(21)4
e. (10110011000)2÷(11101)2
f. (1123)4÷(12)4
10. Efectuar las operaciones de los ejercicios 2 y 9 ,paso a paso.
11. (Base decimal). a. Demostrar que si se toma un número de 3 cifras no repetidas y se suma con otro con las mismas 3 cifras pero en sentido contrario, y se resta del mayor el menor, se obtiene siempre un número de tres cifras cuyas cifras de los extremos suman 9 y la intermedia es 9. b. Si a,b,c son tres dígitos tales que a+c=9 y b=9 entonces demuestre que (abc)10+(cba)10=1089 c. Lo anterior justifica el siguienteacertijo: Piense un número de tres cifras cualesquiera (ejemplo 347) sin divulgarlo tome el número con las cifras contrarias (743) y reste del mayor el menor (743-347=396), el resultado súmele el mismo número pero de cifras contrarias (396+693=1089) siempre se obtiene1089 .
12. Para elevar al cuadrado un número que escrito en base decimal termina en 5 (por ejemplo 145) se toma el numero que queda al omitir el 5 (es decir 14) y se multiplica por su siguiente (14×15=210) al resultado se le adjunta 25 y ese es el cuadrado del número ( 1452=21025 ). a. Demostrar que esta regla es válida. b. Enuncie y demuestre una regla similar para elevar al cuadrado números que, escritos en base 2b, terminen enb.
13. Análogo al sumador secuencial que se presentó en esta sección: a. Construir un "sustractor secuencial" para números escritos en base 2. b. Construir un "duplicador secuencial" para números escritos en base decimal.
14. Para multiplicar en base decimal se puede utilizar la siguiente regla: "Sumar a cada dígito, si es par la mitad de su vecino a la derecha, si es impar sumarle 5 además ( las mitades se consideran en su parte entera y el vecino del primer dígito, de derecha a izquierda, es el 0)"
Por ejemplo para multiplicar 152 por 6 2 no tienevecino a la derecha y es par, pasa
2
5 su vecino es 2, mitad 1, 5+1=6 como 5 es impar se le agrega además 5, obteniéndose11, llevamos 1 y pasa
1
1 su vecino es 5, mitad 2, suma 7 mas lo que llevábamos nos da 8 y como 1 es impar se suman 5 obteniendo
13
el producto es…………………………………............................................1312
a. Describir formalmente el algoritmo. b. Explicar formalmente por qué funciona (Ayuda: Nótese que multiplicar por 6 es multiplicar por 5+1. Aproveche el ejercicio 2 de esta sección).
15. Diseñe un método para dividir dos números que sea el inverso de la multiplicación de los campesinos rusos.
16. Demostrar la proposición 2 por inducción sobre n el número de cifras del número de varias cifras que se va a multiplicar (ayuda: Si a=(anan-1...a0)b entonces a=anbn+(an-1...a0)b
" A parte delas imágenes que es todo lo que podemos ver realmente, imaginemos un mundo de cosas sólidas; y ..., este mundo está constituido de tal manera que cumple un cierto código de reglas, algunas llamadas axiomas, otras definiciones, otras postulados y algunas admitidas en el curso de la demostración ..." WILLIAM K. CLIFFORD (1845-1879)
A1. EL MÉTODO AXI OMÁTI CO.
Hemos visto anteriormente algunas demostraciones. Se hace una demostración para despejar dudas sobre una proposición viendo que ella se deriva de otras de las cuales no se tienen dudas. Pero “tener dudas” es algo relativo. Podría suceder lo que pasa ante un niño que pregunta y al obtener la respuesta hace otra pregunta y así indefinidamente. Lo mismo sucede con las definiciones. Se define un término conocido en base a otros ya conocidos, pero estos a su vez, para no dejar dudas, necesitan ser definidos y así sucesivamente. ¿Hasta cuándo? Parece que las explicaciones de la vida terminan en círculos viciosos. (Terminan?)
Históricamente, hasta donde se conoce, los griegos fueron los que hicieron demostraciones matemáticas. Pitágoras o alguno de sus alumnos, demostró el teorema que lleva su nombre, ya conocido por civilizaciones anteriores como la de babilonia; los pitagóricos y otras escuelas lograron otras demostraciones tanto de proposiciones de la geometría como de la aritmética. Fue Euclides quien elaboró un cuerpo admirablemente armónico de todos sus conocimientos en sus famosos “ELEMENTOS DE GEOMETRÍA” en donde todas las proposiciones eran demostradas a partir de otras que ya lo habían sido (TEOREMAS) o que eran aceptadas desde un principio como verdades (AXIOMAS)
Los “Elementos de Geometría ” de Euclides forman una de las obras más importantes de toda la historia y por más de veinte siglos son la base de la enseñanza de la geometría y la matemática en el mundo occidental. El método axiomático desarrollado por los griegos, esto es, a partir de verdades aceptadas e indiscutibles para que por medio únicamente de raciocinios lógicos se lleguen a otra s no triviales, se convierte en la máxima aspiración de filósofos y científicos de casi todas las épocas, algunas veces con gran éxito como en el caso de la mecánica de Newton. Pero la geometría de Euclides tuvo su gran crisis en el siglo XIX cuando la discusión sobre el quinto postulado(*) desemboca en la construcción que hacen Lobachewsky y Bolyai y más tarde Riemman, de geometrías que contradicen dicho postulado y conservan todo su rigor lógico. Surgen pues, muchas inquietudes que obligan a replantear ¿QUÉ EL MÉTODO AXIOMÁTICO? ¿Cuál es la “verdadera geometría”? La que adopta como axiomas las “verdades evidentes?” Pero, las “verdades evidentes” son claramente relativas y no siempre son verdades universales pues en principio, por ejemplo, es evidente que la tierra es plana y que el sol gira alrededor de ella, pero sabemos que esto no es así. Hoy día el método axiomático sigue siendo tan importante como antes aunque en las épocas modernas la concepción general sobre dicho método ha cambiado. Hay dos diferentes que resaltamos: Primero, la teoría que resulta susceptible de ser aplicada no sólo a una situación particular sino a todas aquellas donde los axiomas, dándoles cierta interpretación, se cumplen; en estos casos se dice que se tiene un MODELO para la teoría. Segundo, los axiomas ya no se entienden con verdades autoevidentes por sí mismas, sino que se consideran simplemente como proposiciones de las que se parte para de mostrar todo lo demás. Casi siempre se trabaja con referencia a un modelo, por lo que hay que tener sumo cuidado pues, puede haber verdades “evidentes” según el modelo, pero que necesitan ser demostradas por todos los modelos posibles.
Ahora bien, cuando se trabaja con pocos axiomas loa posible modelos son generalmente muchos. A medida que se agregan axiomas el número de modelos va disminuyendo hasta que se reduce básicamente a uno. En este caso se han logrado definir los elementos de dicho modelo, de manera implícita, pues no se ha dicho que son, cual es su naturaleza, sino que se han dado ciertas propiedades entre ellos que en fin de cuentas los caracterizan. Esto es lo que haremos a continuación para captar el concepto de número entero axiomáticamente. Empezaremos mencionando los axiomas para dominios enteros que se refieren a las operaciones de suma y producto (+,·), pero, para este sistema hay muchos modelos: los enteros, los polinomios, las clases residuales, los números racionales, los reales, etc. Entonces introduciremos unos axiomas que se refieren al orden hasta que básicamente no encontramos sino un modelo: Los números enteros. Esperamos que esta introducción sirva al lector para que no se extrañe al demostrar cuestiones que para él siempre han sido evidentes como que el cero multiplicado por cualquier número siempre es cero, o que el uno (1) es el primer entero positivo. Demostraremos precisamente todas estas propiedades básicas de los enteros.
A2. AXIOMAS DE L OS ENTE ROS No definiremos que es un número entero, ni la suma ni la multiplicación entre ellos. simplemente diremos que los enteros están dotados de estas operaciones (+,·) las cuales caracterizamos por cumplir los axiomas. Además aceptamos la existencia de dos enteros 0 y 1 (diferentes) de manera que se cumple: AXIOMAS ALGEBRAICOS Siendo a, b, c, d enteros cualesquiera se cumple: 1. CLAUSURA: a=c y b=d ⇒ (a+b)=(c+d) 2. ASOCIATIVIDAD: (a+b)+c=a+(b+c) (a·b)·c=a·(b·c) 3. MODULATIVA: a+o=a y a·1=a 4. I NVERSOS ADITI VOS: Existe (-a) tal quea+(-a)=0 5. CONMUTATIVA: a+b=b+a) a·b=b·a 6. DISTRIBUTIVA: a·(b+c)=a·b+a·c 7. CANCELAT IVA PARA EL PRODUCTO: Si a≠ 0 a·b=a.c⇒b=c Estos axiomas los cumplen los enteros, como es fácil ver; pero hay otros objetos, sistemas, que también los cumplen. Cuando un conjunto (no importa la naturaleza de sus elementos) dotado de dos operaciones (no importa lo que ellos signifiquen) cumplen los axiomas algebraicos anteriores se llama DOMI NIO ENTERO o un dominio de integridad (Integral Domain). A continuación mostraremos algunos ejemplos:
Ejemplo 1. El dominio entero más pequeño en el que se puede pensar debe tener por lo menos dos elementos: el uno y el cero. Sea A={0,1} y definamos las operaciones + y · como se indican en los cuadros:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
Entonces se verifican todos los axiomas. La clausura se garantiza por la manera como se han definido las operaciones. La conmutativa para + se ve haciendo tadas las combinaciones posibles, se ve que 0+1=1=1+0 1+1=0=1+1 0+0=0=0+0 Así se prueba todos los axiomas Ejemplo 2. Sea A={a,b,c,d} y se definen las operaciones así + a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
· a b c d
a a a a a
b a b c d
c a c a c
d a d c b
En este caso como en el anterior, hay que demostrar cada propiedad observando la posibilidad. Vemos que el papel del 0 es jugado por a mientras que b hace el papel del 1, pues son módulos para el producto y la suma, respectivamente. Se ve, pues que se cumplen todas las propiedades a excepción de la cancelativa para el producto. En efecto la cancelativa exige que si x≠ 0 para todo y, z se tiene quexy=yz debe obligar y=z. En nuestro caso c≠ a (hace el papel de 0) y se tiene cb=cd sin embargo b≠ d. Ejemplo 3. Los números reales R y los racionale Q son como los enteros, dominios enteros. Es más, R y Q tienen propiedades queno tiene Z (¿cuáles?).
Ejemplo 4. Sea A el conjunto de polinomios con coeficientes reales, con la suma y multiplicación corrientes. A forma un dominio entero. El papel de 0 y 1 lo hacen los polinomios constantes de valores 0 y 1 respectivamente. PROPIEDADES Proposición 1. El "0" es único como módulo de la suma. Demostración: Supongamos que existe otro elemento, llamémoslo 0' que se comporta como módulo, o sea para todo x∈Z se cumple que: x+0'=x. En especial para 0 y aplicando conmutativa se tendrá 0'+0=0. (1) y como 0 es módulo se tendrá 0'+0=0'. que en combinación con (1) por clausura, obliga 0=0'. g Proposición 2. El "1" es único como módulo del producto. Demostración: (Ejercicio) Proposición 3. El universo aditivo es único. Demostración: Supongamos que (-a) y a' son inversos aditivos de a por lo tanto se deben cumplir: (-a)+a=0
(1)
a'+a=0
(2)
De (2) por clausura: (a'+a)+(-a)=0+(-a)
Como 0 es módulo y asociando a la izquierda tenemos: a'+(a+(-a))=(-a) Pero: (a+(-a))=0 Entonces: a'=-a. Proposición 4. a·0=0 Demostración: Por modulativa 0+0=0, y multiplicando por a La clausura asegura que a(0+0)=a·0 Vemos quea·0 está actuando como módulo aditivo por la Proposición 1 se tiene que a·0=0 Proposición 5. (-1)a=-a Demostración: La idea es ver que (-1)a es el inverso aditivo dea. Calculemos pues (-1)a+a por clausura como 1a=a tenemos: (-1)a+a=((-1)+1)a. Pero (-1)+1=1+(-1)=0 Por lo tanto (-1)a+a=0· a Y la proposición 4 nos asegura que (-1)a+a=0 lo cual por proposición 3 nos indica que -a=(-1)a Pues (-1)a según (1) actúa como módulo. Proposición 6. -(-a)=a.
(1)
Demostración: Se trata de ver, apoyándonos de nuevo en la proposición 3, que aactúa como inverso aditivo para (-a) y esto es claro pues a+(-a)=(-a)+a=0 Proposición 7. (-1)·(-1)=1 Demostración: (Ejercicio) Proposición 8. (-a)(-a)=a·a Demostración: (Ejercicio) Proposición 9. La ecuación x+b=c, cualesquiera que sean b y c, tiene una única solución: Demostración : Si hacemos x=c+(-b) y reemplazando en la ecuación vemos que este valor la satisface. Esto asegura que existe al menos una solución. Veamos que ésta es la única. Supongamos otra, o seax' se cumple también: x'+ b=c Entonces por clausura: (x'+b)+(-b)=c+(-b) asociando en el miembro de la izquierda: x'+(b+(-b)=c+(-b) Pero como b+(-b)=0 aplicando modulativa se obtiene x'=c+(-b)
o seax'=x lo que indica que la solución es única. NOTACION: Se notaráa-bal elemento a+(-b). Proposición 10. En un dominio entero no hay divisores de cero, es decir, si ab=0 entonces se debe tener que, o biena=0, o bien b=0. Demostración: Esto es una consecuencia del axioma 7, o sea la ley cancelativa del producto. En efecto, supongamos quea·b=0 y a≠ 0. Por lo tanto se tiene a·b=a·0 Aplicando el axioma debemos tener que b=0 De la misma forma vemos que si a·b=0 y b=0 entonces a≠ 0. Se ve entonces que siempre que un producto seanulo, uno de sus factores debe ser nulo. EJ ERCICIOS 1. SeaA={0,1,2} indicar si los axiomas de dominio entero se cumplen para las operaciones definidas como indican las tablas a) + 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 2
2 2 0 0
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 2
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 2
b)
¿Quién hace el papel de 1?
c) + 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 1 2
1 1 1 2
2 2 2 2
2. Sea x un conjunto y A el conjunto de todos los subconjuntos de x. Entonces la ∪ e ∩ ; son operaciones definidas en A. Entendiendo la ∪
como la suma y la ∩ como
producto, ¿Cuáles axiomas de dominio entero se cumplen? 3. Complete la tabla de multiplicación para que el conjunto A={0,1,2,3,4} forme un dominio entero + 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 4
2 2 3 4 0
3 3 4 0 1
4 4 0 1 2
+ 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
NOTA: 4 juega el papel de módulo para el producto. Para averiguar, por ejemplo, cuanto es 2·3 se sabe que 4+4 =3 entonces 2·3=2(4+4)=2·4+2·4=2+2+4 4. Demuestre la Proposición 2. 5. Demuestre la Proposición 7. 6. Basándose en la Proposición 7 demostrar 8. 7. Demuestre que en un dominio entero si a, b, c, d son elementos cualesquiera, se cumplen las siguientes igualdades (justifique cada paso): a) a·(b-c)=a·b-c·d b) (a-c)+(c-d)=(a-d)
c) (a+b)·(a+c)=a·a+(b+c)·a+b·c d) (a-b) e) (a-b)·(a+b)=(a·a)-(b·b) f) (a-b)·(c-d)=(a.c+b.d)-(b.c+a.d) 8. Demuestre que si en un dominio entero x+a =x+b entonces a =b (cancelativa suma). 9. Se definea2=a·a demuestre que (a+b)2=a2+2ab+b2 y que (a-b)2. 10. Diga dóndeestáel error de la siguiente demostración: "Como 6=6 y 2=2 puedo decir que 6+2 =6+2 lo cual ímplica que 6-6 =2-2 y se tiene 3(2-2)=1(2-2) de donde 3=1" 11. EnZ se define: a⊕b=a+b-1
a⊗b= a.b - (a + b) + 2
Demostrar que (Z, ⊕, ⊗) también forma un dominio entero en donde el módulo para + es 1. ¿Cuál es el módulo para el producto?
12. Demostrar que los números reales dela formaa+b 2 de donde a, b son enteros forman un dominio entero.
13. Entre las matrices 2X2 con coeficientes reales está definida la suma y la multiplicación, sin embargo, no se forma un dominio entero. (¿Porqué?)
⎛ a − b ⎞ ⎟⎟ reales sí forman un dominio entero. 14. Demuestre que las matrices de la forma ⎜⎜ b a ⎝ ⎠
A3. EL PRINCIPI O DEL BUEN ORDEN
Como vimos en la sección anterior Z es un dominio entero ordenado, pero no es único, pues existen otros radicalmente diferentes. En esta sección introducimos un nuevo axioma llamado "Principio de Buen Orden" y desarrollamos sus consecuencias. Este axioma caracteriza a los enteros en cuanto el único dominio entero ordenado que lo cumple es Z (salvo notación). No podemos mostrar ejemplos radicalmente distintos, pues como se puede demostrar (1) básicamente no hay sino un ejemplo. Otro problema es saber si con estos axiomas podemos demostrar cualquier proposición que sea cierta en Z. La sorprendente respuesta a este problema fué dada por G del alrededor de 1930 y se la dejamos como inquietud al lector. Antes de enunciar el citado axioma, damos otra definición que corresponde a la intuición. Definición 1. Sea A un subconjunto de un dominio entero ordenado. Se dice que a es el primer elemento de A. sí y sólo sí, a∈ A y a< x para todo x∈ A.
Es claro que si un conjunto tiene primer elemento, es único. Por otra parte hay subconjuntos no vacíos de un dominio entero que no poseen primer elemento, considérese por ejemplo el conjunto de números pares como subconjunto deZ. AXIOM A DEL BUEN ORDEN:
Todo subconjunto no vacío de positivos tiene un primer elemento.
Por las razones explicadas anteriormente, habiendo aceptado este axioma sólo nos referíamos a Z; tenemos pues que todo subconjunto no vacío de enteros positivos tiene un primer elemento, en especial los enteros positivos deben tener un primer elemento. Proposición 1. El primer elemento de los enteros positivos es 1.
Demostración. Supongamos que existe un elemento c positivo que está antes que 1, a sea
que: 0
Por el principio de buen orden A debe poseer un primer elemento, llamémoslo a. Como a∈A entonces:
0
Sumando (-a) a estas dos desigualdades nos queda 0
ii) Si x∈ A⇒ (x+1)∈ A En estas condiciones A coincide con los enteros positivos. Demostración. Sea B el conjunto de enteros positivos que no están en A.
Si B es no vacío, por el principio de buen orden debe tener un primer elemento llamémoslo b. ¿Qué ocurre con b-1? Es entero y positivo pues b=1 ya que 1∈A; entonces b-1 puede
pertenecer o no a A. Analicemos ambos casos: a. Si b-1 es elemento de A por la hipótesis ii) se tiene que (b-1)+1∈A o sea que b∈A lo
cual es imposible pues b∈B. b. Si b-1 no es elemento de A pertenece a B, pero b-1< b entonces b no sería el primer
elemento de B, contrario a lo supuesto. Ambas proposiciones nos lleva a negar la existencia de b y la única posibilidad es que B sea vacío o sea que A comprende todos los enteros positivos. Corolario. Sea A un conjunto y a un entero tal que: i) a∈ A ii) Si k∈ A se puede asegurar que a+1∈ A entonces A comprende todos los enteros mayores que a. Demostración. Sea B={x-a+1| x∈A} demuéstrese por inducción que N⊆B. Sea y entero
tal que y>a entonces y-a+1∈N, lo que implica que (y-a+1)∈B o sea y∈A. Otra forma del principio de inducción se da en el ejercicio 4. El principio de inducción también sirve para definir funciones evaluadas en números enteros a partir de k: Proposición 3. (Definiciones Recursivas) Si se conoce el valor de f(k) y si conociendo el valor de f(n) se puede conocer el valor de f(n+1), entonces se conocen los valores de f para todo entero mayor o igual a k.
Demostración. (Ejercicio)
El lector debe estar familiarizado tanto en las demostraciones por inducción como con las definiciones recursivas; aquí ilustraremos estas aplicaciones con la demostración de un hecho muy sutil con el cual estamos tan familiarizados que no se ve generalmente la necesidad de su demostración. El axioma de asociatividad que se dió para dominios enteros se enuncia para tres ejemplos e intuitivamente se dá uno cuanto que es válida para n elementos o sea que en una suma de n elementos se pueden eliminar los paréntesis (por esta razón, se puede hablar de "una suma de n elementos" no así de "una resta de n elementos"). Demostraremos formalmente este hecho. Primero definíamos lo que sería (...((a1+a2)+a3)+...)+an-1+an para a1, a2,..., an-1, an elementos de un dominio entero. Definición. Sean a1, a2,..., an,... elementos de un dominio entero. Se define: i) S1=a1 ii) Si+1=Si+ai+1
Así mismo definimos S -r- para k > r -r+1i) Srr +1 =ar+1 k+1
ii) Sr=Sr
+ak+1
Nota. Obsérvese que intuitivamente Si = (...(a1+a2)+a3)+...+ai-1)+ai y Srk = (...((ar+1+ar+2)+...+ak-1)+ak Si se define por inducción sobre i y Sk por inducción sobre k.
con (k>r)
Proposición 4. (Ley Asociativa Generalizada) En las condiciones de la definición anterior se tiene que para todo n≥ 3 y para todo k
Demostración. Haremos inducción sobre n: i) Para n=3 tenemos: S1=a1; S2=a1+a2; S3=(a1+a2)+a3
Si k=1: S12 =a2 y S13 =a2+a3 Sk+Skn =S1+S1=a1+(a2+a3)
Y aplicando asociativa al último término de ésta ecuación vemos que Sk+Skn =(a1+a2)+a3
ó sea Sk+Skn =Sn
Si k=2 compruébelo usted mismo. Es mas fácil! ii) Supongamos ahora que el teorema es válido para n es decir que para 0
Pero Spn 1 =Spn +an+1 por definición y así mismo +
Sn+1=Sn+an+1
entonces Sp+Spn 1 =Spn +( Spn +an+1)=(Sp+Spn )+an+1 +
Aplicando la hipótesis deinducción al último miembro de la igualdad vemos que: Sp+Spn 1 =Sn+an+1 +
Lo que implica que Sp+Spn 1 =Sn+1 +
Completando la demostración.
