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SINTAXIS Y SEMANTICA. LENGUAJE FORMAL Y LENGUAJE SIMBOLIC O. El propósito de la Lógica es construir un lenguaje artifcial, y para ello es necesario recordar los conceptos de sintaxis y semántica. La sintaxis de un lenguaje se ocupa del estudio de los signos con prescindencia de su signi signifc fcad ado, o, como como “María va al cine o María e !"e#a en caa$ , es un enunciado disyuntivo. La semántica, en cambio, se ocupa de la relación entre los signos y lo designado por ellos:$María va al cine o María e !"e#a en caa$ es un enunciado verdadero. verdadero. Por otro lado, entenderemos por lenguaje formal, un lenguaje natural en el que se relievan sólo los aspectos que interesan para determinado estudio, en nuestro caso la orma lógica, y se prescinde del resto de signifcados que la acompa!an. Ejemplos: "i todos los #ombre son mortales $ ning%n ángel es mortal Entonces ning%n #ombre es ángel. El ejemplo planteado es una afrmación, que es verdadera por su estructura,es bastante evidente. Pero si queremos resaltar su orma, orma, podemos prescindir prescindir de algunas palabras que no le #acen a la orma. "i todos lo & son ' $ ning%n ( es ', Entonces ning%n & es (. Lo que #emos #emos #ec#o es eliminar eliminar los t)rminos t)rminos *(+E- *(+E-E'( E'(+/*-" +/*-",, es decir, aquellos aquellos que por por si solo soloss sign signif ifca can n algo algo,, y mant manten ener er los los "/0* "/0*( (+E+E-E E'( '(+/ +/**-", ", aque aquell llos os que que requier requieren en dela dela compa! compa!1a 1a de otro otro catego categore remát mático ico al emplear emplearse, se, y en los que reside reside la 2uer3a4 lógica del argumento. (l anal anali3 i3ar ar los los argu argume ment ntos os,, #emo #emoss obse observ rvad ado o que que el leng lengua uaje je natu natura rall pres presen enta ta imp imprecisio siones, es, de modo tal que desea eseam mos desp esprendern ernos tambi)n i)n de los los sincat sincatego egorem remátic áticos. os. En todo todo caso caso queda quedarno rnoss sin lenguaj lenguaje, e, mejor mejor dic#o, dic#o, constr construir uir uno artifcial, defniendo de orma muy precisa los signos que emplearemos. En otras palabras construir un lenguaje simbólico . *omo se!ala 5rege: 2lo len%"a&e na'"rale on co(o el o&o )"(ano* in'r"(en'o #e %ran +ne,a - vera'ili#a#* ("c)o ( rico en "o !"e "n 'eleco/io* /ero /ara #e'er(ina#o +ne re!"eri(o #el 'eleco/io0 #el (i(o (o#o* /ara e'"#iar lo 'e(a #e la l1%ica l1%ica re!"eri(o #e "n len%"a&e i(21lico$.
LOGICA PROPOSICIONAL: ASPECTOS SEMANTICOS SEMANTICOS
6.7EL LE08(9E "/'-L/*-: "/'-L/*-:
En sentido general, el lenguaje simbólico es un tema complejo, pero en la lógica y en la matemática, matemática, el lenguaje lenguaje simbólico simbólico es un leguaje leguaje artifcial artifcial constituid constituido o por un conjunto conjunto de signos cuyo objetivo objetivo principal principal es la precisión precisión y la operatividad operatividad.. En ese sentido el lenguaje
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simbólico es un cálculo y , como tal está compuesto por un conjunto de i%no /ri(i'ivo , re%la #e 3or(aci1n - re%la #e 'ran3or(aci1n. Los símbolos primitivos, son s1mbolos admitidos sin defnición en el sistema, o sea, signos artifciales admitidos independientemente de todo contenido material. Los signos primitivos se caracteri3an caracteri3an por por su precisión, exactitud y universalidad. Las reglas de formación son las que nos permiten construir las combinaciones correctas de los signos primitivos dentro de un sistema. Las reglas de ormación permiten obtener las órmulas bien ormadas o expresiones bien ormadas del sistema. Las reglas reglas de transform transformació ación n nos permiten transormar una órmula bien ormada en otra otra órmul órmula a bien bien ormad ormada a ;b< ;b< de s1mbol s1mbolos. os. +iene +iene como como propó propósit sito o resolv resolver er proble problemas mas lógicos o matemáticos.
( manera de ejemplo, a continuación vamos a inventar un cálculo denominado el "istema =: 6.7 "1mbolos primitivos del sistema =: #, &, > ?.7egla de ormación: En el sistema =, una b es una secuencia de s1mbolos que inicia con & y termina en # . (plicando esta regla de ormación, son b lo siguiente.
?.6.7 & # ?.?.7 & > #
[email protected] & # > & # ?.A.7 & & > & > # ?.B.7 & # # & > # & & # *omo *omo podemo podemoss apreci apreciar, ar, aplica aplicando ndo nuestr nuestra a regla regla ormac ormación ión en el sistema sistema = podemo podemoss obtener infnitas órmulas. @.7 eglas de transormación.
+6 ℵ;(< C de. ;( & (< +? ; ( & < C de. ; & ( <
"eg%n +6, se puede eliminar el operador 2ℵ4 para obtener otra órmula equivalente donde sólo aparece el operador 2&4. Por ejemplo. (plicando la +6, se transorma en ; & < ℵ ; ℵ; < & ⊕ < por +6 se transorma en ; ; & < & ⊕ < & ;; ℵ ; <
& < & ⊕<
"eg%n +? podemos cambiar la posición de la órmulas y obtener otra órmula equivalente. Por ejemplo.
; & ⊕ < aplicando +? se transorma en ; ⊕ & < +? se transorma transorma en ; ⊕ & 0< & ℵ ; € < ℵ ; < & ; ⊕ & 0 < por +? Lo %nico que se #a #ec#o #asta este punto es operar o manipular un conjunto de signos bajo estrictas reglas expl1citamente admitidas. 'ientras el conjunto de s1mbolos primitivos no tenga un signifcado o un contenido semántico, será un conjunto de operaciones puramente sintácticas o de cálculo. Pero, si le asignamos un contenido a cada uno de los signos
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simbólico es un cálculo y , como tal está compuesto por un conjunto de i%no /ri(i'ivo , re%la #e 3or(aci1n - re%la #e 'ran3or(aci1n. Los símbolos primitivos, son s1mbolos admitidos sin defnición en el sistema, o sea, signos artifciales admitidos independientemente de todo contenido material. Los signos primitivos se caracteri3an caracteri3an por por su precisión, exactitud y universalidad. Las reglas de formación son las que nos permiten construir las combinaciones correctas de los signos primitivos dentro de un sistema. Las reglas de ormación permiten obtener las órmulas bien ormadas o expresiones bien ormadas del sistema. Las reglas reglas de transform transformació ación n nos permiten transormar una órmula bien ormada en otra otra órmul órmula a bien bien ormad ormada a ;b< ;b< de s1mbol s1mbolos. os. +iene +iene como como propó propósit sito o resolv resolver er proble problemas mas lógicos o matemáticos.
( manera de ejemplo, a continuación vamos a inventar un cálculo denominado el "istema =: 6.7 "1mbolos primitivos del sistema =: #, &, > ?.7egla de ormación: En el sistema =, una b es una secuencia de s1mbolos que inicia con & y termina en # . (plicando esta regla de ormación, son b lo siguiente.
?.6.7 & # ?.?.7 & > #
[email protected] & # > & # ?.A.7 & & > & > # ?.B.7 & # # & > # & & # *omo *omo podemo podemoss apreci apreciar, ar, aplica aplicando ndo nuestr nuestra a regla regla ormac ormación ión en el sistema sistema = podemo podemoss obtener infnitas órmulas. @.7 eglas de transormación.
+6 ℵ;(< C de. ;( & (< +? ; ( & < C de. ; & ( <
"eg%n +6, se puede eliminar el operador 2ℵ4 para obtener otra órmula equivalente donde sólo aparece el operador 2&4. Por ejemplo. (plicando la +6, se transorma en ; & < ℵ ; ℵ; < & ⊕ < por +6 se transorma en ; ; & < & ⊕ < & ;; ℵ ; <
& < & ⊕<
"eg%n +? podemos cambiar la posición de la órmulas y obtener otra órmula equivalente. Por ejemplo.
; & ⊕ < aplicando +? se transorma en ; ⊕ & < +? se transorma transorma en ; ⊕ & 0< & ℵ ; € < ℵ ; < & ; ⊕ & 0 < por +? Lo %nico que se #a #ec#o #asta este punto es operar o manipular un conjunto de signos bajo estrictas reglas expl1citamente admitidas. 'ientras el conjunto de s1mbolos primitivos no tenga un signifcado o un contenido semántico, será un conjunto de operaciones puramente sintácticas o de cálculo. Pero, si le asignamos un contenido a cada uno de los signos
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primitivos, ya estamos interpretando el cálculo, y se tendrá un lenguaje con estructura de cálculo . "upongamos que cada uno de de los signos tenga contenido contenido como sigue:
€ C ser abogado, ⊕ C ser pol1tico, 0 C ser religiosos ℵ C no es cierto que, & C ser amigo de, : ;,< C determinan sólo el alcance de los operadores.
Entonces, cada b tendrá una interpretación, por ejemplo:
cier to que sea abogado un tal individuo4. ℵ ; < debe interpretarse 2no es cierto ; & ⊕ < se interpretará 2un abogado tal es amigo de de un pol1tico cual4. ℵ ; ⊕ & Ο < se interpretará 2no es cierto que un pol1tico tal sea amigo de un religioso cual4. ; ; & ⊕ < & Ο < signifcará 2un abogado tal es amigo de un pol1tico cual y ellos a su ve3 son amigos de un religioso tal4. ; ⊕ & ℵ ; < < signifcará 2un pol1tico tal no es amigo de un abogado cual4. De igual modo, podemos interpretar n7b . sin embargo, a pesar de que se construyen los cálculos en unción de contenidos que deben ser aplicados, teóricamente los cálculos son independiente de todo contenido material.
LOGICA PROPOSICIONAL. Esta lógica se conoce tambi)n como lógica de las proposiciones no anali3adas, porque estudia sólo las relaciones entre proposiciones, sobre la base de los conectivos lógicos.
SINTAXIS DE LA LOGICA PROPOSICIONAL "e refere a un conjunto de signos carente de contenidos. La lógica proposicional ;LP< como un cálculo proposicional es un sistema ormal y simbólico sobre la base de un conjunto s1mbolos primitivos, reglas de ormación y reglas de transormación. Los s1mbolos primitivos constituyen el lenguaje de la lógica proposicional, entre ellos tenemos: las variables y operadores proposicionales, más los signos de agrupación y los puntos auxiliares. Estos s1mbolos como ya #emos dic#o, son admitidos sin defnición en un sistema, en este caso en LP. LP. Las reglas de ormación nos permite combinar combinar los s1mbolos primitivos para obtener 55 en LP, y las reglas de transormación son para eectuar las operaciones con 55, o derivar una consecuencia lógica a partir de un conjunto de premisas. (s1 tenemos:
1.- Símbolos primitivos de LP: (< .7 Fariables proposicionales: p, q, r, t, s, etc.de acuerdo a las necesidades. *ada una de las variables representan una proposición simple.
<.7 -peradores proposicionales: ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔. Los operadores proposicionales se clasifcan en dos: a.7 -perador monádico: 0o. -peran en un solo sentido. b.7 -perador diádico: operan en doble sentido.
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*<.7 "1mbolos auxiliares : "on signos de agrupación y los llamados puntos auxiliares. ( , ) , [ ,] , { , } , | , | , 2.4
2.- etavariables: +ambi)n +ambi)n son denominados denominados variables metalingG1sticas o s1mbolos del metalenguaje. epresentan de manera gen)rica órmulas: (,,*,.*ada una de estas metavariables representan órmulas proposicionales.
@.7!eglas de formación.- son las que determinan las posibles combinaciones correctas de los s1mbolos primitivos, en otras palabras, nos permiten construir 55 del sistema. "on las siguientes: a.7 +odo s1mbolo proposicional es una 55. b.7"i ( es 55, entonces ∼( tambi)n lo es. c.7 "i ( y son 55, entonces entonces 6.7 ( ( ∧ ) +ambi)n lo es ?.7 ( ( ∨ ) +ambi)n lo es @.7 ( ( → ) +ambi)n los es A.7 ( ( ↔ ) +ambi)n lo es d.7 d.7 8na 8na órm órmul ula a es una 55 si y solo solo si es el resu result ltad ado o de la aplic aplicac ación ión de las regl reglas as anteriores en un n%mero fnito de veces. Ejemplo: "i yo digo: 6.7 ?.7 @.7 A.7 B.7 H.7
2La pi3arra es verde4 C p P C (. +enemos los siguientes ejemplos p q ∼ p p ∧q ∼ p → q p ∨q ∨ p q 0o está comprendido en ninguna regla. . 8na 55 depende de las reglas de ormación.
5-'8L(" $ E"I8E'(" DE 5-'8L(":
conjunto de s1mbolos que uncionan de acuerdo acuerdo a un conjunto de "#$ %&!"L$:.- Es un conjunto reglas de ormación. El nombre de cada órmula depende del s1mbolo de la órmula. J.7 K.7 .7
Feamos algunos ejemplos: ∼( p→ q) ( p ∨ ∼ q ) → ( r ↔ ∼ p ) [ p ↔ ( q ∧ ∼ r ) ] ∨ [ q ∧ ( r → p ) ]
'S("'$S )' %*!"L$S.7 Es la representación de órmulas mediante metavariables. Ejemplos:
6< ?< @< A<
( ∼ ( (∨ H ( → B,K
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B< H<
∼ ( → B ( ( ∨ ) → *
E9E*/*/-":
( → ( ∧ ∼ ( )
( p, q, r, s, ∧, ∨, →, ∼ )
( C ( p ∧ q ) → ∼ r C ( q ∨ ∼ r ) → ( q ∨ r ) [ ( p ∧ q ) → ∼ r ] → {( p ∨ ∼ r ) ∧ ∼[ ( p ∧ q ) → ∼ r ]} EL USO DE LOS PUNTOS AUXILIARES. ANALIZAR ÁRBOL SEMÁNTICO.
"E'M0+/*( DE L( L-/*( P-P-"/*/-0(L. *omo ya sabemos construir órmulas proposicionales, vamos a interpretar semánticamente cualquier 55 en LP. Esta interpretación consistirá en que una 55 puede ser verdadero ;F< o alsa ;5< en alg%n caso posible. La verdad y la alsedad son conceptos semánticos, toda interpretación siempre están en unción de estos dos conceptos semánticos, lo que se denomina la lógica bivalente o lógica de dos valores. Las proposiciones se caracteri3an por ser verdaderas y alsas ejemplos: 6.7 La nieve es blanca. ?.7 La nieve no es blanca. @.7 La sangre es roja. A.7 La nieve es blanca y la sangre es roja. En este ejemplo observamos proposiciones verdaderas y contradictorias. La proposición A se orma uniendo 6 y @, y podemos decir que A es verdadera solo si 6 y @ lo son, ya que sus valores de verdad dependen exclusivamente de las primeras . El valor de verdad en estas proposiciones compuestas dependen de la unción de los valores de verdad de las proposiciones componentes como 2no4, 2y4 y otras palabras similares en la LP es reNejado por los conectores lógicos proposicionales. En el lenguaje natural expresiones como 2la moneda es estable4, 2la moneda es inestable4, nos #ará elegir como proposición simple a la primera, en ra3ón al prefjo 2in4 de la segunda. En otro ejemplo como 2la man3ana es buena4 y 2esta man3ana es mala4 se presenta una contradicción, entonces decidir Ocuál lleva la negación se presenta una arbitrariedad que ocurre, a veces, en los lenguajes naturales resalta el #ec#o que en ellos la decisión de qu) proposiciones son simples y cuales compuestas es relativa. Pero una ve3 identifcada las proposiciones simples, las proposiciones compuestas se reconocen automáticamente. En el lenguaje simbólico no se presentan estas ambigGedades, en el lenguaje natural aparecen miles de t)rminos que no son conectores lógicos, peor a%n , los que sirven
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de conectores lógicos cumplen otras unciones. Por eso los conectores lógicos:
presentaremos su rol semántico de
S'$#+$ )'L L'#"$/' S0&L* P!*P*S*#$L.
"e denomina /0+EPE+(*/Q0 "E'M0+/*( a las posibilidades de ver#a# ;F< y 3ale#a# 4F5 que se pueden asignar a una proposición. 8na proposición es verdadera si ocurre lo que enuncia: Ejemplo: 'l cielo est nublado 3 es verdadera si y sólo si el cielo está nublado. *on estas base es ácil inerir lo que ocurre con la alsedad. ("/ , dada una proposición, )sta será verdadera si el mundo está en un estado tal que ocurre lo que enuncia y será alsa si el estado del mundo es dierente. Para ju3gar si una proposición es verdadera o alsa sólo nos interesan dos estados posi!es de! m"ndo ;EP'< con respecto a dic#a proposición. 8no en que es verdadera, el estado del mundo es tal que acontece lo enunciado y otro en el que es alsa, el mundo se #alla en un estado en que no se da lo descrito por la proposición. "i encontramos dos proposiciones, por decir RpR y RqR, tenemos que considerar dos EP' para determinar los valores de verdad de cada una. (s1 tenemos: 2 El cielo está nublado y #ace r1o 4 determinar deseamos con7
En este caso consideramos dos EP' para los valores de verdad de cada una. "i considerar las dierentes combinaciones de
valores de 6< ?< @< A< Lo que
RpS verdadero y SpS verdadero y SpS also y SpS also y acostumbramos abreviar
6< ?< @< A<
F [ p ] F [ p ] 5 [ p ] 5 [ p ]
verdad que pueden ocurrir tenemos: SqS verdadero. SqS also. SqS verdadero. SqS also. de la siguiente manera:
y F [ q ] y 5 [ q ] y F [ q ] y 5 [ q ]
"i tuvi)ramos @ variables las combinaciones ser1an K:(s1:
?
@
indica la cantidad de variables indica los EP'.
LAS FUNCIONES 6ERITATI6AS7 $ L(" EL(" "E'M0+/*(": A.8LA NEGACI9N :
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0uestra semántica es muy pobre una proposición sólo posee dos posibles valores de verdad: FED(D $ 5(L"ED(D. Esto vale para toda proposición simple y compuesta. La negación es un operador monádico que se rige por la siguiente regla: La #"nci$n de !a ne%aci$n es ne%a& "na a'&maci$n o ne%a& "na ne%aci$n.. p ∼ p F 5 5 F Feamos su regla semántica: 1.4 p % % p
p
4 p
Es decir S∼p R es verdadero en el EP' en que RpR es also y S ∼pR es also en el EP' en que RpR es verdadero . Esta disposición de la inormación es la que utili3an los diagramas semnticos. .7 L( *-0980*/Q0: La conjunción es la unión de dos o más proposiciones mediante la part1cula 2y4, Por ejemplo: 2La pi3arra es negra y la ti3a es blanca4
p
Y
q
p ∧ q "u unción veritativa de la conjunción se rige por la siguiente regla: 2Una proposición conjuntiva es verdadera cuando todas sus proposiciones componentes son
verdaderas. Es falsa cuando por lo menos uno de sus componentes es falsa”.
1).-
V [ A ∧ B ] F [( ] F []
F[ A ∧ B ] F [ A ]
F [ B ]
La primera parte nos dice que si la proposición representada por ( ∧ es verdadera, las expresiones representadas por ( y lo son. Dice esto poniendo F [ ( ∧ ] encima de F [ ( ] y de F [ ] . La segunda , en cambio dice que si ( ∧ es alsa, basta que lo sea ( o . Dice esto poniendo 5 [ ( ∧ ] y debajo las dos posibilidades 5 [ ( ] o 5 [ ] como dos ramas, cada rama representa uno de .los casos. 0ótese que en el caso 5 [ ( ] nada se dice sobre el valor de verdad de y lo mismo ocurre en la rama 5 TU , ( puede tener cualquier valor de verdad. En particular, ninguna de las ramas se opone a que tanto ( como sean alsos . . 5 L$ )S6"#*#: Una /ro/oici1n #i-"n'iva e 3ala c"an#o " /ro/oicione co(8 :onen'e on 3ala* en lo #e( cao e ver#a#ero 4
Feamos su regla semántica: F [ ( ∨ ] F[( U
F T U
5 [ ( ∨ ] 5 [ ( ] 5[ ]
D.7 L( *-0D/*/-0(L: “Una /ro/oici1n con#icional e 3ala c"an#o la /re(ia e ver#a#era - 3ala la concl"i1n$ Feamos su regla semántica: F [ ( → ] 5 [ (]
F[ ]
5 [ (→ ] F[ ( ] 5[ ]
E.7 L( /*-0D/*/-0(L: “Una /ro/oici1n 2icon#icional e ver#a#era c"an#o 'ienen lo (i(o valore - 3ala en o'ro cao$. Feamos su regla semántica:
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F [ ( ↔ U F [ ( ] F[ ]
5 T ( ↔ U
5[ ( ] 5[ ]
F[ (U 5[ ]
5T (U F[ ]
(umentar ejercicios:
DIAGRAMA SEM(NTICA COMO PROCEDIMIENTO DECISORIO Los diagramas semánticos deciden la valide3 o invalide3 de una órmula, de una inerencia , de una proposición. "i tenemos una órmula:
$ %7$8
F;p< 5;q<
F; r <
F( p ) =
F( s )
F; s <
V( q ) =
F( s) =
Reglas de “oro del método del diagrama semántico” 6.7 "uponer que la órmula ( es Ferdadero o 5also pero no ambas . ?.7 (plicar las reglas semánticas en las órmulas que no orecen biurcación. @.7*lausura la rama que ex#ibe una contradicción. A.7 8na órmula se puede biurcarse en una o dos subramas. B.7*ada rama es independiente respecto al otro, salvo al tronco com%n. H.7"i una órmula que está en el tronco com%n se biurca, se introducirá en cada una de las subramas clausuradas. J.7"i a partir de la &ipótesis ( Ferdadero, +odas las ramas se clausuran, entonces ( es 5alsa en todo estado posible del mundo, pero si a partir de ( 5alsa, todas las ramas se clausuran, entonces ( es verdadero en todos los Estado posibles del mundo.
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K.7 8na o más ramas no clausuradas nos conduce a determinar que ( es verdadera o ( es 5alsa en alg%n estado posible del mundo.
SIM)OLI*ACION DE LAS PROPOSICIONES :
Consiste en tradcir na e!presi"n de n lenga#e natral$ a no sim%"lico (&')$para ello cada proposici"n simple de%e ser sim%oliado por na aria%le proposicional$ * qe los términos de enlace de%en ser sim%oliados por operadores proposicionales qe las interpretan. &a +ormaliaci"n no es n proceso mecánico$ ,#emplo
1.-Raúl es economista, pero no ejerce su profesión P ∧ ∼ q 2.- Mario estudia Biología o uímica, pero no am!as a la "e# ( p ∨ q ) ∧ ∼ ( p ∧ q ) $.-% Mario estudia Biología o estudia uímica p ≠ q &.-Mario ni estudia Biología ni estudia uímica p ↓ q '.- Mario no estudia Biología ( no estudia química ∼ p ∧ ∼ q ).- *o es cierto que +aga frío o est llo"iendo. ∼ ( p ∨ q ) .- i aprue!an el e/amen, entonces egresarn. p → q 0.- i el reo es culpa!le , entonces ser condenado o deportado a su país. p → ( q ∨ r ) .- lías "iajar a 3uanca(o si toma el tren a tiempo. p → q
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14.- isnten dice la "erdad, pues la teoría de la relati"idad no es e/acta ni las le(es de la mecnica son a!solutas. r → ( ∼ p ∧ ∼ q ) 11.-mit+ es director de la empresa o economista, porque tiene el ma(or número de acciones. (q ∨ r ) → p 12.- l capitn +a muerto o est prisionero, (a que el galeón no tiene piratas. p → ( q ∨ r ) ∼ 1$.- 5as mujeres te amarn si les mientes. 5os +om!re te odiarn pues le dicen la "erdad ( p→ q ) ∧ ( r → s ) 1&.- i María reci!ió el telegrama o tomó el a"ión o ignoró mi pedido. P → ( q ≠ r ) 1'.- i no es el caso que rosa es a!ogada o asesor financiero, es actri# ( empresaria teatral. ∼ ( p ∨ q ) → ( r ∧ s) 1).- *o es cierto que compró acciones de la telefónica o !onos del go!ierno. 5uego o!tu"o di"idendos porque compró acciones de la 6elefónica. ∼ ( p ∨ q ) → ( r → s )
1.- 5a comisión de go!ierno de an Marcos declaró ilegal la +uelga de tra!ajadores pues no presentaron los recursos a tiempo ( no terminaron las con"ersaciones. 5os tra!ajadores sern despedidos si mantienen las medidas de fuer#a. r → ( ∼ p ∧ q ) ∧ ( s → t ) 10.- i un país es po!re no de!e gastar dinero en di"ersiones como el fút!ol o las fiestas populares. i gastan dinero +a!r ma(or desnutrición.
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[ p → ( ∼ q ∨ r ) ] ∧ ( q → s ) 1.- Miguel reci!ió el mensaje a tiempo porque estu"o en casa ( el ser"icio de correos es eficiente. Miguel "iajar a la con"ención pues reci!ió el mensaje a tiempo. [ r → ( p ∧ q ) ] ∧ ( s → r )
7R8989%: a!iendo que la "aria!le ;P< significa : ;P< = est llo"iendo ;<= +ace muc+o frío traducir al lenguaje natural los siguientes esquemas moleculares.
1.- ∼∼Ρ ol : *o es "erdad que no est llo"iendo. 2.- ∼ p ∨ q ol : *o est llo"iendo o +ace muc+o frío. $.- p ∧ ∼ q ol: st llo"iendo pero no +ace muc+o frío. &.- p → q ol : i est entonces +ace muc+o frío '.- q ↔ ∼ p ol: 3ace muc+o frió si ( solo si no esta llo"iendo. ).- p → ( p ∨ q ) ol: i est llo"iendo ,entonces, est llo"iendo o +ace muc+o frío. .- ∼ ( p ∧ q ) ol : *o es cierto que est llo"iendo ( +ace muc+o frío. 0.- ∼ ( p ∨ q )
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ol : *o es cierto que est llo"iendo o +ace muc+o frío. .- ∼ p ∧ ∼ q ol : *i est llo"iendo ni +ace muc+o frío. 14.- ( p ∨ q ) → ∼ ( p ∧ q ) ol : st llo"iendo o +ace muc+o frío. 5uego, no es "erdad que est llo"iendo ( +aga muc+o frío. Proposiciones complejas: 1.- la terrorista japonesa ser e/pulsada del país si tiene pasaporte falso, pero no tiene pasaporte falso. Por lo tanto, no ser e/pulsada del país.
[ ( q → p ) ∧ ∼ q ] → ∼ p 2.- lena "iaja a Roma, porque gana la !eca ( o!tiene el primer puesto. Pero lena no "iaja a Roma. Por lo tanto, no se da el caso que o!tu"o el primer caso ( ganó la !eca.
( q ∧ r .→. p ) ∧ ∼ p .→. ∼ ( r ∧ q )
$.- l espectculo se cancela, o est llo"iendo si +ace frío. Mas el espectculo se cancela. 5uego, no est llo"iendo.
[∨(→)]∧→(°→∼)
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6. i /a* llias en la sierra * el go%ierno distri%*e a%ono$ entonces la prodcci"n agr0cola crecerá. /.7 /dentifcación de la variable: &ay lluvias en la sierra C p El gobierno distribuye abonos C q La producción agr1cola crecerá C r //.7 Estructura 5ormal "i ;777 p777y777q777<, entonces ;777r777< ///. "imboli3ación ( p ∧ q ) → r /F.7 Falidación ( p ∧
q ) → r
?. ,l 'er tendrá pro%lemas +ronterios si los /itos demarcatorios no son isi%les. a. El Per% tendrá problemas ronteri3os Cp b. Los #itos demarcatorios son visibles Cq 6. ;V V VPV V V< "/ ; no 777 q7777< ∼
@.
q
→
p
2 Ada estudia ingl)s y inormación. (da estudia ingl)s C (da estudia ranc)s C (da visita a sus amigas C (da busca inormación C - ;777p777y7777q77777< o a.
5ranc)s, o visita a sus amigas y busca p q r s ;7777r77777y77777s7777<
( P ∧ q ) ∨ ( r
∧
s )
A. . 3o es el caso qe ,sperana no sepa tocar la gitarra * no componga na melod0a$ pesto qe es egresada del conseratorio de msica. Esperan3a saber tocar la guitarra Esperan3a compone una melod1a Esperan3a es egresada del conservatorio de m%sica
C p Cq Cr
0o es el caso que ;no 777p777y no 777q777<, puesto que ;777r777<
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r
→
∼ ( ∼
p
∧
∼
q
)
B. *uando el cielo está nublado #ace r1o i. El cielo está nublado C p ii. &ace r1o C q P → q En este caso la orma lógica de la proposición es condicional, porque el sentido de 2cuado4 es de 2si...entonces4. H. *uando llov1a a cántaros murió Fallejo. Llov1a a cántaros C p 'urió Fallejo Cq P∧ q En este caso la orma lógica de la proposición es conjuntiva, porque el sentido de la proposición es 2llov1a a cántaros y a la ve3 mor1a Fallejo4. J. +anto el Per% como olivia son productores de cobre. El Per% es productor de cobre Cp olivia es productor de cobre Cq P ∧ q K. *#ile limita con el -c)ano Pac1fco aunque el Per% limita tambi)n con el -c)ano Pac1fco. *#ile limita con el -c)ano Pac1fco C p Per% limita con el -c)ano Pac1fco C q P ∧ q . (unque llueve ir) a visitarte Llueve Cp /r) a visitarte C q ( P ∨ ∼ p ) → q i. En este caso, 2aunque4 indica 2llueve o no llueve, ir) a ii. visitarte4. +ambi)n puede interpretarse as1: p → q ) ∧ ( ∼ p → q ) 6W.
(unque severo, es justo. a. Es severo C p b. Es justo Cq P ∧ q
66. ,l ai"n despegará a las 4 de la ma5ana a menos qe la ne%lina c%ra el aeroperto.
-15-
,l ai"n despegará a las 4 de la ma5ana 6 p La neblina cubre el aeropuerto Cq "e puede simboli3ar as1 : ∼ q→ p +ambi)n puede ser as1: p ∨ q - sea de esta otra orma: ∼ p → q 6?. (s1 como podemos simboli3ar una proposición a partir de su estructura ormal, tambi)n podemos construir una proposición en lenguaje ordinario a partir de una estructura ormal. Por ejemplo, dada la siguiente orma lógica: "i777 p 7777, entonces 7777q 777o 777r7777
'ara constrir na proposici"n en lenga#e ordinario qe tenga esta +orma l"gica$ tenemos qe atri%ir na proposici"n simple a cada aria%le proposicional$ lego redactar la proposici"n completa de acerdo a la +orma l"gica. ,ntonces$ inentamos na proposici"n para cada aria%le$ como sige p C El Per% productor de minerales. q C El Per% exporta mercurio r C El Per% exporta esta!o i. (#ora, redactando de acuerdo a su orma lógica, se tiene: ii. "i el Per% es productor de minerales, entonces exporta mercurio o exporta esta!o.
si el calor dilata los cerpos anqe no sean de metal entonces el calor dilata los metales. Ya que$ si los cerpos son dilatados por el calor$ entonces si los cerpos son de metal$ los metales son dilatados por el calor. 7.- 7denti+icaci"n de aria%les El calor dilata los cuerpos C p Los cuerpos son de metal C q El calor dilata los metales C r // .Estructura 5ormal "i p aunque no q entonces r. $a que, si p, entonces si q, r ///. "imboli3ación ( p. → . q → r ) → ( p ∧ ∼ q . → . r )
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aplicando diagrama semántico una rama una rama queda abierta de #ip. 5.
6@. i el testigo dice la erdad entonces el ma*ordomo esta%a en la escena del crimen. 'ero el ma*ordomo no esta%a en la escena del crimen. ,n consecencia$ el testigo no dice la erdad.
6A.
19.
El testigo dice la verdad C p El mayordomo estaba en la escena del crimen Cq ( p → q ) ∧ ∼ q . → . ∼ p ;tautolog1a< -tros casos: a. 2'aria no llegó tarde anoc#e4 P: 'aria llegó tarde anoc#e La simboli3ación es: ∼ p b. 0o es el caso que "an 'artin pospusiese los intereses peruanos a los argentinos. San artin pospuso los intereses peruanos a los argentinos. La simboli3ación es: ∼ p Si no es el caso ue no salga el sol ;
'jercicios para simboli=ar 7prcticas8
a. i el aeroplano tiene suficiente gasolina entonces llegar al mediodía. b. l primer productor de co!re en udam>rica no limita con ecuador. c. ?n número es positi"o si ( solo si es ma(or que cero. d. *o es el caso que Brasil o M>/ico pertene#can al Pacto @ndino. e. *i cuador ni Boli"ia son productores de algodón. . e +u!iera impedido el asalto al !anco si la alarma +u!iera sonado oportunamente.
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g.
9"et+ conseguir un ascenso como reportera, a menos que pierda la entre"ista con el director de prensa. 8uando el cielo no est nu!lado, sil"a el "iento ( los pajarillos cantan. 6endremos muc+as flores en el jardín, si la estación es propicia ( las semillas no estn malogradas. u!ir el precio del pan porque su!ió el precio de la gasolina, en "ista de que si su!ió el precio de la gasolina, el go!ierno no puede controlar la inflación.
#. i. j. X.
3a!r un concierto si ( solamente si +a( una conferencia. i no +a( un !aile entonces no +a!r conferencia. in em!argo, no es el caso que +a(a !aile ( concierto pero +a!r uno de los dos. 8onsecuentemente, no +a!r conferencia
l.
% el puntero i#quierdo no se adelanta, o !aja un mediocampista ( el centro delantero no queda li!re de marcación. Pero no ocurre que, si los marcadores de punta no su!en, entonces el puntero i#quierdo no su!e. Por lo tanto, se retrasa un mediocampista ( los contrarios presionan al equipo, (a que si el centro delantero no se desmarca ( los defensas laterales no se adelantan, entonces los contrarios presionarn al equipo.
A#e( #e lar%o* el e&e(/lo /reen'a "n inn;(ero #e oracione aevera'iva #i'in'a* al%"na #e la c"ale /arecen “&"n'are$ en "na (i(a “3a(ilia i%ni+ca'iva$* ve(ola7
Gr"/o <7 “El /"n'ero i,!"ier#o no e a#elan'a$* “El /"n'ero i,!"ier#o no "2e$. Gr"/o =7 “Ba&a "n (e#ioca(/i'a$* “Se re'raa "n (e#ioca(/i'a$. Gr"/o>7 “El cen'ro #elan'ero no !"e#a li2re #e (arcaci1n$* “El cen'ro #elan'ero no e #e(arca$. Gr"/o ?7 “Lo (arca#ore #e /"n'a no "2en$* “Lo #e3ena la'erale no e a#elan'an$. Gr"/o @7 “Lo con'rario /reionan el e!"i/o$* “Lo con'rario /reionarn al e!"i/o$. Al%"na coni#eracione7 “(arca#or #e /"n'a$ - “#e3ena la'eral$ e lo (i(o. “S"2ir$ - “a#elan'are 'a(2in.$ Lo (i(o oc"rre con “2a&ar$ - “ re'raere$. “"e#ar li2re #e (arcaci1n$ - “#e(arcare$. e #on#e7
El /"n'ero i,!"ier#o e a#elan'a Ba&a "n (e#ioca(/i'a El cen'ro #elan'ero e #e(arca Lo (arca#ore #e /"n'a "2en
D/ D! D r D
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Lo con'rario /reionan al e!"i/o D '
Y la e'r"c'"ra 3or(al e /"e#e re/reen'ar co(o7 O no /* o ! - no r. :ero no oc"rre !"e* i no * en'once no /. :or lo 'an'o* ! - '* -a !"e i no r - no * en'once '. Y concl"i(o7 ( ∼ / . ∨ . ! ∧ ∼ r )
a. b. c. d. e.
∧ ∼ ( ∼ → ∼ / ) . → . ( ∼ r ∧ ∼ . → .' ) → ( ! ∧ ' )
p→q ∼p p↔q ∼( p ∨ q ) ∼ p ∧ ∼q
. g. #. i. j.
q→p ∼q →p ∼p→( q ∧ r) (q ∧ ∼r ) → p ( q → ∼ r) → ( q → p)
SIMBOLICE LAS SIGUIENTES :RO:OSICIONES
1. 3o es el caso qe si Cristina no estdia%a a%ogac0a ni /a%r0a podido contraer matrimonio$ dado qe Cristina no /a podido contraer matrimonio porqe preside la administraci"n de na empresa. 8. %irá el precio del pan porqe s%i" el precio de la gasolina$ en ista de qe si s%i" el precio de la gasolina$ el go%ierno no pede controlar la in+laci"n. 9. &a ag#a de la %r#la gira en ista de qe la em%arcaci"n /a cam%iado de rm%o$ * la em%arcaci"n /a cam%iado de rm%o dado qe /a* tormenta en alta mar. :. Anqe el d"lar no s%a de precio$ la moneda perana se deala; sin em%argo$ anqe la moneda perana no se deala$ los art0clos de primera necesidad s%en de precio. 4. . ?a%rá n concierto si * solamente si /a* na con+erencia. i no /a* n %aile entonces no /a%rá con+erencia. in em%argo$ no es el caso qe /a*a %aile * concierto pero /a%rá no de los dos. Consecentemente$ no /a%rá con+erencia. @. i te leantas temprano * tomas el ai"n de las siete$ entonces lograrás estar presente en la ceremonia de clasra. i no estás presente en la ceremonia de clasra$ entonces no te leantaste temprano o no tomaste el ai"n de las siete. . 2 el satélite entra en "r%ita$ o $ si +alla el co/ete implsor$ caerá al mar. ,l satélite no cae al mar .'or consigiente$ o el satélite entra en "r%ita o no +alla el co/ete implsor.
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1.i Carlos +e a la pla*a$ o %ien se dedic" a pescar o %ien pas" la ma5ana remando. Carlos no se dedic" a pescar. ,n consecencia$ si Carlos +e a las pla*a$ pas" la ma5ana remando. 11. i Al%erto no ingresa a la niersidad$ entonces$ o se dedica a la mecánica o se /ará comerciante. Al%erto no se /ará comerciante. &ego$ si Al%erto ingres" a la niersidad$ no se dedicará a la mecánica. 18.i el calor dilata los cerpos anqe no sean de metal entonces el calor dilata los metales. Da qe$ si los cerpos son dilatados por el calor$ entonces si los cerpos son de metal$ los metales son dilatados por el calor. 19.Apro%aron en el congreso na le* so%re aranceles lego de qe interino el Einistro de ,conom0a$ en ista de qe si no se apro%ara na le* so%re aranceles$ no se pod0an rea#star los impestos a la e!portaci"n. 1:.,l prodcto marginal crece cada e qe el prodcto total crece$ lo qe signi+ica qe el resltado de los rendimientos es creciente; a menos qe$ el prodcto total creca porqe el go%ierno /io na emisi"n inorgánica. 14.,l método cient0+ico es n con#nto de procedimientos l"gicos. e a/0 qe se conierte en g0a para la inestigaci"n * la demostraci"n. 1=.2 %ien te dedicas al deporte o %ien te dedicas al estdio$ pero no pedes perder el tiempo. 1>. i arGin está en lo cierto$ entonces el ser /mano es prodcto de la eolci"n. ,l ser /mano es prodcto de la eolci"n. 'or lo tanto$ arGin esta%a en lo cierto. 1@. i tra%a#o mc/o$ termino el d0a cansado * dermo mc/o me#or. 3o pde dormir. 'or tanto$ no tra%a#é mc/o. 1. i no llee$ se arrinarán las cosec/as. i se arrinan las cosec/as$ o el go%ierno a*da a los campesinos o /a* miseria. 'or eso$ el go%ierno a*dará a los campesinos. 8. &a prodctiidad amenta si * s"lo si /a* est0mlos. i /a* est0mlos$ los costos s%en. i los costos s%en$ /a* qe s%ir los precios * qiás los clientes se eno#en. &a prodctiidad amenta. 'or lo tanto$ qiá los clientes se eno#en. 81. ,l edi+icio se derrm%ará$ si ss cimientos son ende%les o la constrcci"n es de+iciente. &a constrcci"n no es de+iciente. Conclimos qe$ el edi+icio no se derrm%ará. 88. i e!isten sstancias compestas entonces el átomo es na sstancia compesta. i e!isten sstancias simples entonces el electr"n es na sstancia simple. ,!isten sstancias simples * compestas. 'or lo tanto$ el átomo es na sstancia compesta * el electr"n es na sstancia simple. 89. ,l ingeniero llegará /o* si * s"lo si tom" el elo al medio d0a.
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8>. 3estro raonamiento pede dar lgar a errores porqe es de+iciente. i es de+iciente$ es
indispensa%le identi+icar las le*es l"gicas; no o%stante nestro raonamiento podr0a dar lgar a errores. 'ero no es cierto qe nestro raonamiento no sea de+iciente ni sea indispensa%le el identi+icar las le*es l"gicas. ,n consecencia$ nestros raonamientos peden dar lgar a errores porqe es de+iciente. 8@. i 3eGton o%ser" la ca0da de la manana entonces no +e n aar qe desc%riera las le*es del moimiento. 3eGton comprendi" la le* de graitaci"n niersal * no +e n aar qe desc%riera las le*es del moimiento$ porqe Ro%ert ?ooHe introd#o a 3eGton en el estdio de na tra*ectoria cra de "r%itas planetarias. ,n consecencia$ si 3eGton o%ser" la ca0da de la manana o Ro%ert ?ooHe introd#o a 3eGton en el estdio de na tra*ectoria cra de "r%itas planetarias$ entonces no +e n aar qe desc%riera las le*es del moimiento. 8. 3o es el caso qe em"crito sosten0a s"lo la e!istencia del átomo o la e!istencia del ac0o. i em"crito rec/aa%a la e!istencia de la nada entonces sosten0a s"lo la e!istencia del átomo. e a/0 qe$ si em"crito sosten0a la e!istencia del ac0o o rec/aa%a la e!istencia de la nada$ entonces sosten0a s"lo la e!istencia de la nada. 9. em"crito rec/aa%a la e!istencia de la nada dado qe sosten0a s"lo la e!istencia del átono. em"crito rec/aa%a la e!istencia de la nada si * s"lo si no sosten0a la e!istencia del ac0o. 'or lo tanto$ no se da el caso qe em"crito sostiera s"lo la e!istencia del átomo * del ac0o. 91. &a empresa /ace reingenier0a si * s"lo si es competitia. i la empresa es competitia entonces me#ora s e+iciencia. 'or tanto$ si la empresa /ace reingenier0a$ me#ora s e+iciencia. 98. 3o se da el caso de qe la %e%ida esté /elada * el pastel m* caliente. &a %e%ida está /elada si /a estado en la /ielera. ,n consecencia$ no es el caso qe el pastel esté caliente * la %e%ida /a*a estado en la /ielera. 99. i el go%ierno de los ,stados nidos /a radicaliado s actitd +rente a los ilegales o se /a incrementado las tropas en la ona de +ronteras$ entonces la condici"n de los ilegales es altamente precaria. ,l senado de los ,stados nidos no apre%a la constrcci"n de n mro con la +rontera me!icana porqe la condici"n de los ilegales es altamente precaria. ,n consecencia$ si el go%ierno de los ,stados nidos /a radicaliado s actitd +rente a los ilegales$ entonces se /a incrementado las tropas en la ona de +ronteras o el senado no apre%a la constrcci"n de n mro con la +rontera me!icana. 9:. Reconocidos organismos apo*an el so de la p0ldora del d0a sigiente$ sin em%argo ss detractores insisten en el tema de s e+ecto a%ortio. i la p0ldora acta antes de s +ecndaci"n entonces la p0ldora a*dará a la sald de millones de m#eres. 'ero$ los detractores insisten en el tema de s e+ecto a%ortio. ,n consecencia$ si reconocidos organismos apo*an el so de la p0ldora del d0a sigiente$ entonces la p0ldora acta antes de la +ecndaci"n * a*dará a la sald de millones de m#eres. 94. i la moral es comn a todos los /om%res$ entonces el /om%re es capa de e#ectar na acci"n conscientemente. &os alores constit*en las má!imas calidades /manas si el /om%re es capa de e#ectar na acci"n conscientemente. i la ética la%oral no se desanece entonces la moral es comn a todos los /om%res. 'or lo tanto$ si la ética la%oral no se desanece entonces los alores constit*en las má!imas calidades /manas. 9=. i la p%licidad es decisia en el +ncionamiento del mercado o es importante en la socialiaci"n$ entonces trasmite modelos qe in+l*en en las personas. &a p%licidad es decisia en la in+ormaci"n poplar si trasmite modelos qe in+l*en en las personas. 'or lo tanto$ si la p%licidad es decisia en el +ncionamiento del marcado$ entonces tam%ién es decisia en la in+ormaci"n poplar.
-21-
9>.i Iamarra manda atacar a los lanceros$ la artiller0a /ará +ego * los in+antes pasarán a la retagardia. ,n caso de qe mande atacar a los lanceros$ la in+anter0a de%erá a%rir +ego. &ego$ si los in+antes no pasan a la retagardia$ a%rirán +ego. amarra manda atacar a los lanceros La artiller1a #ace uego Los inantes pasan a la retaguardia. La inanter1a debe abrir uego
Cp Cq Cr Cs
[ p → ( q ∧ r ) ] ∧ ( p → s ) . → . ∼ r → s. ;evaluar por diagrama semántico los EP' en que esta proposición es verdadera o also<
,J,RC7C72 2BR, 7AIRAEA ,EK3<7C2 1) ( ' ↔ q ) ∧ ∼ p .→.∼ q → r 8)
∼[(p∧q) → ( ∼q ∨ r ) ] ∧ ∼ [(p → ∼q) ∨ (p ∧ ∼ r ) ]
9)
[ (p ∧ q ) ↔ r ] ∧ ∼r .→. (s ∧ t ) → ( ∼p ∧ ∼ q )
:)
[ ( q → p ) ∧ ∼ r ] ∧ [ ∼ (∼ p ∧ ∼r ) → s ] .→. [ ( ∼q ∨ q ) → (∼ r ∧s ) ]
4)
[ s ↔ ( r ∧q ) .→. ( ∼ q ∨ p ) ]
=)
( ∼ p ↔ q ) ∧ ∼ ( r → p ) .→. ( q → p ) ∧ ( r ∨ p )
>)
∼ [ ( r → s ) ∨ ∼ r . ∧ . s → ∼ r ]
@)
∼ q ∨ ( ∼ p ∧ ∼r ) .∧. ∼ [ q → ( p ↔ r )]
)
( r ∧ s .∨. ∼ p ) .→. ( p ∧ s ) → (r ∧ p)
1)
( r → p) ∧ ( ∼ r → q ) .∧. ∼[ ∼( q →p ) → ∼( r ∧ q )]
11)
p ∧ ∼ ( q → p ) .↔. q → ( p ∨ ∼ q )
18)
[ ∼ r → ∼ ( ∼ p ∧ r .→. ∼ r ∧ ∼ p ) ] ∧ ∼ ( q ∨ r .∨ . p ) .→. ( r ∨ p )
-22-
19)
[ ( p ∨ r ) → ∼ q ] ∧ ( r → s ) .→. ∼ ( s ∨ ∼ r ) → p
1:)
( p → q .∨. p ∧ ∼q ) ↔ ( ∼ q .→. r → s )
14)
p ∨ r .→. ( q → p .→. r ∨ t ) → ( t ∨ r )
1=)
∼[ p → ∼ ( s ∨ r ) .→. ∼ ( ∼ s ∧ ∼ r ) .→. ∼ p ]
1>)
( q ↔ r ) ∧ ∼ [ ∼ ∨ ( ∼ r .→. q ↔ p ) ]
1@)
q ∨ ( r → ∼ p ) .→. ( ∼ r ∧ q ) ∨ ∼p
1)
( p ∧ ∼ q ) → r .↔. ∼ r → ( ∼ q → ∼ p )
8)
( r ∧ s .∨. ∼ p) → ∼ ( p ∨ q ) .∨. ∼ s
81)
( ∼ q → p ) ∧ ( s → r ).↔. ( ∼ q ∧ s ) → ( p ∧ r )
-23-
EYPE"/-0E" I8E DE0-+(0: 0E(*/-0
*-0980*/-0
0o es el caso que. Es also que. Es imposible que. 0o es verdad que . 0o es cierto que. Le alta.. "in. *arece de. 0unca . 9amás.
(unque. Pero. (%n cuando. +anto...como. e. "ino. (demás. 0i...ni. 'ás. 'as. 0o obstante. "in embargo. +ambi)n. /gualmente. ( pesar de. ( menos que. ( la ve3 que.
p
D/"$80*/-0
o. 8. $a...ya. ien... bien. "ea... sea. -ra ... ora.
*-0D/*/-0(L "i p... entonces...q "i p...,. q... ...luego.... ...por lo tanto.... ...de a#1 que... ...es condición sufciente.... .... (s1 se sigue que... ... sólo si..., cuando...,...etc.
aqu1 se observa primero antecedente y luego la consecuente.
p
p
*-0D/*/-0(L *onsecuente ocupa el primer lugar aparecen en:
....es condición necesaria....... ..p...si...q.... ....siempre que.... ....ya que....... ... porque...... ... cuando....... ... toda ve3 que... ... a menos que... ... dado que... ... toda ve3 que... ...puesto que... ... en vista de que...... ... a no ser que....
"e simboli3a (s1:
/*-0D/*/-0(L: "e representa con la siguientes expresiones:
*uando y solo cuando, "i ....., entonces y sólo entonces. "i y solo si.
p
-24-
Es condición necesaria y sufciente que. Porque y solo porque.
p ↔ q
S0*L>$! L$S S"'#+'S P!*P*S*#'S:
1.- 3o es el caso de qe la %e%ida esté /ec/a * el pastel esté m* caliente. &a %e%ida está /ec/a; en consecencia$ no es el caso qe el pastel esté caliente. 8.- i 'edro compr" el li%ro entonces es propietario del li%ro. 3o es el caso qe sea propietario * no cmpla con s estdio; por lo tanto$ 'edro no compr" el li%ro o no cmple con s estdio. 9.-2 la piscina está temperada si /a* cale+acci"n$ o los %a5istas concrsan en nataci"n. 'ero los %a5istas no concrsan en nataci"n; de manera qe$ es imposi%le qe /a*a cale+acci"n entonces la piscina no está temperada. :.- 2 la gerra es catastr"+ica o no la es an cando$ los gerreros lc/an a +aor de s Lpatria; si * solo si$ tengan armas para lc/ar * na patria qe de+ender. 4.- i Carmela reci%i" la carta$ o %ien tom" el %s o %ien no reci%i" el pedido. Carmela no tom" el %s; entonces * s"lo entonces $ si Carmela reci%i" la carta entonces ignor" el pedido. =.- &iandro tomará el atom"il * estará aq0 ma5ana$ si reci%i" el mensa#e. 2 &iandro no tom" el atom"il; o &iandro no reci%i" el mensa#e. >.- Eatilde esto en el accidente si tom" el ai"n$ * no asisti" a la reni"n si esto en el accidente; pero Eatilde tom" el ai"n o no asisti" a la reni"n; por consigiente$ Eatilde esto en el accidente. @.- i 7rma decepcion" la llamada$ entonces si qiere segir practicando el %ásqet /ará el pago correspondiente. 'ero qiere segir practicando el %ásqet. Además; 7rma /ará el pago correspondiente si 7rma decepcion" la llamada. .-i &orena reci%i" la comnicaci"n$ entonces si qiere realiar s ia#e /ará la gesti"n de s pasaporte. &orena /ará la gesti"n de s pasaporte ; de a/0 qe$ si &orena reci%i" la comnicaci"n entonces qiere realiar s ia#e. 1.- i 3adia reci%i" el ca%le $ entonces o asistirá a la sesi"n o+recerá n %anqete. 3adia no o+recerá n %anqete; por lo tanto$ si 3adia no reci%i" el ca%le entonces no asistirá a la sesi"n. 11.-2 Bert/a tiene mc/os admiradores o$ si es m* atractia ganará n concrso de %ellea. Bert/a no ganará n concrso de %ellea; lego$ Bert/a tiene mc/os admiradores o no es m* atractia.
ESTUIO E LA INFERENCIA7
-25-
9nferimos de manera permanente ( espontneamente. Reali#amos operaciones que consiste en deri"ar unas cosas de otras. jemplo. o i "emos el cielo nu!lado, decimos que "a a llo"er o 3umo ...... fuego o 5argas colas en el mercado ........ escase#. o 8iudades ..........+a!itantes. Por lo tanto en todo momento inferimos. Pero 6%A% es inferencia P%*6*@ Cu> es inferencia 5ógicaD s una operación de AA?889E*. e deducen de unas formulas llamadas Premisas a otra llamada 8onclusión. ste proceso se da conforme a Reglas mu( precisas
TAM)IEN SE DENOMINA CONSEC+ENCIA SEMANTICA
El objeto de estudio de la lógica es la inerencia. *ada inerencia es una estructura de proposiciones donde a partir de conjunto de proposiciones llamadas premisas se deduce a otra proposición llamada conclusión. I8/0E 2 El objeto más importante de la lógica en su aplicación a la ciencia y al discurso cotidiano mediante +E*0/*(" - 'E+-D-" si una proposición sigue 0E*E"(/('E0+E o 0- a otra proposición. Por ello, la relación más importante entre el conjunto de premisas y la conclusión de una inerencia es el concepto de /'PL/*(*/-0, porque si la conclusión sigue necesariamente al conjunto de premisas entonces el conjunto de premisas implica a la conclusión.
IMPLICACION: Es importante distinguir los conceptos *-0D/*/-0(L E /'PL/*(*/Q0, porque la no distinción de estos conceptos #a generado, entre otros problemas, 2 la paradoja de la implicación material4, donde se considera el operador 2 → 4 *omo 2implica4 en ve3 de leerlo como s1mbolo de2 si...entonces4. "e dice que 2(4 implica a 24 cuando unidos por el condicional 2(4 como antecedente y 24 como consecuente, la relación es válida o lógicamente verdadera .Ejemplo Dada las órmulas 2(4 y 24 : ( C p ∧ q C p ∨ q Para ver si 2 ( implica a 4 , debemos proceder relacionando las órmulas de acuerdo a la siguiente orma condicional. $ 0 Luego tenemos: p q ; p ∧ q< → ; p ∨ q < v v v F F F 5 5 F F
-26-
5 F 5 5
F 5 +(8+-L-/( *omo el resultado es una tautolog1a si dice que 2(4 implica a 24. La implicación es una relación "E'M0+/*( o una relación entre los valores
de verdad.
5 5
F F
Defnimos de esta manera:
!"e
2Si "na /ro/oici1n “A$ i(/lica a o'ra /ro/oici1n “B$* en'once e i(/oi2le !"e “A$ ea ver#a#ero - “B$ 3ala* e #ecir* i “A$ e ver#a#era e necearia(en'e ver#a#era$.
en'once “B$
Esta defnición se puede expresar
$
E9E'PL-: a< Dada
0 ? def.
$
0
las siguientes proposiciones:
(.C - una princesa se casa joven, o puede llegar a los ?6 a!os y contraer nupcias con un *aballero. C - una princesa se casa joven o contrae nupcias con caballero. Determinar si 2(4 implica a 24. Para tal eecto primero simboli3amos las proposiciones, luego, aplicando el m)todo decisorio del D .", averiguar la relación implicativa entre 2(4 y 24: ( C p ∨ ( q ∧ r ) C p ∨ r P ∨
(
q
∧
r
)
⋅→⋅
p
∨
r
PROPIEDADES DE LA IMPLICACION:
5as propiedades de la implicación aparecen e/presadas en las siguientes cuatro le(es:
-27-
1.2.-
Propiedad refle/i"a: 8ualquier fórmula F@G se implica a sí misma. @ → @ Propiedad transiti"a: i ;@< implica ;B< ( ;B< implica a ;8<, entonces ;@< implica a ;8<.
( @ → B ) ∧ ( B → 8 ) ⋅ →⋅ @ → 8 $.- 8ualquier fórmula implica a una tautología F6G. @ → 6 &.- ?na contradicción F⊥G implica a cualquier fórmula. ⊥→ @
jercicios: a.- ( p→q ) ∧ p ⋅→⋅ q %.- ( p → q) ∧ ∼ q⋅→⋅ ∼ p c.- ( p ∨ q ) ∧ ∼ p⋅→⋅q
FModus Ponens o eliminación de →G F Modus 6ollensG Filogismo dis(unti"oG
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Fimplificación o eliminación de ∧G d.- p∧q⋅→⋅q F@dición o 9ntroducción de ∨G e.- p⋅→⋅ p∨q +.- ( p∨q)∧( p→r )∧(q→r )⋅→⋅r F liminación de ∨G g.- ⊥M p→q /.- p→∼qM <
LA EQUIVALENCIA:
6am!i>n es importante distinguir el concepto equivalencia concepto !icondicional. l 8oncepto ;!icondicional< se refiere a la forma lógica de ;@ si ( sólo si B<, mientras que el concepto ;equi"alencia< se refiere a una relación semntica entre los "alores componentes de ;@ si ( sólo si B
@↔ B
( p → q ) ↔ ( q ∨ ∼ p ) ;Si una proposición “A” equivale a otra proposición “B”, entonces “A” implica a “B” y , a la vez,”B” implica a “A”.
sta definición de la equi"alencia puede ser e/presada como sigue: @ ↔ B = def. ( @ → B ) ∧ ( B → @ )
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jemplos: F2G Aadas las siguientes proposiciones, "amos a determinar si ;@< ( ;B< son equi"alentes: @ = i la producción minera crece ( +a( di"isas en el país, entonces +a( 9n"ersión de capitales. B = i +a( di"isas en el país, entonces +a( in"ersión de capitales a menos que la producción minera no cre#ca.
im!oli#ando tenemos: 5a producción minera crece = p 3a( di"isas en el país = q 3a( in"ersión de capitales = r
@ = ( p ∧ q ) → r B = q → ( ∼ ∼ p → r )
( p ∧ q ) → r ⋅ ↔ ⋅ q → ( ∼ ∼ p → r )
PROPIEDADES DE LA EQUIVALENCIA :
1.- Propiedad refle/i"a: 8ualquier fórmula equi"ale a si misma. @ ↔ @ 2.-Propiedad sim>trica: i ;@< equi"ale a ;B< , entonces ;B< equi"ale a ;@<. (@ ↔ B) → ( B ↔ @ ) $.- Propiedad transiti"a:
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i ;@< equi"ale a ;B< ( ;B< equi"ale a ;8<, entonces ;@< equi"ale a ;8<. ( @ ↔ B ) ∧ ( B ↔ 8 ) ⋅ → ⋅ @ ↔ 8 &.- 6odas las fórmulas tautológicas son equi"alentes. 61 ↔ 6n '.- 6odas las fórmulas contradictorias son equi"alentes. ⊥1 ↔ ⊥n
DADA LAS SIGUI!"S I!#$!%IAS D%IDA &'$ DS SI S (ALIDA ' !'.
F1G.- i el testigo dice la "erdad entonces el ma(ordomo esta!a en la escena del crimen. Pero el ma(ordomo no esta!a en la escena del crimen. n consecuencia, el testigo no dice la "erdad. F2G.- l agua se congela si ( sólo si la temperatura est !ajo cero. %curre que el agua no se congela. Por lo tanto, si la temperatura no est !ajo cero entonces la congeladora est malograda. F$G .- 5a producción minera crece, si ( sólo si los salarios son altos ( +a( in"ersión de capitales. %curre que la producción minera no crece. 5uego, o los salarios no son altos o no +a( in"ersión de capitales. F&G i el galeón trae piratas entonces el capitn no +a muerto. 5a tripulación llegar al amanecer si no +a( tormenta en el alta mar. Pero, si +a( tormenta en alta mar entonces el galeón no trae piratas. Ae modo que, la tripulación llegar al amanecer si el capitn no +a muerto. F'G 5a película es original, si +a +a!ido un asesinato ( no se sa!e qui>n es el autor del delito. i se sa!e qui>n es el autor del delito entonces el +omicida es el ma(ordomo. Pero el guionista no es original si el +omicida es el ma(ordomo. n consecuencia, si +a +a!ido un asesinato, entonces la película es original si el guionista es original.
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F)G i un cuerpo de conocimientos no es comunica!le, entonces no es científico. *o es el caso que si un cuerpo de conocimientos es comunica!le, entonces el m>todo científico ( las t>cnicas puedan aprenderse en los li!ros. Por consiguiente, un cuerpo de conocimientos es comunica!le o no es científico, dado que el m>todo científico puede aprenderse en los li!ros. FG e conser"ar el mismo "olumen de producción si la reforma agraria no da !uenos resultadosI dado que la reforma agraria dar !uenos resultados si todas las tierras son e/plotadas, ( se conser"ar el mismo "olumen de producción si todas las tierras no son e/plotadas. F0G 5a producción minera crece, si ( sólo si +a( di"isas en el país o +a( in"ersión de capitales. i +a( pro!lemas con los tra!ajadores o no +a( in"ersión d e capitales, los políticos mienten. Ae a+í que, si la producción minera no crece, +a( pro!lemas con los tra!ajadores si los políticos mienten, puesto que los políticos no mienten si no +a( pro!lemas con los tra!ajadores. FG i la infraestructura es el principal pro!lema de la educación, entonces muc+os niJos no irn al colegio a menos que el stado constru(a grandes unidades escolares. *o es el caso que si mejora el ni"el de la enseJan#a, la infraestructura no sea el principal pro!lema de la educación. Pero muc+os niJos irn al colegio si mejora el ni"el de la enseJan#a. n consecuencia, el stado constru(e grandes unidades escolares si ( sólo si mejora el ni"el de la enseJan#a. F14G % 8arneades no +a!ría "enido en au/ilio de los epicúreos o no +a!ría +ec+o causa común contra los estoicosI en "ista de que, si +u!iera "enido en au/ilio de los epicúreos, +a!ría "enido contra los gnósticos ( con el prete/to de lucir su "irtuosidad dial>ctica, ( si +u!iera "enido con el prete/to de lucir su "irtuosidad dial>ctica, no +a!ría +ec+o causa contra los estoicos ni +a!ría "enido contra los gnósticos. F11G 6anto la matemtica como la geometría son e/actas porque uclides no se equi"ocó. i uclides no se equi"ocó, tanto la matemtica como la geometría son sistemas a/iomticos. Pero cuando se mide distancia interestelares, la geometría no es e/acta. n consecuencia, cuando se mide distancias interestelares, tanto la matemtica como la geometría no son e/actas, en "ista de que la matemtica ( la geometría son e/actas si ( sólo si son sistemas a/iomticos. F12G i la física es e/acta, 6olomeo no dice la "erdad si 8op>rnico tiene la ra#ón. *o es el caso que si la tierra es plana el mo"imiento de los planetas no sea elíptico. 6olomeo dice la "erdad si ( sólo si la 6ierra es plana. Ae a+í que , 8op>rnico tiene la ra#ón si ( sólo si el mo"imiento de los planetas es elíptico, dado que la física es e/acta. F1$G 5a lmpara est encendida, si ( sólo si +a( fluido el>ctrico a la "e# que +a( alguien en casa . i no +a( alguien en casa, o los de casa +an salido a pasear o +an ido a una función teatral. 5os de casa +an ido a una función teatral si +an salido a pasear. Por consiguiente, si +a( fluido el>ctrico entonces no es el caso que +a(an ido a una función teatral ( la lmpara est> encendida. F1&G i los físicos dicen la "erdad, el mo"imiento que descri!en los astros es elíptico ( la fórmula de la gra"edad es e/acta. Pero, si los físicos no dicen la "erdad, ni la fórmula de la gra"edad ni la fórmula de la "elocidad de la lu# son e/actas. 5uego, las fórmulas de la gra"edad ( de la "elocidad de la lu# son e/actas, si ( sólo si el mo"imiento que descri!en los astros es elíptico.
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F1'G @unque no gane el concurso "iajar> al e/tranjero. %!tendr> una !eca, a menos que estudie física nuclear o informtica. i estudio física nuclear o informtica, entonces no me dedicar> al turismo. Por lo tanto, si gano el concurso pero no o!tengo una !eca, entonces no "iajar> al e/tranjero si ( sólo si me dedicar> al turismo.
Ms ejercicios para diagrama semntico ( p ∨ ∼ q) ∧ ( r ↔ ∼ p ) ⋅→⋅ q → ∼ r p ∧ ∼ r ⋅→⋅ ∼ ( q ∧ r ) → q q ∨ ( ∼ p → r ) ⋅→⋅ [ ∼( p → q ) ∨ ( p ∧ ∼q )] ( ∼ q → p ) ∧ ( s → r ) ⋅↔⋅ ( ∼ q ∧ s ) → ( p ∧ r ) p = rigir un monumento ecuestre a 6upac @maru sería un anacronismo FsiG q = l 9nca conoció el ca!allo. r = l que tenga Krancisco Pi#arro es co+erente. s = Kue in+erente a su cargo de capitn general.. '. [ ( q ∨ r ) → s ] → ∼ p ⋅→⋅ → ( ∼ q → r ) p = 5a teoría de la gran unificación del uni"erso inclu(e a la fuer#a de la gra"edad. q = las teorías estudian las partículas. r = las teorías estudian los tomos. s = la gra"edad es d>!il en su efecto. ). ∼ p → ∼ ( q ∧ r ) ⋅ ∨ ⋅ ( r → ∼ p ) ∨ ∼ p . ∼ ( p ⋅ ↔ ⋅ q → ∼ r ) → ∼( ∼ r ∨ p ) ⋅ ∧ ⋅ ∼ ( q ⋅ → ⋅ ∼ p ∨ r ) 1. 2. $. &.
5@ 9*KR*89@ * L*R@5 Kormalmente la 9*KR*89@ podemos definirla así: P1 P2 . . .
Pn ∴ 8 im!oli#ando tenemos: P1 ∧ P2 . . . ∧ p n ⋅ → ⋅ 8
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Para anali#ar una inferencia es necesario conocer la función que desempeJan ciertos t>rminos de enlace que conectan la premisa ( la conclusión. n la prctica , primero se u!ica la conclusión, luego las restantes sern las premisas. 5as premisas ( las conclusiones ocupan di"ersas posiciones. @sí como sigue: 1° .- P1 , P2 , Pn . 5uego, 8. 2°.- 8 , puesto que P1 , P2 ( Pn. $°.- P 1 , P2 , luego, 8, puesto que Pn P 6>rminos que denotan la conclusión: Por lo tanto Por consiguiente n consecuencia Ae modo que Ae a+í que, etc.
jemplos: 1.- i el galeón no trae piratas, entonces el capitn +a muerto o est prisionero. Pero el capitn no +a muerto ni est prisionero. n consecuencia, el galeón trae piratas. im!oli#ando: l galeón trae piratas = p l capitn +a muerto = q l capitn est prisionero = r
∼ p ⋅ → ⋅ q ∨ r ∼ q ∧ ∼ r ∴ p luego tenemos: ( ∼ p ⋅ →⋅ q ∨ r ) ∧ ( ∼ q ∧ ∼ r ) ⋅ → ⋅ p F5a inferencia es "lidaG
FORMAS VAL!AS !E RA"O#AME#$O
Las ormas válidas de ra3onamiento tienen su undamento en los p&incipios, !e-es - &e%!as !$%icas.
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./Los p&incipios !$%icos .- on los fundamentos de todas las "erdades lógicas Fde todas las tautologíasG . 8ada principio lógico es el punto de partida ( a la "e# el punto de llegada en las demostraciones lógicas. n la lógica tradicional los principios lógicos son los siguientes: a.% &rincipio de dentidad .%
egún este principio toda proposición solo se implica
a si mismo. jemplo: o
i el número dos es par, entonces el número dos es par.
P→ P F5enguaje o!jetoG @→@ FMetalenguajeG
Ley eNexiva En todas las cosas se afrma b.%
;ejemplo 'iguel rau<
El principio de la identifcación
&rincipio de no contradicción .% egún
este principio es imposi!le que una proposición sea erdadera ( Kalsa a la "e#.
s imposi!le que el número 2 sea par ( no sea par ∼ ( p ∧ ∼ p )
marxistas
;p ∧ ∼ p<
ser o no ser
Seg@n Aant : l principio de no contradicción es principio supremos de la ra#ón. c.%&rincipio del tercio e'cluido.% una
proposición o !ien es "erdadera o !ien es falsa, no e/iste una tercera posi!ilidad.
p∨∼p
el número dos es par o el número dos no es par.
Begel decía: estos tres principios se reducen a una o a sus equivalentes.
Leyes lógicas:
on tautologías que estn en el uni"erso lógico. olamente son le(es un pequeJo grupo, con el propósito de resol"er pro!lemas lógicos. stas le(es podemos clasificarlas en le(es e)uivalentes ( le(es implicativas. *omo le( se e/presa mediante una fórmula proposicional, así:
( p → q ) ∧ p .→. q
Modus Ponendo Ponens F5e(G Modo
8ada le( tiene su respecti"a RE,LA ló+ica
poniendo Modo
pon+o afirmando
afirmo
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eglas Lógicas:
es una forma "lida de ra#onamiento cu(o o!jeti"o es la operati"idad permite efectuar operaciones , para transformar fórmulas o deri"ar una consecuencia lógica. ?na regla lógica pertenece al metalenguaje ( se sitúa en el plano prctico. Pero como regla el MPP se e/presa: -Si afirmamos el antecedente de una fórmula condicional se conclu(e en la afirmación del consecuente de dic/a fórmula condicional”.5a forma de este ra#onamiento es como sigue:
A A
0 0
in em!argo las 5e(es se pueden usar como reglas. 1. 2.
F p ∧ ∼ q ) → ( r ↔ ∼ sG F p ∧ ∼ q G
∴( r ↔ ∼ s ) [ ( p ∧ ∼ q) → ( r ↔ ∼ s ) ] ∧ ( p ∧ ∼ q ) .→. r ↔ ∼ s
5as reglas lógicas ( el m>todo de la deri"ación LAS EQUIVALENCIAS NOTABLES: e usan en la trasformación ( simplificación de fórmulas: 1.% Le(es conmutativas 2*onm3
1. F p ∧ q G ↔ ( q ∧ p ) 2. ( p ∨ q ) ↔ ( q ∨ p ) $. ( p ↔ q) ↔ ( q ↔ p) egún esta le(es, las fórmulas conjunti"as, dis(unti"as ( !icondicionales se pueden permutar.
4.%Le(es Asociativas 2Asoc.3
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1. p ∧ F q ∧ r G ⋅ ↔ ⋅ ( p ∧ q ) ∧ r 2. p ∨ ( q ∨ r ) ⋅ ↔ ⋅ ( p∨ q ) ∨ r $. p ↔( q ↔ r ) ⋅ ↔ ⋅ ( p ↔ q ) ↔ r 2 *os indica que dos o ms conjunciones con la misma jerarquía se pueden agrupar indistintamente. sta afirmación "ale tam!i>n para las dis(unti"as ( las !icondicionales3 5.%Le( de idempotencia 2dem.3 1. 2.
( p ∧ p ) ↔ p ( p ∨ p ) ↔ p
F5as fórmulas que se repiten en una cadena de conjunciones o dis(unciones , se eliminanG 6.% Le(es distri7utivas 2 !ist.3
p ∧ ( q ∨ r ) ⋅↔⋅ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) 2. p ∨ ( q ∧ r ) ⋅↔⋅ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) 3. p →( q ∧ r ) ⋅↔⋅ ( p → q ) ∧ ( p → r ) 4. p →( q ∨ r ) ⋅↔⋅ ( p → q ) ∨ ( p → r ) 1.
8.% Le( de la do7le ne+ación 2!#3 1.
∼∼ p ↔ p
9.% Le(es de Mor+an 2!M3
1 . ∼ ( p ∧ q ) ↔ ( ∼ p ∨ ∼ q ) 2 . ∼ ( p ∨ q ) ↔ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ∼ ( @ ∧ B )
∴ ∼ @ ∨ ∼ B
∼ @ ∨ B ∴ ∼ ( @
∧ B)
jemplos: o
o
*o es el caso que +aga calor ( llue"a. Por lo tanto, o no +ace calor o no llue"e. % no a!unda el plancton o no +a( anc+o"etas en el mar. 5uego, no es el caso que a!unde el plancton ( +a(a anc+o"etas.
F2G ∼ ( @ ∨ B ) ↔ ( ∼ @ ∧ ∼ B ) o
o
*o es el caso que el paciente tenga sarampión o tifoidea. 5uego, el paciente no tiene sarampión ni tifoidea . 5a pi#arra no es "erde ( la ti#a no es roja. Por lo tanto, no es el caso que la pi#arra sea "erde o la ti#a sea roja
:.%Le(es de la a7sorción 2A7s.3
p ∧ ( p ∨ q ) ⋅↔⋅ p p ∨ ( p ∧ q ) ⋅↔⋅ p p ∧ (N p ∨ q ) ⋅↔⋅ p ∧ p
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p ∨ ( N p ∧ q ) ⋅↔⋅ p ∨ p ;.% Le(es de la implicación 2mp.3
1 ( p → q ) ↔ ( ∼ p ∨ q ) 2 ( p → q ) ↔ ∼ ( p ∧ ∼ q ) #ota: ?na
fórmula condicional se transforma en una fórmula dis(unti"a con solo negar el antecedente de dic+a fórmula F1G. 6am!i>n se puede decir : -;p< implica a ;q<, si ( sólo si o ;p< es falso o ;q< es "erdadero”. Ae igual modo F4G - ;p< implica a ;q< si ( sólo si no es el caso que ;p< sea "erdadero ( ;q< falso”. &or ejemplo< 1.- p→ ( q → r ) a.- ∼ p ∨( q→ r ) de 1 por 9mp
%.- ∼ p ∨ ∼ q ∨ r de 2 por 9mp.Fpuede +a!er confusión consultarG o
∼ [ p ∧ ∼ Fq ∨ rG ] sta anotación es mía C"erificar O ?na proposición implicati"a equi"ale a una dis(unción con el primer componente negado. @sí:
i es prima"era entonces el sol !rilla. 5uego, o no es prima"era o el ol !rilla. % la materia no se destru(e o la teoría del cam!io es a!soluta. n consecuencia, si la materia se destru(e entonces la teoría del cam!io es a!soluta. o
=.%Le(es de la e)uivalencia 2E).3
1. ( p ↔ q ) ×↔×( p→ q ) ∧( q → p ) 2. ( p ↔ q ) ×↔×( p ∧ q ) ∨ (∼ p ∧ ∼ q ) ejemplos: o
o
?n número es positi"o si ( solo si es ma(or que cero. Por lo tanto, si un número es positi"o entonces es ma(or que cero, ( si un número es ma(or que cero entonces es positi"o. .i el agua se congela entonces la temperatura est !ajo cero, ( si la temperatura est !ajo cero entonces el agua se congela. n consecuencia, el agua se congela si ( sólo si la temperatura est !ajo cero.
$.- p→ ( q → r )
c.- ∼ p ∨( q→ r ) de 1 por 9mp d.- ∼ p ∨ ∼ q ∨ r de 2 por 9mp. 1>.%
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a. Modus ponendo Ponens FMPPG: • Ae una premisa condicional, si se afirma el antecedente, se conclu(e afirmando su consecuente: jemplo. o i la temperatura est !ajo cero entonces el agua se congela. 5a temperatura est !ajo cero. 5uego, el agua se congela. o i llue"e ( nie"a, entonces +a!r tormenta. %curre que llue"e ( nie"a. Por lo tanto, +a!r tormenta. @ → B @ ∴ B !. Modus 6ollendo 6ollens FM66G • i se niega el consecuente de una premisa condicional, se conclu(e negando su antecedente. jemplo. o i llue"e entonces las pistas estn mojadas. 5as pistas no estn mojadas. Por lo tanto, no llue"e. o i pedro "iajó en auto o en a"ión, entonces reci!ió el mensaje. Pedro no reci!ió el mensaje. Por lo tanto, no es el caso que +a(a "iajado en auto o en a"ión. @→B ∼B ∴ ∼@ c. ilogismo Ais(unti"o FAG • Ae una premisa dis(unti"a, si negamos uno de sus miem!ros, se conclu(e en la afirmación del otro. Kormalmente se e/presa así: o % "amos al cine o "amos al ( teatro. *o "amos al teatro. 5uego "amos al cine. o % +ace frío ( llue"e, o el festi"al se cele!rar al aire li!re. l festi"al no se cele!rar al aire li!re. 5uego, +ace frío ( llue"e. @ ∨ B ∼@
@ ∨ B ∼ B
∴B
∴ @
d. ilogismo 3ipot>tico Puro F3PG • l condicional es transiti"o. Kormalmente se e/presa: o i *eton dice la "erdad entonces el mo"imiento no es relati"o. i el mo"imiento no es relati"o entonces la física mecnica es e/acta.
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o
Por lo tanto, si *eton dice la "erdad entonces la física mecnica es e/acta. i no o!tengo la !eca entonces no "iajar>, ( si no, no ser> profesional. Por lo tanto, si no o!tengo la !eca, no ser> profesional.
A B
B C
A
C
e. implificación Fimp.G • Ae una premisa conjunti"a se puede deri"ar cualquiera de sus componentes. o 5ima es la capital del Perú ( Buenos @ires es la capital de @rgentina. Por lo tanto, 5ima es la capital del Perú. o 3enr( estudia ( María 5uisa es profesora de lógica. 5uego, María 5uisa es profesora de 5ógica. o
@ ∧ B
@ ∧ B
∴ B
∴ @
f. 8onjunción F8onj.G • @ partir de un conjunto de premisas se puede concluir en la conjunción de las mismas. jemplos: o 5as rosas son aromticas . 5as rosas florecen en todas las estaciones. 5uego, las rosas son aromticas ( florecen en todas las estaciones. o 8laudio tra!aja en la administración pú!lica. 8laudio es contador colegiado. n consecuencia, 8laudio es contador colegiado ( tra!aja en la administración pú!lica. @ B ∴ @ ∧ B
@ B ∴ B ∧ @
g. @dición [email protected]
@
∴@∨ B
@ partir de una premisa se puede concluir adicionndole cualquier otra proposición. @sí: B
∴ B ∨ @
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+. Regla de la implicación F9mp.G o
i. Reglas de la equi"alencia Fq.G o ?na proposición equi"alente equi"ale a una mutua implicación de sus componentes. @sí: ( @ ↔ B ) ⋅↔ ⋅ ( @→B ) ∧( B → @ ) ejemplos: o ?n número es positi"o si ( solo si es ma(or que cero. Por lo tanto, si un número es positi"o entonces es ma(or que cero, ( si un número es ma(or que cero entonces es positi"o. o .i el agua se congela entonces la temperatura est !ajo cero, ( si la temperatura est !ajo cero entonces el agua se congela. n consecuencia, el agua se congela si ( sólo si la temperatura est !ajo cero.
?*9R9A@A R98@RA% P@5M@ K@8?56@A A 89*89@ 8%*EM98@
Prue!a Ae ntrada Ae Kilosofía Ae 5a 8iencia @pellidos ( *om!resQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ Responda Bre"emente a las siguientes preguntas: 1.- u> es 8iencia. 2.- 8lases de 8iencias. $.- %!jeto de studio de la ciencia. specifique según su clasificación. &.- C8untas funciones cumple la cienciaD: e/plique. '.-C8ómo defines a la filosofíaD ).- Cu> es un paradigmaD .- C@ que se denomina : 5as re"oluciones científicasD ejemplo 0.- u> es: a.- teoría científica. !.- le( científica.
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c.- 3ipótesis científica. .- Ae acuerdo a la clasificación de la ciencia ( la filosofía: CAónde u!icas la Kilosofía de la cienciaD /plique. 14.- u> diferencias ( similitudes encuentras entre el que +acer científico ( el que +acer filosófico. sta!le#ca un cuadro comparati"o.
i"genes Rosales 'apa &NI7CA 'R2'27C723A& 1. inta!is de &' 1.1. 0m%olos primitios a. Varia%les p$ q$ r$ ...$ (p1$ p8$ p9$ ...$ pn) %. 2peradores .$ .$ .$ .$ . c. 0m%olos a!iliares ($ )$ O$ P$ Q$ $ * los pntos a!iliares S.T 1.8. Eetaaria%les A$ B$ C$ ...$ (A1$ A8$ A9$ ...$ An) 1.9. Reglas de +ormaci"n 1. Cada aria%le por si sola es na +%+. 8. i A es na +%+$ .A es na +%+. 9. i A * B son +%+s$ (A . B)$ (A . B)$ (A . B)$ (A . B) son +%+s. :. 3o /a* otras reglas qe las mencionadas en la presente reglas de +ormaci"n. 1.:. F"rmlas * denominaci"n de las +"rmlas F"rmla es n con#nto de signos ordenados secentemente de acerdo a n con#nto de reglas de +ormaci"n. Cada +"rmla reci%e la denominaci"n de s signo principal. ,#emplos 1. (p . q) . r +"rmla dis*ntia 8. (. p . q) . (r . p) +"rmla condicional 9. . (p . q) . O(. q . r) . . pP +"rmla %icondicional i"genes Rosales 'apa 1.4. so de los pntos a!iliares a. Regla ,l operador diádico con ma*or nmero de pntos es de
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ma*or #erarq0a$ si * s"lo si no está limitado por algn signo de agrpaci"n. %. Uine e pede com%inar pntos a!iliares * signos de agrpaci"n$ sando el menor nmero de signos de agrpaci"n * pntos a!iliares. ,#emplos 1. p . q ... r 8. . p . q ... r . p 9. . (p . q) . . q . r ... . p :. . (p . q) . (. q . r ... . p) 1.=. ,sqemas de +"rmlas ,sqema de +"rmla es la generaliaci"n de na +"rmla mediante metaaria%les. &a presencia de no o más operadores en el esqema especi+ica el tipo de +"rmla. ,#emplos 1. &a metaaria%le SAT es n esqema de +"rmla de calqier +"rmla. 8. S. AT es n esqema de +"rmla s"lo de las +"rmlas negatias. 9. SA . BT es n esqema de +"rmla s"lo de las +"rmlas condicionales. :. S. A . (B . C)T es n esqema de +"rmla de +"rmlas %icondicionales donde el componente iqierdo es negatio * el componente derec/o es dis*ntio.
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i"genes Rosales 'apa 8. emántica de &' 8.1. Fnciones de erdad * reglas semánticas na +nci"n de erdad es la interpretaci"n erdadera * +alsa de los operadores proposicionales segn los estados posi%les del mndo. &as reglas semánticas son las interpretaciones grá+icas de las +nciones de erdad de cada no de los operadores l"gicos. 8.8. 3egaci"n . p V (. A) F(. A) F V F(A) V(A) VF 8.9. Con#nci"n p . q V (A . B) F (A . B) V V V V(A) VFF F F V V(B) F(A) F(B) FFF Conmtatia 'ropiedades Asociatia 7dempotente 8.:. is*nci"n p . q V(A . B) F(A . B) V V V F(A) VVF F V V V(A) V(B) F(B) FFF Conmtatia 'ropiedades Asociatia 7dempotente
