Amarilis Sagredo - Eduardo Luna
NOCIONES DE LOGICA SIMBOLICA
UCMM 1988
NOCIONES DE LOGICA SIMBOLICA Amarilis Sagredo - Eduardo Luna (Sexta
Edición)
©, 1988, para la Sexta Edición, Colección de "Textos" UCMM Director. Bienvenida Polanco Impreso en la República Dominicana Printed in Dominican Republic
Taller,
Isabel
la Católica
309, Santo
Domingo,
República
Dominicana
TABLA PE CONTENIDO PAGINA NOTA DE LOS AUTORES........................................
.1V
CAPITULOS 1.
CALCULO PROPOSICIONAL
.•..••.•.•••..•.•..••••......•
1
1.1
Propo~ici6n
1.2
Proposiciones
1
1.3
Npgaci6n..................................
8
1.4
Conjunci6n..
9
1.S
Disyunci6n ••••.•••••.•..••.••.•.•.•...••••
12
1.6
Tablas de verdad..........................
14
1.7
Equivalencia
22
1.8
Bicondicional ••.••••••••.••••..•.•.•••••••
1.9
Condicional
compuestas... •..•..•••.••••. ..............................
de formas proposicionales •••. ~
6
24 .
26
1.10 Totalidad de formas proposicionales con Jos componentes at6mic0d •••••.••••.••• :.••
32
1.11 Clasificaci6n les
de las fo~as
proposiciona-
compues t..:.as
1.12 Condicionales 1.13 Negaci6n
.
der~vadas ....•..••••••.••.••
de proposiciones
1.14 Tautolog!as
·compuestas .•••.•
33 36 38
de mayor uso •.•••••••••..••••.
42
l6gicas •.••••••••..••.•.•••••••
43
1.16 Formas argumentales .•.•..••.••••••••••••.•
55
1...
60
1.18 Procedimientos para determinar la validez de una forma argumental •••••••••••••••••••
63
1.15 Relaciones 1.17
Argumentos
1.19 M~todos Materriá
2.
.••••••••..•....••• •.• • •••••
de demostraci6n
usados en
tic a • • . • • . . . . . . . . . • . . . . . • • . . • . • . . • • •
CALCULO DE PREDICAPOS
DE PRIMER ORDEN ••••••••••••
69
75
2.1
Proposiciones
abiertas....................
75
2.2
Cuantificador
unive~sal •••••••.•••.•
78
i •••••
PAGINA 2.3
Argumentos que contienen proposiciones un!versales.
..............................
83
2.4 2.5
Cuantificador existencial •••••••••.•••.••• 87 Otro cuantificador existencial •••••••••••• 93 2.6 Argumentos que ~ontienen proposiciones existenciales .•••••••••••••.•••••••••••••. 93 2.7 Relaci6n entre el cuantificador universal y el cuantificador existencial •..•••••.••• 96 2.8 Proposiciones que contienen varios cuantificadores ••••••••••••.•.•••••••••••. 99 2.9' Negaci6n de proposiciones y formas proposicionales con dos o mas cuantificadores •• 102 IND 1 CE. • • • • • • • • • . ~ . • • • • • • • • • • • .'. • • • • • • • • • • • • • • • ••
\
10 5
NOTA DE LOS AUTORES EN LA PRIMERA EDICION
Nociones a estudiantes Matem~tica
de L6gica Simbólica
de Escuela Secundaria
esenciales
proporcionar
de Lógica Simb61ica
estudio de la Matem~tica Hacemos hincapié ejercicios.
los profesores
necesarios
en dos aspectos
para abordar el
fundamentales:
elevado monto de ejemplos
y referencias
y
de autores.
ven ocasionalmente Queremos
para fortalecer dejar constancia
al profesor
Alina Morales,
Federico
Sosa, y especialmente
su mundo cultural. de nuestro profundo
Apolinar
Velázquez,
NGñez, a Eddy D1az, Carmen Liriano, Reina
a la Universidad
a través de su Vicerrector y del Director
Católica
edici6n de esta obra. Nuestra sus estimulos
sosteniqa
Madre y
Administrativo,
del Departamento
Danilo de los Santos. Ellos hicieron
constantemente
que
para los alumnos de este nivel, sir-
agradecimiento
Pablo Cordero,
Esperamos
llenen esos vac10s que, aunque no tienen
mucha trascendencia
nosotros
los conocimientos
No pretendernos agotar temas ni abultar con
historiograf1as
caciones,
universita-
Contemporánea.
sencillo y preciso,
Maestra,
y alumnos que cursan
en el Ciclo Básico de sus estudios
rios. Tiene un objetivo:
lenguaje
es una obra dirigida
labor intelectual
Pedro
de Publiposible la estuvo
por su trabajo desinteresado
enaltecedores.
esa extraordinaria
Sie~pre estará presente ayuda •. Los Autores
y en
CAPITULO
1
.CALCULO PROPOSICIONAL En nuestro. lenguaj e ordinario
se perciben
ambigüedades-:
Pienso en mi habitaci6n. Yo nunca me sienta en un banco. Ayer hice una operaci6n. Además, comunidad,
en cuanto instrumento
de grupos sociales,
bras o expresiones
adquieren
de comunicaci6n
de profesionales,
matices
Debido a esto, en Matemática, distinto,
que no est~ viciado
universalidad.
tud ~ue el lenguaje serie de reglas
simb61ico,
muchas
significativos
por la ambigüedad
diferentes.
y la falta de
a la L6gica que, aunque
aporta mayor precisi6n
ordinario.
p~la-
ha de usarse un-lenguaje
Para ello, se recurre
maneja un lenguaje
de una
o exacti-
Esto se logra mediante -una
bien claras y definidas.
La presentaci6n
de esas reglas es el prop6sito
de estos
apuntes. 1.1 Proposici6n Al concepto Recordemos oraciones:
de proposici6n
que el lenguaje
reconoce
las declarativas,
tivas y las imperativas. la conformidad
nos acercaremos
cuatro tipos básicos de
la~ exclamativas,
De ellas,
o disconformidad
dicado, por lo cual estamos
intuitivamente. las interroga-
las declarativas
objetiva
en capacidad
enuncian
del sujeto con el prede decidir
si lo que
se dice es cierto' o no. Definici6n
1.1
Proposici6n:
Es una oraci6n
de la cual se puede .afirmar que es verdadera que es ambas cosas al mismo Entendemos,
declarativa
o falsa, pero no
tiempo.
que una proposici6n
es verdadera,
cuando
lo
2
que declara está en conformidad con los hechos, con la realidad. 'observemos con cuidado íos sigufentes ejemplos: La oraci6n: Miguel de ~Cervantes escri'bi6'la obra El Inge. , . ,. nioso Hidalgo" Don Qui jote de 'la Mancha, es una pz'oposfcfén ver-dade ra-,
Ahora bí.eri , la oraci6n: Un cuadrado es una figura plana que tiene tres lados, es una proposici6n falsa, porque sabemos que la figura a la cual se le llama cuadr-ado tiene cuatro lados y no tres. Por otra parte, si consideramos la oraci6n: E*isten seres vivientes en el planeta Venus, aceptamos que es una proposici6n, puesto que es una oraci6n declarativa que es verdadera o falsa, y no ambas'cosas' al mismo tiempo, pero tambi~n aceptamos que no tenemos los suficientes conocimientos para asegurar su veracidad o su'falsedad. Estos ejemplos ilustran ~na situaci6n muy interesante: que no es a ¡a L6gica'a quien le toca informar acerca de la veracidad o falsedad de una proposici6n, sino a la experiencia. Definici6n 1.2 A la verdad o falsedad de una proposici6n se le l~ama valor de verdad de la proposici6n. Es importante hacer notar que no todas las oraciones declarativas son proposiciones, puesto que para que lo ~ean es necesario que podamos a.s qna.rLe s un ün co valor de verdad. Por ejemplo, la oraci6n: Esta oraci6n declarativa es falsa, no es una proposici6n porque no tiene u~ {Ínico valor de verdad. Veamos: si decimo$ que ,su valor de verdad es falso, entonces la oraci6n declarativa es verdadera, porque, precisamente, lo que establece es que es una oraci6n f a Laa , Tampoco es verdadera, porque en este caso no está de acuerdo con lo establecido por la oraci6n. N?te, que este tipo de oraci6n lleva implicita una contradicci6n en si misma. Consideremos la oraci6n: x es ~~ n{Ímero par~ A esta oraci6n no es posible asignarle un {Ínico valor de verdad, puesto qua didho valor depende del objeto por el cual sustituyamos a x. Al susti,t~iJ:,,~,a x por e L objeto. '.'dos",por ~jemplo, la oraci6n í
í
3
declarativa se convierte en: Dos es un nOmero par, que es una oraci6n verdad~~a, pero si sust!tuimo~ a x ~r el obje~o "tres·, obtenemos: Tres es un ndmero .pa~, que , es una oraci6n falsa. En consecuencia, una oraci6n como dsta no es una.proposici6n .• Por otra parte, una oraci6n como: El mundo es así, no es susceptible de asignarsele un valor de verdad sin conocer el contexto donde esta referida. Est.o es, por sí sola es una orac16n que carece de sentido ~r t~nto, d~ valor de verdad, asf que no'es una proposici6n. ,
"
y,
BjerCi'cios 1.1 1. Clasifique'las siguientes oraciones, en declarativas, interrogativas, exclamativas o imperativa.s.. a) Haga fila y c'llese. b) ¿Qui~n te pe16 que las orejas.te,d.j6? e) Los mdsicos son animales domesticado,s·., eh) La· lluvia cae y moja. d)~tC6mo me martirizas cuando no me al;>razas! e) Saque la lenq'ua. f) El ruido es un conjunto de silencios. q) Un cretense dijo: Los cretenses siempre mienten. h) Si es capaz de razonar, entonces .es humano. i) ¿Cuando brilla la luna? j) x + 2 es igual a cero. k) El hombre es un, animal implume. 1) lOud comiste que te ensuciaste el ,bigote? 11) Hay tanto para contar. m) ,Cuanto me d~ele la cabeza! n) Esta oraci6n declarativa es verdadera. ñ). S6 razonable frente a sus peticiones. o) No es ei~rto que 25 + 7 = 31. p) ll)(5ndepasaste las vacaciones? q) Hoyes domingo. 2. Identifique las proposiciones del ejercício"an~tiot.
------
,
4
3,.Complete .. las siguientes .proposiciones: a) El número es par y b) La suma de es un número par. c) Los ángulos son congruentes. 9h) Los triángulos con igual ·base y altura d) El número uno es menor .que e) Un número entero compuesto se puede expresar
-----
f) Si el triángulo ABe es congruente con el triángulo A'B'C', entonces g) Un rectángulo es un con un ángulo h) El orden de los f ac'coz-e s , i) La intersecci6n de
.
Nos interesa ,trabajar con representaciones simb6liqas de las proposiciones más que con pro.posiciones específicas, parauu fi~usaremos letras minüsculas, tales como p, q, r, etc. Ahora bien, en estos casos nos enfrentarnos a un problema de terminología ya que, dichos símbolos, por sí solos, no constituyen una :.¡ proposici6n, pues-ce.que no, son susoept.i.b Le s de asignárseles un valor de verdad corno requiere la definici6n de·'proposici6n, sin antes conocer la oraci6n que representan. Sin embargo, dichos símbolos se conv er t en en proposiciones en el momento en que se reemplazan por proposiciones específicas. Definici6n 1.3 Un símbolo p que puede ser sus~itu!do por..una proposici6n 'cualquiera recibe el nombre de, forma proposicional. La importancia de trabajar con for~as proposicionales estriba en que pueden establecerse propiedades de ellas, que seguirán siendo válidas no importando' qué proposici6n repre. " 'senten, y sin Los problemas de inte.rpretaci6n que acarrearía el cono.cer dichas proposiciones. í
5
Si P denota una proposici6n o una forma proposicional~ escribiremos
v(p) para indicar el ~alor de verdad de p. '.
Ejemplos:
q:
La colecci6n de los ndmeros primos es infinita.
r:
El agua del mar es dulce.
s:
HaY'perros que muerden.
t:
4 + 6
=
10.
En estos ejemplos: v(q)= V, v(r)= F, v(s)= V y v(t)= V Ejercicios 1.2 1. ¿Cuáles
de
las siguientes expresiones son proposiciones?
a) sé cauteloso. b) Juan fue mordido por un perro. c) l-1aríatiene 16 años y Elena es rubia" ch) El profesor de Biología no es simpático. d) ¿Cuándo viene tu hermano? e) Pedro me acompañará o Antonio se enfadará. f) ¡Me gusta ese cantante~ g) Hay ~uchas butacas vacías en el cine. 'h) Dejé de ver televisi6n y lo acompañé a la fiesta. i) Deja de ver televisi6n y acompáñame a la fiesta. j)
(85
+ 78) 2 =' 852 + 2 (85) (78)
+ 782•
k) Si te esfuerzas, no repetirás el curso. 1) ¿Compraste un'auto? 11) C6mprate un auto. m) Todos los ratones le temen a los gatos. n) ¡Qué obra tan noble~ ñ) x2 + 1. o) Asunci6n s~be jugar canasta o tiene mucha suerte. p) Si vas a casa de Julia, entonces encontrarás a Virginia. q) No es verdad que los leones comen queso. r) Existen seres vivientes en Marte. s) Crist6bal Co16n cultiv6 el estudio de la Matemática. 2. Escriba tres proposiciones que tengan valor de verdad
6
verdadero y tres proposiciones cuyo valor de verdad sea falso. 1.2 Proposiciones
Compuestas
Las oraciones: Siete es un ndmero primo, Pepe estudia ingeniería, El profesor me cae mal, son llamadas proposiciones simples 0·at6micas. Pero este tipo de proposici6n es insuficiente para expresar la terminología matemática. '.Ejemplos: 1) Seis no es un divisor de trece. 2) Dos es un n6mero primo y par. 3) Un ndmero entero es par o impar. 4) Un triángulo es is6sceles si y,s6lo si tiene dos lados congruentes. 5) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces es un rectángulo. Definici6n 1.4 Usando los llamados conectivos l6gicoS2 "no", "y", "o", "si Y s6lo si", "si •••, entonces •••", conseguimos nuevas proposiciones a partir de 'las proposiciones 's~pIes. Las proposiciones así formadas se llaman proposiciones compuestas. * Ejercicios
1.s
1. Indique si las proposiciones siguientes. son simples o compuestas. a) El 25 por ciento de $200 es $50. b) Veintiuno es un ndmero impar y es m6ltiplo de. siete. e) El afio 1979 es bisiesto. eh) Tres tercios es un entero o dos monedas de veinticinco centavos valen lo mismo que Ulla de cincuenta. d) Cuatro es el cuadrado de dos.
*
De manera análoga podemos definir las f0r..mas_.proposicionales simples y compuestas.
7
e) El número seis no es menor que el número tr.es. f) El inverso mul tiplicati vo de un número real es único.' 'g) Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman cuatro ángulos rectos. h) La suma de las medidas de los ángulos de un cuadri~ látero es 360. i)
q~
p'aralelogramo es un rectángulo si y s6lo si tiene
un ángulo recto~ 2. Construya proposiciones llenando los espacios en planco: a) Un cuadrado es un
y un y
b) Un triángulo is6sceles tiene
o acutángulo o
c~ Un triángulo es
o
ch) Un número entero positivo es
ángulos agud<¡:>s.
d)'Un cuadrado
cornodivi~or.
e) Un número impar f) Dos rectas son paralelas si y s6lo si y están en un mismo plano. g) Dos rectas coinciden si y s6lo si en común. h) Si un número es primo entonces,
_
son s6lo uno y él mismo. i) Si un paralelogramo es
------------------- ~entonces
sus diagonales 'son congruentes. 3. Construya proposiciones llenando los espacios en blanco: no
a) b)
y
c)
o
ch) Si }i)
entonces si y s610 si
Utilizando las formas proposicionales suelen representarse los posibles valores de v~rdad de las proposiciones compuestas
8
en las llamadas tablas .de verdad.
Estas no son más que'
arreglos de filas y columnas donde 'se contemplan todas las po. , sibíes combinaciones de valores de verdad de los componentes at6micos de las proposiciones
compuestas,
y el valor de ver- -
dad en cada combinaci6n, de dichas proposiciones. Veamos, a continuaci6n, las proposiciones
los nombres y característiéas
de
compuestas.
1.3 Negaci6n Definici6n
1.5
forma anteponiendo
Dada una proposici6n, a la proposici6n
su negaci6n se
las expresiones:
Es
falso que, no es verdad que. También, siempre que sea posible, Ln se'r tiando la partícula Ejemplos:
1)
una proposici6n,
"no" en la proposici6n.
Venezuela
es un país petrolero,
y su negaci6n puede ser escrita:
Es falso que Venezuela
es un país petrolero.
No "es verdad que Venezuela Venezuela
es:
Los ángulos de un trián-
no son congruentes.
3) La negaci6n de:
El número dos es el primer número
El número dos no es el primer número primo.
4) La negaci6n de: triá~gulos
Los án~ulos de un triángulo
son congruentes,
gulo equilátero primo, es:
es un país petrolero.
no es un país petrolero.
2) La ~egaci6n de: equilátero
es
semejantes
correspondientes
Los lados correspondientes
son congruentes,
en triángulos
es:
en
Los lados
semejantes no son con-
gruentes. ~) Pedro no sembr6 esa mata de guineo, es la negaci6n de la proposici6n:
Pedro sembr6 esa mata de guineo ..
6) Es falso que Juan es antipático,
es una de lak fbr-
mas en que se puede escribir la negaci6n de la proposici6n: Juan es antipático. 7) La negaci6n de: Felipe vive en Egipt~ es: dad que Felipe vive en Egipto.
No es ver-
9
Notaci6n: denota
-cp.
Valor
Sea:p una propo~ici6n,
'Es decir,
la notaci6n
oe verdad:
entonces
La negaci6n
sa es una proposici6n
se
"no", es: -v ,
para el conectivo de una proposici6n
falsa y la negaci6n
es una proposici6n
sU negaci6n
verdadera
de una proposici6n
fal-"
verdadera. 1.1:
Tabla de verdad
Utilizando
las formas
proposicionales, I
podemos
resumir
lo anterior
en una tabla de verdad
de la manera
siguiente: Col.
Ejercicio
1
Col.
Fila
1:
V
F
Fila
2:
F
V
2
1.4
1. Escriba indique
la negaci6n su valor
sici6n
proposiciones
e
de' verdad.
a) Una proposici6n b) La negaci6n
de las siguientes
tiene un único
de una proposici6n
valor
de verdad.
falsa es una propo-
falsa.
c) Una forma
proposicional
ch) La expresi6n
"'p es una forma
d) Las proposiciones conecti~os
es una proposici6n.
compuestas
se forman
utilizando
los
l6gicos. es una proposici6n.
e) Una oraci6n
declarativa
f) Una oraci6n
interrogativa
g) Un cuadrado
es un rectángulo.
h) Un rombo
p-roposicional.
puede
ser una proposici6n.
es un cuadrado.
i) La suma de números
enteros
es conmutativa.
1.4 Conjunci6n Definici6n conectivo
y, obtenemos
Ejemplos: La gallina .de ellas
1.6
Al unir dos proposiciones ia conjunci6n
1) lo es un satélite
es un mamífero,
05:
mediante
de dichas natural
son proposiciones.
el
proposiciopes.
de Júpiter, La conjunci6n
10
lo es un satélite natural. ' de '.Júpiter y la gallina .es un ~ mamífero .' Al lector le llamará la atenci6n el ejemplo a~terior p~I "
estar acostumbrado a que el uso de la conjunci6n
"y", en el
I
le~guaje ordinario, supone una estr~cha relaci6n entre las \......
..
-
.
oraciones'ertlazadas por dicha conjunci6n, 1, claramente, tal re~aci~n n~ ex st e entre los componentes de la conjunci6n aní
terior.
Por esta raz6n es opor~uno aclarar qu~ a la L6gica
le interesa obtener nuevas proposiciones y no los contenidos de esas proposiciones. 2) El gorri6n es un ave y los lagartos son reptiles. 3) El roble es una gramínea y la yuca es un tubérculo.
41 El triáng'ulo e,qu;il'átero es'equiángulo y no es un polígono regular. 5) El número dieciocho es un ndmexo .par y es divisible por tres. 6)
.
Tomás fue
a
la librería Y: Evelyn al cine.
,
7) Un ángulo inscrito en una semicircunferencia
es un
ángulo re~ct
Sean~p, q, dos proposiciones,
conjunci6n de ellas se denota:
"y" se denota:
p Aq.
entonces la
Es decir, el conectivo
A.
Valor de verdad:
Una conjunci6n es una proposici6n
verdadera, cuando sus dos componentes
.
son proposiciones verda-
deras, y e~ una proposici6n falsa en los demás,casos. Tabla de Verdad 1.2:
El valor de verdad, anterior está
contenido en la tabla de verdad de la forma proposicional: p A. q:
--
Col. 1
Col. 2
Col. 3
p
q
P A'q
Fila 1:
V
V
V'
Fila 2:
V
r
F
Fila 3 :
F
V
'F
Fila, 4 :
F
F
F.
11
Ejercicios
1. S,
1. Determine el valor de verdad de las conjunciones sigu'ientes: a) Una proposici6n es una oraci6n declarativa y tiene un dnico valor de verdad. b) Una oraci6n declarativa es una proposici6n y una forma proposicional no es una proposici6n. e) Un rect4ngulo es un cuadri14tero y un polígono regular. eh) España, es una isla y Jap6n no lo es. 2. Complete los espacios en blanco seg6n lo indicado y determine, luego, el valor de verdad de las conjunciones obtenidas. a)
y
(Proposici6n b)
verdadera)
--~----~~~--~~~-(Proposici6n
falsa)
e) ,
y
(proposici6n
falsa)
(proposici6n
falsa)
y
--~(~P~r-o-po-s~i:-c"""i"""62""n--f:-a"""1:-s-a~) -(Proposici6n verdadera) ch)
(Propo sie ian ','verdader a)
y'~
-:-(=P-r-o-p-o-s-=i-c-=i:-::6r-n--v-e-r-d,.
3. Determine el o los valores de verdad de: a) (p Alq) si \I(p)= V Y v(q); F. b) (p A q) si v(p)= F y ,,(q)= F. e) p si \)(pAq)= v. eh) q si v (p A q) = v. d) P si v Ip A q)= F Y v(q)= V. e) q si v(p A q)= F Y v(p)= F. f) P si v("'(pA q»= F. g) (p A q) si 'v("-p)=V. h) "'(pA q) si v(p)= V y v(q)= F'. i) ",(pA q) si \)(p)= V. "
12'
i. 5 Disyunci6n Definici6n 1.7 conectivo~,
Dos proposiciones unidas mediante el
forman una nueva proposici6n llamada disyunci6n.
Ejemplos: 1) Consideremos las proposiciones: Un triángulo es una figura plana, Beethoven compuso nueve sinfonfas. La disyunci6n de ellas es:
Un triángulo es una figura plana ,o
Beethoven compuso nueve sinfonfas. 2) Dos al cuadrado o dos por dos es igual a cuatro. 3) Un ángulo tiene más de una bisectriz o un triángulo tiene una sola altura. 4) Dos puntos determinan una recta o los radios de una circunferencia no son c'ongruentes. 5) Un triángulo r~~tángU10 es equilátero o la longitud de uno de sus catetos es mayor que su hipotenusa. 6) Jesús se hará rico o morirá en el empeño. 7) Carlos traerá la ensalada o el dulce. iNot~ci6n:
Dadas las proposiciones:p, q, la disyunci6n de
,ellas se denota:
p v q.
senta ~or v. Valor de verdad:
Es decir, el conectivo "o" se repre-
Una disyunci6n es una proposici6n falsa
cuando ambos componentes son proposiciones falsas.
En loS de-
más casos es una proposici6n verdadera. Tabla de verdad 1.3: El valor de verdad anterior está contenido en la tabla de verdad de la forma proposicional:p v q. Col. 1 p
Col. 2 q
Fila 1:
V
V
V
Fila 2 :
V
F
V
Fila 3 :
F
V
V
Fila 4 :
F
F
F
Col. 3 p v q
En el caso del conectivo "no" y del conectivo "y", notamos que coinciden con las partfculas "noll, lIy" Observaci6n:
del lenguaje ordinario.
En el caso del conectivo
110",
esta
coincidencia es s6lo parcial, porque, la partfcula "o" en el
13 lenguaje ordinario tiene dos sentidos. ,
Uno de ellos es el
llamado "exclusivo". En este caso, se excluye la posibilidad de que ambos componentes sean verdaderos al mismo ti~mpo. Por ejemplo, si decimos:
Pepe naci6 en Argentina o en Puerto
Rico, se entenderá que s610 es posible uno de los dos casos, pero no ambos.
El otro sentido es el llamado "inclusivo".
En este caso,puede ser cierto s610 uno de los componentes y también pueden serlo los dos.
Un ejemplo es:
Este triángulo
es is6iceles o equilátero. En nuestro estudio de la L6gica .no s hemos decidido por el sentido inclusivo del conectivo "o" como ppede verse en la tabla de verdad 1.3.
Esto es, la forma proposicional:p v q, sig-
nifica "p" o "q",o ambos. ~jercicios 1.6 1. Determine el valor de verdad de las disyunciones siguientes: a) La negaci6n de una proposici6n verdadera es una proposici6n falsa o la conjunci6n de proposiciones falsas es una proposici6n falsa. b) Una proposici6n es una oraci6n exclamativa o no es verdad que tiene dos valores de verdad. e) La disyunci6n de dos proposiciones falsas es una proposici6n verdadera o la negaci6n de una proposici6n falsa es una proposici6n falsa. eh) Un triángulo es un polfgono o no hay polfgonos regulares. 2. Llene los espacios en blanco y luego, determine el valor de verdad de las disyunciones obtenidas: a)
o (Proposici6n falsa)
(Proposici6n verdadera)
o
b) (Proposici6n falsa) c)
(Proposici6n falsa) Ó
(Proposici6n verdadera)'
(Proposici6n verdadera)
14
.~)
o (Proposición verdadera)
(Proposici6n falsa)
3. Determine el o los valores de verdad de: a)· (p v q) si v(p)= V. b) (p v q) si v(p)= F. c) p si ",(pv q)= F. eh) q si v(p v q)= V Y v(p)= F.
d) q si v(p v q)= V Y v(p)= V. e) (p v q) si v('Vp)=V y \1(q)=F. f) (p A (p v q» si v(p)= V. g) (p v (p v q) si v(q)= V.
h) (p A q) v (p v q) si v(p)= ·V. i) (p A q) A (p v q) si v(p)= V y v(q)==F. Es conveniente aclarar que la notaci6n usada en este libro no es un.í.ver saL, esto es, puede, y de hecho lo hace, variar de un autor a otro.
Despu~s de todo, lo importante es el con-
cepto y no el símbolo·usado para representarlo.
Ahora bien, el
lector irá comprendiendo que el uso de' símbolos nos evita formulaciones complicadas.
E~to último se en~enderá mejor si pen-
sarnosen lo tedioso que sería escribir en palabras una expresión como:
'V['V(pA~q) v (rAs) A (tVr
v q)].
1.6 Tablas de verdad Ejemplo 1:
Construir la tabla de v.erdad de:pA'Vq..
Para conocer los posibles valores de la forma proposicional: (pA~),
necesitamos conocer el valor de verdad de Pi
el valor de
verdad de q, para conocer el valor de verdad de 'Vq y por último el valor de pA'Vq. Veamos:
v
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F.
F
F
F
V
I
F
15 Debernos aclarar,que por tabla de verdad, se entiende s610 las columnas, donde se escriben los valores de verdad de los componentes y la columna del valor de verda~ de la forma proposicional compuesta.
Las otras columnas no son más que pasos
intermedios que facilitan la obtenci6n de la columna donde se escribe el valor de verdad de la forma proposicio~al compuesta dada.
Esto quiere decir, que en el caso anterior, en que se
pide la tabla de verdad de pA~q, tendríamos:
v
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
Ahora bien, por abuso del lenguaje,muchas veces no establecernos diferencia,al decir tabla de verdad, entre la tabla anterior y la tabla en que se incluyen los pasos intermedios. Ejemplo 2:
Construir la tabla de verdad de: (p'A~q)v r.
Hasta ahora hemos trabajado con tablas de verdad de formas proposicionales que a lo sumo tienen dos componentes, pero en el caso que ahora nos ocupa hay tres componentes.
Obviamen-
te, necesitarnos más filas para poder agotar todas las po~ibles combinaciones de los valores de verdad de cada componente. Cuando tenemos un solo componente, agotarnos bien pronto las COmbinaciones porque hay s610 dos posibles valores.
Veamos
/V p~ F
Esto es, v(p) es V o v(p) es F, lo cual se indica de la siguiente manera: __E_ V F
Si hay dos componentes, el número de combinaciones aumenta~ Para facilitar la comprensi6n, veamos un diagrama de árbol en
16 el que se estudia
esta
situaci6n:
: « V -: pq """p
El diagrama anterior nos dice que,dado:v(p)= V, entonces v(q) puede ser V o F, y dado:v(p)= F, puede ser que:v(q)= V o v(q)= F. En resumen, las posibles combinaciones son: V V V F F V F F Si el nGmero d~ componentes es tres, el diagrama de árbol es el siguiente:
Es decir, dado:v(p)= V, tenemos que:v(q)= V·o v(q)= Fi a su vez, dado que:v(q)= V, entonces puede ser:v(r)= V o v(r)= Fi <,pero\).(q)puede ser:F, y t.amb í.én para este caso: v (r)= V o ~(r)= P, y así sucesivamente .. En consecuencia, las posibles
17 combinaciones
son:
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Ejercicios 1.7 1) Complete el siguiente diagrama de árbol y especifique las posibles combinaciones.
v
F
2) Construya un diagrama de árbol para determinar los casos posibles con cinco componentes y especifique dichos casos. ~
Note,que·en el.caso de un compo~ente hay 21 filas, en el caso de dos componentes hay 22 filas, en el caso de tres comP9nentes hay 23 fil~s, y en el caso de cuatro componentes uste~
18 seguramente
encontr6 '24 filas.
Intuitivamente,
de verdad
de:(pA~q)
capacitados
para construir
la tabla
v r.
p
q
r'
~q
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
A
B
e
Recordemos
a
el número de filas es 2n•
la idea de que si hay n componentes, En este punto estamos
hemos llegado
(pA'Vq) v r
D
que, rigurosamente,
(pA~q)v r, es la formada
la tabla de verdad de:
s610 por las columnas
marcadas A, B,
e
y D. ¿C6mo se usa una tabla de verdad?
Supongamos
que tenemos
las proposiciones: r:
El sol brilla por las noches.
s:
Mozart
Deseamos sol brilla
se distingui6
conocer
es:
como músico.
el valor de verdad
por las noches
Esta proposici6n
,
y Mozart
de la proposici6n:
se distingui6
es una conjunci6n
El
como músico.
que, escrita
en símbolos,
x t.« Sabemos
que ioí r )= F Y v( s)= V, entonces
que es la tabla de verdad de la conjunci6n, 3, .. que es la que estudia F y el segundp componente Deseamos, sol no brilla
ahora,
~p v q.
es V, concluimos
el valor de verdad o Mozart
es una disyunci6n,
En este caso, debemos,
la tabla 1.2,
y de ella la fila
el caso' en que el primer
por las noches
Dicha proposici6n
usando
componente
que:v(r!l.s)= F.
de la proposici6n:
se distingui6
El
como músico.
que, en símbolos,
primero,
es
es:
usar la tabla 1.1 para
19 conocer el valor de ~p. hp)
Como:v(p)=
F, leemos la 'columna de
en la fila 2 que es t ab.Leoe que: v (~p)= V.
Luego, usemos
la tabla 1.3, en la fila 1, que es donde se estudia el caso en que ambos componentes
son verdaderos
y concluimos
que:
v(~p v q)= V. Por otra parte, supongamos v(w)= F, y deseamos cer:v(pAt).
que:v(p)=
V, v(t)= F, y
conocer:\)(~(pAt) v w). V y v(t)= F, usando
Como:v(p)=
bla 1.2, tene~os;v(pAt)=
F.
Empecemos
por cono-
la fila 2 de la ta-
Por lo tanto, usando la fila 2
de
la tabla 1. 1, tenemos que: v (~(pAt) = V, Y por úl t,irno,usando La fila 2 de la tabla 1. 3, porque el primer componente V y el segundo comnonente, Ejercicios
: ~(pAt)
w, es F, tenemos que:v(~(PAt)
I
es
v w)=V.
1.8
1. Conteste
las siguientes
preguntas:
a) ¿Cuándo es falsa la forma proposicional:p
v q?
b) ¿Cuándo es verdadera
la forma proposiciona~:pAq?
c) ¿Cuándo es verdadera
la forma proposicional:~p?
ch) Sabiendo
que la forma proposicional
¿puede asegurarse
r es verdadera,
que la forma proposicional:(rAs)
es verdadera? d) Sabiendo
que la forma proposicional
de asegurarse
u es falsa, ¿pue-
que la forma proposicional:(uAw)
es
falsa? e) Sabiendo
que r es verdadera,
la forma proposicional:r f) Sabiendo
¿puede asegurarse
v p es verdadera?
que la forma proposicional:p
de asegurarse
que
es falsa, ¿pue-
que la forma proposicional:(r
v p) es
falsa? 2. Si una forma proposicional
tiene 4 componentes,
¿cuántas
filas debe tener su tabla de verdad para que se incluyan todas las posibles
combinaciones
dad de dichos componentes? ¿cuántas
de los valores de ver-
Y si tiene n componentes,
fil~s son necesarias?
20
3. Construya
la tabla de verdad de las siguientes
formas
proposicionales: a) b)
pAq qAp
11) 'V(pAq) m) 'Vp V 'Vq
(PAq)Ar eh) PA(qAr) d) p v q
n) 'V(p v q)
e)
o) ('VpA'Vq)V r
e) q v p f) (p v q) v r
p) ph('VqA'Vr) q) 'V{'V(p V 'Vq»)
g) p v (q v r) h) pA(q v r)
r) p v (pAq) s) pA(p v q)
.i) (pAq) v (p a r )
t)
j) p v (qAr) k)
(p áq)
v (vr
á
s)
u) (p v q) A {(p v r) A (p v
S) j
(p v q) A (p v r)
1) 'Vhp)
4. Sabiendo que: p denota la proposici6n:
El verano lleg6.
q denota la proposici6n:
El viento no sopla.
r denota la proposici6n:
Juan está de vacaciones.
Formule simb61icamente las proposiciones siguientes: a) El verano llegó y el viento no sopla. b) EL viento no sopla o Juan no está de vacaciones. A)
e) Es falso que (El verano lleg6 o el ~iento sopla). eh) El verano
lleg6, el viento sopla y Juan está de
vacaciones. d) (El verano lleg6 y el viento no sopla) o (El verano no llegó y Juan no está de vacaciones) . B) Formule
las proposiciones
a) p v (q v r )
b) 'VpAr e) 'V(pAr) eh)
('VpV 'Vr)"'Vq
d) (pAtVq) v 'Vr
siguientes:
21 5. Sabiendo que p repr€senta una proposici6n ·falsa, q, una proposici6n verdadera y r, una proposici6n falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ~p v q b) ~ (~p)
e) ~(p v q)Ar f) ~{(p v q) Ar}
c) ~ (pA~q)
g)
ch) ~pA~{~q) d) ~{(pAq) v ("'pv q)}
(p
v q) y r
h) ~pA(qA",r) i) (pAq) v (pAr)
6. Dadas las proposiciones: p: q:
La gallina es un cuadrúpedo. Bolivia es un país europeo.
r:
La papa es un tubérculo.
Determine el valor de verdad de las pro~osiciones siguientes: a) pA~q b) qAr c) ~p v r ch) ~(p v q) .d) ~(p v q)A~ (p v r) 7. En las rayasen blanco escriba V,si 'considera que la oraci6n es verdadera y F,si ,considera que es falsa: a) La conjunci6n de dos proposiciones es falsa so~amente cuando ambas proposiciones son falsas. b) La disyunci6n de dos proposiciones es falsa solamente cuando ambas proposiciones son falsas. c) La disyunci6n de dos,proposiciones es verdadera cuando, por lo menos,una de las proposiciones es verdadera. ch) La conjunci6n de dos proposiciones es falsa cuando, por lo menos, una de las dos proposiciones es falsa. d) La negaci6n de la conjunci6n de dos pr~posiciones es verdadera solamente cuando una de las proposiciones.es verdadera y la otra es falsa. e) La negaci6n de la disyunci6n de dos proposiciones es verdadera solamente cuando ambas proposiciones son falsas.
22
f) La conjunci6n
de las negaciones
falsas es una proposici6&
,
g) La disyunci6n verdaderas
de las negaciones'de
de la conjunci6n
dera es una proposici6n i) -La negaci6n
Definici6n poseen
de una proposici6n
1.8
de una proposici6n
Dos formas proposicionales
componentes
at6micos
valor de verdad
de los valores
simplés
que las componen.
falsa es
compuestas
son equivalentes
cuando
para todas las posibles
combi-
Es decir,
cuando
tienen
los mismos
tablas de verdad.
Sean:p, q dos' formas proposicionales.
chas formas son equivalentes, Ejemplo:
Mostraremos
que la forma proposicional:{pAq)Ar, son equivalentes.
Con tal
sus tablas de verdad.
I
p
q
r
pAq
(PAq)Ar
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
qA-r. pA{qAr)
I
con cuidado
las columnas
formas proposicionales
'yerdad, por lo tanto, son equivalentes,
F B
A
Observando
Si di-
escribimos:p:: q.
'i la forma proposicional:PA{qAr) fin, construiremos
que
de v=r dad de las formas proposicionales
corn_ponentesy las mismas
mos que ambas
verda-
verdadera.
naciones
Notaci6n:
falsa.
de formas proposicionales
los mismos
tienen el mismo
dos proposiciones
verdadera.
de la negaci6n
una proposici6n 1.7 Equivalencias
verdadera.
es una proposici6n
h) La negaci6n
de dos proposiciones
marcadas
A y B, nota-
tienen la misma
tabla del
es deci~ podemos
escri-
23
bir (pAq)Ar ::pA (qAr). La equivalencia anterior se conoce con el nombre de propiedad asociativa de la conjunci6n. . Dicha .pxop.í.edad nos indica que: p A q A r tiene un s~gnificado úni~o, puesto que sus dos posibles interpretaciones son equivalentes, esto es, tienen la misma tabla de verdad. Ejercicios 1.9 1. Observando las tablas de verdad que obtuvo en el ejercicio
1.8.3,complete las equivalencias siguientes: a) pAq :: -----b) (pAq)Ar :: _ _ q v p
c)
_ (p v q) v r
ch) d)
1\,
(I\,p)
e)
pA (q
:: v r)
=' ( p v q) It (p v r)
f)
g)
_
1\,
(pAq) _
h) 2. a) La equivalencia a) se conoce corno la propiedad conmu-
b) c) ch) d) e)
tativa de la conjunci6n. La equivalencia ~) se conoce corno la prop1edad de la La equivalencia c) se conoce corno la propiedad de la disyunci6n. La equivalencia ch) se conoce corno la propiedad de la La equivalencia e) se conoce corno la propiedad distributiva de la conjunci6n sobre la disyunci6n. La propiedad f) se conoce corno la propiedad de la sobre la
3.'Las equivalencias g) y h) se conocen con el nombre de leyes de De Morgan.
24° Complete: i)' La negaci6n las
de unaOconjunci6n
es la
de
de sus componentes.
ii) La negaci6n de una disyunci6n es la las de sus componentes. Las leyes de De Morgan nos indican que en realidad necesi tamos tres conectivos,
sino/que
de no
basta tener el 'Vy el A ~
y el.v, para expre.sarel tercero en'términos de los dos conocidos.
o el
IV
4. Pruebe que: (pAq).v p ::p 5. El símbolo v denota la disyunci6n exclusiva, y p v q significa:"p" o "q", pero no ambos. Construya una tabla de ~erdad para:p v q. 6. Construya la tabla de verdad de la forma proposi.cional: °(pñ-vq)v ('VpAq). 7. Compare las tablas de verdad de los ejercicios 5 y 6.°¿A qué conclusi6n se llega? El lector ha comprobado que utilizando los conectivos, hasta ~~ora considerados, es posible definir el conectivo "o" °en el sentido exclusivo. Realmente,podíamos haber seleccionado',como punto de partida en nuest ro estudio, el se.ntido exclusivo y,a partir de él,definir el sentido inclusivo. 8. El símbolo plq significa:"p y q no son ambos verdaderos", °10 ·que en símbolos es:'V(pAq). a) Construya la tabla de v~rdad de:plq. ~) Pruebe que: p 1p == 'Vp c) (p°1 p) 1(q1q) == p v q 9. Al conectivo 1se le llama conectivo de Sheffer, en honor °de H. Sheffer, que fue el primero en trabajar con él en 1916.
Usando el conectivo de Sheffer,exprese:
(pAq)•
1.8 Bicondicional
Definici6n 1.9
El conectivo "si y s6lo si" usado para
25
unir dos proposiciones.da .como resultado una nueva proposici6n, llamada bicondicional. Ejemplos: 1) Un número es par si y s6lo si es divisible por dos. 2) Un paralelogramo es un rombo si y s6lo si sus cuatro lados son congruentes. 3).Dos ángulos son congruentes si y s6lo si tienen la misma medida. 4) Un rombo es un cuadrado si y s6lo si uno de sus ángulos es recto. 5) Un paralelogramo es un rectángulo si y s6lo si sus diagonales son'congruentes. 6) Jorge irá a España si y s6lo si aprueba el curso de Matemática. 7) Un cuadrado es un rectángulo si y s6lo si la nieve no es verde. Notaci6n: El conectivo "si Y.s6lo si" se simboliza por ~. Es decir, "p++q" se lee "p si y s6lo si q". Valor de verdad: Una bicondicional es una proposici6n verdadera cuando ambos componentes tienen el mismo valor de verdad, esto es, si ambos son proposiciones verdaderas o ambos son proposiciones falsas. En los demás caso~ es una proposici6n falsa. Tabla de verdad 1.4: La forma proposicional:"p si y s610 si q" tiene la siguiente tabla de verda4:
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Ejercicios 1.10 1. Complete las siguientes pr-:>posiciones: a) Un número entero positivo es primo si
y
s6lo si
26 b) Dos rectas
si y s610 si
son paralelas
si y s610 si las diagonales
c) Un cuadrilátero se bisecan.
si y s610 si es divisible
ch)
d) a e) f) x g)
por dos.
b =·c si y s610 si
=
si y s610 si a = b + c.
'va si
y s610 si si y s610 si x3 = 8.
2. Complete
los espacios
(p) = V,
en blanco:
\1
(q)
= V, entonces
\I(p ++ q)
\1
(q)
= V, entonces
\I(p ++ q) =
V,
\1
(q)
=
ch) \I(p) = V,
\1
a)
\1
b) v (p)
= F,
e)- \I(p) =
=
F, entonces \)(",p++q) = (p ++ q) = F, entonces \1 (q) =
=
d) \l(q) = P, \l(p++ q) e) v (p) = F, \l(p ++
v (",p)=
F, entonces q) = V, entonces
v (q)
...
=
1.9 Condicional Definici6n palabras
1.10
Al unir dos proposiciones
"si, ••• ,entonces ••.", se obtiene
mediante
las
una nueva proposic{6~
llamada condicional.· La propbsici6n
que precede
al condicionador,
y la que sigue al condicionador,
tecedente
1) Una condicional
~Ejempros:
El dos es un número prim9, \
Juan aprob6
se llaga an-
consecuente.
en la cual la pr090sición:
sea el antecedente
y la proposición:
el curso de r.1atemática, sea el consecuente,
cribe de la siguiente
manera:
Si el dos es un número
se es-
primo, en-
tonce.s Juan aprob6 el curso de :/latemática. 2) Si dos triángulos correspondientes
son congruentes,
entonces
sus partes
son congruentes.
3) Si dos ángulos
son opuestos
por el vértice,
entonces
son congruentes. 4) Si a es un divisor 5) Si a
=
b, entonces
de b, entonces a + c
=
b + c~
b es un múltiplo
de a.
27
G) Si llueve, entonces me quedar€ en casa leyendo. 7) Si 2 x 3
=
8, entonces Pedro es un valiente.
Notaci6n: Dadas las proposiciones:p, q, la condicional: "si p, entonces q", se denota p
-+-
q.
En este caso, p es la pro-
posici6n antecedente y q es la proposici6n consecuente. Valor de verdad: Una condicional es una proposici6n falsa cuando el antecedente es una proposici6n verdadera y el consecu~nte es una proposici6n falsa.
3n los demás casos, es una pro-
posici6n verdadera. La' justificaci6n del valor de verdad anterior radica en que deseamos estar lo más cerca posible del lenguaje ordinario, y la única manera de lograrlo, es estableciendo los valores de verdad, como ~n el párrafo anterior. El uso de una tabla nos ayudará mucho en la comprensi6n de estas afirmaciones. Consideremos la forma proposicional: p
-+-
q.
Para que su va-
lor de verdad coincida con el uso en el lenguaje ordinario, eStablecemos que cuando
v(p) = V Y v(q)
=
V, entonces v(p
cuando v{p) = V Y v~q) = F, entonces v(p can los ejemplos siguientes:
-+-
q)
=
-+-
q)
=
V:
F, como nos indi-
1) Si vuela, entonces se sostiene en el aire. 2) Si me besas, entonces me tocarás con tus labios. 3) Si eres hombre, entonces no tienes plumas. 4) Si la vaca es un animal, entonces vuela. 5) Si dos es un número par, entonces cuatro es un número impar. 6) Si 3 x 3 fectos.
=
9, entonces los políticos son elefante~ per-
Observe que ,los tres prineros ejemplos son proposiciones verdaderas y los tres ejemplos restantes son proposiciones falsas. Ahora bien, faltan dos casos por ver, es decir, cuando y{p)=:¡ F Y
v{q}=
V, y cuando
\l(p)
= \I(g)
:::; F.
Ya sabemos que
hay s6lo dos posibles valorp.sde verdad en c6da caso, V o F. Veamos en una tabla de verdad,lo que sucede al escribir 'las
28 posibles
combinaciones
casos citados,
de valores de verdad en los dos últimos
ya que en las dos primeras,
el uso ordinario
nos ha fijado el valor de verdad. p
q
A
B
C
D
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
v(p)
En la columna A, escribirnos V para cuando
v(q) = V, Y escribimos bla as~ obtenida
F y
v(p) = v(q) = F. Note, que la ta-
F, cuando
coincide
=
con el valor de q, por lo tanto, el re
sultado de la columna A no es el deseado,
ya que estfu~os buscan-
do una nueva forma proposicional. Bajo la colu~a
B, escribinos
F¡ para los dos casos en es-
tudio. De esta forma obtenernos la tabla de verdad de ~a conjunci6n
(p A q), que tampoco es una forma proposicional
nueva.
Para la columna C, hemos usado F, para_el caso en que: v(p)
=
F Y v(q)
=
V, Y hemos usado V, cuando aMbos valores
falsos. Observando
con cuidado el resultado
obtenido,
nos darnos
cuenta de que es la t.abla de verdad de la bicondicional 5610 nos queda una posible combinaci6n bir V cuando F.
conocíamos, los posibles
(p+-+q) •
que se da ~l escri-
v(p)= F y v(q)= V, y también cuando
Con esta columna hemos encontrado
son
v(p) y v(q) son
una tabla de verdad que no
y de esta manera, por eliminaci6n,
hemos obtenido
valores de verdad de una condicional.
Tabla de verdad
1.5:
Por lo anterior
tabla de verdad de la forma proposicional:"si la siguiente:
Observaciones:
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
concluimos,
que la
p, entonces
q" es
p-+q
1) La condicional
"si p, entonCes
q" , es
29 diferente
de la condiciona.l "si q, entonces
la condicional:
Si 2+2= 5, entonces
cuadril~te~o,
es una proposici6n
condicional:
Si un paralelogramo
2+2= 5, es una ·proposici6n falsa.
2) En el, lenguaje ordinario entonces
:.•", se entiende
dente y el consecuente. mediante
verdadera.
al usar ~l conectivo relaci6n
proposiciones
verdad de las proposiciones de causa y efecto que puedan
.. s1. '
•••
,
entre el antece-
en L6giéa,
no relacionadas. le interesa
y no sus contenidos existir
Per~,· la entonces
¿Por qu~?
que existe
es un.
¿Por qu~?
es un cuadrilátero,
para esto último, 'es que a la L6gica
Ejercicios
un paralelogramo
Por eso es extraño,
este conectivo
p" .. Por ejemplo,
unir La raz6n
el valor de o las rela~ione~
entre ellas.
1.11
1. Conteste
las siguientes
a) ¿Cuándo es verdadera
preguntas: la forma proposicional:p++q?
b) ¿Cu~ndo es falsa la forma proposicional:p++q? c) Cuando
v(p)= F, ¿cuál e$ el valor de verdad oe la
forma proposicional:p~q? ch) Cuando
v(q)=
v,
¿cu~l es el valor de verdad
de la
forma proposicional:p-+q? ,d) ¿Cuál es el valor de verdad de: (pllq)-+(p v q), si
v(q)= F? 2. Construir
la tabla de verdad de cada una de las s~guientes
formas proposiciónales.
v
a)
p ++ (q
b)
(p v r). 11 (p
c)
(p
ch)
V
r) -+q)
q)+-:>(q v p)
(p ~ p) v (p-+vp)
d) {p -+(q~r)}
++
{(p -+q)~ (p -+r) }
-+p e) ,(pllq) f) q-+{p v q) g) (P -+q) ++ h)
(p v q) ++
('Vpv q) ('Vr 11 vs )
i) (p~q) -+ 'V('V~11 (r v s) }
30
~. a) ¿Qué conectivo ya estudiado tiene igual tabla de' verdad que :(p-+q) A (q-+p) ? b) ¿Qué podemos concluir de la respuesta a la pregunta anterior? 4. Dados p: Está lloviendo. q: Está tronando. i) Traducir en símbolos cada uno de'los siguientes enunciados: a) Si está lloviendo, entonces está tronando. b) Si está tronando, entonces está lloviendo. e) Está tronando si y s6lo si está Ll.ov.í.erido . eh) Si está tronando, entonces no está lloviendo. d) No es cierto que está llovi~ndo si y s610 si no está tronando. ii) Formule las proposiciones siguientes: .a) (p -+ q) v (q-+p) b) "'q+-+p e)
"'P++ r\,q
eh) (PAq) ++ p d) (",pv q) + (PAq) 5. Sabiendo que p representa la proposici6n.: 3 es mayor que 5; q, la proposici6n: 3 + 2= 5 , Y r; la proposici6n: 4 + 7=9, ¿cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? a) p -+'r b) P +
(q: + r)
e) (p-+q)-+r eh) r -+ { {pA (q -+ p» v «q v r) + P) } d) (p v q v r) +-+ (PAqAr) 6. Cuál es el valor de verdad de la forma proposicional: { (p -+ q) v ("'pAq)}A (r + q).f dado que: a) \) (p)=
b) \)(p)
\) (q)
=
= \)(r) =
V,
\) (r)=
F
F, \)(q)= V
= \) (q) = \) (r)= F eh) \). (p) = \) (q) = F (r)= V d) \) (p) = \) (r) = V,\) (q) = F e) \) (p)
I
\)
\
7. Pruebe que: (p-+ q) -+r, y {p + (q-+ r) 1 no son formas proposi-
31 cionales
eauivalentes.
8. Pruebe que: a) p + 9 :: "'p v q b) "'(p-+q) :: pA"'q e)
{(pAq) v p}+'~}
:: "'p v "'CI eh) { ( (pAq) v p» + "'q} :: p+"'q
d) (p-++ q) :: . (p + q) A (q -+p) e) f)
(p++q) - (pAq) v ("'pA"'q) ("'p-+q) v (phq) :: p v q
g)
(p++q) -+("'phq) - "'p++q h) "'p++q :: '" (p++q) i) p++q :: q++p 9. Pruebe la equivalencia
de las
s,iguientes
formas
proposicionales: a) p-+q b)
(ph"'q)-+ "'p
e)
(ph"'q) -+q
10. ¿Cuáles, de las siguientes
(ormas proposicionales,
equivalentes? a)
("'p -+q) h ('\Ir -+."'q)
b) r .... "'p
e) p -+"'r eh)' "'{ ("'q + -vp) h (q -+",r)' 11.
Sea el
conectivo
Construya
las
A definido
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
tablas
de verdad de~
(p -+q) A q
e) "'{ (p -+",q)}
++
I
v
a) . ("'p v q) A "'q b)
por la siguiente
(p ~-q)
eh) p-+ {",.p A ("'qhp)}
tabla:.
son
32 12. a) Usando
el conectivo
proposicionales i)
p
de Sheffer,exprese
equivalentes
formas
a:
q
-+
ii) p+-+q b) Pruebe que:{ (plq) I (plq)} Teniendo
en cuenta
en'el presente conectivo
riamente
tabla de verdad
tes pueden
es verdadera
V o escribir
escribir
V o Fi
F.
valor de la tercera
cuántas
esto~
necesitarnos, en consecuencia,
Ejercicios
fila podernos
fila, el
V o F, y por último,
entre
los valores
24= 16 columnas,
sf, con los sfmbolos
tablas de verdad
elecciones:
el valor para la segunda
puede elegirse
podernos formar
formas proposicionales
Corno
tenernos que la segunda
fila puede' ser escogido
ze,sant.e . es que bastan
diferen-
simples.
Esto, es, para la primera
V o F.
todas ellas dife-
V y F.
El hecho de que dadas dos proposiciones mos diecis~is
columnas
o es falsa, pero no ambas cosas
elegido
fila tambi~n
que la
con dos componentes
dos proposiciones
luego de escrito
ser V o Fi
entre
dijimos
para cada fila tenernos dos posibles
escribir
rentes
dadas
innecesa-
formas proposicionales.
Desearnos conocer
encontrarse,
En conclusi6n,
comp+icarfa
de una forma proposicional
simultáneamente,
la cuarta
forma proposicional.
de las tablas de verdad,
filas.
una proposici6n
fila puede
cualquier
de muchas
1.9.8 y
s610 necesitarnos un
el uso de un solo conectivo
Al hablar
tiene cuatro
en el ejercicio
ejercicio, es evidente,que
la expresi6n
1.10
(r j r ) :: (p"q) +r
lo demostrado
16gico para expresar
Sin embargo,
I
simples,
diferentes, parece dieciséis
los conectivos:
encontre-
indicarnos
conectivos;
pero
que
lo inte-
"',", v , para expresa r
correspondientes
a cada columna.
1.12
1. A continuaci6h, .proposicione~
se in~luyen simples,
las posibles
que se cons cuen a partir
. posicionales, í
los valores
de verdad
dieciséis
de ellas y dieciséis
'una para cada columna.
de dos
columnas formas pro- .
Se le pide escribir,
33 ~n la raya,al la columna _p
q
1
lado de cada
forma proposicional,
el ndmero de
que le corresponda:
2
3
5
4
6
7
8
9
10
11
12
13
1,4 15
16
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F. / F
F
F
V
F
'p
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
a) p v '\.p
h)
b) q
i) '\.pAq
c)
j)
(pA'\.q)v ('\.PAq)
P
d) pAq
v q
1) p V '\.q
e) '\.p v '\.q
11) '\.pA'\.q
f) '\.p V q
m) '\.q
g) pA'\.q
n) pA'\.p
a) Identifique
la' columna
puede usted escribir
el ejercicio
1)?
b) Identifique
la columna
puede usted escribir
el ejercicio
1)?
Definici6n
1.11:
Una tautología
de sus componentes
tabla de verdad
en cuenta
a:p++q.
teniendo
¿Qué
¿Qué
en cuenta
compuestas,
es una forma proposicional
cualquiera
que sea el 'valor de
at.ónu.co s,
1) La más trival
de todas es: p v vp ,
Veamos
la
correspondiente:
2) La siguiente
V
F
V
F
V
V
tabla de verdad'muestra
{ (pAq) -+ r} ++ {p -+ (q -+ r)} manejo
teniendo
de l~s formas proposicionales
que es verdadera,
Ejemplos:
a:p -+ q.
que corresponde
equivalencia
1.11 Clasificaci6n
verdad
que corresponde
equivalencia
90mpuesta,
v ('\.P A '\.q )
k) p
ch) '\.p
2,
( p Jt q )
de dicha tabla,
es una tautología.
llamaremos
que~ Para facilitar
A,a la forma proposicional:
el
34
(pAq) ... r y, B" a la ~orma proposicional p ... '(q... r) • ~
_p
q
V
V
A V
q ... r V
B V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V V V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V V V V V V
V V V V V V
pAq
V
r V
V V V
V
A++B V
V V V
F
V V
V
V
Definici6n 1.12: Una contradicci6n es una forma proposicional compuesta, que es falsa, para todos los posibles valores de verdad de sus componentes at6mico.s. Ejemplos: 1) La más trivial es: PA~P. Veamos su tabla de verdad:
V
F
F
F
V
F
2) La siguiente tabla de verdad muestra que: (P'"q)A (q-+r)A (PA~r)I es una contradicci6n. Para facilitar el manejo de la tabla de verdad llamaremos A, a la forma proposicional : p -+q 1 B, a la forma proposicional: q -+r y, C I a la forma proposicional: pA'"r C
AABAC
F
F
F
.F
V
V
F
V
F
F
F
F
V V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V V
V
F
F
F
V
V
F
F
B V
AAB V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V V
F
F
F
V
F
F
F
V V V
q
V V V
V V
r V
~r
A V V
p
Oefinici6n 1.13:
Se le llama contingencia a una forma
35
proposicional
compuesta
que no;es'una
tautolrrgía ni una contra-
dicci6n. Ejemplos: 1) La forma proposicional: p A q es una contingencia, como ~uestra la siguiente tabla de verdad: q
V
V
V·
V
F
F'
F
V
F
F
F
F
pAq
La forma proposicional: (p v q) +-+ (p -+r) es una contincomo muestra la siguiente' tabla de verdad:.
2)
gencia,
p-+r
(p v q) +-+ (p-+r)
p
q
r
p v q
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F'
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
Ejercicios
1.1.3
1. Determine, cuáles,
son tautologías, a ) (p A q) -+'Vq b) 'V(p v q) -+p c)
p
{p
v
de las siguientes formas proposicionales, contradicciones o continaencias:
(p fI q) } +-~ P
ch) P A (p v q) +-+p d) ('Vp v q) +-+ (q -+p) e)
(q 1\ 'Vp)+-+ ('Vq v
p)
'Vr} -+p g) p-+{(pl\q) l\'Vr} h) {( P -+q) v (p -+r ) } +-+{p -+(q v r) } f)
{(p
i) 'V( P
v q)
v
-+q) -+(p v
q.)
36 j)
{ (p v q) [\ (p V ruq)}
p
~-+
k) (p -s- q) 1) {p 11)
A(p +q)}
-* q
{p1\(g-+p)}+p
m) {(p-*,q) -* q} n) {(p-*q)
(p
+
1\ (q-+r)} -+ (p-*r)
ñ)
(p -*q) 1\
o)
(p v q)
(q + r) 1\ ru(p-+r) +->-
(p Aq)
2. Sea t una tautología, siei6n
cualquiera.
verdad
de las formas
tinuaci6n. determinar
v q)
Tanto
e una eontradicci6n
Determine,
si es posible,
proposicionales
justifique
el valor de a eon-
sea posible
como en aquéllos
que no
su respuesta.
a) p At
i) e +p
b) P v t
j)
p~-rc
e) p -+-t
k)
rue
ch) t -+p
1) t v e
d) p++t,
11) t A e
rut
m) t -+ c
e)
propo-
que se darán
en los casos en los cuales
el valor de verdad,
sea posible,
y puna
f) pAc
n) c
g) p v e
ñ) c++t
-+
t
h) p ....e 1.12 Condicionales Definici6n la condicional
derivadas
1.14 Dadas
dos proposiciones:p,
p + q, podemos
considerar
q, además de
las condicionales
siguientes: 1) q -+p, llamada
recíproca
2)
"'p-+ruq, llamada
3)
v
q+ v p , llamada
Ejemplos: está enfermo,
1) Dada
de p -~q.
contraria
de p -+ q.
contrarrecíproca la condicional:
sus condicionales
de p
Si es loco, entonces
derivadas
Recíproca:
Si está enfermo,
Contraria:
Si no es loco, entonces
~ q.
entonces
son: es loco.
no está enfermo.
37 Contrarrecfproca:
Si no está enfermo,' entonces
2) Dada la condicional:
Si dos rectas son paralelas,
ces no tienen puntos en común, Recfproca:
no es loco.
sus condicionales
Si dos rectas no tienen puntos
enton-
derivadas
son:
en comúnJ
enton-
entonces
tienen
ces son paralelas. Contraria: puntos
Si dos rectas no son paralelas,
en común.
Contrarrecfproca: entonces
Si dos rectas tienen puntos en común,
no son paralelas.
Ejercicios
1.14
1. Construya
una tabla de verdad para la condicional:p
y para cada una de sus condicionales 2. Después
de observar
¿qué equivalencias 3. Dadas
+
q,
derivadas.
las tablas de verdad
del ejercicio
1,
puede escribir?
las proposiciones:
p: Se ve humo. q: Hay fuego. Escriba
en palabras
la condicional:
q", y cada una de sus condicionales
entonces 4. Escriba
y en sfmbolos
las condicionales
a) Si no llueve, entonces
derivadas obtendr~
"si p,
derivadas.
de las condicionales: una A en el curso de
Matemática. b) Si 4+2=8, entonces c) Si el profesor
el 3 no es un número par.
no viene a clases,
entonces
no tendré
que ir a la universidad. 5. Determine
el valor de verdad de: p-.q
nales derivadas
en cada uno de los siguientes
a)
v(p)=F , ~(q)=V.
b)
v(p)=V,
v(q)=P.
c) v(p)=F,
v(q)=F.
ch) d)
y de sus condicio-
\'(p) =V , v(q)=V. v("p)=F,
6. Complete
v(q)=F.
los espacios
a) La contraria
en blanco.
de la recíproca
de p + q es
casos:
38
b) La recíproca de la contrarrecíproca de p +q es
c) ch) d) e)
La La La La
contrarrecíproca de la contraria de p +q es recíproca de la contraria de p + q es contraria.de la contrarrecíproca de p +q es contrarrecíproca de la recíproca de p +q es
1.13 Negaci6n de proposiciones compuestas Cualquier proposici6n puede negarse anteponi~ndole la expresi6n: "Es falso que", como es el caso de la proposici6n: Pedro es un cobarde y el sol brilla, cuya negaci6n puede escribirse: Es falso que, (Pedro es un cobarde y el sol brilla) • Sin embargo, en el fondo, negar una proposici6n compuesta es más complicado que la simple anteposici6n de una expresi6n. Negaci6n de la negaci6n: La negaci6n de "'p es '"('"p), y es:ta forma proposicional es equivalente a p de acuerdo con la la siguiente tabla de verdad: V
F
V
F
V
F
Ejemplos: 1) La negaci6h de la proposici6n: La caña no es'dulce, es : La caña es dulce. 2) La negaci6n de la proposici6n: Catorce no es divisible por ~eis, es: Catorce es divisible por seis. 3) La negaci6n de la proposici6n: Es falso que Petra parece un elefante, es: Petra parece.un elefante. 4) La negaci6n de la proposici6n: No es verdad que el sol / sale por el este, es: El sol sale por el este. Negaci6n de la conjunci6n: La ley de De Morgan con respecto a la negaci6n de una conjunci6n nos aseg-uraque: '"(p ]\q) ::'"p v "-q. Por lo tanto, la negaci6n de una conjunci6n es equivalente a la disyunci6n de las negaciones de sus componentes. La tabla siguiente nos mostrará la equivalencia:
,
"
39
'V(
v
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
Ejemplos: 1) La negación de la proposición: La rosa es roja y e~ clavel es blanco, es: La'rosa no es roja o el clavel no es blanco. 2) La negación de la proposición: La culebra es un reptil y la vaca no es un ave, es: La culebra no es un reptil o la vaca es un ave. 3) La negación de la proposLc.í.ón s Roma no es la capital de Italia y Julio es·un haragán, es: Roma es la capital de Italia o Julio no es un haragán. 4) La negación de la proposición: Mozart no fue un matemático y 4 no es un número primo, es: Mozart fue un matemático o 4 es un número primo. Ne~ación de la disyunción: La ley de De Morgan con respecto a la negación de la disyunción nos dice que: (p v q) ::'VpA 'Vq. Esto es, la negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de sus compo(V
nentes. Para ~ayor comprensión de esta equivalencia se incluye la siguiente tabla de verdad:
v
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
'F
V
F
F
V
V
F
.v
F
F
F
F
F
V
V
V
V
EjemElos: 1) La negación de la proposición: Estoy pasando por la universidad o la universidad está pasando por mí, es: No estoy pasando por la universidad y la universidad no está pasando por mí. 2) La negación de la proposición: Seis es un número par o no es un número primo, es: Seis no es un número par y es un número primo.
40
3) La negación
de la proposición:
o Gauss fue un matemático,
es: Chopin
Chopin no fue un poeta fue un poeta y Gauss no
fue un matemático. 4) La negación eres simpá~ico, Negación (p -+ q) y
de la proposición:
No tienes dinero o no
es: .Tienes dinero y eres simpático.
de la condicional:
Las tablas de verdad de
('"p v q) que aparecen
a continuación:
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
nos indican que: (p -;":1) ::("'pv q). Pero,por
las leyes de De Morgan:
Luego, '"(p -+ q) ::"'("'p v q). tv("'pv q) ::"'("'p)A"'q.
Por lo tanto, '"(p.+q) ::pA"'q. Pa,ra facilitar. 'La comprensión riones, presentarnos la siguiente V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
1) La negaci~n
sudarás,
de la proposición:
Si corres,
es: Corres y no sudarás.
2) La negación entonces
ante-
tabla:
v
Ejemplos: entonces
de las equivalencias
de la proposición:
la tortuga es un batracio,
Si el pato no vuela,
es: El pato no vuela y la
tortuga no es ~n batracio. 3) La negación rectángulo, rectánqulo
entonces
de la proposición:
no estornudarás,
Negación (p++q) :: (p tablas
no es equilátero,
es: Un triángulo
es es
-+
q) A (q
-+
p)
Si no tienes catarro,
es: No tienes catarro y-estornudarás.
de la bicondicional:
de verdad:
- ._
Si un triángulo
y equilátero.
4) La negación ent0nces
de la proposición:
La equivalencia:
queda establecida
por las siguientes
41
v
v
v
v
v
v
v
v
V
'F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F F
F
F V V V V F F p)}. Usando las Por lo tanto, -,(p+-;..q) - "'{(p-+-q)A (q -+-
leyes de De Morgan obtenemos: "'{(p -+q) A (q -+p)} ::'"(p -+q) v",(q -+p). Finalmente, por la negación de condicionales: "'(p-+-q)v "'(q-+-p):: (pA "'q) v (qA"'P)• Luego, "'(p++q) :: (pA"'q)v (qA"'p). Consulte la tabla siguient~ para comprender cias anteriores.
En dicha tabla llamaremos,
posicional:p++q,
B, a la forma proposicional:(pA~)
las equivalen-
A, a la forma proy, C, a la
forma proposicional:(qA"'p). B
"'p
C
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F F
V
F
F
q
A
"'A
V
V
V
V
F
F F
B
v C
"'q
p
Ejemplos: 1) .La negación de la proposición: Serás saludable si y sólo si haces ejercicios, es: (Serás saludable y no haces ejercicios)o (haces ejercicios y no serás saludable). 2) La negación de la proposición: Un pOlígono es regular si y sólo si dos de sus lados son congruentes,
es: (Un polígono
es regular y dos de sus lados no son congruentes)o aos de sus lados son congruentes y el polígono no es reguiar). 3) La negación de la proposición:
Dos no es un divisor
de a + b si y sólo si a + b es impar, es: (Dos no es un,divisor de a + b Y
a + bes par) o (a'+b
es impar y dos es un divisor
de a + b) . 4) La negación de la proposición:
No eng6rdarás
si no comes en exceso, ,es: (No ~ngordarás (comes en exceso y engordarás) .
..
,
si y s6lo
y comes en exceso)
o
42
Ejercicios 1.15 1. Niegue las siguientes proposiciones: a) Quince es un número impar o es múltiplo de tres. b) Si un número es primo, entonces no es divisible por cuatro. c) Es falso que veintisiete es un número par. ch) {p 1\ (p -+ q)} v {g 1\ ("'g-+"'p)} d) Veinte es un número divisible por cinco 'y.la suma de sus d!gitos no es divisible por cinco. e) La contraria de una condicional verdadera no es una proposición falsa. f) Si dos proposiciones son falsas, entonces la conjunción y la disyunción de ellas son proposiciones falsas. g) Llueve y el sol brilla si y sólo si se está casando una bruja. h) La división de números reales no es una operación conmutativa o seis entre dos es diferente de dos entre seis. i) Si la contrarrec!proca de p ~ q es una proposición verdadera, entonces p ~ q'es una proposición verdadera. 2. Niegue las siguientes formas proposicionales: v q) /\(p-+q) a) (/\'p , b) "'p ++-(q /\r) c) {(p v q) A r} ~ ("'q/\p) ) eh) {p A (p ~q) } v Iq A ( /\, q ~ "'p d) -v (p ~q) ~ (p v q) q ~ "'p) A (q v r) e) (/\, f) p++- (q A "'r) } 1\ {( /\'pv"'q) ~ r} g) {( "'p/\ q) v (r ~ /\,s) 1.14 Tautolog!as de mayoL uso Muchas de las tautologías que aparecen a continuación son conocidas por el lector. Aquéllas que no le sean conocidas, debe demostrarlas. Indicaremos, entre paréntesis, el nombre con el aalalgunas de las leyes lógicas son conocidas, para referirnos
.'
43
a ellas
posteriormente.
1) p v ""p
ley del medio excluido.
2)
rey
del rrodus ponens.
rey
de la
{pA
(p-+q)}-+q
3) (p A q) -+Pi
-+ q
(p Aq)
v q)
4)
P -+ (p
5)
{{p -+q) A (r-+q)}+-+{{p
6)
{{~
7)
{(p-+q)
8)
(pA ""p) -+ q
9)
p++ 'V (""p)
10)
v q) A
v r)
-+q
"" p} + q
A {p-+"-'q)}-+ ""p
(p -+q) +-+ ( -v q -+""p)
11) 'V(p Aq) ++( ""p 12) 'V(p
V
contrrarzecfproca-
vq)
q) ++ (vp A'Vq )
V
13) (pAq)++(qAp) 14)
15)
(p vq) ++ (q vp) {p A (q Ar)}
16) {p v(q
++ {(p
Aq)
v r)}+--+{{p v q)v
17)
(p A (q v r»++(pA
18)
(p v (q Ar ) 'V(pA'Vp)
20)
{{pA'Vq)
21)
«p
q) v(pA
z)
+-+(p v q) A (p v r)
22)
(p -+q v r)
+
{r
A 'Vr)}++
-+q) A (q +r )
(p -+q)
Reducci6n al absurdo. ley del silogismo.
-+(p +r )
+-+ {"" r -+(p -+ q) )
23)
{p + (q --\.r )
24)
«p
4
r)}
lI=y de la contradicci6n.
19)
25)
A r)}
-(--+ {( P A q) + r)
q) A (p
+
r)
+-+
(p -+ (q A r )
p Aq -+ (p -+q)
26) {{ r v s ) A (r
-+s ) A (s -+t)}
+s
..
27) {q A (""p -+ q) }-+q 28)
1.15
p A{(p A""q)
Relaciones Aunque
estábamos
Ley del McdusTollens .
-+ r } A {(pA'V q) -+ ""r } -+q
lógicas
sí,n especificarlo, trabajando
una rel~ción Existen
Reducci6n al absurdo.
cuando
hablábamos
con una relación
entre
formas
otras
relaciones
lógica,
de equivalencia,
en dicho
caso,
proposicionales.
•
lógicas
que serán
estudiadas
en
44 esta sección,
la primera
Definición
1.15:
de ·las cuales es la implicación.
Sean:p y q dos proposiciones.
De~irr,os
que p implica q si el valor de verdad de la condicional p
+
q
es verdadera. Ejemplos: 1) Sean: p: Llueve q: Se mojan las calles. "p implica q" ya que la condícional: Si llueve, entonces se mojan las calles, es verdadera. 2) Sean: r: Posees raz6n. s: Eres humano. Posees 'raz6n,implica eres humano, ya que la condicional:r
+
s, es verdadera.
3) Consideremos: t: Los &ngulos d u: Los &ngulos a
ye
y
son complementos de un mismo ángulo. e son congruentes.
Es evidente que "t implica u", (¿por quér ) 4) Designemos por m la proposición: Te mojaste, y, por n, la proposición: Te baña?te. "m no implica n" porque pudo mojarse por la lluvia, y por tanto, la condicional: si te mojaste, entonces te bañaste, es falsa. 5) Si llamamos t a la proposición: a x b es positivo, y, u a la proposición: a y b son positivos, tenernosque litno implica u", porque la condicional: Si a x b es positivo, entonces a y b son positivos, es falsa, pues a y b pueden ser ambos negativos y el producto, en este caso, es positivo. No'cación:Si "p implica q" escribiremos p~ implica q ", f.- ~ q . La implicaci6n: p~q,
q. Si "p no
se caracteriza porque v(q) - V
siempre que v(p) =V. Ejercicios 1.16 1. Llene los espacios en blanco con una proposición, tal que
45 la primera proposici6n / amp Laque la segunda. a) Un número es divisible b) c)
por dos implica
------------------
implica los triángulos son semejantes. imp lica _
ch) Es un cuadrilátero
implica
----------------de ~l mismo
d) Un número tiene un divisor distinto
2. Demuestre,que
si p
y q~r,
>q
entonces
dad se conoce corno la propiedad 3. Sean p y q dos proposiciones.
p
transitiva
>r.
Esta propie-
de la implicaci6n.
los espacios
Llene
implica
en
blanco con el o los valores de verdad requeridos: a) Si P=9q b) Si p~q
y
v(p)=V, entonces
'I)(q) =___
Y
·.(q)~F,
entonces
'I)(p) =
e) Si ~q
Y
v(q)=v/ entonces
v(p)=_
ch) Si p~ d) Si p~q
Y
v(p)=v, entonces
v(q)=
Y
v(q)=F, entonces
v(p)=
ar.\OSentre que d s t ins¡
Es importante la condicional
í
aunque existe estrecha
Cuando decimos p ~
existe
considerar
la relación
palabras,
..¡.
entre ellas.
una relaciÓn
cuando decimos P" q, estamos
una proposici6n.
siempre podemos
tienen signifi-
afinidad
q, estamos estableciendo
entre p y q, en ca~io,
Dadas dos proposiciones: la proposición
y
la relaciÓn p~q
p ... q, ya que diChas expresiones
cados diferentes,
planteando
----
sólo· p y q,
p" q, pero no siempre
p=>q, entre dich~s proposiciones.
En otras
y ==9 no es un conectivo,
sino una
es un conectivo
relaciÓn. La confusi6n
entre ambas se agrava por el hecho de que sey asf vemos, c6mo muchos
usan indistintamente, Matemática
se enuncian
cuando en realidad,
de la forma:
Ejemplos: 1) Si o: y 1) sen
t:t
=cos
1'.
"Si ... , entonces
la forma correcta
porque un teorema es una proposici6n
teoremas en
es:
n •••
implica
", ",
verdadera.
son ángulos comp Lemen t ar os, entonces í
46 2)1
Si en una circunferencia dos cuerdas son congruentes,
entonces equidistan del centro. ,La definici6n 1.15 nos dice, que cuando el valor de verdad ·de la condicional p+ q es V, entonces p implica q, y la tabla de verdad 1:5 nos dice, que v(p + q) =F s6lo cuando v(p)=V y v(q) =F. Por 10 tanto, si deseamos probar que la proposici6n p implica la proposici6n q, solamente debernosmostrar que cuando p es verdadera tambi~n q es verdadera. Otra forma de probarlo, consiste en mostrar que cuando q es falsa, tambi~n p es falsa. En Matemática se acostumbra utilizar diferentes expresiones para indicar "p implica q". Estas expresiones son las siguientes: i) Si p, entonces q. ii) P es condici6n suficiente para q. iii) P s6lo si q. iV) q es condici6n necesaria para p. Para entender mejor este lenguaje consideremos los siguientes ejemplos: 1) La condicional: Si un animal es un perro, entonces tiene cuatro patas, es una proposici6n verdadera. Por tanto, la condici6n: Ser perro, implica que el animal tiene cuatro patas. Ahora bien, ser perro, es condici6n suficiente para ser animal de cuatro patas, pero no es una condici6n necesaria, puesto que, si es un 1e6n, tambi~n tiene cuatro patas. Por otra parte, la condici6n: Tener cuatro patas, es necesaria para ser perro, pero no es suficiente, porque hay animales de cuatro patas que no son perros. 2) La proposici6n: Si dos triángulos son congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes, es una condicional verdadera. Note"que la condici6n "triángulos congruentes", es suficiente para que los ángulos correspondientes sean congruentes, sin embargo, no es una condici6n necesaria,ya que podemos dibujar triángulos con ángulos correspondie~tes congruentes sin que sean triá~gulos co~gruentes. La condici6n:
47
"ángulos correspondientes congruentes", es necesaria para que los ,
'
triángulos sean congruentes, pero no es un~ condici6n suficie~te porque los triángulos pu~den ser s6lo semejant~s. Veamos otros ejemplos: 1) La proposici6n: Hay luz, implica'la proposici6n: Hay c1ar~dad. Esta imp1icaci6n podemos expresafla de l~s siguieptes, manerqs: i) Si hay l~z, entonces hay claridad. ii) Hay luz es condici6n suficiente para que haya c La r dad," í
iii) Hay luz s610 si hay claridad. ,iv) Hay claridad es ~ondici6n necesaria para q~e haya luz. 2) Un entero positivo es un múltiplo de tres, implica que la suma de los d~gitos que componen el número es un múltiplo de~ .,. tres. La implicaci6n anterior se puede escribir de las formas siguientes: i) Si un entero positivo es múltiplo de tres, entonces la suma de los dfgitos que componen el número es un múlt~plo de tres. ' ii) Un entero positivo es múltiplo de tres, es condici6n suficiente para que la suma de los ~ígitos que com~orienel número s~a ~n múltiplo de tres. iii) Un número entero positivo es múltiplo de tre~, s610 si la suma de los dfgitos que componen el número, ,es un múltiplo de tres. iv) La suma de loa dfgitos que componen un,número es un múltiplo de tres, es condici6n necesaria para qu~ dicho núme~o sea maltip19 de tres. Ejercicio 1.17 1. a) ¿Es:"el animal es carnívoro" condici6n necesaria ó suficiente para: "El animal es un gato". b) ¿Es: "El altimo'dígito es O 6 5" cond.í.c í.ónnecesaria o suficiente para: "Un entero positivo'es múltiplo de 5". c) ¿ES: "un número es mayor 'que 6 " condí.c í.ónnecesaria o suficiente para: "El número es mayor que 10".
48
eh) ¿Es: "Las diagonales
son congruentes"
ria o suficiente para: "El paralelogramo
condición necesa-
es un rectángulo".
d) ¿Es: "El tri~ngulo es equilátero"
condición necesaria
o suficiente para: "El tri~ngulo es isósceles". Definición
Sean p y q dos formas proposicionales.
1.16
cimos que:p =>q si se cumple que la forma proposicional:p
De-
~ q es
una tautolog1a.
1) p
Ejemplos:
)(pvq)
La tabla de verdad siguiente justifica este ejemplo: p
q
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
,V
)
2) [(p ~ q) A pJ=)q A continuación,
presentamos
la tabla de verdad de la for-
ma proposicional: [(p ~ q) A pJ ~ q, para justificar
la implica-
ci6n. V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
•
I
\
>
3) p A [(p A'Vq) -+ rJ A [ (p A'\Jq) ~ 'VrJ q La implicaci6n anterior queda justificada
si construimos
la tabla de verdad de la forma p_roposicional correspondiente. Para facilitar el manejo de la misma, llamaremos A, a la forma proposicional: (pA 'Vq) ~ r,
[P
A (pA
-+ r
J
y
B, a la forma proposicional:
e, a la forma proposicional: (pA
"4) ~
'\J:"
49 p
g_
r
",g_
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
B
"'r
C
BAC
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
4) sicional
L (p ~ q)
A
PA'"q
(BAC)
.+-
q
(q~ r)] ~ r. Llamaremos A, a la forma propo(p -+q) ti. (q -+r)] -+z . ti
p-+q
a-+r
(p ~ q)
ti
(q ~ r)
p
q
r
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
Como podemos apreciar,
A
la tabla de verdad de la forma pro-
posicional no es una tautolog!a,
y
esto justifica que:
~p -+q) ti (q -+r)] ~ r. Otra relación l6gica de importancia
es la llamada doble
implicaci6n. Definición 1.17. Sean: P, q dos proposiciones, tales que, p==§)q y q =9 p. En este caso, decirnos que existe una relaci6n de doble implicaci6n entre p y q. Notaci6n: Cuando existe una relaci6n de doble implicaci6h entre p y q, escr rb remos i p ee q . Si no existe tal relaci6n, í
escribiremos p~ q. Ejemplos: 1) Sean: ro: Un triángulo es equilátero. n. El triángulc tiene tres laaos congruentes.
50 Observe triángulo
que:
"Un triángulo
es equilátero",
tiene tres lados congruentes"
tres lados congruentes",
y: "Un triángulo
implica: "El triángulo
Por lo tanto, entre ro y n existe una relaci6n 2) Denotemos
implica:
"El tiene
es equilátero".
de doble implicaci6n.
por p la proposici6n: En un plano, un punto P
está en la mediatriz del segmento AB, y por q, la proposici6n: La longitud del segmento PA es igual a la longitud del segmento l'B. En este caso, sabernosque p~
q, y q~
p, por lo cual
decirnos,qué existe una relación de doble implicaci6n entre las proposiciones p y q. 3) Sean: r: Un ser humano respira. s: Un ser humano está vivo. Es eviden.teque entre las proposiciones r y s existe una relaci6n de doble i~plicaci6n . . 4) Llamemos t a la proposici6n: Un polfgono es un cuadrilátero y, u, a la proposici6n: Un polfgono es un rectángulo. En este caso no existe una relaci6n de doble implicaci6n, ya que: u~ t
~u,
t, porque 'todo rectángulo es un cuadrilátero, pero
porque existen cuadriláteros que no son rectángulos,
por ejemplo, el trapecio. 5) Digamos que u es la proposici6n: Un cuadrilátero es un cuadrado, y w es la proposici6n: Un cuadrilátero es un rombo. Entre u y w no hay una relaci6n de doble implicaci6n, porque: u ~w,
ya que todo cuadrado es un rombo, pero w~
u,
puesto que éxi.stenrombos que no tienen ángulos rectos y por lo tanto, no son cuadrados. La definici6n 1.17 nos dice que entre la proposici6n p y q existe una relación de doble implicaci6n cuando p =;> q, y al mismo tiempo q ~ p. La definici6n 1.15 nos dice,que p;;'q significa que la condicional p ~ q es verdadera, y q~
p
s~gnifica que la condicional q ~ p es verdadera. En consecuencia
51
podemos decir,que entre las proposiciones p y q existe una relaci6n de doble implicaci6n si se cumple que la bicondic1onal p 1+ q es verdadera, ya que: (p -+ q) A (q -+ p):: (p_ q). De esto altimo, podemos deduci! que, cuando entre las proposiciones p y q existe la relaci6n de doble implicaci6n, sus valores de verdad coinciden, es decir, v(p} = v(q) = V o v(p) = v(q) = F, porque la tabla de verdad 1.4 nos dice,que: y(p_ q) = F s610,cuando los componentes tienen diferentes valores de verdad. Si deseamos probar que entre p y q existe la relaci6n de doble implicaci6n, debernosmostrar que cada vez que v(p) = V, también v(q) = V, y, además, que todas las veces en que v(q) = V, también v(p) = V. Otra forma de probarlo es mostrando que siempre v(q) = F, tambi~n v(p) = F, y, además, que toda vez que v(p) = F, tambi~n v(q) = F. Cuando hablábamos de implicaci6n, decíamos que suele confundirse con la condicional. En el caso de la doble implicaci6n la confusi6n se presenta con la bicondicional, pero como antes, decimos que cada una, representa expresiones con significados diferentes: la doble implicaci6n es una relaci6n entre proposiciones y la bicondicional es una proposic16n. Es decir, - es un conectivo y~ es una relaci6n y no un conectivo. La relaci6n de doble implicaci6n es muy usada en l-1aternática en la definici6n de conceptos, porque una definici6n no es más que una proposici6n que expone con claridad y exactitud los caracteres gen~ricos y diferenciales de una cosa material o inmaterial. Ejemplos: 1) Dos ángulos son congruentes < ) ambos tienen la misma medida. 2) Dos segmentos son congruentes <í ;> ambos tienen igual longitud. 3) Dos ángulos son complementarios~sus medidas suman 90.
4) Dos triángulos son congruentes~existe una correspondencia uno a uno entre sus v~rtices, tal que, los ~ngulos correspondie~tes son congruentes y los lados correspondientes
52 son congruentes. son seme j ant.ea e=e existe una correspon
5) Dos triángulos denc~a
entre sus vértices,
tes son congruentes
tal que, los ángulos
correspondien-
y los lados correspondientes
son propor-
cionales.
6) Un nrtmero entero positivo: divisores son 1 y p, y p ~ 1. ~unque
las definiciones
p, es primo ~
se presentan
de la forma" ... si
y s610 si ...", sabernos, que no es lo correcto, del lenguaje
ordinario,
justifica
sus rtnicos
y s610 el abuso
que se admita
como válida
esta forma de presentación. En Hatemática
se utilizan
diferentes
indicar que en~re dos proposiciones, una relación
de doble implicaci6n.
i) p es condición
ii) q es condici6n
necesaria
Dichas
expresiones
1) p si q
(q =>
y suficiente
--i>
la proposici6n:
si y sólo si el triángulo
que es una bicondicional lo ABe es equilátero, gulo
verdadera.
ABe es equilátero.
justi~ican
que: Ser triángulo
ciente y necesaria triángulo
Ser triángulo 2) Entre proposici6n:
equiángulo, El triángu-
ABC es equiánimplica e L
ABe es equiángulo,
Las dos implicaciones equilátero,
es condición
anteriores
es condición
equiáng~lo
necesaria
sufi-
y que:
Ser
y suficiente
para:
equilátero. la proposición: Un triángulo
te una relaci6n expresarla
ABC.es
Por lo tanto:
para: Ser triángulo
equiángulo,
El triángulo
implica que el triángulo
y, también: El triángulo
triángulo
en las oraciones:
q)
1) Consideremos
ABC es equilátero
para p.
p)
2) P s610 si q (p Ejemplos:
son:
para q ,(¿por qué?)
necesaria
iii) P si y s610 si q. Note, que esta rtlti~a puede desglosarse
para
p y q, existe
digamos
v .¿
suficiente
expresiones
Un triángulo
tiene dos ángulos
de doble implicaci6n.
ae las siguientes
i) ''Untriángulo
es isósceles, y la congruentes,
Tal relaci6n,
exis-
podemos
formas:
es is6sceles", es condición \
suficiente
y
53
necesaria para: "Fltriángulo tiene dos ángulos congruentes". ii) Un triángulo tiene dos án9ulos congruentes, es condici6n necesaria y suficiente para que el triángulo sea is6sceles. iii) Un triángulo es is6sceles si y s610 si el triángulo tiene dos ángulos congruentes. Definici6n 1.18 Sean: p y q dos formas proposicionales. Decimos que entre p y q existe una relaci6n de doble implicaci6n si la forma proposicional p ++ q es una tautologia. En tal caso, escribimos p~q. Ejenplos: 1) Entre las formas proposicionales: p + q , y ~p v q existe una relaci6n de doble implicaci6n. La siguiente tabla de verdad justifica este ejemplo.
~I
v
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
2) p+ (q v r) ~ "'r + (p + q) La relaci6n anterior queda justificada si construimos la tabla de verdad correspondiente. Para facilitar el manejo de dicha tabla f. llamaremos A, a la forma proposicional: p + (qv r) y, B, a la forma proposicional: ~r + (p + q) . p
q
r
q v r
A
",r
p ->q
B
A -++B
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
Llamaremos A, a la forma proposicional mos B I a la forma proposicional: qt, ",p.
p {\~q
3)
(p A "'q)
<=1=>
(q A "'p) y
llamare-
54
p
.q
V
V
F
V
F
F
I
F
",q. A
",p
B
F
F
F
V
V
V
F
F
F
v
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
A
-++B
La tabla de verdad correspondiente indica que la forma pxopos c one L; (p J\IVq) í
í
justifica
que
-++
(q J\"'p) no es una tautología. Esto
no exista relación de doble implicaci6n entre
.Las formas proposicionales.
Ahora bien, si la forma proposicional!p-++ q es una tauto~
logía, es porque la forma proposicional p y la forma proposicional q tienen la misma tabla de verdad, pero la definici6n 1.8 nos decía que,en tal caso, las formas proposicionales son equivalentes. ,
.
Por lo tanto, en el caso de las formas proposicionales,
puede usarse, indistintamente el símbolo porque ~i p
=
q, entonces p~q,
=
o el símbolo ...
y viceversa.
lenguaje, cuando tenemos dos proposiciones: son equivalentes si se cumple p~
,
Por abuso del
p, q, decimos que
q.
Ejerci.cios 1.18 1.' Llene los espacios en blanco con una proposici6n, tal que entre la primera proposici6n y la segunda exista una relaci6n de doble implicación. a) 'Dos rectas son perpendiculares ~ 'b) Un ángulo es
~
--------------------_.
su v~rtice es un
Eunto de una circunferencia y cada uno de sus lados interseca la circunferencia en otros dos puntos. e) Un polígono es convexo ~ eh)
~
--------------------además es equilátero
es un polígono convexo que y equiángulo.
dl 2.. Demuestre que: a) p~
p.
Esta propiedad se conoce como propiedad refle-
xiva de la doble implicació&.
55
b) Si P c)
3. a)
b) c) ch) d)
q, entonces q -==:> p. Esta propiedad se conoce como la propiedad simétrica de la doble implicaci6n. Si p -==:> q, y q -==:> r, entonces p <==> r. Esta p~opiedad se conoce como la propiedad transitiva de la doble i.mplicación. v(q)= Si p~q Y v(p)= V" entonces F, entonces v(p)= Si p~q Y v (q):;: v (p):;: Si p~q Y v(q)= V, entonces = v, entonc.es V ('l.q) = Si p~q Y .,,(p) Si p~q v(q)= Y v(p)= F, entonces .:=;.
----------------~--. --------------------_.
1.16 Formas argumentales Constantemente, en la vida diaria, nos encontramos con razonamientos, tales como: 1) Si un hombre está casado, entonces tiene problemas. Este hombre no tiene problemas. Por lo tanto, este hombre no es casado.. 2) Si estudio Lógica, me duele la cabeza. Si me duele'l~ cabeza, tomo aspirinas. Anoche tornéaspirinas.,Por lo tanto, no estudié Lógica. , En base a nuestras experiencias, muchas veces podemo& decir, si un razonamiento como los anteriores, es correcto o no. En otras ocasiones, en las que se presentan argumentos muy complicados, el análisis de los mismos requiere una mayor precisión de 10 que se entiende por un argumento correcto • .... Precisamente, uho de los más importantes frutos que los autores esperan obtener con estos apuntes, es que el lector pueda determinar si un argumento es correcto o no. Definición 1.19 Sean: P1' P2 ...,'Pn ' q, form~s proposicionales. Una forma argumental es una forma proposicional del tipo: (P1J\P2J\... J\·Pn -+q. Definición 1.20 En la for~a argumental (P1 J\ P2 J\ ••• A Pn)..q, las formas proposicionales P1' P2' ..., Pn se llaman premisas o hipótesis, y la forma proposicional ~ se llama conclusión. Definición 1.21. La forma argumental (P1 J\ ••• J\ Pn) -+q es
56
.
válida si y s610 si (P1 A P2 A ••• A Pn) ~ q. En caso contrario, decimos que la forma argumental es una falacia. Ahora bien, recor~emos que para demostrar que p ~
q, basta-.
ba con mostrar que p ~ q es una tautología. Por 10 tanto, si deseamos probar que la forma argumental: (P1A P2 A ... A Pn) + q es válida, debemos probar que la forma proposicionaJ: (P1A P2 A .•. A Pn) + q es una tautología. Por esta raz6n, es que las tautologías son tan importantes en el estudio de la L6gica. Ejemplos: 1)
(p A q)
+
q.
En este ejemp1~ p, q son las premisas, y q es la conc1usi6n. Deseamos averiguar si ésta es una forma argumental válida o no. Por la definici6n 1.21 sabemos que la validez depende de que la forma proposicional sea una tautología. Para saber si una forma proposicional es una tautología, debemos construir su tabla de verdad, o bien, comparar la f~rma proposicional con formas proposicionales que son tauto10g1as, por ejemplo, las leyes que se incluyen en la secci6n 1.14. En el presente ejempl~ sabemos que es una tautología porque está incluida como tal en la secci6n 1.14, (número 3). De todos modos construyamos su tabla de verdad:
v
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
Cornovemo~ es una tautología, por lo tanto, la forma argumental es válida. E jemplo 2:
p A (r v s) +
(pA r)
En este ejemp1~ las premisas son: p, (r v s) y la conclusi6n es pAr. Veamos la tabla de verdad correspondiente, en la cual llamaremos A, a la forma proposicional:PA forma proposicional: PAr.
(r v s) y, B, a la
57 p
q
r
s
r v s
A
B
A-+B
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
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V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
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V
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V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
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F
V
V
V
F
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V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
Comovernos, la forma proposicional: es una tautología
[p A(r v s)
J
y por lo tanto, la forma argumental
-+ (p
Ar) no
es una fa-
lacia. Para demostrar válida probar \1
basta
que la forma argumeptal:
(Pl A ...
ApJ -+ q
es
con establecer
'Pl A ..• Jo. Pn ~ q. Luego es suficiente . que \1 (q) =V siempre que \1 (Pl Jo. ••• APn) = V. Pero
(Pl A ••• APn) = V si y s6lo si
"una forma argumental verdadera
en todos
es válida
\1
(Pl) = •••
=
\1
(Pn) = V.
Por tanto,
si y s610 si .la conclusi6n
los casos de verdad en los que todas
misas son verdaderas. dad de la conclusi6n,
En síntesis, solamente
nos interesa
cuando todas
es las pre-
el valor
las premisas
de verson
verdaderas. La forma argumental: presentarse
(Pl AP2 A •.• APn) -+ q, también puede
en forma vertical,
de la siguiente
manera:
58
q
Entendiéndose,·en tales casos, que las formas proposicionales encima de la raya son las premisas y la forma proposiciona~ por debajo de la raya,es la'conclusi6n. En la forma vertical, los ejemplos 1) y 2) pueden ser escritos de la s~guiente manera: Ejemplo 1: p
.s., q
Ejemplo 2:
p
r v s PAr Ejerci.cios1.19 1. Defina:
a) forma argumental. b) forma argumental válida. e) forma argumental no,válida o falacia. 2. Complete: a) Si una forma argumental es válida, la conjunci6n de las premisas implica la b) Si la de las premisas implica la conclusi6n, entonces la forma argumental es c) En una forma argumental válida el valor de verdad de la conjunci~n de las premisas es en los casos de verdad en que la conclusi6n es falsa.
----------------------
59 eh) Si la forma argumental: (Pi A •.. APn) + q es válida, tonces la tabla de verdad de la forma proposicional: PI A ••• <1)
A
en-
Pn + q es una
la tabla ~e verdad de: (Pi AP2 A •.. Apn) + q es una contingencia, entonces la forma argumental: Si
(PI AP2 A •.• Apn) + q es e) .Si la tabla
de verdad
contradic9i6n, (PI AP2 A ••• 3. Determine
si
de :(P1Á P2A •••11. Pn)+, q es una
entonces
la forma argumental:
APn) + q es
las
formas
argurenta1es siguientes
o son falacias: a)
[q A (p + q) ] + P
b)
[_P
e)
A (p ~~
h) '\!!+ "P
+ q
9
P +q q
.,..r
i)
P +r
'9+ r r:
ch) P (p
P P+ q
v
q) + r
j)
'\P ",(p A q)
d) P +q v q +r
k)
ID+
n
r r +P
1) P+ q
e) pAq p+r
p v r
SI +8
11) P -++ q
q v r
r +s
q-++r
f) P +q
"'9 P g) P ...q
9 P
p-++r m)
pA q ;P+9
son válidas
60
\.17 Argumentos Definici6n 1.22 Si en una forma argumental (Pl A P2 A ••• 1\ p) ..... q sustituimos las premisas y la conclusi6n por proposiciones específicas, obtenemos un argumento. Un argumento es, pues, un conjunto finito de proposiciones en el que se entiende que una de ellas, la conclusi6n, es consec~encia de las otras proposiciones, a las que se les llama ~+emisas. Definici6n 1.23 Un argumento es válido si y s6lo si la forma argumental correspondiente es válida. De otro modo, decimos que es una falacia. Por lo tanto, un argumento es válido cuando la conclusi6n es una proposici6n verdadera en todos aquellos casos en que las premisas son proposiciones verdaderas. Es de suma importancia resaltar, que la validez de un argumento no depende de los contenidos de las proposiciones que lo componen, sino s6lo de la "forma" del argumehto. Est'o se debe a que la validez de un argumento se basa en la validez de la.forma argumental correspondiente. Otro detalle de interés, es que el valor de verdad de la cenclusi6n no afecta la validez de un argumento. De hech~ podemos tener un argumento válido donde la conclusi6n es una proposici6n falsa, y se da el caso, de que tengamos una falacia, y la conclusi6n en tal argumento es verdadera. Consideremos las proposiciones: p: Un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes, q: Un pentágono tiene seis lados, y el argumento: Si un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes, entonces un pentágono tiene seis lados. Un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes. Por lo tanto, un pentágono tiene se·islados. La forma argumental de este argumento es:
61
q
Es decir, [(p-+q)AP] -+q, pero vimos en la secci6n ~.14, que esta forma proposicional es una tau~olog!a, por lo tanto, el argumento es válido, y sin embargo, la conclusi6n: Un pent~ gono tiene seis lados, es una proposici6n falsa. Por otra parte, consideremos el argumento: Si un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes, entonces un pentágono tiene seis lados. Un pentágono tiene seis lados. Por lo tanto, un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes. La forma argumental de este argumen~o es: p-+q
_s__ p
cons t ruyemos la tabla de verdad de :[(p-+q) )A v V V V V V F F F V F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
A
q ] -+p.
Como se aprecia en la tabla, el argumento no es válido, ya que su forma argumental es una falacia. Sin 'embargo, la proposici6n: Un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes, qoe es la conclusi6n de este argumento, es una proposici6n verdadera. Analicemos ahora los argumentos con los cuales se -inic16 la secci6n 1.16. 1) Sean: p: Un hombre está casado. q: Un hombre tiene problemas. Entonces, {(p-+q) A ~}-+ ~p, es la forma argumental correspondiente. Veamos si dicha forma argumental, es válida o no, construyendo la tabla de verdad correspondiente, en la cual llamaremos t
62 A, a la forma proposicional: (p-+q) A ",q.
A
'"
v
v
F
v
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
ceec : [(p-+q) A "Iq] -+ I\p es una tautología, tenernos que [(p-+q) A ~J -+"pe8 una forma argumental válida y el argumento considerado tambi'ri lo es. 2) Sean: p: Estudio L6gica. q: Me duele la cabeza. r: Tomo aspirinas. La forma a~gumental, correspondiente es: p-+q g -+r r
"'P
Para determinar la validez o no del argumento debemos determinar .i [(p+ q)A (q+ r)A rJ -+"'pes una tautología. Para ello con.t~yamos BU tabla de verdad. En la misma llamaremos A, a la forma proposicional:p-+ q, B, a la forma proposicional:q+ r y, C, a la forma ,proposicional :'(P+q) A (q-+r) A x , p q r A B C e -+_'\l.) ~ V
V
V
V
V
V
F'
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
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V
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V
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V
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V
I
F
V
V
V
V
V
V
V
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V
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V
V
F
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V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
Como la forma proposicional no es una tautología, concluimoa que el argumento es una fálacia.
63
1.18
Procedimientos para\determinar la validez de ~una forma argumental
Mediante tablas de verdad: En los ejemplos anteriores hemos ilustrado c6mo las tablas de verdad correspondientes a (P1 A ••• A Pn) ..q nos permiten decidir acerca de la validez o no de una forma argumental. Ahora bien, si se nos pide determinar la v~lidez o no de la forma argumental: I(sv p) A (P" q) A (r"'"p) A {s..'"t>1 ..(q A t), el construir la tabla de verdad de la forma proposicional correspondiente sería sumamente trabajoso por la cantidad de componentes at6micos que posee. Esta es la raz6n por la cual, en ocasione~ el procedimiento de la tabla de verdad no es muy conveniente para determinar la validez de un argumento, a pesar de que tiene un gran valor ya que determina automAticamente si una forma argumental es válida o no. A)
B) Procedimiento practico: Por la definici6n 1.21 sabemos que la forma argumenta~ P1 A ••• A Pn ..q es válida si la forma proposicional: P1 '"••• '"Pn -+ q es una tautología. Ahora bie~ si suponemos que la forma proposicional: Pl ,'" P2 '"••• '"Pn -+ q no es una tautología, queremos decir, que para algQn caso de verdad la forma proposicional: P1 1\ ~2 1\ ••• A Pn -+ q es falsa, y esto s6lo es posible si v(q)= .., cuando v(P1A P2 A •• • '" Pn)= V, es decir, cuando todas las premisas son verdaderas y la conclusi6n es falsa. El suponer que la forma proposicional: Pl A P2 A ••• A Pn -+ q no es una tautolog!a, puede llevarnos a uno de los dos casos siguientes: 1) Obtener que uno de los componentes at6micos de las premisas, o de la conclusi6n es verdadero y falso, lo cual no es posible, (¿por gu~?). De esta imposibilidad, concluimos, que nuestra suposici6n de que la forma proposicional: 'Pl A P2 A ••• A Pn ..q no es una tautolog!a, es una suposici6n falsa. Por lo tanto, la negaci6n de esta suposici6n es verdadera, es decir, la forma
64 proposicional:. decir,
Pl h P2 A ••• APn-+q es una tautolog.ía.
que la 2)
en el Por lo
forma argumental es válida.
Obtener un caso de verdad de los
que la
forma proposicional:
tanto,
significa
que la
Pl A P2A ••• A Pn-+q es falsa.
(p -+q) A (q -+r) te,
si
1)
[(p -+q) A (q -+r
B
-+ (P-+r) • -+ (p -+r)
es verdadera y (p -+r)
es falsa,
es falsa,
es verdadera,
V, (¿por qu~?).
v(p -+q) = V, por lo v(q)= V implica
Pero,
tanto,
cimos que ver) = F.
v(p -+q) = V Y í
Además, v(q -+r) = V, Y
Sin embargo, más arriba
Luego, es falso
no es una tautolog.ía. es una tautolog.ía.
V.
Por otra par-
tenernos que :v(p)::;; V y t amb én
v(q) = V.
que v(r)=
entonces
entonces
(¿por qu~?). Ahora
v(p -+r) = F, es porque v(p) = V Y v(q) = F.
(p -+q) A (q -+r)
,,(q-+ r)=
Esto
forma argumental es una falacia.
Supongamosque: [(p -+q) A (q -+r~ si
componentes at6micos
Pl A P2A ••• A Pn-+q no es una tautolog.ía.
Ej emplos:
bien,
Esto quiere
estable-
que l(p -+q) A (q -+r~
Por lo tanto,
[(p -+q) A (q -+r~
Esto nos asegura la validez
de la
-+ (p -+r)
-+ (p -+r) forma ar-
gumental. Esquemáticamente, el
análisis
anterior
se representa
corno
sigue: a) esto es,
Suponer [(p-+ q) A (q-+ r)] -+ (P-+r) la condicional
no es una tautolog.ía,
es falsa.
[(p-+q)A
(q-+r~ -+ (p-+r)
® b) es V y el
Si la condicional
Si
v(p-+ r)=
A (q-+r)]
®
F, entonces
[(P+ q) A
V eh)
es porque el
antecedente
consecuente es F. [Cp+q)
c)
es falsa,
'v «p -+q) A (q -+r»=
«r-
-+(p-+r)
~. ®
v(p)= V y v(r)=
F.
r~ -+ (p -+r)
~
®~®
V, implica
que
\¡ (p -+q)= y v (q -+r)=
V.
65 d)
v
v(P-+ q) =
y v(p)·:c V implica
[(p -+q) A (q-+ r~ I
I~
I
V V '\:!.) V
e)
Á '\:!.)
I
V F F
f)
Pero
[(p -+q) A (q -+r)] Para
I
V Y ver)
que la
= F, no es posible.
y la
Por lo
fOli_ma-argumental
forma argumental:
no es necesario
anteriores.
ver) = V.
I I I I F V F F
I
(p -+r)
-:->
probar
es válida,
=
ver)
I
,
que
-+ (p -+r)
I Á' V V V V V V\:!)
del
III
F
.
v(q -+r) = V Y v(q) = V implica I
v(q) = V.
-+ (p -+r)
[(p -+q) A (q -+r~
pasos
que
presentar
Lo hemos hecho
así
es válida.
[(p -+q) A (q -+r~
tan
detalladamente
para
tanto,
la mejor
-+ (p -+r) los siete
comprensi6n
lector. p v q
2)
q p
J
Suponer condicional
[(p v q) A q -+p no es una tautología, es F,
Por lo tanto,
as!
que debe
ser
encontrado
un caso
v(p)= F y
v(q)= V.
del
de verdad
en el
Por lo tanto,
es,
v( ( p v q) A q) = V Y v(p)
v(p v q) = V Y v(q) = V.
v(p v q)= V, independientemente
esto
Pero valor
cual la
v(q)
=
=
condicional
forma argumental
de p.
Hemos
es falsa: es una
falacia. p-+q
3)
"'p
v"'q
PAq Supongamos que! [(p -+q) A (",p,v tolog!a,
esto
v(p Aq) = F. cuales
quiere Pero,
decir,
que
p Aq es falsa
",q)] -+ (p Aq) no es una tau-
v( (p -+q) A (",p v ",q» = V Y en varias
situaciones,
las
debernos considerar. Primer
caso:
v(p)= V Y v(q)= F.
Corno v( (p -+q) A (",~ v "'q»
=
V, significa
que
v(p -+q) = V Y
v("'p v "'q) = V, tenernos, ..que: v(p) = V Y, v(p -+q) = V, implica que: v(q) = Vi pero anteriormente establecimos que v(q) = F. Hemos encontrado
una contradicci6n.
F.
V implica
de verdad la
la
66 caso s
v(p)= F Y v(q)= V. En este caso ~v(p-+q)= V y' \)('Vp V 'Vq)= V, (¿por qu~?). Luego, en este caso de verdad, la condicional es falsa. Tercer caso: v(p) = F Y v(q)= F. Como v(p)= F Y v{q)= F tenemos que t v(p-+q) = V, Y v('VpV 'Vq)= V, (¿por qu~?). Luego, hemos encontrado otro caso de verdad en el cual la condicional es falsa. Por tanto, la forma argumental considerada es una falacia. Note el lector, que no era necesario el desarrollo de los tres casos, porque a partir del segundo caso pudimos concluir que la forma argumental era una falacia. Desarrollamos los tres casos solamente con el fin de ilustrar lo siguiente: Primero: Si existen varios casos de verdad en los que la condicional es falsa, no podemos concluir que la forma argumental es válida porque encóneremos una contradicci6n en uno de los casos de verdad posibles (primer caso en nuestro ejemplo). Para que lá forma-argumental sea vál~da debe establecerse una contradicci6n en cada uno de los casoé de verdad posibles. Segundo: Si existen varios casos de verdad posibles y encontramos un caso de verdad en el cual la condicional es falsa, podemos concluir que la forma argumental es una falacia. Segundo
Ejercicio 1.20 Determine si los siguientes argumentos son válidos o no. a) Si los intereses bancarios disminuyen, entonces las personas pedirán más dinero prestado. Si las p~rsonas piden más dinero prestado, ent~nces se construirán más casas. Si se construyen más casas, entonces los intereses bancarios disminuyeron. b)
Si yo no estudio, entonces dormir~. Si estoy preocupado, entonces no duermo. Si estoy preocupadó, entonces estudiar~.
67
e)
eh)
Si un partido pol!tico no tiene recursos econ6micos, entonces no puede gastar dinero en propaganda por televisi6n. Si un partido no puede gastar dinero en propaganda por televisi6n, entonces sus posibilidades de ganar las elecciones son bajas. El partido tiene una alta probabilidad de ganar. El partido es pobre. Si la pel!cula es alemana,-entonces vale la pena ir a verla. La pel!cula no vale la pena o es muy caro ir a verla. No es caro ir a ver la pel!cula. La pel!cula es alemana.
d)
Si voy en guagua y la guagua está retrasada, perderé mi cita. Si pierdo mi cita y me siento deca!do, entonces nQ debo ir a mi casa. Si no obtengo el empleo, entonces me sentiré deca!do y tendré que ir a casa. Si voy en guagua y la guagua está retrasada, entonces obtendré el empleo.
e)
Si un profesor es simpático,entonces no es profesor de Filosof!a. Julián es profesor de Filosof!a. Julián no es simpático.
f)
Si ahorro dinero, podré terminar mis estudios universitarios. Yo no ahorro. Yo no podré terminar mis estudios universitarios.
g)
Si uso sombrero, me quedaré calvo. Uso sombrero. Me quedaré calvo.
68 h)
Si estudio L6gica, entonces me acuesto tarde. Si me acuesto tarde, no me levanto temprano. Llegaré tarde a la clase de L6gica si no me levanto temprano. Si estudio L6gica, llegaré tarde a la pIase de L6gica.
i)
Los triángulos dados son semejantes. Si los triángulos dados tienen sus ángulos correspon-. dientes congruentes, entonces ellos son semejantes. Los triángulos dados tienen sus ángulos correspondientes congruentes.
j)
Iré al cine o estudiaré Ortograffa. Si no est.ud o Ortografía, reprobaré el primer examen de í
Español. Si repruebo el primer examen de Español, entonces tendré que estudiar mucho para el pr6ximo examen. Si tengo que estudiar mucho para el pr6ximo examen, entonces no podré ir a la fiesta de la ciudad. Estudio Ortografía o no iré a la fiesta de la ciudad. k)
Si un viejo se enamora, entonces es un viejo verde. El que se enamora es un tonto. Pedro es un viejo ,qu~ se enamora. Pedro es un viejo verde y un tonto.
'1) El alma humana es simple. Si es simple, entonces es incorruptible. Es incorruptible s6lo si es inmortal. El alma humana es inmortal. /
J
11)
S610 se puede habitar en la Tierra o en Gan!medes, pero no en ambos. Si habita la Tierra, vi~e men9s de 150 años. Si habita en Gan!medes, entonces vive al menos 150 años. Este ser puede vivir al menos 150 años. Este ser no habita en la Tierra.
69 1.19
Métodos de demostraci6n
usados en Matemática
En las unidades anteriores presentamos proposiciones,
relaciones
un estudio de las
l6gicas, formas argumentales,
etc.
Todo ello, con el fin de preparar al lector para comprender manera c6mo se usan los conocimientos lidez de los argumentos utilizados que una proposici6n Es conveniente
la
16gicos para probar la va-
en Matemática
para demostrar
es un teorema. apuntar, que la L6gica aporta los instrumen-
tos necesarios para averiguar
si una deducci6n
es válida a partir
de las premisas dadas, y esto, porque la validez de una deducci6n 16gica depende tanto del proceso de razonamiento dad de las proposiciones En Matemática
como de la ver-
iniciales.
un teorema es una proposici6n
corno tal, tiene varias formas de presentarse.
verdadera y,
Veamos algunas de
ellas:
1)
Existen números perfectos.
2)
La igualdad 1 + 2 + .•. + n
=
n(n+1}
2
. es vá11da para
todo número natural n. 3)
Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces
son congruentes. Muchos teoremas se expresan en forma análoga al ejemplo 3. Ahora bien, recordemos
que al hablar de la implicaci6n,
notar ~ue un teorema por ser una proposici6n implicaci6n,
verdadera
hicimos es una
aunque, por abuso del lenguaje se expresa en forma
de condicional. Por lo tanto, para demostrar un teorema de la forma IISip, entonces qll, tenernos que probar, que la proposici6n dera cuando la proposici6n demostraci6n
p es verdadera.
contarnos con varios métodos,
los más importantes~
serán presentados
Método directo de demostraci6n:
q es verda-
Para realizar esta algunos de los cuales,
a continuaci6n. Este método se caracteriza
porque establece que: v(q} = V, partiendo de la afirmaci6n ~ v(p}= V. El esquema que se sigue para demostrar,
por el método
70
directo, cada teorema de la forma "Si p, entonces q", es: 1) Suponer v(p)= V. 2)
Construir· una cadena de implicaciones de la forma:
Pa=+P1' P1-=)P2' •.•, Pn-1 ~Pn' Pn ~q. Dado que:p )P1' y que v(p)= v , se tiene que v.(P1)"=v, (¿por qud?). Pero v (Pt)= V Y P1 ) P2 implica que v (P2)= V, (por qu~?) • Si seguimos utilizando sucesivamente un razonamiento an4logo a los anteriores, llegaremos a la conclusi6n de que ~q)a V, porque v(Pn)· V y Pn~q. Ej·emploa: 1) Designemos: p: n es par. q: n 2 es par. Entonces, para demostrar el teorema "n es par ~ n2 es par", debemos suponer· v(p)=V, esto es, n es par. Entonces: n es par ~ n = 2k (p =+ P1) n = 2k ~ n2 = 4k2 (P1 =+ P2) n2 = 4k2 ~ n2 = 2(2k2) (P2 :+ P3) n2 = 2 (2k2) ~ n2 es par (P3 :+ q) 2 Luego, n es par. 2) S~ n es un divisor dt!a y b, entonces n es un divisor de a+b. Supongamos que:n es un divisor de a y de b. (p .. 1'1) n divisor de a y b ~ a = na' y b z: nb' a + b = na' + nb' a - na' y b = nb' ~ P2) (Pl a + b = n(a' + b') a + b = na' + nb' ~ (P2 P3) a + b = n(a' + be) ~ n es un divisor de a + b (P3 q) Luego, n es un divisor de a + b. 3) Si dos ángulos, < A Y < B, tienen un mismo suplemento, entonces los 4ngulos son congruentes. Supongamos que: < A Y < B tienen un mismo suplemento, el < c. < A Y < B tienen < C como suplemento • m < A + m < C • 180 y m < B ... m < C = 180 (p" Pl) m < A + m .
.... ..
71 m
m
m < A = m < B ~
< A Y
< B son congruentes.
Por tanto, < A es congruente con Ejercicio
(P2 ~
P3)
(p'~'.~
q)
< B.
1.21
Demuestre, utilizando el método directo, que: 2
a)
~i n es impar, entonces n
es impar.
b)
Si n es un divisor de a y b, entonces es un divisor de a-b.
c)
Si dos ángulos:
A Y < B, tienen un mismo complemento, entonces los ángulos son congruentes.
ch)
Si n es un divisor de a, entonces n es un divisor de
<
a x b. d).
3
f)
es par. 2 2 Si x·= a + b, entonces x = a + 2ab + b2• Si x = a + b, entonces x 3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3•
g)
Si < A es congruente con
e)
Si n es par, entonces n
entonces h)
<
A Y < C son congruentes.
Si dos rectas son paralelas, entonces los áng~los alternos internos son congruentes.
(Para demostrar esta
proposici6n, acepte que la siguiente proposici6n es verdadera:
Si dos rectas son paralelas, en~onces los
ángulos correspondientes i)
son congruentes) .
Si n es par y m es impar, entonces
m.+ n
es impar.
Método Indirecto de Demostraci6n: Los métodos indirectos para demostrar un teorema de la forma "si p, entonces q" se caracterizan porque parten de la hip6tesis bar
que:v{q)= V.
v(",q)=V, para pro-
Su nombre se debe, pues, al rodeo que se
realiza para llegar a demostrar que la conc1usi6n es verdadera. De este tipo existen varios métodos, pero aquí s610 estudiaremos dos de ellos. a)
Método de la Contrarrecíprúca.
Este método se fundamenta en la equivalencia p+ q
- ",q+",p
siguiente:
72
De manera que si probamos que: \)("-<1-+ "'p) = V, entonces habremos demostrado que:p ~ g. EjemElo: Demostrar que: a 2 es impar ~a es impar, donde a es nn número natural. 2 Sean: p: a es impar, q: a es impar. Entonces, el enunciado bajo consideraci6n, se expresa simb6licamente como:p 9> q. En símbolos, la contrarrec!proca de la condicional p-+q es ",q..... ",p,.que en palabras es: Si a no es impar, entonces a2 no es impar, pero esta condicional expresa lo mismo que la condicional: Si a es pa~ entonces a2 es par. Por lo tanto, si ,usamos el m~todo de la contrarrec!proca, lo que debemos probár es que: a es par ~ a2 es par. Pero esta implicaci6n fue demostrada en el ejemplo 1. En ~ consecuencia, ",q~ '"p, y concluimos que p =9 q. Ejercicio 1.22
·Detnues~,utilizarrlo la contrarrec!proca, el siguienteteorana: Si a3 es :impar, entoncesa es .impar, donde a es un nÚlleronatural. b) Demostraci6n por contradicci6n o reducci6n al absurdo. Es fácil para el lector comprobar que es válida la forma a:r;gumental:{P A (",q-+r)A (",q-+ ",r)}-+ q. El método de reducci6n al absurdo está basado en dicha forma argumental. El nombre de reducci6n al absurdo o contradicci6n se debe al hecho de que a partir de:pA "'q se deduce una 'contradicci6n de la forma: r A vr . La proposici6n que nombramos r puede ser la proposici6np, algán axioma o proposici6n 'establecida o demostrada pr~viamente o una definici6n. 2 EjemElos: 1) Demostrar que: a es par => a es par, donde a es un número natural. 2 Sean: p: a es par, q: a es par. Supongamos que: a 2 es par (p) y que a es impar ('Vq).
73
=
2k + 1
hq ~
a = 2k + 1 9> a2 = (2k + l)? = 4k2 + 4k + 1 I a2 = 4k2 + 4k + 1 ~ a2 = 2(2k2 + 2k} + 1 a2 = 2(2k2 + 2k) + 1 ~ a2 es impar
{Pl =9
a es impar ~
a
Luego, hemos probado ~q ~ Pero ya sabemos que ~q ~ p,
{P2 ~
{P3 ~
~p, (¿por qu~?) • (¿por qu~?) •
Por lo tanto, la forma argumental escrita al principio de la secci6n nos asegura que: v(q}= V cuando v(p)= V, es decir,
..
p ~ q.
En la práctica, la demostraci6n por reducci6n al absurdo de un teorema termina tan pronto se consigue una contradicci6n· . con una de las premisas, algan teorema, algan axioma o alguna definici6n. 2)
Sean Ll, L2, L3 tres rectas diferentes en un plano.
Deseamos demostrar que:
/1
(L1 L2) A (L2 1/ Sean p: Lll/ L2
L3) ~
Ll 11
L3
L21J
q: L3 .t: Ll // L3 Supongamos que Ll // L2 (p), L2 Ll){
L3 ~
JI
.L3 (q), Li.)('-L3 <"'t).
Ll Y L3 tienen un punto, digamos R~'en comün ,
Ll Y L3 tienen un punto R en coman ---> por R pasan dos rectas paralelas a L2 (r). Pero esto contradice el postulado o axioma que dice, que por un.punto exterior a una recta pasa una y s6lo una recta paralela a dicha recta, esto es, v(~r)= V. Luego, v (t)= V (¿por qué?).
Por tanto, p A q ~ t.
El método de demostraci6n por reducci6n al absurdo es·muy usado en Mat~mática.
Más aan, existen teorémas para los cuales
no hay otro método de demostraci6n posible.
74 Ejercicios
1.23
1. Demuestre a) sí a
usando
reducci6n
al absurdo,
que:
2
es impar, a es impar, donde a es un ntlrrero natural. b) En un plano, si dos rectas son perpendicularesa una misma recta entonces son paralelas. c) Si dos rectas se intersecan,entonces tienen exactamenteun un punto en ccmün, ch.}En un plano, por un punto exterior a una recta existe una y s610 -una recta perpendiculara ella. d) Si a x b es par, a es par o b es par; a y b ntlmerosnaturales. 2. Demuestre
que la forma argumental
{p A (p A "'q -+- r) A (p A "'q-+- vr ) } -+- q. ci6n al absurdo).
siguiente
es v~ida:
(Forma general de reduc-
La parte de la L6gica contenida en este capítulo se conoce con el nombre de cálculo Proposicional. Debernos observar que no se hizo ningGn hincapié en el contenido de las proposiciones. Pusimos énfasis en el hecho de que cada proposici6n tiene un ánico valor de verdad, 10 que nos permiti6 obtener el valor de v~rdad de proposiciones arbitrarias combinadas por medio de conectivos. De esta manera, obtuvimos las leyes 16gicas, las cuales son independientes del contenido de las proposiciones componentes y de su v~lor de verdad. Es decir, resaltamos las formas proposicionales, en lugar de las proposiciones. Finalmente, notemos que cada forma proposicional fue identificada con su correspondiente
tabla de verdad.
CAPITULO 2 C~qLO
2.1
DE PREDICADOS DE PRIMER ORDEN
Proposidiones abiertas Consideremos los siguientes -argumentos: a) Todos los estudiantes son inteligentes. Las personas inteligentes tienen 'xi to eflla vid'a. Todos los estudiantes tienen 'xito la vida.
en
"Todos los perros son carnívoros. Caro 'es un perro. Caro es un carnfvoro •.
e)
Todos'lo, hombres son mortales. S6crates es un hombre. S6crates es mortal.
eh) Todos los estudiantes son acad€micos. Todos los académicos son caballerosos. Todos los estudiantes son caballerosos. Al leerlos cuidadosamente notamos, que al,expresarlo. en forma argumental, obtenemos tres proposiciones aparentemente . . ." inconexas,.. Tomemos, por ejemplo,: el argumento b):Sean: p: Todos los perros son carnívoros. qr Caro es un perro. r: Caro es un carnívoro. Entonces, el argumento corresponde a la forma argumental: (p A'q)-+ r, la cual no podemos asegurar que sea valida, ya que ~~ forma proposicional: (p A q) -+ r es una contingencia. Ejercicio 2.1 Analice, de manera semejante al ejemplo aneer í.or, .Los arqu-, mentos restantes.
76 Ahora l6gico~
bien, de acuerdo
los cuatro
sar, que la ~6gica es suficiente
argumentos Simb6lica
para expresar
forma que pueda
descubrirse
a nuestro
sentido
son válidos. desarrollada
de lo
Esto nos lleva a penhasta
los argumentos la conexi6n
intuitivo
este mom~nto,
considerados,
l6gica
entre
no
de tal
las premisas
y la conclusi6n.
En otras palabras, el análisis de las proposiciones desarrollado hasta este punto no es completo. Procuraremos enmendar esa deficiencia en este capitulo. Del argumento a) consideremos la proposici6n: Todos los estudiantes son inteligentes. Esta ,proposici6n significa que: Si José es un estudiante, entonces es inteligente. Si Luisa es una estudiante, entonces es inteligente. Si Pedro es un estudiante, entonces es inteligente. Y as!, sucesivamente. Es decir, con cada persona estamos en condiciones de generar una condicional como las anteriores. Podemo~ entonces, expresar dichas condicionales en la forma: Si x es un estudiante, entonces x es inteligente, donde el simbolo x puede ser sustituido por nombres de personas. Definici6n 2.1 .Una-variable es un símbolo que puede ser sustituido por cual~uier objeto de una colecci6n dada de tales objetos. Definici6n 2.2 La colecci6n dada de objetos por los que se puede sustituir la variable x se denomina dominio de definici6n de la variable x, o simplemente, dominio de la variable x. Ahora bien, la oraci6n declarativa: Si x es un estudiante, entonces x es inteligente, no es una proposici6n, puesto que carece de valor de verdad. Sin embargo, cuando sustituimos la variable x por el nombre de una persona, la oraci6n declarativa tiene un único valor de verdad, es decir, se transforma en una proposici6n .. Definici6n 2.3 A las'oraciones declarativas que contienen una variable y que ,al sustituir dicha variable por un objeto de su dominio de definici6n.se transforman, en proposiciones, las llamaremos proposi~iones abiertas en una variable.
77
Una propos"ici6n abierta en la variable x la denotaremos p(x}. Si a es un ~lemento del ,dominio de definici6n de x, al sustituir a "x" en p(x} por a, obtendremos la proposici6n p(a)._ Def'i'nici6n2.4 La co Lecc í.én de proposiciones generadas por un~ proposiei6n abier:tap(x) al sustituir a "x" por uno de " los objetos de su dominio de"definici6n, recibe el nombre de rec'orrido"de'la proposici6n abierta p (x) • Ejercicios' 2.2 1. sean: p(x)~ x es un entero impar. Sean~l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,los objetos del dominio de definici6n de x.
a) b} c} ch)
Escriba el recorrido'de p{x)~ ¿Para qué n~meros es p(x} verdadera? ¿Para qué n11meros es p(x} falsa? Dete'rmine el valor de verdad de: i) {p(6} v p{?)} fI. p(5) ii) p(3) .... p(7) iii) [(p(4).... p(7'))JAp(2) iv) (p(3) v p(6» -(o+',p{4) v) p(9)~[{p{8) ..... p(l»] 2. Considere todos los ndmeros enteros cornoel dominio de definici6p de x, y sean: p(x): x es un n~mero par. q{x}: x es positivo. r{x): x es divisible por 3. t (x): x es mayor que 5·. A) Exprese en forma simb6lica las siguientes proposicio-
nes abiertas: a) x es positivo o x es divisible por 3. b} Si x es mayor que cinco, entonces x es un'rtdmero par. e} Si x'no es par, entonces no es mayor que 5. eh) x es divisi,ble por 3 y x es un nümero par. d} x es ~ayor que 5 si y s6lo si x,es positivo.
78
Bl Exprese los siguientes símbolos en palabras: al [(p(x)A t (x)~ -+ q (x) b)
'\Ir (x) A "'P (x)
e) q(x) v t(x) eh) [(p(x)A 't (x)ij ~.q (x) d) '"t (x) A "'r(x)A q (x) 3. Muchas veces no es necesario indicar el dominio de definici6n de una variable contenida en una proposici6n abierta p{x) , ya que, por. el contexto, se sobreentiende cu4le~ son los objetos a sustituir por x. Determine en cada caso un dominio de definici6n conveniénte para las siguientes proposiciones abiertas: a) x es un mamífero -+ x es un carnívoro. b) x es un hOmb+e -+ x es mortal. e) x es un estudiante -+ x es acad~mico. eh) tic es un mam1fero)·Abe vive en el agua).. d) x vive en el agua + x es un pez. et Ex 8S un estudiante)A 6c es inteligente) • f) x es un tríangulo -+ x es un polígono .. g) x es un trapezoide -+. x es un cuadrilátero. h) .~ es un n11mero primo ~ x no es par'. i) (x es un carnívqrolv(x es un herbfvoro). ' 2.2 Cuantificador universal Recordemos, que decíamos, que-la proposici6n:' Todos los e8tudiantes son inteligentes, se descomponf a en una colecci6n de , 'proposiciones -de la forma: Si x es un estudiante, entonces x ,ea 1n~eligente. El símbolo 'ti (una A invertida) se usa para representar todas las proposiciones generadas de esta forma y se conoce como cuantificador universal debido a que la palabra todos, que caracteriza a este tipo de oraci6n declarativa, indica oantidad. Usando el símbolo V , la oraci6n:' Todos los estudiantes aon inteligent~s, se expresa en la siguiente forma:
79
vx
[x es estudiante -+x es inteligente] I donde, entre corchetes, hemos indicado el alcance del cuantificador. Dicha expresi6n se lee: Para todo x, si x es estudiante, entonces x es inteligente. Denotemos por p(x) la proposici6n abierta: x es estudiante-+x es inteligente, entonces la proposici6n que nos ocup~, la expresamos V x fP (x~·• Mediante el uso del cuantificador universal, Y , hemos logrado obtener las componentes básicos de la proposici6n: Todos los estudiantes son inteligentes, y por analogía, los componentes básicos de todas las proposic~ones de este tipo. Por otra parte, nuestro lenguaje ordinario considera que una oraci6n del tipo de la proposici6n: Todos los estudiantes son inteligentes, es verdadera si y solamente si cada una de las proposiciones obtenidas al sustituir a "x" por un objeto de su dominio de definici6n, en nuestro ejemplo,por el nomhre de una persona, es una proposici6n verdadera. Leyendo.con cuidado el párrafo anterior, nos es fácil convencernos de qué estamos frente a una nueva conectiva. Procedamos a formalizar su definicf6n. Definici6n 2.5 Sea: p(x) una proposici6n abierta. La proposici6n V x [p(x)] es verdadera si y solamente si cada una de las proposiciones que se obtienen al sustituir x por un objeto de su dominio de definici6n en la proposici6n abierta p(x) es una prpposici6n verdadera. La proposici6n: V x [p(x)] la llamaremos proposici6n universal. Observemos que la definici6n anterior establece que: Vx ~(x)J es verdadera si y s6lo si cada una de las proposiciones en el recorrido de, p(x) es verdadera. Por tanto, la uni~ersal es falsa si por lo menos una de las proposiciones en el recorrido de p{x) es falsa. Ejemplos: 1) Todos 10_ triángulos equiláteros son is6sceles. Esta proposici6n es equivalente a:
80
\Ix [x es un triángulo equilátero -+ x es un tri~ngulo is6sceles] • Ahora bien, un triángulo equilátero es también un triángulo is6sceles porque para que un triángulo sea is6sceles, basta con que tenga dos de sus lados congruentes, y en un triángulo equilátero los tres lados son cangruentes. Luego, al sustituir a x por un triángulo 'específico en la proposici6n abierta x es equilátero -+ x es is6sceles se obtiene ,siempre una proposici6n verdader~. Si el triángulo es equilátero, la proposici6n es verda~era por lo explicado más arriba y si el triángulo no es equilátero la proposici6n es verdadera porque es una condicional con el antecedente fa·lso. En consecuencia, la proposici6n universal es verdadera porque todas 'las proposiciones de su recorrido son verdaderas. 2) Todos los mamíferos son carnívoros. En símbolos esta proposici6n es: Vx [x es mamífero -+ x es carnívoroJ. Sustituyamos la variable x por el objeto de su dominio llamado "vaca", entonces obtenernos la proposici6n: La vaca es un mamífero -+ la vaca es carnívoro, la cual es una proposici6n falsa, (¿por qu~?) . Concluimos que la universal es falsa po rque hemos encontrado, al menos,una proposici6n falsa en el recorrido de la proposici6n abierta x es un mamífero -+ x es un carnívoro. 3) Sea: p(x) una proposici6n abierta y a un objeto del dominio de definici6n de x. Demostrar que: V x [p(x)]-+ p (a) es una tautología. Demostraci6n: Si la condicional es falsa, entonces Vx ~(xU es verdadera y pea) es falsa. Pero si pea) es falsa,' entonces 'Vx ~ (x)] es f a Laa , Hemos encoritrado una cont rad í.cc í.én ; Luego, 'Vx [p(x)]-+ pea) no puede ser falsa y, por tanto, es una tautología. En el lenguaje ~rdinario utilizarnos varias expresiones para i-ndicar el cuantificador universal: Todos, para cada, cada, para todo, todo, cualquier.
81
Ejemplo:
Todos los gordos tienen su lado flaco. Para cada gordo existe su lado flaco.
Cada. gordo tiene su lado flaco. Para todo gordo existe su lado flaco. Todo gordo tiene su lado flaco. Cualquier gordo tiene su lado flaco. En la expresi6n: V x [p(x)] hay tres componentes: i) .El cuantificador (V) ii) La variable (x) iiij El alcance del cuantificador (p(x» Ejercicios 2.3 1) Clasifique las siguientes oraciones en verdaderas y falsas. a) b)
e)
eh) d) e) f) g)
h)
Una oraci6n que contiene una variable es una propos1ci6n abierta. La proposici6n universal:'\J x [p(x)] es falsa cuando todas las proposiciones del recorrido de p(x) son verdaderas. La proposici6n universal: V x [p.(x)]es falsa solamente cuando todas las proposiciones del recorrido de p(x) son falsas. Si una de las propos~c~ones del recorrido de p(x) 8S falsa, entonces la universal: \/x [p(x)] es falsa. La universal: Todos los narneros primos son impares, es falsa. La universal: Todos los rombos son cuadrados, es falsa. La universal: Todos los cuadrados son rombos, 8S verdadera. Sean:p(x) y q(x) dos proposiciones abiertas. Si pea) es verdadera y q(a) es falsa, entonces la universal: Vx fp (x) A q (x)] es falsa. Sean:p(x) y q(x) dos proposiciones abiertas. Si v(p(a»= V y v(q(a»= F, entonces "Ix [p(x) ~q(x~ es verdadera.
82
- i)
La proposici6n: Todos los cuadrados son rect4ngulos y todos los mamíferos son herbívoros, es una proposici6n falsa. 2.-Escriba en -forma simb6lica cada una de las siguientes proposiciones universales y determine su valor de verdad. a) Cada ndmero par es divisible por dos. b} Todos los n6meros que admiten a 2 y 3 como factores son dfvisibles por 6. e) Todos los triángulos congruentes son triángulos semejantes. eh} Todos los polígonos ~egulares tienen sus lados congruentes. d) Todos los rombos son pol!go~os regulares. e) Todos los planetas tienen luz propia. f} Todos los batracios son anfibios. g) Todos los quelonios son tortugas. h} Cualquier tubérculo es comestible. i) Cada ser viviente tiene un aparato respi~atorio. 3. Sean: p (x) : x es un n11merop~imo, q (x) : x es n6mero perfecto, r, (x) : ~ es un n11mero impar, s (x) : x es un n11meropar, donde el dominio de definici6n de x son los ntimerosenteros positivos. Escriba en palabras cada una de las siguientes proposiciones y determine su valor de verdad. a) Vx [p(x)] b) \Ix [tVq (x)] -c) \Ix [p(x) + r (x)] eh) Vx [¡> (x) v q (x)] d) \Ix [p(x) v q(x) v r (x>] e) "Ix [p(x) v s (x)] f.) \Ix [r(x) v s (x>1
83
g) \Ix [S(X)A'Vq(X)] h) \Ix [q (x) -++ r (x)] i) \1 x [(r (x) A S (x))-+ q (x)] 4. Demuestre 'que las'siguientes proposiciones son tautologíasl a} {\Ix [p (x) A q (x)]} -++ { \/x [p (x)]A \/x [q (xij} b) {'r/x [p(x)]v \Ix [q(x)]} -+ \Ix [p(x) v q(x)] e) {\Ix [p (x) '.. q (x)]-+ { Vx [p (x) ] -+"'x [q (x)]} S. Demuestre que las proposiciones siguientes no son tautologías. a) p (a) -+ V x [p (x)] b) {"'x [p(x) v q(x)]}-+{\Ix [P(x)] v "Ix [q(x)]} e) {'r/x [p(x>} -+ \'/x [q(x)]} -+"Ix [p(x) +q(x)] 2.3
Argumentos
que contienen proposiciones
universales
Consideremos, nuevamente, el argumento a) del principio 4. la secci6n anterior. En símbolos, dicho argumento puede expresarse de la siguiente manera: \Ix [x es estudiante -+x es inteligente] 'r/ x [x es inteligente ..x tiene éxito en la vida] \/x [x es estudiante -+x tiene éxito en la vida] Si suponemos que las premisas son verdaderas, como hacemos en todos los argumentos, entonces para un objeto.en eapec!fico, xo del domi~io de x tendremos que: Xo es estudiante -+Xo es inteligente Xo es inteligente -+Xo tiene éxito en La. vida son proposiciones verdaderas. Ahora bien, no sabemos el valor de verdad de la propo.ici~nl Xo es estudiante -+xO tiene éxito en la vida, y nos interesa conocer dicho valor. Pero, notemos, que usando estas dltimas proposiciones, lo que tenemos es un argumento de la forma: r -+5 s -+t r -+t Y ésta es una forma argumental válida. Luego, si suponemos que
84
las premisas son verdaderas, tendremos que la proposici6n: Xo es un estudiante ~ Xo tiene éxito en la vida, es verdadera. Además, como elegimos un elemento arbitrario, xo' del dominio de definici6n de x, esto es, un elemento .cualquiera de dicho dominio, podemos afirmar que la proposici6n: \Ix [x es un estudiante ~ x tiene éxito en la vida], es una proposici6n verdadera siempre que las premisas sean verdaderas. Pero, la proposici6n: \1 x [x es un estudiante ~ x tiene éxito en la vida], es la conclusi6n del argumento considerado. Por tanto, dicho argumento es válido. Es conveniente hacer notar, que al tornar un objeto específico, xo' en el dominio de x, lograrnos reducir la validez del argumento bajo consideraci6n, a la validez de un argumento dentro del Cálculo Próposicional. Pasemos ahora a analizar el argumento b), el cual puede expresarse en la forma: \1 x [x es un perro ~ x es un carnívoro] Caro es un perro. Caro es un carnívoro. Supongamos que las premisas son verdaderas, entonces son verdaderas las proposiciones: Caro es un perro, y Caro es un .perro ~ Caro es un carnívoro, obtenida esta última, sustituyendo a la variable x por el nombre Caro. El argumento b) se convierte, pues, en el argumento siguiente: Caro es un perro ~ Caro es un carnívoro. Caro es un perro. Caro es un carnívoro. La forma argumental de este argumento es: p ~ q
p q
que es válida, puesto que corresponde al modus ponens. Por lo tanto, la conclusi6n: Caro es un carnívoro, es verdadera siempre que las premisas sean verdaderas, y esto significa
85
que el argumento b) es válido. Los ejemplos anteriores pueden generalizarse en las formas argumentales siguientes: \Ix
[p (x) -+ q (x)] \1 x [q (x) -+ r (x)]
\1x
[p (x) -+ r (x)]
\/x
[p(x) -+ q(x)]
fleXO)
q(xo) Siguiendo un proceso de deducci6n análogo a los usados en cada caso, nos es fácil ver que son formas argumentales válidas. Ejercicios 2.4 1.
2.
Exprese cada uno de los argumentos e) y eh) de la secci6n anterior en forma si.mb6licay determine si son válidos o no. Demuestre que las siguientes formas argumentales son válidas. a) 'ix [p (x) -+ q (x)]
b)
\/ x
[q (x) -+ r (x)]
'ix
[P(x) -+ r(x)]
\Ix
Ú? (x) -+
q (x)]
[p (x)
-+
q (x)]
y x [q (x) -+
r (x)]
p (xO) . q(xO) e)
3.
'V x Vx
Cr(x) -+ s (x)J
\Ix
W(x) -+ s (x)]
Determine si los siguientes argumentos son válidos o no.
86
.a),
Los mangos son frutas dulces y apeti to,sas'. Toda fruta ,dulce y ape'titosa no crece en pantanos. Los mango.s no crecen en pantanos.
b)
Todo Juan Todo Juan
e)
Todos los maril1eros 'son nadadores. Todos los errantes son nadadores. Todos los marineros son errantes.
eh)
d)
el que ama es un loco. vive en el campo. el que vive en el campo no ama. no es un loco.
Todos los ajedrecistas son analistas. Todo,s los analistas son sabios. Todos los ajecrecistas son sabios. Todos los pedos. Todos los Las vacas Las vacas
animales que tienen cuatro patas son cuadrdanimales cuadrdpedos comen hierba. tienen cuatro patas. comen hierba.
e)
Todos los viejos no tienen dientes. Todq el que no tiene dientes no puede comer ma!z. Todos los viejos no pueden comer ma!z.
f)
Mar!~ es cariñosa. Toda persona cariñosa es amada. Todos los que son amados son dichosos. Mar!a es dIchosa •
g)
h)
• Toda figura es un cuadrilátero. Un triángulo es una figura. Un triángulo tiene cuatro lados.
Todo ndmero primo es p~r o impar. Cuatro es un ndmero par. Cuatro es un ndmero primo.
87
2.4
i)
Todos los hombres que van al manicomio son locos. Los médicos deLmanicomio van todos los días'al manúxUdo. Mi papá es médico del manicomio. Mi papá es loco.
j)
Todas las suegras son chismosas. Todas las personas chismosas son un problema. ~das las suegras son un problema.
k)
Toda Toda Todo Todo
persona loca es insolente. persona insolente es imbécil. hombre es imbécil. hombre es loco.
Cuantificador existencial Consideremos los siguientes argumentos: a) Algunos mamíferos viven en el agua. Todos los animales que viven en el agua son peces. Algunos mamíferos son peces. b)
Algunos estudiantes son inteligentes. Todas las personas inteligentes son agradabfes. Algunos estudiantes son agradables.
e)
Todos los ndrnerosenteros son ndmeros racionales. Algunos enteros son potencias de dos. Algunos ndmeros racionales son potencias de dos.
d)
Todos los cursos obligatorios se imparten los viernes. Algunos cursos se imparten los viernes. Algunos cursos no son obligatorios.
Notamos,que en los argumentos anteriores se presentan proposiciones de la forma: Algunos mamíferos viven en el agua. En el lenguaje ordinario la palabra "Algunos" es un tanto vaga, pero en Matemática, ,es usada con 'frecuencia: 1) Algunos números primos son impares. 2) Algunos triángulos is6sceles son equiláteros.
88 3) Algunos ndmeros reales son irracionales.
En estos casos ,el si-gnificadode "Algunos"es "uno o más". De manera que las proposiciones anteriores equivalen a: 1) Uno o más ndmeros primos son pares. 2) Uno o más triángulos is6sceles son equiláteros. 3) Uno o más ndmeros ~eales so~ irracionales. Dado que las proposiciones anteriores indican cantidad, es evidente que estamos en presencia de otro cuantificador. Este es llamado cuantificador existencial para cuya representaci6n se usa el s!mbolo 3 (una E invertida) • Veamos c6mo este cuantificador nos ayuda a expresar la proposici6n: Algunos mamíferos viven en el agua. No es difícil convencerse de que esta proposici6n equivale a la siguiente: Uno o más mamíferos viven en el agua, 'qüé 'a su vez equivale a la expresi6n: 3x [x es un mamífero A x vive en el agua]. ~.ta expresi6n se lee: Existe x,tal que,x es un mamífero y x vive en el agua. Si ~esignamos por p(x) a la proposici6n: x es un mamífero A x vive en el agua, entonces podemos escribir: 3 x [p (x)] para expresar la proposici6n de la que estamos hablando. De manera analoga al ejemplo anterior,podemos desglosar en sus componentes basicos,proposiciones del tipo: Alguno,smamíferos viven en"el agua. Estamos, pues, en presencia de un nuevo conectivo. Proposiciones como la anterior, se consideran verdaderas cuan~o existe, por lo menos,un objeto que cumpla con la condici6n estipulada. Por ejemplo, la proposici6n: Algunos"mamíferos viven en el água, es verdadera, puesto que existe, por lo menos, un mam!fero, la ballena" que vive en el agua. Definamos el nuevo conectLvo l6gico. Defi-nici'6n2.6 Sea:p(x) una proposici6n abierta. La proposioi6n: 3x [pex}J es verdadera si y s6lo si existe, por lo menos,
89
un objeto en el dominio de x,tal que, al susti~uir a x por dicho objeto en p(x), se obtiene, una proposici6n verdadera. La proposici6n:3 x [p(x~ la llamaremos proposici6n existencial. La definici6n anterior establece que: 3 x [p(x)] es verdadera si y's6lo si, al menos, una de las proposiciones en el recorrido de p(x) es verdadera. Por lo tanto, la existencial es falsa si todas las proposiciones en el recorrido de p(x) son falsas. Ejemplos: 1) La proposic~6n; 3x [(x es un nt1mero primo) A (x es un nOmero par)] , es verdad~ra, ya que, al,sustituir en la proposici6n.abierta la variable'por el objeto "dos" de su dominio de definic~6n, tenemos una proposici6n verdadera: Dos es un nOmero pr~ y dos es un nOmero par. ~) Algunos triángulos escalenos son is6sceles, ea una proposici6n falsa, puesto que , un triángulo es escaleno si no tiene un par de lados congruentes, y un triá:1g'Jlt) es is6sceles si-dos de sus lados son congruentes, por lo tanto, no existe un t~itnqulo escaleno que sea is6sceles. 3) Sea:p(x) una proposici6n abierta Y,a un objeto en el dominio de definici6n de x. Demostrar que: Ji> (a) + 3 x .[p(x)]e. una tautología. Supo!l9amos que la condicional dada es ,falsa.... L\lego,v(p(a»-V y ve 3 x [p(x)]) c: F. Pero si 3 x [p(x)] es ~alsa, entonces toda. las proposiciones en el recorrido de p(x) son falsas, en particular pea) es falsa. Hemos obtenido la contradicci6n: pea) •• verdadera y falsa. Luego, la condicional es una tautología. Las expresiones: Existe, hay, al~~n" uno o más,. son usada. en el lenguaje ordinario para expresar el c;:uantificadorexisteJ'lci.al. Ejemplos: Existen personas que tienen la,cabeza de ,lujo. Hay personas que tienen la cebe aa.de lujo. Algunas personas tienen la cabeza d~·lujo. Una o más personas tienen la cabeza de lujo. En la expresi6n: 3 x [P.(x) ] hay tres componentes: i) Un cuantificador (3) ii) Una ~ariab!e (x)
90
iii} Una proposici6n abierta (p(x» Ejercicios 2.5 1. Clasifique las siguientes oraciones en verdaderas o falsas. a} La proposici6n existencial: 3 x [p(xD es falsa cuando todas las proposiciones del recorrido de p(x) son falsas. b) La proposici6n existencial: 3 x ~(xD es verdadera solamente cuando más de una de las proposiciones del recorrido de p(x) son verdaderas. c} Si una proposici6n del recorrido de p(x) es falsa, entonce~ la proposici6n:3x [p(xD es falsa. ch) Si una proposici6n del recorrido de p(x) es verdadera, entonces la proposici6n:3x [p(xD es verdadera. d) La existencial: Existen números perfectos, es verdadera. e) La existencial: Existe un paralelogramo que tiene un ángulo recto, es falsa. f) Si v(p(a» = V Y v(q(a» = F, entonces la·proposici6n: ':3 x [p(x) v q (x)] es verdadera. g} Si v(p(a).)=V Y v(q(a).)=F, entonces la proposici6n: 3 x [P (x) v q (x)] es falsa. h) Si v(p(a))= F Y v(q(a))= V, entonces la proposici6n: 3 x [j? (x) -+ q (x)] es falsa. i) La proposici6n: Hay reptiles anfibios y algún pafs de América del Sur habla portugués, es una proposici6n falsa. 2. Escriba en forma simb6lica cada una de las siguientes proposiciones existenciales y determine su valor de verdad. a) Existen números racionales que son negativos. b) Hay triángulos semejantes que son congruentes. c) Algún triángulo rectángulo es is6sceles. ch} Existen números enteros positivos mayores que ocho. d) Existen mamíferos que vuelan. e) Hay números primos que no son pares. f) Existen cuadriláteros que son rombos y rectángulos.
91
g) Algunos triángulos equ.iláteros son t.riángulos rectángulos. h) Algunos trapecio~ son paralelogramos. i) Existen plantas sin flor~s. 3. Escriba eh palabras cada una de las siguientes proposiciones y determine su válor de vezdad , sean s . p(x): x es una planta, 'q(x) :. x ,tiene flores', r(x): x no tiene frutos, S(k): x puede trasladarse, do~de el dominio de de~inici6n de x son los seres vivientes. a) 3x [q(x)] d) 3 x ' [q(X) ~ (f\X(x»] b) 3 x\ ['\8 (x)] e) 3x [q(x) v r(x)] e), 3 x [q (x) A r (x)] f) 3x [p(x) A. s6-t) +'q(x~ 'g) 3x [P{x)'+ t{x)] eh) 3 x [P (x) + 8 (x)J 4. Complete el cuadro siguiente: \
v( Vx [p(x~ )= V
v(p(x»= V para cualquier ,objeto en e.L domm.í,o de ·x.
:ve Vx [phc)] ) =, F v(3x
[p(x)] ) l1li V
v(3 x [P(x)] }= F v('~Vx
fp (,x)]) =
v("'Vx [p(x)] v(",3x
)=
V
..
F
[p(x)] ) = V
v(",3x [p(x)] )~ F -
v(p(x» = F"'para cualqui~r objeto en el -domí.nao.de x.
,
.
v{p(x» = V para, por les menos', un objeto' .en .eL domi.nio de x.
92
5. Complete el cuadro siguiente: v('t/x [p (x)] )= V
-Todas las propos1c10nes en el .• r.e.corr ido de p(~) son ve.r.dader.as
v('fIx [p (xj] )= F v (3 x [p (x)] )= V
---
..- ...
v (3 x [p (x)] )= F
--
v (fIJ
Todas las proposiciones ecr.el recorrido de p (x) son faJ.$as.
V x [p(x)])= V
v (fIJ V x [p(x)])= F v,(fIJ
3- x
[p(x)J)= V
v (fIJ
3x
[p (x)])~ F
Existe una proposici6n verdadera en el r~corrido de p(x) •
6. Demuestre que las siguientes formas proposicionales
son tau-
tolog!as •. a) \/x [p(x)] .... 3x [p(x)] b) 3x [p(x) v q(x)J -++{3x[p(x)] v 3 x [q(x)]} e) 3 x {p (x) Aq (x)'].... c3 x [p (x)] A3 x [q (x)]} 7. Dem~stre que las siguientes formas proposicionales no son tautologías. a) 3x [p(x)] .... V x [p (x)] b) .
3x
[p (x)'] .... p (a)
e) {3x [p(x)] A3x [q(x)]}·"" 3 x [p.(x)A q(x)] 8. Si el dominio de la variable x se compone de un ndmero finito de objetos: al' a2, •••, an, demuestre que: a): \Ix [p(l:)j=p(al)'A p(a2) A .•• A p·(an). b} 3x [p(x)]=p(al.)vp(a2)v •••vp(an).
93 -2.5 En Matemática#se
usa con frecuencia
la expresi6n:
Existe
un l1nico••• Ejemplos: 2) Existe punto fuera
1) Existe
un l1nico ntimero primo
una tlnica recta
de dicha
paralela
par.
a una recta
dada por un
recta.
3) Existe una l1nica descomposici6n
en factores primos de un
ntlmero compuesto. En este caso,estamos en presencia de otro cuantificador, que se denota: 3!. ' Def'in1ci'6n2.7 Sea:p (x) una proposici6n abierta. La proposici6n : 3! [p(x)] es verdadera si y solamente si existe un ilnico objeto en el dominio de x,talque, al sustituir a x por dicho objeto en p(x), se obtiene una proposici6n verdadera. La definici6n anterior establece que:3! [p (x)]es, una ,propo,sici6n verdadera si y s6lo si una sola de las proposici'ones del recorrido,de p(x) es verdadera. Por lo tanto, la proposici6n es ' falsa cuando todas las proposiciones en el recorrido'de p(x) son falsas y tambi~n cuando'en el recorrido de p(x) hay más de una, proposici6n verdadera. \
Ejercicio
2.6
Exprese 3! en t~rminos de los cuantificadores existencial. 2.6 Argumentos
que contienen
proposiciones
universal y
existenciales'
Consideremos el argumento a) de la secci6n 2.4. Por lo expresado en dicha secci6n, el 'argumento bajo consideraci6n puede . " presentarse de la forma siguiente: 3x [(x es mamífero) A (x vive 'en el agua>] \Ix Ix '..'iveen el agua -+ x es pez] 3x [(x es mamífero) A (x es pez>] ,
Supongamos que las premisas son verdaderas,
que es ~l tlnico
94
caso en el cual 'nos interesa conocer el valor de verdad de l,a conclusiÓn. Si son ver~aderas, ~ntonces existe un objeto "a" en el dominio de x, tal que, la proposici6n: (a es mamífero) A (a vive en el agua), es una proposiciÓn verdadera y, en consecuencia, son verdaderas las proposiciones: a es mamífero, a vive en el agua. La segunda premisa es una proposici6n universal que suponemos verdadera, por lo tanto, es verdadera la proposici6n~ a vive en el agua -+a es un pez. Como la proposici6n: a vive en el agua, es una proposici6n verdadera,tenemos que aceptar que: a es un pez. ,Por lo tanto, la proposici6n :3 x [(x es mamífero) A ,(xes pez) J, es una proposici6n verdadera, puesto que, es verdadera la conjunci6n: (a es un mamífer~) A (a es un pez) • ~ue90, la conc1usi6n del argumento es una proposici6n verdadera cuando las'premisas le;)son. 'Por'tanto, el argumento es válido. Nuevamente hemos reducido' el argumento cons fdezado a un argumento del c41culo Proposicional,. Es decir, (a es mamífero) A (a vive en el agua) a vive en e¡ agua -+a es un pez (a es mamífero) A (a es un pez) Es,te argumento es un caso particular de la,forma argumental: pAq q-+-r
.
,
PAr , la,cual, como puede probarlo' el lector, es válida. usando un proceso de razonamiento análogo, al usado en el caso ~nterior, puede ,probarse que es válida la forma argumental: 3x (j>(X)A q{x)]
Vx ~ (x1 -+r (x)~ 3x p(x) A r{x) ~te que la.oonclusi6n e,s una pro¡x>sici6n ~tencial. lAlego, basta encontrar un elemento, a del ~ de x ~a el cual v (pea}A r (a» = V. Si la conclusi6n fuera una profJOSici6n universal, terdr1anPs ~ probar: . v(p(x) A r(x» ~V, ,
J2I!lracualquier
'
elanento del daninio de x.
95
Ejercicios' 2.7 1. Demuestre que las siguientes formas argwmentales, son válidas: a) 3x [p(x) A q(x)] \Ix [q(x) -+ r (x)]
3x [p (x) b)
"Ix
[p (x)
A r (x)
l
-+ q (x) ]
3x [p(x)] 3x [q(x)] 2. Determine si los siguientes argumentos son válidos o no. a) Todos los que roban son ladrones. Ha;i12eloteros gue roban muéhas bases. Los peloteros son ladrones. b) Si un hombre suele hacerse, pasar por tonto, entonces es inteligente. Ha;ihombres gue son inteligentes. Hay hombres que suelen hacerse pasax por tontos .• c) Algunos policías creen que son cobradores. Los cobr.adores son exigentes. Algunos policías son exigentes. ch) Algunos seres vivos son parásitos. Los hombres son seres vivos. Algunos hombres son parásitos. d) 'Los monos comen guineos. Algunos an'imales cpmen guineos. Algunos animales son monos. e) Todas las personas que hab~an pueden cantar. Ha;i12ersonas gue no hablan. Hay personas que no pueden cantar. f) Todos los triángulos congruentes son semejantes .• Existen triángulos que no son semejantes. Existen triángulos que no .son oonqzuences.,
96 g) Todos los profesores Algunas
personas
Algunos
profesores
En las secciones posiciones
inteligentes
no son chistosas.
son inteligentes.
anteriores
en sus componentes
mentos que contienen
son chistosos.
vimos cómo descomponiendo
básicos~pudimos
proposiciones
universales
las pro-
mctnejar los arguy éxistenciales.
Ello contrasta con la forma en que tratamos las proposiciones dentro del Cálculo Proposicional. Por esto, la L6gica contenida en este capítulo se conoce con un nombre diferente: Cálculo de Predicados. 2.7 Relaci6n entre el cuantificador universal y el cuantificador existencial Entre los cuantificadores universal y existencial existe una estrecha relaci6n, de la que hablaremos en esta secci6n. Sabemos que la negaci6n de una proposici6n falsa es una proposici6n verdader-a, Por lo tanto, si IV(V x [p(x)]) es verdadera, entonces \Ix [p(x)J es falsa.
Esto último quiere decir, que en
el reco+rido de p(x) una o más proposiciones son falsas, y esto, a su vez, significa que 3 x [IVp (x)J es verdadera, porque una o más de las proposiciones del recorrido de IVp(X)son verdaderas. Por otra parte, si IV(VX
[p(x)]) es falsa, es porque "Ix[p(x)]
es verdadera, lo cual significa que todas las proposiciones del recorrido de p(x) son verdaderas y, por lo tanto, todas las proposiciones del recorrido de ~(x) 3x
son falsas. En consecuencia,
~P (x)]es falsa. Los dos párrafos anteriores nos llevan a asegurar que las
formas proposí.c i ona Les t ct Yx
fp(x)]-)y
3:>:, L'I'P(xUson equiva-
lentes, (¿por qu~?) . De tal modo,hemos demostrado el teorema siguiente: Teorema 2.1 IV(Vx
Sea:p(x) una proposici6n abierta, entonces
[p(x)]) :: 3 x [IVp (x)] . A continuaci6n, escribiremos ,los corolarios
del teorema anterior.
que se derivan
97
Corolario 2.1 'V(V x ['Vp(xÜ ) ::3x [p cx)] . Corolario 2.2 'V( :3 x ['Vp(xB ) -='Vx [p(x)] • Corolario 2.3 IV( 3 x [p(xB ) ::'Vx ['Vp(xil Ejern,elos: 1) 'V(Todos los estudiantes no son inteligentes) ~(E~ist:en estudiantes que son inteligentes)._ 2) 'V(Todos los hombres son mortales) <~ (Existen hombres que no son.mortales) . 3) 'V(Algunos mamíferos viven en el agua) < > (Todos los mamíferos no viven en el agua). 4) 'V(Algunos hermanos no tienen un mismo padre)< > (Todos los hermanos tienen un mismo padre) .
.
5) Desearnos negar la proposici6n: Esta proposici6n afirma que:
Ningún hombre es inmortal.
V x [x es hombre -+x no es inmortal] •
(x es
3x 3x
La negaci6n de la proposici6n anterior es: 3 x ['V(xes hombre -+x no es inmortal~ • Pero la negaci6n de: (x es hombre-+ x no es inmortal), es: es hombre A x es inmortal). Por lo tanto, la neqac rón de la proposici6n: Ning(in hombre inmortal, es: Existe un hombre que es inmortal. 6) Deseamos negar la forma proposicional: Y x [p(x) A "-q (x~ 'V(V X [p(x) A 'Vq(x~ - 3 x ['V(p (x) A '\q (x)II - 3 x ["P (x) v 'V("'q (x)~ - 3 x ["P (x) v q (x~ Por lo tanto, la negaci6n de: Vx ~(x) A 'Vq(x~ , es: ['Vp(x)v q(x)J . 7) Querernos negar la forma proposicional: [(p(x) v q (x)) -+r (x)] . 'V{3x [(p(x) v q Cx) -+r(x)] } ::Yx['V{(p(x) v q(x»-+r(x)}] :: V x [p(x) v q (x)) A rur(x)] 8) Desearnos negar la proposici6n: Nadie es un tonto. En términos de cuantificadores esta proposici6n es:
\Ix [x no es un tonto] .
98 La negaci6n Esto es:
de dicha proposici6n
Alguien
Ejercicios 1. Negar
['"(x no es un tonto)] •
3x
[x es un tonto].
la negaci'6n de: Nadie
es un tonto,
es la propo-
es un tonto.
2.8 las proposiciones
a) Existen b) ~odos
ndmeros
siguientes:
primos.
los cuadriláteros
c) Cualquier eh
3x '
Por lo tanto, sici6n:
es:
rectángulo
son pol!gonos.
es un cuadrado.
.
Existen cuadr-ados que no son rombos • . , ..
d) Existen herb!voros q,ue no son m;;un!feros. e) Todos los mdltiplos de dos son ndmeros pares. f) ,~xisten ndmeros cuadrados perfectos que son impares. g) ,Ningdp triángulo obtusángulo es equilátero. . h) Ningrtn paralelogramo es un cuadrado. i) Ningdn borracho es sensato. j), NlngGn nGmero mayor que cinco es un ndmero negativo. k) Nadie vive en la luna. 1) Nadie trabaja en balde. 11) Nadie camina por las nubes. m) Nadie quiere ir a la guerra. 2. Escriba la negaci6n ,de las siguientes formas proposicionales. a) \Ix [P(x)-+: q(x)] e) 3x [p(x)-+ q(x)] b) \Ix [p(x) ++ q(x)] f) 3x [p(x) ++ q(x)] e) 'Vx [p(x) v q(x)] g) 3x [p(x) v q(x)] eh) \Ix [p (x) A q (x)] h) 3 x tp(x) .A q (x>] d) Vx ['Vp(x)] i) 3 x ['Vp(x>] '3 Dem'lle_stre· los corolarios que apar-ecen en esta secci6n. 4. Determin~ si el siguiente a~gumento es válido o no: "
o'
99
Ningdn borrach6n toma agua. Ningdn deportista es borrach6n. Ningdn borrach6n es deportista. 2.8 Proposiciones que contienen varios cuantificadores En Matemática1abundan las proposiciones que contienen dos o m4s cuantificadores. Por ejemplo: Para cada ndmero entero ~ existe un entero b, tal ,que, a + b = O. Para cada n6mero entero a, existe un entero b, tal que, a< b. Definici6n 2.8 Una oraci6n declarativa con dos o más variables, que se transforma en una proposici6n cuando cada una de las variables se sustituye por un objeto de sus respectivos dominios de definici6n, la llamaremos proposici6n abierta en dos o m4s variables. La notaci6n que se utiliza en tales casos es: p(x,y); p(x,y,z), etc., dependiendo del ndmero de variables que contenga la proposici6n abierta. Ejemplos: 1) Consideremos la forma proposicional: \/x [3y [x + y = OJJ, donde, tanto para x como para y, el dominio de definici6n son los ndmeros enteros. Notemos ,que la conectiva principal es Y x, por lo tanto, la proposici6n es verdadera si para cada objeto "a", en el dominio de definici6n de x, es verdadera la proposici6n:3y [a+y = O] • Por ejemplo, si sustituimos 1a variable x por el objeto n~" de su dominio de definict6n, tendremos 3-y [3+y=0] • Esta proposici6n será verdadera si en el recorrido de 3+y=0, existe, por lo menos, una proposici6n verdadera. Tal proposici6n existe, puesto que si sustituimos 1a variable "y" por el objeto "-3", tendremos 3+(-3)=0, que es una proposici6n verdadera. En forma similar vemos que para cada objeto "a" en el dominio de x, es verdadera la proposici6n: 3 y [a+y=OJ • Luego, V x [3Y [x+y=oJ] es una proposici6n verdadera.
100
2) 3 x [\/Y [x ~ y]] , donde el dominio de las variables x, Y, son los n6meros enteros positivos. En este ejemplo:3'~ es 'la conectiva principal. Por lo tanto, . 3x [\lY [x ~ yJJ es verdadera si y s610 si existe un ntimeroentero positivo "n", tal que, VY [n. ~ y] es una proposici6n verdadera, para lo cual necesitamos que en el recorrido de la proposici6n abierta n ~ y, s610 haya proposiciones verdaderas. Tomando n=l, tendremos que 1 ~ Y da lugar solamente a proposiciones verdaderas, cuando se sustituye la variable "y" ppr objetos de'su dominio, por lo tanto, \/y [1 ~ y] es una proposici6n verdadera. Esto nos asegura que: 3 x ['t/y [x ~ y]] es una proposici6n verdadera. Los ejemplos anteriores nos muestran c6mo se debe trabajar con una proposici6n con dos cuantificadores. De manera análoga se trabaja con proposiciones que contengan más de dos cuantificadores. Es conveniente tener presente que cuando una variable, digamos'x, está precedida de un cuantificador, su funci6n no es s6lo indicar que lo que expresa la proposici6n debe ser para todos los objetos de su dominio de definici6n (si el cuantificador es el universal) o para alg~n objeto de su dominio de definici6n (si el cuantificador es existencial), sino también para señalar los lugares de la proposici6n en que debe insertarse el nombre de los objetos de su dominio de definici6n. Trabajar con varios cuantificadores es un tanto complicado . 'por el hecho de que debemos utilizar varios corchetes: ~a simplificaci6n de la notaci6n la haremos.de la manera que nos indican los siguientes ejemplos: not. [ ] Ejemplos: 1) \/y [3x [p (x,y)JJ =' \1 y 3 x p (x,y) . Note, que hemos escrito "not" sobre el ,signo de equivalencia. LO hacemos as! para indicar que la equivalencia de las formas proposicionales es por notaci6n. 2) 3 x ['1 y [p (x,y j] ] n~ t 3 x V y [p(x,y)] • IlOt
3)
\{xJ[
\{y
[\lz LP(X,y,z)JJ - ~x
\}y Vz
[P(x,y,z)]·.
101 not
4) 3x [ 'r/y[ 3 z [p(x,y,z>JJJ == 3x. \;j y 3z IP,(x,y,z)] En general, diremo~,que el cuantificador a la izquierda dé un 'bloque de cuantificadores es la "conectiva principal" de la forma proposicional o de la proposici6n. Es posible demostrar los teoremas siguientes: i) 't/x\1 y ,[p(x,y)] ::V y Y x [9(x,y)]: l 3x 3 y [p(x,y)] == 3 y 3 x ú?(x,y)] Esto quie'redecir'que en una proposici6n Los cuantificado,res de la misma especi~ pueden intercambiarse sin que por ello se altere su valor de verdad. Además, se puede demostrar que: iii) 3x V y [P(x,y)J~VY3x[p(x~Y)J. Ah~ra bien, la forma profosicional: i~) V x 3 y [p(x"y)] -+ 3 y V x [p(x,y)] no,es una. tautolo- ' í
)
g!a. Las a~irmaciones iii) y iv) nos advierten que n9 debe inver,. tirse el orden de los cuantificadores cuando eptos son de distinta especie. A continuaci6n, demostraremos los teoremas i,)y ~v).,. Te~rema: V x V y [p(x,yll == V'y \1 x [p~x,y)] Demostraci6n: probemos primeramente que: ,
"
'ti x '\¡y [p(x,Y)] ,=> ti y. V x, [p(x,y)]. suponqamos 'que: V y 'V x [?(x,y'~es falsa y 'V x ,Y y [p(x,yB 'es verdadera. ~uego, "'.{ Vy V x [p(x, yD '}', == " 3 y 3 x ["'p (x,yD 'esverdaderá, es decir, existén objetos a y b,en el domin~o de x,y, r,espec t.Lvamerrce , tales que, ",p(a,b)es verdadez'a , Por- tapto, . , ., -',Vy [p(a,y~' es falsa y, en coneecuenc a ; V x V y [p(~"yU , es una propo~ici6n falsa tambi~n. Un argumento' similar al anterior nos permi~e demost~ar: \/y V x !?(x,Y!J-,)v'x V y ,Ú~(x,Y,)J • tant()l~ el teorema ha sido ;demostrado. ' ", , í
!?or
Teorema: Vx tolog!a.
3
y
[?(x,~n
--+'~
y
v, ~_ (íi(X,y)]
no es una t.au-'
'Demostraci6n: Consideremos el' contraejemplo siguiente:
102
sean:x,Y,variables cuyo dominio de definici6n son los ndmeros enteros. La proposici6mV x 3 y [x+y=O] es verdadera I (¿por qu~?), pero 3y V x [x+y=O] es una proposici6n falsal(¿por qu~?). Luego, la condicional: V x 3 y [x+y=o]"3 y V x [x+y-O] es falsa y, por lo tanto, el teorema ha quedado establecido. Ejemplos: De acuerdo a los teoremas i) al iv) se tiene: 1) \j x \1y [p(x ,y) -+ q (x , y)] = 'ti y 'tix [p(X , y) ..q (X , Y5] • 2) \1 x 'ti y [x (y+l) = xy+x] <=-> \1 y 'r/x[x(y+l) • xy+x]. donde x,y,son ndmeros enteros. 3) 3x 3y [p(x,y)A'Vq(X,y)] s 3 y 3x [p (x , y) 11 'Vq(x,y)]
3x 3y
4)
[x
>
Y1~>
3y 3
x [x
>
y], donde x,y son ndmer08
enteros. N6tese, que en los ejemplos 1 y 3 escribimos: = porque estarnosen presencia de formas proposicionales. Pudimos haber escrito tambi~n el stmbolo~. Peco en los ejemplos 2 y 4 solamente podemos usar el stmbolo~porque estamos trabajando con proposiciones. Como indicamos en el capttulo anterior, por abuso de Lenguaje se usa = y<~indistintamente cuando manejamos proposiciones. 2.9 Negaci6n de propos1c10nes y formas proposicionales con dos o
más cuantificadores. Ejemplos: 1) Sean:x,y,ndmeros enteros.
'"( V
~ <~.
x
3
y [y =
Entonces:
J)
X2
'3 x ["'3y [y = x2]]. '3 x V Y ['V(y= x2)] le 2J
> 3 x V y [y"#
2 ) 'V( 3x
3
y
[p (x)
"'q (y) ])
-+
_
-
V'x("'3y [p(x) -+ "'q (y)] "Ix V.y ["'(p(x).. "'q (y»]
- Vx V - Vx V 3) Sean x, y, z,ndmeros enteros.
"'('VxVyV
z [(x+y
<
z)
V
(x+z
<
y
[p (x)
A -v ("'q (x) )]
y
[p (x)
A
q(x)]
Entonces: y) v (y+z < x)] )
103 ~ (; (: ~
.v
(x+z, < y) v (y+~ < x)] l] [ 'I.{Vy y Z [(x+y <. ,z) 3 y 3 ['1. {\{z [(x+y < z) v (x+z < y) v (y+z < x)]}] ~3 x '3 y '3 z ['1. { (x+y < z) V (x+z < y): v (y+z ,< x)}] >3x 3 y :3 z [(x+y t z) A (x+z t y) A (y+z. t. X)] >3 x 3 y :3 z [(x+y > .z ) 'A (x+z > y) A (y+z ~ X)]
):3x )3x
-
Ejercicios
-2.9
1. Determine en las los
el valor
cuales
el
ndmeros
.v y
a) 'Vx
de verdad dominio
=
[x.y
[(x.y),¡z
=
x. (Yoz)]
[tx+y) +z
=
x + (y+z)]
f)3 y V
x [x.y
= OJ = xJ = x]
y [x+y
=
x [x.y
= x]
'Vx
eh)
Vx Vx
d)
e) 3 y g)
y
j)
z
x [x+y
'ti x :3 V x 'ti V x 3,
y
es
la
co1ecci6n
[x+y = y+x]
y [ X ,o y
'h)'Vy:3 i)
V
y
variables
siguientes,
y.xJ
y 'V z
e)
de las
p'ropos~c~ones
enteros.
V V V 3 V
b) 'Vx
de las
[x
x]
y]
<
y [x < y]
2 ..Escriba
la negaci6n
de cada
una ae las
proposiciones
ante-
riores. 3. Demuestre: a)
3x 3
y [p(x,y)]
:: 3 y
3
x [p(x,y)]
b)
3
y [p(x,y)]
:.>y'y
3
x [P.(x,y)]
x
V
4 o Complete
niente,
los
espao Lo s en blanco
asumiendo
al V x V y, [x ~ b)
:3
x
:3 y [x
que x,y,son yJ
con la respuesta números
~>
+ y = O] <*=>
V y ,~ + y, = x]. :.> d) '1.{ Vx 3 y LX-i;. y < 41}. < > e) 'I.{Vx V y 3 z " [tx + y) + Z ". f) . '1. {3 x V y \/ z [x < y + z]} ~ e).
3
x
O.]}<~. :>
reales:
conve-
de
104 g) ,'\,{ Vx
3
y
h) '"{ V x 'rj. y
[p(X,y)
3 -.z
A
[p (x , y)
",q(X,y)]}= -?
q (z )] }
_
,Vx V y V i [(x~y) • z = z ".(y.z)]~ j) i\,{3xV y [P(X) A q(y) -? ",p(X,y~} = 5. Exprese en símbolos las proposiciones siguientes y luego determine la negaci6n de las mismas. En cada caso el dominio de las variables es la colecci6n de los nümero'senteros: a) Para cada x, existe y,tal que,y3 = x2. b) Existe x1tal que, para todo y se cumple x+y = y. e) Para cualquier x, y, z,se cumple x.(y+z) = x.y+x.z, d) Dados x, y,existe z,tal que,x-y = z. e) Existen x, y, z,tales que,x2 + y2 = z2. i)
,
.
6. Escriba la negaci6n de las siguientes proposiciones, asumien-
do que y, son ndm~ros reales positivos; x, y, a, an, am'y L . son n1lmeros reales y que n, m, y N, son nume.ros enteroshpositivos: a) \lE 30 'r}x[Ixl < ó -? [sen x] < E] • b) VE 36 \Ix [1 x I < o -? leos x - 11 < E] . e) \lE :3N Vn [n > N -? _!_ < E] . I
eh)
d) e) ·f)
g)
'11) i) ~
'rIE 3N
"In \1m [(n>N)
n
1
1
In - mi < EJ. Ilog x - log 2 I < E] •
A (m x N)
-?
1x - 2 1 < o -? \lE ]6 \jx [o < [x - al < o -? 1x2 - a21 < E] . \jx [O < 1x - al < o -? I f (x) - L 1 < e] . \/r. ]0 \le 30 \Ix \jy[lx-yl < o -? If(x) - f(y) 1 < E] • Ve 3N Vn [n > N -? 1an - a 1 < E ] • 'rIE 3N V n \:/ ro D n > N) A (m >, N·) + 1an - am I < e:] •
\Ir. 36
\;J X
[o
<
INDICE. PAGINA Antecedente. Argumento ••
... ......... .... . . . ...... .. .
falacia que contienen proposiciones que contienen proposiciones válido.
... ..... .......
.
.... .......
existenciales. universales ..••.....•....
26
60 56 93 83 56 24 55
Bicondicional
.
Conclusi6n Condicional. Conectivo de Sheffer. Conjunci6n •._
.
Consecuente
.
26
Contingencia
.
34
Contradicci6n
.
34
26
24 9
Cuantificador universal •• existencial relaci6n entre. Disyunci6n •••
.............. .... . .. ....... ..............
exclusiva.
.. .......... ... ..... .............. ..... .... ... ............. ..... . ......... .... ........ ............. .... ..... ..........
inclusiva. Doble implicaci6n ..••....... de formas proposicionales
.. ... ....... ..............
de proposiciones Formas argumentales
. ...............•..............••.....
.... ... . .. ...... . ... .. .
falacia ....•..••• procedimiento para determinar
la validez de.
................. ............. ..... ....
válida . Formas proposicionales .. equivalencia de .•.•••
_
79
87 96 12 13 13 49 53 49 55 56 63 56 4
22
PAGINA
............. ..... .............•............. ... ...... ............ ......
Implicaci6n. de formas proposicionales.
de proposiciones ••.•• M~todos de demostraci6n directo .•• indirecto. contrarrecíproca. reducci6n al absurdo. Negaci6n .....•••....••• .... . . de una bicondicional de una condicional · . de una conjunci6n. .. . de una disyunci6n. . . de una negaci6n. . ~ ... . Notaci6n. Premisas. . . ... . . . . Proposici6n •. compuesta. ..... . existencial que contienen varios cuantificadores. ... . universal .. . . ~ . .. . Proposici6n abierta en una variable .....~ . en varias variables. . .. recorrido de .• .. .. . Tablas de verdad. , Tautología •••...· . .. .. .. Valor de verdad. Variable .•..••.. dominio de definici6n de la.
·.. ........ . .. ... .. .... .. .... .... . ......... ·.........
.. .....
.. ... ... ... .. . ......
..... . .......... .... ............. · .... .......... ........ ......... ·.. .. ... ..... ...... .......... .. .. .. . ...... ... . ......... ·.. ..... ........ ... .... . ... .. .. ............
·.. . . .
. .. . ....... .... .......... ..
. .. ... . ..
. . .... .... . ... .. . .... ........ .
..... .......... . .. . ............ ... . .. ............ . . ...... . ...... ............ ....... ...................... . .... .. . ... . ......... ............ ·. ... ........ . ...... .. .... ..............
...... ...................
44 48 43 69 71 71 72 8 40 40 38 39 38 4, 14 55 1 6 88 99 79 76 99 77 14 33, 42 2, 5 76 76.
COLOFON Elta Sexta Édici6n de NOCIONES DE LOGICA SIMBOUCA fue realizada en EDITORA TALLER, C. por A., Isabel la Católica 309" Santo Domingo, Rep6blica Dominicana, en el mes de febrero de 1988 y conita de 2,000 (dos mil) ejemplares.
