SIMBOLIZACION DE EXPRESIONES.
Defnición: Simbolizar una expresión es escribir con símbolos una expresión, es decir, interpretar el enunciado de un problema y escribir los datos correctamente para que se puedan realizar operaciones con ellos que nos lleven a la solución. Ejemplo: n enunciado puede decir : !"aría se compró #$ pulseras de tres colores di%erentes, pidió & rojas, ' verdes y el resto azules. ()u*ntas pulseras son azules+! Ese enunciado es la Expresión y para resolver ese problema lo podrías simbolizar así: #$ es el total & rojas ' verdes + azules Simbolización: #$ &-'-x DECODIFICACION DE EXPRESIONES.
)odifcación: interpretación alebraica de enunciados verbales: /0mero natural cualquiera El antecesor de n El sucesor de n /0mero natural par /0mero natural impar El cuadrado del sucesor de n. Decodifcación: interpretación verbal de expresiones alebraicas: )u*druple de la di%erencia entre x e y 1a media aritm2tica entre a, b, y c. El producto de 3 por el cuadrado de r. 1a mitad del producto de por el cuadrado de t. 1os siuientes son ejemplos de las expresiones alebraicas mas usadas, en %orma verbal y escrita: La suma de dos números
a-b La resta o diferencia de dos números
45y El producto de dos números
ab El cociente de dos números
46y El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia
a-b6a7b El doble de un número
#4 El doble de la suma de dos números
#8a-b9 El triple de la diferencia de dos números
'8x7y9 La mitad de un número
46# La mitad de la diferencia de dos números
8x796# El cuadrado de un número El cuadrado de la suma de dos números El triple del cuadrado de la suma de dos números. La suma de 3 números
;-b-c La semi suma de dos números.
8a-b96#
1ee todo en: 1enuaje alebraico < 1a =uía "atem*tica >ttp:66matematica.lauia#$$$.com6eneral6lenuaje7alebraico?ixzz'a;v@q@ 1lamo p al n0mero de canicas que teno yo y t al n0mero de canicas que tienes tu. 8!siempre debes especicar qué es cada letra" , le dice9. 1a %rase anterior se simbolizar* p = 2t ;y0dale con estas otras %rases: a. Entre Entre los los dos dos tene tenemos mos 5 euros. euros. b. Ahora mismo, mismo, el padre padre de Carl Carlos os tiene tiene triple triple edad edad que él. él. c. o me quites quites ! peat peatinas inas que que entonces entonces te quedas quedas con una una m#s que que $o. d. %i buscamo buscamos s dos usanos usanos m#s m#s cada cada uno $o tendr tendré é el doble doble que tu. tu.
e. La suma de tres números consecuti&os es '(3. Adivina un número
Aiensa un n0mero entero. S0male su doble. ;Bade C al resultado obtenido. Divide el resultado anterior por '. @2stale al nuevo resultado el n0mero inicial. a. (u2 (u2 n0me n0mero ro obtie obtiene nes+ s+ b. @epite @epite los pasos pasos anterior anteriores es con un n0mero n0mero cualquiera cualquiera a. a. c. (e (e ayuda ayuda la simboliza simbolización ción para para explicar explicar lo sucedido+ sucedido+
de
;-b-c La semi suma de dos números.
8a-b96#
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e. La suma de tres números consecuti&os es '(3. Adivina un número
Aiensa un n0mero entero. S0male su doble. ;Bade C al resultado obtenido. Divide el resultado anterior por '. @2stale al nuevo resultado el n0mero inicial. a. (u2 (u2 n0me n0mero ro obtie obtiene nes+ s+ b. @epite @epite los pasos pasos anterior anteriores es con un n0mero n0mero cualquiera cualquiera a. a. c. (e (e ayuda ayuda la simboliza simbolización ción para para explicar explicar lo sucedido+ sucedido+
de
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí ces. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:
o
OPERACIONES BASICAS CON MONOMIOS
Sólo podemos sumar monomios semejantes. a suma de los monomios es otro monomio !ue tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
ax n + bx n = (a + b)x n
Ejemplo "x " y # $ % #x " y # $ & '" % #(x " y # $ & )x " y # $ Si los monomios no son semejantes, al sumarl os, se obtiene un polinomio.
OPERACIONES BASICAS CON BINOMIOS *n +lgebra, un binomio consta nicamente de dos términos, separados por un signo de m+s ' +( o de menos ' -(. *n otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios. -.
.
".
.
#.
es una diferencia de expresiones trigonométricas.
PRO!C"OS NO"ABLES Se llama p#o$%&'o no'able a ciertas exp#eione aleb#ai&a !ue se encuentran frecuentemente y !ue es preciso saber *a&'o#ia#la a simple vista es decir, sin necesidad de /acerlo paso por paso. Se les llama p#o$%&'o no'able 'también p#o$%&'o epe&iale( precisamente por!ue son muy utili$ados en los ejercicios. A continuación veremos algunas exp#eione aleb#ai&a y del lado derec/o de la igualdad se muestra la forma de factori$arlas 'mostrada como un p#o$%&'o no'able(.
C%a$#a$o $e la %ma $e $o &an'i$a$e o binomio &%a$#a$o
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
*l cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, m+s el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, m+s el cuadrado de la segunda cantidad.
BINOMIO AL C!ARAO, (A+B)
Un b in om io
al
& %a $# a$ o 'suma (
es
igu al
es
i gua l
al
cua drado
d el
prim er
término, m. el doble producto del primero por el segundo m. el cuadrado segundo.
(a + b) = a + / a / b + b 'x % #( " & x " % " 0 x 0# % #
"
& x " % 1 x % 2
BINMOMIOS CON0!GAOS, (A+B) (A-B) *l producto de la suma o diferencia de dos nmeros 'conjugados( es igual al cuadrado del primer término menos el
cuadrado
del
segundo
término.
*jemplo
*l producto de dos binomios conjugados e s un binomio cuyos términos son:
•
*l cuadrado de un término comn.
•
*l otro término elevado al cuadrado y con signo negativo.
BINOMIOS CON "ERMINACION COM!N, (A+B) (A+C) o binomio &on %n '1#mino en &om2n e#3an ( 4x +5) (4x 6 7)8 el '1#mino &om2n e 4x 9 lo '1#mino no &om%ne on +5 9 67: El p#o$%&'o $e $o binomio &on %n '1#mino en &om2n; e poible #ealia#lo me$ian'e la m%l'ipli&a&ix +?) (>x 6 7@)= @?x -5 x 6 7
a) El &%a$#a$o $el '1#mino &om2n: (>x)= (>x) (>x) = @?x •
b) La %ma $e lo '1#mino no &om%ne po# el '1#mino &om2n: (?-7@) (>x) = (-) (>x) = -5x &) Se m%l'ipli&an lo '1#mino no &om%ne: (?) (-7@) = -7 :- ( a + &) (a + $) = a + a ( & + $) + &$ a) el &%a$#a$o $el '1#mino &om2n (a) = a b) La %ma $e lo '1#mino no &om%ne po# el '1#mino &om2n: (& + $) (a) = a (& + $) po# la P#opie$a$ &onm%'a'iDa $e la m%l'ipli&a&i
EXPRESIONES ALGEBRAICAS E LA ORMA, X+AX+A8 AX+BX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS E LA ORMA, X+BX+C8X-A 6rinomio de la forma x + bx + &; son trinomios como: x" % )x % 1,
m" % )m 7 -8
b" 7 "a 7 -)
y" 9 y % -)
;ue cumplen con las siguientes condiciones: -( *l coeficiente del primer término es -.
"( *l primer término es una letra cual!uiera elevada al cuadrado. #( *l segundo termino tiene la misma letra !ue el primero, con exponente - y su coeficiente es una cantidad cual!uiera, positiva o negativa. 8(
*l tercer término es independiente de la letra !ue aparece en el -< y" o termino y es una cantidad cual!uiera, positiva o negativa.
EC!ACIONES Una e&%a&i
conocidos
o datos,
y
desconocidos
oincógnitas,
relacionados mediante operaciones
matem+ticas.nota - os valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o constantes y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.nota
" =cita requerida>
as incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores !ue se
pretende /allar. ?or ejemplo, en la ecuación:
IG!ALA !E CON"IENE !NA O HARIAS INCOGNI"AS *n matem+ticas, una in&<ni'a es un elemento constitutivo de una expresión matem+tica. a incógnita permite describir una propiedad verificada por algn tipo de @valor desconocido@, por lo general nmeros. *n el caso de una ecuación, es un valor tal !ue, al sustituirlo por la incógnita, se verifica la igualdad en este caso se le llama ol%&i
EC!ACIONES E PRIMER GRAO, SOL!CION ALGEBRAICA; GRAICA APLICACIJN: Una e&%a&i
involucra solamente %ma 9 #e'a de una variable a la p#ime#a po'en&ia. *n todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.
: Sol%&i
donde x representa la variable, y donde a, b y c son constantes a es el coeficiente cuadr+tico 'distinto de J(, b el coeficiente lineal y c es el término independiente. *ste polinomio se puede representar mediante una gr+fica de una función cuadr+tica o par+bola. *sta representación gr+fica es til, por!ue la intersección de esta gr+fica con el eje /ori$ontal coincide con las soluciones de la ecuación 'y dado !ue pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el nmero de soluciones reales de la ecuación(.
SIS"EMA E EC!ACIONES 5 e so l v er u n s i st e ma d e e c u ac i o ne s c o n si t e e n e n co n t ra r l o s valore s d e s co n oc i d os d e l a s variables !ue satisfacen todas las ecuaciones. Kétodo de sustitución
7 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. S e s u s ti t u ye l a e x p re s i ón d e e s ta i n có g n it a e n l a o t ra e c ua c i ón , o b te n i en d o u n ecuación con una sola incógnita.
5 Se resuelve la ecuación. @ * l v a lo r o b te ni d o s e s u st i tu ye e n l a e cu a ci ón e n l a ! ue a pa re c ía l a i n có gn i ta despejada.
os dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
EC!ACIONES CON OS INC OGNI"AS, APLICACION Gos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo !ue pretendemos de ellas es encontrar su soluc ión comn.
a solución de un sistema es un par de nmeros x - , y - , tales !ue reempla$ando x por x - e y por y - , se sati sf a cen a l a ve$ ambas ecuaciones.
REC!ENCIAS #e&%en&ia es una magnitud !ue mide el nmero de repeticiones por unidad de tiempo de cual!uier fenómeno o suceso periódico. ?ara calcular la frecuencia de un suceso, se contabili$an un nmero de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. Segn el Sistema Enternacional 'SE(, la frecuencia se mide en /ercios 'B$(, en /onor a Beinric/ 5udolf Bert$. Un /ercio es la frecuencia de un suceso o fenómeno repetido una ve$ por segundo. Así, un fenómeno con una frecuencia de dos /ercios se repite dos veces por segundo. *sta unidad
se
llamó
originalmente
3ciclo
por
segundo4
'cps(.
Ltras unidades para indicar frecuencias son revoluciones por minuto 'rpm o #Kmin segn la notación del SE. as pulsaciones del cora$ón se miden en latidos por minuto 'latMmin( y el tempo musical se mide en 3pulsos por minuto4 'bpm, del inglés Nbeats per minuteO(.
Un método alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones ' periodo( y luego calcular la frecuencia 'f( recíproca de esta manera:
donde 6 es el periodo de la sePal.
MEIAS ESCRIP"IHAS *l estudio de una variable estadística comien$a con la obtención de datos, bien sondeando la población o tomando una muestra. *l siguiente paso en el proceso es la ordenación de datos elaborando la tabla correspondiente. 6rabajar con una tabla es complejo y tedioso por lo !ue es m+s conveniente la introducción de nuevos par+metros !ue nos permitan resumir la información !ue contienen esas tablas. *l objetivio !ue se persigue es la sinteti$ación de la información !ue nos aportan los datos con la menor pérdida posible. Damos a agrupar los par+metros en tres grupos dependiendo de su función.
Me$i$a $e &en'#alia&i
poi&i
Me$i$a $e $ipe#i
PROBLEMAS E MEIA Definición.
Me$ia a#i'm1'i&a de algunos nmeros es la relación de la suma de todos los nmeros a sus cantidad. suma de números cantidad de números
Media aritmética &
Por ejemplo: para dos nmeros
a y b la
media
aritmética es
media
aritmética es
a % b " para tres nmeros a , b y c la
a % b % c # y
así
por
el
estilo.
Ejemplo 7: Hosé cosec/ó del +rbol 8 peras, atalina 7 " peras, y Karía 7 1. os niPos juntaron sus frutas y se las repartieron en forma igualitaria. Qu+ntas peras obtuvo cada unoR Sol%&i
PROBLEMAS E MOA
a mo$a es el Dalo# !ue tiene ma9o# *#e&%en&ia abol%'a .
Se representa por M o .
Se puede /allar la mo$a para Da#iable &%ali'a'iDa y &%an'i'a'iDa .
alla# la mo$a de la distribución: ", #, #, 8, 8, 8, ), ) M o = @
Si en un grupo /ay $o o Da#ia p%n'%a&ione con la mima *#e&%en&ia y esa frecuencia es la m+xima, la $i'#ib%&i
NO"ACIONES E PROBABILIA Se usaran mayusculas para indicar variables estocasticas y minusculas para indicar los valores !ue pueden tomar. ?'A & verdadero( & ?'A & a( & ?'a( ?'A & falso( & ?'A & Ta( & ?'Ta( ?'a F b F c( ?'a,b,c( ?'abc( ?'Ta( ?'a( ?'a( ?5LV*KAS G* LW6*L
*n el conteo se usan técnicas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.WL6A: *l diagrama de +rbol es una5eali$ar actividad en la libreta de técnica til de representaciónmatem+ticas. grafica, !ue muestra las distintas opciones de combinación de objetos. AUL G* ?5LVAVEEGAG omo /emos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de !ue se dé un determinado resultado 'suceso( cuando se reali$a un experimento aleatorio. a probabilidad toma valores entre J y - 'o expresados en tanto por ciento, entre JX y - JJX(:
El Dalo# &e#o &o##epon$e al %&eo impoible: lan$amos un dado al aire y la probabilidad de !ue salga el nmero es cero 'al menos, si es un dado certificado por la LKG, @Lrgani$ación Kundial de Gados@(. El Dalo# %no &o##epon$e al %&eo e%#o, lan$amos un dado al aire y la probabilidad de !ue salga cual!uier nmero del - al 1 es igual a uno '-JJX(. El #e'o $e %&eo 'en$#. p#obabili$a$e en'#e &e#o 9 %no: !ue ser+ tanto mayor cuanto m+s probable sea !ue dic/o suceso tenga lugar. C
RAFONAMIEN"O GEOME"RICO Wada m+s lejos de la realidad. o !ue sucede es !ue muc/as veces confundimos ra$onamiento geométrico con ra$onamiento a bulto, a ojo o al @poco m+s o menos@. Una demostración basada en conceptos geométricos puede ser
tan
perfectamente
v+lida
como
la
fundada
exclusivamente
en
manipulaciones
algebraicas.
Vasta con no dar un paso antes de asegurarse de la licitud del mismo. as figuras deben servir para orientarnos, no para desorientarnos, y son los ra$onamientos lo !ue nos /abilitan para aceptar proposiciones como ciertas, no los dibujos.
Ser+ por eso !ue una de las vertientes m+s divertidas de la matem+tica recreativa es la de las presuntas paradojas geométricas. Gado !ue virtualmente cual!uier tema aritmético admite una interpretación geométrica, siempre es posible /acer un dibujo para ejemplificarlo. Bablemos de uno de tales divertimentos, !ue espero no sea demasiado conocido
por
mis
lectores
'yo
ya
me
lo
/e
encontrado
bastantes
veces
por
la
Yeb(.
Sabemos !ue una de las propiedadesd de las areas de las figuras geométricas, como medidas !ue son, es !ue son
invariantes por traslaciones. Así, si troceamos un cuadrado y con los tro$os recomponemos un rect+ngulo, es de esperar !ue ambos tengan el mismo +rea. Sin embargo, en nuestra figura, los x&18 unidades cuadradas del cuadrado se convierten en -#x)&1) en el rect+ngulo.
CIRC!LO, PROBLEMAS E CIRC!NERENCIA S!PERICIE a longitud de una circunferencia es igual:
Lo mejo#e &%#o GRA"IS He# "OOS lo 77? &%#o GRA"IS
7:-Loni'%$ $e %na &i#&%n*e#en&ia
a longitud de una circunferencia es igual:
Heamo %n ejemplo,
Damos a calcular la longitud de esta circunferencia:
ongitud de la circunferencia & # x #,-8 & 2,8" m
"RIANG!LOS CLASIICACION *l pe#3me'#o calcula como Nla suma $e %n '#i.n%lo se *l .#ea $e %n '#i.n%lo se calcula como Nsu base por la altura divida en dosO.
del
65EZW[UL *;UEZ6*5L *l '#i.n%lo e%il.'e#o es a!uel !ue tiene todos sus lados de la misma medida, en donde:
65EZW[UL ES\S**S *l '#i.n%lo i<&ele es a!uel !ue tiene sólo dos lados de igual medida.
65EZW[UL *SA*WL *l '#i.n%lo e&aleno es a!uel !ue tiene todos sus lados de distinta medida.
largo
de
sus
ladosO.
CLASIICACIJN E "RIQNG!LOS SEGN LA MEIA E S!S QNG!LOS 65EZW[UL AU6ZW[UL *l '#i.n%lo a&%'.n%lo es a!uel !ue tiene todos sus +ngulos agudos.
65EZW[UL 5*6ZW[UL *l '#i.n%lo #e&'.n%lo es a!uel !ue tiene un +ngulo recto '] AV(.
65EZW[UL LV6USZW[UL *l '#i.n%lo ob'%.n%lo es a!uel !ue tiene un +ngulo obtuso, tal como se muestra a continuación:
"RIANG!LO, PROBLEMAS E AREA PERIME"RO:
Pe#3me'#o $e %n '#i.n%lo *l pe#3me'#o $e %n '#i.n%lo es igual a la %ma de sus tres la$o .
%il.'e#o
Q#ea $e %n '#i.n%lo *l .#ea $e %n '#i.n%lo es igual a bae po# al'%#a pa#'i$o po# .
La al'%#a es la #e&'a pe#pen$i&%la# tra$ada desde un D1#'i&e al la$o op%e'o 'o su prolongación(.
"RIANG!LOS, PROBLEMAS E CONGR!ENCIA E "RIANG!LOS "RIANG!LOS, PROBLEMAS E SEME0ANFA E "RIANG!LOS *H*5EEL - : *n una fotografía, Karía y Fernando miden ",) cm y ", cm, respectivamente en la realidad, Karía tiene una altura de -1,) cm. QA !ué escala est+ /ec/a la fotoR Q;ué altura tiene Fernando en la realidadR Solución • alculamos la escala: = = = Altura en la foto de Karía ",) - *scala Altura real de Karía -1,) 1 ⇒ a escala es -:1. • alculamos la altura real de Fernando: Altura real = 1 0 ", = -J,2 cm *H*5EEL " : Una empresa de construcción /a
reali$ado la ma!ueta a escala -:2J de un nuevo edificio de telefonía móvil, con forma de pir+mide cuadrangular. *n la ma!ueta, la altura de la pir+mide es de ),# dm y el lado de la planta es de ",8 dm. alcula el volumen real del edificio expresando en metros cbicos el resultado. Solución: ⋅ ⋅ - *l volumen de una pir+mide es Zrea de la base Altura. # alculamos la altura en la realidad: Altura real = ),# 0 2J = 8 dm alculamos el +rea de la base en la realidad, aplicando !ue la ra$ón entre las +reas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la ra$ón de semejan$a: " " Ka!ueta ",8 ),1 dm Zrea de la base 5eal A = = = 5a$ón de semejan$a = 2J ⇒ = → = ⋅ = " " " uego: 2J 2J ),1 811)1 dm ),1 A A Finalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se obtiene: = ⋅ ⋅ = = # # 5*A - 811)1 8 8-#J8 dm 8-,#J8 m
C!ARILA"EROS PLOLIGONOS
Bay algunos tipos especiales de cuadril+teros: •
el rect+ngulo
•
el rombo
•
el cuadrado
'todos estos son paralelogramos(, y también /ay: •
el trape$oide
•
el deltoide
Si no es ninguna de estos es un cuadril+tero irregular . uadril+tero significa 'cuad significa cuatro, látero significa lado(.
@cuatro
lados@
La *i%#a $e &%a'#o la$o e llaman &%a$#il.'e#o. ?ero los lados tienen !ue ser #e&'o, y la figura tiene !ue ser bi$imenional. ?olígonos Un cuadril+tero es un polígono. Ge /ec/o es un polígono de 8 lados, de la misma manera un tri+ngulo es un polígono de # lados, un pent+gono es un polígono de ) lados, etc. *n geometría, un pol3ono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos !ue cierran una región en el plano. *stos segmentos son llamados lados, y los puntos en !ue se intersecan se llaman vértices. *l interior del polígono es llamado +rea. *l polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cual!uier nmero de dimensiones. A su ve$, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro.
C!ARILA"EROS Se denomi nan figur as sól i das ó cuer pos geomét r i cos a aquel l os el ement os que,ya sean r eal es o i deal es. —
que
ex i s t en
en
l a
r eal i dad
o
pueden
c onc ebi r s e
ment al ment e.
— oc u panu nv o l u me ne ne le s pac i od es ar r ol l á nd os ep orl ot a nt oe nl ast r e sdi me ns i o ne sd ea l t o ,a nc h oyl ar g o;yes t á n c ompues t os
por
Ent r e
l os
fi gur as c uer pos
geomét r i c as . geomét r i c os
es t an:
Elc u b o— q u ee s t ác o mp u e s t op o rs e i sc a r a sc u a d r a d as ;mo t i v op o re lc u a ls el ec o n o c et a mb i é nc o ne ln o mb r ed e ex aedr o
r egul ar ,
El t et r aedr o
r egu l ar —
( ex aedr o c ompue s t o
=
c uer po
por c uat r o
c ar as
c on
c on
f or ma
6
de
c ar as ) .
t r i áng ul os
equ i l át er os .
Elo c t a ed r or e gu l a r— c o mp ue s t op oro c hoc a r a sc o nf o r mad et r i á ng ul o se qu i l á t e r o s ,e nf o r mad ed ospi r á mi d esun i d as por
s us
bas e.
El i c os ae dr or e gu l a r— c ompu es t op orv e i n t ec ar a sc o nf o r mad et r i á ng ul o seq ui l á t e r o s,q uet i e neu ne j ep l a noe x ag on al . El
dodec aedr o
r egul ar
—
c ompues t o
por
doc e
c ar as
c on
f or ma
de
pent ágono.
Elp r i s ma— q uee s t ác o mp ue s t op orc a r a sl a t e r a l e sr e c t a ng ul a r e s( q uep ue de ns e rc u ad r a da s ) ;yba s esc o nf o r mad e t r i á ng ul o ,c u ad r a do ( s a l v oc u an do l a sc a r a st a mb i é nl os o n,e nc u y oc a s oe su nc u bo ) ,p en t á go no ,e x á go no u o t r o pol í gono
r egul ar .
Elp r i s mao bl i c u o— q uee ss i mi l a ra lp r i ma ,p er oc o nd osl a do sd ef o r mar o mb oi d al ;p orl oc u als o l a me nt ep ue det e ne r bas es
c uadr adas .
L ap i r á mi d er e c t a— c o mp ue s t op oru nab as ec o nf o r mad ep ol í g on or e gu l a r ,yl a do st r i a ng ul a r e sc u y ab as es o nl o sl a do s d elp ol í g on o,yun ent o do ss uv é r t i c esenunmi s mop un t o ,t a mb i é nl l a ma dov é r t i c edel ap i r á mi d e;e lc ua ls ee nc ue nt r a s obr e
l a
per pendi c ul ar
a
l a
bas e
que
pas a
por
s u
c ent r o.
L api r ámi dei nc l i nada— si mi l a ral aa nt e r i or ,p er oc u y ov é r t i c es ee nc ue nt r as obr eun ap er p end i c ul a ral ab as eq uen o pas a
por
s u
c ent r o.
Elc i l i n d r o— q u ee s t ác o mp u est od o sba s esc i r c ul a r e syu nas u per fi c i ec ur v ac on t i n ua ,e qu i v a l en t eau nr e c t á ng ul o . Elc o no— c o mp ue s t op oru naba s ec i r c u l a r ,yu nas up er fi c i ec ur v aqu el ar o de ays eun ee nu nv é r t i c equ es een c ue nt r a s obr e
l a
per pendi c ul ar
a
l a
bas e
que
pas a
por
s u
c ent r o.
Elc o not r u nc a do— q ues i e nd os i mi l a raunc o no ,t i e neu nab as ec o nf o r ma dap oru np l a noi n c l i n ad o,c o nl oc u ala do pt a una La
f or ma es f er a
—
que
es
de c i r c ul ar
en
t odos
el i ps e. s us
pl anos
c ent r al es .
L as e mi e s f e r a— q uee sun ae s f e r aq ueh as i d oc o r t a d ap oru n od es u spl a no sc i r c u l a r e s ,d ema ne r aq u et i e neu n ab as e c i r c ul aryunac úpul aes f ér i c a.
CALCULODEAREAYVOLUMEN
Grea del cubo ; C. a# Holumen del cubo H a' Grea del ortoedro ; # a.b - # b.c - # c.a
Holumen del ortoedro H a I b I c PROBLEMAS DE AREA Y VOLUMEN Calcula el á r e a y el v o l u m e n de un tetraedro de 5 cm de arista.
Calcula el á r e a y el v o l u m e n de un oc ta ed ro de 5 cm de arista.
PENSAMIEN"O ALGEBRAICO p od r í a mosd efi ni re lá l g ebr ac omol ar amadel a sMa t e má t i c asq ue ,u t i l i z a nd ol a smi s ma so pe r ac i o nese l e me nt al e sq uel a ar i t mé t i c a( s uma,r es t a,mul t i pl i c ac i ón,di v i s i ónyc ál c ul oder aí c es )yus andol et r ase nv ezdenúmer os( oc ombi nán dol os ) , t r at adege ner al i z arl asr el ac i onesar i t mét i c aspr opor c i onán dol esunpat r ónv ál i dopar at odosl osc as os .Enes t es ent i do, p od r í a mosde ci rq uee se l“ i d i o ma ”d el a sMat e má t i c a s.
Boy en día, en las empresas de cual!uier tamaPo es normal ver !ue muc/os de sus procesos est+n soportados en aplicaciones inform+ticas. 6odas ellas funcionan en base a unos datos de entrada, los cuales pueden ser introducidos directamente por las personas, o bien, pueden ser cogidos de otras aplicaciones, en lo !ue se llama in'e#a&i
INORMACION "EX"!AL os 'ipo 'ex'%ale son e%ema a lo %e lo p#o$%&'o#e 'ex'%ale (emio#e) #e&%##en pa#a p#o$%&i# 'ex'o e2n % in'en&i
os tipos textuales son ab'#a&'opues es el autor tiene un plan, una idea y busca concretarlo. ?or ejemplo si lo !ue !uiere un candidato es convencer elaborar+ una discurso argumentativo donde exponga los motivos por los cuales deben votarlo. os tipos textuales son &onDen&ionale por!ue funcionan en una comunidad, se transmiten al interior de la cultura y poseen una estructura identificable. os 'ipo 'ex'%ale on: -. "ex'o $e&#ip'iDo: Se utili$a para describir o ambientar un espacio.Se utili$a en los textos científico. ". "ex'o Na##a'iDo: Se utili$an para contar sucesiones temporales 'primero, después, luego o finalmente( o lógicamente 'causa 9efecto(. #. "ex'o A#%men'a'iDo: Se utili$a para decir !ue piensa el emisor y !ue motivos tienen para pensar así. a publicidad, los discursos y articulos periodísticos /acen uso de estos textos. 8. "ex'o Expoi'iDo-expli&a'iDo: Se presenta un contenido de manera comprensible, expone un concepto o comprensible. os textos escolares /acen uso de este tipo textual. ). In'#%&&ional: e utili$a para !ue el destinatario ejecute una acción. ?redominan los verbos en infinitivo o imperativo. 1. ialoal: Se usa para desarrollar un dialogo.
CONCL!SION A PAR"IR E !N "EX"O
*n lógica, una &on&l%i
l aspr epos i c i ones . Noe sl omi s mod ec i r" a ho r ah abl ar ér e sp ec t oae s t et e ma "q u e" a ho r ah abl ar éc onr es p ec t oaes t e t e ma " . Au nq uel adi f e r e nc i ap ue das e rs o l oun ap al a br ayc u an dol oe s c uc h amo senun ac o nv e r s a c i ó nl omá s pr obabl eesquel adi f er enc i aent r eunayot r aor ac i ónnospas edes aper c i bi da. I NFROMACI ONGRAFI CA
Un #.*i&o o #ep#een'a&i
CONCL!SIONES A PAR"IR E !N "EX"O !NA "ABLA IMAGEN O MAPA:
Formas de recopilar, organi$ar, procesar e interpretar datos en tablas y gr+ficos 5ecopilar y procesar datos se /a convertido en una necesidad imperiosa en la actualidad. onocerlos e interpretarlos le permite al /ombre de /oy $e&%b#i#; p#eDeni#; in*o#ma# o p#e$e&i# el comportamiento de diferentes sucesos o fenómenos propios de la naturale$a, del entorno social o incluso del pensamiento.
*n cual!uier caso, disponer en una 'abla los datos obtenidos nos facilitar+ su interpretación y su representación gr+fica. Qómo recopilar los datosR Bay varias formas: puede ser mediante la observación, mediante entrevistas, /aciendo encuestas o consultando documentos.
*tapas para la recopilación y procesamiento de la información Endependientemente del sistema !ue usemos para recopilar datos, debemos seguir un es!uema o pauta de trabajo !ue involucre: e*ini&i
ANALOGIA:
Analo3a , significa comparación o relación entre varias ra$ones o conceptos comparar o relacionar dos o m+s seres u objetos, a través de la ra$ón, sePalando características generales y particulares, generando ra$onamientos basados en la existencia de semejan$as entre estos, aplicando a uno de ellos una relación o una propiedad !ue est+ claramente establecida en el otro. *n el aspecto lógico, apunta a la repr esentación !ue logramos formarnos de la cosa, como objeto en la conciencia y, como representación, como objeto lógico del pensamiento, recibe de este ciertas propiedades como la abstracción, la universalidad, etc., !ue permite comparar un ob jeto con otros, en sus seme jan$as y en sus diferencias.a analogía permite una forma inductiva de argumentar !ue asevera !ue si dos o m+s entidades son semejantes en uno o m+s aspectos, entonces lo m+s probable es !ue también existan entre ellos m+s semejan$as. Una analogía permite la deducción de un término desconocido a partir del an+lisis de la relación !ue se establece entre dos términos conocidos. RASES CON EL MISMO SEN"IO
os palíndromos son frases o palabras !ue guardan el mismo sentido siendo leídas de E$!uierda a derec/a y de derec/a a i$!uierda. NG+bale arro$ a la $orra el abadO 'Se lee lo mismo empe$ando a leer de un lado o del otro(. PARES E PALABRAS CON !NA RELACION E!IHALEN"E
Una analogía es una relación de e!uivalencia o correspondencia entre dos parejas de palabras. ?ara determinar si dos parejas de palabras son an+logas debemos: •
determinar la relación entre las palabras de la primera pareja o pareja base
•
seleccionar la pareja an+loga !ue mejor imite esa relación.
*jemplos: ;uet$al es a [uatemala como co!uí es a ?uerto 5ico. *l ;uet$al es el animal mas representativo de [uatemala, mientras !ue el co!uí es el animal mas representativo de ?uerto 5ico.
PROPOSICIONES PAR"IC!LARES !NIHERSALES L ap r o p os i c i ó nu ni v e r s a lt i e n ec o mo s u j e t ou nt é r mi n oc o mú nc o n s i d er a do e nt o da s ue x t e ns i ó n .Po rej e mp l o : T odo
hi j o
T oda
madr e
es es
agr adec i do pr ot ec t or a
Se gú nl ap r e di c a c i ó nl a sp r o po s i c i o ne ss ed i v i d ene na fi r ma t i v a son eg at i v a s ,s e gú ne x pr e s enl ap er t e ne nc i aon od el s uj et oal pr edi c ado( es ;noes ) . MENSAJESYCODI GOS
El %ormato estandar que se utiliza en el intercambio electrónico de datos 8EDJ9 para la administración, el comercio y transporte est* defnido por las /aciones nidas /6EDJK;). )onsiste en un conjunto de normas, directorios y directrices acordadas internacionalmente para un intercambio electrónico de datos estructurado entre sistemas de in%ormación computarizados independientes.
1as relas son aprobadas por /E)E 8)omisión Economica para Europa de las /aciones nidas9 y se publican en el /DJD 8Directorio de Jntercambio de Datos )omerciales de las /aciones nidas9. "RA!CCION ECOIICACION
Codifcaci!"
1a )odifcacion es un sistema Aroceso mediante el cual nos ayuda a interpretar sinos poco comunes. # Es el proceso en donde el emisor convierte las ideas que quiere transmitir en $i%!o$ que puedan ser recibidos %acilmente por el receptor. Emisor: Es la persona que comunica in%ormacion de utilidad a otras personas que lo requieran. @eceptor: Es la persona que recibe la in%ormacion del emisor. Aor ejemplo: el receptor recibe del emisor los siuientes sinos %on2ticos: 1a descodifcación consiste en asociar estos sinos a la idea que el emisor trató de comunicar 8Lola9, es decir un saludo.
D&codifcaci!"
Es el proceso en el cual el receptor trans%orma el códio utilizado por el emisor para interpretar los sinos empleados. De esta %orma los sinos son asociados a las ideas que el emisor trató de comunicar. Aor ejemplo, el receptor recibe del emisor los siuientes sinos %on2ticos: 1a descodifcación consiste en asociar estos sinos a la idea que el emisor trató de comunicar 8Lola9, es decir un saludo.
COMPLEMEN"ACION E ELEMEN"OS ENCRIP"AOS
*l &omplemen'o o el &onj%n'o &omplemen'a#io de un conjunto dado es otro conjunto !ue contiene todos los elementos !ue no est+n en el conjunto original. ?ara poder definirlo es necesario especificar !ué tipo de elementos se est+n utili$ando, o de otro modo, cu+l es el conjunto universal. ?or ejemplo, si se /abla de nmeros naturales, el complementario del conjunto de los nmeros primos P es el conjunto de los nmeros no primos C , !ue est+ formado por los nmeros compuestos y el -:
A su ve$, el conjunto C es el complementario de P. *l conjunto complementario se denota por una barra /ori$ontal o por el superíndice 3M4, por lo !ue se tiene: PM = C , y también C = P. *l conjunto complementario de A es la diferencia 'o &omplemen'a#io #ela'iDo( entre el conjunto universal y A, por lo !ue ambas operaciones 'complementario y diferencia( tienen propiedades similares.
RECONOCIEMIEN"O E PA"RONES
*l #e&ono&imien'o $e pa'#one es la ciencia !ue se ocupa de los procesos sobre ingeniería, computación y matem+ticas relacionados con objetos físicos o abstractos, con el propósito de extraer información !ue permita establecer propiedades de entre conjuntos de dic/os objetos.
S!CESION N!MERICAS Una %&ei
COMPLEMEN"ACION CON OPERACIONES BASICAS *n matem+ticas, .leb#a $e &onj%n'o es el estudio de las operaciones b+sicas !ue pueden reali$arse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación. Un &onj%n'o es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto est+ definido nicamente por los elementos !ue lo componen, y no por la manera en la !ue se lo representa. *xiste una serie de relaciones b+sicas entre conjuntos y sus elementos: •
Pe#'enen&ia: a relación relativa a conjuntos m+s b+sica es la relación de pertenencia. Gado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. *sto se indica como x N A.
•
I%al$a$: Gos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. *ste pr incipio, denominado principio de extensionalidad establece el /ec/o de !ue un conjunto !ueda definido nicamente por sus elementos.
•
In&l%i
*l conjunto vacío es el conjunto sin ningn elemento, y se denota por P o por _`. *l conjunto universal es el conjunto !ue contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. ?or ejemplo, si se estudian los nmeros naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, N. Ge manera general, el conjunto universal se denota por U .
Ejemplo
•
ada nmero natural es elemento del conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los nmeros naturales: 1 N N, 2 N N, etc. ada nmero par es también un nmero natural, por lo !ue el conjunto P de los nmeros pares, P = {2, 4, 6, ...}, es un subconjunto de N: P O N.
•
Gado el conjunto de letras V = {o, i, e, u, a}, se cumple por ejemplo !ue a N V o también i N V . *l conjunto de letras U = { vocales del español } contiene los mismos elementos !ue V , por lo !ue ambos conjuntos son iguales, V = U .
ERRORES l e##o# , en filosofía, es un concepto !ue pertenece a la esfera del juicio, es decir, de las actitudes valorativas. *n general, se denomina e##o# a todo juicio o valoración !ue contraviene el criterio !ue se reconoce como v+lido, en el campo al !ue se refiere el juicio. S!CESIONES ALAN!MERICAS
S%&eione N%m1#i&a, *s el conjunto de nmeros, en el !ue cada uno de ellos tiene un orden determinado por su ley de formación los términos se relacionan por adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
COMPLE"AMIEN"O CON PA"RONES REG!LARES 1. En relación con la preguntaenunciada en el núcleo proble!tico, responda a los siguientes aspectos" #$óo se vincula las regularidades % los patrones con el concepto de &unción' (ara vincular laregularidad % patrones con el concepto de &unción en los procesos de escolari)ación. El docente debe abrir un espacio para el dialogo en el aula* donde este ser! una gu+a, buscandoue los niños logren identi&icar di&erentes eleentos cotidianos. -oando coo erraienta la observación % an!lisis de los isos. deterinando as+ caracter+sticas, see/an)as,di&erencias, regularidades % &oras periódicas en las cuales ocurre los eventos, ue son observados o reali)ados de anera peranente por los estudiantes, coo* el venir a la escuela, elpeinarse, el cabio de clase etc.. 0uego de generar este espacio de dialogo, se plantean actividades lúdicasanipulativas para acer del proceso de aprendi)a/e algo !ssigni&icativo. REPRESENTACION ESPECIAL
Una representación espacial es el uso del espacio 'valga la redundancia( para explicar un punto abstracto. ier tamente !ue una mente matem+tica necesita muy poco de las representaciones espaciales pues las matem+tica s buscar ir muc/o m+s all+ de la imagen y manejar todo en forma simbólica. Una computadora no NveO una imagen cuando tiene codificado dentro de su memoria millones de pixels respondiendo a una lógica binaria de encendido o apagado y sin embargo lo !ue representa en una inmensa matri$ de ceros y unos es una imagen. Si a alguien se le !uiere explicar el procedimiento para crear tales im+genes es pedagógicamente correcto iniciar con lo !ue intuitivamente se ve para llegar a lo !ue simbólicamente en general permanece oculto. FE[U5AS I LVH*6LS Con origen en el latín figūra, la noción de figura puede emplearse en múltiples contextos y con significados diferentes. Una figura es, entre otras cosas, la apariencia o el aspecto externo de un cuerpo u objeto, a través de la cual se puede distinguir frente a otros. En un sentido similar, se conoce como figura a toda estatua, escultura u obra de arte ue reproduce las formas características de animales u hombres, y al dibujo ue refleja a cuerpos !umanos. El obj e t oesal gos obr el oc ua lac t úael s uj e t o,es t ás ome t i d oal aac c i ó ndeé st e,ypuedes ermat er i a l ,c uandos e
p ue d ev e ryt o car ,os eru no j bet oi nmat er i al ,s ol oex i s t ent ec omoi dea. PERSPECTI VAS:SOMBRAS,REFLEJOS,VI STASYROT ACI ON
n la figura podemos observar un objeto representado en tres dimensiones y su perspectiva sobre el plano del cuadro amarillo. a planta de la figura formada por un prisma y una cuPa est+ abatida y es coplanar con el plano del cuadro. Al prolongar los lados de la figura, por ejemplo 'a( como tenemos !ue se cortan en la línea de tierra o eje de giro del abatimiento, o también recta intersección del plano de cuadro 'en amarillo( con el plano geometral 'plano /ori$ontal del suelo en color gris(. ada recta abatida corta a la línea de tierra en un punto !ue denominamos tra$a 6a. a pie$a, mantiene fundamentalmente dos direcciones definidas por las rectas d d . ?or el punto de vista D se /acen rectas paralelas a ambas /asta !ue cortan al pl ano del cuadro en los puntos de fuga F F, si unimos estos puntos con las tra$as correspondientes de cada recta obtenemos la perspectiva de cada una de las rectas de la figura, por ejemplo la recta a. a perspectiva de la figura es lo !ue ve un sujeto !ue coloca su punto de vista donde est+ marcado en el dibujo, esto !uiere decir !ue la pie$a y su representación sobre el plano del cuadro son coincidentes para ese punto de vista, o lo !ue es lo mismo cada punto de la figura y su perspectiva est+ alineado con el punto de vista.
*n la figura podemos observar la representación en perspectiva del ejercicio anterior, solapada con la representación en al$ado de la pie$a y el abatimiento de la proyección en planta por debajo de la línea de tierra. as alineaciones !ue /acían corresponder cada punto de la figura con su perspectiva y con el punto de vista, difieren en esta nueva representación ortogonal, a!uí lo !ue se da e s !ue la proyección ortogonal de los elementos anteriores sí !ue est+n alineadas, esto !uiere decir !ue el punto principal ?, la perspectiva de un punto y el punto correspondiente de la pie$a sí !ue son los tres elementos perfectamente colineales. as alturas de la figura se colocan sobre la línea de tierra y se proyecta esta longitud /asta cada uno de los puntos de fuga, donde intercepta a los puntos de la base de la figura en perspectiva se levantan verticales /asta !ue corten a la recta superior del segmento proyectado sobre el punto de fuga. CONHINACION E IG!RAS
En geometría una figura compuesta es aquella formada por varias figuras simples, como dos rectángulos conectados en forma de "L". En los gráficos computacionales una figura compuesta es un objeto de arte editable creado mediante la agrupación de múltiples objetos. Esta última definiciónsolamente aplica en los programas de dibujo que tratan a la imagen como una colección de objetos, a diferencia de los programas de pintura que tratan a la imagen como áreas de color. !#$#%&%#!'E( & !)*E+!( &+&'! E(&+&'! !)*E-!( +E(L-&'-E( E %!+-E( !/E+&%#!'E( %!' $#0+&( !)*E-!( 'E+!(1 E ELEE'-!( 2E #'-E0+&' ! $&L-&' E' $#0+&( !)*E-!( 'E+!( E L3&!( E ' /!L#0!'! %!'-E! E '#&E( (!)+E&&( E(-+%-+& E L& LE'0& %&-E0!+#&( 0+&-#%&LE( 4E+)!( %&+&%-E+#(-#%&( $E'E+&LE( EL 4E+)! /E+(!'& 'E+! -#E/!( 4E+)&LE( (#/LE( %!/E(-!( +E0L&+E( E #++E0L&+E(
