CALCULO
Nociones Básicas
GLADIS HERNADEZ | ANGEL GONZALEZ
Prefacio Es fácil olvidarnos de las cosas más simples cuando estamos introduciéndonos en temas más complejos. Por ello es importante mantener el orden y el repaso constante en todas las etapas de nuestra vida escolar y laboral. Este pequeño compendio de “nociones básicas de cálculo” servirá a todo aquel que ha perdido el orden en su cabeza y necesita “una pequeña refrescada” para volver a entender el cálculo. En el podrán encontrar un poco de historia para amenizar su estudio, los conceptos y formulas básicas, así como ejemplos para comprobar lo “reaprendido”. La ilustración es cortesía (bueno no tanto), de Albert Montt, pueden encontrar mas de su arte en Dosis Diarias.com
Contenido
Historia del Cálculo
Funciones
Limites
Derivada
Diferenciales
Aplicaciones
Bibliografía
ESIME Azcapotzalco
Historia del Cálculo “Lo que sabemos es una gota de agua, lo que ignoramos es el océano” Isaac Newton Los orígenes del cálculo se remontan al menos 2500 años hasta los antiguos griegos, que encontraban áreas usando el “método de eliminaciones sucesivas.” Sabían cómo hallar el área A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos y sumando las áreas de estos triángulos. Un problema más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego de eliminaciones sucesivas era inscribir polígonos en la figura y circunscribir polígonos alrededor de la figura; luego aumentar el número de lados de los polígonos. Los griegos mismos no usaron límites en forma explícita pero, por razonamiento indirecto, Eudoxio (siglo V a.C.) uso el método de eliminaciones sucesivas para demostrar la conocida fórmula para el área de un círculo:
El problema del área es el problema central en la rama del cálculo llamada “cálculo integral”. Newton y Leibniz en 1675 descubrieron de forma independiente el cálculo diferencial e integral. Sus enfoques son distintos, pero llegan a los mismos resultados. En el periodo 1615-1660; se había utilizado el cálculo infinitesimal por matemáticos de gran talla como Kepler, Cavalieri, Torriceli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow, etc.
Nociones Básicas de Cálculo
El gran merito de lo que hoy llamamos calculo diferencial e integral, es el de ser un algoritmo general que vale para todas las expresiones analíticas a la vez y se basa en que los procesos de cálculo de tangentes o derivación y cuadraturas o integración son procesos inversos. Isaac Newton fue un matemático y físico inglés,
considerado por muchos como el científico más grande de todos los tiempos. Sus brillantes descubrimientos en mecánica se publicaron en 1687 en su libro “ Principia Mathematica” , una de las glorias de la Edad de la Razón. En esta obra Newton estableció las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, y demostró que los planetas del firmamento, igual que los cuerpos sobre la tierra, obedecen las mismas ecuaciones matemáticas. Durante más de 200 años las leyes de Newton constituyeron la base indiscutida de todos nuestros intentos de dar una explicación científica al mundo físico. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), de joven estudio
filosofía, derecho y lenguas clásicas. Su principal interés estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje simbólico para representar los conceptos fundamentales del pensamiento humano. Como curiosidad Huygens le planteo Leibniz que hallara la suma de los inversos de los números triangulares. Mediante suma y deferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entonces creció su interés por estudiar matemáticas. El trabajo de Leibniz se conoce por los numerosos artículos que publico en un Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Uno de los principios fundamentales de cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos , de la integral y diferencial.
∫
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Funciones
Nociones Básicas de Cálculo
Introduccion El concepto de función nace como una herramienta para describir la
dependencia entre dos o más variables relacionadas (distancia y tiempo, cantidad y costo, dimensión y área o volumen, etcétera). Tal dependencia se traduce a un par de conjuntos y a una correspondencia entre sus elementos, construyéndola siempre desde el primer conjunto al segundo.
Historia Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
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F uncion de Una Variable Real Notacion y Simbolismo Se refiere a aquellas funciones en las que el dominio y el codominio pertenecen al conjunto de los números reales.
Función f con dominio en A y codominio en B.
Dominio Es el primer conjunto. Todos sus elementos (llamados argumentos) tienen su imagen en el codominio.
Argumento Se le llama así a cualquier elemento del dominio.
Imagen Así se le llama al elemento correspondiente a un argumento en particular.
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Rango Es el conjunto de imágenes. En ocasiones el rango y el codominio son el mismo conjunto.
Codominio Es el segundo conjunto. En él se encuentran las imágenes, aunque puede ser que no todos sus elementos lo sean.
Relacion y f uncion Los conceptos matemáticos de relación y función están estrechamente ligados. En ambos se asocian elementos de dos conjuntos, y desde luego, se puede aplicar el mismo lenguaje que hemos construido tanto para la funciones como para las relaciones. Existe, sin embargo una diferencia radical entre ellos: la relación permite que a cada elemento del primer conjunto se le asocie uno o más elementos del segundo; no hay límite para ello. En contrario, en una función, para cada argumento existe una única imagen asociada a él. Las funciones pueden ser llamadas relaciones, pero no todas las relaciones pueden ser funciones.
Clasificacion de funciones F unción constante
Representa una recta paralela al eje "x" sobre k. Dominio:
Rango:
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Ejemplo 1.1
4
Fig.1-1 Grafica de una function constante
F unción l ineal Esta función tiene la forma
y representa una recta en el plano
cartesiano, en donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Dominio:
Rango: Rf=R o bien x(-∞ ,∞)
Para graficar una función lineal se lleva a cabo lo siguiente: I. Se localiza la ordenada al origen, es decir, el punto (0,b). II.A partir de este punto, se localiza otro, tondo la pendiente como el incremento o decremento vertical sobre el incremento horizontal.
Ejemplo 1.2
2/3 4
Fig. 1-2 Grafica de una function lineal
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F unción identi dad Es la función lineal
, con y , es decir:
Rango: Rf=R o bien y (-∞ ,∞)
Dominio:
Ejemplo 1.3
Fig. 1-3 Grafica de una function identidad
F unción cuadráti ca
y representa una parábola cóncava hacia Dominio: Dominio: Df=R o bien x(-∞ ,∞) Rango: Rango: Para obtener las coordenadas del vértice se aplican las siguientes Es de la forma arriba o hacia abajo
formulas:
2 4 4
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Or ientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
F unción racional Se expresa como el cociente de dos funciones polinomiales.
/ Definición de así ntota
Si la distancia d entre una recta o curva y el punto móvil
de la función
tiende a cero, entonces la recta o curva recibe el nombre de asíntota. Existen 3 tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
se acerca entre un punto de a a la curva o recta y la distancia , y la curva o recta tiende a cero (es decir la grafica no toca a , entonces recibe el nombre de asíntota. Cuando la grafica de la función
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Ejemplo 1.4 Determinar el dominio, el rango y la grafica de la función
2 3/ 2
Solución: El denominador debe ser diferente de cero,
2 2
Por tanto, el dominio esta dado por:
│ 2 2∪2
y la asíntota vertical es
2
Al despejar se obtiene el rango y la asíntota horizontal:
23 2 Entonces 2 3/2 donde 2 2 Por tanto, el 2 y la asíntota horizontal es 2
Fig. 2-1 Se trazan las asíntotas y mediante una tabulación se obtienen los pares ordenados, los cuales forman la siguiente curva
Nociones Básicas de Cálculo
F unción raíz cuadr ada La función esta dada por:
con
Ejemplo 1.5
2
Obtén la grafica de la función
Solución Para determinar el dominio se resuelve la desigualdad: Donde
2
2 , entonces el dominio es el conjunto:
El rango se obtiene despejando x
2 2 2
Fig. 2-2 Grafica de una function logaritmica
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F unción valor absoluto La función es
, donde y
Ejemplo 1.1 Obtén la grafica de f(x)=|x+3| Solución Se parte de la definición de valor absoluto, en la que se obtienen las siguientes
3 , 3 las cuales son dos rectas donde el dominio son los números reales y el rango esta dado por desigualdades
La grafica que se obtiene es:
Fig. 2-3 Grafica de un valor absoluto
F unción valor absoluto Se llama función explicita a aquella en la que una variable se escribe en términos de la otra.
F uncion Creciente Una función definida en un intervalo es creciente es ese intervalo, si y solo si,
2
para todo se cumple que función es creciente si al aumentar
2 esto es, una tambien aumenta.
F uncion decreciente Una función definida en un intervalo es decreciente es ese intervalo, si y solo si,
2
2 disminuye.
Para todo se cumple que función es decreciente si al aumentar
esto es una
Nociones Básicas de Cálculo
Operaciones con f unciones Sean las funciones
y , entonces: Suma de funciones
Se denota
y se define por: Resta de funciones
Se denota
y se define por: Multiplicación de funciones
y se define por:
Se denota
División de funciones Se denota
/ y se define por: //
Definicion de una función compuesta Dadas las dos funciones y , la función compuesta denotada por . Y el dominio de es el conjunto de todos los números del dominio de tales que esta en el dominio de Ejemplo:
2 3 23 23
ESIME Azcapotzalco Ejerci cios Propuestos
Problema 1.1
2–4 61 , hallea) ; b) 3; c) 2 . y 2 2.
Si Demuestre que
Problema 1.2
1
; b) ; c) 2 . 1 1 Demuestre que y
Si f (x) = +1 , halla a)
1
Problema 1.3
, pruebe que
Si
Problema 1.4
1 , demuestre que
Si
Problema 1.5 Si
++ , pruebe que
Problema 1.6 Determine el dominio de cada una de las funciones siguientes: a) b) c) d)
2 4 4 4 + +1 1 1 +1
e) f) g) h)
Problema 1.7
5 4 2 , demostrar que: 2 , 5 , 2 3 , 7 5 Dado
Problema 1.8
42
Si
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Problema 1.9
4 2 , calcular , , , 2 , 2.
Si
Problema 1.10
2 , hallar , 1 ,
Si
Problema 1.11
5 4 2 , demostrar que: 2 2
Dado
Problema 1.12
2 6 , demostrar que: 2 6 2
Dado
Problema 1.13
3 , demostrar que: 3 3
Dado
Problema 1.14
1 , demostrar que:
Dado
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Limites
Nociones Básicas de Cálculo
Introduccion En el estudio y sus aplicaciones se analiza la forma en que varían ciertas
cantidades y si estas tienden a valores específicos, bajo determinadas condiciones. La definición de derivada, depende de la noción del límite de una función. Definición de límite:
Sea un numeo real contenido en un intervalo abierto y sea una una función definida en todo intervalo, excepto en el punto
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Nociones Basicas Notaci ón del lí mite:
Defini ción i nf ormal de lími te
Se en un intervalo abierto, y sea una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en , y un numero real, entonces
Significa que puede acercarse arbitrariamente a si se elige suficientemente cercano a per o
L ímite de una var iable
Se dice que la variable tiende a la constante como limite, cuando los valores sucesivos de son tales que el valor numérico de puede llegar a ser,
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finalmente, menor que cualquier numero positivo predeterminado tan pequeño como se quiera. La relación así definida se escribe . Por conveniencia, nos serviremos de la notación , que se leera “ ” tiende hacia el límite “ ”.
L ímite de una f unción En las aplicaciones de la definición de limite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable y una función dada de , y se supone que la variable recibe valores tales que la . Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente e investigar, particularmente, si tiende también a un límite. Si efectivamente existe una constante tal que , entonces se expresa esta relación escribiendo , Y se leerá: “el límite de , cuando tiende a , es ”.
Ejemplo 2.1 Usemos la definición precisa de límite para demostrar que
í 24 5 3 í4 ^2 5 3. Sea . Se debe producir un tal que siempre que 2 , entonces 4 5 3 .
En primer lugar, observe que l(4x - 5) - 3l = l4x - 8l = 4 lx - 2l.
/4 , entonces siempre que 2 4 5 3 4 2 4
Si se toma como
Teoremas sobr e límites Los teoremas sobre límites, simplifican y facilitan el proceso de obtención, de tal forma que el límite se obtiene evaluando el valor al que tiende x. Sean 1 , entonces: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
, con c:constante 1 1 1 1 En particular
Nociones Básicas de Cálculo
L imites cuando
los resultados de los límites para las formas: y son:
Si
Si se obtiene una expresión de la forma entonces el límite es 0.
Si se obtiene una expresión de la forma entonces el límite es infinito.
Si se obtiene una expresión de la forma entonces el límite es infinito.
Ejemplo 2.2 a) b) c)
1 1 11 1
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Ejercicios Pr opuestos 5 3
3 5
5 33 5
35 5 3
9
3
2 4
4 2
/
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25
5
4 8
4
2
5
4
2 2
1 2
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Bibliografia
Nociones Básicas de Cálculo
LEZAMA M. A., CUESTA V., SOTO M. A.; "Calculo Diferencial Con Enfoque en Competencias" MARSDEN J. E., TROMBA A. J.; "Calculo Vectorial" Quinta Edicion PEARSON EDUCACION S.A.; Madrid, 2004; 696 Paginas Pag 89 a 156 GALDOS L.; "Consultor Matematico, Introduccion al Calculo" CULTURAL S.A.; Madrid, 1998; 301 paginas Pag 1065 a 1092, 1143 a 1196 GRANVILLE; "Calculo diferencial e Integral" LIMUSA; Mexico 2010; 704 páginas Pag 17 a 88, 165 a 178 AYRES F., MENDELSON E.; "Calculo Serie Schaum" Mc Graw Hill; 518 páginas Pag 49 a 64, 72 a 88 ROLAND E. LARSON; "Calculo Con Geometria Analitica, Sexta Edicion" Mc Graw Hill, España, 1999; 930 paginas Pag 4 a 277 LAURENCE D. HOFFMAN; "Calculo Aplicado Para Administracion, Economia y Ciencias Sociales" Mc Graw Hill; Mexico, 2006; 1013 paginas Pag 2 a 13, 57 a 70, 96 a 121 DENNIS G. Zill; "Calculo con Geometria Analitica" Grupo Editorial Iberoamericana; 1997; 1014 paginas Pag 1 a 239 EARL W. SWOKOWSKY; "Calculus With Analytic Geometry" PWS Publishers, U.S.A. 1988; 245 paginas Pag 29 a 47, 51 a 81, 93 a 155 SPIVAK M.; "CALCULUS Second Edition" W. A. Benjamin, Inc.; New York; 1992, 920 paginas Pag 49 a 68, 107 a 140, 197 a 226 F. VEGA; "Ejercicios de Calculo" LIBRERIA AGORA S.A.; Malaga 1987; 393 páginas
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STEWART J.; "Calculus: Early Transcendentals" THOMSON; 2007; 728 paginas Pag 204 a 251, 585 a 590 MAXIMO MITACC; "Topicos de Calculo Vol. I" THALES S.R.L.; Peru 2009; 230 paginas Pag 46 a 172, 197 a 242, 261 a 324
