1. HUKUM AMPERE
1.1
Analisis Besar Gaya Tarik atau Tolak Arus Sejajar
Hukum ampere menghitung besarnya gaya antara dua arus listrik. Seperti halnya hukum coulomb menghitung besarnya gaya antara dua muatan listrik. Perhatikan gambar berikut :
l 2X
Pada gambar di atas menunjukkan dua buah kawat panjang, sejajar yang menyalurkan arus dalam arah yang sama. Kita perhatikan gaya pada segmen ∆l yang menyalurkan arus ! seperti yang ditunjukkan pada gambar. "edan magnet #1 pada segmen akibat arus ! 1 adalah tegak lurus terhadap segmen ! ∆l. !ni juga berlaku untuk semua elemen arus di sepanjang kawat tersebut. $aya magnet pada segmen ! ∆l diarahkan menuju arus ! 1. #egitu juga dengan segmen arus ! 1 ∆l1 akan mengalami mengalami gaya magnetik magnetik yang diarahkan diarahkan menuju menuju arus arus ! akibat medan magnetic yang muncul dari arus ! . %engan demikian, dua arus yang searah akan tarik tarik&m &men enari arik. k. 'ika 'ika satu satu arus arus diba dibalik lik,, gaya gayany nyaa akan akan berla berlawa wana nan. n. %eng %engan an demikian, dua arus yang sejajar se jajar dan berlawanan arah akan tolak&menolak. (arikan atau tolakan arus sejajar yang searah dan berlawanan ditemukan secara percobaan oleh )mpere satu pekan sebelum dia mendenganar penemuan *ersted tentang pengaruh arus pada jarum kompas. #esar gaya magnetik pada segmen ! ∆l ialah
F 2 =| I 2 Δℓ2 × B1| Karena medan magnetik pada segmen ! ∆l tegak lurus terhadap segmen arusnya, maka kita peroleh:
F 2 = I 2 Δℓ2 B1 'ika jarak + antara kedua kawat jauh lebih kecil dibandingkan dengan panjangnya, maka besarnya medan di ! ∆l akibat arus ! 1 akan mendekati medan akibat kawat panjang takterhingga yang menyalurkan arus yang dirumuskan dengan persamaan:
B=
μ 0 I 2 πR
=
μ0 2 I 4 π R
%engan demikian besarnya gaya pada segmen ! ∆l ialah:
F 2 = I 2 Δℓ 2
μ 0 I 1 2 πR
'adi gaya per panjang satuan adalah
F 2 Δl 2
=
μ 0 I 1 I 2 2 π
R
=2
μ0 I 1 I 2 4 π
R
'ika dua buah kawat sejajar yang sangat panjang yang terpisah sejarak satu meter menyalurkan arus yang sama, arus dalam setiap kawat dideinisikan sebagai satu ampere apabila gaya per panjang satuan pada setiap kawat adalah - 1 &/ 0m. Ini merupakan definisi dari hukum ampere.
1.2 Arah Hukum Amere
)ntara dua konduktor akan bekerja gaya interaksi. $aya ini bekerja dalam banyak situasi di mana kawat dialiri arus tertutup anatara kawat yang satu dengan kawat yang lainnya. !ni juga merupakan dasar penting dalam hubungannya dengan deinisi Hukum )mpere. $ambar 213 menunjukkan sebagian kecil dari dua buah kawat panjang lurus sejajar yang dipisahkan oleh jarak r dan membawa arus ! dan !4, dan menunjuk arah yang sama. Setiap konduktor terletak di medan magnet yang disusun terhadap yang lain, sehingga mengalami gaya. %iagram ini
B
.
r
menunjukkan beberapa garis medan yang diakibatkan oleh arus pada konduktor yang lebih lemah. Konduktor yang lebih lemah menghasilkan sebuah medan magnet , pada posisi di atas konduktor memiliki besar B ⃗
%engan menerapkan kaidah tangan kanan, dapat ditunjukkan bahwa gaya yang bekerja pada konduktor yang berada di atas 2seperti pada gambar3 memiliki arah ke bawah.
. Potensial !ektor .1
Pem"uktian
∇⋅B = 0
#$i%er&en B ' ()
#erdasarkan persamaan #iot Sa5art dapat dinyatakan bahwa medan listrik disekitar kawat besarnya adalah
⃗ B=
μ0
∮
I u^ t ×u^ r r2
4 π L
∇⋅⃗B =
dl
I u^ t dl ×^ur
μ0
∮ ∇⋅ 4 π
r2
L
∇⋅⃗B= ∇⋅⃗B=
Id l ×u^ r ∮ ∇⋅ r 2 4 π L μ0
d l ×^ur ∮ ∇⋅ r 2 4 π L
μ0 I
Sementara itu berdasarkan identitas 5ektor dapat dinyatakan bahwa
[
∇⋅ d ⃗l ×
^r u r2
]( ) =
u^ r
r2
[ ( )]
⋅( ∇× d ⃗l )− d ⃗l ⋅ ∇ ×
^r u
r2
"engingat
dl
tidak mengandung 26,y,73, maka
∇×
u^ r r2
∇× d l =0
, disamping itu
=0
Sehingga,
∇⋅B = 0
2terbukti 3
2.2 Perumusan Potensial !ektor #A) Untuk Men&hitun& Besarnya A
8ntuk medan magnet
∇× B = μ 0 J
, tetapi
∇⋅B= 0
. Karena di5ergensi
dari suatu curl adalah nol, maka dengan alas an tersebut dapat diasumsikan bahwa medan magnet dapat dituliskan:
B =∇× A disebut sebaga potensial 5ector magnetic 2weberm3. sekarang akan A
ditentukan
sebagai berikut: A
#erdasarkan hokum #iot&Sa5art, maka medan
adalah: B
⃗= B
μ0
∫ 4 π
I μ^ t μ r r2
dl =
μ0 I
∫ 4 π
d l ×^μ r r2
"elalui identitas 5ector dapat dinyatakan:
d l ×^μr r2 Karena
∇× d l =0 d l ×^μr r2
Sehingga
d ⃗l ∇×d ⃗l ∇× d ⃗l =∇ × − =∇× r r r r
() (
=−d ⃗l ×∇
1
maka persamaan menjadi:
d ⃗l r
( )
=∇ ×
,
dapat dinyatakan dengan, B
)(
) ( )
....213
B⃗ =
d ⃗l ∇× 4 π r
( )
μ 0 I
∫
(
⃗ =∇ × B
μ0 I d ⃗l ∫r 4 π
)
99999999999999999.....
23 %ari persamaan 213 dan 23 dapat dituliskan bahwa
⃗= A
μ0 I d ⃗l ∮ 4 π c r
99999999999999999999..
2;3 Persamaan 2;3 adalah
untuk arus ilament 2kawat berarus3. #ila distribusi A
arusnya 5olume dan permukaan maka potensial 5ector yang dihasilkan masing& masing adalah:
⃗= A
⃗
μ0
J dv ∫ 4 π r V
A⃗ =
μ0
kd { ⃗a ¿ ∫ 4 π r S
Sementara itu potensial 5ektor yang dihasilkan oleh titik muatan yang bergerak adalah:
⃗= A
*
+nte&ral Garis
μ0 q ⃗ v 4 πr
(∮ B⋅dλ)
*.1 Pem"uktian
∮ B⋅dλ =−
μ0 I 4 π
∮Ω
$aris gaya dari # yang ditimbulkan oleh arus adalah melingkar. $aris lingkaran ini disebut
λ
.
Seperti yang ditunjukkan gambar berikut: # d !
!ntegral garis # pada
λ
dapat dirumuskan
∮ B⋅dλ λ
)pabila ditinjau sebuah ttik P yang berada diluar gambar 2diluar lingkaran3 maka masing&masing titik dari konduktor dihubungkan dengan titik P sehingga garis penghubung ini membentuk sudut ruang maka sudut ruang
Ω
Ω
. 'ika P digeser searah # sejauh d
akan berubah menjadi
dΩ
. Perubahan sudut ruang
λ
dΩ
akan terjadi juga kalau p diam tapi sirkuit bergeser berlawanan arah dengan # sejauh
dλ
pula.
# P #
%
) # !
Segiempat )#<%, dimana %< = dS dan )% = >uas )#<% =
− λλ
− λλ
6 ds
#esar sudut ruang yang ditutupi luas )#<% adalah
(−dλ ×ds ⃗)⋅r r2 %engan demikian dapat dihitung
d Ω=∫
(−dλ× ds⃗)⋅r
S
d Ω=− dλ⋅∮ %ari
B=
μ 0 I
ds ×r ∮ 4 π r 2
S
"aka,
d Ω=−dλ )tau
4 π
dΩ
B μ 0 I
r2 ⃗r ds × r2
<
B⋅dλ =−
μ0 I 4 π
dΩ
(anda negati berarti pengambilan
adalah positi pada bagian dari ! itu dan #
Ω
menjauhi rangkaian. Pada sisi yang lain
Ω
dibayangkan negati. %engan demikian
integral garis #,
μ 0 I
∫ B⋅dλ =− 4 π ∮ d Ω λ
;.
Pem"uktian
Bila Ka,at + -an
∮ B . dλ=0
λ
Ti-ak Salin&
Ber&elut
Kalau
tidak menggelut rangkaian arus:
λ
! #
?
P
S Kalau P bergarak sepanjang
λ
maka besarnya
kemudian mengecil. 'umlah perubahan Sehingga,
∮ d Ω=0 #erarti integral garis # menjadi
μ0 I ⋅ =− B dλ ∮ ∮d Ω 4 π
Ω
Ω
mula&mula bertambah
adalah nol untuk seluruh
λ
.
μ0 I
∮ B⋅dλ =− 4 π . 0
∮ B⋅dλ=0 ;.;
Pem"uktian
∮ B⋅dλ = μ I 0
untuk Ka,at + -an
λ
Salin&
Ber&elut
!
) P @
# 'ika P bergerak sampai di @ maka besar perubahan sudut A adalah B. Kalau P bergerak dari * ke P maka perubahan sudut A adalah &B, sehingga perubahan besar A seluruhnya &B C 2B3 = &DB. Harga integral garis # dinyatakan dengan : μ I
∮ B⋅¿ dl=− 4oπ ∮ dl ¿
=−
μ o I 4 π
(−4 π )
∮ B⋅¿ dl= μ O I ¿
%i mana ! adalah jumlah arus yang menggelut ? atau jumlah yang digelut ?. Karena ! =
∬ τ ⋅ds
%engan s merupakan luas permukaan 'adi integrasi garis # dapat dinyatakan dengan:
∮ B⋅dl =μ o I . /luks Ma&netik
Φ
.1 Hu"un&an
-en&an B
Φ
"edan magnetmerupakan suatu medan 5ector dan dapat dinyatakan dengan garis medan. "isalnya
adalah 5ector elemen luas suatu permukaan S, dA
B
adalah 5ector induksi magnet pada elemen luas tersebut, maka jumlah garis medan 2garis gaya3 atau luks magnetic 23 yang keluar dari permukaan S adalah 9999999999..213
⃗ d ⃗a Φ=∫ B S
!ntegral pada persamaan 213 merupakan integral permukaan. Persamaan 213 dapat dinyatakan dalam bentuk:
⃗⋅^ da Φ =∫ B S
)tau,
Φ =∫ Bda cos ! =∫ B . da S
%imana
S
adalah sudut antara
dan B
, #n = # cos
merupakan
^
komponen # pada arah normal. Sehubungan dengan uraian di atas maka induksi magnet # dapat diartikan sebagai banyaknya garis gaya tiap satuan luas, atau disebut rapat luks 2rapat garis gaya3.
.2 Besarnya
#esarnya
Φ
Φ
yan& masuk "i-an& "ola
yang masuk bidang bola yaitu :
∮
Φ = B⃗ d ⃗a = 0 0ilai nol pada luks magnet disebabkan oleh jumlah garis gaya yang masuk sama dengan jumlah garis gaya yang keluar, sehingga jumlahnya sama dengan nol.
0. Potensial Skalar Ma&netik # V m) 0.1 Hu"un&an B -en&an V m
Pada daerah dimana
J ≠ 0
maka
, hal ini dapat dibuktikan
∇× B ≠0
melalui penurunan persamaan berikut.
∇× B = μ 0⋅J
..................................................213
Sedangkan pada daerah
J =0
maka
. Seperti yang tampak pada
∇× B = 0
daerah diluar kawat berarus, B dapat ditentukan dengan potensial skalar magnetik 2V m3. Seperti halnya pada hubungan kuat medan listrik dengan potensial yang dirumuskan seperti persamaan berikut.
" =−∇ V #
........................................................23
"aka untuk medan magnet B dapat ditentukan potensial skalar magnetik 2V m3 dengan hubungan sesuai dengan hubungan E dan V , sebagai berikut.
B =−∇ V # 0.2 Besarnya
.......................................................2;3
V m
%engan dasar integral garis dari B yang perumusannya sebagai berikut. ....................................2Da3
μ 0 I
∫ B⋅dλ =− 4 π ∮ d Ω λ
atau μ0 I B⋅dλ =− dΩ 4 π dan
dλ
dapat diubah ke dalam bentuk
.........................................2Db3
d$
,
d%
, dan
dz ,
serta meburut kalkulus
dapat ditulis sebagai berikut.
d Ω= ∂Ω d$ + ∂ Ω d% + ∂Ω d& ∂ $ ∂ % ∂ & dan batas V m dapat ditentukan dengan sudut ruang sebagai berikut.
d Ω= ∂Ω d$ + ∂ Ω d% + ∂Ω d& ∂ $ ∂ % ∂ &
........................2E3
Ω
, dan pemecahannya adalah
(
)
= ' ∂Ω + ( ∂ Ω + k ∂ Ω ⋅( 'd$ + (d% +kd& ) ∂ $ ∂ % ∂ & d Ω=∇ Ω⋅dλ
9999999999.2F3
#erdasarkan persamaan 2Db3, maka diperoleh persamaan sebagai berikut. μ0 I B⋅dλ =− dΩ 4 π
μ0 I B⋅dλ =− ( ∇ Ω⋅dλ ) 4 π
B =−
μ 0 I 4 π
......................................2/3
∇Ω
Selanjutnya substitusikan persamaan 2;3 ke persamaan 2/3, maka akan diperoleh sebagai berikut.
−∇ V #=−
μ0 I 4 π
..............................2Ga3
∇Ω
atau
V # =
. Pem"uktian
μ0 I 4 π
.........................................2Gb3
Ω
∇× B = μ 0⋅J
#erdasarkan Hukum Stock hubungan integral garis dan integral luas sebuah 5ektor adalah sebagai berikut.
∮ B⋅dλ =∬ ( ∇ ×B )⋅ds
................................................23
S
dengan
λ
adalah garis batas luas integrala garis dari B, dimana
∮ B⋅dλ = μ ∬ J ⋅ds
...................................................213
0
S
'adi dengan mensubstitusikan persamaan 213 ke persamaan 23, maka
∬ ( ∇ × B )⋅ds = μ ∬ J ⋅ds 0
S
S
( ∇× B )⋅ds= μ J ⋅ds 0
( ∇× B ) =μ 0 J
..............................................................2113
