Aplicaciones a Movimiento Rectilineo

SUBTEMA 2.3.1. APLICACIONES A MOVIMIENTO RECTILINEO RECTILINEO I.I. APLICACIONES DE LA SEGUNDA Y TERCERA LEY DE NEWTON. 1.- Un bloque cuya masa es de 4 kg es jalado mediante una fuerza horizontal (Fx) como se ve en la figura figura siguiente: siguiente: Calcular Calcular a) la fuerza fuerza de reacción (R) que ejerce ejerce el piso sobre el bloque. b) la fuerza horizontal (Fx) que se requiere para dar al bloque una velocidad horizontal de 6 m/seg en 2 segundos a partir del punto de reposo. Considere despreciable la fricción entre el piso y el bloque.

R=¿

Fx = ¿

P

Datos m = 4 kg a) R = ¿ b) Fx = ¿ Vx = 6 m/seg t = 2 seg g = 9.8 m/seg2.

Fórmulas a ) P = mg b) Fy = may

Sustitución y resultados: a) Para calcul calcular ar la reacción reacción que el el piso ejerce ejerce sobre sobre el bloque, bloque, con la Segunda Segunda Ley Ley de Newton Newton determinamos la suma de fuerzas en el eje vertical: Σ Fy = R + (-P) = ma y. El signo (-) del peso es porque su sentido es hacia abajo, como el bloque únicamente se desplaza en forma horizontal no hay movimiento vertical; por lo tanto la aceleración vertical (a y.) es cero. donde Σ Fy = ma y.= 0 por lo tanto R-P = 0. Lo anterior indica que la reacción ( R) es igual al peso del cuerpo (P): R = P = mg = 4 kg x 9.8 m/seg 2. = 39. 2 Newtons. b) Para calcular calcular la fuerza fuerza horizontal horizontal (Fx) requerida requerida para mover mover el bloque con una velocidad velocidad horizontal (Vx) de 6 m/seg en 2 segundos, tenemos que la única fuerza que actúa sobre el eje horizontal es la fuerza que calcularemos, de donde según la segunda Ley de Newton:

Fx = max. para calcular la aceleración horizontal (ax): ax = Vx-Vo/t = 6 m/seg-0/2 seg = 3 m/seg 2. donde Fx = 4 kg x 3 m/seg 2. = 12 Newtons. 2.- En una polea se suspende un cuerpo cuyo peso es de 500 Newtons, como se ve en la figura. Calcular a) La tensión del cable que lo sujeta cuando desciende con una aceleración de 2 m/seg2. b) La tensión en el cable que lo sujeta cuando asciende con la misma aceleración.

T

P = 500 N

Sustitución y resultados: Si el cuerpo estuviera en reposo sostenido por el cable, la tensión en éste sería igual al peso del cuerpo: T = P, pero como tiene un movimiento descendente, el peso debe tener un valor mayor a la tensión. De donde sustituyendo en la fórmula de suma de fuerzas en el eje vertical (ΣFy), se tiene que ésta es igual al producto de la masa del cuerpo (m) por su aceleración (ay). Fy = P + T = ma y. como m = P/g entonces: Σ Fy = P + T = P/g ay. Σ Fy = - 500 N + T = - 500 N/-9.8 m/seg 2. (-2 m/seg2.) Σ Fy = -500 N + T = -102.04 N. Despejando a la tensión tenemos: T = 500 N-102.04 N = 397.96 Newtons. Al ascender el cuerpo con una aceleración vertical (ay), la tensión en el cable debe ser mayor al peso del cuerpo. Sustituyendo valores en la ecuación: Σ Fy = P + T = P/g ay. Observamos ahora que los valores son los mismos que sustituimos para responder el inciso (a) del problema; pero ahora el signo de la aceleración del cuerpo será positivo, pues actúa hacia arriba toda vez que el cuerpo sube. El signo del peso y de la aceleración de la gravedad sigue siendo negativo por que actúan hacia abajo. Σ Fy = - 500 N + T = -500 N/-9.8 m/seg 2. x 2 m/seg2. = - 500 N + T = 102.04 N. Despejando T tenemos: T = 500 N + 102.04 N = 602.04 Newtons.

b)


T

P = 500 N

Sustitución y resultados: Si el cuerpo estuviera en reposo sostenido por el cable, la tensión en éste sería igual al peso del cuerpo: T = P, pero como tiene un movimiento descendente, el peso debe tener un valor mayor a la tensión. De donde sustituyendo en la fórmula de suma de fuerzas en el eje vertical (ΣFy), se tiene que ésta es igual al producto de la masa del cuerpo (m) por su aceleración (ay). Fy = P + T = ma y. como m = P/g entonces: Σ Fy = P + T = P/g ay. Σ Fy = - 500 N + T = - 500 N/-9.8 m/seg 2. (-2 m/seg2.) Σ Fy = -500 N + T = -102.04 N. Despejando a la tensión tenemos: T = 500 N-102.04 N = 397.96 Newtons. Al ascender el cuerpo con una aceleración vertical (ay), la tensión en el cable debe ser mayor al peso del cuerpo. Sustituyendo valores en la ecuación: Σ Fy = P + T = P/g ay. Observamos ahora que los valores son los mismos que sustituimos para responder el inciso (a) del problema; pero ahora el signo de la aceleración del cuerpo será positivo, pues actúa hacia arriba toda vez que el cuerpo sube. El signo del peso y de la aceleración de la gravedad sigue siendo negativo por que actúan hacia abajo. Σ Fy = - 500 N + T = -500 N/-9.8 m/seg 2. x 2 m/seg2. = - 500 N + T = 102.04 N. Despejando T tenemos: T = 500 N + 102.04 N = 602.04 Newtons.

b)

3.- Con una polea se eleva un cuerpo cuyo peso es de 980 Newtons, aplicando una fuerza de 1400 Newtons, como se ve en la figura. Determine la aceleración del cuerpo.

T= 1400 N

ay = ¿

P = 980 N

Datos P = 980 N T = 1400 N ay= ¿

Fórmula. ΣFy = P + T = may como m = P/g ΣFy = P + T = P/g ay

Sustitución y resultado : -980 N + 1400 N = -980 N/-9.8 m/seg 2. ay = 420 N = 100 kg ay despejando ay del cuerpo ay = 420 kg m/seg 2./100 kg = 4.2 m/seg2. 4.- Una persona pesa 588 Newtons y asciende por un elevador con una aceleración de 0.8 m/seg2. Calcular : a) El peso aparente de la persona, es decir, la fuerza de reacción (R) que ejercerá el piso del elevador al subir. b) El peso aparente de la persona al bajar. Datos Fórmula P = 588 N ΣFy = P + T = P/g ay 2 ay = 0.8 m/seg . R=T=¿ g = - 9.8 m/seg2. Solución: Si el elevador estuviera en reposo la fuerza de reacción del piso del elevador sería igual al peso de la persona, pero como sube, el peso aparente de la persona aumenta, toda vez que la fuerza de reacción del piso del elevador debe ser mayor al peso de la persona para lograr que suba. Por lo tanto: ΣFy = - 588 N + R = - 588 N/-9.8 m/seg2. x 0.8 m/seg2. = -588 N + R = 48 N Despejando R = 588 N + 48 N = 636 Newtons. b) Al bajar, la persona se siente más ligera, es decir, como si de repente pesara menos; esto se debe a que al descender con cierta aceleración, la fuerza de reacción del piso del elevad ele vador or es menor menor a su peso. peso. (Si en un moment momentoo dado un elevador elevador bajara bajara con una

aceleración de 9.8 m/seg2., la persona que estuviera dentro de él sentiría que ha desaparecido su peso, pues en realidad estaría sufriendo una caída libre al no existir ninguna fuerza de reacción con el piso del elevador. Para calcular el peso aparente de la persona al descender, sustituimos los mismos valores en la ecuación, pero ahora el signo de la aceleración (ay) es negativo, pues actúa hacia abajo. ΣFy = - 588 N + R = -588 N/-9.8 m/seg 2. x -0.8 m/seg2. ΣFy = - 588 N + R = - 48 N. despejando la reacción tenemos: R = 588 N – 48 N = 540 Newton. 5.- Si un elevador vacío pesa 2500 N y suben a él cuatro personas que pesan en total 2352 N. Determinar la tensión del cable del elevador, si éste sube con una aceleración constante de 1.3 m/seg2. Datos P = 4852 N T=R=? ay = 1.3 m/seg2. g = -9.8 m/seg2.

Fórmula ΣFy = P + T = P/g ay

Sustitución y resultado. ΣFy = - 4852 N + T = -4852 N/-9.8 m/seg 2. x 1.3 m/seg2. ΣFy = - 4852 N + T = 643.63 N. Despejando T tenemos: T = 4852 N + 643.63 N = 5495.63 N. 6.- Un montacargas eleva un cuerpo cuyo peso es de 2310 N con una fuerza 2935 N. Determine la aceleración con que sube el cuerpo. Datos P = 2310 N T = R = 2935 N a=?

Fórmula.

ΣFy = P + T = P/g ay Sustitución y resultado : ΣFy = -2310 N + 2935 N = -2310 N /-9.8 m/seg2. x a y. 2 g = -9.8 m/seg . ΣFy = 625 N = 235.71 N (ay) despejando ay tenemos: ay = 625 N/235.71 N. m/seg2. = 2.65 m/seg2.

SUBTEMA 2.3.1. APLICACIONES A MOVIMIENTO RECTILINEO RECTILINEO I.I. APLICACIONES DE LA SEGUNDA Y TERCERA LEY DE NEWTON. 1.- Un bloque cuya masa es de 4 kg es jalado mediante una fuerza horizontal (Fx) como se ve en la figura figura siguiente: siguiente: Calcular Calcular a) la fuerza fuerza de reacción (R) que ejerce ejerce el piso sobre el bloque. b) la fuerza horizontal (Fx) que se requiere para dar al bloque una velocidad horizontal de 6 m/seg en 2 segundos a partir del punto de reposo. Considere despreciable la fricción entre el piso y el bloque.

R=¿

Fx = ¿

P



Sustitución y resultados: c) Para calcul calcular ar la reacción reacción que el el piso ejerce ejerce sobre sobre el bloque, bloque, con la Segunda Segunda Ley Ley de Newton Newton determinamos la suma de fuerzas en el eje vertical: Σ Fy = R + (-P) = ma y. El signo (-) del peso es porque su sentido es hacia abajo, como el bloque únicamente se desplaza en forma horizontal no hay movimiento vertical; por lo tanto la aceleración vertical (a y.) es cero. donde Σ Fy = ma y.= 0 por lo tanto R-P = 0. Lo anterior indica que la reacción ( R) es igual al peso del cuerpo (P): R = P = mg = 4 kg x 9.8 m/seg 2. = 39. 2 Newtons. b) Para calcular calcular la fuerza fuerza horizontal horizontal (Fx) requerida requerida para mover mover el bloque con una velocidad velocidad horizontal (Vx) de 6 m/seg en 2 segundos, tenemos que la única fuerza que actúa sobre el eje horizontal es la fuerza que calcularemos, de donde según la segunda Ley de Newton:


T

P = 500 N

Sustitución y resultados: Si el cuerpo estuviera en reposo sostenido por el cable, la tensión en éste sería igual al peso del cuerpo: T = P, pero como tiene un movimiento descendente, el peso debe tener un valor mayor a la tensión. De donde sustituyendo en la fórmula de suma de fuerzas en el eje vertical (ΣFy), se tiene que ésta es igual al producto de la masa del cuerpo (m) por su aceleración (ay). Fy = P + T = ma y. como m = P/g entonces: Σ Fy = P + T = P/g ay. Σ Fy = - 500 N + T = - 500 N/-9.8 m/seg 2. (-2 m/seg2.) Σ Fy = -500 N + T = -102.04 N. Despejando a la tensión tenemos: T = 500 N-102.04 N = 397.96 Newtons. Al ascender el cuerpo con una aceleración vertical (ay), la tensión en el cable debe ser mayor al peso del cuerpo. Sustituyendo valores en la ecuación: Σ Fy = P + T = P/g ay. Observamos ahora que los valores son los mismos que sustituimos para responder el inciso (a) del problema; pero ahora el signo de la aceleración del cuerpo será positivo, pues actúa hacia arriba toda vez que el cuerpo sube. El signo del peso y de la aceleración de la gravedad sigue siendo negativo por que actúan hacia abajo. Σ Fy = - 500 N + T = -500 N/-9.8 m/seg 2. x 2 m/seg2. = - 500 N + T = 102.04 N. Despejando T tenemos: T = 500 N + 102.04 N = 602.04 Newtons. d)

3.- Con una polea se eleva un cuerpo cuyo peso es de 980 Newtons, aplicando una fuerza de 1400 Newtons, como se ve en la figura. Determine la aceleración del cuerpo.

T= 1400 N

ay = ¿

P = 980 N

Datos P = 980 N T = 1400 N ay= ¿


Sustitución y resultado : -980 N + 1400 N = -980 N/-9.8 m/seg 2. ay = 420 N = 100 kg ay despejando ay del cuerpo ay = 420 kg m/seg 2./100 kg = 4.2 m/seg2. 4.- Una persona pesa 588 Newtons y asciende por un elevador con una aceleración de 0.8 m/seg2. Calcular : a) El peso aparente de la persona, es decir, la fuerza de reacción (R) que ejercerá el piso del elevador al subir. b) El peso aparente de la persona al bajar. Datos Fórmula P = 588 N ΣFy = P + T = P/g ay 2 ay = 0.8 m/seg . R=T=¿ g = - 9.8 m/seg2. Solución: Si el elevador estuviera en reposo la fuerza de reacción del piso del elevador sería igual al peso de la persona, pero como sube, el peso aparente de la persona aumenta, toda vez que la fuerza de reacción del piso del elevador debe ser mayor al peso de la persona para lograr que suba. Por lo tanto: ΣFy = - 588 N + R = - 588 N/-9.8 m/seg2. x 0.8 m/seg2. = -588 N + R = 48 N Despejando R = 588 N + 48 N = 636 Newtons. c) Al bajar, la persona se siente más ligera, es decir, como si de repente pesara menos; esto se debe a que al descender con cierta aceleración, la fuerza de reacción del piso del elevador es menor a su peso. (Si en un momento dado un elevador bajara con una

aceleración de 9.8 m/seg2., la persona que estuviera dentro de él sentiría que ha desaparecido su peso, pues en realidad estaría sufriendo una caída libre al no existir ninguna fuerza de reacción con el piso del elevador. Para calcular el peso aparente de la persona al descender, sustituimos los mismos valores en la ecuación, pero ahora el signo de la aceleración (ay) es negativo, pues actúa hacia abajo. ΣFy = - 588 N + R = -588 N/-9.8 m/seg 2. x -0.8 m/seg2. ΣFy = - 588 N + R = - 48 N. despejando la reacción tenemos: R = 588 N – 48 N = 540 Newton. 5.- Si un elevador vacío pesa 2500 N y suben a él cuatro personas que pesan en total 2352 N. Determinar la tensión del cable del elevador, si éste sube con una aceleración constante de 1.3 m/seg2. Datos P = 4852 N T=R=? ay = 1.3 m/seg2. g = -9.8 m/seg2.


Sustitución y resultado. ΣFy = - 4852 N + T = -4852 N/-9.8 m/seg 2. x 1.3 m/seg2. ΣFy = - 4852 N + T = 643.63 N. Despejando T tenemos: T = 4852 N + 643.63 N = 5495.63 N. 6.- Un montacargas eleva un cuerpo cuyo peso es de 2310 N con una fuerza 2935 N. Determine la aceleración con que sube el cuerpo. Datos P = 2310 N T = R = 2935 N a=?

Fórmula.

ΣFy = P + T = P/g ay Sustitución y resultado : ΣFy = -2310 N + 2935 N = -2310 N /-9.8 m/seg2. x a y. 2 g = -9.8 m/seg . ΣFy = 625 N = 235.71 N (ay) despejando ay tenemos: ay = 625 N/235.71 N. m/seg2. = 2.65 m/seg2.

SUBTEMA 3.2.2. APLICACIONES DE LA ENERGIA CINETICA. PROBLEMAS DE ENERGIA CINETICA. 1.- Calcular en joules la energía cinética traslacional que lleva una bala de 8 gramos si su velocidad es de 400 m/seg. Datos

Fórmula

Ec=

Ec = ½ mv2. Ec= 0.5 x 0.008 kg (400 m/seg)2.

m = 8 gr = 0.008 kg v = 400 m/seg

Sustitución

Ec = 640 Joules

2.- Calcular la masa de un cuerpo cuya velocidad es de 10 m/seg y su energía cinética traslacional es de 1000 Joules. Datos

Fórmula

m= v = 10 m/seg Ec = 1000 J = 1000 N.m

m = 2Ec v2.

Sustitución m= 2 (1000 N.m) = (10 m/seg)2 m = 20 kg

3.- Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 3 kg si su energía cinética traslacional es de 200 Joules. Datos

Fórmula

v= m = 3 kg Ec = 200 J = 200 N.m

v = √2Ec m

Sustitución v= √2 (200 N.m) 3 kg v = 11.55 m/seg

4.- Calcule la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante en que su velocidad es de 24 m/seg. Datos

Fórmula

Ec = ¿

Ec = ½ mv2.

Sustitución Ec = 0.5 x 4 kg x (24 m/seg) . Ec = 1152 Joules. 2

m = 4 kg v = 24 m/seg

5.- Calcule la energía cinética de un automóvil de 3200 lb de peso que viaja a 88 pies/seg. Utilice para los cálculos el valor de la gravedad del sistema inglés (32 pies/seg2.)

Datos

Fórmula

P= 3200 lb

m = P/g

v = 88 ft/seg

Ec = ½ mv2.

g = 32 ft/seg2.

Sustitución m = 3200 lb/32 ft/seg2. m = 100 slugs Ec = 0.5 x 100 slugs x (88 ft/seg)2. Ec = 3.87 E 5 lb.ft.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERIA INDUSTRIAL PRIMER SEMESTRE

FISICA 1

UNIDAD II CINETICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.

Q. B. B. MARCOS MARTIN KU KUMUL 2. PRESENTACION. En términos generales el presente paquete didáctico contiene los enunciados de las leyes de Newton: la Primera o ley de la inercia, la Segunda o Ley de de la proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones, La tercera o ley de la acción y la reacción y la ley de la gravitación Universal, así como la resolución de sus problemas. De igual forma también se presenta el concepto del centro de masa así como el cálculo de la misma Asimismo en la última parte de esta unidad se presentan la aplicación de de la primera y tercera ley de Newton en la resolución de problemas con movimiento rectilíneo. Por último también se presentan problemas de movimiento curvilíneo y el enunciado de la Segunda Ley de Newton al movimiento rotacional, al igual que la potencia rotacional.

3.- INDICE DE CONTENIDO. Contenido

Número de página

Portada

0

Presentación

1

Indice de contenido

2

Objetivos generales de la Unidad temática

4

Instrucciones generales para el uso del paquete didáctico

4

Temas integrantes de la Unidad temática

5

Instrucciones específicas para el autoaprendizaje

5

Objetivos por tema

5

Desarrollo del tema 2.1. Leyes de Newton

6

Ejercicios de aplicación de las Leyes de Newton

9

Evaluación del tema 2.1 Leyes de Newton

15

Bibliografía específica del tema 2.1.

16

Desarrollo del tema 2.2. Resolución de ecuaciones

16

Ejercicios de problemas de fricción Evaluación del tema 2.2

19 24

Bibliografía específica del tema 2.2 Desarrollo del tema 2.3 Aplicación a movimiento rectilíneo

25 25

Evaluación del tema 2.3

29

Bibliografía específica del tema 2.3

29

Desarrollo del tema 2.4. Aplicaciones a movimiento curvilíneo

31

Ejercicios de movimiento curvilíneo

32


34


35

Desarrollo del tema 2.5 Momento de una fuerza

35

Ejercicios de centro de masa y momento de inercia

37


42


43

Evaluación de la Unidad Temática II. Cinética de la partícula y del cuerpo rígido

43

4.- OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD TEMATICA 1.- El alumno conocerá los enunciados de las Leyes de Newton 2.- El alumno resolverá problemas de fricción y el cálculo de fuerzas máximas de fricción y coeficientes de fricción estático y dinámico. 3.- El alumno resolverá ecuaciones de aplicación de la segunda y tercera ley de Newton en la aplicación de movimiento rectilíneo. 4.- El alumno resolverá problemas de la Segunda Ley de Newton aplicado al movimiento rotacional, potencia mecánica y momento de torsión rotacional. 5.- El alumno resolverá problemas para calcular el centro de masa y el momento de una fuerza aplicado a un cuerpo en movimiento rotacional. 5.- INTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL PAQUETE DIDACTICO 1.- Conocer e interpretar los enunciados de las Leyes de Newton y su aplicación de sus ecuaciones en la resolución de problemas. 2.- Conocer e interpretar los conceptos de fricción, fuerza máxima de fricción, coeficientes de fricción estática y dinámica y calcular dichos parámetros en la resolución de problemas. 3.- El alumno aplicará las ecuaciones de la segunda y tercera ley de Newton en la resolución de problemas de movimiento rectilíneo. 4.- El alumno conocerá e interpretará la segunda Ley de Newton aplicado al movimiento rotacional y empleará su ecuación para la resolución de problemas. 5.- El alumno resolverá problemas de movimiento curvilíneo, calculando fuerzas, potencia rotacional y momento de torsión rotacional. 6.- El alumno resolverá ejercicios de centro de masa y momento de inercia aplicando las ecuaciones correspondientes.

6.- TEMAS INTEGRANTES DE LA UNIDAD TEMATICA. a.- UNIDAD II Cinética de la partícula y del cuerpo rígido. Tema 2.1. Leyes de Newton Subtema 2.1.1. Enunciados y esquemas de visualización Subtema 2.1.2. Diagramas de cuerpo libre. Tema 2.2. Resolución de ecuaciones Subtema 2.2.1. Fuerzas constantes Subtema 2.2.2. Fuerzas de resistencia y fuerzas de fricción. Tema 2.3. Aplicaciones a movimiento rectilíneo. Subtema 2.3.1. Interpretación de la segunda y tercera ley de Newton. Subtema 2.3.2.- Aplicación de la segunda y tercera ley de Newton resolución de problemas de movimiento rectilíneo. Tema 2.4. Aplicaciones a movimiento curvilíneo. Subtema 2.4.1. Enunciado y ecuación de la Segunda Ley de Newton aplicado al movimiento curvilíneo. Subtema 2.4.2. Aplicación de la ecuación de la Segunda Ley de Newton del movimiento rotacional en la resolución de problemas. Tema 2.5. Momento de una fuerza. Subtema 2.5.1. Centro de masa y momento de inercia de un cuerpo rígido. Subtema 2.5.2. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido.

en la

b. INSTRUCCIONES ESPECIFICAS PARA EL AUTOAPRENDIZAJE. 1.- Conocer los enunciados de las Leyes de Newton. 2.- Construir diagramas de cuerpo libre 3.- Definir Fuerza máxima estática, fuerza de fricción, coeficiente de fricción dinámico y estático y su aplicación en la resolución de problemas. 4.- Aplicar la segunda y la tercera Ley de newton en la resolución de problemas. 5.- Conocer el enunciado de la Segunda Ley de Newton aplicado a movimiento curvilíneo y su aplicación en la resolución de problemas. 6.- Conocer las definiciones de centro de masa, momento de inercia de un cuerpo rígido. 7.- Conocer los conceptos de trabajo y potencia rotacionales y su aplicación en la resolución de problemas. c. Objetivos por tema. 1.- Que el alumno conozca los enunciados de las tres Leyes de Newton y el enunciado de la Ley de Gravitación Universal. 2.- Que el alumno calcule problemas hallando fuerzas máximas estáticas, fuerzas máximas dinámicas, coeficientes de fricción estático y dinámico.

3.- Que el alumno aplique la segunda y tercera ley de newton en la solución de problemas de movimiento rectilíneo, hallando la aceleración con que un cuerpo sube o baja y también tensiones de cuerdas que sujetan a un cuerpo. 4.- Que el alumno aplique la ecuación correspondiente a la Segunda Ley de Newton aplicado al movimiento rotacional en la resolución de problemas, hallando fuerzas aplicados a un cuerpo, aceleración angular y velocidad angular. 5.- Que el alumno resuelva problemas hallando momentos de inercia, trabajo rotacional y potencia mecánica rotacional. d. Desarrollo del tema 2.1. LEYES DE NEWTON. SUBTEMA 2.1.1. ENUNCIADOS Y ESQUEMAS DE VISUALIZACION. SUBTEMA 2.1.2. DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE.

PRIMERA LEY DE NEWTON O LEY DE LA INERCIA.

“Todo cuerpo en reposo permanecerá en reposo y que un cuerpo en movimiento continuara moviéndose en una línea recta a velocidad constante a menos que una fuerza recta actúa sobre el”. 1.- Todo cuerpo continuará en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, mientras no exista una fuerza externa capas de cambiar dicho estado. 2.- Un cuerpo permanece en estado de reposo ó de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre el. 3.- En ausencia de la acción de fuerzas, un cuerpo en reposo continuara en reposo y uno en movimiento se moverá en línea recta y con velocidad constante.

SEGUNDA LEY DE NEWTON O LEY DE LA PROPORCIONALIDAD ENTRE FUERZAS Y ACELERACIONES

Establece que si una fuerza actúa sobre un cuerpo de masa (m) ese cuerpo sufrirá una aceleración en la fuerza aplicada cuya magnitud es proporcional ala magnitud de la fuerza e inversamente proporcional ala masa.

F = m x a.

m=F a

a=F m

F = Fuerza en Newtons (N) o dinas. m = Masa del cuerpo en kg o gr. a = aceleración del objeto en m/seg 2, cm/seg2, ft/seg2 , pulg/seg2 Esta Ley se refiere a los cambios en la velocidad que sufre un cuerpo cuando recibe una fuerza. Un cambio en la velocidad de un cuerpo efectuado en la unidad de tiempo, recibe el nombre de aceleración. Así, el efecto de una fuerza desequilibrada sobre un cuerpo produce una aceleración. Cuanto mayor sea la magnitud de la fuerza aplicada, mayor será la aceleración. Debemos recordar que aceleración también significa cambios en la dirección del objeto en movimiento, independientemente que la magnitud de la velocidad cambie o permanezca constante; tal es el caso cuando se hace girar un cuerpo atado al extremo de una cuerda, pues ésta aplica una fuerza al objeto y evita que salga disparado en línea recta acelerándolo hacia el centro de la circunferencia. Podemos observar claramente cómo varía la aceleración de un cuerpo al aplicarle una fuerza, realizando la siguiente actividad: Si a un coche de juguete le damos dos golpes diferentes, primero uno leve y después otro más fuerte, el resultado será una mayor aceleración del mismo a medida que aumenta la fuerza que recibe: a α F. Por lo tanto, podemos decir que la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada, y el cociente fuerza entre aceleración producida es igual a una constante: F1/a1=F2/a2=Fn/an= k constante. El valor de la constante k representa la propiedad del cuerpo que recibe el nombre de masa, por lo cual podemos escribir: F = m o bien: m= F/a a La relación F/a es un valor constante para cada cuerpo en particular y recibe el nombre de masa inercial, porque es una medida cuantitativa de la inercia. La masa de un cuerpo m , como ya señalamos representa una medida de la inercia de dicho cuerpo y su unidad fundamental en el Sistema Internacional es el kilogramo (kg), mismo que resulta de sustituir las unidades correspondientes de fuerza y aceleración. Veamos: m = F/a = N/m/seg 2. = kg m/seg 2 = kg m/seg2.

En el sistema c.g.s. la unidad de masa es el gramo: 1 kg = 1000 gr En ingeniería aún se utilizan mucho los sistemas Técnicos o gravitacionales. En el sistema Inglés la unidad de masa es el slug, compuesta o derivada de las siguientes unidades. m= F = lbf_____ = slug a pies/seg2. El slug se define como la masa a la que una fuerza de l lbf le imprimirá una aceleración de 1 pie/seg 2.

La segunda Ley de Newton también relaciona la aceleración con la masa de un cuerpo, pues señala claramente que una fuerza constante acelera más a un objeto ligero que a uno pesado. Compruebe lo anterior al empujar un carro de los que se usan en los supermercados y observará que al moverlo cuando está vacío exigirá menor esfuerzo que cuando está lleno. Comprenderemos la relación entre la aceleración y la masa del cuerpo, al realizar la siguiente actividad: A un carrito de 40 gramos le aplicamos una fuerza y observamos cuál fue su aceleración. Ahora le aplicamos la misma fuerza pero antes le agregamos una masa equivalente de 40 gramos, de tal manera que su masa se duplique: el valor de su aceleración será a/2. Al triplicar la masa del carrito, agregándole otros 40 gramos y al aplicarle la misma fuerza, la aceleración será a/3, si cuadruplicamos la masa será a/4. De lo anterior concluimos que cuando la fuerza aplicada es constante, la aceleración de un cuerpo es inversamente proporcional a su masa ; en forma matemática puede escribirse como: aα1 m Al observar y cuantificar los efectos de la fuerza y la masa sobre la aceleración de los cuerpos se llega al enunciado de la Segunda Ley de Newton; “ Toda fuerza resultante diferente de cero al ser aplicada a un cuerpo, le produce una aceleración en la misma dirección en que actúa. El valor de dicha aceleración es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo” .

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera: a= F m

donde a= valor de la aceleración en m/seg 2, cm/seg2, pies/seg2. F= valor de la fuerza aplicada en Newtons (N), dinas o libras fuerza (lbf). m = masa del cuerpo en kilogramos (kg), gramos (gr) o slugs. De esta ecuación podemos despejar a la fuerza, lo cual nos permitirá comprender con mayor facilidad el significado del newton como unidad de fuerza en el Sistema Internacional: F = ma Sustituyendo las unidades de masa y aceleración tenemos: F= kg m/seg2= newton (N).

Por definición, se aplica una fuerza de un Newton cuando a un cuerpo cuya masa es de un kilogramo se le imprime una aceleración de un metro por segundo cuadrado. La equivalencia entre newtons y dinas es la siguiente: 1 N = 1 x105 dinas. Como el peso de un cuerpo representa la fuerza con que la tierra atrae a la masa de dicho cuerpo, entonces: P = mg. por lo tanto m= p/g. De donde la Segunda Ley de Newton puede escribirse también como: F = P/g a Donde F= Valor de la fuerza aplicada al cuerpo en newtons (N).

P = Valor del peso del cuerpo en Newtons (N). g = valor de la aceleración de la gravedad = 9.8 m/seg 2. a = valor de la aceleración de la gravedad en m/seg 2. Problemas de la Segunda Ley de Newton. 1.- Calcular la aceleración que produce una fuerza de 50 Newtons a un cuerpo cuya masa es de 5000 gramos. Expresar el resultado en m/seg 2. Datos

Fórmula

a= F= 50 N m = 5000 gramos = 5 kg

a = F/m

Sustitución a = 50 kg m/seg2. = 10 m/seg2. 5 kg

2.- Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 100 Newtons le produce una aceleración de 200 cm/seg2. Exprese el resultado en kg. Datos

Fórmula

m= F = 100 kg m/seg2. a = 200 cm/seg2.= 2 m/seg2.

m = F/a

Sustitución. m = 100 kg m/seg2. 2 m/seg2. m = 50 kg

3.- Determinar la fuerza que recibe un cuerpo de 30 kg, la cual le produce una aceleración de 3 m/seg2. Datos

Fórmula

Sustitución

F= m = 30 kg a = 3 m/seg2.

F = ma

F = 30 kg x 3 m/seg2. F = 90 kg m/seg2. F = 90 Newtons .

4.- Determinar el peso de un cuerpo cuya masa es de 60 kg. Datos

Fórmula

Sustitución.

P= m = 60 kg g = 9.8 m/seg2.

P = mg

P = 60 kg x 9.8 m/seg2. P = 588 kg m/seg2. P = 588 Newtons.

5.- Calcular la masa de un cuerpo cuyo peso es de 980 Newtons. Datos

Fórmula

Sustitución.

m= P = 980 kg m/seg2. g = 9.8 m/seg2.

m = P/g

m = 980 kg m/seg2. 9.8 m/seg2. m = 10 kg

TERCERA LEY DE NEWTON

TERCERA LEY DE NEWTON O LEY DE LA ACCION Y LA REACCION.

Establece que a la acción corresponde una fuerza de reacción igual pero con sentido opuesto. 1.- Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro este último ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el primero. 2.- Cuando un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, este reacciona

sobre A con una fuerza de la misma magnitud, misma dirección y sentido contrario. 3.- A toda acción corresponde una acción igual en magnitud y dirección pero de sentido contrario. EXPRESION MATEMATICA :

N–W= ma

LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL

Esta ley establece que dos cuerpos cualesquiera se atraen uno al otro con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias entre ellos. M1 m2 F= G ____________ 2 F: fuerza (N) d G: constante newtoniana de la gravitación. M: masa

D: distancia (m)

Problemas de la Ley de Gravitación Universal. GRAVITACION UNIVERSAL.

INTERSECCIONES EN LA NATURALEZA Si observamos alrededor, encontramos un mundo lleno de actividades: autos que se mueven, pájaros, aviones que vuelan, viento que sopla el sol que se mueve. Todo esto nos permite reconocer que hay un cambio, y que dicho movimiento y cambio deben tener una causa. Sin embargos estudios muy cuidadosos realizados por hombres de ciencia que han investigado las transformaciones mutuas de las partículas, elementales de los núcleos atómicos, de los átomos de las moléculas, de una piedra de los planetas, del sol, y en general del universo, encontraron solamente cuatro tipos de fuerzas que son las causantes de toda actitud circundante, y que por su importancia se han denominado fuerzas fundamentales. Dichas fuerzas son: la fuerza gravitacional, la electromagnética, llamadas fuerte y débil. EXPRESION MATEMATICA :

F = Mm R2

Ley de la gravitación universal

1.- ¿Cual es la fuerza de atracción de gravitacional entre dos jóvenes de 50 kg. cada uno, cuando se encuentran separados a una distancia de 1m. Datos fg=? m1=50 kg m2= 50 kg r= 1 m G= 6.67 x 10 11 Nm2 kg2 Fg= (1 m1·m2) r2 Fg= (6.67 x 10 11Nm2 ) (50 kg ) (50 kg) Kg2 (1m)2 Fg= (6.67 x 10 11 Nm2 ) 2500 kg2 Kg2 1 m2 Fg= 0.000000166 N 2.- Calcular la masa de la tierra, considerando que tiene forma especifica y de radio 6.4 x 10 6 m y su fuerza gravitacional de 9.8 m/s 2. Datos m1= ¿ r= 6.4 x 106 m fg= 9.8 m/s2 G= 6.67 x 1011 Nm2 kg2 Fg= Gme r2

Fg·r2= g· MT MT= Fg·r2 G MT= (9.8 m/s2) (6.4 x 106 )2 6.67 x 10 11 Nm2 kg2 MT= (9.8 m/s2) (4.096 x 1013 m2 ) = 6.081 x 1024 kg. 6.67 x 1011 Nm2 kg2 3.- Calcula la fuerza gravitacional entre la tierra y un hombre de 60kgf sobre su superficie. Datos MT= 6.081 x 1024 kg m2= 60 kg r= 6.4 x 106 m G= 6.67 x 1011 Nm2 Kg2 Fg= (6.67 x 10-11 Nm2 ) (6.018 x 1024 kg) (60 kg) Kg2 (6.4 x 106 m )2 Fg= (6.67 x 10-11 Nm2 ) 3.6108 x 10 26 kg2 Kg4.096x1013 m2 Fg= 587.858 N 4.- Calcular la fuerza de atracción entre la tierra y el sol sabiendo que la masa de nuestro planeta es 6.0 x 1024 kg y la del astro 2.0x1030 kg y que la sesión es de 1.5 x 10 12 m. 5.- La fuerza de atracción entre 2 objetos es de 16 Newton cuando están a una distancia dada.¿Cuál será la fuerza de atracción si la distancia se hace 4 veces más grande que la inicial. 6.- Calcular la distancia a que se deben colocar dos masas de 1kg cada una, para que su fuerza de atracción gravitacional sea igual as 1 N. 7.- Calcular la fuerza de atracción gravitacional sobre un hombre de 70 kg cuado se encuentra a; a) cero metros b) 20 m c) 3600 km de la superficie de la tierra. 8.- Encontrar la fuerza de atracción gravitacional entre un protón y un electrón cuando está aun distancia de 5.3x10-11 m estas condiciones son similares a como esta formulado el átomo de hidrógeno. 9.- Cuál seria el valor de la gravedad y en la superficie de un planeta imaginario cuya masa fuese 18 veces mayor que la de la tierra, y su radio de 3 veces el de la tierra? SUBTEMA 2.1.2. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE. Diagramas de cuerpo libre.

Objetivo.- Representará las fuerzas que actúan en estructuras sencillas mediante diagramas de cuerpo libre.

Para resolver problemas de equilibrio de los cuerpos es importante aislarlos unos de otros, ello permite hacer un análisis de las fuerzas conocidas que actúan sobre un cuerpo, así como las que se desconocen y se desea calcular. Cuando se aísla un cuerpo sobre él aparecen únicamente las fuerzas externas que soporta, las cuales son ocasionadas por tener contacto con otros cuerpos o por atracción gravitacional. Este procedimiento gráfico para aislar un cuerpo recibe el nombre de Diagrama de cuerpo libre. Los pasos a seguir para hacer un diagrama de cuerpo libre son: a) Hacer un dibujo que represente claramente el problema que se desea resolver (sólo si no se proporciona la figura; si aparece, siga con el paso b). b) Construya un diagrama de cuerpo libre sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel efecto que recibe el cuerpo, provocado por su contacto con otros cuerpos o por la fuerza gravitacional y que originen que se encuentren en equilibrio. Indique la magnitud, dirección y sentido de las fuerzas conocidas. Use símbolos para señalar las cantidades que se desconocen. c) Haga un sistema de referencia utilizando ejes rectangulares y coloque al cuerpo en equilibrio en el origen del sistema de coordenadas. d) Aplique las condiciones de equilibrio que necesite para encontrar las respuestas a las incógnitas buscadas. Dichas ecuaciones son: ΣFx=0, ΣFy=0, ΣM=0. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS Fuerzas externas: representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígidos, son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido, causarán que se mueva o aseguraran su reposo. Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Se puede concluir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambas siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren ninguna oposición. Se puede concluir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambas siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren ninguna oposición. Ejemplo de construcción de un diagrama de cuerpo libre: Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30° con la pared vertical . Dibuje el Diagrama de cuerpo libre.

A

B

A 30° 90° 60°

B

100 N

e. Evaluación del Tema 2.1. Leyes de Newton. 1.- Un bloque de cemento asentado en el suelo permanecerá en ese estado a menos que una fuerza mínima necesaria aplicada a él lo empiece a mover. Este es un ejemplo de aplicación de:

A. Cuarta Ley de Newton B. Tercera Ley de Newton C. Segunda Ley de Newton D. Primera Ley de Newton E. Primera condición del equilibrio. 2.- Con el nombre de Ley de la inercia se conoce a esta Ley de Newton: A. Quinta B. Tercera C. Cuarta D. Segunda E. Primera 3.- Son los tipos de fuerza que actúan sobre un cuerpo en equilibrio. A. Intrínsecas y extrínsecas B. Externas e internas C. Absolutas y Relativas D. Efectivas y no efectivas E. Equilibrantes y no equilibrantes. 4.- Es una representación general de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio y es valiosa en la resolución de problemas A B C. D. E

Componentes en el espacio Componentes rectangulares Diagrama de cuerpo libre Componentes x Componentes y

5.- La ley de la proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones es otro nombre que recibe la: A. Segunda Ley de Newton B. Tercera Ley de Newton C. Primera condición de equilibrio D. Segunda condición de equilibrio E. Primera Ley de Newton. f. Bibliografía específica del tema 2.1. Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004. d.- Desarrollo del tema 2.2. RESOLUCION DE ECUACIONES. SUBTEMA 2.2.1. FUERZAS CONSTANTES Y DE FRICCION. Siempre que se quiere desplazar un cuerpo que está en contacto con otro se presenta una fuerza llamada fricción que se opone en su deslizamiento. La fricción es una fuerza tangencial, paralela a las superficies que están en contacto . Existen dos clases de fuerzas de fricción: estática y dinámica o de movimiento .

La fuerza de fricción estática es la reacción que presenta un cuerpo en reposo oponiéndose a su deslizamiento sobre otra superficie . La fuerza de fricción dinámica tiene un valor igual a la que se requiere aplicar para que un cuerpo se deslice a velocidad constante sobre otro . La fuerza de fricción estática será en cualquier situación un poco mayor que la de fricción dinámica, ya que se requiere aplicar más fuerza para lograr que un cuerpo inicie su movimiento, que la necesaria para que lo conserve después a velocidad constante.

N

P

Un experimento sencillo para estudiar las características de la fricción consiste en colocar sobre una mesa horizontal un bloque de peso conocido, al cual se le ata un hilo, mismo que tiene en su otro extremo un dinamómetro como se ve en la figura anterior. Se jala poco a poco el dinamómetro y se observa que la fuerza aplicada por la mano va aumentando hasta que llega un momento en que se incrementa un poco más, el bloque comenzará a deslizarse sobre la superficie. Por lo tanto observamos que la fuerza de fricción estática no es constante, sino a medida que jalamos el cuerpo aumenta. La fuerza máxima estática (Fme) se alcanza un instante antes de que el cuerpo inicie su deslizamiento. Si le colocamos al bloque una pesa encima, cuyo valor sea igual al peso del bloque, tendremos que al aumentar el peso se ejercerá sobre la mesa una mayor acción y como reacción, el valor de la normal (N) será igual al peso del bloque más el de la pesa. Si ahora jalamos nuevamente el sistema bloque-pesa se observará que el dinamómetro señala una fuerza máxima estática al doble que cuando tenía al bloque solo. Si se triplica el peso del bloque la normal también se triplicará y la fuerza máxima estática registrada en el dinamómetro señalará el triple. Por lo anterior, podemos concluir que la fuerza máxima estática (Fme) es directamente proporcional a la fuerza normal que tiende a mantener unidas ambas superficies debido al peso donde: Fme α N, que escrito en forma de ecuación nos queda: Fme = μeN.

Donde Fme = Fuerza máxima de fricción estática en Newtons (N).

N = Fuerza normal que tiende a mantener unidas las superficies en contacto debido al

peso en Newtons (N). μe = Constante de proporcionalidad llamada coeficiente de fricción estático, unidades.

sin

Si de la ecuación anterior despejamos μe tenemos; μe = Fme/N. (adimensional). Por definición el coeficiente de fricción estático es la relación entre la fuerza máxima de fricción estática y la normal . Como se observa, es adimensional, o sea que carece de

unidades, ya que es el resultado de dividir 2 fuerzas. Para estudiar ahora la fuerza de fricción dinámica (F d) le quitamos las pesas al bloque a fin de registrar la fuerza que se necesita para moverlo con velocidad constante. Observaremos que la fuerza de fricción dinámica actuará siempre en la misma dirección pero en sentido contrario al movimiento del bloque, es decir en sentido contrario a la velocidad, provocando una aceleración negativa y consecuentemente un frenado. Una vez iniciado el movimiento, la fuerza de fricción dinámica que se mantiene constante, independientemente de que la velocidad sea grande o pequeña. Si se aumenta el peso del bloque al doble y al triple se observa también que la fuerza de fricción dinámica es directamente proporcional a la normal entre las superficies, por lo que puede escribirse: Fd = μdN

donde: Fd = fuerza de fricción dinámica en Newtons (N). N = fuerza normal entre las superficies debido al peso en Newtons. (N) μd = coeficiente de fricción dinámico, sin unidades. Al despejar μ d tenemos: μd = Fd/N (adimensional). Por definición, el coeficiente de fricción dinámico es la relación entre la fuerza de fricción dinámica y la fuerza normal que tiende a mantener unidas dos superficies . Es adimensional. Al continuar con nuestro experimento podemos cambiar la superficie por la que se deslice el bloque, colocando una placa de vidrio, una cartulina, una tela, o una placa metálica. Observaremos que la fricción depende del grado de rugosidad de la superficie, es decir que en las superficies lisas la fricción es menor. Finalmente, apoyamos el bloque sobre una de sus caras de menor área y comprobaremos que la fuerza de fricción es prácticamente independiente de la superficie de deslizamiento, por lo tanto obtendremos aproximadamente los mismos valores de la fuerza de fricción para un cuerpo que se desliza sobre una superficie plana, si es arrastrada por cualquiera de sus caras. Ventajas y desventajas de la fricción.

La fuerza de fricción se manifiesta en nuestra vida diaria prácticamente en todo momento, pues se presenta cuando caminamos, ya que sin la fricción de los zapatos con el suelo nos resbalaríamos. También gracias a la fricción es posible la escritura; sostener cualquier objeto con las manos, lavar los pisos, paredes o ropa; frenar un vehículo, pues al aplicar el freno el roce de las balatas con el tambor de los neumáticos y roce de éstos con el suelo lo que le permite detenerlo si se desea; cuando llueve o cae granizo, la fricción con el aire evita que las gotas de agua o los trozos de hielo caigan con más fuerza sobre nosotros una vez que alcanzan su velocidad límite; pulir metales, brillantes para joyería o pedrería; los meteoritos que penetran a nuestra atmósfera se desintegran por el calor producido al rozar con el aire, ello nos evita graves riesgos

a los que estaríamos expuestos si de repente cayera sobre nosotros una gran masa proveniente del espacio. La fricción no siempre está ofreciéndonos ventajas, pues debido a ella se presentan los siguientes inconvenientes: se produce un considerable desgaste en la ropa, zapatos, neumáticos, piezas metálicas, pisos, alfombras, paredes etc. Una gran parte de la energía suministrada a las máquinas se pierde por el calor no aprovechable que se produce por la fricción. Actualmente, el hombre ha encontrado varias formas para reducir la fricción y para ello usa aceites, lubricantes, cojinetes de bolas o baleros, pues el rozamiento es menor en superficies rodantes que en las deslizantes. Asimismo, emplea superficies lisas en lugar de rugosas. De lo anterior podemos concluir que la fricción se puede aumentar o disminuir cuando sea conveniente. RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FRICCION. 1.- Un instante antes de que una viga de madera de 490 Newtons comience a deslizarse sobre una superficie horizontal de cemento, se aplica una fuerza máxima de fricción estática de 392 N. Calcular el coeficiente de fricción estática entre la madera y el cemento. 490 N

Fme = 392 N

F = 392 N

P = 490 N

Datos P = N = 490 N

Fórmula μe = Fme/N

Sustitución y resultado. μe = 392 N/490 N = 0.8.

Fme = 392 N μe = ¿

2.- Para que un bloque de madera de 60 N iniciara su deslizamiento con una velocidad constante sobre una mesa de madera, se aplicó una fuerza de 21 N. Calcular el coeficiente de fricción dinámico entre las dos superficies. Datos

Fórmula

Sustitución y resultado.

P = N = 60 N

μd = Fd/N

μd = 21 N/60 N = 0.35.

Fd = 21 N μd = ¿ 3.- Calcular la fuerza que se necesita aplicar a un cuerpo de 500 N para deslizarlo horizontalmente con una velocidad constante sobre una superficie cuyo coeficiente de fricción dinámico es de 0.4. Datos

Fórmula

F=¿ P = N = 500 N μd = 0.4

Fd = μd N

Solución: Como la fuerza que se requiere aplicar es de la misma magnitud que la fuerza de fricción dinámica, pero de sentido contrario, tenemos entonces que: Fd = 0.4 x 500 N = 200 N. 4.- Calcular la fuerza que se debe aplicar para deslizar al bloque de la figura siguiente a velocidad constante, si tiene un peso de 150 N y el coeficiente de fricción dinámico es de 0.3.

N F=¿

20° Fd Fx P = 150 N

Como se observa, la fuerza que se aplica al bloque tiene un ángulo de 20° respecto al la horizontal, por tal motivo su componente horizontal Fx es la que desplaza al bloque y tendrá un valor igual pero de sentido opuesto a la fuerza de fricción dinámica F d. Por otra parte la componente vertical de la fuerza o sea Fy, al actuar sobre el cuerpo con sentido hacia arriba contribuye a levantarlo reduciendo la fuerza de fricción entre las superficies, por lo que la fuerza normal será igual al peso del bloque menos la componente Fy de la fuerza. Si se resuelve tenemos: ΣFx = Fx-Fd = 0 (1) ΣFy = N + (-P)+ Fy = 0 (1). De la ecuación (1) : ΣFx = Fx = Fd = μ d N (3) De la ecuación (2): N = P-Fy (4).

Sustituyendo (4) en (3), Fx = μd (P-Fy) (5). como Fx = F cos 20° = F 0.9397 (6). Fy = F sen 20° = F 0.3420 (7) Sustituyendo (6) y (7) en (5): F 0.9397 = 0.3 (150 N – F 0.3420) F 0.9397 = 45 N – F 0.1 F 0.9397+ F0.1 = 45 N F 1.9397 = 45 N F = 45 N/1.9397 = 43.28. 5.- Se aplica una fuerza de 40 N durante 5 segundos, sobre un bloque de 90 N para desplazarlo sobre una superficie horizontal, con un coeficiente de fricción dinámico de 0.27. Calcular a) La aceleración del bloque. b) La velocidad que llevará a los 5 segundos. c) La distancia que recorre el bloque al cabo de los 5 segundos.

N

μd = 0.27

F = 40 N

P

Datos F = 40 N t = 5 seg P = 90 N μd = 0.27 a) a = ¿ b) V 5 seg = ¿ c) d 5 seg = ¿ Solución: a) La aceleración que recibe el cuerpo se debe a la fuerza resultante (F R) que actúa sobre él y cuyo valor es: FR = F – Fd. Como Fd = μd N entonces: FR = 40 N-0.27x 90 N = 40 N – 24.3 N = 15.7 N a = FR/m = FR/P/g = 15.7 N/90 N/9.8 m/seg2. = 1.71 m/seg2. b) Como la aceleración es constante la velocidad a los 5 segundos será: v = at = 1.75 m/seg2 x 5 seg =8.55 m/seg.

c) La distancia recorrida a los 5 segundos es: d = at2/2 = 1.71 m/seg2 x (5 seg)2/2 = 21.38 m. 6.- Una motocicleta cuyo peso es de 1800 N se mueve a una velocidad de 60 km/h. Al aplicar los frenos se detiene a una distancia de 25 metros. Calcular la fuerza de fricción promedio que la detiene. Datos P = 1800 N Vo = 60 Km/h d = 25 m F=¿ Solución: Como las unidades deben estar en el mismo sistema de unidades convertimos la velocidad a m/seg: Vo = 60 Km/h x 1000 m/km x 1 h/3600 seg = 16.66 m/seg. La fuerza de fricción que detiene a la motocicleta es igual a: F= ma como m =P/g; sustituyendo m en la ecuación tenemos: F = p/g a (1) Puesto que desconocemos el valor de la aceleración, la calculamos a partir de una de las ecuaciones usadas para la velocidad final vistas anteriormente: vf2 = Vo2 + 2ad Cuando la motocicleta se detiene vf = 0; donde 0 = Vo 2 + 2ad, despejando la aceleración tenemos: a = - Vo2/2d = - (16.66 m/seg)2/2 x 25 m = - 5.55 m/seg 2. Sustituyendo en la ecuación 1: F = 1800 N/9.8 m/seg2 x -5.55 m/seg2. = - 1019.39 N. Por lo tanto, la fuerza de fricción promedio que detiene a la motocicleta es de 1019.39 N. 7.- Se aplica una fuerza de 120 N formando un ángulo de 30° con la horizontal sobre un bloque de 220 N, como se ve en la figura. Si el bloque adquiere una aceleración de 2 m/seg 2, calcular el coeficiente de fricción dinámico (μ d).

120 N

30° 220 N a = 2 m/seg2.

Diagrama de cuerpo libre.

N

F = 120 N

Fy

Fd

30°

P = 220 N

Solución: como el bloque recibe una aceleración de 2 m/seg 2 es evidente que la fuerza resultante (FR) que la provoca equivale a la diferencia entre la componente (Fx) de F = 120 N y la fuerza de fricción dinámica (Fd), donde: ΣFx = FR = Fx-Fd = ma. (1) FR = ma = P/g a = 220 N/9.8 m/seg 2 x 2 m/seg2 = 44.90 N Fx = F cos 30° = 120 N x 0.8660 = 103.92 N como FR = Fx-Fd, despejamos Fd: Fd = Fx-FR = 103.92 N- 44.90 N = 59.02 N como μd = Fd/N tenemos que N vale: N = P- Fy = 220 N-120 N x sen 30° = 220 N- 120 x 0.5 = 220 N – 60 N = 160 N Por lo tanto: μ d = 59.02 N/160 N = 0.369. e. Evaluación del tema 2.2. Resolución de ecuaciones.

1.- Se define como una fuerza tangencial, paralela a las superficies que están en contacto entre sí. A. B. C. D. E.

velocidad Aceleración Fricción Momento Impulso

2.- Un bloque de madera de 20 N es jalado con una fuerza máxima estática de 12 N; al tratar de deslizarlo sobre una superficie horizontal de madera, ¿cuál es el coeficiente de fricción estático entre las dos superficies. A. B. C. D. E.

0.4 0.8 0.7 0.2 0.6

3.- Se aplica una fuerza de 85 Newtons sobre un cuerpo para deslizarlo a una velocidad constante sobre una superficie horizontal. Si la masa del cuerpo es de 21.7 kg, ¿cuál es el coeficiente de fricción dinámico? A. 0.2 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.4 E. 0.1 4.- Se requiere mover un bloque de 30 Newtons sobre una superficie horizontal a una velocidad constante, si el coeficiente de fricción dinámico es de 0.5, determine la fuerza que se necesita para moverlo y la aceleración que adquirirá el bloque si se le aplica el doble de la fuerza calculada. A. F = 20 N, a = 5.3 m/seg2. B. F = 15 N, a = 9.8 m/seg2. C. F = 25 N, a = 19.6 m/seg2. D. F = 35 N, a = 22.3 m/seg2. E. F = 18 N, a = 25 m/seg2. 5.- Sobre un bloque de 40 Newtons, se aplica una fuerza de 15 Newtons formando un ángulo de 25° con la horizontal. Si el bloque adquiere una aceleración de 1.5 m/seg 2. , calcular el coeficiente de fricción dinámico. A. 0.22 B. 0.44 C. 0.15 D. 0.33 E. 0.55

f.- Bibliografía específica del tema 2.2. Resolución de ecuaciones. Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004. e.- Desarrollo del tema 2.3. Aplicaciones a movimiento rectilíneo. SUBTEMA 2.3.1. APLICACIONES A MOVIMIENTO RECTILINEO APLICACIONES DE LA SEGUNDA Y TERCERA LEY DE NEWTON. 1.- Un bloque cuya masa es de 4 kg es jalado mediante una fuerza horizontal (Fx) como se ve en la figura siguiente: Calcular a) la fuerza de reacción (R) que ejerce el piso sobre el bloque. b) la fuerza horizontal (Fx) que se requiere para dar al bloque una velocidad horizontal de 6 m/seg en 2 segundos a partir del punto de reposo. Considere despreciable la fricción entre el piso y el bloque.

R=¿

Fx = ¿

P



Sustitución y resultados: e) Para calcular la reacción que el piso ejerce sobre el bloque, con la Segunda Ley de Newton determinamos la suma de fuerzas en el eje vertical: Σ Fy = R + (-P) = ma y. El signo (-) del peso es porque su sentido es hacia abajo, como el bloque únicamente se desplaza en forma horizontal no hay movimiento vertical; por lo tanto la aceleración vertical (a y.) es cero. donde Σ Fy = ma y.= 0 por lo tanto R-P = 0. Lo anterior indica que la reacción ( R) es igual al peso del cuerpo (P):

R = P = mg = 4 kg x 9.8 m/seg 2. = 39. 2 Newtons. b) Para calcular la fuerza horizontal (Fx) requerida para mover el bloque con una velocidad horizontal (Vx) de 6 m/seg en 2 segundos, tenemos que la única fuerza que actúa sobre el eje horizontal es la fuerza que calcularemos, de donde según la segunda Ley de Newton: Fx = max. para calcular la aceleración horizontal (ax): ax = Vx-Vo/t = 6 m/seg-0/2 seg = 3 m/seg 2. donde Fx = 4 kg x 3 m/seg 2. = 12 Newtons. 2.- En una polea se suspende un cuerpo cuyo peso es de 500 Newtons, como se ve en la figura. Calcular a) La tensión del cable que lo sujeta cuando desciende con una aceleración de 2 m/seg2. b) La tensión en el cable que lo sujeta cuando asciende con la misma aceleración.

T

P = 500 N

Sustitución y resultados: Si el cuerpo estuviera en reposo sostenido por el cable, la tensión en éste sería igual al peso del cuerpo: T = P, pero como tiene un movimiento descendente, el peso debe tener un valor mayor a la tensión. De donde sustituyendo en la fórmula de suma de fuerzas en el eje vertical (ΣFy), se tiene que ésta es igual al producto de la masa del cuerpo (m) por su aceleración (ay). Fy = P + T = ma y. como m = P/g entonces: Σ Fy = P + T = P/g ay. Σ Fy = - 500 N + T = - 500 N/-9.8 m/seg 2. (-2 m/seg2.) Σ Fy = -500 N + T = -102.04 N. Despejando a la tensión tenemos: T = 500 N-102.04 N = 397.96 Newtons. Al ascender el cuerpo con una aceleración vertical (ay), la tensión en el cable debe ser mayor al peso del cuerpo. Sustituyendo valores en la ecuación: Σ Fy = P + T = P/g ay. Observamos ahora que los valores son los mismos que sustituimos para responder el inciso (a) del problema; pero ahora el signo de la aceleración del cuerpo será f)

positivo, pues actúa hacia arriba toda vez que el cuerpo sube. El signo del peso y de la aceleración de la gravedad sigue siendo negativo por que actúan hacia abajo. Σ Fy = - 500 N + T = -500 N/-9.8 m/seg 2. x 2 m/seg2. = - 500 N + T = 102.04 N. Despejando T tenemos: T = 500 N + 102.04 N = 602.04 Newtons. 3.- Con una polea se eleva un cuerpo cuyo peso es de 980 Newtons, aplicando una fuerza de 1400 Newtons, como se ve en la figura. Determine la aceleración del cuerpo.

T= 1400 N

ay = ¿

P = 980 N

Datos P = 980 N T = 1400 N ay= ¿


Sustitución y resultado : -980 N + 1400 N = -980 N/-9.8 m/seg 2. ay = 420 N = 100 kg ay despejando ay del cuerpo ay = 420 kg m/seg 2./100 kg = 4.2 m/seg2. 4.- Una persona pesa 588 Newtons y asciende por un elevador con una aceleración de 0.8 m/seg2. Calcular: a) El peso aparente de la persona, es decir, la fuerza de reacción (R) que ejercerá el piso del elevador al subir. b) El peso aparente de la persona al bajar. Datos Fórmula P = 588 N ΣFy = P + T = P/g ay 2 ay = 0.8 m/seg . R=T=¿ g = - 9.8 m/seg2. Solución: Si el elevador estuviera en reposo la fuerza de reacción del piso del elevador sería igual al peso de la persona, pero como sube, el peso aparente de la persona aumenta, toda vez

que la fuerza de reacción del piso del elevador debe ser mayor al peso de la persona para lograr que suba. Por lo tanto: ΣFy = - 588 N + R = - 588 N/-9.8 m/seg2. x 0.8 m/seg2. = -588 N + R = 48 N Despejando R = 588 N + 48 N = 636 Newtons. d) Al bajar, la persona se siente más ligera, es decir, como si de repente pesara menos; esto se debe a que al descender con cierta aceleración, la fuerza de reacción del piso del elevador es menor a su peso. (Si en un momento dado un elevador bajara con una aceleración de 9.8 m/seg2., la persona que estuviera dentro de él sentiría que ha desaparecido su peso, pues en realidad estaría sufriendo una caída libre al no existir ninguna fuerza de reacción con el piso del elevador). Para calcular el peso aparente de la persona al descender, sustituimos los mismos valores en la ecuación, pero ahora el signo de la aceleración (ay) es negativo, pues actúa hacia abajo. ΣFy = - 588 N + R = -588 N/-9.8 m/seg 2. x -0.8 m/seg2. ΣFy = - 588 N + R = - 48 N. despejando la reacción tenemos: R = 588 N – 48 N = 540 Newtons. 5.- Si un elevador vacío pesa 2500 N y suben a él cuatro personas que pesan en total 2352 N. Determinar la tensión del cable del elevador, si éste sube con una aceleración constante de 1.3 m/seg2. Datos P = 4852 N T=R=? ay = 1.3 m/seg2. g = -9.8 m/seg2.


Sustitución y resultado. ΣFy = - 4852 N + T = -4852 N/-9.8 m/seg 2. x 1.3 m/seg2. ΣFy = - 4852 N + T = 643.63 N. Despejando T tenemos: T = 4852 N + 643.63 N = 5495.63 N. 6.- Un montacargas eleva un cuerpo cuyo peso es de 2310 N con una fuerza 2935 N. Determine la aceleración con que sube el cuerpo. Datos

Fórmula.

P = 2310 N T = R = 2935 N a=?

ΣFy = P + T = P/g ay Sustitución y resultado: ΣFy = -2310 N + 2935 N = -2310 N /-9.8 2 m/seg . x a y. 2 g = -9.8 m/seg . ΣFy = 625 N = 235.71 N (ay) despejando ay tenemos:ay = 625 2 N/235.71 N. m/seg . = 2.65 m/seg2. e. Evaluación del tema 2.3. Aplicación a movimiento rectilíneo. 1.- Un bloque cuya masa es de 4 kg es jalado mediante una fuerza horizontal (Fx): Calcular a) la fuerza de reacción (R) que ejerce el piso sobre el bloque. b) la fuerza horizontal (Fx) que se

requiere para dar al bloque una velocidad horizontal de 6 m/seg en 2 segundos a partir del punto de reposo. Considere despreciable la fricción entre el piso y el bloque. A. 43.3 Newtons, 14 Newtons. B. 39. 2 Newtons, 12 Newtons. C. 28.7 Newtons, 10 Newtons D. 35.6 Newtons, 16 Newtons E. 33.6 Newtons, 18 Newtons. 2.- En una polea se suspende un cuerpo cuyo peso es de 500 Newtons, . Calcular a) La tensión del cable que lo sujeta cuando desciende con una aceleración de 2 m/seg 2. b) La tensión en el cable que lo sujeta cuando asciende con la misma aceleración. A. 456.38 N, 678.24 N B. 412.33 N, 555.42 N C. 388.78 N, 448.23 N D. 397.96 N, 602.04 N E. 433.24 N, 633.24 N. 3.- Con una polea se eleva un cuerpo cuyo peso es de 980 Newtons, aplicando una fuerza de 1400 Newtons. Determine la aceleración del cuerpo. A. 7.33 m/seg2. B. 3.8 m/seg2. C. 2.77 m/seg2. D. 5.22 m/seg2. E. 4.2 m/seg2. 4.- Una persona pesa 588 Newtons y asciende por un elevador con una aceleración de 0.8 m/seg2. Calcular: a) El peso aparente de la persona, es decir, la fuerza de reacción (R) que ejercerá el piso del elevador al subir. b) El peso aparente de la persona al bajar. A. 636 N, 540 N B. 678 N, 555 N C. 580 N, 650 N D. 590 N, 680 N E. 625 N, 620 N 5.- Si un elevador vacío pesa 2500 N y suben a él cuatro personas que pesan en total 2352 N. Determinar la tensión del cable del elevador, si éste sube con una aceleración constante de 1.3 m/seg2. A. 4852.34 N B. 5234.22 N C. 5495.63 N. D. 4989.56 N E. 5290.45 N

f. Bibliografía específica del tema 2.3. Aplicación a movimiento rectilíneo. Física general. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.

d. Desarrollo del TEMA 2.4. APLICACIONES A MOVIMIENTO CURVILINEO. LA SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON EN LA ROTACIÓN Suponga que analizamos el movimiento de rotación de un cuerpo rígido de la figura siguiente considere a una fuerza F que actúa sobre la pequeña masa m, indicada por la porción sombreada del objeto (el área delimitada por las dos líneas dentro de la circunferencia) , a una distancia r del eje de rotación.

m

F

aT = αr r

O

La segunda Ley de Newton para el movimiento de rotación enuncia la relación entre el momento de torsión Fr y la aceleración angular α.

La fuerza F aplicada en forma perpendicular a r hace que el cuerpo gire con una aceleración tangencial: aT = αr . Donde α es la aceleración angular. Partiendo de la segunda Ley de Newton del movimiento. F = m aT = m αr . multiplicando ambos lados de esta relación por r queda: Fr = (mr2) α La cantidad Fr se reconoce como el momento de torsión τ producido por la fuerza F con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa m escribimos: τ = (mr2) α Se puede derivar una ecuación similar para todas las demás porciones del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al eje. Por consiguiente, el momento de torsión resultante en todo el cuerpo es: τ = (Σ mr 2) α. o bien τ = I α . Momento de torsión = momento de inercia x aceleración angular. Observe la similitud de la ecuación anterior con la segunda ley de Newton del movimiento lineal, F = ma. La Ley del movimiento rotacional de Newton se enuncia como sigue . “Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo”.

Al aplicar la ecuación de la segunda Ley del movimiento rotacional, es importante recordar que el momento de torsión producido por una fuerza es igual al producto de la distancia al eje por

la componente perpendicular de la fuerza. También debe recordarse que la aceleración angular se expresa en radianes por segundo cuadrado. PROBLEMAS DE LA SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO

ROTACIONAL.

1.- Un disco de esmeril de radio 0.6 m y 90 kg de masa gira a 460 rpm. ¿Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde, hará que el disco se detenga en 20 segundos? Solución: primero calculamos el momento de inercia I del disco a partir de la fórmula: I = ½ m R2. = ½ (90 kg) (0.6 m) 2. = 16.2 kg.m2. Convirtiendo la velocidad rotacional a radianes por segundo obtenemos: ω = 2 π rad/rev x 460 rev/min x 1 min/60 seg . ω = 2 x 3.14 rad/rev x 460 rev/min x 1 min/60 seg = 48.2 rad/seg. Por lo tanto la aceleración angular es: α= ω f – ω o t α= 0 – (48.2 rad/seg) = - 2.41 rad/seg 2. 20 seg Aplicando la Segunda Ley de Newton del movimiento rotacional nos da: τ = Fr = I α despejando F tenemos a partir de la cual: F = I α = ( 16.2 kg.m 2 x -2.41 rad/seg2. = - 65.0 N. r 0.6 m El signo negativo aparece debido a que la fuerza debe tener una dirección opuesta a la de rotación del disco. 2.- Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su eje central, ¿Cuál es la aceleración angular?. Solución: Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ m R 2. I = ½ (5 kg )x (0.20 m) 2. = 0.1 kg.m2. F= Iα r despejando la aceleración α = Fr = 400 N x 0.2 m. = 800 rad/seg2. I 0.1 kg.m2. 3.- Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones por minuto, al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min? Fórmulas: τ = Fr = I α

α= ωf – ωo

t I = ½ mR2. Solución: Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ 3 kg x (0.20 m) 2. I = 0.06 kg.m2. Conversión de las velocidades angulares a rad/seg. ωo = 2 π rad/rev x 200 rev/min x 1 min/60 seg = 20.93 rad/seg. ωf = 2 π rad/rev x 600 rev/min x 1 min/60 seg = 62.8 rad/seg. Cálculo de la aceleración angular: α= 62.8 rad/seg- 20.93 rad/seg. = 0.6978 rad/seg2. 60 seg τ = I α = 0.06 kg.m 2. x 0.6978 rad/seg2. = 0.041 N.m 4.- Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una varilla ligera, describiendo un círculo de 50 cm de radio. ¿Qué momento de torsión se deberá impartir a esa masa una aceleración angular de 2.5 rad/seg2? I = ½ mR2. I = ½ (2 kg) x (0.50 m) 2. = 0.25 kg.m2. τ = I α = 0.25 kg.m 2. x 2.5 rad/seg2. = 0.625 N.m.

e. Evaluación del tema 2.4. Aplicación a movimiento curvilíneo. 1.- El enunciado “Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo” se refiere a: A. Segunda condición del equilibrio B. Segunda Ley de Newton C. Primera Ley de Newton D. Ley del movimiento rotacional de Newton E. Primera condición del equilibrio. 2.- Un disco rectificador de 8 kg tiene 60 cm de diámetro y gira a 600 rev/min. ¿Qué fuerza de frenado se deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de rotación en 5 segundos? A. B. C. D.

12.3 N 18.9 N 15.1 N 22.1 N

E. 14.7 N 3.- Un momento de torsión no balanceado de 150 N.m le imparte una aceleración angular de 12 rad/seg2 al rotor de un generador. ¿Cuál es el momento de inercia.? 10.3 kg.m2 12.5 kg.m2 18.8 kg.m2 15.7 kg.m2 17.2 kg.m2 4.- Una cuerda está enrollada con varias vueltas en un cilindro de 0.2 m de radio y 30 kg de masa. ¿Cuál es la aceleración angular del cilindro si la cuerda tiene una tensión de 40 N y gira sin fricción alguna? A. B. C. D. E.

A. B. C. D. E.

6.66 rad/seg2 4.22 rad/seg2 5.77 rad/seg2 8.55 rad/seg2 1.33 rad/seg2

5.- El radio de giro de una rueda de 8 kg es de 50 cm. Hallar su momento de inercia. A. B. C. D. E.

6 rad/seg2 8 rad/seg2 4 rad/seg2 5 rad/seg2 2 rad/seg2

f. Bibliografía específica del tema 2.4. Aplicación a movimiento curvilíneo. Física, conceptos y aplicaciones. Paul E. Tippens. Ed. McGraw-Hill. Sexta Edición 2001. d. Desarrollo del Tema 2.5. Momento de una fuerza. Subtema 2.5.1. Centro de masa y momento de inercia de un cuerpo rígido. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de la suma de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una de las partículas del mismo. Si el cuerpo es simétrico y homogéneo, la resultante de todas las fuerzas gravitatorias se localiza en el centro geométrico. Si se suspende un cuerpo de su centro de gravedad, queda en completo equilibrio, tanto de traslación como de rotación. Si un cuerpo no es simétrico, como es el caso de un bate de béisbol o el de una piedra, su centro de gravedad puede encontrarse fácilmente si se suspende el cuerpo en dos puntos diferentes. El cruce de las dos líneas que sucesivamente ocupan la posición vertical, es el centro de gravedad. Por centroide se entiende el punto donde estaría el centro de gravedad, si el espacio vacío fuera ocupado por un cuerpo. Por ejemplo, un cuadrado tiene centroide, pero un pedazo de madera cuadrangular tiene centro de gravedad, lo mismo sucede con un tubo metálico, éste tendrá centroide pero una barra cilíndrica tiene centro de gravedad.

El centro de masa de un cuerpo se localiza en aquel punto en el que para cualquier plano que pasa por él, los momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado: Con base en su centro de gravedad, un cuerpo puede tener un equilibrio estable, inestable o indiferente. Para que un cuerpo apoyado esté en equilibrio se requiere que la línea de acción de su peso, o sea la vertical que pasa por su centro de gravedad, pase también por su base de apoyo. Cuando la vertical del centro de gravedad no pasa por el apoyo, el peso y la reacción dejan de ser colineales y se trasforman en un par de fuerzas con su correspondiente momento de rotación, ocasionado que el cuerpo gire o caiga. Un cuerpo está en equilibrio estable cuando al moverlo vuelve a ocupar la posición que tenía debido al efecto de la fuerza de gravedad. Cuando se mueve, su centro de gravedad sube, por ello trata de regresar a su posición inicial. Un cuerpo tiene equilibrio inestable cuando al moverlo baja su centro de gravedad, por lo que trata de alejarse de su posición inicial buscando tener un equilibrio estable. El equilibrio de un cuerpo es indiferente cuando en cualquier posición su centro de gravedad se mantiene a la misma altura , por lo cual no trata de conservar su posición original ni alejarse de ella. En general, la estabilidad de un cuerpo apoyado sobre su base aumenta a medida que es mayor la superficie de sustentación y disminuye al ser mayor la altura de su centro de gravedad. Por ello, los autos de carreras tienen su centro de gravedad lo más bajo posible para

una mayor estabilidad. Hemos visto que una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una velocidad lineal dada por: v=ωR Si la partícula tiene una masa m, tendrá una energía cinética que se obtiene por: Ek = ½ mv2 = ½ m ω2 R2. Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo. Así, Ek = Σ1/2m ω2 r2. Puesto que la constante ½ y la velocidad angular ω son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener: Ek = ½ (Σ mr 2) ω2 . La cantidad entre paréntesis Σ mr2, tiene el mismo valor para un cuerpo dado independientemente de su estado de movimiento. Se define esta cantidad como el momento de inercia y se expresa por I: I = m1r21 + m2r22 + m3r23 + … o bien : I = Σ mr2 .

La unidad del Sistema Internacional para el momento de inercia es kg. m 2. y la unidad para el sistema Inglés es el slug . ft 2. Utilizando esta definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular: Ek = ½ I ω2 .

Note la similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional.

Ejercicios de momento de inercia. 1.- Calcule el momento de inercia para el sistema ilustrado en la figura siguiente. El peso de las barras que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/seg. ¿Cuál es la energía cinética rotacional?. Considera que las masas están conectadas en un punto. 4 kg

0.5 m 2 kg

2 kg 0.2 m

4 kg

Solución: I = m1r21 + m2r22 + m3r23 + m4r24. I = (2 kg) (0.5 m)2 + (4 kg) (0.2 m)2 + (2 kg) (0.5 m)2 + (4 kg) (0.2 m)2. I = (0.50 + 0.16 + 0.50 + 0.16) kg.m 2. I = 1.32 kg. m2. La energía cinética rotacional está dado por:

Ek = ½ I ω2 . = ½ (1.32 kg. m2) (6 rad/seg) = 23.8 Joules.

Para cuerpos que no están compuestos por masas separadas, sino que son en realidad distribuciones continuas de material, los cálculos del momento de inercia son más difíciles y generalmente requieren conocimientos de cálculo integral. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos sencillos, junto con las fórmulas para calcular sus momentos de inercia. Cuerpo Aro delgado Aro delgado alrededor de uno de sus diámetros. Disco sólido Cilindro sólido Cilindro hueco Barra delgada, eje a través de su centro. Barra delgada, eje en uno de sus extremos. Esfera sólida, eje en su diámetro Esfera hueca de pared delgada.

Fórmula I = mR2. I = ½ mR2. I = ½ mR2. I = ½ m R2. I = ½ m(R12+R22) I = 1/12 ml2. I = 1/3 ml2. I = 2/5 mR2. I = 2/3 mR2.

A veces es conveniente expresar la inercia rotacional de un cuerpo en términos de su radio de giro k. Esta cantidad se define como la distancia radial del centro de rotación a la circunferencia en la cual se puede considerar concentrada la masa total del cuerpo sin cambiar su momento de inercia. De acuerdo con esta definición, el momento de inercia se calcula a partir de la fórmula: I = mk2.

Donde m representa la masa total del cuerpo que gira y k es su radio de giro. 2.- Una masa de 2 kg y una masa de 6 kg están unidas por una barra ligera de 30 cm. Se hace girar el sistema horizontalmente a 300 rpm en torno a un eje localizado a 10 cm de la masa de 6 kg. ¿Cuál es el momento de inercia en torno de este eje? ¿Cuál es la energía cinética rotacional?

300 rpm

0.10 m

0.20 m

2 kg

6 kg

300 rev/min x 1 min/60 seg = 5 rev/seg. ω = 2 π F = 2 x 3.14 x 5 rev/seg = 31.4 rad/seg. I = m1r12 + m2r22 = (6 kg) (0.1 m)2 + (2 kg) (0.20 m) 2. = 0.06 kg.m2 +0.08 kg.m2. I = 0.14 kg.m2. Ek = ½ I ω2 . = ½ 0.14 kg.m2 x (31.4 rad/seg)2. = 69.1 Joules.

3.- La rueda de una bicicleta pesa 1.2 kg y tiene 70 cm de radio; además, tiene rayos cuyo peso es insignificante. Si parte del estado de reposo y recibe una aceleración angular de 3 rad/seg 2, ¿Cuál será su energía cinética rotacional después de 4 segundos?

0.70 m

α = ω/t. despejando ω = α t = 3 rad/seg 2. x 4 seg =12 rad/seg I = m1r21. = (1.2 kg) x (0.70 m) 2. = 0.588 kg.m2. Ek = ½ I ω2 . = ½ (0.588 kg.m2) (12 rad/seg)2. = 84.67 Joules.

4.- Un disco esmeril de 16 libras gira a 400 rev/min. ¿Cuál es el radio del disco si su energía cinética es de 54.8 ft.lb ¿Cuál es el momento de inercia? m = P/g = 16 lb/32.2 ft/seg2. = 0.496 slug.

400 rev/min x 1 min/60 seg = 6.66 rev/seg ω = 2 π F = 2 x 3.14 x 6.66 rev/seg = 41.82 rad/seg Ek = ½ I ω2 . despejando I tenemos: I = 2 E k/ ω2 . = 2 (54.8 ft.lb)/(41.82 rad/seg) 2= 0.06256 slug.ft2. ___ _____________________ 2 I = mk . Despejando k = √I/m = √ 0.0626 slug.ft2/0.496 slug. = 0.3549 ft.

Conversión de unidades: 1 ft = 12 pulgadas. 0.3549 ft ( 12 pulgadas) = 4.26 pulgadas. 1 ft 5.- ¿Cuál deberá ser el radio de un disco circular de 4 kg si se requiere que su momento de inercia sea igual al de una varilla de 1 kg de peso y 1 m de longitud que oscila apoyada en su punto medio?. I = m1r12 = (1 kg) (0.5 m) 2.= 0.25 kg.m2. I = mk2. despejando k = √I/m = √0.25 kg.m2/4kg= 0.25 m. SUBTEMA 2.5.2. MOVIMIENTO DE ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO. TRABAJO Y POTENCIA ROTACIONALES. El trabajo mecánico lineal se define como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. T = F x s. T = F s cos θ. Y las unidades del trabajo mecánico lineal son N.m = Joule. Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Considere la fuerza F que actúa al borde de una polea de radio r, como muestra la figura siguiente:

t=0

s

θ

F

r

t=t

F

TRABAJO Y POTENCIA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION.

El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través de un ángulo θ, mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una distancia s. La distancia del arco s, se relaciona con θ, mediante la ecuación: s = r θ. (1) Así, el trabajo de la fuerza F es por definición: Trabajo = Fs = F r θ. (2) Pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto el trabajo rotacional está dada por: Trabajo rotacional = τ θ. (3)

El ángulo θ, debe expresarse en radianes en cualquier sistema de unidades de modo que el trabajo rotacional pueda expresarse en libra.ft o joules (N.m). La energía mecánica generalmente se transmite en la forma de trabajo rotacional. Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que nos interesa saber es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la ecuación (3), por el tiempo t requerido para que el momento de torsión τ lleve a cabo un desplazamiento θ: Potencia = trabajo = τ θ t t Puesto que θ/t representa la velocidad angular media ω, escribimos: Potencia rotacional = τ ω .

Observe la similitud entre esta relación y su análoga, P = F v (fuerza por velocidad lineal). Ambas medidas son una potencia media. PROBLEMAS DE TRABAJO Y POTENCIA ROTACIONALES.

1.- Una rueda de 60 cm de radio tiene un momento de inercia de 5 kg.m 2. Se aplica una fuerza constante de 60 Newtons al borde de ella. a) Suponiendo que parte del reposo, ¿qué trabajo realiza en 4 segundos?, b) ¿Qué potencia se desarrolla? Solución a): El trabajo es el producto del momento de torsión por el desplazamiento angular. Primero calculamos el momento de torsión aplicado: τ = Fr = (60 N) (0.6 m) = 36 N.m. A continuación, determinamos la aceleración angular α a partir de la segunda Ley de Newton del movimiento rotacional: α = τ/I = 36 N.m/5 kg.m 2. = 7.2 rad/seg2. Ahora se puede calcular el desplazamiento angular θ. θ = ωot +1/2 αt2. θ = ½ (7.2 rad/seg2) (4 seg)2= 57.6 rad. por lo tanto el trabajo rotacional es: Trabajo = τ θ = 36 N.m x 57.6 rad = 2070 Joules. Solución (b). La potencia media es: P = trabajo/t = 2070 J/4 seg = 518 Watts. 2.- Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 40 Newtons que la desplaza una distancia lineal de 5 metros. ¿Cuál es el trabajo lineal realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál es el trabajo rotacional realizado por el disco? T lineal = F x d = 40 N x 5 m = 200 N. m = 200 Joules. Trabajo rotacional = Trabajo = τ θ = 40 N x 5 m = 200 N.m = 200 joules.

3.- Un motor de 1200 Watts impulsa durante 8 segundos una rueda cuyo momento de inercia es de 2 kg.m2. Suponiendo que la rueda estaba inicialmente en reposo, ¿qué rapidez angular promedio llegó a adquirir? Potencia rotacional = Trabajo/tiempo. despejando el trabajo tenemos: Trabajo = Potencia x tiempo = 1200 Joules/seg x 8 seg = 9600 Joules. aceleración angular = α= τ /I = 9600 N.m/2 kg.m2. = 4800 rad/seg2. α = ω /t. despejando ω = α t = 4800 rad/seg2 x 8 seg = 38400 rad/seg. 4.- Un motor de 600 Watts impulsa una polea con una velocidad angular promedio de 20 rad/seg. ¿Cuál es el momento de torsión así obtenido? Potencia = τ ω. despejando τ = Potencia/ ω = 600 N.m/seg/20 rad/seg = 30 N.m. 5.- Una máquina funciona a 1800 rev/min y desarrolla una potencia de 200 H.P. ¿Qué momento de torsión desarrolla? Conversión de unidades: 2 π rad/rev x 1800 rev/min x 1 min/60 seg = 2 x 3.14 x 1800 / 60 = 188.4 rad/seg.

Conversión de unidades de potencia 200 H.P. x 746 Watts/1 H.P. = 149200 Watts. Potencia = τ ω. despejando τ = Potencia/ ω = 149200 N.m/seg/188.4 rad/seg = 792 N.m. e. Evaluación del Tema 2.5. Momento de una fuerza. 1.- Es el punto donde estaría el centro de gravedad, si el espacio vacío fuera ocupado por un cuerpo. A. Centro de masa B. Centro de gravedad C. Centroide D. Centro del peso E. Centro de inercia 2.- El ________________ de un cuerpo se localiza en aquel punto en el que para cualquier plano que pasa por él, los momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado A. Centroide B. Centro del peso C. Centro de inercia D. Centro de gravedad E. Centro de masa

3.- Un cuerpo está en ______________ cuando al moverlo vuelve a ocupar la posición que tenía debido al efecto de la fuerza de gravedad. A. Equilibrio inestable B. Equilibrio libre C. Equilibrio externo D. Equilibrio estable E. Equilibrio indiferente 4.- Una fuerza constante de 200 N actúa sobre el borde de una rueda de 36 cm de diámetro y la impulsa a 20 revoluciones en 5 segundos. ¿Qué potencia se ha desarrollado? A. 845 Watts B. 905 Watts C. 765 Watts D. 689 Watss E. 580 Watts 5.- ¿Cuanto trabajo se requiere para reducir la rotación de una rueda de 400 rev/min a 100 rev/min cuya masa es de 8 kg y su radio de 50 cm? A. 1267 Watts B. 1644 Watts C. 1189 Watts

D. 1378 Watts E. 1567 Watts f. Bibliografía específica del Tema 2.5. Momento de una fuerza. Física, conceptos y aplicaciones. Paul E. Tippens. Ed. McGraw-Hill. Sexta Edición 2001. 7. Evaluación de la Unidad Temática II Cinética de la partícula y del cuerpo rígido. a.- Los equipos 1, 2, y 3 Investigarán en libros y sitios de internet, los enunciados de las 3 leyes de Newton y de la gravitación universal y resolverán 10 problemas de la Segunda Ley y de la gravitación universal (5 problemas de cada uno). Los equipos 4, 5, y 6 investigarán en libros y sitios de internet, las definiciones de fuerza máxima estática y dinámica, fricción, coeficientes de fricción estática y dinámica y resolver 10 problemas calculando dichos parámetros. Los equipos 7 y 8 Resolverán 10 problemas de aplicación de movimiento rectilíneo, en la cual se apliquen la segunda y la tercera Ley de Newton, en la cual se hallen, tensiones de cuerdas, aceleración, y peso de cuerpos. Los equipos 9, 10 y 11, investigarán los conceptos de energía cinética rotacional, la segunda Ley de Newton aplicado al movimiento rotacional y resolverán 10 problemas de aplicación hallando, momentos de torsión, energía cinética rotacional, momento de inercia y radio de giro de los cuerpos. Los equipos 12 y 13, investigarán los conceptos y ecuaciones de centro de masa, momento de inercia, trabajo y potencia rotacionales, aceleración angular, radio de giro y fuerza que se aplican a los cuerpos y resolverán 10 problemas hallando los parámetros mencionados. b. Reactivos de evaluación de la Unidad Temática II Cinética de la partícula y del cuerpo rígido. 1.- La ley de la proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones es otro nombre que recibe la: A. Tercera Ley de Newton B. Primera condición de equilibrio C. Segunda condición de equilibrio D. Segunda Ley de Newton E. Primera Ley de Newton. 2.- Un cuerpo con una masa de 4 kg, requiere del doble de la fuerza para moverse que un cuerpo de 2 kg. Esto ilustra una de las Leyes de Newton. ¿Cuál es? A. Primera B. Tercera C. Quinta D. Cuarta E. Segunda 3.- Determine la masa de una persona en slugs cuyo peso es de 150 libras. Utilice el valor de la fuerza de gravedad del sistema inglés. A. 3.44 slugs B. 4.69 slugs

C. 5.99 slugs D. 8.77 sllugs E. 7.56 slugs 4.- Encuentre el peso de un bloque de 18 kg. A. 198 N B. 170 N C. 176 N D. 233 N E. 190 N 5.- Este tipo de fricción es la reacción que presente un cuerpo en reposo, oponiéndose a su deslizamiento sobre otra superficie A. B. C. D. E.

Fricción tangencial Fricción centrípeta Fricción centrífuga Fricción estática Fricción dinámica

6. Este tipo de fricción es la que se requiere aplicar para que un cuerpo se deslice a velocidad constante sobre otro cuerpo. A. B. C. D. E.

Fricción centrípeta Fricción centrífuga Fricción estática Fricción tangencial Fricción dinámica

7.- Se aplica una fuerza de 25 Newtons durante 4 segundos sobre un bloque de 55 Newtons para desplazarlo en una superficie horizontal con un coeficiente de fricción dinámico de 0.3. Calcular la velocidad que adquiere el bloque a los 4 segundos y la distancia recorrida en ese tiempo. A. v = 8.56 m/seg, d = 18.567 m B. v = 4.55 m/seg, d = 10.342 m C. v = 4.52 m/seg, d = 14.234 m D. v = 5.23 m/seg, d = 15.874 m E. v = 6.06 m/seg, d = 12.112 m 8.- Un montacargas eleva un cuerpo cuyo peso es de 2310 N con una fuerza 2935 N. Determine la aceleración con que sube el cuerpo. A. 3.44 m/seg2 B. 2.65 m/seg2. C. 5.66 m/seg2 D. 2.77 m/seg2 E. 1.23 m/seg2 9.- La tercera Ley de Newton también es conocida como la ley de:

Aplicaciones a Movimiento Rectilineo

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