RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS PROBLEMAS RESUELTOS
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.
CASOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Existen cuatro casos de triángulos oblicuángulos: • El I y II se resuelven con Ley de Senos • Los III y IV se resuleven con Ley de Cosenos
I Ángulo Ángulo Lado
II Lado Lado Ángulo ( Á L L)
III Lado Ángulo Lado
IV Lado Lado Lado
LEY DE SENOS Para sacar cualquier lado:
Para obtener un ángulo:
Ejemplo de ley de senos El capitán de un barco visualiza el puerto donde el buque va ha atracar visualiza también un faro que esta a 4.95km. de distancia de el puerto y mide el ángulo entre las dos visuales que resulta ser de 28.47° . Despues de viajar 5.75km. directamente hacia el puerto se vuelve a hacer la medición que resulta ser de 56.79°. a) ¿Qué tan lejos esta el buque de el puerto cuando se hizo la segunda medición? 1° Sustituimos y despejamos con Ley de Senos para poder sacar la distancia de el faro al barco despues de viajar 5.75km. 2° Sustituimos y despejamos con Ley de Senos para poder sacar el ángulo que forma la distancia
del
puerto
al
buque
y
del
puerto
al
faro
(α2)
3° Nuevamente sustituimos y despejamos con Ley de Senos para poder sacar la distancia
del
buque
al
puerto
después
de
la
segunda
medición.
LEY DE COSENOS Para sacar cualquier lado:
Para obtener cualquier ángulo:
Un barco sale desviado de su rumbo para evitar una tormenta 26.57°, despues de navegar 6.19Km. retorna a su rumbo original .Si su destino quedaba originalmente a 7.27km. a) Cuanta distancia le falta recorrer para llegar a su destino cuando cambio de rumbo? b)
Cuantos
grados
debe
girar
el
barco
para
retomar
su
rumbo?
1° Sacamos el ladod que nos falta sustituyendo y despejando son Ley de Cosenos 2°
Stituimos
y
despejamos
con
Ley
de
Cosenos
para
sacarβ
3° Para sacar el tercer ángulo( como es suplemeetario de β) a 180° le restamos β para sacar γ.
Caso IV ( Lado Lado Lado) Un estudiante se encuentra en la biblioteca y camina 45.2m. para llegar al auditorio, después de tomar su clase de Teatro se dirige a la alberca por lo que camina 97.77m. , como tiene examen de matemáticas camina 73.44m. de regreso a la biblioteca. Saca los ángulos del triangulo formado. 1° sustituimos con la Ley de Cosenos y despejamos para sacar α
2° Nuevamente sustituimos con la Ley de Cosenos y despejamos para sacar β 3° a 180° (que es lo que mide la suma de los tres ángulos internos de un triangulo oblicuángulo) le restamos los ángulos que ya saca mos αy β para poder sacar el tercer ángulo que es “γ “
Definición de triángulo acutángulo.De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre varias clases de triángulos. Los
triángulos acutángulos son aquellos cuyos tres ángulos internos son agudos, ya que miden menos de 90º. Esto quiere decir que un triángulo cuyos ángulos interiores miden 45º, 80º y 55º, por ejemplo, es un triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos. Si tuviera un ángulo que mide 90º, en cambio, sería un triángulo rectángulo por la presencia del ángulo recto. En cambio, si uno de sus ángulos fuera obtuso (más de 90º), recibiría la calificación de
triángulo obtusángulo. Es importante resaltar que los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos también forman parte del grupo de los triángulos oblicuángulos, denominación que alude a que ninguno de los ángulos internos es recto. Si nos centramos en las medidas de sus lados, los triángulos acutángulos pueden incluirse además en otros conjuntos. Hay triángulos acutángulos que también son triángulos
equiláteros porque sus tres lados miden lo mismo. Otros triángulos acutángulos son
triángulos isósceles, con dos lados idénticos y uno distinto. Los triángulos acutángulos, por último, pueden ser triángulos escalenos si los tres lados presentan diferente extensión. Teniendo en cuenta lo explicado, es importante recordar que un triángulo puede ser acutángulo y equilátero o acutángulo y escaleno, por citar dos posibilidades, ya que son clasificaciones que aluden a distintas características de las figuras.
Área y perímetro de un triángulo Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.
Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno
Área de un triángulo El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.
La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ejemplo Hallar el área del siguiente triángulo:
Área de un triángulo equilátero
Ejemplo Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
Área de un triángulo rectángulo El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.
Ejemplo Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
Semiperímetro El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2. Se nombra con la letra p.
Fórmula de Herón La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.
Ejemplo Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.
Circunferencia circunscrita a un triángulo
R = radio de la circunferencia circunscrita
Circunferencia inscrita en un triángulo
r = radio de la circunferencia inscrita p = semiperímetro
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:
¿Cómo se obtiene? El área del triángulo isósceles se obtiene como el producto de la base (el lado b) por la altura (h) dividido por dos ( Nota: ¿por qué el área de un triángulo es un medio del producto de la base por la altura?).
Ésta se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los costados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa. La altura h correspondiente a la base se obtiene por los siguientes cálculos:
La altura (h) será:
Se aplica que el área es un medio del producto de la base (b) por la altura (h):
