INVESTIGACION DE CALCULO II TEMA: APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA DE:
DERIVADAS
INTEGRALES POR SUSTITUCION INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
INTEGRALES DOBLES
INTEGRANTES:
Fanny Mantilla Alejandro Boloña
DOCENTE: ING ELSA GENOVEVA MAYORGA
PARALELO 01 Verano 2011 1er parcial
INDICE INTRODUCCION…………………………………………………………………………………………3 OBJETIVOS………………………………………………………………………………………………..4 JUSTIFICACION…………………..…………………………………………………………………....5 DERIVADAS Y SUS APLIC ACIONES…………………… ACIONES……………………………………… ……………………………………….… …………………….…6 6 INTEGRALES POR SUSTITUCION Y SUS APLICACION………………………………….11 APLICACION………………………………….11 INTEGRALES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES………….…… APLICACIONES………….……..…………18 ..…………18 INTEGRALES DOBLES Y SUS APLICACIONES………………………………………..….…2 APLICACIONES………………………………………..….…25 5 CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………….34 RECOMENDACIONES……………………………………………………………………………… ..35 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………….…....3 6
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INDICE INTRODUCCION…………………………………………………………………………………………3 OBJETIVOS………………………………………………………………………………………………..4 JUSTIFICACION…………………..…………………………………………………………………....5 DERIVADAS Y SUS APLIC ACIONES…………………… ACIONES……………………………………… ……………………………………….… …………………….…6 6 INTEGRALES POR SUSTITUCION Y SUS APLICACION………………………………….11 APLICACION………………………………….11 INTEGRALES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES………….…… APLICACIONES………….……..…………18 ..…………18 INTEGRALES DOBLES Y SUS APLICACIONES………………………………………..….…2 APLICACIONES………………………………………..….…25 5 CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………….34 RECOMENDACIONES……………………………………………………………………………… ..35 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………….…....3 6
2
Introducción
Las matemáticas matemáticas son conocidas como las ciencias cien cias exactas, y son útiles en todas las profesiones. Esta rama de la ciencia nos brinda herramientas o métodos que hacen más fáciles los procesos en cada una de las disciplinas en las que nos desempeñamos. Las Derivadas e Integrales son unos pocos ejemplos de esas herramientas que nos ofrecen las matemáticas y que nos hacen más fáciles nuestras tareas. Esta investigación tiene como fin investigar en qué profesiones se pueden utilizar estos cuatro temas vinculados al Cálculo 2 como materia; ya que hasta ahora es muy común que las personas personas piensen de manera incorrecta incorrecta que las matemáticas matemáticas no son de gran utilidad si es que estudia profesiones tales como la medicina, biología, ecología, marketing, etc., normalmente sólo piensan que va a servir si se desea ser profesor de matemáticas como carrera. Con la siguiente investigación vamos a demostrar lo opuesto debido a que existen varias formas de aplicar las matemáticas matemáticas en nuestras nu estras profesiones, en este caso las derivadas y las integrales. in tegrales.
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Objetivos 1.- Indicar la importancia de los límites, determinantes, matrices, y trigonometría , en la vida diaria.
2.- Determinar los usos y aplicaciones de las derivadas, integrales por sustitución, integrales trigonométricas e integrales dobles en otros campos distintos de las ciencias empresariales.
3.- Establecer la importancia las herramientas y de los procesos matemáticos en el desarrollo de la humanidad.
4.- Investigar cómo son los procesos dentro de áreas distintas al ámbito empresarial, como lo son: la medicina, biología, telecomunicaciones, etc.
5.- Informar sobre temas de interés actuales respecto a las aplicaciones de lo que hemos aprendido en la clase de Cálculo 2.
6.- Expresar, gracias a este trabajo, los resultados obtenidos de nuestra investigación.
7.- Aportar a la comunidad con una investigación precisa y de fácil comprensión.
4
Justificación El siguiente trabajo de investigación se lleva acabo debido a la importancia que tienen las matemáticas tanto como en las carreras universitarias como en la vida diaria, las matemáticas
son de mucha
importancia si al hablar de números se trata, nuestra vida está llena de números, de cálculos y problemas los cuales pueden solucionarse si sabemos aplicar correctamente las matemáticas, siempre y cuando queramos precisión y una respuesta más acertada y correcta. En general, las matemáticas le sirve tanto al estudiante como al padre de familia, al profesional, etc.; y trae consigo muchos beneficios como por ejemplos: para estructurar su pensamiento, para comprender los fenómenos del mundo que lo rodea, para interpretar, modelar y resolver problemas prácticos, en particular del área relacionada con su profesión o situación por la cual este atravesando. Las Matemáticas promueven al estudiante a que en su formación pueda llegar a ser una persona crítica, ordenada y propositiva, al momento de enfrentarse a situaciones problemáticas en su entorno. Lo provee de un lenguaje básico y una estructura de pensamiento tales, que le permiten desenvolverse eficientemente en otras áreas del conocimiento tales como Física, Química, Estadística, h umanidades, arquitectura y de esta manera contribuye desde muchos aspectos, a la comprensión de la naturaleza fomentando el desarrollo razonable de la misma, mejorando su entorno para lograr una sociedad más justa, tolerante, abierta y promotora de cambios científicos y tecnológicos, de una manera responsable, armónica y precisa, mas apegada a la realidad.
5
Desarrollo La derivada 1
El cálculo es la matemática del cambio, y la herramienta principal para estudiar el
cambio es un procedimiento llamado derivación. La derivada de una función
respecto a es la función
dada por:
Técnicas de derivación.Regla de la constante
Regla de la potencia
Regla del factor constante
Regla de la suma
Regla del producto Si
y
son derivables en x, entonces su producto
es derivable y:
1
(Larson, Hostetler, & Edwards, 2006)
6
también
O de otra forma equivalente,
En otra palabras, la derivada del producto la derivada de
es por la derivada de mas por
Regla del cociente Si
y
son funciones derivables, entonces el cociente
también es derivable y:
[ ] O de forma equivalente,
Aplicación de la derivada 2
1.- Aplicación de la derivada en la física
Usamos la derivada para calcular la velocidad con la que un saltador se
lanza de un trampolín en el
instante t=0, el saltador está a 32 pies sobre el nivel del agua de la piscina (ver la figura). La posición del saltador está dada por
Donde s se mide en pies y t segundos.
2
(Larson, Hostetler, & Edwards, 2006)
7
a) Para determinar el momento en que toca el agua hacemos s=0 y despejamos t.
Como
, hemos de seleccionar el valor positivo, así que el saltador llega
al agua en
segundos
b) Su velocidad al momento del impacto está dada por la derivada . En consecuencia, su velocidad en Pies por segundo.
3
es
2.- Aplicaciones a negocios y economía
Aplicamos las
derivadas para introducir la idea del costo
marginal. Recordando que si C(x), la función de costo, es el costo de producir X unidades de un cierto producto, entonces el costo marginal es el cambio de C con respecto a X. En otras palabras, la función de costo marginal es la derivada función de costo.
, de la
Ahora consideremos la mercadotecnia. Sea p(x) el precio por unidad que la compañía puede cobrar si vende x unidades. Entonces p recibe el nombre de función de demanda (o función de precio) y esperaríamos que fuera una función decreciente de X. Si se venden X unidades y el precio por unidad es p(x), el ingreso total es:
Y R se denomina función de ingreso. La derivada
de la función de ingreso se
llama función de ingreso marginal y es el cambio de ingreso con respecto al número de unidades vendidas.
3
(Stewart, 2006)
8
Si se venden x unidades, entonces la unidad total es:
Y P c llama función utilidad. La función utilidad marginal es función utilidad.
, la derivada de la
En muchos casos se utilizan estas funciones de costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal para reducir al mínimo costos y maximizar ingresos y utilidades. 4
3.- Aplicación en la estadística
Razón de cambio de la matricula de niños en las escuelas. Tenemos un sociólogo que estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que X años después de iniciado un programa particular, f(x) miles de niños estarán matriculados, donde
Entonces con esa función podremos calcular qué razón cambiara la matricula después de 3 años de iniciado el programa. La razón de cambio de f(x) es
Después de 3 años la razón de cambio es:
()
Así, la matricula estará creciendo entonces a razón de 4
(Haeussler & Paul, 2003)
9
miles de niños por año.
5
4.- Aplicación en la economía
Aplicamos derivadas para conocer el ingreso marginal. Supóngase que un fabricante vende un producto a $2 por unidad. Si se venden q unidades, el ingreso total esta dado por
La función de ingreso marginal es:
Que es una función constante. Entonces, el ingreso marginal es igual a 2 sin importar el número de unidades vendidas. Esto es lo que esperaríamos, ya que el fabricante recibe $2 por cada unidad vendida.
5
(Haeussler & Paul, 2003)
10
Integración por sustitución 6
La mayoría de las funciones que aparecen en las situaciones practicas pueden ser
derivadas aplicando reglas y formulas. Sin embargo, la integración es tanto un arte como una ciencia, y muchas integrales que parecen simples en realidad requieren de una técnica especial o de una vista ingeniosa.
∫
Uso de la integración por sustitución Paso 1. Se elige una sustitución
que ´´simplifique´´ el integrando
Paso 2. Se expresa toda la integral en términos de
que todos los términos contienen y
contienen y
.
y
Esto significa
deben ser transformados en términos que
Paso 3. Cuando termina el paso 2, la integral dada deberá tener la forma
Si es posible, se calcula esta integral transformada encontrando una anti derivada
de
Paso 4. Se reemplaza de
por
en
para obtener una anti derivada
, de manera que:
() Un viejo adagio dice: ´´El primer paso para cocinar un estofado de conejo es atrapar un conejo´´ De la misma manera, el primer paso en la integración por sustitución es encontrar un cambio de variable adecuado
∫
el integrando de la integral dada cuando
se reemplaza por
.
6
(Hoffmann, Bradley, & Rosen, 2004)
11
, que simplifique
sin agregar complejidad indeseada
Aplicaciones de integrales por sustitución 1.- Aplicación en la economía Se estima que el precio p (dólares) de cada unidad de un cierto articulo cambia a una tasa de
√ Donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el número de unidades compradas a ese precio). Suponga que se demanda 400 unidades
cuando el precio es de $30 por unidad.
Determinamos la función de la demanda El precio por unidad demandada
se determina integrado
. Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución ,
Y se obtiene
Como
cuando
√ ⁄ se tiene que
12
con respecto a
√ Cuando se demandan 300 unidades, x=3 y el precio correspondiente es
No se demanda ninguna unidad cuando x=0 y el precio correspondiente es
√ 2.- Aplicación en la economía 7
Aplicamos integrales por sustitución en la economía,
supongamos
que
en
el
departamento
de
investigación de una cadena de ferretería ha determinado que en una tienda el precio marginal de x cajas por semana de un tipo particular de clavos es
Encontramos la función de demanda si la demanda semanal de este tipo de clavos es de 10 cajas cuando el precio de una caja de clavos es de $4
Para encontrar la función de demanda
Haga
Entonces
primero integre
y
7
(Hoffmann, Bradley, & Rosen, 2004)
13
como sigue
Encuentre el valor C con la información dada de que p=4 cuando x=10
Al reemplazar C por 3,18 en la ecuación (1), se obtiene la función demanda.
3.- Aplicaciones en la industria de la música 8
Usamos integrales por sustitución para determinar las
100 canciones más populares de cada año desde 1956, Jim Quirim y Barry Cohen desarrollaron una función que representa la razón de cambio en las graficas de
8
(Lial & Hungerford, 2000)
14
la revista Billboard requerida para que una canción gane una estrella en la encuesta “Hot 100” de la revista. Desarrollaron la función
Donde f(x) representa la razón de cambio en la posición de las graficas, x es la posición en la encuesta “Hot 100” y A y B son constantes apropiadas. La función
Se define como el “índice de popularidad”. Encuentre F(x). Al integrar
Sea
resulta
entonces
por lo que
(El valor absoluto no es necesario, ya que
15
aquí siempre es positivo
4.- Aplicación en la medicina 9
Aplicamos integrales en la medicina para conocer la
concentración de cierto medicamento en el torrente
⁄
sanguíneo, sabiendo que cuya concentración miligramos por centímetro cubico paciente es de 0,5
⁄
en
de un
inmediatamente después
de una inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de
Por minuto.
Primero determinamos una expresión para
Y se obtiene
9
(Hoffmann, Bradley, & Rosen, 2004)
16
Como
=0,5 y
Entonces teniendo esto podemos decir que la concentración después d tres horas
es:
17
Integrales trigonométricas Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución –desde luego que son válidos los teoremas de integración –, pero sobre todo se deben tener siempre presentes lo siguiente:
(senu)’=cosu u’ (cosu)’= –senu u’ (tanu)’= sec 2 u u’ (ctgu)’= – csc 2 u u’ (secu)’= secu tanu u’ (cscu)’= - cscu ctgu u’
i.
Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.
ii.
Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
iii.
Reducir una fracción impropia.
iv.
Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.
v.
Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x) .
vi.
Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)) .
Es necesario tener siempre a la mano una tabla de “identidades trigonométricas y sustituyendo adecuadamente, llegarás a las “fórmulas básicas”. En especial cuando además de los términos trigonométricos existen factores polinómicos o exponenciales, lo más seguro es que la integral propuesta deba ser resuelta por partes. 18
Algunas de las identidades trigonométricas que te pueden ser útiles son: Identidades trigonométricas útiles Identidades fundamentales
Del teorema de pitágoras
Translaciones
1. cscx=1/senx
7. sen 2 x+cos 2 x=1
10. sen(-x)= –s enx
2 . secx=1/cosx
8. 1+tan 2 x=sec 2 x
11. cos(-x)=cosx
3. tanx=senx/cosx
9 . 1+ctg 2 x=csc 2 x
12. tan(-x)=-tan(x)
4. ctgx=cosx/senx
Sumas y restas de ángulos
5. tanx=1/ctgx
6. ctgx=1/tanx
Ley de senos
18.sen(x+y)=senxcosy+cosxse ny
13. sen (π/2 – x)=cosx
14. cos(π/2 – x)=senx
15. tan(π/2 – x)=ctgx
19.
Múltiplos de ángulos
sen(x – y)=senxcosy –c osxseny
24. sen2x=2senxcos
20. cos(x+y)=cosxcosy –s enxseny
x
25. cos2x=cos 2 x- 16. senA/a=senB/b=sen
21.
sen 2 x
C/c
cos(x – y)=cosxcosy+senxseny
26. cos2x=2cos 2 x-1 27. cos2x=1-2sen 2 x
Ley del coseno
22. tan(x+y)=(tanx+tany)/(1 – 28. tan2x=stanx/(1- tan 2 x)
tanxtany)
29. sen 2 x=(1- 17. c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC
23. tan(x – y)=(tanx –
cos2x)/2
tany)/(1+tanxtany)
30. cos 2 x=(1+cos2x) /2
19
Aplicaciones de las integrales trigonométricas 1.- Aplicación en la ingeniería: Algunos desiertos del norte del país se caracterizan porque durante el día son demasiado calientes y durante la noche muy fríos. Para mantener constante la temperatura en su casa, los habitantes
de esa región tienen instalado un
sistema automático de clima artificial, el cual suministra calor durante la noche y frío durante el día; así, se equilibra la temperatura interior con la del exterior. Supongamos que se elabora un registro de datos, se encuentra la razón de cambio promedio de todos los pares y datos consecutivos, se grafica la razón de cambio promedio y se obtiene una función que pase lo más cercanamente posible por todos los puntos de la gráfica. Esta función se llama razón de cambio instantáneo. La función ƒ (t ) que describe la velocidad o razón del cambio instantáneo con que el sistema de clima artificial suministra calor o frío es
De acuerdo con esto, debes evaluar la integral de la función de razón de cambio Instantáneo para obtener la energía que consume el sistema de clima artificial, ya sea para calentar o enfriar. Mas si se quiere obtener la energía que consume el sistema para calentar, debemos observar las regiones que se encuentran por encima del eje X , a fin de determinar los límites de integración y sumar las áreas de ambas regiones. La grafica de la función es:
20
Por lo tanto:
El mismo razonamiento se aplica para calcular la energía que consume el sistema para enfriar, es decir, con base en la región que se encuentra por debajo del eje X se determinan los límites de integración y posteriormente se resuelve la integral.
21
2.- Aplicación en el comercio 10
Se aplican integrales trigonométricas en el comercio
para saber en qué semanas son las ventas máximas de trajes de baños y con qué frecuencias cambian las ventas al final del año. Suponga que el numero de trajes de baños vendidos en una tienda en las playas de Nueva Jersey, durante
la semana de un año particular, esta modelado por la función
* + * + Las ventas son máximas cuando
y durante el intervalo
esto ocurre solo cuando t=24. Por tanto, las ventas máximas se
presentan durante la semana 24, cuando se venden
trajes
de baño.
Para determinar la frecuencia de cambio de ventas con respecto al tiempo, derivamos B(t):
10
(Hoffmann, Bradley, & Rosen, 2004)
22
,* +- * + Sustituyendo t=52 en esta función de frecuencias, encontramos que:
* +
En consecuencia, al final del año, las ventas están disminuyendo a razón de aproximadamente 2 trajes por semana.
3. Aplicación en la estadística 11
Aplicamos integrales trigonométricas en la
estadística. Supongamos que tenemos que el tamaño de una población animal varia con las estaciones. Suponga que P(t) es la población de un rebaño de mamíferos grandes en el momento t(meses) y que
Si la población inicialmente es de 3000, ¿Cuál será su tamaño un año después? Separando las variables e integrales, se obtiene
Como
, se encuentra que
Y la población en el momento t es
11
(Hoffmann, Bradley, & Rosen, 2004)
23
Por tanto, después de 1 año (T=12 meses) se tiene
De modo que la población aumenta a unos 3069 durante el año
4.- 12 Aplicación en el desarrollo intelectual El uso de las integrales en la resolución de problem as debe caracterizar
el
proceso
de
enseñanza
(Aprendizaje de esta materia). Debe servir para que los alumnos desarrollen una visión amplia y científica de la realidad, para estimular la creatividad y la valoración de las ideas ajenas, la habilidad para expresar las ideas propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errores cometidos. Las estrategias que se desarrollan al resolver problemas constituyen una parte esencial de la educación matemática y activan las competencias necesarias para aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en contextos reales.
12
(S.A.)
24
Integrales dobles Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área A. Sea (x j,y j) un pto del jesimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:
f(x, y)dA
R
n
lim f(x j , y j )ΔA
n j 1
Interpretación grafica: La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.
Calculo de integrales dobles: La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas.
f(x, y)dA
d
c
b
b d
f(x, y)dxdy
a
R
25
a c
f(x, y)dydx
Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable. Propiedades: a)
K.f(x, y)dA
K f(x, y)dA
R
b)
R
f(x, y) g(x, y)dA
R
f(x, y)dA g(x, y)dA R
c) Si f(x, y) 0, (x, y) R,
R
f(x, y)dA 0
R
d) Si R R 1 R 2 , donde R 1 y R 2 no se sobreponen
R
f(x, y)dA
R1
f(x, y)dA
f(x, y)dA
R2
26
Aplicaciones de la integrales dobles 1.- Aplicación en la física y en la geometría: Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.
1.
El área de una región plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.
2.
El volumen V encerrado entre una superficie z = f (x; y )(> 0) y una región R en el plano xy es:
3.
Sea f (x; y ) la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano xy . Entonces la masa total de un trozo plano R es
4.
El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x , y donde:
5.
Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y respectivamente son:
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2. Aplicación en la geometría: Área por doble integración 13
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una
región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y , y después respecto a x ; es decir
Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y) , a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y) ] y después respecto a y ; es decir como 13
(Hoffmann, Bradley, & Rosen, 2004)
28
Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
3.- Aplicación en la economía 14
En cierta fábrica, la producción la proporciona la función de producción de Cobb-
Douglas
⁄⁄ Donde K es la inversión de capital en unidades de $1000 y L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión mensual de capital varía entre $10000 y $12000, mientras que la fuerza laboral mensual varía entre 2800 y 3200 horas-trabajador. Con esto podemos encontrar la producción promedio mensual para la fábrica.
14
(Hoffmann, Bradley, & Rosen, 2004)
29
Es razonable estimar la producción promedio mensual a través del valor promedio de Q(K,L) sobre la región rectangular tiene área
La región
De modo que la producción promedio es:
∬ ⁄⁄ ⁄ ⁄ . / ∫ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ( ) (⁄ ⁄) Por lo tanto, la producción promedio mensual es aproximadamente de 5181 unidades.
30
4.- Aplicación en la física 15
La aplicación de las integrales dobles tiene como tiene un objetivo
geométrico principalmente, calcular volúmenes bajo superficies, áreas de superficies y aplicaciones físicas. El problema que a continuación se planteara tiene una aplicación de conceptos físicos tales como densidad y masa. Formulación.La frontera de una lámina está formada por los semicírculos
√
√
y
junto con las porciones del eje x que las une. Encontraremos el
centro de masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen.
16
Solución del problema:
Las coordenadas
̅
del centro de masa de la lamina que ocupa una región D y
con una función de densidad
son:
15
(Paula) (Paula)
16
31
Donde la masa m esta dad por:
Se coloca la lámina como la mitad superior del círculo
. Como la
densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen, entonces la distancia de un punto (x,y) al centro del circulo (el origen) es
, por tanto la función de la densidad es:
Donde K es alguna constante. Tnto la función de densidad como la forma de la lámina permiten que se convierta a coordenadas polares. Entonces la región está dada por
Convertimos a coordenadas polares:
Hallamos m:
32
y
Y observando la grafica dos encontramos que x=0, luego el centro de masa de la lamina es (0,0.5115)lo cual obtenemos después de integrar la integral de la masa anteriormente ya dad a conocer.
33
Conclusión Podemos concluir que gracias a este trabajo de investigación, pudimos conocer las diversas aplicaciones, en los diferentes campos laborales y de las ciencias, de las derivadas, integrales por sustitución, integrales trigonométricas e integrales dobles. Esto nos da a entender la importancia de aprender a realizar correctamente estas herramientas o procesos matemáticos ya que son útiles en la mayoría de las carreras universitarias y en la vida diaria.
Gracias a esta investigación se pudo comprender la gran magnitud de importancia que debemos darle a esta materia, no solo porque forme parte de nuestra carrera si no por su útil uso en diferentes situaciones que a lo largo de nuestra vida se puedan presentar como profesionales, también el notable desarrollo de la capacidad de razonamiento lo cual nos permite realizar tareas con mayor eficiencia gracias a la concentración que estas herramientas nos permite mejorar.
34
Recomendaciones Se recomienda en insistir en que la preparación de los alumnos este siempre ligada con los números ya que como nos hemos dado cuenta a lo largo de este proyecto investigativo; las matemáticas están en todas partes por lo tanto es muy importante apoyar a los niños desde muy pequeños en el aprendizaje de las matemáticas. El conocimiento lógico-matemático se desarrolla desde muy temprana edad, es por eso que la enseñanza debe comenzar lo más pronto posible considerando la edad y el nivel de los niños para realizar actividades que le estimulen el aprendizaje de las matemáticas. Los padres cumplen un papel importante en el aprendizaje de sus hijos. Recuerda tener siempre una actitud positiva, por ejemplo: evita hacer comentarios como “las matemáticas son muy difíciles” o “no me gustaban cuando era estudiante”. Mejor comentar que las matemáticas pueden ser divertidas. En el caso de los niños hay que explicarles que las matemáticas son de gran valor y utilidad para la vida cotidiana y su futuro laboral. Dales ejemplos sencillos de la situación, como contar ingredientes para una receta o contar cuantas papas caben en un kilo.
35
