Ejercicios de derivadas 1. Un coch ochecit ecito o teledi ledirrigid igido o se lanz lanza a por por una cu cues estta. La distancia recorrida en metros al cabo de t segundos viene dada por d=0.2t2+0.03t 3 a) ¿u! velocidad lleva al cabo de 2 seg" # seg" $ % seg& b) 'uando el cochecito alcanza una velocidad de (%. *mh" los ,renos son insu-cientes ¿'unto tiempo puede permanecer ba/ando sin ue el conductor se preocupe por sus ,renos&
d=0.2t2+0.03t3 d’=0.4t+0.09t2 v(2)=d’(2)=0.4*2+0.09*22=1.16 m/s, velocidad a los 2 seg v(5)=d’(5)=0.4*5+0.09*52=4.25 m/s, velocidad a los 5 seg v(6)=d’(6)=0.4*6+0.09*62=5.64 m/s, velocidad a los 6 seg v
Si v=46. !m/"
=
46.8
km
.
1h
.
1000 m
h 3600 seg 1k m
=
46800 m 3600 seg
=
13m / s
Si v(t)=d’(t)=0.4*t+0.09*t v(t)=d’(t)=0.4*t+0.09*t2=13 m/s, 0.4*t+0.09*t2#13=0 0.09*t2+0.4*t #13=0 $esolvie%do esta ec&aci'% &eda t=10 seg los 10 seg&%dos &ede% alla$ los $e%os $e%os del coc"e.
y
=
100t + 2000t 2
2. Un cohete cohete se desplaza desplaza segn segn la ,unci ,uncin n " en la ue $ es la distancia recorrida en *m $ t el tiempo en horas. a. 'alcula 'alcula la ,uncin ,uncin velocida velocidad d b. 'alc 'alcul ula a la ,unc ,unci in n ac acel eler erac aci in n a as4 s4 como como la ,unc ,unci in n velocidad se obtiene derivando la ,uncin distancia" la ,uncin aceleracin se obtiene derivando la ,uncin velocidad)
¿'unto vale la velocidad inicial t=0)& ¿5 la aceleracin inicial&
S- - 7-8 - : a. alc&la la &%ci'% velocidad
y ' = 100 + 4000t
;. alc&la la &%ci'% acele$aci'%
y ' ' = 4000
c. <&%to vale la velocidad i%icial (t=0)>
a0
=
4000 km / h
v0
=
100 km / h
2
3. 'onsideremos de nuevo el e/emplo del autobs 6hora sabemos ms $ podemos resolver me/or el problema. 7sta era la situacin del movimiento del autobs $ de los cuatro via/eros en ,uncin del tiempo8
Ecuaciones del:
&to;@s
e=
de
40 225
movimiento
t 2
AiaBe$o (1)e = 5.35t − 37.45
AiaBe$o (2)e = 8t − 80
AiaBe$o (3)e = 96
AiaBe$o
(4)e =
100 529
t 2
−
100 23
t + 95
9onde es el espacio en metros $ t el tiempo en segundos.
a) ¿7n u! instante llegan a la parada los via/eros 1 $ 2& :a$ ue mirar en la gr-ca $ tambi!n haciendo clculos con las ecuaciones dadas) b) ¿6 u! distancia se encuentran de la parada los via/eros 3 $ (" cuando arranca el autobs de la parada& :a$ ue mirar en la gr-ca $ tambi!n haciendo clculos con las ecuaciones dadas) c) ¿7n u! instante $ a u! distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro via/eros con el autobs& :a$ ue mirar en la gr-ca $ tambi!n haciendo clculos con las ecuaciones dadas) d) 'alcula la velocidad tanto del autobs" como de cada via/ero" en cada instante calculando la derivada de cada ,uncin espacio e) 9educe u! via/ero alcanza el autobs ;suavemente; $ cul no.
l viaBe$o 1 llega a la a$ada a los C seg de "a;e$ a$$a%cado el a&to;@s, D el 2 a los 10 seg. dems de ve$lo e% la g$Eca se &ede ded&ci$ "acie%do D=0 e% las ec&acio%es de movimie%to de cada &%o. e = 5.35t − 37.45 e = 8t − 80
e=0, t=C seg
e=0, t=10 seg
;) l viaBe$o 3 se e%c&e%t$a a 96 met$os de la a$ada c&a%do a$$a%ca
el a&to;@s, D el 4 a 95 m. dems de ve$lo e% la g$Eca se &ede ded&ci$ "acie%do t=0 e% las ec&acio%es de movimie%to de cada &%o. e = 96
e=
t=0, o c&al&ie$ valo$ de t, e=96, dista%cia = 96 m
100 529
t 2
−
100 23
t + 95
, t=0, e=95 m, dista%cia = 95 m
c) esolvie%do el sistema e%t$e la ec&aci'% del a&to;@s D la del viaBe$o 1 e%co%t$a$emos &e &%a de las sol&cio%es es t=11 seg, D se &ede com$o;a$ e% la Eg&$a &e es el i%sta%te do%de se e%c&e%t$a% s&s g$Ecas. sea, el viaBe$o 1 alca%Fa al a&to;@s a los 11 seg de "a;e$ a$$a%cado. acie%do lo mismo co% el viaBe$o 2, o;te%emos &e alca%Fa al a&to;@s a los 15 seg. l 4 lo alca%Fa a los 23 seg, D el 3 a los 23 seg. d) 7cuaciones de movimiento del8
40
t 2
9erivada=velocidad
&to;@s
e=
AiaBe$o 1
e = 5.35t − 37.45
v1
=
e' (t ) =
AiaBe$o 2
e = 8t − 80
v2
=
e' (t ) =
AiaBe$o 3
e = 96
v3
=
e' (t ) =
225
vbus
=
e' (t ) =
de dt
de dt
de dt
de dt
=
80 225
=
5.35
=
8
=
0
t
AiaBe$o 4
e=
100 529
t 2
−
100 23
t + 95
v4
=
e' (t ) =
200 529
t −
100 23
e) omo Da co%ocemos e% &G i%sta%te alca%Fa cada viaBe$o al a&to;@s, calc&la%do la velocidad e% dic"os i%sta%tes D coma$%dola co% la del a&to;@s od$emos sa;e$ la $es&esta.
AiaBe$o
i%sta%te alca%ce
1
11 seg
2
de velocidad viaBe$o
velocidad ;&s
$aF'% velocidades
e’(11)=5.35 m/s
e’(11)=3.9 m/s
5.35/3.9=1.3 C
15 seg
e’(15)= m/s
e’(15)=5.3 m/s
/5.3=1.5
3
23 seg
e’(23)=0 m/s
e’(23)=.2 m/s
0/.2=0
4
23 seg
e’(23)=4.3 m/s
e’(23)=.2 m/s
4.3/.2=0.52
-o ideal es &e el viaBe$o vaDa a la misma velocidad &e el a&to;@s e% el mome%to del alca%ce, o$ ta%to la $aF'% de velocidades de;e$Ha se$ 1. l viaBe$o &e lo coge ms s&aveme%te es el 1 &es esta $aF'% es la ms $'Iima a 1. -e sig&e el 2. l 4 le costa$ ;asta%te, e$o el &e co$$e ve$dade$o elig$o si lo i%te%ta es el 3. ste viaBe$o "a e$ma%ecido &ieto (vel=0) a 96 met$os de la a$ada, ese$a%do &e ase o$ allH el a&to;@s, e$o Gste Da va m&D $ido al asa$. l viaBe$o 4, &e esta;a a 95 met$os de la a$ada "a co$$ido e% di$ecci'% a la a$ada, D se "a v&elto a$a co$$e$ e% la misma di$ecci'% del a&to;@s D coge$ velocidad a$a el mome%to del alca%ce.
(.La ecuacin de un movimiento circular es8 >t) = ?t@. ¿'ul es la velocidad $ la aceleracin angulares al cabo de siete segundos&
J(t)= KL(t)= t J = C M(t)= KLL (t)= 1 A = 1 #La ecuacin de un movimiento circular es8 >t) = ?t@. ¿'ul es la velocidad $ la aceleracin angulares al cabo de siete segundos&
J(t)= KL(t)= t J = C M(t)= KLL (t)= 1 A = 1
