TRABAJO COLABORATIVO – MOMENTO 6 Geometría Analítica, sumatorias y productorias
Luz Dary Avendaño Velásquez Código: 1.100.967.530 Derly Jorley Rojas Código: 1102548481 Yuly Marcela Carvajal Código: 1.102.358.354 Jerson Daniel Latorre Código: 1101754403 Grupo: 301301A _ 291
Tutor: Oscar Darío Ordoñez
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA NOVIEMBRE 2016.
INTRODUCCION
Las matemáticas es una ciencia de gran amplitud, dentro de ella podemos ver conceptos de geometría analítica, sumatorias y productorias. permitiendo tener una visión más amplia de una de las aéreas de importancia en esta ciencia el campo de la
geometría analítica nos permite, identificando principios, características y
aplicaciones
generando
de esta manera bases para ser autónomos en la aplicación y
solución de ejercicios y prácticas de la vida real.
Basamos nuestros conocimientos adquiridos en la generación de ejercicios que permiten entender los conceptos entregados. Con el fin de aumentar nuestra cultura no solo individualmente, sino que al realizar el desarrollo de estas instrucciones dentro del grupo, mejoramos nuestros puntos de vista en la ejecución y en el resultado de las respuestas, basándonos en la colaboración en este documento se resume el trabajo colaborativo en el que se debatieron el resultado de los problemas planteados por el Tutor para la elaboración del Momento No. 6.
Problema 1. Para los puntos a y b determinar la respectiva distancia euclidiana, para el punto c determinar la coordenada solicitada.
a.
(−2,7 ) y( 1,−5) d= d=
√(1+2)2+(−5−7)2 √(3)2+(−12)2
d= 3
b.
√ 17=12.369
( 8,−9 ) y (1,8) d= d=
√(1+8)2 +(8+ 9)2 √(−7)2+(17)2
d= 13
√ 2=18.385
c. La distancia entre dos puntos es
√ 577.92 , uno de los puntos es W (−3,3) y el
otro punto Q(20, y) .Cual es el valor de la coordenada y en el punto Q.
√ (−3−20 ) +( 3− y ) =√577.92 2
2
√ (−23 ) +( 3− y ) =√ 577.92 2
2
529+ ( 3− y )2=577.92
( 3− y )2 =48.92 3− y ≈ 7 y ≈−4
2 2 Problema 2. Demostrar que: 2 x −4 y +12 x +24 y+18=0 representa una hipérbola y
determine: a. Centro b. Focos c. Vértices 2 x 2−4 y 2 +12 x +24 y+18=0 2 ( x2 +6 x )−4 ( y 2 −6 y ) +18=0 2 ( x2 +6 x +9−9 ) −4 ( y 2−6 y +9−9 ) +18=0 2 ( x2 +6 x +9 ) −18−4 ( y 2−6 y+ 9 ) +36+18=0 2 ( x +3 )2 −4 ( y −3 )2+ 36=0 2 ( x +3 )2 −4 ( y −3 )2=−36
( y −3 )2 ( x +3 )2 − =1 9 16 ( y −3 )2 ( x +3 )2 − =1 32 42
Esta última es la ecuación de una hipérbola con las siguientes propiedades a. Centro: (-3,3) b. Focos:
√ 3+4=√ 7 F1= (−3,3+3 √3 ) F2 =(−3,3−3 √ 3 )
c. Vértices: (-3,6) y (-3,0)
2
2
Problema 3. Demostrar que : x +5 y +5 x+ 25 y =100 es la ecuación de una elipse y determine: a. Centro b. Focos c. Vértices
2
2
x +5 y +5 x+ 25 y =100 2
2
x +5 x +5 y + 25 y =100 x 2+5 x +5 ( y 2+ 5 y )=100 Complete el cuadrado:
5 2 5 2 5 + y 2 +5 y+ =100+ 2 2 2
() (
x 2+5 x +
)
2
()
+5
5 2
2
()
5 2 5 2 25 125 +5 y + =100+ + 2 2 4 4
( ) ( ) x+
5 2 5 2 275 +5 y + = 2 2 2
( ) ( ) x+
Dividimos entre
275 2
275 5 2 5 2 2 x+ y+ 2 2 275 + = 275 275 2 2 2 5 1
( ) ( )
5 2 5 2 y+ 2 2 + =1 137,5 27,5
( ) ( ) x+
2
b =27,5 b=√27,5=5,244 x2 y2 + =1 a2 b2
Es una elipse por qué obedece a la ecuación canónica de la forma
( x−b )2 ( y−k )2 + =1 a2 b2 a2=137,5 a=√137,5=11,726 c=¿ ? 2
2
a =b +c
2
c=√ 137,5−27,5 c=10,488
Distancia del centro a los focos
a=11,726 b=5,244
Es una elipse horizontal con centro c ( h , k )=
(−52 , −52 ) (
v 1= ( h+a , k ) = 9,226,
−5 2
(
v 2= ( h−a ,k )= −14,226,
(
f 1 =( h+c , k )= 7,988,
(
−5 2
−5 2
f 2=( h−c , k )= 12,988,
)
)
−5 2
)
)
Problema 4. Una elipse tiene centro en (−4,−2 ) , y un foco está en (6,−2) ; además pasa por el punto Q(−4,−7) .Hallar la ecuación canónica de la elipse y comprobar con Geogebra.
Centro (-4, -2) foco (6, −2) y (−4, −7 ) (-4, -2 )
c
−2)
b
(−4, −7 )
a2=b2 +c 2 a2=(−5)2 +(−10)2
a
(6,
2
a =125 Ecuación General 2
( x−x o ) a
2
2
+
( y− y o) b
2
=1
Centro ( x o , y o , )
x o=−4 y =−2 o
( x+ 4)2 ( y +2)2 + =1 125 25
Ecuación canónica
Problema 5. Demostrar que la ecuación
x 2+ y 2 +35 y−50=0 Es una circunferencia.
Determinar: a. Centro b. Radio Debemos llevar la ecuación a la forma canónica de la circunferencia, para lograrlo manipulamos algebraicamente de forma apropiada:
2
2
x + y +35 y−50=0
x 2+ y 2 +35 y +
(
x 2+ y +
1225 1225 − −50=0 4 4
35 2 1425 = 2 4
)
) (√
35 2 x + y+ = 2 2
(
1425 4
a. Centro:
(0,− 352 )
b. Radio:
( √1425 2 )
)
2
Problema 6. Demostrar que la ecuación parábola. Determine: a) Vértice b) Foco c) Directriz La ecuación es: 7X² - 49X - 14Y + 135 = 0 Completos cuadrados para: 7(X² - 7X + (3.5)² - (3.5)²)
7 x 2−49 x−14 y +135=0 , Representa una
7(X² - 7X + 12.25) - 7(12.25) 7(X - 3.5)² - 85.75 Rescribo la ecuación 7(X - 3.5)² - 85.75 - 14Y + 135 = 0 7(X - 3.5)² - 14Y + 49.25 = 0 7(X -3.5)² = 14Y - 49.25: Divido toda la expresión entre 7 (X - 3.5)² = 2Y - 7.03571 (X - 3.5)² = 2(Y - 3.51785) Ya la tengo de la forma:
4 p ( y−k )=(x−h)2
Donde 4P = 2; P = 2/4 = 1/2 -H = -3.5, H = 3.5, -K = - 3.51785; K = 3.51785 Vértice (3.5 , 3.51785) Foco (3.5 , 3.51785 + 1/2) = (3.5 , 4.01785) Directriz Y = 3.51785 - 0.5 = 3.01785 Y = 3.01785 geogebra
Problema 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2,8 ) y es perpendicular a la recta 14 x−7 y +22=0 .
Recta conocida
14 x−7 y +22=0
Recta solicitada P (-2,8)
L1
L2
De la recta L1 se tiene 14 x−7 y +22=0 −7 y =−14 x−22
y=
−14 22 x− −7 −7 y=2 x+
22 7
Ecuación de la forma Y= mx+b
Dos rectas son perpendiculares cuando M1*M2=-1, donde M1= 2
M 2=
−1 M1
M 2=
−1 2
Modelo Punto Pendiente del punto P (-2,8) Y −Y 1=M ( X−X 1)
Y −8=
Y=
−1 (X −(−2)) 2
−1 X−1+ 8 2 Y=
−1 X +7 2
Ecuación de la recta que pasa por el punto P (-2,8) y que es perpendicular 14 x−7 y +22=0
Problema 8. Resolver la siguiente Sumatoria y comprobar con Geogebra:
4
k +1
(−2 k +1) 2 k=−1
∑
4
k +1
(−2 k +1) ∑ 2 k=−1
¿
=
(−2 (−1 ) +1 )−1+1 (−2 ( 0 ) +1 )0 +1 (−2 ( 1 ) +1 )1+1 ( −2 ( 2 ) +1 )2+1 (−2 ( 3 ) +1 )3+1 (−2 ( 4 ) +1 )4 + 2
+
2
+
2
+
2
2 3 4 5 3 0 1 (−1 ) (−3 ) (−5 ) (−7 ) + + + + + 2 2 2 2 2 2
1 1 1 27 625 16807 ¿ + + − + − 2 2 2 2 2 2 ¿−8103
Problema 9. Resolver la siguiente Productoria y comprobar con Geogebra: 3
∏ 2i2 +2
i=−2
+
2
+
2
3
∏ 2i2 +2
i=−2
¿ ( 2 (−2 )2 +2 )( 2 (−1 )2+2 )( 2 ( 0 )2+2 )( 2 ( 1 )2 +2 )( 2 ( 2 )2 +2 )( 2 ( 3 )2+ 2 ) ¿ ( 2 ( 4 )+ 2 )( 2 ( 1 ) +2 ) ( 2 ( 0 ) +2 ) ( 2 ( 1 ) +2 ) ( 2 ( 4 ) +2 ) ( 2 ( 9 )+ 2 ) ¿ ( 10 ) ( 4 )( 2 ) ( 4 )( 10 ) ( 20 ) ¿ 64000
Geogebra:
CONCLUSIONES
Por medio de este trabajo se logró plantear alternativas de solución sumatorias y productorias, y así poder identificar, analizar y explicar sus fundamentos, obteniendo habilidades operativas de cada uno los temas planteados para la Unidad No.6. Es importante identificar plenamente la aplicación geómetra para la comprobación de todos los ejercicios, así se estará seguro de la respuesta aplicada. Se adquiere conocimientos en soluciones de problemas de geometría analítica, sumatorias y productorias.
BIBLIOGRAFIA
Galván, D., Cienfuegos, D., & Romero, J. (2011). Cálculo Diferencial. Un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. Unidad III La derivada. México, Distrito Federal, México: Cengage Learning Editores S.A. de C.V. Retrieved from. Disponible en E-biblio UNAD. ProQuest_ebrary. Recuperado http://hdl.handle.net/10596/6999
YouTube.
(2015).
Continuidad
en
Geogebra.
https://www.youtube.com/watch?v=NnoWwjf9h5w
Recuperado de http://repository.unad.edu.co/handle/10596/7301
Recuperado de http://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
Recuperado
de:
