Algebra Trigonometría y Geometría Analítica Grupo: 301301_303
Actividades: Manejando el Simulador Geogebra
Trabajo Colaborativo Momento 6
Presentado por: JUAN CARLOS SEPULVEDA DAZA Código: 7185224 MARIO LEONARDO SUAREZ VALBUENA CÓDIGO: 7188516 JHON DAVID SCHUHAYRE VANEGAS CODIGO: 7.183.686
Presentado a : Tutor: Diber Vaquiro
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD Tunja
INTRODUCCIÓN
En este trabajo colaborativo para el momento 6 pueden encontrar la solución de las ecuaciones solicitados en la guía de trabajo las cuales se desarrolla teniendo en cuenta unidad 3 referente Unidad 3: SECCIONES CÓNICAS, SUMATORIA Y PRODUCTORIA. videos , tutoriales, manejando los diversos recursos que nos brinda la red para poder resolver y comprender cada uno de los ejercicio propuestos utilizando la herramienta GEOGEBRA.
Encontraran la solución de diversas ecuaciones para distintos casos como lo Secciones Cónicas, Sumatoria y Productoria interpretación de los problemas de caso en fin este trabajo nos ayudó a comprender de una manera más eficiente lo correspondiente al momento # 6 de este curso de Algebra Trigonometría y geometría Analítica.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos: 1. De la siguiente elipse 4
+
– 8x + 4y – 8 = 0. Determine:
a. Centro b. Focos c. Vértices Desarrollo con el simulador geogebra
Para saber exactamente cuáles son los requisitos que se nos piden hallar ingresamos ciertos comandos que nos ayudaran a identificarlos. Centro = Comando en geogebra = Centro[c] = A = (1,-2) Focos = Comando en geogebra = Foco[c] = C= (1 , 1.46) , (1 , -5.46) Vértices = Comando en geogebra = Vértices[c] = ( 1 , -6) , (1 , 2) (3, -2) , (-1 , -2)
Desarrollo del ejercicio 1. De la siguiente elipse 4 Determine:
+
– 8x + 4y – 8 = 0.
a. Centro b. Focos c. Vértices Desarrollo – 8x + 4y – 8 = 0. Completando cuadros
4
+
4(
- 2x +1)+(
+4y+4)=8+4+4=16
=
=1
Eje Mayor a=√
=4
(vertical)
Eje Menor b=√ =2 Distancia Focal C= √
-4)
C = 3, 46 Centro C (1,-2) Vértices V1 (1, -2 + 4) = F1 (1, 2); v2 (1, -2, -4) = F (1, -6) Focos F (1, -2 + 3,46) = F (1; 1, 46); F (1, -2 -3, 46) F((1, -5 , 46)
2 . Deduzca una ecuación canoníca de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices (3,1) y (3 , 9) y eje menor de longitud = 6 Desarrollo simulador Geogebra: En este ejercicio lo primero que realizamos es ingresar los vértices solicitados. Vértices (3,1) y (3 , 9)
Ingresamos el eje menor de longitud = 6 seleccionamos elipse y remarcamos los vértices de esta forma quedara graficada nuestra elipse.
Para deducir la ecuación canoníca de la elipse que satisface lo solicitado damos click derecho sobre cónica y por tanto nos mostrara la ecuación
Como podemos apreciar la ecuación queda planteada así: =1 Desarrollo del ejercicio:
+
=1
El centro de esta elipse es el punto medio entre los vértices. M= (3,1)(3 , 9)
,
M=[ M = (3, 5)
El centro de los vértices es (3 ,5) Eje Menor 2b = 6 b=3 Eje Mayor d = (3,1)(3 ,9) d=√
+ (9 –
d=√ d=8 2a = 8 a =4 El último paso que debemos realizar es reemplazar los datos en la ecuación general.
+
=1
3. De la siguiente hipérbola 4
-9
– 16x -18y – 29 = 0. Determine
a. Centro Centro[c] = A = (2,-1) b. Focos Centro[c] = A = (2,-1) C. Vértices Vértices[c] = D = (-1 , -1) ,E = (5 , -1) Desarrollo simulador Geogebra: Digitamos la expresión presionamos enter y nos muestra la siguiente grafica donde nos muestra una elipse para hallar el centro damos el comando centro [c] damos enter, Focos [c] presionamos enter, vértices [c] , colocamos c porque es el nombre de la expresión correspondiente si se quiere ver coordenada seleccionamos los puntos, clip derecho nos muestra propiedades cambiamos a número y símbolo y nos aparece las coordenadas de la expresión.
Desarrollo del ejercicio: 4 4 4 4(x
-9 – 16x -18y – 29 = 0 -16x - 9 –18y – 29 = 0 Organizando la ecuación -4x + 4) - 9 + 24 + 1) = 29 +16-9 - 9(4 + = 36
Se divide por 36 +
=1
a=3 b=2 c=√ c= √ Coordenadas del centro C (3, 11)
Coordenadas de los focos F1 (h – c; k) = (2 - √ ; -1) F2 (h + c; k) = (2 + √
; -1)
Coordenadas de los vértices V1 = (h – a; k) = (2 - 3; -1) = (-1; -1) V2 = (h + a; k) = (2 + 3; -1) = (5; -1)
4. Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices V1 (1, 11) V2 (1, -15) Focos F1 (1,12) F2 (1, -16). Desarrollo con el simulador Geogebra Lo primero que debemos realizar para la solución de este ejercicio es ingresar nuestros vértices y nuestros focos por medio de los siguientes comandos . v1= (1,11) V2 = (1, -15) F1= (1,12) F2= (1,-16)
Después de haber graficado nuestros vértices y focos procedemos a seleccionar la opción de hipérbola y seguido a esto seleccionamos nuestros focos , después de esto arrastramos la línea hasta alguno de los 2 vértices.
Arrastrándola al otro vector.
Por lo tanto al deducir la ecuación para esta hipérbola queda plasmada de la siguiente forma: Hipérbola (y+2
– (x-1
/ 27 = 1
5. Demostrar que la ecuación x2 + y2 – 8x - 6y = 0 es una circunferencia. Determinar: a. Centro b. Radio Desarrollo con el simulador Geogebra Digitamos la expresión x2 + y2 – 8x - 6y = 0 presionamos enter y nos muestra la siguiente grafica donde nos muestra una elipse.
Para hallar el centro damos el comando centro [c] damos enter, Radio [c] presionamos enter, colocamos c porque es el nombre de la expresión correspondiente. Centro damos el comando, Centro[c] A = (4,3) Radio damos el Comando, Radio[c] a = 5
Demostramos el radio de la circunferencia desde el punto
Desarrollo. +
– 8x - 6y = 0
– 8x+ - 6y = 0 Organizamos los términos dejando x , y al mismo lado – 8x+ 16 + - 6y +9 = 16 + 9 Debemos completar el trinomio cuadrado perfecto (Para esta completacion es necesario que los coeficientes tanto de x como de y sea 1 (x – 4
+ (y – 3
= 25
Confrontamos con el modelo de la ecuación de la circunferencia con centro en (h ,k) y radio en r (x - 4
+
(y - 3
= 25
(x - h
+
(y - k
=
Coordenadas del centro -h = -4
4
-k = -3
3
Centro = (4, 3) Coordenadas del Radio = 25
5
Radio = (5) 6. De la siguiente parábola – y2 + 12x + 10y – 61 = 0. Determine: a. Vértice b. Foco c. Directriz Desarrollo con el simulador Geogebra En el desarrollo de este ejercicio debemos ingresar los comandos para la graficacion de la misma. Ya que tenemos la ecuación de la parábola la ingresamos.
De la siguiente parábola
Procedemos a
ingresar los comandos para determinar lo requerimientos
Vértice = Comando en geogebra = Vértices[c]= A = (3,5) Foco = Comando en geogebra = Foco[c] = B = (6,5) Directriz = Comando en geogebra = Directriz[c]= a:x = 0 Arrastramos hacia la directriz. Y de esta forma parábola.
nos que da graficada la
Desarrollo del ejercicio: -y² + 12x + 10y – 61 = 0 No se acostumbra que la ecuación general o en su forma explícita inicie con un número negativo es por eso que se debe realizar el cambio de signos Por tal razón determinamos en esta ecuación que debemos dejar nuestro exponente -y² como positivo y esto lo hacemos multiplicando ambos lados de la igualdad por (-1) y² - 12 x - 10 y + 61 = 0 y² - 10 y + 25 = 12 x - 61 + 25 (-y - 5)² = 12 x - 36 = 12 (x - 3)
Para determinar el foco debemos calcular 3 unidades hacia la derecha este se encuentra en las mismas coordenadas del vértice
F(3, 6) Para determinar la directriz debemos calcular vértice hacia la izquierda.
3 unidades
después del
El vértice es V(3, 5) El parámetro p es 6 7. Determine la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas. Pasa por: (1, 7); Paralela a la recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1). Desarrollo con el simulador Geogebra: Para la solución de este ejercicio lo primero que realizamos es ingresar los datos o puntos de la recta que en nuestro caso serian: Recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1).
Seguido a esto seleccionamos la opción de recta y seleccionamos segmento ya seleccionado unimos nuestros puntos A y B.
El siguiente paso es ingresar el punto que pasa por: (1, 7);
En la opción de paralela seleccionamos paralela. y luego que nos creo la paralela la tomamos desde cualquier segmento de la recta y la arrastraos hasta el punto que se nos dio el cual es (1,7)
Ya tenemos graficado nuestro ejercicio pero nos hace falta determinar la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas , para esto solo tenemos que dar click derecho sobre recta la cual se encuentra en la vista algebraica acá nos mostrara la ecuación que en nuestro caso queda así : Ecuación : y =ax+b
Desarrollo: Lo primero que realizamos es identificar nuestras coordenadas. P(1 , 7) C(2 , 5)
D(-2 , 1)
Para solucionar este ejercicio organizamos la información de esta forma: L1= Recta Conocida L2 = Recta Solicitada La recta conocida es la que pasa por los puntos C y D es decir: L1= Recta Conocida = C (2 , 5)
D(-2 , 1)
L2 = Recta Solicitada = P(1 ,7) Para resolver este ejercicio la recta solicitada(L2) debe ser paralela a la recta conocida(L1). Debemos conocer la pendiente de la recta conocida (L1) Fórmula para la pendiente de una recta:
m=
Diferencia de coordenadas sobre Diferencia de abscisas
Utilizamos los puntos C y D. C(2
,
x1
5)
D(-2 ,
y1
x2
1)
y2
Reemplazamos valores. m= m1 =
m1 = m1 = Recta paralela
m2=m1
m2 =
Para nuestro caso como las dos rectas son paralelas se cumple que la pendiente de la recta dos tiene que ser igual a la pendiente de la recta uno esta condición se debe cumplir en las rectas paralelas es decir sus pendientes deben ser paralelas es decir sus pendientes deben ser iguales por lo tanto la pendiente 2(m2) es igual a m2 = Por lo tanto: L2 ││ L1
m2 = m1
m2 =
8. Calcular las siguientes sumatorias:
A.
∑
Desarrollo con el simulador Geogebra Seleccionamos la opción vista cálculo simbólico
Damos la el comando: Suma [ , , , ]
En donde reemplazamos el comando por la expresión
∑
Suma [ 2i,i ,1,300]
En donde el resultado es : 90300
B.
∑
Seleccionamos la opción vista cálculo simbólico Damos la el comando: Suma [ , , , ]
En donde reemplazamos el comando por la expresión
∑
Suma[ (2i+ 1) ^2,i , 1, 3 ]
En donde el resultado es : 83
Desarrollo del ejercicio: A.
∑
Para hallar la sumatoria de este ejercicio utilisare varios métodos.
∑
= 2(1)+2(2)+2(3)+2(4)……………………………………2(300)
Este método es muy extenso y por tal razón utilisare otros métodos o formulas. Utilizare esta fórmula. Solo para hallar el valor de i
∑
=
∑
=
Simplificamos
= = 45.150 i = 45.150 Aplicamos otra propiedad
∑
= ∑
∑
=
Reemplazamos valores
∑
= 2 * el valor de i que en nuestro caso es 45.150 = 2 * 45.150 = 90.300 B.
∑
Desarrollo Para la solución de este ejercicio aplicare ciertas propiedades o formulas .∑
Dado que tenemos un binomio cuadrado perfecto utilisamos su formula
= a +2ab + ∑ Utilizamos la formula de la sumatoria al cuadrado
∑
=∑
Reemplazamos valores
+∑
∑
=
∑
+ ∑
∑
+
+ + ∑ ∑
+ + ∑
Aplicamos otra propiedad para el caso de
∑
∑
= ∑
De esta forma ya organizamos nuestros términos y nos arrojo 3 sumatorias
∑
+
∑
+ + ∑
Sumatoria 1 = ∑ Utilizamos la formula
∑
.
= ∑
=
Simplificamos
= = 1 * 2 * 7 = 21
Sumatoria 2 =
∑
Utilizamos la fórmula para saber el valor de i
∑
=
∑
= ∑
=
Reemplazamos valores
∑
=
= = =6 i=6
∑
Sumatoria 3
Aplicamos otra propiedad para el caso de
∑
∑
= ∑
∑
= 4 (i)
∑
= 4 (i)
=24
∑
Sumatoria 3 Utilizamos la formula ∑
∑
c*(n)
1 *(3)
=4 Por lo tanto el resultado de esta sumatoria seria ∑
=
21 + 24 + 4 = 49
9. Calcular las siguientes productorias: A.
∏
B.
∏
+3
Desarrollo con el simulador Geogebra
∏
A.
Para el desarrollo de este ejercicio nuevamente seleccionamos la opción de vista y calculo simbolico y procedemos a ingresar el comando en geogebra El comando en geogebra es el siguiente: Producto [ , , <Índice inicial>, <Índice final> ]
Procedemos a cambiar los valores y presionamos enter para que nos genere el resultado. Producto [ 3i+7, i, -1, 4]
Como se puede apreciar nos arroja el resultado de esta productoria el cual es: 1106560
B.
∏
+3
El proceso para este literal es el mismo del literal A. Procedemos a ingresar el comando en geogebra El comando en geogebra es el siguiente : Producto [ , , <Índice inicial>, <Índice final> ]
Procedemos a cambiar los valores y presionamos enter para que nos genere el resultado.
Producto [ i/(i-1)+3, i, 2, 4 ]
Como se puede apreciar nos arroja el resultado de esta productoria el cual es: 97.5 Desarrollo del ejercicio: Existen otras reglas o fórmulas para el caso de la productoria pero no las utilice sencillamente partí del principio que se debe hacer una multiplicación A.
∏
Desarrollo: ∏
=
i = -1
i=0
i=1
i=2
i=3
i=4
Reemplasamos valores
3 18
3 * 21
*
24 *
27 *
30
*
33 =
242.494,560 B.
∏
+3
Desarrollo:
∏
+3 =
(
+ 3)
(
i =2
+ 3)
(
+ 3)
i=3
i =4
Reemplazamos valores
(
+ 3)
( + 3)
(
+ 3)
( + 3)
(
+ 3) =
( + 3)
Para la suma de fraccionarios con un entero utilizamos la formula
+
=
Para esto debemos convertir nuestro entero a fraccionario que en mi caso el entero es 3 para esto le ponemos a nuestro entero como denominador el 1 convertido a fracción nos quedara
+ )
+ )
=
+ )
Utilizamos la formula de suma de fraccionarios
+
=
Reemplazamos valores
+
=
=
+
=
=
+
=
=
Para la multiplicación de las 3 fracciones tenemos que ensamblar la Operación
*
*
*
*
=
=
=
117
Al Hacer la multiplicación podemos darnos cuenta que el resultado es muy grande pero para esto podemos simplificar la expresión para poder ahorrar tiempo Simplificamos
=
Infografía https://www.youtube.com/watch?v=jf-DBlnw0NY&feature=youtu.be https://www.youtube.com/watch?v=672ymJsl5DQ&spfreload=10 https://www.youtube.com/watch?v=MzaZ4H6LOEA https://www.youtube.com/watch?v=HQIj2nTgMHU https://www.youtube.com/watch?v=_KufORmC34w https://www.youtube.com/watch?v=wSVjFifDRLE https://www.youtube.com/watch?v=2_kh3TPke-c https://www.youtube.com/watch?v=7qiCDR5u_XM https://www.youtube.com/watch?v=Zg1ASF3C6uc https://www.youtube.com/watch?v=Vqo9hm1_rjw https://www.youtube.com/watch?v=ZnC6D7pm3qk https://www.youtube.com/watch?v=BZxLTQwFZKo https://www.youtube.com/watch?v=U3C59ycF_rM https://www.youtube.com/watch?v=oHvdRLgVpS0 https://www.youtube.com/watch?v=fP493F0Bb9A
https://www.youtube.com/watch?v=nbyWtItRo5o https://www.youtube.com/watch?v=uFIenLL4NQQ
