4. Halle el área S de la superficie de revolución que se forma al girar la gráfica de sobre el intervalo cerrado [1, 4] alrededor del eje x.
= √
Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es:
Solución. Consideraremos la fórmula dada por el enunciado, para poder calcular el área de la superficie del sólido resultante. Intervalo de integración: Función del enunciado:
1,41, 4 = = √
Se deberá encontrar la derivada de la función dada, para poder utilizarla en la fórmula dada por el enunciado. Derivamos la función, teniendo en cuenta la regla de la cadena también.
′ = 2√ 1
Ahora, procedemos a reemplazar en la fórmula del enunciado.
1 = 22 √ ∙ 1 [2√ ] = 22 √ ∙ 1 41 Por propiedades de los radicales, tenemos qué:
= 22 ∙1 41
Simplificamos dentro de la raíz.
= 2 14 Realizamos un cambio de variable, aplicando el método de integración por sustitución.
= = 1 → = Realizando el cambio de variable, tenemos:
= 2 √ = 2 / Realizamos la integral, sin olvidar el intervalo de integración. .
4 /+ = 21/21 |1 4 / = 23/2 |1 4 4 / = 3 |1 4 / 4 1 = 3 4 |1
Volvemos a la variable original.
Evaluamos el intervalo de integración.
/ / 4 1 1 = 3 4 4 1 4 / 5 / 4 17 = 3 4 4 ≈ ,
Resolvemos lo anterior.
El área S de la superficie de revolución es de aproximadamente 30,846 unidades.
=
= = = ∫ ∫ = = ∫ ; = = ∫
8. Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de y , entre y . Considere las fórmulas del centroide de la región en el plano:
Solución. Grafiquemos el enunciado del ejercicio.
Las funciones son:
= 3 ; = 2 1 El intervalo de integración (vista desde la gráfica): [-1, 2] Calculemos primeramente el área A.
= = − 3 2 1 = − 3 2 1 = −2 2 4 Realizamos la respectiva integral.
2 = 2 3 2 2 4|1 2 = 2 3 4|1
Evaluamos en el intervalo de integración.
2 1 = 2 3 2 422 3 1 41 = 163 4823 14 = 203 73 = 230 73
= 237 = (,) ∫ = = − 3 2 1 ∫ = 9 − 3 2 1 ∫ = 9 2 2 4 ∫ − = 9 −2 2 4 ∫ = 9
El centroide tendrá coordenadas: Comencemos con la coordenada
Reemplazamos.
Realizamos la respectiva integral.
2 2 4 2 3 4 2 |1 = 9 2 2 2 3 2 |1 = 9
Evaluamos en el intervalo de integración.
22 2 23 22 12 2 13 21 = 9 16 16 1 2 8 2 2 3 2 3 = 9 16 5 3 6 = 9 9 = 29 = 1 ∫ = 2 1 3 2 1 ∫ − 2 = 9 1 6 9 4 2 4 1 ∫ − 2 = 9 1 6 9 4 2 4 1 ∫ − 2 = 9 1 8 4 8 4 ∫ − 2 = 9 12 4 4 8 3 4 2 8| 2 1 = 9
Ahora, vamos con la coordenada
Reemplazamos
Realizamos la respectiva integral.
12 8 3 2 8| 2 1 = 9 Evaluamos en el intervalo de integración.
12 2 8 23 22 821 8 13 21 81 = 9 1 64 8 16 816 1 = 2 3 9 3 28 1 8 19 2 3 3 = 9 1 = 2 99 = (,) = ,
El centroide tendrá coordenadas
Miremos la gráfica de la función y el punto del centroide.
12. Se recibe un cargamento de 18.000 kg de arroz que se consumirán en un periodo de 6 meses a razón de 3.000 kg por mes. Si el costo de almacenamiento mensual por cada kilogramo es $400, ¿Cuánto se debe pagar en costos de almacenamiento en los próximos 6 meses? Considere C(t) como el costo total de almacenamiento durante t meses, además se sabe que en el momento en que llega el cargamento (cuando t = 0), no hay costos de almacenamiento; es decir, C(0) = 0. Solución. Debemos encontrar la función de costos C(t) para poder saber el costo total de almacenamiento en los meses descrito por el enunciado. Por definición, la función costo se define de la forma:
= ∙ Donde el costo mensual es de $400. La función C(t) se modelará como una función lineal, en el cual tenemos la pendiente (la razón de 3.000 kg por mes) y la constante (18.000 kg de arroz). Por lo tanto, mencionado lo anterior, la función C(t) queda de la forma:
= 180003000
Ahora, reemplazamos la función C(t) y la de costo mensual en la función descrita de costo total.
= 18000 3000 ∙ 400 Para conocer el valor del costo total, se realizará la respectiva integral al costo total, teniendo en cuenta que el intervalo de integración será el transcurso del tiempo al cual se se desea saber cuanto se debe pagar, es decir, en 6 meses.
0, 6 = 18000 3000 ∙ 400 = 400 180003000
Intervalo de integración:
Integramos, teniendo en cuenta el intervalo de integración.
6 = 40018000 3000 2 |0 6 = 40018000 1500 |0
Evaluamos el intervalo de integración.
= 400180006 15006 180000 15000 = 40010800054000 00 = 40054000 0 = 21600000 Se deberá pagar en costos de almacenamiento $2’160.000 en los 6 meses descritos.