Modulo6 Dinamica de La Particula Con Nombres

Física General Mecánica Modulo 6: Dinámica de la partícula. Relación fuerza - movimiento

Modulo 6: Dinámica de la partícula: relación fuerza movimiento

Objetivos del módulo

• Analizar y determinar determinar el movimiento movimiento de una partícula partícula considerando considerando las fuerzas o interacciones a las que se encuentra sometida.

• Identificar las fuerzas fuerzas e interacciones interacciones sobre un determinado cuerpo cuerpo de interés. interés. • Aplicar les leyes leyes del movimiento de Newton en cuerpos cuerpos o partículas que que se mueven con movimientos rectilíneos.

Contenidos:

• El momentum lineal de una partícula • Momentum lineal constante constante de una partícula y la 1ª Ley del Movimiento Movimiento de Newton

• El momentum lineal variable de una partícula y la

2ª Ley del movimiento de

Newton

• La ley de acción y reacción o 3ª Ley de Newton • El principio de conservación del momentum y la ley de acción y reacción • Las cuatro interacciones o fuerzas fundamentales • La fuerza gravitacional o peso de un cuerpo • Fuerzas de tensión (T) y compresión compresión (C) • Ejemplos de aplicación En los módulos anteriores hemos encaminado el estudio con el objeto de comprender la relación existente entre el movimiento de un cuerpo (tomado como una partícula) y las fuerzas o interacciones sobre él. Ahora enfrentaremos esta relación, partiendo de la premisa que: El movimiento de un cuerpo se encuentra encuentra condicionado condicionado por las interacciones existentes con los cuerpos que lo rodean y que conforman su entorno.

Profesora: Ester López Donoso


Algunos ejemplos se encuentran encuentran ilustrados en la figura M6.1. En la figura f igura se muestra a un clavadista que cae al mar desde una gran altura atraído por la fuerza de atracción gravitacional; su movimiento de caída dependerá de la resistencia del aire o fricción con su cuerpo. El movimiento de la esfera que se encuentra unida al resorte y que se deja caer, oscilara hacia arriba y abajo; su movimiento dependerá de las características del resorte, de la fricción que ejerce el aire sobre ella, así como de la fuerza de atracción de la tierra sobre la esfera. El movimiento de las dos partículas α que son disparadas hacia un núcleo atómico estará condicionado por la presencia de este núcleo y por último la trayectoria descendente seguida por el esquiador estará condicionada por las características del terreno en el cual se mueve.

El movimiento del clavadista está condicionado por la atracción gravitacional y el roce con el aire.

El movimiento oscilatorio de la esfera está condicionado por la atracción gravitacional y el resorte.

El entorno está formado por la tierra y el aire

El entorno está formado por la tierra y el

El movimiento de las partículas α está condicionada por la presencia del núcleo atómico que contiene Z protones. El entorno de las partículas cuenta con la resencia del núcleo.

El movimiento descendente del esquiador d ependerá de la atracción gravitacional de la tierra y del estado del suelo. El entorno del esquiador está compuesto por la tierra y la nieve.

Figura M6.1: Ejemplos de cuerpos con diferentes movimientos.

La masa de una partícula (M) Es una cantidad física escalar que corresponde a una propiedad fundamental de la materia. Se mide con una balanza para asignarle un número a un cuerpo, obtenido mediante una comparación con un cuerpo patrón, cuya masa se define como la unidad



(1 Kg, en el sistema MKS). Este procedimiento está basado en la atracción gravitacional terrestre. Por tal razón la masa medida de esta forma toma el nombre de “masa gravitatoria”. La “inercia” es una característica de los cuerpos que consiste en una medida de la resistencia de ellos a cambiar de estado de traslación. La masa medida en función del cambio de velocidad que experimenta un cuerpo cuando interactúa con otro toma el nombre de “masa inercial”. La masa inercial de una partícula es una propiedad que determina cómo cambia su velocidad cuando interactúa con otros cuerpos.

El momentum lineal de una partícula ( p ) r

Si una partícula de masa M describe una trayectoria c (Figura M6.2), su r

momentum lineal p , en un instante dado, se encuentra definido como el producto entre la masa M de la partícula y su velocidad

v. r

p = M⋅v r

r

M

Es una cantidad física vectorial que lleva la

p = Mv r

r

c

misma dirección que la velocidad, es decir, tangente a su trayectoria. Es un concepto físico importante, pues combina dos elementos que caracterizan el estado

Figura M6.2: el momentum lineal de una partícula.

dinámico de una partícula: su masa y su velocidad. En el sistema internacional o MKS se expresa en kg m . A partir de varios seg experimentos sencillos se puede ver que el momentum lineal es una cantidad dinámica que aporta más información sobre el movimiento de una partícula que la descripción solo de su velocidad. De hecho si imaginamos un camión cargado descendiendo por una gran pendiente a 60 km/h, sabemos que no es equivalente al estado dinámico de un auto liviano que desciende al lado del camión con la misma velocidad. A pesar que ambos tienen la misma velocidad, su estado de movimiento no es el mismo ya que tienen diferente masa. Por cierto que para detener al camión se deberá aplicar una fuerza de mayor magnitud que la fuerza que se debería aplicar al auto para detenerlo. Entonces se dice que el momentum lineal del camión es mayor que el momentum lineal del auto. Este momentum lineal de una partícula puede ser constante o variable según las cantidades M y

v permanezcan constantes o variables en la medida transcurra el r

tiempo.



Momentum lineal constante de una partícula y la 1ª Ley del Movimiento de Newton. Un cuerpo en reposo como el jarrón sobre la mesa de la figura M6.3, tiene un momentum lineal constante en el valor cero, ya que la magnitud de su velocidad es cero. Este momentum lineal del jarrón continuará siendo nulo, a menos que una fuerza lo saque de este estado. También es constante el momentum lineal de una partícula de masa M (constante) que se mueve en línea recta con velocidad de magnitud constante, como el caso de la figura M6.4 y

Figura M6.3: el momentum lineal del jarro es nulo.

la única forma de cambiar este momentum lineal sería aplicándole una fuerza a la partícula.

Figura M6.4: el momentum lineal del auto es constante a menos que exista una fuerza (pared) que lo saque de este estado.

Por lo tanto, en ambos casos la ley fundamental de la mecánica: r

r

FR =

dp dt

= 0 , ya que al ser constante el momentum lineal, su derivada respecto

del tiempo será cero, es decir que la fuerza resultante sobre la partícula será nula. Esto puede significar que la partícula no es afectada por ninguna interacción o que las interacciones sobre ella se anulan; entonces se dice que l a partícula es una partícula libre (libre de fuerzas o interacciones). Esta conclusión corresponde a la “ Ley de inercia o 1ª Ley de Newton ” y sostiene: “Una partícula libre de fuerzas, es decir que la fuerza resultante sobre ella sea nula, mantiene constante su momentum lineal”.

Así la partícula se encontraría en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.



El momentum lineal variable de una partícula y la 2ª Ley del movimiento de Newton. Supongamos que una partícula tiene masa constante M, su r

momentum variará en la medida la velocidad v de la partícula cambie, ya sea en magnitud, en dirección o en magnitud y dirección simultáneamente. Veamos algunos ejemplos: 

Un cuerpo que cae libremente: La figura M6.5 muestra que la velocidad del cuerpo aumenta uniformemente, su aceleración es constante e igual a la aceleración de gravedad; de modo que su momentum lineal aumenta uniformemente. ¿Qué provoca este aumento? La respuesta es inmediata, es la fuerza

Figura M6.5: cuerpo cae aumentando la magnitud de su velocidad.

de atracción gravitacional de la tierra sobre él. 

Una mesa es empujada a partir del reposo: La figura M6.6 muestra que inicialmente su momentum lineal es cero, pero luego de darle el empujón la mesa aumenta su velocidad y por

Figura M6.6: la mesa es empujada a partir del reposo, adquiriendo una determinada velocidad v . r

lo tanto, también su momentum lineal.

¿Qué provoca el aumento del momentum lineal de la mesa? La respuesta resulta evidente, la fuerza aplicada al empujarla. 

Un bloque arrastra sobre un piso horizontal: La figura M6.7 ilustra la forma en que un hombre le imprime una velocidad r

v a un bloque liviano. El bloque al arrastrar sobre una superficie horizontal áspera disminuye su

Figura M6.7: El bloque es pateado logrando una velocidad que posteriormente disminuye en la medida arrastra sobre la superficie áspera.

velocidad hasta detenerse. En esta fase del movimiento de la caja su momentum lineal cambia disminuyendo hasta llegar al valor cero. ¿Qué provoca que el momentum lineal del bloque cambie en la medida avanza? La respuesta es la fuerza de fricción entre las superficies que rozan.


Física General Mecánica Modulo 6: Dinámica de la partícula. Relación fuerza - movimiento 

Un automóvil enfrenta una curva en una carretera: a pesar que la magnitud de su velocidad sea constante como lo sugiere la ilustración de la figura M6.8 el automóvil cambia el vector velocidad, ya que cambia su dirección en la parte curvada. De manera que en esta fase del movimiento el momentum lineal del automóvil es variable. ¿Por qué varía el momentum lineal del automóvil? La respuesta tiene relación con la aspereza

Figura M6.8: El auto A enfrenta una curva con velocidad de magnitud constante.

existente entre los neumáticos del automóvil y la aspereza de la carretera que impiden que éste patine deslizando hacia fuera de la curva. De manera que podemos decir que sobre el automóvil actuaría una fuerza de rozamiento que permitiría que éste tuviese el movimiento curvilíneo. Imaginemos ahora que nosotros vamos en el interior del automóvil. Cuando éste inicia el giro nuestros cuerpos se “pegan” a la pared y ésta no deja que nuestros cuerpos escapen hacia fuera ejerciendo una fuerza contraria sobre nuestros cuerpos. Si esta fuerza no existiera, no podríamos continuar junto al auto en su trayectoria curvilínea.

En cada uno de estos ejemplos y situaciones descritas es precisamente una fuerza la que provoca la variación de la velocidad de un cuerpo y por lo t anto la variación de su momentum lineal.

La 2ª ley de Newton precisamente establece que: “la rapidez de cambio temporal del momentum lineal de una partícula es igual a la fuerza resultante sobre ella”.

Es decir, r

r

FR

dp . = dt

Ahora si consideramos cuerpos que durante su movimiento mantienen constante su masa M, la ecuación anterior se expresa como: d (M ⋅ v ) = = M ⋅ dv = M ⋅ a dt dt r

r

FR

r

r

Es decir, que en este caso particular en que el objeto no cambia su masa en la medida se mueve, la ecuación fundamental de la mecánica se escribe como:



FR = M ⋅ a r

r

r

En donde el término fuerza resultante, FR , corresponde a la suma vectorial de todas las fuerzas que recibe el cuerpo de masa M, debido a otros cuerpos que conforman su r

medio ambiente e interaccionan con él. Por otro lado, la aceleración, a de M describe su movimiento. Es una relación entre la o las fuerzas aplicadas a una partícula y su movimiento. Es una ecuación vectorial que permite predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen todas las fuerzas que actúan sobre él. También permite averiguar cómo son las fuerzas sobre un cuerpo si se conoce con cierta exactitud su movimiento. Precisamente de esta forma Newton pudo averiguar en el siglo XVII la Ley de atracción universal entre dos cuerpos y en particular la fuerza que permite que los planetas giren en torno al sol con órbitas elípticas, según las observaciones y cálculos empíricos realizados por Kepler y con la ayuda del telescopio diseñado por Galileo.

La ley de acción y reacción o 3ª Ley de Newton

F1

Las fuerzas en la naturaleza se presentan de a pares, es decir una fuerza es una interacción entre dos r

cuerpos. En la figura M6.9 la fuerza F1 es la fuerza que r

una persona ejerce sobre una balanza, aplastándola y F2

F2

es la fuerza que la balanza ejerce sobre la persona, r

impidiendo que esta se hunda. Si a F1 la llamamos r

“acción”, entonces F2 es llamada “reacción”. Estas dos

Figura M6.9: Fuerzas de acción y reacción entre una balanza y una persona que se pesa en ella.

fuerzas aparecen simultáneamente entre los cuerpos que interactúan entre sí. En el ejemplo del hombre empujando r

el automóvil (figura M6.10), F1 es la fuerza que el r

hombre ejerce sobre el auto (acción) y F2 es la fuerza que

F2

el auto ejerce sobre el hombre (reacción). La ley de acción y reacción o tercera ley de

F1

Newton establece que a toda fuerza llamada “acción” le corresponde una “reacción” igual y opuesta.


Figura M6.10: interacción auto-hombre en la acción de empujar el automóvil.


Es decir, F1 = F2 , son iguales en magnitud, pero tienen direcciones opuestas.

En las figuras M6.9 y M6.10 la fuerza llamada “acción” está representada por las r

r

fuerzas F1 y la “reacción” por las fuerzas F2 . Como se puede apreciar las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes. Una persona que camina o corre (ver figura M6.11) sobre el suelo, avanza debido a la fuerza que el suelo ejerce sobre ella. Cada vez que da un paso o zancada r

empuja el suelo hacia atrás (acción) con una fuerza F1 , y por tanto el suelo empuja su r

pie hacia delante (reacción) con una fuerza F2 , permitiéndole desplazarse. En cada uno de los ejemplos ilustrados puede observarse que las fuerzas de acción y reacción ocurren simultáneamente y entonces la tercera l ey de newton se puede escribir como: F1 = −F2 , es decir, cuando dos objetos interactúan, la fuerza de la primera sobre r

r

r

la segunda ( F1 ) es igual y opuesta a la fuerza sobre la segunda ejercida por la primera r

( F2 ).

F1 (acción sobre el suelo)

F2 (reacción sobre el pie)

Figura M6.11: Fuerzas de acción y reacción al correr o caminar.

El principio de conservación del momentum y la ley de acción y reacción Supongamos dos partículas que se encuentran sujetas solo a su interacción mutua, es decir que cada una recibe la interacción de la otra. Esta situación se daría en un sistema aislado en que las dos partículas se encuentran solas o que habiendo otras interacciones o fuerzas sobre ellas hay algunas que se compensan de tal forma que persiste en ellas solo la interacción mutua como lo ilustra la fi gura M6.12. En esta



figura se muestran a dos personas, una niña y un niño que están en patines, inicialmente en reposo. Ambos niños se empujan con sus manos separándose en sentidos contrarios.

Figura M6.12: dos niños sobre sus patines se empujan entre sí cambiando sus propios momentum lineal. r

Debido a la fuerza F1 que hace el niño sobre la niña, ésta cambia su momentum r

ι

lineal desde 0 a p 1 ,

∆p1 = p1ι − 0 r

r

r

Debido a la fuerza F2 que hace la niña sobre el niño, éste cambia su momentum lineal desde cero a pι2 , r

∆p 2 = pι2 − 0 . r

r

El principio de conservación del momentum lineal sostiene que “el momentum lineal total de un sistema compuesto por dos o más partículas sujetas solo a su interacción mutua permanece constante”. Es decir que:

p1 + p 2 = cons tan te = 0 , en el caso de los niños. Si analizamos las variaciones r

r

de los momentum lineales de las dos partícula en el tiempo, tenemos,

∆p1 ∆p 2 + = 0 , y en el límite cuando ∆t → 0 , ∆t ∆t r

r

r

r

dp1 dp 2 + =0 dt dt

→

∆p1 ∆p =− 2 ∆t ∆t r

r

→

F1 = − F2 , que es la ley de acción r

r

y reacción. Con esta pequeña demostración hemos visualizado que la ley de acción y reacción es una consecuencia del principio de conservación del momentum lineal y de la segunda ley de Newton que en estos módulos la hemos considerado como la ley fundamental de la mecánica clásica, es decir para cuerpos con bajas velocidades.



Las cuatro interacciones o fuerzas fundamentales Se llaman fuerzas o interacciones fundamentales a fuerzas presentes en el Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas. Las fuerzas o interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro:

• Interacción gravitacional: es la fuerza de atracción entre dos cuerpos con masa. Esta fuerza es la responsable que los cuerpos caigan sobre la tierra, que la tierra o los planetas giren en torno al sol, que la luna orbite en torno a la tierra o que un satélite se mueva junto a la tierra (figura M6.13).

Planeta Sol

Figura M6.13: ilustración de la atracción gravitacional entre la tierra y una piedra y entre el sol y un planeta.

• Interacción electromagnética: tiene su origen o fuente primaria en la fuerza eléctrica entre dos cuerpos cargados. Esta fuerza puede ser una fuerza d e atracción si las cargas son opuestas o de repulsión en el caso de que las cargas son de igual tipo. La figura M6.14 muestra la fuerza de repulsión entre dos cuerpos cargados con igual tipo de carga, ambos cargados positivamente o negativamente. Es la fuerza presente en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas.

Figura M6.14: fuerza eléctrica entre dos cuerpos cargados.

Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria y es una fuerza de largo alcance.

• Interacción nuclear fuerte: es la fuerza que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Es una fuerza atractiva y su alcance es del orden de las dimensiones nucleares, pero es más intensa que la fuerza electromagnética (figura M6.14).



• Interacción nuclear débil: es la responsable de la desintegración beta de los neutrones; los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte.

Figura M6.14: fuerza nuclear entre los componentes del núcleo atómico.

La fuerza gravitacional o peso de un cuerpo Es la fuerza de atracción gravitacional, FG, que ejerce la tierra sobre

m2 = m

un determinado cuerpo (figura M6.15). Esta

r

fuerza gravitacional depende de las masas m 1 y m2 de cada cuerpo y de la distancia r que

m1 = MT

las separa. La ley de gravitación universal sostiene que la magnitud de esta fuerza de atracción entre los cuerpos es:

FG = G

m1 ⋅ m2 r2

Figura M6.15: fuerza de atracción gravitacional de la tierra sobre un cuerpo de masa m.

, donde G es una

constante, denominada constante de gravitación universal y cuyo valor, determinado experimentalmente, es 6,67x10

-11

2

2

Nt m /kg . Es una fuerza atractiva cuya dirección se

encuentra en la línea que une los centros de cada cuerpo. Si m1 representa la masa de la tierra M T, y m2 la masa de un objeto en la superficie de ella (o muy cerca de su superficie) entonces la distancia de separación entre los dos cuerpos será r = R T, es decir el radio de la tierra. En este caso, la fuerza de atracción que ejerce la

FG = w

tierra sobre el cuerpo de masa m será:

FG = G

mT ⋅ m MT = ⋅ = m g g G , donde 2 2 RT RT

y

2

cuyo valor en el sistema MKS es de 9,8 m/seg , es decir la aceleración de gravedad. En este caso la fuerza de gravedad toma el nombre de peso del cuerpo, que se escribe habitualmente con la letra w.


a=g

Superficie de la tierra

Figura M6.16: la fuerza peso de un cuerpo está dirigida hacia el centro de a tierra.


Efectivamente, si se suelta un objeto desde una determinada altura (figura M6.16) y la resistencia del aire es despreciable, este caerá con la aceleración de gravedad g, debido a la fuerza de gravedad w. Luego en virtud de la segunda ley de Newton se tendrá que,

FR = w = m ⋅ g . Fuerzas de tensión (T) y compresión (C) Un cuerpo sólido puede estar sometido a una compresión (C) si el cuerpo es comprimido por una fuerza o a una tensión (T) si el jalado. La figura M6.17(a) muestra r

una caja comprimida por una fuerza

C y la figura M6.17(b) muestra una caja que es r

arrastrada mediante una cuerda, tensionándola con una fuerza a

r

C

b

T.

r

T

Figura M6.17: Un bloque es comprimido por una fuerza C, en (a) y tensado por una fuerza T, en (b).

La fuerza de compresión está presente sobre un objeto en diversas situaciones, por ejemplo, cuando un objeto se encuentra sobre una superficie en reposo, como se muestra en la figura M6.18. En este caso la fuerza de compresión que hace la mesa sobre el jarro se denomina, frecuentemente, fuerza Normal N, ya que apunta en dirección perpendicular a la superficie sobre la cual se apoya. Si un objeto deslizara sobre una superficie curvilínea la fuerza normal N cambiaría de dirección manteniéndose siempre perpendicular a ella (ver figura M6.19). Como se ve, la fuerza normal es una fuerza de compresión o de contacto, que ejerce una superficie cuando un

mg

C=N Figura M6.18: jarro sobre una superficie horizontal.

Figura M6.19: La fuerza normal sobre la esfera apunta en dirección perpendicular a la superficie sobre la cual rueda.



objeto esta en contacto con ella apretándola. También está presente cuando dos cuerpos, por ejemplo, se tocan empujándose (ver figura M6.20). Allí se puede apreciar que entre los cuerpos existe una fuerza de contacto de M 1 sobre M2 y viceversa. M2 M1

Figura M6.20: un bloque empuja al otro.

Ejemplos de aplicación Ejemplo M6.1 Una lámpara de 200 grs cuelga del techo de una habitación. Determine la tensión en la cuerda que la sostiene.

a)

Figura M6.21: Ejemplo M6.1. a) la lámpara cuelga en reposo desde el techo de una habitación. b) Diagrama de cuerpo libre de la lámpara

b)

Solución: Datos: M=200 grs=0,2 Kg. Interesa saber la tensión T que es la fuerza que hace la cuerda sobre la lámpara. El diagrama de cuerpo libre de la figura M6.21 b) muestra los vectores fuerza sobre la lámpara y su aceleración, que en este caso es nula. T es la fuerza con que la cuerda tensiona a la lámpara, Mg la fuerza de atracción de la tierra sobre la lámpara o peso de la lámpara. Considerando el eje coordenado +y de la fi gura, se tiene:

FR = M ⋅ a , r

r

es decir, r

r

T + M g = 0 , que escrito en notación vectorial es r



(0; T) + (0; - Mg) = (0; 0). Al sumar los pares ordenados que representan cada fuerza e igualar las componentes x e y de cada miembro de la ecuación vectorial anterior, se tiene que la componente x de cada vector es cero y que solo la componente y contribuye a relacionar las fuerzas sobre la lámpara: 2

 → T = M·g = 0,2 (Kg) · 9,8 (m/seg ) = 1,96 Nt. T – Mg = 0     lo que implica

y]

Ejemplo M6.2 La figura muestra dos cajas cuyas masas son M A= 400 grs y M B= 600 grs. (a) ¿Cuál es la fuerza de compresión de la caja B sobre la A? y (b) ¿Cuál es la fuerza de compresión de la caja A sobre el suelo?

a)

b)

c)

Figura M6.22: Ejemplo M6.2. a) Dos cajas A y B se encentran una sobre la otra. b) Diagrama de cuerpo libre de la caja superior B. c) Diagrama de cuerpo libre de la caja inferior A.

Solución: Datos: MA= 400 grs= 0,4 Kg; M B= 600 grs = 0,6 Kg. (a) Debido a la 3ª ley de Newton se tiene que la fuerza de compresión de la caja B sobre r

r

la A, FBA , es igual y contraria a la fuerza de compresión de la caja A sobre la B, FAB . Por lo tanto se analizará la caja B. En el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura M6.22 b) se tiene que la componente y de la 2ª ley de Newton sostiene que... y] FAB - MB·g = 0, debido a que la aceleración de B es cero. Por lo tanto 2

FAB= MB·g = 0,6 (Kg) · 9,8 (m/seg ) = 5,9 (Nt).



(b) Ahora interesa averiguar la magnitud de la fuerza de compresión de la caja A sobre el suelo. Esta fuerza es igual y contraria a la fuerza de compresión del suelo sobre la caja A o fuerza normal N. Por esta razón se analiza la caja A, ver diagrama de cuerpo libre en la figura M6.22c). y] N – FBA – MA·g = 0, ya que a = 0. Por lo tanto, N=M B·g + MA·g = (M A + MB)·g = 2

=(0,4 Kg+ 0,6 Kg)·9,8 m/seg = = 9,8 (Nt).

Ejemplo M6.3 El sistema de dos masas, m 1 y m2 unidas por una cuerda, se llama “máquina de Atwood”. La cuerda pasa por una polea ideal, es decir que su masa es despreciable y cuyo eje esta idealmente lubricado de modo que gira con una fricción despreciable. Hallar la tensión en la cuerda y la aceleración en cada masa.

y

y

T1

T1

a)

m2 m1

a

a

b)

m1 g

c) m 2g

Figura M6.23: Ejemplo M6.3. a) Máquina de Atwood. b) Diagrama de cuerpo libre para masa m1. c) Diagrama de cuerpo libre para masa m2.

Solución: Datos: En este problema se suponen conocidos m 1 y m2. Al igual que en los ejemplos M6.1 y M6.2, solo se requiere un eje coordenado, el eje y, para aplicar la 2ª ley del movimiento de Newton. En cuerdas de masa despreciable, cuerda ideal, la tensión se transmite uniformemente a lo largo de ella y es la misma en cada extremo. Aplicando la 2ª ley de Newton para m 1: y] T1 – m1·g = m1· a

(1)

Notar que los vectores T 1 y a tienen igual dirección, que de acuerdo al eje coordenado, ambos vectores son positivos.



Aplicando la 2ª ley de Newton para m 2: y] T1 – m2·g = m2 ( - a)

(2)

Notar, ahora, que los vectores T 1 y a tienen direcciones contrarias, siendo T 1 positivo y a, negativo.

Las ecuaciones (1) y (2) presentan como incógnitas T 1 y a, por lo tanto resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones se obtiene: a=

(m2 − m1) ⋅ g m1 + m2

y

T=

(2 ⋅ m1 ⋅ m2 ) ⋅ g . m1 + m2

Se puede observar de los resultados anteriores que si m 1=m2 la aceleración de los cuerpos sería cero. Esta situación indicaría que el sistema podría esta quieto en equilibrio estático o moverse con velocidad constante.

Ejemplo M6.4 Los dos bloques mostrados cuyas masas son M A=100 Kg y M B=300 Kg , parten del reposo. El plano horizontal y las poleas no tienen rozamiento y se supone que las poleas tanto fija como móvil C tienen masas despreciables. Determinar la aceleración de cada bloque y la tensión en cada cuerda.

a)

Figura M6.24: a) Ejemplo M6.6 que ilustra a dos bloques comunicados por poleas diferentes. b) las posiciones de los bloques A y B a partir de la polea fija.

b)

Solución: Datos: MA=100 Kg; MB=300 Kg. Estos cuerpos están unidos por dos cuerdas: una de ellas comunica el bloque A con la polea móvil y la otra une la polea móvil C con el bloque B. Los movimientos de A y B son interdependientes, es decir que la posición de un cuerpo depende de la posición del otro. Como la cuerda que pasa por la polea móvil tiene un largo L constante, expresar Profesora: Ester López Donoso


este largo en función de las posiciones x A de A y xB de B, en un momento dado, permitirá saber la relación entre ambos movimientos (ver figura M6.24b).

L = xA + 2(x B – b),

(1),

donde b es la longitud (constante) de la cuerda corta que une la polea móvil con el cuerpo B. Si derivamos con respecto del tiempo la relación anterior, se obtiene,

por lo tan to   → a A = 2 a B , 0 = aA + 2 aB  

(2)

lo que quiere decir que la magnitud de la aceleración de A es el doble de la magnitud de la aceleración de B. Teniendo esta relación, ahora se puede aplicar la 2ª ley de newton a cada cuerpo.

Figura M6.25: Ejemplo M6.6. a) Diagrama de cuerpo libre para el bloque A. b) Diagrama de cuerpo libre para la polea móvil C. c) Diagrama de cuerpo libre para el bloque B.

C

a)

b)

c)

+ ] T1 = M A ⋅ a A  →

Para bloque A:

Para la polea móvil C: + ↑ ] 2 T1 − T2 = 0 ,

(3)

(4)

Donde el segundo miembro es cero, ya que se ha considerado que la masa de la polea es despreciable.

Para bloque B: + ↑ T2 − M B ⋅ g = − M B ⋅ a B

(5)

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (2), (3), (4) y (5) se obtiene, en función de los datos, a A, aB, T1 y T2, siendo, 2

aA= 8,40 m/seg , 2

aB= 4,20 m/seg , T1=840 Nt y T2= 1680 Nt.



Tarea: Analizar y discutir acerca de los diferentes arreglos de poleas mostrados en la siguiente página.

En primer lugar una polea, como la mostrada en la figura M6.26 está compuesta de soporte, armadura, eje, disco, cuerda y la garganta por donde se arrolla la cuerda. En general son muy livianas, pero de un material resistente. Existen varios arreglos con poleas que se usan según la necesidad que se plantee. Entre estos arreglos destacan el polipasto y la garrucha que se muestran en la figura M6.27 a) y b), respectivamente y que ofrecen óptimas ventajas mecánicas.

Figura M6.26: elementos de una polea.

Figura M6.27: a) El polipasto, es la configuración más común de poleas compuestas. En un polispasto, las poleas se distribuyen en dos grupos, uno fijo y uno móvil. En cada grupo se instala un número arbitrario de poleas. La carga se une al grupo móvil. b) La garrucha, lleva cinco poleas en cada conjunto, más una rueda guía en la parte superior. Diez poleas elevan la carga, es decir que la garrucha aumenta diez veces la fuerza aplicada.

a)El polipasto

b) La garrucha

1.- Una caja que pesa 600 lb está sostenida por varios arreglos de poleas y cuerdas, como se muestran en las figuras. Determine para cada arreglo, desde a) a h), la tensión en la cuerda que permite tener la caja en equilibrio.

a)

b)

c)

d)

e)

f)


g)

h)


2.- El panel deslizante tiene 40 Kg y el contrapeso tiene 20 Kg. Despreciando el rozamiento determine la aceleración del panel y la tensión en la cuerda.

3.- Los collarines A y B, de masas de 10 Kg y 15 Kg respectivamente, deslizan sin fricción por dos vías rectas y paralelas. La masa B se mueve a la izquierda debido a una fuerza de 20 Nt. Calcule la aceleración de cada masa y la tensión en la cuerda.

Ejemplo M6.5 Se empuja una mesa de 5 (kg) sobre una superficie horizontal lisa y lubricada con una fuerza de magnitud 10,0 Nt cuya dirección es de 40º respecto de la horizontal, de la forma que sugiere la figura M6.28 a). Determine (a) la aceleración que adquiere la mesa, (b) la magnitud de la fuerza normal y (c) la velocidad de la mesa al arrastrar 20 cm si parte desde el reposo.

b)

a)

Figura M6.28: a) Ejemplo M6.5. b) Diagrama de cuerpo libre para la mesa.

Solución: Datos: M=5,0 Kg; d= 20 cm=0,2 m. a) y b) Tomando la mesa como una partícula, en la figura M6.28 b) se dibujan los r

vectores fuerzas sobre ella y el vector que representa su aceleración. F es la fuerza que el hombre ejerce sobre la mesa. En la figura se muestran, además, en línea discontinua r

r r

las componentes x e y de F . La fuerza peso de la mesa es M g y la fuerza N la fuerza



normal o de contacto que ejerce el suelo sobre la mesa. Debido a estas fuerzas la mesa resbala en la dirección del eje x mostrado, debido al cambio de velocidad que esta experimenta. De la 2ª ley de Newton se tiene: r

F

r

+ Mg + N = M ⋅ a . r

r

Considerando el sistema coordenado xy de la figura, cada vector se escribe como, (F cos 40º; - F sen 40º) + (0, - Mg) + (0; N) = M ( a ; 0 ). Esta es una ecuación vectorial que presenta dos incógnitas: la aceleración a y la fuerza normal N. Al igualar las componentes x de los dos miembros de la ecuación, se tiene:

  por lo tan to   → a = F cos 40º = 1,53  m 2  x] F cos 40º = M a   M seg  por lo tan to   → N= Mg + F sen 40º = 55,43 Nt. y] - F sen 40º - Mg + N = 0  

Notar que la magnitud de la fuerza de contacto suelo mesa, o fuerza normal N, es mayor que la fuerza peso de la mesa, debido a que la mesa es presionada hacia el suelo.

c) Dado que la fuerza resultante sobre la mesa es una fuerza constante, entonces la aceleración de la mesa es constante, es decir que su movimiento es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Por lo tanto cuando la mesa se desplaza d=0,20 m 2 2 su velocidad puede ser calculada mediante, v = v0 + 2 ⋅ a ⋅ d , en donde v 0 es cero. Así

se tiene que v = 2 ⋅ a ⋅ d = 0,78

 m . seg 

Ejemplo M6.6 Dos cajas semejantes se unen mediante una cuerda firme y ligera. Sus masas son M1=10 Kg y M 2=12 Kg. Una persona las arrastra sobre una superficie lisa y lubricada mediante una fuerza de 40 Nt que aplica a través de una cuerda. La cuerda mantiene una inclinación de 30º, como se puede apreciar en la figura. Calcule (a) la aceleración de cada caja y (b) la tensión en la cuerda que las une.

Solución: Datos: M1=10 Kg, M2=12 Kg, F=40 Nt



La fuerza F es la fuerza que aplica la persona sobre la caja, a través de una cuerda. r

Las dos cajas tienen el mismo movimiento y la misma aceleración a , debido a la cuerda que las une.

a)

b)

Figura M6.29: Ejemplo M6.6. a) Diagrama de cuerpo libre para la caja A. b) Diagrama de cuerpo libre para la caja B.

Aplicando la 2ª ley de Newton para M 1: F + N + M r

r

1g + T r

r

= M

⋅a , r

1

que escrita en función de los pares ordenados que representan cada fuerza, se tiene: (F cos 30º; F sen 30º) + (0; N) + (- T; 0) + (0; - M 1g) = M1 (a; 0). La ecuación vectorial anterior presenta tres incógnitas, que son N, T y la aceleración de magnitud a; sin embargo la igualdad vectorial nos permite formar dos ecuaciones: una cuando se igualan las componentes x de cada miembro de la ecuación y la otra al igualar las componentes y de cada vector. x] F cos 30º - T = M 1·a

(1)

e

y] F sen 30º + N – M 1g = 0.

(2)

Las ecuaciones (1) y (2) son insuficientes para formar un sistema que permita encontrar tres incógnitas. Por lo tanto se hace necesario analizar el movimiento de la caja de masa M 2. Aplicando la 2ª ley de Newton para M 2: r

T

+ N′ + M 2g = M 2 ⋅ a r

r

r

ó

(T; 0) + (0; N´) + (0; - M2g) = M2 (a;0).

Igualando componentes x e y se tiene: x] T = M2·a

(3)

y] N´ - M2g = 0

e

(4).

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene:

  a = F cos 30º = 1,57  m 2  M1 + M 2 seg 

y

de ecuación (3), T= 18,84 Nt.



Taller 6: Dinámica de la partícula: Movimientos rectilíneos

1.- La figura muestra un sistema formado por dos cajas de 1 kg y 3 kg que se comunican mediante una cuerda que pasa por una polea sin roce. Cuando se deja libre el sistema las cajas se mueven verticalmente. Si el roce con el aire es despreciable entonces la(s) fuerza(s) que actúa(n) sobre la caja de 1 Kg es (son): a) La fuerza gravitacional sobre la caja y la fuerza normal b) La fuerza gravitacional sobre la caja y la fuerza peso de la mi sma c) La fuerza peso de la caja y la tensión debido a la cuerda d) Sólo la fuerza peso sobre la caja

2.- Si la aceleración de la caja de 1 kg es de 5 m/seg 2, entonces la magnitud de la fuerza que hace el cable sobre la caja es: a) 45 [ N ]

b) 30 [ N ]

c) 15 [ N ]

d) 10 [ N ]

3.- La figura muestra un bloque de masa 2 Kg que esta

m1

en una superficie horizontal y que es jalado mediante m2

una cuerda a la cual va fijo un bloque de masa 1 K g

suspendido por medio de una polea: Suponemos no tiene ni masa ni rozamiento y que simplemente sirve para cambiar la dirección de la tensión de la cuerda en ese punto. a) Calcule la aceleración del sistema. b) Calcule la tensión de la cuerda.

4.- Un cuerpo de masa de 60 Kg esta sostenido por una cuerda como muestra la figura: a) Si el bloque esta en reposo ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque? b) Si el bloque esta en

30º

reposo ¿Qué magnitud y dirección tiene la Fuerza ejercida por el bloque sobre la superficie inclinada? c) Si la cuerda ahora se corta y el bloque ya no esta en reposo ¿Cuánto vale su aceleración?



5.- Tres bloques están unidos como muestra la figura en una mesa horizontal sin rozamiento y se les jala hacia la derecha con una fuerza T 3 = 60 N. Si m 1 = 10 Kg, m 2 = 20 Kg y m 3 = 30 Kg. Encontrar las tenciones T 1 y T2.

m1

T2

T1

m2

T3 m3

6.- Un muchacho empuja seis carros en el supermercado aplicando una fuerza F sobre el primero. Los carros tienen la misma masa m y el roce con el suelo puede despreciarse. La aceleración del cuarto carro es: a) F/m

b) F/3m

c) F/4m

d) F/5m

e) 2F/3m

7.-Con relación al problema de los carros, la fuerza que el tercer carro ejerce sobre el cuarto es: a) F

b) 2F/3

c) 3F/5

d) 2F/5

e) 0

Ejercicios de pruebas anteriores

1- El conjunto de dos bloques se eleva por la acción de la fuerza aplicada externa F 1= 100 Nt. Calcule la tensión en la cuerda que une los dos cuerpos.

2.-Dibuje un diagrama b) haga un diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas sobre cada uno de los bloques que se muestran.

de fuerzas para a) el paracaidista y b) sobre los bloques m1 y m2; que

Problema 1

a) dibuje todas las fuerzas que actúan sobre el paracaidista.

se muestran en la figura.


Problema 2

Modulo6 Dinamica de La Particula Con Nombres

Recommend Documents