UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD DE LENGUA COMUNICACIÓN E IDIOMA INGLÉS ALUMNO:MATEMÁTICA BÁSICA
GUIA Nº 01 RESPONSABLE: Lic. VÁSQUEZ TREJO, CÉSAR
B = {2; 4; 6; 8;. . …….; 400}
TEORIA DE CONJUNTOS I. NOCIÓN DE CONJUNTO Intuitivamente un conjunto es una colección o agrupación bien definida de objetos (reales o ideales) que pueden o no tener una característica común. Ejemplos: * El conjunto de los alumnos del II ciclo de la facultad de educación * El conjunto de los distritos de la provincia de Huaura * El conjunto de los números impares menores que 7 * El conjunto de los símbolos: a; b; 1; 2; a; e 1.1 NOTACIÓN DE CONJUNTO Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y a sus elementos mediante variables o letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves. Ejemplos: A = {a; e; i, o; u} B = {los días de la semana} C = {cara, sello} 1.2 RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈) Se establece esta relación sólo de elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado. “. . . pertenece a . . .” : ∈ “. . . no pertenece a . . .” : ∉ Ejemplo: C= {1; 2; {1;2}; 5; {6} } * * * * *
2∈C 8∉C {1; 2} ∈ C 5∈C 6∉C
1.3 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas: A) Por Extensión (forma tabular) Es cuando se señala a cada uno de los elementos enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida. Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}
No todos los conjuntos pueden ser determinados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación. B) Por Comprensión (forma constructiva) Es cuando se enuncia una o más características comunes y exclusivas a los elementos de dicho conjunto. Esquema: “tal que” F = .... .......... / .......... ..........
Forma General del Elemento
Características o propiedad común de la variable que forma el elemento
Ejemplos: A = {n/n es una vocal} B = {los números pares menores que 13} C = {n2 - 1 / n es entero ∧ 1 ≤ n ≤ 7} 1.4 DIAGRAMA DE VENN - EULER Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así: .... A
Ejemplo: A = {1; 8; 27; 64}
.1 .64
.8 .27
DIAGRAMA DE LEWIS CARROL Se utilizan para representar conjuntos disjuntos Hombres
Mujeres Fuman No Fuman
Se observa que: Hombres que fuman Mujeres que no fuman
1.5 NUMERO CARDINAL Es la cantidad de elementos diferentes que posee un conjunto y se denota por: n(A). Ejemplos: * A = {5; 6; 6; 5} → n(A) = 2 * B = {x/x ∈ N ∧ 3 < x < 9} → n(B) = 5 II. CLASES DE CONJUNTOS Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos: 2.1 FINITO Si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento. Ejemplos: * K = {3n + 2 / n ∈ Z ∧ 1 ≤ n ≤ 4} K es finito pues n(K) = 4 * L = {x/x es un día de la semana} L es finito pues n(L) = 7 2.2 INFINITO Si posee una cantidad ilimitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplos: M = {x/x ∈ Q ∧ 1 ≤ x ≤ 2} M es infinito pues n(M) = . . . . ? Z+ = {1; 2; 3; 4; 5; . . .} Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ? III. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 3.1 INCLUSIÓN ⊂ Se dice que A está incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B. Se denota: A ⊂ B A⊂B≡∀x∈A:x∈A→x∈B
*
3.2 IGUALDAD Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. Simbólicamente:
B A
“A está incluido en B” “A está contenido en B” “A es subconjunto de B”
Ejemplos:
B .r
A .p .q
1) A = {p, q} B = {p, q, r, s}
.s
A⊂B
2) D = {2; 4; 6} E = {1; 2 ;3; 5}
E
D .4 .6
.1 .3
.2 .5
Se observa que D no está contenido en E, en ese caso se denota:
A=B ⇔ A⊂B ∧ B⊂A
Ejemplo: A = {3n+2 / n ∈ Z ∧ 1 ≤ n ≤ 4} B = {5; 14; 8; 11} B A se observa: A = B .5 .14 .8 .11 3.3 CONJUNTOS COMPARABLES Dos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro, es decir: A⊂B ó
B⊂A
Ejemplo: A = {3, 5, 7} ; B = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ A y B son comparables, porque A ⊂ B. 3.4 CONJUNTOS DISJUNTOS Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo: A = {2, 3, 4} B = {5, 6, 7} ∴ A y B son disjuntos Gráfica: A
Gráficamente:
⇒
*
D⊄ E Observaciones: Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo. ∀ A →A⊂A El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. ∀ A→ ∅⊂A
B
.2 .3
.4
.5 .6
.7
3.5 CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES Dos conjuntos (no vacíos) son coordinables si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre todos sus elementos. Cuando dos conjuntos son coordinables tienen el mismo número de elementos. Ejemplo: A = {2; 4; 6; 8; 10} C = {a, e, i, o, u}
∴ A y C son equipotentes Simbólicamente:
⇔ n(A) = n(C)
A<>C
IV. CONJUNTOS ESPECIALES 4.1 CONJUNTO NULO O VACÍO Es aquel conjunto que carece de elementos y se le considera incluido en cualquier otro conjunto se denota como “∅” ó { } Ejemplo: A = {x/x es el actual INCA del Perú} B = {x/x ∈ N ∧ 7 < x < 8} ⇒
Subconjuntos propios de A P (A) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } vacío ⇒
unitarios
binarios
ternario
n [ P (A) ] = 23 = 8
A=B=∅ = { }
Nota: El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo conjunto.
.1 .3
universal mediante
se el
U
.2 .5
.4
P (A) = {X/X ⊂ A}
Número de subconjuntos de A= n[P( A )] =2 n
4.3 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL (U) Es un conjunto que se toma convencionalmente para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo: A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 5, 6} Podrían ser conjuntos universales U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} U = {x/x ∈ N} Gráficamente el conjunto representa generalmente rectángulo.
Simbólicamente:
Observaciones: * Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es 2 n , es decir:
4.2 CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo: A = {x/x ∈ Z ∧ 10 < x < 12} = {11} B = {2; 2; 2; 2; . . . } = {2}
*
4.4 CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOS Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplos: A = { {2; 3}, {3}, {a}, {6, b}, ∅ } B = { {a, b, c}, {2; 3; 6}, {6}, c, 8 } Se observa que: A es familia de conjuntos B no es familia de conjuntos 4.5 CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A. Notación: P ( A ) Ejemplo: A = {a, b, c}
.5
*
Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A, entonces: # de subconjuntos propios de A = 2 n −1
Ejemplo: Si n(A) = 5 entonces el número de subconjuntos es: n[P( A )] = 2 5 =32 ; además
# subconjuntos propios de A = 2 5 −1 = 31 * Para determinar la cantidad de subconjuntos Karios de un conjunto A, se utiliza la fórmula: # de subconjuntos de “k” elementos = C nk( A )
.6 V. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Ejemplo: A = {x/x es peruano} B = {x/x es colombiano} C = {x/x es mexicano} ⇒ U = {x/x es americano}
5.1 Unión (∪) La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que perteneces a A o B ó a ambos.
A ∪ B = {x/x∈A ∨ x∈B}
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. 5.2
Intersección (∩) Se define la intersección de dos elementos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. A ∩ B = {x/x∈A ∧ x∈B}
Dado el conjunto: M = {2; 3; {5; 7}} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? *5∈M * {2; 3} ⊂ M *2⊂M *7∉M *∅∈M *∅⊂M * {5; 7} ⊂ M * {5} ⊂ M
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 . 02.Determinar por extensión el siguiente conjunto:: R = {n2 + 1 / n ∈ z ∧ 3 < n < 6} Dar como respuesta la suma de los elementos a) 44
5.3 Diferencia ( – ) Se define la diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B A – B = {x/x∈A ∧ x∉B}
b) 46
c) 48
d) 40
e) 43
03.Dados los conjuntos: A = {hombres} B = {x/x es natural de Ica} C = {personas que beben Pisco} ¿Cómo expresaría “Iqueños que no beben Pisco”? a) (A ∩ B) ∩ C c) (A ∩ B) ∩ C’ e) (A ∩ B) ∪ C
b) (A ∪ B) ∩ C d) (A ∩ B) ∪ C’
04.Si los conjuntos:: A= { 2 a + 3; 81 } B= { 32b-6; 64} Son iguales, hallar: “a + b” a) 9
b) 4
c) 15
d) 8
e) 7
05.Sean: A; B y C tres conjuntos tales que: 5.4
Diferencia Simétrica (∆) A ∆ B = {x/x∈ (A – B) ∨ x∈ (B – A)}
*A⊂B *A∩C=∅ * A – C = {4 ; 6} * B ∩ C = {1 ; 3} * C – B = {2 ; 5} Hallar el cardinal del conjunto potencia de C. a) 4
b) 16
c) 32
d) 58
e) 8
06.Se tiene dos conjuntos: C y P tales que: n (C ) = 10 ; n(P) = 14 y n(C ∪ P) = 18 ¿Cuál es el cardinal de : C ∆ P? a) 10 5.5
Complemento (AC ; A’ ; A ; C(A)) C
A = {x/x∉A}
b) 14
c) 13
d) 11
e) 12
07. Dado el conjunto:
S = { 1; 6 ; { 16 } ; 6 ; 16 ; { 16 } }
¿Cuántos subconjuntos tiene? a) 64 b) 8 c) 16
d) 128
e) 32
08.¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada?
C
a) (A∪B) ∆ C b) (A∪B) - C c) (A∩B) - C d) (A∩C)∪B e) (A∪C) – B
B
A
09.¿Qué relación conjuntista expresa siguiente región sombreada? A
verdes, 4 con chompa azul y ojos verdes, pero no tienen pantalón negro; 6 con pantalón negro y ojos verdes, pero sin chompa azul. Si las personas con una sola característica suman 16. ¿Cuántos interrogatorios tienen que hacer el agente de seguridad para hallar al delincuente?
mejor
la
B
a) (A∩B) ∪ (B∩C) b) (A - C) ∪ (B - C) c) (B∩A’) ∪ C d) (A∆C) ∩ B e) (A’∪C’) ∩ B
C
10.Si: n [P(C)] = 64 Hallara el número de subconjuntos binarios que tiene el conjunto c. a) 6
b) 10
c) 15
d) 2016
e) 64
11. Los conjuntos A y B son conjuntos comparables, y se sabe que: * n(A∪B) + n(A∩B) = 25 * n(A - B) = 9 Calcular: n(B) a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 3 12.Dados los siguientes conjuntos iguales: A = {a + 2 ; a + 1} B = {7 – a ; 8 - a} C = {b + 1 ; c + 1} D = {b + 2 ; 4} Hallar a+b+c: a) 5
b) 10
c) 9
d) 8
e) 6
13. Un niño desea comprar un helado a un tipo que vende de 4 sabores: fresa, chocolate, vainilla y lúcuma. Si su pedido puede incluir dos o tres sabores. ¿De cuántas maneras puede hacerlo’ a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 9
14.En una encuesta tomada el ultimo verano a un grupo de chicas bañistas se supo que 49 no usaban tanga, 53 no usaban hilo dental y 27 no llevaban ninguna de las dos prendas. ¿Cuántas llevaban exactamente una prenda? a) 42 b) 44 c) 46 d) 48 e) 50 15.De 5000 postulantes que rindieron 3 exámenes, se observo que: 3600 aprobaron los 3 exámenes, 800 aprobaron solo 2 exámenes y 320 aprobaron solo un examen. ¿Cuántos no aprobaron examen alguno? a) 280
b) 200
c) 115
d) 210
e) 312
16.Un agente de seguridad busca a un delincuente entre la multitud reunida; el cual según informes viste chompa azul, pantalón negro, de ojos verdes y acento extranjero. Hay 23 personas que tienen chompa azul, 15 con pantalón negro, 18 de ojos verdes, además 7 con chompa azul y pantalón negro, pero no tienen ojos
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
17.En un salón de clases el número de alumnos que prefieren aritmética y algebra es respectivamente: • 1/3 de los que prefieren solo aritmética • 1/5 de los que prefieren algebra • 1/6 de los que no prefieren dichos cursos mencionados. Si hay en total 84 alumnos. ¿Cuántos alumnos prefieren solo aritmética o solo algebra? a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
18.En una batalla intervinieron 100 hombres de los cuales: 42 fueron heridos en la cabeza, 43 en el brazo, 32 en la pierna, 8 en la pierna y en el brazo, 5 en la cabeza y brazo, 6 en la pierna y en la cabeza. Si todos fueron heridos, averiguar cuantos hombres fueron heridos en los tres lugares. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
19.De un grupo de 130 personas se sabe que hay: • 31 personas entre hombres blancos casados y mujeres blancas solteras. • 35 personas entre hombres morenos casados y hombres blancos solteros. • 38 personas entre mujeres blancas casadas y hombres morenos solteros. ¿Cuántas mujeres morenas hay en el grupo? a) 20
b) 28
c) 30
d) 26
e) 25
20. En un autobús se observa que hay 41 pasajeros de los cuales: • 21 personas están sentadas. • Hay 16 mujeres en total • De los que fuman, 5 hombres están sentados y 2 mujeres están paradas; de los que no fuman 8 mujeres están sentadas y 10 hombres están parados. Hallar: ¿Cuántas mujeres que están paradas no fuman, si los que fuman en total suman 19? a) 3
b) 4
c) 5
d) 2
e) 1
21. De 68 concurrentes a la discoteca “La Juerga”; se sabe que el número de hombres es igual al número de mujeres solteras. Si hay 14 hombres casados y más de 20 mujeres casadas. ¿Cuántas personas son solteras, si entre estas hay más de 8 hombres? a) 30
b) 33
c) 35
d) 31
e) 32
22. De 30 profesionales entre médicos, abogados e ingenieros, se observa que unos son tantos como los otros y los que tienen una sola profesión son también unos tantos como otros. ¿Cuántos tienen las tres profesiones a la vez, si son tantos como los que solo son médicos e ingenieros y además la tercera parte de los abogados son varones? a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
23.En una encuesta realizada en una población con respecto a sus preferencias sobre 3 diarios: A; B y C se encontró que el 42% lee el diario A, el 34% leen B, el 28% leen C, el 17% leen A y B, el 15% leen A y C, el 8% leen B y C; y el 70% leen al menos uno de los tres diarios. ¿Qué porcentaje leen un solo diario si se sabe que hay 33 encuestados que solo leen C? ¿Cuántas personas fueron encuestadas? a) 18% - 148 c) 20% - 140 e) 42% - 300
b) 16% - 200 d) 20% - 100
24.De un grupo de personas se observa que los que practican fútbol también practican básquet y los que no practican fútbol son 220, además los que no practican básquet ni vóley son 129 y los que practican básquet o vóley pero no fútbol son 7 veces los que practican fútbol. ¿Cuántas personas conforman el grupo? . a) 230 b) 229 c) 224 d) 233 e) 236 25.De un total de 31 personas se sabe que un grupo leen la revista “A” y otro tanto más 5 leen la revista “B”; si 5 leen ambas revistas y otro tanto no las leen, entonces es falso que: a) b) c) d) e)
13 leen la revista A 18 leen la revista B 8 leen solo la revista A 13 leen solo la revista B 25 leen por lo menos una de las revistas
26.En un albergue de menores se observa: morenos; blancos y trigueños donde: • Hay tantos niños morenos como niñas trigueñas • Hay tantos niños trigueños mayores de 5 años como niñas blancas mayores de 5 años. • Ninguno menor blanco tienen menos de 5 años. • Hay tantas niñas morenas como niños no morenos mayores de 5 años, siendo estos 6. • Hay 3 niños trigueños menores de 5 años. Calcular: ¿Cuántos niños hay; si en total hay 27 menores; donde la cantidad de morenos es mayor que la cantidad de trigueños?
(Ningún niño o niña tiene 5 años) . a) 32
b) 13
c) 14
d) 11
e) 15
