Razonamiento Matemático
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Elías Cotos Nolasco
3
C x / x ;x 10 CONJUNTO No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección, agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos. Notación: Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos: N 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10 Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre llaves, determinan el conjunto N. Determinación de un conjunto: (I)POR EXTENCION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos. A 2;4;6;8
M a;e;i;o;u
B 1;8; 27;64;......;1000 (II) POR COMPRENSIÓN: Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x: “x tal x” A x / x es par; 2 x 8
B x / x es una vocal
Razonamiento Matemático
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Elías Cotos Nolasco
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Relación De Pertenencia Es una relación que vincula un elemento con un conjunto. * Si un elemento esta en un conjunto, se dice que pertenece * Si no esta en un conjunto, se dice que no pertenece Ejemplo:
Dado: A 2;3; 5;6 Así diremos que: 2A 4A 3A 5A 6A 5;6 A 2. Relación De Inclusión O Subconjunto Se dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se denota como: A B ”A incluido en B” Si: A B x A x B Ejemplo: A n;3;5
B 4;n;m;6;3; p;5
Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego: A B . PROPIEDADES
* Pr opiedad reflexiva : A A * Pr opiedad antisimetrica :
3. Relación de igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si: A B A B B A Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. 4. Relación de contabilidad de conjuntos Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo numero de elementos. A 1;3;5;7;9 son coordinables B a;e;i;o;u Graficándolos:
A 1 3 5 7 9
B a e i o u
Cardinal de un conjunto El cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(A).
A 2;4;7;9
n A 4
C LAS E S D E C O N J U N T O S
1. CONJUNTO FINITO Cuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes. Ejemplos: A 3;6;9;12
B 1;3;5;7;......; 29
2. CONJUNTO INFINITO Cuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite. Ejemplos: A x / x es un número real
B x / x es un planeta del universo
3. CONJUNTO VACIO Llamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como: *El conjunto vació se le considera incluido en cualquier otro conjunto. *El conjunto vació no tiene ningún subconjunto propio y su número cardinal: n 0 Ejemplos:
2
A x / x x 1 0
B los cabellos de un calvo 4. CONJUNTO UNITARIO
Razonamiento Matemático
Llamado también singlé ton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: A x / 2 x 4
B Bety C
5. CONJUNTO UNIVERSAL U Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas rectangulares. U N M B
A
P 6. CONJUNTO POTENCIA Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P A . Ejemplos: * Dado: A 4;7 Su conjunto potencia será:
P A 4 ;7 ; 4;7 ;
* Dado: A 2;3;4
P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;
3;4 ; 2;3;4 ;
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Elías Cotos Nolasco
Razonamiento Matemático
El número de elementos de P A o numero de subconjuntos de A, está dado por: n P A 2
n
Si:
Donde “n” representa el numero de elementos del conjunto A. Ejemplos: Si: A 4;7 Si: A 2;3;4
2
n P A 2 4 3
n P A 2 8
Si: A a; b;c;d;e n P A 2 5 32 Numero de subconjuntos propios: Dado el conjunto A, su número de subconjuntos n
propios será: 2 1 .No se considera el mismo conjunto A. PROPIEDADES
1) P A , puesto que A 2) A P A , puesto que A A
B 1;3;4;5
Luego: A B 1; 2;3;4;5;6 PROPIEDADES
B
4) Si A B P A P B
5) Si A B P A P B 6) P A P B P A B
2. INTERSECCIÓN Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (elementos comunes). Se denota como A B . A B x / x A x B U
A
B 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 Luego: A B 3 ; 4 ; 5 PROPIEDADES
1) A A AIdempotencia 2) A B B AConmutativa 3) A B C A B C Asociativa 4) A 5) A A 6) Si : A B A B B 7) Si A y B son disjuntos n A B n A n B 8) Si A y B son dos conjuntos no compa rables, con una región común : n A B n A n B n A B U
A
Elías Cotos Nolasco
Si: A 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9
A 2;3;4;6
3) P
7) P A P B P A B OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. UNIÓN O REUNIÓN (U) Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. Se denota como A B. A B x / x A x B U A B
190
B
1) A A A Idempotencia 2) A B B A Conmutativa 3) A B C A B C Asociativa 4) Si : A B A B A 5) A 6) A U A 7) Si : A B A y B son disjuntos 8) A A C A 9) Si: A B C A B A C
10) A B C A B A C
AB C A B A C
3. DIFERENCIA (–) Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, al conjunto formado por todos los elementos de A, que no son elementos de B, Se denota por A–B. A B x / x A x B U A
B
Si: A 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8
B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 Luego: A B 6 ; 8 PROPIEDADES
1) A A 2) A 3) A B B A
Razonamiento Matemático
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Elías Cotos Nolasco
5. COMPLEMENTACIÓN Para dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B. Se denota C B A ; se lee complemento de A respecto a B.
CBA B A 4. DIFERENCIA
SIMETRICA
Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B; pero no pertenecen a la intersección de A y B. Se denota por: A B
A B x / x A B x A B
Formas usuales: A B A B A B A B A B B A
U A
B
Si: A 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8
B 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 Luego:
A
B
* El complemento de un subconjunto A respecto del conjunto universal U.
A
C A A' U A
B
1) 2) 3) 4) 5) 6)
A' U A U'= ' U AA'= U AA'= A' ' A
7)
AB' A'B' AB' A'B'
C BA 1 , 5 , 9
1,5,9
Diagonal de un Conjunto:
Rpta.
PRODUCTO CARTESIANO Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados a ; b , tales que a A y
A B a ; b / a A b B
;1 ; 3 ; 2
B
B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 C BA
Hallar:
2
1
1 2 3 A Propiedades 1) a ; b A B a A b B
Ejemplo:
B 1 ; 2 ; 3 ; 4 Hallar: A y B
NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si:
A B O n A B n A n B
A
A
3) A O O
4) A B C A B A C 5) A B C A B A C
A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
6) A B C A B A C 7) n A B n A n B 8) Si: A B A C B C
B
Si: A y B son dos conjuntos cualesquiera n A B n A n A B
2) A B B A ; A B
A B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4 Resolución: Como: C B A B A
A x ; y
B 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4
Resolución: A B 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 Grafica de A B
Ejemplo: Si: A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
se define por:
Resolución: A a ; a ; b ; b ; c ; c
Hallar: A B
Leyes de Morgan
Dado el conjunto A, la diagonal del producto A A que se denota A ,
A a ; b ; c
bB. Se denota por: A B
B 1 ; 2
PROPIEDADES
Elías Cotos Nolasco
C B A 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
Ejemplo: Si: A 1 ; 2 ; 3
A' x / x U x A
192
Razonamiento Matemático
Si:
B
Razonamiento Matemático
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A y B son conjuntos tales que
AB O
n A B n A n B n A B A
B
194
Razonamiento Matemático
* 2x 1 23 x 12 3 12 2 * y5 y 2 3 3 2 12 3 Luego piden: 3 12 2 14
5 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3 Si: A 5, 2 , 9 Señale la expresión falsa: a) 2 A
Si: A B C O
b)
n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C A
B
C
PAR ORDENADO: Par ordenado es un ente matemático constituido por dos elementos (a ;b) par ordenado Se cumple que: a ;b b ;a
Hallar la suma de los términos del conjunto: A B A B b) 12 e) 11
A B 3
Luego:
Si: a ; b c ; d a= c b= d Para los problemas
Piden: 2 4 6 12
A
1 : sólo A 2: A y B 3: sólo B 1 y 2: A 2 y 3: B 1 , 2 y 3: A ó B
B 1 2 3
A
2
B
1 : sólo A 3: sólo B 7: sólo C 2: sólo A y B
c) 14
Resolución: A B 2, 3, 4, 6
A B A B 2, 3, 4, 6 3 2, 4, 6
Resolución: 17 con bigote 13
e) 5, 2 A
B 2, 4, 6
a) 10 d) 13
2 A
c) 9 A d) 5, 9 A
1 Si: A 3, 6
2 Hallar: x 3y , si:
3 x 2x 1, y 5 23, 2 3 a) 14 b) 13 c) 11 d) 15 e) 16 Solución: Por pares ordenados iguales
Elías Cotos Nolasco
* w 15 28 w= 13 * y 15 25 y= 10 Reemplazando en ( I ) 13 10 z 26 z 3 Rpta.
calvos 4
Resolución: Se observa en el conjunto A que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5, 9 , luego 5, 9 A , lo
Formando ecuaciones:
falso seria (d).
x 3 13
4 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian?
y3 4
a) 2 d) 7
b) 4 e) 3
c) 6
Resolución: 41 Estudian y
Trabajan
z
w
15
Del grafico, se tiene: * y w z 15 41 y+ w+ z= 26 ….. ( I )
x
y
3
z
x= 10
y= 1
10 3 1 z 17 z 3 Rpta. 6 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Resolución: “x”: # banderas que tienen 3 colores No hay banderas de un solo color 25 R
A 25 x 15 x
x 35 x
195
Razonamiento Matemático
Elías Cotos Nolasco
B BA B A' A B' A B
Del grafico se tiene que: a b c x y z 50 …. ( I ) a x y 20
De la figura se tiene que: 25 x x 35 x 15 x 65 10 2x x= 5 Rpta. 7 Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántos días come fréjoles con tallarines? a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13 Resolución: F
T x
19 x
b y z 27
c x z 28
x y z 25
9 ¿Cuántos subconjuntos formaran con 6 elementos? a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a. Resolución: Recordado que:
# Subconjuntos = 2
a
y x 5 z
b
c
A 33
se
n
n
6
= 2 2 64 64
Rpta.
10 Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo, si: A B B A A B . ¿ Cual de las siguientes proposiciones es falsa? a) A A B
b) A B O
c) B B A d) B A' e) A B ' A B Resolución: Como: A B B A A B Quiere decir que A y B son conjuntos disjuntos, para las alternativas se tendrá que: (Verdadero) A AB
AB O
(Falso)
Total de sub conjuntos es: 4 2 16
Rpta.
13 Si
Determinar el conjunto dado por compresión
x b) x c)
2 2
x/x x 6
1/ x x 7
x x+ 1 / x
x e) x d)
x7
x / x 1< x 8
2
x/x x 8
a) 16 d) 64
/ x 1 x 5
b) 8 e) n.a.
c) 32
c) 11
2,4,6
Rpta.
14 Hallar: x 3y , si:
2x 1 ; 3 y 5 23 ; x 2 3 a) 14 b) 11 c) 16 d) 13 e) 15 Resolución: Por pares ordenados iguales
2x 1 23
x= 12
3y 12 5 2 3
y=
2 3
Luego piden:
Resolución: x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 Reemplazando en: x 2
b) 14 e) 13
Piden: 2 4 6 12
Rpta.
12 Cuantos sub conjuntos tiene “A” 2
Hallar la suma de los términos del conjunto: A B A B
2 , 3 , 4 , 6 3
x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
x 2
Luego: A B A B
Lo elementos son de la forma: x x 1 Donde:
B 2 , 4 , 6
AB 3
A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8
A
A 3 , 6
Resolución: A B 2 , 3 , 4 , 64
Resolución: A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56
x 7
Rpta.
a) 10 d) 12
2
x x+ 1 / x
Elías Cotos Nolasco
9 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4 A 9 , 4 , 1 , 0
(Verdadero) (Verdadero) (Verdadero)
11 Si: A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56
a)
Rpta.
# Subconjuntos =
8 En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas? a) 40 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38 Resolución: I 25 F 32
…. ( II )
( I ) en ( II ) 50 x y z 75
23 x
19 x x 23 x 29 x 13 Rpta.
AB O
a b c 2 x y z 75
196
Razonamiento Matemático
2
2 x 3y 12 3 14 3
Rpta.
197
Razonamiento Matemático
15 Si: A 5 , 2 , 9
B 1 , 3 , 5 , 7 , 9
Señale la expresión falsa:
2 A d) 5 , 2 A
a) 2 A
b)
c) 5 , 9 A e) 9 A
Resolución: Se observa en el conjunto “A” que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto 5 , 9 . Luego: 5 , 9 A 16 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define:
A B x / x A B A B
b) 1 , 4 , 8
d) 3 , 1 , 8
17 Dado: A n m , n+ p , 8
B m p , 10 Unitarios Hallar: m n p a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 Resolución: m n n p m= p
Resolución: 1 3
5 7 9
A 1 , 2 , 4 , 6
Rpta.
# P B 64 Calcular: # P A B b) 2 048 e) 256
c) 360
8
6
# P A B 16 2 # A B 4 4
# A B # A # B # A B
6
4
20
Elías Cotos Nolasco
Hablan 2 Idiomas: x y Rpta.
M 15 x
# P A B 16
8
1 024
19 En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudian R.M.? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a.
De donde: m p 5
# P B 64 2 # B 6
10
H 28
# P A 256 2 # A 8
U
# P A B 2
Resolución:
Resolución:
B
8
U 1 , 2 , 3 , ....... , 9
c) 3
m p 10 2m= 10
a) 1 024 d) 512
e) n.a.
2 4 6
Rpta.
18 Si: # P A 256
C
A
1,3,8
¿Cuántos elementos tiene A B ?
c) 1 , 8 , 3
Luego: m n p 3
A x / x U x es divisor de 12
a) 1 , 3 , 8
A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9
A B C
198
Razonamiento Matemático 10
n m 8 n= 3
Si se define los conjuntos: U x / x x< 10
B x / x U x es impar
Elías Cotos Nolasco
5 10
El numero de mujeres que no estudian R.M. es: 15 5 10 El numero de hombres que estudian R.M. esta dado por: x 28 20 8 Rpta. 20 De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: Castellano, Ingles y Francés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Ingles, 35 hablan Francés, además los que hablan Castellano no participan nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos de dichos idiomas? a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a.
C
I y
x
40 x
F 35 y
Luego: I C F 80
40 x x 46 x y y 35 y 80
De donde se tiene que:
x y 41
Rpta.
21 En una ciudad de cada 100 hombres, 85 son casados 70 son abonados al teléfono, 75 tienen auto y 80 son propietarios de su casa ¿Cuál es el numero mínimo de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono oculto y casa propia. a) 5 b) 10 c) 65 d) 25 e) 45 Resolución: C Hombres casados n C 85
T Abonados al telefono n T 70 A Poseen auto n A 75 P Poseen casa propia n P 80 Se pide calcular el numero mínimo de C T A P Graficando: C 85
T 70
v
Resolución: Hablan Ingles: I 46 Hablan Castellano: C 40 Hablan Francés: F 35
p
z P 80
q
a
w
n nd x b c s m y A 75
199 Elías Cotos Nolasco Como =0 entonces: v w y z p q r s m n 0 Luego piden: c x a m í n imo Luego: Siendo x C T P A , entonces el 85 b 100 b 15 valor de “x” el mínimo valor se tiene: 70 c 100 c 30 85 v a c d p q r x.... (1) 75 a 100 a 25 70 w a b d q n s x..... (2) 80 d 100 d 20 80 y b c d r s m x..... (3) Finalmente: 75 y b c d r s m x.... (4) n C T A P c 10 a 65 100 y w z y a b c d En el problema el “x” mínimo es igual: (5) p q r s n m s........ (son 4 conjuntos) Sumando (1) (2) (3) y (4) x 85 70 75 80 4 1 100
Razonamiento Matemático
310 v w z y 3 a b c d
2 p q r s n m 4 x...
(
x 10 Rpta.
22 Cual de las siguientes alternativas le corresponde al diagrama mostrado, si”x” es el complemento de “x” en el universo.
) La ecuación (5) se multiplica por 3 tenemos(agrupando convenientemente)
300 3 v w z y 3 a b c d 3 p q r s n m 3x.......
A
10 x 2v 2w 2y 2z p q r s m n
C 85
T 70
d c
a
10
es
A 75
Además: n A B n A n B 2n A B
2n A B n A n B 2n A B
B x / x 4 x 24
I C B A A B C II C ' B A B C ' a) I d) I y III
b) II e) Todas
c) III
C 1; 2;3;4;8;12;16; 24;48 Por
C
1
C x / x es divisor de 48 C A B 1; 2
B
2
lo
tanto
la suma de elementos: 1 2 3 Rpta.
4 n A B 3n A De (1) y (2) n A B 12 n A 16
n B 32 Rpta.
B 0;4;8;12;16; 20
III C B ' A B C
A P 80
3n A n A B 36
c) 5
A x / x 3 0;3;6;..............;3n
Resolución:
b
b) 4 e) 3
A, B, C N
C
10 x
Como “x” mínimo entonces mínimo es decir = 0. Entonces: x 10 Graficando:
a) 2 d) 6
Resolución:
B
Luego: ( )-
200 Elías Cotos Nolasco la unión de A y B tiene 36 elementos, el numero de elementos de A es a la mitad del numero de elementos de B. (1)= A B C Los elementos comunes de A y B son (2)= B C A la mitad de los elementos no Luego: comunes, hallar el numero de elementos de B. a) 12 b) 24 c) 32 (1) (2) A B C B C A d) 30 e) 80 A B C B C A Rpta. Resolución: n A B 36............... (1) 23 Se tiene los conjuntos A, B, C 1 subconjuntos de los números n A n B 2 naturales, A es el conjunto de los n B 2n A múltiplos de 3, B es el conjunto de los múltiplos de 4v menores que 24 y C es Se sabe: el conjunto de los divisores de 48. n A B nA nB n A B Hallar la suma de los elementos de la 36 nA 2nA n A B diferencia: C A B
Razonamiento Matemático
los
24 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que
Razonamiento Matemático
201 Elías Cotos Nolasco manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado? a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 15% 4 ¿Cuántas de operaciones con conmutativos?
1 Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 2 En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 3 El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan
las siguientes conjuntos son
I) Unión II) Intersección III) Diferencia IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) Todas
c) M x / x N ;N= serie
* 3 , 4 A B
* 3 , 4 B A b) 2
c) 3
d) 4
8 Si se determina por comprensión el conjunto: M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ......
b) M x / x 2n ; 0 n
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas? * 2 , 4 A B * 4 , 2 A B
a) 1
II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal III. Al conjunto universal se le designa el valor de 1 IV. El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto. a) VFVV b) FVVV c) VVVV d) VVFV e) FVFV
se tiene: a) M x / x es un número par
5 Sean: A 1 , 2 , 3 y B 4 , 5
* 5 , 2 B A
202
Razonamiento Matemático
e) n.a.
6 ¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos? a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 128 7 Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando el conjunto A contiene uno o más elementos que no contiene B, diremos que B es un subconjunto propio de A.
d e número s pa res
d) M 2x / x e) n. a. 9 Dado el conjunto:
F x / x 2x 2x 2 0 ¿Cuál es su valor determinado por extensión? a) F 1 , 0 , 2 3
2
b) F 2 , 1 , 1 c) F 2 , 1 , 0 , 1 d) F 1 , 1 , 2 e) n.a. 10 ¿A que operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? B A a) BUC A b) B A C c) A C B
C
d) B C A e) AUC B
Elías Cotos Nolasco
11 Si el conjunto:
A x / x , 4 x 11x 30 0 se 3
2
interfecta con el conjunto de los números naturales, el número de elementos de la intersección es: a) 1 d) 4
b) 2 e)n.a.
c) 3
12 En un salón de clases de 65 alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la biblioteca les presta en libro de química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. ¿Cuántos hombres se compraron el libro de química, si se supone que todos los alumnos tienen el libro? a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 13 Al encuestar a un grupo de alumnos se observó que la mitad de ellos postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas universidades y los 220 alumnos restantes aun no decidían donde postular. ¿Cuántos fueron los alumnos encuestados? a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640 d) 3 520 e) 3 125 14 En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos 42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 los tres exámenes; además 10 aprobaron solamente los 2
203 Elías Cotos Nolasco primeros. ¿Cuántos alumnos a) 129 b) 219 c) 294 aprobaron por lo menos 2 exámenes? d) 315 e) 351 a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 19 Durante el mes de febrero de 1984 Raúl Peralta fue a ver a su novia 15 El conjunto: C A CB CA Pilar en las mañanas o en las tardes o equivalente a: en ambas horas, si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio en las tardes. a) CA CB A b) A B B ¿Cuántos días la vio en ambas horas? c) CA A B d) A CA B a) 4 b) 5 c) 6 e) El conjunto universal d) 7 e) 8 16 El 65% de la población de una 20 Determinar A por extensión: ciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% no ve el canal B, si el 55% ve el n 2 4 A / n , 1 n 3 canal A o el canal B, pero no los dos n 2 canales, el porcentaje de la población a) A 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 que ve ambos canales es: c) A 1 , 2 , 4 , 5
204 Elías Cotos Nolasco 26 Supóngase que Mary come n P A P B n P A B huevos o tocino en el desayuno cada a) 50 b) 48 c) 63 mañana durante el mes de enero (31 d) 52 e) 20 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come solamente huevos? 23 Dado el conjunto y los a) 7 b) 6 c) 9 subconjuntos A, B y C, se tiene los d) 5 e) 10 siguientes datos: n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17 27 De 120 personas de una n A C 14 ; n B C 12 universidad obtuvo la información: 72 alumnos estudian el curso A, 62 n AB C' 3 ; alumnos estudian el curso B, 36 n ABC 5 y alumnos estudian el curso C, 12 alumnos estudian los tres cursos. n A B C ' 6 . ¿Cuántos alumnos estudian Hallar: n(C) exclusivamente 2 cursos? a) 30 b) 28 c) 29 a) 25 b) 20 c) 9 d) 25 e) 20 d) 28 e) 22
d) A 1 , 2 , 3 , 5
24 Si n(A) 8 ; n(B) 8 ; n(C) 5 y
e) A 1 , 2 , 3 , 4
n(D) 5 ,
21 Sean A y B dos conjuntos tales que: n A B 24
elementos de AUC es k y el número máximo de elementos de B D es “h”. Hallar el valor de “h.k” a) 60 b) 65 c) 25 d) 40 e) 83
Razonamiento Matemático
a) 20% d) 12%
b) 18% e) n.a.
c) 13%
17 De 81 personas se sabe que 48 van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la playa y al teatro, además todos van por lo menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a los 3 lugares? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 18 Ciertos datos obtenidos en un estudio de un grupo de 1 000 empleados referente a la raza, sexo y estado civil, arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres, 470 son casados, además habían 42 varones de color, 147 personas de color eran casados y habían 25 hombres de color casados. ¿Cuántas mujeres eran solteras?
b) A 1 , 2 , 3 , 4 , 5
n A B 10 n B A 6 Hallar: 5n A 4 n B a) 36 d) 32
b) 34 e) 30
c) 28
22 Para un conjunto “x”, el número de elementos de “x” dentamos por n(x) y P(x) denota al conjunto de subconjuntos de “x”, según esto, si n(A)=4; n(B)=3 y n A B 2 . Hallar la suma:
Razonamiento Matemático
el
numero
máximo
de
25 Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley, además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte “y”, el total de personas que practican exactamente dos deportes; Hallar “xy” a) 12 b) 18 c) 20 d) 15 e) 17
28 De un grupo de 40 personas, se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades? a) 22 b) 24 c) 28 d) 27 e) 26 29 Si los conjuntos A y B son tales que: n A B 30 ; n A B 12 y
n B A 10 ; Hallar: n A n B a) 30 d) 28
b) 39 e) 38
c) 40
30 De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C se obtienen los siguientes resultados:
205 Elías Cotos Nolasco Todos leen alguna de las 3 revistas; 34 De un grupo de 40 personas se todos menos 40 leen A; 15 leen A y B sabe que: 24 bailan, 10 mujeres pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 cantan, 8 personas no cantan ni bailan leen solo C. El número de los que leen y 7 mujeres cantan y bailan. ¿Cuántos A y C es el doble del número de los hombres sólo cantan? que leen las 3 revistas. El número de a) 4 b) 3 c) 2 los que leen solo B es el mismo que el d) 5 e) 6 total de los que leen A y C. Según todo 35 En un instituto de 77 alumnos, se esto, hallar el numero de los que leen sabe que de los 3 idiomas que A solamente. enseñan, los que estudian sólo un a) 58 b) 42 c) 56 idioma son 28 más, de los que sólo d) 37 e) 60 estudian 2 idiomas. Si además son 3 las personas que estudian los 3 31 Si: idiomas. ¿Determinar cuantos 3 2 M x / x 7x 6x 0 estudian solo dos idiomas? a) 20 b) 21 c) 24 N x / 2 x 6 d) 25 e) 23 Hallar: M N M N 36 Un club tiene 48 jugadores de a) N b) M c) 0 fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. d) 0 ,1 e) 1 Si el total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los 3 deportes. 32 Si: ¿Cuántos figuran exactamente en 1 A x / x 2 deporte? a) 36 b) 37 c) 38 B x / 2 x 2 d) 39 e) 40 Hallar: n A B 37 Según la figura. Cuales son las a) 1 b) 2 c) 3 zonas que representan a: d) 4 e) 5 A B ' C A'
Razonamiento Matemático
33 Siendo: P x / x , x< 8
a) 5
P x / x , x> 4
c) 5 , 2
¿Calcular la suma de los elementos de P Q ? a) 18 b) 16 c) 21 d) 20 e) n.a.
d) 5 , 2 , 3
b) 5
e) n.a.
B
A 5
U
7 2 1 3 4 6 C
38 En un salón se hizo una encuesta, donde 3/5 postulan a la S.M; 9/20
206
Razonamiento Matemático
postulan a la U.N.F.V.; 1/4 postulan a las 2 universidades y 24 postulan sólo a la UNI. ¿Cuántos alumnos postulan a S.M.? a) 72 b) 84 c) 64 d) 48 e) 75 39 En un evento, el 60% de los participantes hablan Ingles y el 25% portugués, si el 20% de los que hablan Ingles, también hablan portugués, además 1 200 hablan sólo Ingles. ¿Cuántos participan en la reunión? a) 620 b) 520 c) 650 d) 340 e) n.a.
1.
2.
3.
4
5.
6.
7.
8.
9.
c
c
a
b
d
d
c
e
e
10. 11. 12. d
b
c
13 c
14. 15. 16. 17. 18. d
e
e
e
c
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. b
d
b
d
c
b
a
28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. a
e
c
37. 38. 39. a
a
e
b
c
a
d
b
d
35
36.
e
d
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