Teoría de Conjuntos
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 01
OBJETIVO N° 01 Determinar y representar conjuntos.
"studi "stu die e la in in#or #orma maci ci!n !n de dest stac acan ando do lo los s conceptos conceptos b0sicos, b0sicos, notaciones notaciones y #ormas exis ex iste tent ntes es pa para ra la de dete term rmin inac aci! i!n n de conjuntos.
Así Así como como en la Geom Geomet etrí ríaa las las idea ideass de Punto, Recta y Plano son Plano son conceptos básicos que se admiten admiten sin definición definición;; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, Pertenencia son, también, ideas no susceptibles de definición.
Conjunto:
I nt ui t i vame ment eun conj unt oesl ar euni ón,col ecci ón oagrupaci ón de obj et os r eal es o i deal es,a es t os obj et os se l es denomi mi nan ó miembros del del conj conjunt unto, o, y de ello elloss se dice dice que pertenecen pertenecen
element elementos os
al
conjunto.
Notación:
P ar a
de n ot a r
a
lo s
co n ju n to s
se
u sa n
le t ra s
mayúsculas: A, B, C, X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minúsculas: a, b, c, etc.
Relación de Pertenencia: Si un objeto “x” es elemento de un conjunto A, se dice ue “x pertenece al conjunto A ” ! ue “x está en A” , y se denota por: x ∈ A.
"n
c as o
contrario, “x no pertenece a A” y se denota por: x ∉ se A.
Ejemplo:
Si A es es el con conju junt nto o #orm #ormad ado o por: por: $, $, %&, %&, ', (), (),*+ *+, , y *-
y
B es el co conj njun unto to co cons nsti titu tuid ido o
por por: : )
y *-
escribimos: A ( $, %&, ', ( ), * +, , * /- B ( ), * +. "n este caso:
*
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$ ∈ A A. ... 1 2 3
%& ∈ A...1 2 3
' ∉ A A. ... 1 2 3
* ∈ A ∧ * ∈ B...1 2 3
) ∈ A A. ... 1 2 3
∉ B...1 2 3
( ), *+ ∈ A A. . .. 1 2 3
( ( ), *+ + ∉ A...1 2 3
Se ob obse ser4 r4a, a, ad adem em0s 0s, , u ue e el co conj njun unto to B pe perte rtene nece ce al conjunto A. DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Para Pa ra
repr re pres esen enta tar r
5r0# 5r 0#ic icam amen ente te
Diagramas de Venn-Euler
a
los lo s
conj co njun unto tos s
se
usan us an
los lo s
ue son re5ione re5iones s plana planas s limi limitad tadas as por por
#i5uras #i5uras 5eom6tricas 5eom6tricas cerradas, como se ilustra ilustra a continuaci!n continuaci!n con los conjuntos
A y B del ejemplo dado anteriormente. A
•(),* •
B
•)
•$
+
•*
•%&
•*
•' 7 ∉ A ∧ 7 ∈ B
12 3
8 ∉ B → ) ∈ B
12 3
( ), * + ∈ B
∨
( * + ∈ B
( ), * + ∉ A
I.
↓
%& ∈ A
12 3 12 3
POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR
Cuando se indica expl9citamente expl9citamente cada uno de los elementos elementos del conjunto.
Ejemplo
:
A ( &, , , 7, ** +
B ( * , ; , 8 , *' , & +
C ( a, e, i, o, u +
II.
POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA
Cuando los elementos
del conjunto son caracteri
una propiedad común.
&
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$ ∈ A A. ... 1 2 3
%& ∈ A...1 2 3
' ∉ A A. ... 1 2 3
* ∈ A ∧ * ∈ B...1 2 3
) ∈ A A. ... 1 2 3
∉ B...1 2 3
( ), *+ ∈ A A. . .. 1 2 3
( ( ), *+ + ∉ A...1 2 3
Se ob obse ser4 r4a, a, ad adem em0s 0s, , u ue e el co conj njun unto to B pe perte rtene nece ce al conjunto A. DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Para Pa ra
repr re pres esen enta tar r
5r0# 5r 0#ic icam amen ente te
Diagramas de Venn-Euler
a
los lo s
conj co njun unto tos s
se
usan us an
los lo s
ue son re5ione re5iones s plana planas s limi limitad tadas as por por
#i5uras #i5uras 5eom6tricas 5eom6tricas cerradas, como se ilustra ilustra a continuaci!n continuaci!n con los conjuntos
A y B del ejemplo dado anteriormente. A
•(),* •
B
•)
•$
+
•*
•%&
•*
•' 7 ∉ A ∧ 7 ∈ B
12 3
8 ∉ B → ) ∈ B
12 3
( ), * + ∈ B
∨
( * + ∈ B
( ), * + ∉ A
I.
↓
%& ∈ A
12 3 12 3
POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR
Cuando se indica expl9citamente expl9citamente cada uno de los elementos elementos del conjunto.
Ejemplo
:
A ( &, , , 7, ** +
B ( * , ; , 8 , *' , & +
C ( a, e, i, o, u +
II.
POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA
Cuando los elementos
del conjunto son caracteri
una propiedad común.
&
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"jemplo: A ( p = p es un número primo ∧ p < *& + B ( x& = x ∈ Z+ ∧ x ≤ + C ( x = x es una 4ocal + "suema 5eneral:
Conjunto Forma del elemento Caracteristicas !r opiedadaes )
Ejemplo: > ( x = x es un pronombre personal en ?n5l6s + @tro di dia5 a5ra rama ma pa para ra re repr pres esen enta tar r 5r 5r0# 0#ic icam amen ente te a lo los s Nota: @tro conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll.
DIARA!A DE LE"I# CARR$LL
%$!&RE#
!'(ERE# ablan ?n5l6s No hablan Inglés
Se obser4a ue :
%om)res *e ,a)lan Ingl-s
%om)res *e no ,a)lan Ingl-s
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So n
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t9 p ic o s
en
m at e m0 ti c a
lo s
si 5 ui e nt e s
con onj j un to s
num6ricos: ¥ = { #,$,",%,&,...} ¢ = { ..., −%, − ", − $, #, #,$, ", ", %, %, .. ...}
n d ¤ ( = { decimales que no pueden ep resarse en ¡ = ¥ ∪ ¢∪¤ ∪¤ ( ¤ = ' n, d ∈ ¢ ∧ d ≠ #
forma de fraccion}
£ = { * x + iy ' x, y ∈ ¡ ∧ −$ = i ↔ i " = − $}
C$N('N$ /INI$ n conjunto es #inito cuando posee una cantidad limitada de elem el emen ento tos, s,
es
deci de cir r
el
proc pr oces eso o
de
cont co ntar ar
sus su s
elem el emen ento tos s
termina en al5ún momento.
Ejemplo
:
A ( x /
x
es un ablante nati4o de Duecua +
B ( x /
x
es un mes del aEo +
C$N('N$ IN/INI$ n
conj co njun unto to
es
in#i in #ini nito to
cuan cu ando do
tien ti ene e
una un a
cant ca ntid idad ad
ilimitada de elementos di#erentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.
Ejemplo : A ( p =
p
es un número primo +
B ( x = x ∈ F ∧ $ <
x < 8 +
C ( x = x es una estrella de uni4erso +
0.
C$N('N$ N'L$ $ 1ACI$ "s auel conjunto ue carece de elementos.
Ejemplo
:
A ( x = x
es el actual
2irrey del Perú +
B ( x = x ∈ G ∧ 7 < x < $ +
Notación: ∅ (
+ { x ' x ≠ x} .
A B ∅ (
+.
;
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2.
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C$N( N(' 'N$ 'N 'NIARI$ $ #INLE$N "s el conjunto ue tiene un s!lo elemento.
Ejemplo: A + ' ∈ - ∧ $# < < $" + / + ", ", ", ", ", ..... ........... ..
3.
$$ +
"
CONJUNTO UN UNIVERSAL 0s un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos los conjuntos considerados. 1o eiste un conjunto uni2ersal absoluto.
Ejemplo: A + $, ", % ;
/ + ", &, 3, 4
!ueden ser conjuntos uni2ersales:
U + $, ", %, &, 5, 3, ............. U + + ' ∈ 1 H
Ir 0# ic am en t e
el
co n ju n t o
u ni 4 er sa l
se
r ep r e se nt a
5eneralmente mediante un rect0n5ulo.
ILUSTRACIÓN RESUMEN
G@ "S G?>AF?@
G@ "S 2ACK@ P@F "X>"GS?G "S: (%*, ), *, &, + "l conjunto B ( x ∈ J = % & < x ≤ +. "S L?G?>@
est0 por comprensi!n >?"G" C@M@ CGNG>@ G?2"FSAO A J
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ACTIVIDAD N° 02
Compruebe su aprendi
E(ERCICI$# *.
R'P$ 0
A ( a, ( a +, ∅ +. ?ndicar cuales de
Qado el conjuntos
las si5uientes proposiciones son 4erdaderas.
&.
a.
( a + ∈ A
d.
∅ ∈ A
b.
"l conjunto ∅ ∈ A
e.
∅ ( ∅ +
c.
( a, ( a + + ∈ A
SeEalar
cuales
de
las
si5uientes
proposiciones
son
4erdaderas. a.
∅ (
b.
A ( x ∈ F = x&R* ) +
c.
B ( x ∈ F = x R &x ) + es unitario.
d.
"l
+.
conjunto
A
(
es un conjunto no 4ac9o.
%*,
*,
,
,
..........+
por
comprensi!n es A e. .
;.
( x = x &n % ,
Si ( x = x
n ∈ JR +.
∈ F, x& T & & +, entonces T ∉ .
Qeterminar por extensi!n los si5uientes conjuntos: a.
A ( x ∈ G = x % * <
b.
C ( x ∈ J = % & <
c.
M ( x = x
+
≤ +
x
es un pronombre personal en ?n5l6s +
Qeterminar por comprensi!n los si5uientes a.
A ( ;, ', $, *) +
b.
X ( , , 7, 8, ..........+
c.
U ( *, ;, 8, *', &, ..............+
'
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conjuntos
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Fidel Vera Obeso I MP ORT A NT E
Si sus respuestas no coinciden intente nue4amente resol4er el respuesta es err!nea.
con la cla4e, problema cuya
CLA1E DE RE#P'E#A# *. Son 4erdaderas a y d. &.
Son 4erdaderas a, b y c.
.
a.
A ( , ;, , &, *, ) + ).
c.
M ( ? am, Uou are, Se is, e is, ?t is, e are, Uou
C ( %*, ), *, &, +
are, >ey are +. ;.
a.
A ( x = x
es par ∧ ; ≤ x
).
X ( x = x
es impar ∧ x ≥ +
c.
U ( x = x
∈ JR ∧ x&+
7
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≤ *) +
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ACTIVIDAD N° 02
Analice los ejemplos ue se desarrollan a continuaci!n aciendo incapi6 en el uso correcto de la simboli
na
función
proposición
P1x3,
proposicional cuantificacional,
se
relacionada con4ierte
con
una
en
una
proposición lógica 1 2 ! L 3 de acuerdo con el 4alor ue
asume la 4ariable x.
Por ejemplo, la #unci!n P1x3: x& % ; ) es una #unci!n preposicional ue se con4ierte en 4erdadera si x &
!
x
%&, y es #alsa cuando x toma otros 4alores. Aora consideremos un conjunto cualuiera A, por ejemplo : A ( %&, *, &, %, ) + Oa proposici!n: “Existe por lo menos un x
∈ A,
tal que se verifica P(x”
! eui4alentemente:“∃ x ∈ A = P1x3”, es
4erdadera, pues
existe x %& ∈ A, tal ue:
x& T ;
). Así mismo, la proposición: “Para todo x ∈ A, se verifica P(x) ó equi2alentemente “∀ x ∈ A ! P(x), es falsa, pues no todo elemento de A, 2erifica " 6 & + #, basta tomar +$∈ A ' $" 6 & es diferente de #. A la frase: “Existe un, “Para al"#n $ Al"unos, etc. que denota una parte de un uni2erso, se llama cuantificador eistencial y se denota por ∃; mientras que a la frase: “Para todo, “Para cada $ “Para cualquier, etc. que denota la totalidad de objetos, se llama cuantificador uni2ersal y se denota por ∀.
$
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$.
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Nega !ue e"#$te un " A% tal !ue $e &e#'#(a )*"+; equi2ale a decir que% N#ng,n " A% &e#'#(a )*"+, ó que: To-o "% no &e#'#(a )*"+; simbólicamente: 78∃ ∈ A ' !)9 ⇔ ∀ ∈ A ' 7 !).
".
Nega !ue paa to-o " A% &e#'#(a )*"+, equi2ale a decir que: )aa alguno$ " A% no $e &e#'#(a )*"+; simbólicamente: 78∀ ∈ A ' !)9 ⇔∃ ∈ A ' 7 !)
Ejemplo 01: eterminar el 2alor de 2erdad de las siuientes proposiciones, siendo el conjuntoA + #, $, ", %, &, 5 . a.
∀ ∈ A ' " 6 5 < 3 + #.
b.
∃ ∈ A ' % < " 6 " + #.
c.
∀ ∈ A,∃ y ∈ A ' < y ≤ &
Solu(#n/ a.
0s falsa, pues " 6& < 5 + # se cumple sólo para + $, y + 5 y no para todos los demás elementos de A.
b.
0s 2erdadera, puesto que la ecuación % < " 6 " + # tiene dos soluciones + #, y + $ en el conjunto A; bastaba que =ubiera una.
c.
0s falsa, pues para 5 ∈ A no eiste nin>n 2alor ∈ A ' 5 < y ≤ &.
∀ ∈ A
∃ y ∈ A
# $ " % & 5
" % # $ # 1o eiste
' < y ≤ & # < " ≤ & $ < % ≤ & " < # ≤ & % < $ ≤ & & < # ≤ & 1o se cumple
Ejemplo 0: eterminar el 2alor de 2erdad y near las siuientes proposiciones; dado el conjunto
/+'
∈ -, ≤ & .
a.
∀ ∈ / ' ? $ @
b.
∀ ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" ≥
c.
∃ ∈ /, ∃ y ∈ / ' 6 y + #.
". 4.
Solu(#n/ a.
alsa, pues para + %, y para + & no se satisface la inecuación, burlando el cuantificador ∀. !or otro lado, su neación es:
8
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7 8 ∀ ∈ / ' ? $ @ " 9 ⇔ ∃ ∈ / ' 6 $ ≥ " B.C) b.
Cerdadera.
∀ ∈ /,
∃ y ∈ /
$ " % &
% " $ $
' "
Du neación es: 7 8 ∀ ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" ≥ 4 9 ⇔
∀ ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" @ 4....C) c.
Cerdadera.
∃ ∈ /,
∃ y ∈ /
$ " % &
$ " % &
'6y+# $6$ "6" %?% &?&
+ + + +
# # # #
Du neación es: 7 8∃ ∈ /, ∃ y ∈ / ' 6 y + #9
⇔
∀ ∈ /, ∀ y ∈ / ' 6 y ≠ #
*)
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...........)
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ILUSTRACIÓN RESUMEN
"s 4erdadero
: es el Cuanti#icador ni4ersal
Oa proposici!n : es el Cuanti#icador "xistencial
∀ ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" ≥ /+'
4. donde
∈ -, ≤ & .
Su negac!n es "F#$
%
x& R y& ≥
B& '( )
B * %+ , )+ - .
$ es
la #unci!n proposici!n
ACTIVIDAD N° 03
**
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Analice los ejemplos ue se desarrollan a continuaci!n aciendo incapi6 en el uso correcto de la simboli
E(ERCICI$# R'P$ 2 *.
Qeterminar por extensi!n
el conjunto J ue satis#ace la
proposici!n ue se da en cada caso. a. b.
&.
J ( x = x ∈ J , x % & V ; .+. J ( x = ∃ x ∈ J, ∃ y ∈ J = x&
R
y&
V
$ +.
?ndicar cuales de las si5uientes proposiciones son 4erdaderas. As9 mismo, escribir la ne5aci!n en cada caso. x ∈ F, ∀ y ∈ F =1 % x 3 y % 1 x y 3.
a.
∀
b.
∃ r ∈ D, ∀ p ∈ J
=
p W r.
Compare sus respuestas con la cla4eY
CLA1E DE RE#P'E#A# *.
&.
a.
J ( Z, %*, ), *, &, , ;, , ' +.
b.
J ( ), ± *, ± 2 +.
a.
2,
∃ x ∈ F,
b.
L,
∀ r ∈ D, ∃ p∈ J = p \ r.
∃ y
∈ F = 1 % x 3 y [ % x y.
*&
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OBJETIVO N° 0
ACTIVIDAD N° 01
0stablecer la relación entre conjuntos y demostrar las propiedades de Hnclusión e Hualdad de conjuntos.
Analice el si5uiente texto remarcando las de#iniciones, ilustraciones y propiedades de la ?nclusi!n e ?5ualdad de conjuntos.
0ntre dos conjuntos cualesquiera se pueden establecer las siuientes relaciones:
A.
INCLUSI2N/ De dice que un
(onjunto A e$t #n(lu#-o% (onten#-o e$ un $u4(onjunto -el (onjunto
B, si todo elemento de A es también elemento de /. De denota por: A⊂ /. 0s decir:
A ⊂ / ⇔ 8 ∀ ∈ A '
∈ A ⇒ ⊂ / 9.
De lee :EA es subconjunto de / si y sólo si todo " de A es tal que si " ∈ A entonces
" ∈ /F. O4$e&a(#n/ A partir de la definición, basta que un sólo elemento de A no perteneca / para aseurar que A no está incluido o contenido en /; en tal caso se denota por: A ⊄ /.
Ejemplo.
Di
A + q, s
r
/ + p, q, r, s
⇒ A ⊂ /
&
p A
s
.*
O4$e&a(#n/ Di un conjunto tiene En5 elementos entonces tiene: "n subconjuntos Ejemplo. Di / + a, b ⇒
*
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∅, a , b , a, b .
Ios subconjuntos de / son:
∴ 1umero de subconjuntos de / es:
"" + &.
Ejemplo. Diendo / + %, % , & , & . ar el 2alor de 2erdad a las siuientes proposiciones : 6
% ∈ /
BBBB. C)
6
% ⊂ /
BBBB. C)
6
%
6
& ⊂ /
BBBB. C)
6
& ⊂ /
BBBB. C)
6
J⊂/
BBBB. )
6
J⊄/
BBBB. )
⊂/
BBBB. C)
Gráficamente se representa:
'
'
&
A
%
A
A ⊂ B
Ejemplo/
A ⊄
emostrar que la proposición A
B, equi2ale a demostrar que:
6E"#$te al meno$ un " A tal !ue " B5. 0n efecto, la proposición: A ⊄ / equi2ale a decir: E1o es cierto que A está contenido en /F; esto es : A ⊄ /
⇔
⇔
] ^∀ ∈ A =
⇔
∃ ∈ A ' 7 ∈ A ⇒ ∈ / )
⇔ ⇔
7 8 A ⊂ / 9
∃ ∈ A '
∈ A
x ∈ A ⇒ x ∈ B / Qe#inici!n
∧
Aplicando la neación
¬ ∈ / ) 9
∃ ∈ A ' 8 ∈ A ∧
∉ / 9
∴ A ⊄ / ⇔ ∃ ∈ A ' ∈ A ∧
Iey de p ⇒ q 1eación
∉ / )
)op#e-a-e$ -e la In(lu$#n. Ia relación de Hnclusión entre conjuntos oa de las siuientes propiedades:
*;
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A ⊂ A,
∀ conjunto A.
$.$
Keflei2a:
$."
Antisimétrica: Di A ⊂ / y / ⊂ A entonces A + /. L)
$.%
Mransiti2a:
$.&
∀ A, ∅ ⊂ A.
Di A ⊂ / y / ⊂ N entonces A ⊂ N.
L) Norresponde a la definición de Nonjuntos Huales, que se 2erá mas adelante.
7emo$ta(#n -e 1.1 emostrar que: A ⊂ A equi2ale a demostrar que,
∀ ∈ A ' ∈ A ⇒ ∈ A, la cual es una proposición siempre 2erdadera, pues: p ⇒ p
es
una tautoloía como se ilustra a continuación: ! C
!
⇒
!
C C
∴ A ⊂ A 7emo$ta(#n -e 1.3 Di A ⊂ / y / ⊂ N entonces A ⊂ N.
∀ x ∈ A = x ∈ A ⇒ x ∈ B pues Adem0s,
A ⊂ B.
∀ x ∈ B = x ∈ B ⇒ x ∈ C pues B ⊂ C.
Por la propiedad transiti4a de la Condicional: ^1p ⇒ 3 ∧ 1 ⇒ r 3/ ⇒ ^p ⇒ r/. "n consecuencia,
∀ x ∈ A = x ∈ A ⇒ x ∈ C.
"s decir A ⊂ B
7emo$ta(#n -e 1.8
∅ ⊂ A, ∀ A.
Fecuerde ue la proposici!n p ⇒ es #alsa s!lo si p es 4erdadera y es #alsa. Oue5o,
∅ ⊂ A ⇔ ∀ x ∈ ∅ = 1 x ∈ ∅ 3 ⇒ 1 x ∈ A3, esta ultima proposici!n es 4erdadera puesto ue el antecedente 1 x ∈
∅ 3 es #also, por ue el conjunto 4ac9o carece de elementos. Conjntos Compara)les. Oos conjuntos A y B son comparables si: Si A ⊄ B
B.
!
B ⊄ A
A ⊂ B
!
B ⊂ A.
se dice ue A y B son no compara)les.
I9UAL7A7 7E CONJUNTOS/ : Ios conjuntos A y / son iuales si y sólo si tienen eactamente los mismos elementos. De denota por: A + / ⇔ 8A ⊂ /) ∧ / ⊂ A)9. 0n caso contrario se escribe: A ≠ /.
*
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Nota/ Ia definición establece la necesidad de demostrar la doble inclusión a fin de demostrar la iualdad de dos conjuntos.
Ejemplo.
0stablecer si los siuientes conjuntos son iuales: A + $, 6", 3 ,
/ + $, 6", 3, $, 3 .
De 2erifica que A + / pues todo elemento de / es también elemento de A, / ⊂ A; y todo elemento de A es elemento de /, A ⊂ /.
O4$e&a(#n. el ejemplo se concluye que un conjunto no 2aría si sus elementos repetidos se escriben una sola 2e, en este caso $, 6", 3, $, 3 + $, 6", 3 .
)op#e-a-e$ -e la Igual-a".$
Keflei2a:
A + A, ∀ A.
"."
Dimétrica:
A + / ⇒ / + A.
".%
Mransiti2a:
A+/
∧
/ + N ⇒ A + N.
7emo$ta(#n -e . ebemos demostrar que / + A, es decir. / ⊂ A y A ⊂ /. !or =ipótesis A + / y por definición: A + / ⇔ A ⊂ / ) ∧ / ⊂ A )
⇔ / ⊂ A ) ∧ A ⊂ / )
!rop. Nonmutati2a de ∧
⇔ / + A. ∴ A + / ⇒ / + A. C.
SUBCONJUNTO )RO)IO. De dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto /, si A⊂ / ∧ A ≠ /. 0n otras palabras, A es subconjunto propio de /, si A ⊂ / ∧ / tiene uno ó más elementos que no pertenecen a A. Gráficamente,
' B
A
Ejemplo.
ados los conjuntos: A + ' ∈ - ∧ < % + " ? O / + 6%, & .
*'
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< % + " 6 O
e A :
A
" ? ?$" + #
6&
%
&
•% •;
? & ) < % ) + # + 6% ó & ∴A
7.
+/
CONJUNTOS 7I;ERENTES/ os conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro. De define :
A
&
A
&
&
A
Ejemplo. ados: A + ' ? $ ) ? " ) ? % ) + # / + #, $, ", %, & e A: ? $ ) ? " ) ? % ) + # + #; $; "; %
∴ A
E.
≠ /.
CONJUNTOS 7ISJUNTOS De dice que los conjuntos A y / son disjuntos cuando no poseen elementos comunes Dimbólicamente :
A
3
Ejemplo. Diendo:
& son disjntos
4 5 4
A + ",%,& y / + 5,3,J.
Gráficamente :
&
A
&
• •;
•7
•
;.
4
∴ A y / son disjuntos
•&
P
A
•'
CONJUNTOS Emero de sus elementos son iuales.
Ejemplo. Diendo:
*7
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Teoría de Conjuntos
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A + $#, $$, $" / + m, n, p
∴ A y / son equipotentes. Dimbólicamente:
A
67
&
n8 A 9 n8 & 9
7IA9RA=AS LINEALES Don representaciones raficas que sir2en para indicar relaciones de inclusión entre conjuntos
Di
:
A ⊂ /
A
⇒
B Si
:
A B
⇒
A
B
PROPIEDAD
N
Z
Q
R
C
ILUSTRACIÓN RESUMEN "s unitario
>iene &*& subconjuntos
es s!lo un s9mbolo
Qado el conjunto A ((φ++
Sus subconjuntos son ( A, conjunto φ +
*$
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ACTIVIDAD N° 02
Fesuel4a los si5uientes ejercicios rea#irmar su aprendi
para sus
E(ERCICI$# R'P$ ; *.
Si A ( &, ;, ', ),
5
+, indicar el 4alor de 4erdad de
las si5uientes proposiciones. a.( & + ⊂ A b.( x = 1 x& T 31 x T & 3 )- x ∈ JR + ⊄ A b. #. i. &.
; ⊂ A 5
∈ A
c.
A ⊂ F
e.
( ' + ⊄ A
5.
∅ ∈ A
.
∅ ⊂ A
( ∅ + ⊄ A
Qados los conjuntos A ( x = x ∈ G, & ≤ x ≤ 8 +, B ( &, ;, ', $ +
C ( , , 7 +, Q ( &, ; +, " ( *, +. Qeterminar en cada caso, cu0l de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal ue: a.
X ⊂ A
y
X ⊂ B
b.
X ⊄ A
y
X ⊂ "
c.
X ⊄ B
y
X ⊄ "
d.
X ⊂ A
y
X ⊂ "
e.
X ⊄ C
y
X ⊂ Q.
#gerencia: Ap!yese con un dia5rama. .
;.
Fepresentar 5r0#icamente las si5uientes relaciones: a.
A ⊂ B
d.
A y B son comparables.
b.
B ⊂ A
c.
A B
allar todos los subconjuntos de A, si: a.
A ( &, %, ; +
A ( ( ∅ + + c.
b.
A ∅
_Cu0ntos subconjuntos tiene A en cada caso`
*8
Teoría de Conjuntos
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Teoría de Conjuntos
.
Fidel Vera Obeso
Qemostrar las si5uientes propiedades: a.
Si A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A B.
b.
A A, ∀ A.
c.
Si A B y B C, entonces
d.
Si ⊂ M ∧ M ⊂ G, entonces ⊂ G.
e.
Si A ⊂ ∅, entonces A ∅.
A C.
CLAVE DE RESPUESTAS
*.
Son 4erdaderas: a, d, e, #, ,
&.
X puede ser i5ual al conjunto ue se indica en cada caso a.
Q ! B
b.
S!lo B
d.
Gin5uno
e.
Q
i.
c.
S!lo C
Ir0#icamente:
A
•'
& /
•& •;
C
•
E
•& • •8
.
a.
•*
b.
B
A
A
B
A
A
d.
A & &
B
e.
&)
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c. A
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OBJETIVO N° 03
ACTIVIDAD N° 01
0fectuar operaciones con conjuntos e interpretar ráficamente los resultados.
?n#!rmese sobre las operaciones entre conjuntos: de#inici!n, notaci!n, representaci!n e ilustraci!n 5r0#ica, leyendo el si5uiente texto.
0ntre conjuntos se pueden realiar las siuientes operaciones: Qnión, Hntersección y iferencia.
0.
'NI
B #ormado por todos los elementos ue pertenecen a
A, a B ! a ambos. A
B ( x = x ∈ A
∨
x ∈ B+-
Para representar 5r0#icamente A relaciones
entre
los
∨
S9mbolo de la
B, se tendr0 presente las
conjuntos
dados
en
cada
caso
particular.
A
B
A
A
B
B U
$)ser=ación. B ⊂ 1A
Ejemplo.
U
U
Qe la de#inici!n se deduce ue A ⊂ 1A
B3 y
B3. Si A ( &, , ;, , ', 7 +, B ( , ;, , ' +, C ( &, , ', $, *) +. allar
1a3 A
B
1b3 B
C. Fepresentar 5r0#icamente cada caso.
&*
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#olción. A
B ( x = x
∈
A ∨
∈ B
x
+ ( &, , ;, ,
', 7 + B
C ( x = x
∈ B ∨
x ∈ C+ ( , ;, , ', &, $, *) +
Se obser4a ue B ⊂ A, y ue B y C son no comparables con al5ún elemento común, lue5o se tiene:
• 7
• &
•
B
• • • ' • ;
• ;
• 7
• '
•
• *)
• &
• &
B ∪ C
A ∪ B
Ejemplo.
• $
Sea A (x ∈ F = x& T * )+, B (x ∈ F = x& R )+ y M F. allar 1a3 A
B
1b3 M
B 1c3 A
M
#olción. B ∅,
A (%*, * +, lue5o:A
B A
M F-
∅ ( x = x ∈ A ∨
x ∈ ∅ +
pero no existe x ∈ ∅. "ntonces:
2.
a.
A
B (%*, *+, es decir A
b.
M
B F
c.
A
M ( x = x ∈ A ∨
∅ A, ∀ A.
x ∈ M + + F.
INER#ECCI
?ntersecci!n
de
los
conjuntos
A
y
B
es
el
conjunto
denotado con A ∩ B #ormado por los elementos comunes a ambos conjuntos. "s decir, A ∩ B ( x = x ∈ A
∧
x ∈ B +
Ir0#icamente. A
Gota :
B
A
A
1 A ∩ B 3 ⊂ A
B
y B 1 A ∩ B 3 ⊂ B
Conjntos Disjntos: A y B son disjuntos si A ∩ B ∅. U
U
&&
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U
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Ejemplo.
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Siendo A ( &, ;, a +, B ( a, b, c, d +, C ( b, c +. allar A ∩ B,
a.
B ∩ C
b.
A ∩ C
c.
Fepresentar 5r0#icamente cada caso.
#olción. A ∩ B ( x = ( x = x ∈ A ∧
x ∈ B + ( a +
B ∩ C ( x = x ∈ B
∧ x ∈ C +
( b, c +
A ∩ C ( x = x ∈ A
∧ x ∈ C +
∅
>enemos:
A
•; ; •b •c •& •d a.
Nota. ;.
B
B
•; •'
•a
A
C
•d
U
•& •a •;
B
•b •c
U
U
A ∩ B,
B ∩ C
b.
c.
A ∩ C
Si X ⊂ U, entonces X ∩ U X.
DI/ERENCIA DE C$N('N$# Oa Qi#erencia de los conjuntos A y B, en ese orden, denotado por A T B, es el conjunto #ormado por todos los elementos de A ue no pertenecen a B. "s decir, A T B ( x = x ∈ A ∧
x ∉ B +
Se lee : “A di#erencia B” ! “A menos B” Ir0#icamente: A
B
A
A
B
B U
U
U
A > & A partir de la de#inici!n se deduce ue: a.
A T B ≠ B T A
b. A T A ∅
c.
A T B A ∩ B
Complemento de n Conjnto. "l complemento del conjunto A respecto al conjunto uni4ersal
', es el conjunto A #ormado por todos los elementos de ue no est0n en A. "s decir, "n
otras
A ( x = x ∈ ' ∧ x ∉ A + palabras, el complemento de A
es
el
conjunto
#ormado por los x ∉ A, esto es:
&
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A ' T A.
Ir0#icamente:
A0 A
@tras notaciones
:
C
@bser4aciones
:
a.
A
b.
A ∩ A φ
Ejemplo.
A !
A.
A '
Qemostrar ue A T B A ∩ B.
#olción. A % B 1 ? 3
A ∩ B
eui4ale a demostrar ue:
1 A T B 3⊂1 A ∩ B 3 y
Qemostraci!n
1 A ∩ B3⊂1A T B 3.
1 ?? 3
de 1 ? 3:
^1 A T B 3 ⊂ 1 A ∩ B 3/ ⇔ x ∈ 1 A T B 3 = x ∈ 1 A T B 3 ⇒ x ∈ 1 A ∩ B 3 Pero x ∈ 1A T B3⇒1x ∈ A3 ∧ 1 x ∉ B3
Qe#. de di#erencia
⇒
1 x ∈ A 3
⇒
x ∈ 1 A ∩ B 3 Qe#. de intersecci!n
∧ 1 x ∈ B 3 Qe#. de B
Se a demostrado ue si un elemento cualuiera x, tal ue x
∈ 1 A T B 3 implica ue x ∈ 1 A ∩ B 3. Por de#inici!n de inclusi!n, se concluye ue : 1 A T B 3 ⊂ 1 A ∩ B 3. Qemostraci!n
de 1 ?? 3:
^1A ∩ B3 ⊂ 1A T B3/ ⇔ x ∈1A ∩ B3=x∈1A ∩B3⇒x∈1A T B3. Pero x ∈ 1A ∩ B3 ⇒ 1x ∈ A3 ∧ 1x ∈ B3 Qe#. ?ntersecci!n
⇒ 1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∉ ⇒
x ∈ 1 A T B 3
Oue5o,x ∈ 1 A ∩ B 3 ⇒ Qe 1 ? 3
y
1 A %
Qe#.
de B
Qi#erencia
B 3.
1 ?? 3 se concluye la demostraci!n.
Ejemplo. allar A,
si A ( x = x
#olción: A ( x = Siendo:
x
∈ ∧
x ∉
∈ J,
x es impar +.
A +
J
A ( x = x
?.
x ∈
B 3 Qe#.
∈ J,
x es par .+
DI/ERENCIA #I!@RICA DE C$N('N$#.
&;
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Oa Qi#erencia Sim6trica de los conjuntos A y B, denotado por A ∆ B, es el conjunto #ormado por todos los elementos ue pertenecen solamente a A ! solamente a B, es decir: A ∆ B 1 A T B 3 ∪ 1 B T A 3 Ir0#icamente:
A
B
' A ∆ B
Ejemplo.
Si A (&, , ;, , ', 7+,
B (*, ;, ', 7, 8 + y
C ( *, 8 +. allar: a.
A ∆ B
B ∆ C
b.
c.
A ∆ C
#olción. a.
A ∆ B 1 A T B 3
1 B T A 3, donde:
A T B ( x = x ∈ A ∧ B T A ( x = x ∈ B "ntonces b.
∧
x ∉ B + ( &, , + x ∉ A + ( *, 8 +
A ∆ B ( &, , , *, 8 +.
B ∆ C 1 B T C 3 ∅ B T Ces decir: B ∆ C (x =x ∈ B ∧ x ∉ C +(;, ', 7+ C T B (x = x ∈ C ∧ x ∉ B+ x ∉ ∅ pues C ⊂ B. Oue5o, B ∆ C 1 B T C 3 ∅ B T C, es decir: B ∆ C ( ;, ', 7 +.
b.
An0lo5amente, siendo A y C conjuntos disjuntos: A ∆ C ( &, , ;, , ', 7, *, 8 +
Ir0#icamente,
A
B
A
A
B
B
a. A ∆ B @bser4aciones
: &
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*.
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Si C ⊂ B entonces B
∆
C es el complemento de C
con respecto a B. &.
Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A ∆ B
.
A ∆ B
A ∪ B.
1 A ∪ B 3 % 1 A ∩ B3.
ACTIVIDAD N° 02 &'
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Analice los ejercicios resueltos sobre operaciones con conjuntos y su interpretaci!n 5ra#ica.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
A continuaci!n se presentan al5unos ejercicios resueltos sobre uso de las de#iniciones y operaciones con conjuntos.
0.
Oa proposici!n x ∈ 1 A ∩ B3 es eui4alente a: a.
1 x ∈ A 3 ∨ 1 x ∈ B 3
b.
1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∉ B 3
c.
x ∈ 1A % B 3
d.
1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∈ B 3
#olción. x ∈ 1A ∩ B3
⇔ ^1x ∈ A3 ∧ 1x ∈ B3/ Qe#. de ?ntersec. ⇔ ^1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∉ B 3/
Qe#. de B
⇔ ^ x ∈ 1 A% B 3/ Qe#. de di#erencia. Oue5o, las expresiones eui4alentes a x ∈ 1A ∩ B3 son 1c3 y1 d3.
2.
_A cu0l de las expresiones corresponde la re5i!n sombreada` a.
^B T 1 A ∩ C 3/
^1 A ∩ C 3 T B /
b.
^B T 1 A ∪ C 3/
^1 A ∩ C 3 T B /
c.
^B ∩ 1 A ∪ C 3/ ^1 A ∩ B 3 ∩ C/
A
B
C
#olción. Qistin5uimos la reuni!n de dos re5iones sombreadas: %
Oa super#icie #ormada por elementos ue solo est0n en B y no en A ! C- esto se expresa por: B T 1 A C 3.
&7
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%
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Oa in#erior #ormada por los elementos ue est0n en la intersecci!n de A con C pero ue no pertenecen a Besto es:
1A ∩ B3 T B.
Oue5o la expresi!n dada es 1b3 correspondiente a la re5i!n sombreada.
ILUSTRACIÓN RESUMEN
A%B ( x = B B%A ( x = A
x ∈ A + x ∈ & +
∧
x ∉
∧
x ∉
B ( x = x ∈ A ∈ B+ A
x
@peraciones con conjuntos
A ∆ B 1 A T B 3 ∪ 1 B T A 3
A ∩ B ( x = x ∈ A
x ∈ B +
&$
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∧
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ACTIVIDAD N° 02
Fesuel4a los si5uientes ejercicios para autoe4aluar su aprendi
E(ERCICI$# R'P$ ? *.
Qados los conjuntos: A { x ∈ & + : x < $#} , B C
{ " x − $:
x ∈ & + , x ≤ 5} ,
{ " x :
Q (, ;, +,
x ∈ & + , x < 5} ,
" (, +.
allar: ( ( C ∆ ) A ∩ ( ' ∪ E )
a.
{
c. ( ' ∪ E ( ( ) ∩ ( A( E
{
∆
( '
(C ) ∆ ( C
d. ( ' ( ∆ C ( ( ) ∩ ( ' ( E ∩ (C ) &.
( A ∩ E ) ∆ ( −
b.
(
} U ( C ∆ )
E ( A )
∪
∆ ∪ C ( E ) ( ( A∆E )
}I
C ) ( '∆E ) (
∩ ( ' ∪ E ) A
(
(
'
( A ∩ E ) ∆ ( ( − C ) ( ( '∆E )
_Du6 condiciones deben cumplir los conjuntos Ay B para ue se 4eri#iuen las si5uientes relaciones` a. A∩ B Φ b. A∪ B B c. A∩ B d.
A ∪ Φ
5.
A T B B T A
*. Si
e.
A T B A
#.
A ∆ = A ∪
.
A ∩ B B i.
A ∆ = − A
A = { x ∈ ¢ + : x > & → x = 3} = { x ∈ ¢ + : x > # C
={ x∈¢ ' :
∧
x ≤ 3}
x ≥ $ → x"
≠ & x − %)}
allar: ( a. ( C ∆ ( ) A ∩ ( A ∪ C ) (
c.
{ ( A ( ∆
( (
C ( ( ) ∩ ( A(C ∩ (C )
b. (
( A∆C )
∆(
&8
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( A ∩ C () ∆ ( − C ) ( ( '∆E ) ( ∪ C (( ) I ( A ∩ C ) ∆ ( − A ( ) ( A∆C )
}
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OBJETIVO N° 03
ACTIVIDAD N° 01
Qemostrar las leyes del
0l5ebra
de
conjuntos.
Analice la si5uiente in#ormaci!n sobre las propiedades de las operaciones con conjuntos y las demostraciones reali
Oas de#iniciones de las operaciones con conjuntos, son: *3
A ⊂ B
⇔
∀ x ∈ A
x ∈ A
&3
A B
⇔
A ⊂ B ∧ B ⊂ A
3
A ∪ B
( x =
x ∈ A
∨
x ∈ B +
;3
A ∩ B
( x =
x ∈ A
∧
x ∈ B +
3
A T B
( x = x ∈ A ∧ x ∉ B +
'3
A ∆ B
1 A T B 3
73
A
( x = x ∈ ' ∧ x ∈ A+ !
=
∪
⇒
x ∈ B
!
A T B
A ∩ B
1 B T A 3 A ( x = x ∉ A +
A continuaci!n se presentan las Propiedades de las @peraciones con conjuntos, bajo el t9tulo de Le3es &sicas del Blge)ra de
Conjntos. Se demuestran al5unas de ellas.
1.
I-empoten(#a $ a) A ∪ A + A
.
Conmutat#&a " a) A ∪ / + / ∪ A
3.
$ b) A ∩ A + A
" b) A ∩ / + / ∩ A
A$o(#at#&a % a) A ∪ / ∪ N ) + A ∪ / ) ∪ N % b) A ∩ / ∩ N ) + A ∩ / ) ∩ N
)
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8.
Fidel Vera Obeso
7#$t#4ut#&a & a) A ∪ / ∩ N ) + A ∪ / ) ∩ A ∪ N ) & b) A ∩ / ∪ N ) + A ∩ / ) ∪ A ∩ N )
>. 5 a) A ∪ ∅ + A
5 a) A ∩ ∅ + A
?. 3 a) A ∪ U + A
3 b) A ∩ U + A
@. J a) A ∪ AR +
J b) A ∩ AR +
U
∅
. 4 b) UR +
4 a) AR ) R + A
.
∅ % ∅ R + U
Lee$ -e 7 =ogan O a) A ∪ / )( + A(
∩
/(
O b) A ∩ / )( + A(
∪
/(
10. Lee$ -e A4$o(#n $# a) A ∪ A ∩ / ) + A $# b) A ∩ A ∪ / ) + A A continuación se demuestran: " a), & b), 4 a) y O b).
7emo$ta(#n *a+
A B : B A.
Kecuerde que dos conjuntos son iuales si y sólo si se 2erifica la doble inclusión: H) A ∪ / ) ⊂ / ∪ A )
HH) / ∪ A )
y
⊂
A ∪ / )
0ntonces debe demostrarse H) y HH); recurriendo a la definición de Hnclusión. H) A ∪ /) ⊂ / ∪ A) ⇔ ∀ ∈ A ∪ /) ' !ero, ∈ A ∪ /) ⇒ ∈ A )
⇒ ∈ / ) ∨ ⇒
∨
∈/)
∈A)
∈ / ∪ A )
Iueo, ∈ A ∪ / )
∈ A ∪ /) ⇒ ∈ /∪A) ef. Qnión
Nonmut. de ∨ ef. Qnión
⇒ ∈ / ∪ A).
Non lo que queda demostrado:
A ∪ /) ⊂ / ∪ A)
ef. Hnclusión
HH) / ∪ A) ⊂ A ∪ /) ⇔ ∀ / ∪ A)' ∈ / ∪ A) ⇔ ∈ A ∪ /) !ero, ∈ / ∪ A ) ⇒ ∈ / ) ∨ ∈ A ) ef. Qnión
⇒
∈ A ) ∨ ∈ / ) Nonmut. de ∨
⇒
∴
∈ A ∪ / )
∈ / ∪ A) ⇒ ∈ A ∪ /) , esto es /
*
ef. Qnión
∪ A ) ⊂ A ∪ / ) por
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definición de Hnclusión. e H) y HH) se siue: A ∪ / + / ∪ A.
Demostración 8?)9 A
8 &
C 9
8 A
& 9
8 A
C 9
"ui4ale a demostrar: H) [ A ∩ / ∪ N ) ]
⊂
[ A ∩ / ) ∪ A ∩ N ) ]
HH) [ A ∩ / ) ∪ A ∩ N ) ]
⊂
y
[ A ∩ / ∪ N ) ] .
H) ∀ ∈ A ∩ / ∪ N ) ' ∈ A ∩ / ∪ N) ⇒ ∈ A ∩ /) ∪ A ∩N) !ero ∈ A ∩ / ∪ N ) ⇒ ∈ A
∧
∈ / ∪ N ) ef. Hntersec
⇒ ∈ A ∧
8 ∈ /
∨
∈ N9 ef. Qnión
⇒ ∈ A ∧ ∈ / ) ∨
∈ A
∧ ∈ N ) !ropiedad
distributi2a de ∧ con respecto a ∨: 8p ∧ q ∨ r ) ⇔ p ∧ q ) ∨ p ∧ r )9.
⇒ ∈ A ∩ / ) ∨
∈ A ∩ N ) ef. Hntersec
⇒ ∈ 8 A ∩ / ) ∪ A ∩ N ) 9 0ntonces ∈ [ A ∩ / ∪ N ) ]
ef. Qnión
⇒ ∈ 8 A ∩ / ) ∪ A ∩ N ) 9
8 A ∩ / ∪ N) 9 ⊂ 8 A ∩ / ) ∪ A ∩ N )9 ef. de
⊂
.
Análoamente se demuestra HH). 0n efecto,
∀ ∈ [ ⇒
A ∩ / ) ∪ A ∩ N ) ] ' ∈ [ A ∩ /) ∪ A ∩ N ) ]
∈ A ∩ / )
⇒ 8 ∈ A ∧
∨
∈ A ∩ N)
∈ / 9
∨
ef. de Hntersección
8 ∈ A
∧
∈ N 9
[ p ∧ q) ∨ p ∧ r) ] ⇔ p ∧ q ∨ r) ⇒ ∈ A
⇒
ef. de Qnión ef. de Hntersección
⇒
∈[
Iueo ∈ [ A ∩ / ) ∪ A ∩ N ) ]
∧ ∈ / ∨
∈ A A
∩
⇒ ∈ [
∧
∈ N )
[ ∈ / ∪ N ) ]
/ ∪ N ) ] A ∩ /
∪ N )
]
ef. de Hnclusión
∴[
A ∩ / ) ∪ A ∩ N )
]
⊂
[
] A ∩ / ∪ N) .
e H) y HH) se concluye que:
&
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A
7emo$ta(#n *a+
∩ / ∪ N ) +
A ∩ /) ∪ A ∩N).
* AD + D : A.
ebe demostrarse que : H ) AR ) R
⊂
A
H) ∀ ∈ AR ) R ' ∈ AR )R ⇒
y
∉
HH ) A ⊂ AR )R.
AR
ef. Nomplemento
⇒ ∼ 8 ∈ AR9
1eación de ∈
⇒ ∼ 8 ∉ A 9
ef. Nomplemento
⇒ ∼ 8∼ ∈ A ) 9 1eación de ∈ ⇒ ∼ ∈ A
pues: ∼∼ p) ⇔ p
Iueo AR )R ⊂ A por definición de Hnclusión. HH) ∀ ∈ A ' ∈ A
∴
A
⊂
⇒ ∼ 8∼ ∈ A ) 9
oble 1eación
⇒ ∼ 8 ∉ A9
1eación de ∈
⇒ ∼ 8 ∈ AR 9
ef. Nomplemento
⇒
∉ AR
1eación de ∈
⇒
∈ AR )R
ef. Nomplemento
AR )R por definición de Hnclusión.
e H) y HH) se siue la iualdad.
7emo$ta(#n *4+ * A B + : A
B.
ebe demostrarse: H) A∩/ )R ⊂ AR∪/R
HH)AR∪/R
y
⊂ A∩/ )R
!ara H
∀ ∈ A∩/ )R ' ∈ A∩/ )R ⇒ ∉ A∩/ ⇒ ∼ 8 ∈ A∩/)9 ⇒ ∼ 8 ∈ A ∧
ef. Nomplemento
1eación de ∈
∈ /9
ef. Hntersección
Kecuerda que: ∼ p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼q.
⇒ ∼ ∈ A ) ∨ ∼ ∈ / ) ⇒
∉ A )
∨
∉ / )
1eación de ∈
⇒
∈ AR )
∨
∈ /R )
ef. Nomplemento
⇒
∈ AR ∪ /R )
ef. Qnión
Iueo, ∈ A∩/ )R ⇒ ∈ AR ∪ /R )
∴
A∩/ )R ⊂ AR∪/R
!or ef. de Hnclusión
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!ara HH
∀ ∈ AR ∪ /R)R ' ∈ AR ∪ /R) ⇒ ∈ AR) ∨ ∈ /R) ⇒
∉ A ) ∨ ∉ / )
ef. Nomplemento
⇒ ∼ ∈ A ) ∨ ∼ ∈ / ) ⇒ ∼ 8 ∈ A) ∧
ef. Qnión
1eación de ∈
∈ /) 9
!or que ∼ p ∨ ∼q ) ⇔ ∼ p ∧ q)
⇒ ∼ 8 ∈ A ∩ / 9 ⇒
∉ A ∩ /
⇒
∈ A ∩ / )R
ef. Hntersección 1eación de ∈ ef. Nomplemento
Iueo, ∈ AR ∪ /R ) ⇒ ∈ A ∩ / )R, lo cual demuestra que: AR ∪ /R ) ⊂ A ∩ / )R. e H ) y HH )
A ∩ / )R + AR ∪ /R.
ILUSTRACIÓN RESUMEN
Asociativa A(BC) = (AB) C A(BC ) = (AB) C
Distributiva A (BC) =(AB)(AC)
Oeyes del l5ebra de conjuntos
Absorci!n A (AB) = A A( AB) = A A(A’B) = AB A( A’B) = AB
Morga (A B) ’ = A’ B’ (A B) ’ = A’ B’
Conmutati4a A B B A B B
;
A A
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Teoría de Conjuntos
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 02
Qemuestre a continuaci!n las leyes del 0l5ebra ue se mencionan
EJERCICIOS 9RU)O > H.
Qtilia con2enientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para resol2er los problemas que se plantean a continuación.
*.
&.
.
_Cu0l es la expresi!n eui4alente a: x ∈ ^A ∪ 1A∩B 3/` a.
x ∈ A
∧
x ∈ B
b.
x ∈ A
c.
1 x ∈ A 3 ∨ 1 x ∈ B 3
_Cu0l es la expresi!n eui4alente a: x ∈ ^A∩1B T C3/` a.
x ∈ A ∧ 1 x ∉ B ∧ x ∉ C 3
b.
x ∈ 1 A ∩ B 3
c.
x ∈ 1 A ∩ B 3 ∧ 1 x ∈ C 3
d.
x ∈ A
∧
∨
x ∉ 1 A ∪ B 3
x ∉ B
∧
x ∉ C
_Cu0les de las si5uientes proposiciones son siempre 4erdaderas` a.
A ⊂ B ⇔ A ∪ B B
c.
A ⊂ B ⇒ B ∩ A 1 A ∩ B 3
d.
A ⊂ B ⇒ A ⊂ B
b.
A ∆ B B ∩ A
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??.
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Qesarrollar: *.
Qados
los
conjuntos
A,
B,
C
y
Q,
e#ectuar
las
operaciones indicadas y representar 5r0#icamente los resultados, siendo: "n
A ( x = x
−
%
$
, n ∈ ¢ +
B ( x = x& T 7x ) + C ( x = 1 x T & 31 x& T 8 31 x T ; 3 ) + a.
1 B T A 3 ∪ C
c.
1 B ∆ C 3 ∩ A
b.
1 B ∪ C 3 %
A
A ∩ C
d.
Gota. ¤ . &.
Con los conjuntos A y B se de#ine una nue4a operaci!n
Ξ, tal ue : A Ξ B 1 A T B 3 ∩ B. Si
A ( , ;, 7, ', & +,
B ( *, , , 7, 8 +.
allar: a.
??.
A Ξ B
B Ξ A
b.
c.
1 B Ξ A 3 Ξ B
Fepetir el si5uiente dia5rama y sombrear la re5i!n ue se solicita en cada caso. A a.
A ∩ 1 B ∪ C 3
b.
A ∪ 1 B ∩ C 3
c.
1 A ∩ B 3 T
d.
1 A ∆ C 3
∩
B
C C
A
???. allar la expresi!n ue representa sombreada. A
la si5uiente re5i!n
B
C
HC.
STué relación conjuntista representa la reión sombreadaU.
'
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a) [ A ∪ ) ∩ C (] U ( A (∪ (∪ C () (
B C
b)
( A ∆ ( ) ∪ C
A
c) ∆ C ) ∪ A ∩ ∩ C ) d) A (∪ (∪ C () ( U A ∩ C () U ∩ C () e) A ∩ ∩ C ) U C ∩ A () U C ∩ () C.
educir del siuiente diarama las operaciones que se =an realiado para obtener la reión sombreada. M
# !
a) P ∪ ) ∆ * (∩ + ) b) ( * (∩ + ) c) P ∩ )
"
∆ P ∪ )
∆ * ∪ + )
d) *
∪ + ) U P ∪ )
e3
P ∪ )
7
∆ * ∪ + )
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Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 03
ACTIVIDAD N° 01
Wallar el Nonjunto !otencia de un Nonjunto cualquiera y demostrar sus propiedades.
"studie la si5uiente in#ormaci!n ue se o#rece sobre el Conjunto potencia y sus propiedades.
7e'#n#(#n. 0l Nonjunto !otencia de un conjunto A, denotado por
! A), es el conjunto
formado por todos los subconjuntos de A. 0s decir,
! Nota.
Ejemplo 1.
1 A 3
( X = X ⊂ A +
$) V ∈
! A) ⇔ V ⊂ A.
") A ∈
! A) , ∅ ∈ ! A); pues: A ⊂ A , ∅ ⊂ A.
Di A + $, " , % , entonces $ ⊂ A , " ⊂ A, etc. 0ntonces:
! A) + ∅ , $ , " , % , $, " , $, % , ", % , A . Ejemplo .
! ∅) + ∅ .
Ejemplo 3.
A+ ' ?&+#
Ejemplo 8.
ado el siuiente conjunto:
⇒
! A) + ∅ , A .
A + ∅, ∅ ,
∅ , ∅
eterminar el 2alor de 2erdad de cada proposición.
$
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•
∅ ∈ A
......... C )
•
∅ ⊂ A
......... C )
•
∅ ∈ A
......... C )
•
∅ ⊂ A
......... C )
•
∅
•
∅
•
∅
)op#e-a-e$ -el
! A)
∈
......... C )
! A)
⊂
......... C )
∈
! A)
......... C )
P *A+/
$)
A ⊂ /
⇔
! A) ⊂ ! /).
")
A+/
⇒
! A) + ! /).
%)
8
! A) ∪ ! /) 9 ⊂ ! A ∪/).
! A ∪ /) + ! A) ∩ ! /). 7emo$ta(#n -e * 1+/ A B P *A+ P *B+. &)
⇒ ) Di A ⊂ / ⇒ 0n efecto, sea
! A) ⊂ ! /).
V
∈
!
A)
⇒
V ⊂ A ef. de
⇒
V⊂/
! A)
!rop. Mransiti2a
de
la Hnclusión.
⇒
! /) Iueo, V ∈ ! A) ⇒ V ∈ ! /)
V∈
! /)
∴!
A)
! A) ⊂ ! /)
⇐)
⇒
efinición de
⊂
! /).
A ⊂ /
8
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Dea ∈ A
⇒
⊂A
Dubconjunto de A
⇒
∈
! A) ef . ! A)
⇒
∈
! /) pues ! A) ⊂ ! /)
⇒
⊂
/
⇒
∈
/
∴
ef.
! /) Dub conjunto de /
A ⊂ / por definición de Hnclusión.
P *A+ P *B+ F P *A B+. !A) ∪!/) ] ⇒ [ V∈!A) ] ∨ [ V ∈!/) ]
7emo$ta(#n -e *3+ Dea V∈
[
7e'.
Un#n
⇒
V ⊂ A )
⇒
V ⊂ A ∪ / )
Oue5o
∨
V⊂/)
⇒
! 1A3
∪
V
7e'. Conj. )ot.
∈
! A ∪ /)
! 1B3
⊂
! 1A
;)
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∪ B3
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ILUSTRACIÓN RESUMEN
φ P1A3 Se denota por P1A3
X ⊂ P1A3 ↔ X ⊂ A Co$uto %ot&cia '& A
Se de#ine por (X=X⊂A+
Si X φ, (φ+
A P1A3
P1A3
>iene &n elementos, n es el número de letras de A
;*
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ACTIVIDAD N° 02
Fesuel4a los si5uientes ejercicios para e4aluar su aprendi
EJERCICIOS 9RU)O > $)
Wallar el Nonjunto !otencia de N, siendo N + ∅ , c , ∅ .
")
S0n qué caso se cumple que: A
%)
Diendo A + a , ∅ y / + ∅ , a , =allar:
&)
a.
! A) ∩ ! /)
b.
! A ∪ /)
⊂
! A) U
emostrar que:
⇒
! A)
+
! /)
a.
A+/
b.
! A ∩ /) + ! A) ∩ ! /).
CLAVE DE RESPUESTAS
$)
! N) + ∅ , ∅ , c , ∅ , ∅,c , ∅, ∅ , c, ∅ , N
")
Di A + ∅ ó A + ∅
%)
! A) ∩ ! /) + ∅
!
1A3
(∅,(a+,(∅+,((∅++,((a++,(a,∅+,(a,(∅++,(a,(a++,(∅, (∅++,(∅,((a++,((∅++,(a++,(a,∅,(∅++,(a,(∅+,(a++,
;&
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(∅,(∅+,(a++,(a,∅,(a++,A∪B+
ACTIVIDAD N° 01
OBJETIVO N° 0? Kesol2er problemas di2ersos relati2os al 1>mero Nardinal de Nonjuntos.
Inórmese so)re las propiedades del nmero cardinal de conjntos 3 ss aplicaciones *e se orecen en el sigiente te4to.
1aturalmente que la idea del n>mero de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es primiti2a por lo que se admite como la cantidad de elementos que =ay en un conjunto. De denota por, n A ) + card A).
Nota.1 A 3 tambi6n se llama número Ejemplo.
Si
cardinal del conjunto A.
A (a,b,c+ y B (*,%,,(+,&+,
entonces
n1A3 , n1B3 , n^P1A3/ & $, n^P1B3/ &.
Propiedades: *3 Si A y B son conjuntos #initos disjuntos, entonces: n1A ∪ B3 n1 A 3 R n1 B 3, si A ∩ B @b4iamente ue si A ∩ B ∅ , entonces n 1 A ∩ B 3 ). A ∪ B es la parte sombreada del 5r0#ico, A
entonces: n1A ∪ B3 n1 A 3 R n1 B 3.
;
B
U
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&3
Si
A
y
Fidel Vera Obeso
B
arbitrarios,
son
conjuntos
no
#initos
necesariamente
A
B
disjuntos, expresamos: A–B
A + A ? / ) ∪ A ∩ / ),
A
B
B–A
U
Non A ? / ) ∩ A ∩ / ) + ∅.
"ntonces
por 1*3: !
n1A T B3 n1A3 R n1A∩B3
3
Si
A
y
B
arbitrarios,
son
conjuntos
no
n1A3 n1A T B3 R n1A ∩ B3
#initos
necesariamente
A
B
disjuntos, entonces: A–B
A
B
B–A
U
n1A ∪ B3 n1A3 R n1B3 T n1A∩B3
"n e#ecto, en el 5r0#ico dado obser4amos ue: A ∪ B ^1A T B3 ∪1A ∩ B3/ ∪ 1B T A3- es decir A ∪ B
es la uni!n de tres conjuntos disjuntos entre s9.
Oue5o: n1A ∪ B3
n^1A T B3 ∪ 1A ∩ B3/R n1B T A3
por 1*3
n1A T B3 R n1A ∩ B3R n 1B T A3
por 1*3
^n1A3T n1A ∩ B3/R n1A ∩ B3R n1B3T n1A ∩ B3 por 1&3
∴ n1 A ∪ B 3 n1A3 R n1B3 T n1A∩B3. Nota .> d. puede tomar A ∪ B 1A T B3 ∪ B
y demostrar
lo mismo. ;3 Si A, B y C son conjuntos #initos tales ue: A ∩ B ∩ C ≠ ∅ entonces: n1A ∪ B ∪ C3 n1A3 R n1B3 R n1C3T n1A∩B3 T n1A∩C3 T n1B∩C3 R n1A ∩ B ∩ C3.
;;
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Basta tomar: 1A ∪ B ∪ C3 A ∪ 1B ∪ C3 y aplicar 1*3 y 13. !ara fines prácticos es con2eniente representar A ∪ / en un diarama de Cenn compuesto por onas disjuntas como se ilustra a continuación: A
B b
a
c
U
onde:
a + n A ? / ) b + n A ∩ / ) c + n / ? A )
Ejemplo 1.
e un rupo de $## alumnos: &O no =ablan Hnlés, 5% no =ablan rancés y "J no =ablan Hnlés ni rancés.SNuántos alumnos =ablan uno de los idiomasU
Solu(#n/ Wablan Hnlés + H
Wablan rancés +
n H R ) + &O
⇒
n H ) + 5$,
n R ) + 5%
⇒
n ) + &J.
Gráficamente:
ablan un solo idioma
I
F a
b
c
U
!or dato: c < "J + &O
⇒
c + "",
a < "J + 5%
⇒
a + "3.
Iueo:
a R c ;$.
;
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ILUSTRACIÓN RESUMEN
P "
P $
Cardinal de un conjunto
P %
"s el número de elementos de un conjuntos
;'
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ACTIVIDAD N° 02
Fesuel4a los si5uientes ejercicios para e4aluar su aprendi
E(ERCICI$# R'P$ $)
Ios conjuntos A, / y N, tienen X, %X y X6$) elementos, respecti2amente. A y / tienen X'" elementos comunes; A y N tienen X'&, y / y N tienen ". Di eiste un >nico elemento com>n a los tres conjuntos. Wallar el n>mero de elementos 8 A ∪ / ) ? A ∩ /) 9 ? N.
de:
")
0n una encuesta realiada a $5# personas sobre sus preferencias de tres productos A, / y N, se encontró el siuiente resultado:
•
4" consumen el producto A.
•
5& consumen el producto /.
•
5# sólo consumen el producto A.
•
%# sólo consumen el producto /.
•
0l n>mero de personas que consumen sólo / y N es la mitad de las personas que consumen sólo A y N.
•
0l n>mero de personas que consumen sólo A y / es el triple de las personas que consumen los tres productos.
•
0l n>mero de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como los que consumen sólo N.
;7
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eterminar: a) 0l n>mero de personas que consumen sólo dos de los productos. b) 0l n>mero de personas que no consumen A, / ni N. c) 0l n>mero de personas que por lo menos consumen uno de los productos.
%)
Qn club consta de J4 personas; de ellas 5# juean f>tbol , %" básquet y "% 2óley. Deis fiuran en los tres deportes y $# no practican deporte aluno. 0ntonces:
&)
a)
SNuántas personas practican sólo un deporteU
b)
SNuántas personas practican sólo dos deportesU
c)
SNuántas personas practican al menos dos deportesU
d)
SNuántas personas practican como máimo dos deportesU
0n un Nonreso Hnternacional de Yedicina, se debatió el problema de la 0utanasia, planteándose una moción:
$$5 europeos 2otaron a fa2or de la moción,
J5 cardióloos 2otaron en contra,
3# europeos 2otaron en contra,
4# cardióloos 2otaron a fa2or.
Di el n>mero de cardióloos europeos ecede en %# al n>mero de americanos de otras especialidades y no =ubo abstenciones. S Nuántos médicos participaron en el conresoU
5)
De =io una encuesta a $3# alumnos del N0!Q1D sobre la preferencia de & carreras profesionales: Hneniería de Distemas D), 0nfermería 0), Nomunicación Docial N) y /ioloía en Acuicultura /), obteniéndose los siuientes datos:
•
1inuno de los que prefieren N) simpatian con /).
•
"" sólo con D)
•
"# sólo con 0)
•
"# sólo con N)
•
"# con D) y /) pero no con 0)
•
3 sólo con N) y 0)
•
& con D) y N)
•
"& con /) y 0)
•
"4 sólo /).
SNuántos prefieren sólo D) y 0), si a todos por lo menos les usta una carrera profesionalU
;$
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3)
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e J## postulantes que se presentaron a la Q1D o a la Q1M, # lo =icieron a la Q1M, iual n>mero a la Q1D, inresando la mitad del total de postulantes. Ios no inresantes se presentaron a la Q1YDY, de éstos O# no se presentaron a la Q1D y $4## no se presentaron a la Q1M. SNuántos postulantes inresaron a la Q1M y a la Q1DU.
J)
Dupona que los bre2etes sólo se consiuen lealmente, los que tienen bre2ete profesional saben mecánica mientras que los que tienen bre2ete particular sólo están autoriados a manejar automó2iles y así lo =acen. Di tienen los siuientes datos referente a un rupo de personas:
•
"$ no tienen bre2ete profesional o no manejan camiones.
•
$% saben encender un 2e=ículo pero no tienen bre2ete.
•
4 saben manejar 2e=ículos pero no tienen bre2ete.
•
" saben mecánica y manejan camiones. 0l mismo n>mero sabe manejar 2e=ículos pero no maneja camiones ni tiene bre2ete.
•
$$ no tienen bre2ete pofesional y no manejan camiones.
•
% tienen bre2ete particular.
Además, ténase en cuenta que los que saben mecánica tienen bre2ete profesional. De preunta lo siuiente: a) SNuántos son en totalU. b) SNuántos no tienen bre2eteU. c) SNuántos cometen infracción de manejar 2e=ículos sin tener bre2eteU. d) SNuántos saben encender un 2e=ículo pero no manejarlosU. 4)
0n un a2ión =ay O jó2enes, 5 niZos peruanos, O =ombres, J jó2enes etranjeros, $& peruanos, 3 peruanos 2arones, y J mujeres etranjeras. a) SNuál es el n>mero de personas del a2iónU b) SNuántos son solamente peruanosU
;8
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