Teoria de Conjuntos

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TEORIA DE CONJUNTOS DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

aritmetica

1

D. CONJUNTOS DISJUNTOS

A. POR EXTENSIÓN. Cuan Cuando do se escr escrib iben en todo todoss los los elem elemen ento toss del del conjunto separados mediante comas. A= {1,3,5,7,9 }

&e dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes &ea+ A={! ∈ "# ! es par} (= {! ∈ " # ! es impar} A  ( son disjuntos

B. POR COMPRENSIÓN Cuand Cuandoo se enunc enuncia ia una propie propiedad dad común común que caracteria a los elementos del conjunto A={! ∈ "#! $ 1% ∧ ! es impar}

IV. CLASES DE CONJUNTOS A. CONJUNTO UNITARIO *s aquel conjunto que posee un solo elemento tambien se le llama SINGLETON

III. RELACIÓN RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

A= {3}

A. INCLUSIÓN &e dice que un conjunto A est' incluido en otro ( cuand cuandoo todos todos los eleme elemento ntoss de A son son tambi) tambi)nn elementos de (. *jemplo+ &ea+ A={, -, 5} (= {,3,-,5,} A est' incluido en ( "otaci/n+ A ⊂ ( 0ambi)n+ A es subconjunto subconj unto de ( B. PERTENENCIA a pertenencia se da solo de elemento a conjunto + *jm. &ea el conjunto A={ m,n ,p } &e dice que que el elemento “m” pertenece al conjunto A *n 2eneral + • m ∈ A • n ∈ A • p ∈ A C. IGUALDAD os conjuntos A  b son i2uales cuando cumplen lo si2uientes 4A⊂( ∧4(⊂A &ea+ A={, -, 5} (= {, -, 5, -} (⊂A ∴A=( 6bseraci/n+ 6bseraci/n+ A⊂(

Prof: Manolo Damian D.

"ota+ !={-, -, -, -}

B. CONJUNTO VACIO *s aquel conjunto que carece de elementos A= {! ∈ " # ! = 5} 6bse 6bser rac aci/ i/n+ n+ Como Como en este este caso caso ! ∃ ⇒ A es acio. "otaci/n+ A = ∅ / A = { }

C. CONJUNTO UNIVERSAL! *s aquel conjunto que puede esco2erse conencionalmente de tal modo que conten2a a los conjuntos en estudios. &ea+ A= {!#! es un cerdo} (= {!#! es un 2ato} ⇒ 8 = {!#! es un mamiero}

V. CARDINAL DE UN CONJUNTO *l cardinal de un conjunto A, denotado como n4A nos determina la cantidad de elementos deirentes del conjunto A. A= {, -, , :} ⇒ n4A = (= {3, -, -, 5, 5} ⇒ n4( = 3

VI. "AMILIA DE CONJUNTOS A. CONJUNTO DE CONJUNTO! *s aquel conjunto cuos elementos son tambi)n conjuntos.

A= { {},{-, 5}; {1, 3, 5, :}}


B. COJUNTO POTENCIA

A∪( =

*l conjunto conjunto potenc potencia ia de A esta esta denotado denotado como como <4A es aquel conjunto cuos elementos son todos los subconjuntos de A. S#$! A= {a, b} &ubconjunto de A es ∅, {a}, {b}, {a,b} S#$! A= {a,b,c} &ubconjunto de A *s ∅, {a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c} <4A= {∅, {a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c} } PROPIEDADES 1. &i n4A = > ⇒ n ?<4A@ = > . &i n4A = > ⇒ A tienen > subconjuntos 3. &i n4A = > ⇒ A tienen >1 subconjuntos propios.

VII. REPRSENTACIÓN DE CONJUNTOS A. DIAGRAMA DE VENN A

aritmetica

2

&ea+ A= {, 5, 7, :, 1%}

(= {3, -, 5, :, 9}

⇒ A∪( = BBBBBBBBBBBBB.

PROPIEDADES!

  

A A = %..  A B = %%. A &B C' = %%%%%% A = %%%..  A U = %%.

B. INTERSECCIÓN

A ∩ (= {!#! ∈ A ∧ ! ∈ ( } 2raico

(

A

(

A∩( =

VIII. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS A. UNIÓN A∪(={!#! ∈ A ∨ ! ∈ (} raico

A∪( =

A∩( =

A

A

(

(

(

A∩( = A

A∪( =

A

A

(

PROPIEDADES! ( A Prof: Manolo Damian D.

 A A = %%  A B = %%..  A &B C' = %%%%%..  A = %%  A U = %%..


aritmetica

3

 

C. DI"ERENCIA!

A B = %%% A &B C' C ' = &A B' C

E. COMPLEMENTO

G($)*+

8

C4A = AC = 8  A A

A  (=

(

A

(

A(=

( A

A(=

PROPIEDADES!

 

A  A = %%.  A  = %%.. A  U =%%..   A = %%..

D. DI"ERENCIA SIM-TRICA raico+ A

A∆(=

A B=BBBBBBBB. A B= BBBBBBBB. PROPIEDADES+



A A = %%..


(

A

raico+

A

C

PROBLEMAS %1. &i A={;5;{3}; {;3}}  se airma+ D ∅ ∈ A D ∅⊂A D 5∈A D 3∈{;3} D {3}∈A D {3}⊂A ECu'ntas son erdaderasF A 1 (  C 3 G - * 5 %. Gado el conjunto+ A={3;-;{3}; ∅;{11; ∅}} Cu'ntas proposiciones son erdaderas+ H. 3∈A HH. ∅∈A HHH. - ∉A HI. ∅⊂A I. {-} {- }⊂A A 3 ( - C 5 G  *  %3 Calcular la suma de elementos de+ A={!#!∈";1%$3!J $1:} A 1% ( 1 C 15 G 1: * 3 %- Calcular la suma de los elementos del conjunto A+ A= {! J !#! ∈ K ∧ - ≤ ! ≤} A - (  C : G % * 1 %5 Cu'ntos subconjuntos tiene+ A={1; {1};1;∅} A 1 ( 15 C : G - * 3


4

aritmetica

/ Cu'ntos subconjuntos tiene el si2uiente 34*n un 2rupo de 55 personas, 5 Mablan espaNol, 3 quecMua,33 in2l)s  5 los tres conjunto+ A= {!# ! ∈ K; 9 $ !  1 $ 11 } A 51

( 1 : C - G 3 * 1 %-

idiomas.ECu'ntas personas Mablan s/lo  de estos idiomasF

0 &abiendo que el si2uiente, conjunto es A 15 ( % C 5 G 3% * : 35a suma del número de subconjuntos de A con el número de subconjuntos de ( es i2ual a %. Lallar n4A J n4( A - ( 5 C 1% G : * 

unitario+ A={a J b; a J b  3 ;1} Calcular+ a J b A :% ( 7- C 1%- G 9% * 39

1Gado los conjuntos unitarios+

36&abie abiend ndoo que que el conju onjunt ntoo A tiene iene 31

A={4nJm;4nJp;:}; (={4mJp;1%} Lallar+ 4mJnp A 3 ( : C 7 G 5 * -

subconjuntos propios, ECu'ntos elementos tiene AF A  ( 5 C - G 31 * 3

2 Cu'ntos subconjuntos tienen+

37 Ge 9% personas se sabe que 1 son A={a,c,c,i,o,n} soltero eros  55 son Mom Mombres. &O son 1 (={r,e,,o,l,u,c,i,o,n } Gar como respuesta la suma de ambos mujeres casadas, ECu'ntos son los Mombres solterosF alores A : C 9 C 3: G -: * -5 A 5 ( 5-- C 3% G 1:% * 1-3/*n una encuesta encuesta tomada tomada en la asamblea asamblea 3 Ge un 2rupo de 1%% encuestados se sabe pasada a las %% amilias de un acentam amie ient ntoo Mumano Mumano se supo supo que+ 5% 5% que - no beben   no uman. &i 1 acent bebe bebenn  uman uman.. ECu'n Cu'nttos ni uman uman ni usaban terno ,% usaban jean,1%% usaban terno  jean,ECu'ntas amilias no usaban bebenF terno ni jeanF A 1% ( % C 3% G - * 35 33 EA qu) opera eraci/n corre rrespon ponde el si2uiente dia2rama de Ienn *ulerF A 4A∩( ∪C ( A∪4(∩C A C 4A∩(∪ 4A∩C G 4A∪(∩C * 4A∩C∪( C


a 31 ( 3% C 3 G % * %9

30A una una ies iesta ta de prom promoc ocio ionn asis asiste tenn 3% (

alumnos, de los cuales 1 son arones  de estos 5 no estan bailando ECu'ntas mujeres no estan bailandoF A 9 ( 1% C 11 G G 1 * 13


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8e un 7rupo de $4 aumnos, % aumnos a+an #n79s y %1 aumnos a+an :ranc9s" &cu(ntos aumnos a+an soo :ranc9s) a*%0 +*4 c* d*5 e*%% Prob Proble lemi mita ta !:

MAS PROBLEMITAS En un mes de 30 días, una persona come queso y/o morta ortade dea en e desa desayu yun no cada cada ma!ana" S# come queso durante $0 días y mortadea durante %$ días &'u(ntas ma!anas come queso y mortadea) a*%0 a*%0 +*$ +*$ c* c* d*% d*% e*Problem Problemita ita 1:

.na persona persona come come ueos y/o toc#no en e desayuno cada cada ma!a ma!ana na"" dura durant nte e e mes mes de enero" s# come toc#no $1 ma!anas y ueo ueos s % ma!a ma!an nas &cu &cu(nta (ntas s ma!anas com#2 ueos y toc#no) a*3% +*-3 c*%1 d*%$ e*$0

8e un 7rupo de ;0 empeados p<+#cos, - 7ustan eer =a =a rep<+ ep<+# #ca> ca>,, 33 7ust 7ustan an eer eer =e =e comerc#o>, y %0 no 7ustan de n#n7uno de estos per#2d#cos, &cu(nt (ntos empeados ados 7ustan de am+os per#2d#cos a a e?) a*%a*%+*%$ +*%$ c*33 c*33 d*3% d*3% e*%0 Prob Proble lemi mita ta ":

Prob Problem lemita ita 2:

En una c#udad a a cuarta parte de a po+ac#2n no e 7usta natac#2n n# :
Prob Proble lemi mita ta #:


un#ers#tar#o y $1 de cu+ '#enc#ano" adem(s $% son #ncas de cu cu+ un#e n#ers rs#t #ta ar#o r#o y de cu cu+ '#enc#ano &cu(ntos no son #ncas de n#n7uno de estos equ#pos) a*%; +*%c*%1 d*%0 e*4

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6

8e un 7rupo de %00 escoares, - no estud#an en7ua y 1$ no estud#an matem(t#ca" s# $1 no estud#an n#n7uno de os cursos menc menc#o #ona nado dos s &cu( &cu(nt ntos os estu estud# d#an an soo en7ua) Prob Problem lemita ita 11: 11: En una una encu encues esta ta a*$3 +*$5 c*10 d*$; tomada ada a ;00 persona onas en una e*$?ona ona de #ma, #ma, se o+tu o+tu# #e eron os os s#7u#entes datos@ $10 een e Proble oblem mita ita 1": En una esta de comerc#o $$0 een a rep<+#ca y matr#mon#o, de os %$0 as#stentes, %00 een am+os per#2d#cos" 50 no conocían a a no#a y 10 no &cu(ntos no een e comerc#o, n# a conocían a no#o" &cu(ntas rep<+#ca) personas conocían soo a a no#a s# a*%00 +*$10 c*$$0 d*$30 33 de eos soo conocían a no#o) e* $-0 a*%% a*%% +*%3 +*%3 c*%1 c*%1 d*%5 d*%5 e*%4 8e un 7rupo de %00 un#ers#tar#os, -4 no estud#an en7ua y 13 no estud#an mate atem(t#c t#ca" s# $5 no estu stud#an n#n7uno de os cursos menc#onados &cu(ntos estud#an soo un curso) a*$ +*3 c*- d*1 e*%

Problemita 12:

8e un 7rupo de $00 come omensae aes a %$0 no es 7usta panet2n y %30 no es 7usta coco coate" s# a 0 no es 7usta am+os potaes &a cuantos de eos es 7usta panet2n con cocoate) a*$0 +*30 c*-1 d*- e*;0

Problemita 13:

8e un 7rupo de %00 estud#antes -4 no ean e curso de matem(t#ca y 13 no s#7uen e curso de adm#n#str strac# ac#2n" s# $5 aumnos no s#7uen matem(t#ca n# adm#n# adm#n#str strac# ac#2n" 2n" &cu(nt &cu(ntos os aumno aumnos s ean soo matem(t#ca) a*$1 a*$1 +*$; +*$; c*$5 c*$5 d*$ d*$ e*$4 e*$4

Problemita 1:


Problemita 1!:

E Re7#stro 'entra de a .CI proporc#on2 os s#7u#entes datos con respecto a un 7rupo de $00 cac#m+os@ • %01 est(n #nscr#tos en B(s#ca I • %%1 en Matem(t#ca I • 51 en Dís#ca ;1 en B(s#ca I y Matem(t#ca I 31 en Dís#ca y B(s#ca I 30 en Matem(t#ca I y Dís#ca $0 en os tres cursos" &8eterm#nar e n

En una una encu encues esta ta rea#?ada para estud#ar a pre:erenc#a pre:erenc#a de 3 artícuos@ A, B y '" Se o+tu#eron os s#7u#entes resutados@ ;0 preeren A 14 preeren B 10 preeren ' 3 preeren A y B $1 preeren B y ' $$ preeren A y ' %0 preeren AB y'"se desea sa+er@ I" &'u(nt &'u(ntas as personas personas preer preeren en s2o $ productos) II"&'u II" &'u(nt (ntas as person personas as pree preere ren n os productos A y B, pero no ') III" &'u(ntas personas preeren os productos B y ', pero no A) IF" &'uantas personas preeren os productos A y ' pero no B) F" S# e n

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