Modulo 1. Teoría de Conjuntos

Teoría de conjuntos Conjuntos, relaciones y funciones Cristina Steegmann Pascual P06/75004/00652 Módulo 1

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Teoría de conjuntos

Índice

.............. .......... .......... ......... ......... .......... .......... ......... ........ ......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .... Introducción .........

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.............. ........ ......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ........ ......... ........ ... Objetivos ..........

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.............. ......... ......... ......... ......... ......... .......... .......... ......... ......... ......... ...... 1. Teoría Teoría básica de conjun conjuntos tos .......... 1.1. Conceptos Conceptos básicos básicos de conjuntos conjuntos ........ ............. .......... .......... .......... ......... ......... ......... ......... .......... ....... 1.2. Operaciones Operaciones entre conjuntos conjuntos ......... ............. ......... .......... .......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ........ 1.3. Conjunto de partes partes de un conjunto: conjunto: partición partición ........... ................ .......... .......... ......... ....

7 7 9 10

................................................ .................................. .................................. ........................... .......... 2. Rela Relaci cion ones es ............................... 2.1. Relación Relación binaria ......... .............. .......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ........ ......... .......... ......... ......... .......... ......... .... 2.2. Posibles Posibles propiedades propiedades de las relaciones binarias binarias sobre un conjunto ................................ ................................................. ................................. ........................ ........ 2.3. Visión formal formal de una relación. relación. Aplicaciones Aplicaciones de las relaciones: relaciones: bases de datos relacionales ............................................... ............................................................. ..............

12 13

......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 3. Relación Relación de equiva equivalenci lencia a y relación relación de orden ...... 3.1. Relación Relación de equivalenc equivalencia: ia: clases clases de de equivalenci equivalenciaa ........... ................ ......... ......... ......... 3.2. Teorema Teorema fundamental fundamental de las relaciones relaciones de equivalencia: equivalencia: conjunto cociente .......................... ........................................... .................................. ............................... .............. 3.3. Relación Relación de orden ......... .............. ......... ......... ......... ......... ......... ......... .......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ........

16 16

13 14

16 21

4. Álgebr Álgebra a relacio relaciona nall ................................ ................................................ .................................. ............................ .......... 23 4.1. Álgebra Álgebra relacional: relacional: operacio operaciones nes con relacione relacioness .......... ............... ......... ......... .......... ....... 23 4.2. Representac Representación ión de relaciones relaciones ......... .............. .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... ........ ...... 28 ................................................. ................................. ................................. ............................ ........... 29 5. Func Funcio ione ness ................................ 5.1. Correspondenci Correspondenciaa entre entre dos dos conjuntos conjuntos y función ...... ........... .......... .......... .......... ....... 29 5.2. Tipos de funciones funciones ......... ............. ......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .... 32 .............. ......... .......... .......... ......... ......... ......... ...... 35 Anexo. Tabla de símbolos s ímbolos matemáticos .......... ................................................... .................................... ................................... ............................... .............. 36 Resumen ................................. ............... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ......... ...... 37 Ejercicios de autoevaluación ..........

Solucionario ................................ ................................................. ................................. ................................. ............................ ........... 41 Glosario .................................. .................................................... .................................... ................................... ............................... .............. 51 Bibliografía ................................. .................................................. ................................. ................................. ............................ ........... 52

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Introducción

La teoría de conjuntos tiene mucha aplicación en diversos diverso s campos tales como la sociología, la genética, la biología, la informática i nformática e, incluso, el diseño de servicios y productos. El contenido de este módulo pretende, por un lado, proporcionar al estudiante unas herramientas imprescindibles para comprender correctamente otras asignaturas más específicas de la titulación. Y, por otro, intentar ayudar al alumno a aumentar su capacidad de abstracción, esencial para abordar problemas en muchos otros campos de la informática y las telecomunicaciones, ya que la abstracción conlleva un ahorro de tiempo (de ahí su importancia): no tiene mucho sentido repetir n veces un mismo procedimiento, aunque éste tenga diferentes apariencias, cuando es suficiente tratarlo una única vez bajo un marco más general. Esta abstracción es la filosofía que hay detrás de, por ejemplo, la programación orientada a objetos. El lenguaje formal matemático es la herramienta indispensable que permite llevar a cabo la abstracción. Por ello en este módulo empezamos introducienidioma, el lenguaje formal matemático, partiendo de los conjundo un nuevo idioma, tos, de su escritura e interpretación. Al principio del módulo repasaremos la teoría básica de conjuntos y se explican las relaciones binarias, sus operaciones y su representación. A continuación, veremos las relaciones de equivalencia y de orden, así como el concepto derivado de éstas de conjunto cociente. Por último, introduciremos los conceptos de correspondencia entre dos conjuntos y de función y se muestran los tipos de funciones existentes.


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Objetivos

Después de estudiar este módulo didáctico, los estudiantes deberíais haber alcanzado los objetivos siguientes:

1. Recordar los conceptos básicos y las operaciones de la teoría de conjuntos. 2. Conocer las particiones de un conjunto. 3. Entender las relaciones binarias, así como las posibles propiedades de éstas sobre un conjunto. Conocer las relaciones de equivalencia y las de orden. Saber operar con relaciones (el álgebra relacional) y representarlas. 4. Reconocer la relación existente entre una correspondencia entre dos conjuntos y una función, así como distinguir los tipos de funciones. 5. Saber utilizar las aplicaciones de la teoría de conjuntos y adquirir destreza en el uso riguroso de su lenguaje formal.


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1. Teoría básica de conjuntos

1.1. Conceptos básicos de conjuntos En este módulo didáctico partimos de la idea intuitiva de conjunto como colección de objetos llamados elementos donde todos éstos son diferentes entre sí.

Cualquier colección de objetos como los puntos de un segmento dado, las rectas que pasan por un punto, los números naturales menores que diez, los empleados de una empresa, los estudiantes de una escuela, las páginas de este libro,... se denomina un conjunto. Los puntos, las rectas, los números, las páginas,... se denominan los elementos de los respectivos conjuntos. Los conjuntos se representan en general por letras mayúsculas y sus elementos por minúsculas. Los elementos del conjunto se especifican entre llaves.

Ejemplo 1 A ={a, b, c , d } representa un conjunto formado por 4 elementos. Antes de continuar, previamente, haremos un breve recordatorio de los primeros símbolos necesarios en la formulación del lenguaje matemático y, en particular, de la teoría de conjuntos que son necesarios conocer en este módulo y que seguramente os serán familiares: Expresión de un conjunto

Un conjunto queda definido si conocemos todos los elementos. Esto se puede hacer de dos maneras: a) Extensiva: Enumerando todos los elementos del conjunto:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) Intensiva: Indicando alguna/s propiedad/es que cumplan todos los ele-

mentos del conjunto. Por ejemplo, podríamos escribir A como: A = {x / x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 6}

Recordad

a ∈ A significa que el elemento a pertenece al conjunto A.

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Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales ( A = B) si tienen los mismos elementos. La propiedad que utilizaremos para demostrar que dos conjuntos son iguales es la siguiente: A = B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A que se lee: A es igual a B si, y sólo si, A está incluido en B y B está incluido en A.

Recordad

A ⊂ B significa A contenido en B.

Por tanto, para demostrar la igualdad entre dos conjuntos es necesario demos trar las dos inclusiones y lo llamaremos método de la doble inclusión. Conjunto vacío

El conjunto vacío es el único conjunto que no tiene ningún elemento y se representa por ∅. Subconjunto

Se dice que un conjunto B es un subconjunto de A si todo elemento de B es elemento de A. Simbólicamente se expresa de la siguiente manera: B ⊂ A.

Ejemplo 2 Observemos que en el caso de los conjuntos numéricos habituales tenemos que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Cardinal de un conjunto

El número de elementos de un conjunto U se llama cardinal y se denota por Card A o ⏐ A⏐. Conjunto universal

Se llama conjunto universal, que denotamos por U , a aquel conjunto de referencia en el cual estarán incluidos todos los conjuntos que intervendrán. Conjunto complementario

Dado un conjunto universal U y un subconjunto A, llamamos complementario de A y se denota por A el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A. A = {x ∈ U / x ∉ A}.

Recordad es el conjunto de los números naturales, Z el de los enteros, Q el de los racionales, R el de los reales y C el de los complejos, respectivamente. N

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Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son representaciones gráficas muy útiles en la representación de conjuntos. Los conjuntos se representan mediante áreas planas dentro de un rectángulo que representa el conjunto universal. El diagrama de Venn correspondiente al conjunto complementario (parte sombreada en el gráfico) es el siguiente: Figura 1

1.2. Operaciones entre conjuntos Con un conjunto universal U y dos conjuntos A y B podemos definir las siguientes operaciones: Reunión o unión de conjuntos

A ∪ B es el conjunto de elementos que pertenecen a A o a B. A ∪ B = {x ∈ U / x ∈ A o x ∈ B}

Esta operación es: – conmutativa: A ∪ B = B ∪ A – asociativa: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) Intersección de conjuntos

A ∩ B es el conjunto de elementos que pertenecen a A y a B. A ∩ B = {x ∈ U / x ∈ A y x ∈ B}

Esta operación es: – conmutativa: A ∩ B = B ∩ A – asociativa: ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C)


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Cuando A ∩ B no tiene ningún elemento, se expresa A ∩ B = ∅ y, entonces, decimos que A y B son disjuntos. Diferencia de conjuntos

A B es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no a B. 

A B = { x ∈ U / x ∈ A y x ∉ B } 

Ejemplo 3 Si A = {a, b, c , d }, B = {a, c , g }. En este caso tenemos: A ∪ B = {a, b, c , d , g } A ∩ B = {a, c } A B = {b, d } 

Producto cartesiano de conjuntos

Dados dos elementos a y b, llamamos par ordenado a la agrupación de estos elementos en un cierto orden. Un par ordenado se denota por ( a,b) donde a es la primera componente y b la segunda componente. Llamamos producto cartesiano de dos conjuntos A y B al conjunto A × B formado por todos los pares ordenados que se obtienen tomando como primera componente un elemento cualquiera de A y como segunda componente un elemento de B. A × B = {(a,b) / a ∈ A y b ∈ B}

Ejemplo 4 El producto cartesiano de los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {x, y } es A × B = = {(1, x), (1, y ), (2, x), (2, y ), (3, x), (3, y )}.

1.3. Conjunto de partes de un conjunto: partición Dado un conjunto A, se llama conjunto de partes del conjunto A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

℘( A) ={ X / X ⊂ A} Ejemplo 5 El conjunto de partes del conjunto A = {a, b, c } es:

℘( A) = {∅, {a}, {b}, {c }, {a, b}, {a, c }, {b, c }, {a, b, c }}. Este conjunto, con 3 elementos, tiene 8 subconjuntos.


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En general, el número de subconjuntos de un conjunto A con n elementos es 2n: Card A = n ⇒ Card ℘( A) = 2n

Decimos que los subconjuntos A1, A2, ..., Am de un conjunto S son una partición de A si: Ai ≠ ∅ (los subconjuntos no son vacíos) Ai ∩ A j = ∅ si i ≠ j (los subconjuntos son disjuntos) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am = A (la unión de todos ellos es el conjunto A)

Ejemplo 6 Especifiquemos las posibles particiones del conjunto E = {1, 2, 3} Una posible partición de E es la formada por los conjuntos: A1 = {1}, A2 = {2}, A3 = {3} Otras particiones de E serían las siguientes: B1 = {1}, B2 = {2, 3} C1 = {2}, C2 = {1, 3} D1 = {3}, D2 = {1, 2} La partición formada por un único subconjunto, es decir, el conjunto total {1, 2, 3}, se dice que es la partición impropia.


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2. Relaciones

Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes tanto en las matemáticas como en sus aplicaciones, especialmente en informática. Ejemplos prácticos de relaciones son las de orden y divisibilidad entre números, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación (validación de programas), la relación de dependencia entre las distintas fases de producción en una industria o la agrupación de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia entre sus campos. Desde el punto de vista matemático, estas relaciones se pueden describir simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano. De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operación con el resto. Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarquía con respecto a un criterio fijado. Por último, las relaciones entre múltiples conjuntos son el fundamento matemático del modelo relacional d e bases de datos, que es uno de los más extendidos por su simplicidad, su potencia y su coherencia teórica y práctica. De entrada presentaremos el concepto de relación de manera informal. Este concepto está continuamente presente en la sociedad. Por ejemplo, podemos considerar que dos personas están relacionadas si han coincidido alguna vez físicamente, o bien si han trabajado juntas, etc. Las relaciones también surgen en aquellas partes del mundo que son dominio de aplicaciones informáticas. Un ejemplo académico clásico es la gestión de matrículas y notas. Existe una clara relación entre los alumnos de un centro académico y las asignaturas impartidas, que aparece por el hecho de que los primeros se matriculan en las segundas. Asimismo, podemos hacernos una idea intuitiva de lo que es una relación si la visualizamos como una tabla (o un fichero). En la figura siguiente se muestra la visualización, en forma de tabla, de una relación que contiene datos de empleados. Empleados DNI

Nombre

Apellido

Sueldo

40444255

Juan

García

2000

33567711

Marta

Roca

2500

55898425

Carlos

Martínez

1500

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Observemos que cada fila de la tabla contiene una colección de valores de datos relacionados entre sí; son los datos correspondientes a un mismo empleado. La tabla tiene un nombre ( Empleados) que es el nombre de la relación y también tienen un nombre cada una de sus columnas ( DNI, Nombre, Apellido, Sueldo). Dichos nombres ayudan a entender el significado de los valores que contiene la tabla. Así, si definimos las relaciones de manera más precisa, nos daremos cuenta de que éstas presentan algunas características importantes que, a primera vista, quedan escondidas. Es por ello por lo que a continuación mostramos la definición matemática de relación, así como sus propiedades.

2.1. Relación binaria Diremos que entre los conjuntos A y B existe una relación binaria R si todos los elementos de A están ligados con los elementos de B por una propiedad que puede ser cierta o falsa.

Ejemplo 7 En el conjunto de los números naturales, N, la relación “ser menor estricto” es una relación binaria. Simbólicamente se expresa como: a R b ⇔ a < b

2.2. Posibles propiedades de las relaciones binarias sobre un conjunto Dado un conjunto A = {a, b, c , ...}, consideremos una relación binaria R definida entre A y el mismo A. Algunas de las propiedades que puede verificar R son: – R es reflexiva si todo elemento está relacionado consigo mismo:

∀a ∈ A : a R a – R es antirreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo:

∀a ∈ A : a Ry a (no a R a) – R es simétrica si cuando un elemento a está relacionado con otro b, la relación también se verifica en el otro sentido: a R b ⇒ b R a

En las asignaturas con contenidos de Bases de datos se presenta el concepto de relación, pero sobre dominios y atributos.

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– R es antisimétrica si dos elementos diferentes no pueden estar relacionados en los dos sentidos: Si a ≠ b y a R b ⇒ b Ry a (no b R a) – R es transitiva si cuando un elemento a está relacionado con un elemento b y a la vez b está relacionado con un elemento c se verifica que a también está relacionado con c : a R b y b R c ⇒ a R c

Ejemplo 8 Dado el conjunto A = {−2, −1, 0, 1, 2} consideremos la relación: a R b ⇔ a < b + 3 En este caso, los pares relacionados por R son: {(−2, −2), (−2, −1), (−2, 0), ( −2, 1), (−2, 2), (−1, −2), (−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, −2), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, −1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)} Esta relación sólo cumple la propiedad reflexiva: todos los elementos están relacionados consigo mismo, ya que hallamos todos los posibles pares de la forma (a, a). No es simétrica, ya que, por ejemplo, encontramos el par ( −1, 2) y no aparece el par (2, −1). No es antisimétrica, ya que hallamos pares que están relacionados en los dos sentidos: ( −1, 1) y (1, −1). Y, por último, no es transitiva, ya que encontramos que 1 R − 1 y −1 R −2 pero, sin embargo, 1 Ry −2.

2.3. Visión formal de una relación. Aplicaciones de las relaciones: bases de datos relacionales El principal interés de la teoría de relaciones (tanto binarias como n-arias) es su aplicación en la gestión de bases de datos. La idea esencial de una base de datos es almacenar una serie de registros de estructura similar, compuestos por una serie de atributos o campos, cada uno de los cuales muestra un tipo de información específica sobre un determinado objeto. Esto se representa de forma esquemática mediante una tabla, en donde cada registro corresponde a una fila, y el contenido de los diferentes campos se desarrolla por columnas. El tipo de dato de un determinado campo (por ejemplo, “EDAD”) viene determinado por un dominio (el conjunto de los enteros entre 0 y 100). El modelo matemático para representar una tabla que forma parte de una base de datos (que en principio es algo más complejo que una simple tabla) es justamente una relación n-aria, donde las filas son los elementos de la relación y las columnas corresponden a los dominios. En consecuencia, el grado de la rela-


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ción se corresponde con el número de columnas, y la cardinalidad con el de

filas.

Ejemplo 9 Una base de datos sencilla puede constar de una tabla (o relación) correspondiente a las notas obtenidas por los alumnos en una asignatura de matemáticas. Por ejemplo: Alumnos de matemáticas DNI

NOMBRE

NOTA

10550321

José Sánchez

4.5

09576220

Ana García

6.5

11988787

Carlos López

7.2

...

...

...

También, como veremos en el siguiente apartado, las relaciones binarias tienen aplicación en el diseño de bases de datos: • Las relaciones de equivalencias se usan para calcular las claves de la base de datos, es decir, aquellos campos que nos permiten identificar un registro de forma única (el DNI de una persona, por ejemplo). • Las relaciones de orden se usan para optimizar las búsquedas y consultas en la base de datos, ordenando previamente los registros con respecto a un campo.

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3. Relación de equivalencia y relación de orden

3.1. Relación de equivalencia: clases de equivalencia Una relación binaria R sobre un conjunto A se llama relación de equivalencia si ésta es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo 10 En el conjunto A = {0,1, −2,4} se da la siguiente relación:

∀x, y ∈ A : x R y ⇒ x2 + x = y 2 + y Comprobemos que es de equivalencia. Para ello hay que mirar que la relación R cumple las propiedades: 1. Reflexiva:

∀x ∈ A : x R x ya que x2 + x = x2 + x

2. Simétrica: ∀x, y ∈ A : si x R y ⇒ y R x ya que x2 + x = y 2 + y ⇒ y 2 + y = x2 + x

Rz ⇒ x Rz ya que x2 + x = y 2 + y y y 2 + y = z2 + z 3. Transitiva: ∀x, y , z ∈ A : x R y , y entonces x2 + x = z2 + z Toda relación de equivalencia define una partición en clases de equivalencia. Se llama clase de equivalencia de un elemento a ∈ A al conjunto de todos los elementos de A que están relacionados con a. [a] = {x ∈ A / a R x} (otra notación para [a] es a) Un ejemplo típico de relación de equivalencia es la relación “tener la misma cardinalidad” entre conjuntos. Propiedades de las clases de equivalencia

• Equivalencia de los elementos: todos los elementos de una misma clase son equivalentes entre ellos. • Independencia del representante: se puede tomar como representante de la clase cualquiera de sus elementos.

3.2. Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia: conjunto cociente 1) Toda relación de equivalencia R define sobre un conjunto A una par-

tición P [ A] = {[a], [b], ···} donde [a] = {x ∈ A / a R x}, etc.


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2) Toda partición P [ A] = { A1, A2, ···} define una relación de equivalencia

sobre A, donde dos elementos están relacionados si pertenecen al mismo subconjunto de la partición. Este teorema afirma que una relación R en un conjunto A que es reflexiva, simétrica y transitiva produce, de forma natural, una partición en A y es importante porque muestra una forma muy cómoda de describir particiones. Así, podemos afirmar que las relaciones de equivalencia son un buen instrumento para definir particiones. Asimismo, está claro que la relación asociada a la partición definida por las clases de equivalencia es precisamente la relación original R; éste es el sentido que tiene el calificativo “de forma natural” empleado anteriormente. El conjunto cociente es el conjunto de las clases de equivalencia en que queda dividido el conjunto A cuando definimos una relación de equivalencia. El conjunto cociente de A respecto R se denota por A / R.

Congruencias módulo n

Sobre el conjunto de los números enteros Z se define una relación de equivalencia llamada congruencias módulo n de la siguiente manera: Dos enteros a y b son congruentes módulo n si, y sólo si, su diferencia es múltiplo de n: a R b ⇔ a − b = n · k (k ∈ Z)

Las clases de equivalencia de la relación de congruencia se ll aman clases residuales módulo n, ya que están formadas por los números que divididos por n dan el mismo residuo (resto de la división). El conjunto cociente se denota por Zn.

Ejemplo 11 Z4

= {[0], [1], [2], [3]}

[0] = {···, −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12, 16, ···} (múltiplos de 4) [1] = {···, −11, −7, −3, 1, 5, 9, 13, 17, ···} (múltiplos de 4, más 1) [2] = {···, −10, −6, −2, 2, 6, 10, 14, 18, ···} (múltiplos de 4, más 2) [3] = {···, −9, −5, −1, 3, 7, 11, 15, 19, ···} (múltiplos de 4, más 3)


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Ejemplo 12 Supongamos la relación: a R b ⇔ a − b = 3k (k ∈ Z). Podemos comprobar las clases de equivalencia: 0 = {···, −6, −3, 0, 3, 6, 9, ···} 1 = {···, −5, −2, 1, 4, 7, 10, ···} 2 = {···, −4, −1, 2, 5, 8, 11, ···} Éstas son las únicas clases de equivalencia posibles en Z definidas con la relación R anterior. Fijémonos en que 3 = 0, 4 = 1, 5 = 2, etc. El conjunto cociente, en este caso, será Z / R = {0, 1, 2}; obsérvese que el conjunto Z tiene infinitos elementos, en cambio, Z / R tan sólo tiene 3 elementos. Si se observan los conjuntos anteriores, se comprueba que: • 0 ≠ ∅, 1 ≠ ∅, 2 ≠ ∅ • 0 ∩ 1 = ∅, 0 ∩ 2 = ∅, 1 ∩ 2 = ∅ • 0∪1∪2=Z Esto indica que 0, 1, 2 constituyen una partición de Z.

Actividad 1 En el conjunto

R



{0} de los números reales no nulos se define la siguiente relación:

1 1 aRb ⇔ a + = b+ a b 1) ¿Es R una relación de equivalencia? 2) Hallad los elementos de la clase de equivalencia a. 3) ¿Cuál es el conjunto cociente R  {0} / R?

Ejemplo 13. De congruencias Como se ha dicho, los números enteros, Z, pueden pensarse como puntos dispuestos a lo largo de una recta que va desde el menos infinito y llega hasta el infinito. Para hacer finito el espacio de estos números, la aritmética modular corta la recta en un punto y a partir de ahí resulta un segmento que se cierra sobre sí mismo, con lo que se tiene un “anillo”. Si tenemos un anillo de, por ejemplo, 7 números, será que hemos cortado la recta por el 7 y hemos cerrado el segmento resultante sobre el 0. El número 7 se hace equivalente al 0, el 8 al 1, el 9 al 2, ..., el 14 de nuevo al 0, y así sucesivamente: los únicos números que están en la aritmética del anillo de 7 son el 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. En esta aritmética la adición no es exactamente igual a la usual, aquí 4 + 5 = 2, esto ocurre porque si se empieza en el 4 y se avanza 5 espacios en la esfera del anillo se llega al 2 (se representa 9 ≡ 2 (mod 7) y se lee “9 es equivalente a 2 módulo 7”). Sorprende que esta aritmética se utiliza a diario para hablar de la hora. Normalmente estamos acostumbrados a la aritmética modular gracias al uso de


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los relojes. Si son las catorce horas y debemos dejar pasar 17 horas nuestra espera terminará a las 14 + 17 = 31 ≡ 6 (mod 24). Asimismo, la aritmética modular es usada en codificación y criptografía. Una de sus aplicaciones es el cifrado y descifrado de mensajes que ya se usaba durante el Imperio Romano cuando el emperador deseaba transmitir órdenes a sus legiones, pero sin que el enemigo, que podía interceptar a los mensajeros, se enterara del contenido de las órdenes. En este ejemplo se presenta un caso más complicado y seguro que el que usaron los emperadores romanos, pero no tan sofisticado como los que se utilizan hoy en día para realizar compras o actividades bancarias a través de Internet. Por ejemplo, supongamos que queremos enviar mensajes escritos que contengan palabras con letras minúsculas y espacios en blanco. Para ello, asignamos números a cada uno de estos símbolos (asignamos la letra α al espacio en blanco): a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

En este caso se trabaja en la aritmética módulo 29. Primero buscamos un número sencillo A que tenga inverso módulo 29 (un número, x, tiene inverso módulo z significa que existe otro número y tal que x · y ≡ 1 (mód z)), por ejemplo A = 3 porque 3 × 10 = 30 ≡ 1 (mod 29); ahora tomamos otro número B, por ejemplo, B = 12. Con estos números A y B podemos diseñar lo que en criptografía se conoce como un cifrado afín. Supongamos que vamos a enviar a Rosa el siguiente mensaje: hola rosa

Seguimos los siguientes pasos para encriptar el mensaje: Paso 1. Traducimos el mensaje en una lista de números, usando para ello

la asignación anterior: hola rosa  (8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1). Paso 2. Transformamos cada número x de la secuencia anterior por el nú-

mero y entre 0 y 28 que verifica la siguiente congruencia:

8 15 12 1

   

( A · x) + B ≡ y (mod 29) (3 · 8) + 12 = 36 ≡ 7 (mod 29) (3 · 15) + 12 = 57 ≡ 28 (mod 29) (3 · 12) + 12 = 48 ≡ 19 (mod 29) (3 · 1) + 12 = 15 ≡ 15 (mod 29)

ñ

ç

27 28

α 0

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0 18 15 19 1

20

    

(3 · 0) + 12 = 12 ≡ 12 (mod 29) (3 · 18) + 12 = 66 ≡ 8 (mod 29) (3 · 15) + 12 = 57 ≡ 28 (mod 29) (3 · 19) + 12 = 69 ≡ 11 (mod 29) (3 · 1) + 12 = 15 ≡ 15 (mod 29)

Estos cálculos se pueden realizar con la ayuda de la calculadora Wiris, tal como se muestra a continuación:

Y se obtiene, así, una nueva colección de números: (8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1)



(7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15).

Paso 3. Traducimos ahora la lista de números en símbolos:

(7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15)



gçsolhçko

y éste es el mensaje que enviamos a Rosa: gçsolhçko

A continuación, para descifrar este mensaje, Rosa tiene que recorrer el camino inverso: Paso 1. Traduce los símbolos a números:

gçsolhçko  (7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15). Paso 2. Realiza, módulo 29, las operaciones inversas a cada número:

y  ( y − B) : A Para ello es muy importante que la cifra A = 3 tenga inverso, que es 10, ya que, así, dividir por A equivale a multiplicar por 10 (módulo 29): 7 28 19 15 12 8 28 11 15

        

(7 − 12) · 10 = −50 ≡ 8 (mod 29) (28 − 12) · 10 = 160 ≡ 15 (mod 29) (19 − 12) · 10 = 70 ≡ 12 (mod 29) (15 − 12) · 10 = 30 ≡ 1 (mod 29) (12 − 12) · 10 = 0 ≡ 0 (mod 29) ( 8 − 12) · 10 = −40 ≡ 18 (mod 29) (28 − 12) · 10 = 160 ≡ 15 (mod 29) (11 − 12) · 10 = −10 ≡ 19 (mod 29) (15 − 12) · 10 = 30 ≡ 1 (mod 29)


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De la misma manera, sucede que estos cálculos se pueden realizar con la ayuda de la calculadora Wiris, tal como se muestra a continuación:

Nuevamente, se obtiene la secuencia inicial: (7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15)



(8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1).

Paso 3. Y finalmente traduce estos números a letras:

(8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1)



hola rosa

De este modo, Rosa se entera del contenido del mensaje.

3.3. Relación de orden Definimos una relación de orden estricto, en un conjunto A, como la relación que cumple las propiedades antirreflexiva y transitiva. Como consecuencia, se puede demostrar que toda relación de orden estricto también cumple la propiedad antisimétrica. Igualmente, definimos una relación de orden parcial en un conjunto A como aquella relación que satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación de orden parcial se llama también relación de orden (sin especificar el tipo). Finalmente, definimos una relación de orden total en un conjunto A como aquella relación de orden parcial que además verifica que dos elementos de A están siempre relacionados ( ∀x, y ∈ A : x R y o y R x).

Como ejemplos típicos de relaciones de orden podemos citar la implicación lógica entre proposiciones lógicas, la contención entre conjuntos, la desigualdad entre números o la relación de divisibilidad entre números naturales. Otro ejemplo típico de orden total es el llamado “orden léxico-gráfico”, entre cadenas de caracteres y que funciona análogamente al orden en que están ordena-


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das las palabras en un diccionario (o los nombres en una guía de teléfonos), es decir, se comparan los primeros símbolos, si son iguales se comparan los segundos, y así sucesivamente hasta encontrar el primer símbolo en que ambas palabras difieran, y si esto no es posible, es que ambas palabras son iguales.

Ejemplo 14. De relación de orden (parcial) estricto Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y una relación: < = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 5)}. Demostremos que es de orden estricto. Para ello hay que demostrar que cumple las propiedades: • Antirreflexiva. Hay que ver que en tal relación no hay ningún par del estilo (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) y efectivamente, no hay ningún par de este estilo. • Transitiva. Hay que comprobar que si, por ejemplo, el par (1, 3) y el par (3, 5) pertenecen a la relación, entonces el par (1, 5) también pertenece a la relación. Y así es. Ahora habría que comprobar esto con todos los pares de la relación. Por tanto, podemos concluir que este conjunto con la relación < está estrictamente ordenado.

Ejemplo 15. De relación de orden parcial Dado un conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y una relación: ≤ = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 5), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}, demostremos que es de orden parcial. Para ello hay que demostrar que cumple las propiedades: • Reflexiva. Hay que ver que a tal relación pertenecen todos los pares del estilo (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) y efectivamente, están todos ellos. • Antisimétrica. El par (1, 3) pertenece a la relación pero el par (3, 1) no pertenece a ésta. Igualmente se debería hacer con el resto de pares: (1, 4) pertenece a la relación pero (4, 1) no pertenece. Lo mismo sucede con el resto de pares. • Transitiva. Cumple la propiedad transitiva porque dicha relación se ha formado a partir de la anterior, añadiéndole tan sólo los pares del estilo (x, x). Como la anterior cumplía la propiedad transitiva, podemos asegurar que ésta también la cumplirá pues los pares añadidos ( x, x) no interfieren en la transitividad.


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4. Álgebra relacional

El álgebra relacional, inspirada en la teoría de conjuntos, proporciona una colección de operadores que actúan sobre relaciones para obtener otras relaciones. En informática, la obtención de los datos que responden a una consulta puede requerir el análisis y la extracción de datos de una o más de las relaciones que tiene la base de datos. Y, para especificar tal consulta, es necesario seguir uno o más pasos que sirven para ir construyendo, mediante operaciones del álgebra relacional, una nueva relación que contenga los datos que responden a la consulta a partir de las relaciones almacenadas. Los lenguajes basados en el álgebra relacional se llaman procedimentales, dado que los pasos que forman la consulta describen un procedimiento. En este sentido, el álgebra relacional presenta un interés especial porque ayuda a entender qué servicios de consulta tiene que proporcionar un lenguaje relacional y facilita la comprensión de algunas de sus construcciones.

4.1. Álgebra relacional: operaciones con relaciones Una característica destacable de todas las operaciones del álgebra relacional es que tanto los operandos como el resultado son relaciones. Esta propiedad se llama cierre relacional.

Las operaciones del álgebra relacional se pueden clasificar, según si se parecen o no a las de la teoría de conjuntos, en: Operaciones conjuntistas. Son las operaciones que se parecen a las de

la teoría de conjuntos. Y éstas son: la unión, la intersección, la diferencia y el producto cartesiano. Operaciones específicamente relacionales. Son la selección, la pro-

yección y la combinación.

Unión

La unión de dos relaciones es otra relación que estará constituida por los elementos que pertenezcan a una de las dos relaciones o a ambas (se eliminarán los elementos duplicados puesto que se trata de una relación). Se denota mediante el símbolo ∪.


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Ejemplo 16 Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} un conjunto. En él se definen las relaciones R y S siguientes: R = {(1, 2), (2, 4), (1, 4)} S = {(2, 4), (4, 5), (2, 5)} La unión de ambas relaciones es la relación siguiente: R ∪ S = {(1, 2), (2, 4), (1, 4), (4, 5), (2, 5)} Observemos que, en general, la unión de dos relaciones transitivas no tiene por qué ser transitiva: • La relación R es transitiva, ya que, siendo que (1, 2) ∈ R y (2, 4) ∈ R, se da que (1, 4) ∈ R. • La relación S también es transitiva, ya que, siendo que (2, 4) ∈ S y (4, 5) ∈ S, se da que (2, 5) ∈ S. • Sin embargo, la relación R ∪ S no es transitiva, pues (1, 2) ∈ R ∪ S y (2, 5) ∈ R ∪ S y, en cambio, (1, 5) ∉ R ∪ S. Intersección

La intersección de dos relaciones es otra relación que estará constituid a por los elementos que pertenezcan a ambas relaciones. Se denota por el símbolo ∩. Diferencia

La diferencia de dos relaciones es otra relación que estará constituida por el conjunto de elementos que pertenezcan a la primera relación, pero no a la segunda. Se denota mediante el símbolo . 

Producto cartesiano

Producto cartesiano de dos relaciones de cardinalidades m y n es una relación que estará constituida por los m × n elementos formados, concatenando cada elemento de la primera relación con cada uno de los elementos de la segunda. Se denota por el símbolo ×. Selección o restricción

La selección, también llamada restricción , de una relación mediante una expresión lógica da como resultado una relación formada por el subconjunto de elementos que satisface dicha expresión lógica. Siendo C la condición de selección, la selección de la relación T con la condición C se denota mediante T (C).

Observación Para demostrar que un conjunto cumple una propiedad, hay que demostrar que todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad. Sin embargo, para demostrar que un conjunto no cumple una propiedad, basta con encontrar un ejemplo en el que no se cumpla la propiedad.

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Proyección

La proyección de una relación es una operación que, a partir de una relación T , obtiene una nueva relación formada por todos los elementos de la relación de partida que resulten de eliminar unos atributos especificados. Combinación

La combinación de dos relaciones es una operación que, a partir de dos relaciones, obtiene una nueva relación formada por todos los elementos que resulten de concatenar elementos de la primera relación con elementos de la segunda relación y que cumplan una condición de combinación especificada.

Ejemplo 17 Supongamos que tenemos una base de datos relacional con las cuatro relaciones siguientes: 1) La relación EDIFICIOS_EMP que contiene los datos de diversos edificios

que posee una empresa para desarrollar sus actividades. EDIFICIOS_EMP Nom_edificio

Sup_med_desp

Marina

15

Diagonal

10

2) La relación DESPACHOS, que contienen los datos de cada uno de los

despachos que hay en los edificios anteriores. DESPACHOS Edificio

Número

Superficie

Marina

120

10

Marina

230

20

Diagonal

120

10

Diagonal

440

10

3) La relación EMPLEADOS_ADM, que contiene los datos de los emplea-

dos de la empresa que realizan tareas administrativas. EMPLEADOS_ADM DNI

Nombre

Apellido

Edificiodesp

Númerodesp

40444255

Juan

García

Marina

120

33567711

Marta

Roca

Marina

120

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4) La relación EMPLEADOS_PROD, que contiene los datos de los emplea-

dos de la empresa que se ocupan de tareas de producción. EMPLEADOS_PROD DNI

Nombre

Apellido

Edificiodesp

Númerodesp

33567711

Marta

Roca

Marina

120

55898425

Carlos

Bonmartí

Diagonal

120

77232144

Elena

Pla

Marina

230

21335245

Jorge

Soler

Sin despacho

Sin despacho

88999210

Pedro

González

Sin despacho

Sin despacho

• Unión. La unión de EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD da una nueva relación que contiene tanto los empleados de administración como los empleados de producción y se indica así: EMPLEADOS_ADM

∪ EMPLEADOS_PROD

Nota

DNI

Nombre

Apellido

Edificiodesp

Númerodesp

40444255

Juan

García

Marina

120

33567711

Marta

Roca

Marina

120

55898425

Carlos

Bonmartí

Diagonal

120

77232144

Elena

Pla

Marina

230

21335245

Jorge

Soler

Sin despacho

Sin despacho

88999210

Pedro

González

Sin despacho

Sin despacho

• Intersección. La intersección de las relaciones EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD da una nueva relación que incluye los empleados de administración que, a la vez, son de producción y se indica así: EMPLEADOS_ADM

∩ EMPLEADOS_PROD

DNI

Nombre

Apellido

Edificiodesp

Númerodesp

33567711

Marta

Roca

Marina

120

• Diferencia. La diferencia EMPLEADOS_ADM menos EMPLEADOS_PROD da una nueva relación que contienen los empleados de administración que no son a la vez empleados de producción y se indica así: EMPLEADOS_ADM



EMPLEADOS_PROD

DNI

Nombre

Apellido

Edificiodesp

Númerodesp

40444255

Juan

García

Marina

120

Fijémonos que en el caso de que un elemento esté en las dos relaciones que se unen, el resultado de la unión no la tendrá repetida. El resultado de la unión es una nueva relación y no puede tener repeticiones de elementos.

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• Producto cartesiano. El producto cartesiano de EDIFICIOS_EMP por DESPACHOS es una nueva relación que contiene todas las concatenaciones posibles de elementos de EDIFICIOS_EMP con elementos de DESPACHOS: EDIFICIOS_EMP

× DESPACHOS

Nom_edificio

Sup_med_desp

Edificio

Número

Superficie

Marina

15

Marina

120

10

Marina

15

Marina

230

20

Marina

15

Diagonal

120

10

Marina

15

Diagonal

440

10

Diagonal

10

Marina

120

10

Diagonal

10

Marina

230

20

Diagonal

10

Diagonal

120

10

Diagonal

10

Diagonal

440

10

• Selección. Para obtener una relación que tenga todos los despachos del edificio Marina que tienen más de 12 metros cuadrados tenemos que aplicar una selección a la relación DESPACHOS con esta condición de selección. DESPACHOS (Edificio = Marina y Superficie > 12) Edificio

Número

Superficie

Marina

230

20

• Proyección. Si queremos obtener una relación con el nombre y el apellido de todos los empleados de administración, haremos la siguiente proyección: EMPLEADOS_ADM [Nombre, Apellido] Nombre

Apellido

Juan

García

Marta

Roca

• Combinación. Supongamos que queremos encontrar los datos de los despachos que tienen una superficie mayor o igual que la superficie media de los despachos del edificio donde están situados. La combinación siguiente nos proporcionará los datos de estos despachos junto a los datos de su edificio: EDIFICIOS_EMP × DESPACHOS (Nom_edificio = Edificio, Sup_med_desp ≤ Superficie) Nom_edificio

Sup_med_desp

Edificio

Número

Superficie

Marina

15

Marina

230

20

Diagonal

10

Diagonal

120

10

Diagonal

10

Diagonal

440

10

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4.2. Representación de relaciones Una relación binaria admite diferentes tipos de representaciones gráficas siempre y cuando sea una relación entre conjuntos finitos: • Mediante una matriz donde las filas corresponden a los elementos de uno de los dos conjuntos y las columnas a los del otro conjunto y se pone una cruz (o un 1) en los pares que forman parte. • También se puede, simplemente, tabular los pares de la relación. • O bien mediante un gráfico de red donde representamos en una cuadrícula todos los posibles pares ordenados posibles y se marca con un punto los pares que forman parte de la relación.

Ejemplo 18 Si A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3, b4}, la relación de valor R = {(a1, b1), (a1, b4), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b4)} se puede representar por: Figura 2.1 Matriz

Figura 2.2 Tabulación

Figura 2.3 Red

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5. Funciones

En informática, las funciones se usan con mucha frecuencia bajo determinadas formas. Por ejemplo: • En el ámbito de los sistemas operativos, la llamada función de mapaje asocia a cada página de un programa una página de memoria. • En los compiladores, una función fundamental es la tabla de símbolos que asocia a cada identificador que aparece en un programa una retahíla de informaciones relevantes: su categoría, su tipo, su dirección de memoria, etc. El compilador inserta esta información cuando encuentra el identificador y, a partir de ese momento, la consulta cuando el identificador es referenciado en otros puntos de su ámbito y, cuando acaba el tratamiento del bloque correspondiente al identificador, la borra. Como veremos, las tablas de símbolos no son más que un ejemplo de aplicación a la informática del concepto matemático de función (que es el que en este apartado se estudia).

5.1. Correspondencia entre dos conjuntos y función Dados dos conjuntos A y B, llamamos correspondencia entre A y B a un proceso tal que a elementos de A les hace corresponder elementos de B ; es decir, establece una relación binaria R entre los conjuntos A y B .

Ejemplo 19 El siguiente diagrama establece una correspondencia entre los conjuntos A = {a, b, c , d } y B = {1, 2, 3, 4, 5}. Figura 3

La relación dada por esta correspondencia es: G = {(a, 2), (c , 1), (c , 3), (d , 3)} ⊂ A × B


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Diremos que una correspondencia ƒ es una función si, y sólo si, a todo elemento del conjunto A le corresponde, a lo sumo, un elemento de B.

En general podemos decir que una función de n variables reales es una regla ƒ que asocia a cada punto ( x1, x2,..., xn) de un cierto subconjunto D de Rn un único número real y = ƒ(x1, x2,..., xn). Representaremos esta función como: ƒ : D → R (x1, ..., xn) → y = ƒ(x1, x2,..., xn)

Ejemplo 20. De función de una variable El gerente de una empresa ha llegado a la conclusión de que los beneficios de ésta dependen fundamentalmente del salario del jefe, según la relación:

100 s − 5s2 b( s) = 1+ s Donde s es el salario anual del jefe en millones de euros y b(s) son los beneficios. Esto es una función: la relación que hay entre el salario del jefe y las ganancias de la empresa. Podemos escribir la función de otras maneras, por ejemplo:

ƒ( x) =

100 x − 5x2 1+ x

La función ƒ relaciona x, el salario del jefe, con ƒ( x), los beneficios que la empresa obtiene cuando el jefe cobra x. Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de éstas se llama variable independiente a la que podemos dar valores, y la otra se llama variable dependiente, que depende del valor que hayamos dado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercambiables y, a veces, nos interesará cambiarlos. Podemos modificar la variable independiente x, pero la variable dependiente y depende del valor que hayamos dado a x. Se llama dominio de la función ƒ: A → B al subconjunto de A para los elementos del cual existe una imagen en B: Dom(ƒ) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B, ƒ(x) = y }. El conjunto de todos los elementos de B que son imagen de algún elemento de A se llama conjunto imagen de ƒ o recorrido y se denota simbólicamente por Im ƒ.

Observación Rn

n

= R × ... × R

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En este caso escribiremos ƒ: A → B donde A se llama conjunto origen (o de salida) y B conjunto de llegada. Una función ƒ en la que a todo elemento del conjunto A le corresponde uno, y sólo un, elemento de B, y por consiguiente el dominio de ƒ coincida con el conjunto A, se llama aplicación.

En el ejemplo de los beneficios b(s), el salario del jefe no puede tomar cualquier valor. Podemos suponer que tiene que estar comprendido entre 0 y 6 millones de euros, por lo cual el dominio de la función b es el intervalo cerrado [0, 6]. El recorrido de la función será el conjunto de los posibles beneficios cuando el salario del jefe esté comprendido entre 0 y 6 millones de euros. Intuitivamente, las aplicaciones son correspondencias que se pueden ilustrar a través de esquemas como los siguientes con la característica: “de todos y cada uno de los elementos del conjunto de partida sale una única flecha hacia un elemento en el conjunto de llegada”: Figura 4.1. Aplicación

Figura 4.2. Función no aplicación

Figura 4.3. No función no aplicación

Dicho de otro modo, una función asigna a cada elemento del conjunto de partida como mucho un único elemento del conjunto de llegada. Y si se tiene una relación representada en un sistema de coordenadas cartesianas se debe observar si cualquier recta paralela al eje de las ordenadas (usualmente el eje “Y”, el vertical) corta a lo sumo una vez el gráfico. Por ejemplo, una circunferencia no es una función y una parábola lo es si abre hacia arriba (o abajo). En informática, una función es una relación establecida entre dos dominios de datos A y B tal que, a cada elemento de A, le corresponde como mucho un elemento de B. El conjunto A se llama dominio de la función y B se llama abasto. A los elementos de A se les llama claves, y a los de B, información. Las operaciones de una función consisten, pues, en definir la función en un punto, desdefinirla y aplicar la función en un punto. Asimismo, en informática, al concepto de función muy a menudo se le llama tabla por su representación gráfica, ya que muchas veces se representan las funciones en forma de tablas con dos columnas que corresponden a cada uno


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de los dominios A y B, con una fila para cada par de la función. Por ejemplo, si tanto A como B son los enteros, una posible función que tiene como dominio real {3, 5, 7, 8} es la tabla que a continuación está representada: Figura 5

5.2. Tipos de funciones Una función ƒ entre dos conjuntos A y B, ƒ: A → B, puede ser de diferentes tipos dependiendo de sus propiedades. Funciones exhaustivas

A todo elemento del conjunto B le corresponde, como mínimo, un origen (una antiimagen) en A:

∀ y ∈ B : ∃x ∈ A tal que ƒ(x) = y Funciones inyectivas

Los elementos del conjunto B tienen, como mucho, un origen (esto es, a do s elementos diferentes de A les corresponden siempre dos imágenes diferentes en B):

∀x1, x2 ∈ A tal que x1 ≠ x2 ⇒ ƒ(x1) ≠ ƒ(x2) o bien Si ƒ(x1) = ƒ(x2) ⇒ x1 = x2 Funciones biyectivas

Son, a la vez, exhaustivas e inyectivas; es decir, todo elemento del conjunto imagen tiene un único origen:

∀ y ∈ B: existe un único x ∈ A tal que ƒ(x) = y Función identidad

Dado un conjunto A, se llama función identidad de A a la función de A en A que no modifica los elementos; es decir: I A : A → A tal que I A(x) = x, ∀x ∈ A


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Función inversa

Si ƒ: A → B es inyectiva, podemos definir una nueva función ƒ −1: B → A, inversa a la anterior, de manera que ƒ −1( y ) = x ⇔ ƒ(x) = y . La función ƒ −1 se llama función inversa de ƒ. Función total

La función ƒ: A → B es total si Dom(ƒ) = A. Función parcial

La función ƒ: A → B es parcial si Dom(ƒ) ⊂ A.

Ejemplo 21 Demostrar que la función ƒ: yectiva.

R

→ R tal que ƒ(x) = x3 − 1 es una función in-

Para probar que una función es inyectiva tenemos que probar que si ƒ( a) = = ƒ(b) entonces a = b. Si ƒ(a) = ƒ(b) ⇒ a3 − 1 = b3 − 1 entonces: a3 = b3 y a = 3 b3 = b .

Ejemplo 22 Demostrar que la función del ejemplo 21 es exhaustiva. Para demostrar que una función es exhaustiva, hemos de probar que para todo y del conjunto final existe un x del conjunto inicial tal que: ƒ(x) = y . Dado un y cualquiera perteneciente a verifique ƒ(x) = y .

R

buscamos un x también de R que

Veamos si este x existe: ƒ(x) = y ⇒ x3 − 1 = y ⇒ x3 = y + 1 ⇒ x = 3 y + 1 . Como este x siempre existe para todo número real y , hemos encontrado x que verifica ƒ(x) = y .

Ejemplo 23 Demostrar que la función del ejemplo 21 es una función biyectiva. Para demostrar que una función es biyectiva, hemos de probar que es inyectiva y exhaustiva a la vez. Ya está demostrado, pues ya hemos demostrado que esta función es inyectiva y que también es exhaustiva.


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Ejemplo 24 Hallar la función inversa de la función ƒ:

R

→ R tal que ƒ(x) = 2x + 3.

Recordemos que si y = ƒ(x) es una función inyectiva, la función inversa es x = ƒ −1( y ). Para encontrar la función inversa de una función dada, en este caso y = 2x + 3, hay que despejar x:

−2x = 3 − y ⇒ x = − y + 3 ⇒ x = y − 3 −2 2 y de este modo se tiene que la función inversa es ƒ −1( x) = x − 3 . 2


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Anexo. Tabla de símbolos matemáticos

∀

Para todo

∃

Existe

∃! ⇔ ≡ ≈ > < : / ∋

Existe y es único Si, y sólo si (condición necesaria y suficiente) Equivalente Aproximado Mayor Menor Tal que

∈ ∉ ⊂ ⊄ ⊆

Pertenece (elementos) No pertenece (elementos) Contenido estrictamente (conjuntos) No contenido (conjuntos) Contenido o igual (conjuntos)

U

Unión (conjuntos)

I

Intersección (conjuntos)

∅

Conjunto vacío

N Z Q R C

∞

Conjunto de los números naturales Conjunto de los números enteros ( Z+ enteros positivos, Z− enteros negativos) Conjunto de los números racionales Conjunto de los números reales Conjunto de los números complejos Infinito Valor absoluto (números) Módulo o norma (vectores o números complejos)

[ ] ⎣⎢ ⎦⎥

∑

∏

Sumatorio (números) Producto (números)

π e i

Parte entera (números)

j

Número pi Número e Número complejo unidad imaginaria (i = j =

−1

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Resumen

Al principio del módulo hemos partido de la idea intuitiva de conjunto como colección de objetos llamados elementos donde todos éstos son diferentes entre sí y hemos realizado un repaso de los conceptos básicos de la teoría de conjuntos (expresión de un conjunto, igualdad de conjuntos, conjunto complementario, vacío y universal y cardinal de un conjunto) así como de sus operaciones: unión, intersección, diferencia y producto cartesiano. A continuación hemos definido las diferentes relaciones existentes entre dos conjuntos. Hemos hecho especial hincapié en dos de ellas: las de equivalencia (relación que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva) y las de orden estricto (relación que cumple las propiedades antirreflexiva y transitiva) y orden parcial (si satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva) y se muestran sus respectivas aplicaciones en el diseño de bases de datos: Las relaciones de equivalencia se utilizan para calcular las claves de las bases de datos y las de orden se usan para optimizar las búsquedas y consultas en éstas, ordenando previamente los registros con respecto a un campo. Una vez ya hemos tenido definidos los conjuntos y sus relaciones hemos pasado a operar con estas últimas. Para ello hemos presentado el álgebra relacional que, inspirada en la teoría de conjuntos, proporciona una colección de operadores (unión, intersección, diferencia, producto cartesiano, selección, proyección, combinación) que actúan sobre relaciones para obtener otras relaciones. Por último, hemos introducido el concepto de correspondencia entre dos conjuntos A y B (proceso que, a elementos de A, les hace corresponder elementos de B; es decir, proceso que establece una relación entre los conjuntos A y B), función (correspondencia en la que a todo elemento de A le corresponde como mucho un elemento de B) y aplicación (función en la que su dominio coincide con el conjunto de partida, A) y hemos presentado los diferentes tipos de funciones: exhaustivas (a todo elemento del conjunto B le corresponde, como mínimo, un origen o antiimagen en A); inyectivas (los elementos del conjunto B tienen, como mucho, un origen); biyectivas (son, a la vez, exhaustivas e inyectivas); función identidad (la que no modifica los elementos del conjunto de partida), función inversa, total y parcial.


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Ejercicios de autoevaluación 1. En un cierto problema, el universo de referencia es el conjunto U = {1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c , d , e, f , g }. En él se consideran los conjuntos: A = {1, 2, 4, 6, 8, b, c , d , f }, B = {1, 4, 7, a, d , g } y C = {3, 5, 9, a, e}. Calculad: a) A ∪ B; B ∪ C; ( A ∪ B) ∪ C b) A ∩ C; ( A ∩ B) ∩ C c) A; A ∪ B; A ∩ C d) ℘(C); ℘( A ∩ C) 2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c , d , e, f , g } el conjunto universal. De-

mostrad que: a) Los conjuntos A1 = {1, 5, 9, a, d , g }

A2 = {3, 6, 8, b, c } A3 = {2, 7, e, f } A4 = {4} forman una partición de U . b) Los conjuntos B1 = {a, b, f , 2, 5, 9}

B2 = {1, 2, 4, 6, 7, b, c , e, g } B3 = {c , d , g , 3, 4, 8} no forman una partición de U pero que, no obstante, sí la forman los conjuntos: B1 D B2, B1 ∩ B2, B3 − ( B2 ∩ B3) 3. Estudiad las siguientes relaciones binarias definidas en el conjunto

Z de los

números enteros: a) x R y ⇔ x· y > 0 b) x S y ⇔ x· y ≥ 0 4. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Se define la relación, R, en A × A mediante:

(a, b) R (c , d ) ⇔ a – b = c – d Comprobad que se trata de una relación de equivalencia y obtened el conjunto cociente. 5. En el conjunto de los números naturales N definimos la relación binaria si-

guiente: Si x, y ∈ N, x R y ⇔ x ⎪ y (x es un divisor de y ) Probad que R es una relación de orden parcial.

Nota La operación D representa la diferencia simétrica entre conjuntos y se define como: A D B = ( A ∪ B)  ( A ∩ B)

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6. En el conjunto A = { −2, −1, 0, 1} se define la siguiente relación binaria:

x R y ⇔ x < |y |. Se pide: a) La representación gráfica que define la relación. b) Estudiad sus propiedades. 7. En el conjunto A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} se define la relación:

x R y ⇔ ⏐x − y ⏐ ≤ 1 Obtened el diagrama correspondiente y estudiad las propiedades. 8. Si A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c , d , e}. Decid cuáles de las siguientes correspon-

dencias son aplicaciones y, de éstas, cuáles son inyectivas, exhaustivas y biyectivas. a) G1 = {(1, a), (1, b), (2, c ), (2, d ), (3, e)} b) G2 = {(1 , a), (2, e), (3, c ), (4, d )} c) G3 = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)} 9. Sea ƒ :

R3

→ R3 una aplicación definida por: ƒ(x, y , z) = (x + y + 2z, x + y + z, −2x − y + z)

Demostrad que ƒ es inyectiva y exhaustiva. 10. Se considera una red de área extensa (WAN) compuesta por 5 routers. En la

actualidad, los routers están conectados entre sí de la siguiente manera: el 1 con el 2, el 2 con el 4, el 1 con el 4 y el 4 con el 3. Es decir, están conectados según se muestra en el siguiente esquema:


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En el conjunto de los routers establecemos la relación R siguiente: se considera que el router u está relacionado según R con el router v si, y sólo si, ambos están interconectados, ya sea de forma directa o indirecta. Observaciones: • Se entiende que cada router está conectado consigo mismo. • Es equivalente decir “el router 1 está conectado con el 2” que decir “el router 2 está conectado con el router 1”. • Aunque, por ejemplo, los router s 1 y 3 no están directamente conectados entre sí, ambos están indirectamente conectados a través del router 4. Se pide: a) Escribid todos los pares que forman la relación. b) Determinad si esta relación es de equivalencia, especificando en todo

momento qué partes del enunciado y/u observaciones utilizáis en vuestro argumento. c) En el caso de que R sea de equivalencia, hallad el conjunto cociente. 11. El programa informático PAL5LET genera palabras de cinco letras hechas

con el alfabeto español (de 29 letras). En el conjunto de las palabras generadas por PAL5LET definimos la relación R “empezar por la misma letra”; esto es, dos palabras de las generadas por el programa están relacionadas por la relación anterior si empiezan por la misma letra (se entiende que cada palabra está relacionada con ella misma). Se pide: a) Escribid seis elementos de los generados por PAL5LET y representad tres

pares de palabras que formen parte de la relación R. b) Comprobad que la relación anterior es de equivalencia. c) Encontrad el conjunto cociente. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto cociente? 12. Una empresa informática dispone de siete elementos: Cuatro servidores

miembros (no controladores de dominio): M1, M2, M3, M4 y tres servidores controladores de dominio: C1, C2, C3. Entre estos elementos de la empresa, se define la relación R, por la cual dados dos elementos (servidores miembros y/o controladores de dominio) están relacionados si o bien los dos elementos son servidores miembros, o bien los dos elementos son controladores de dominio. NOTA: Se entiende que cada servidor está relacionado con él mismo. Se pide: a) Representad el conjunto de elementos de la empresa y escribid dos pa-

res que formen parte de la relación R.


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b) Comprobad que la relación R anterior es de equivalencia. c) Encontrad el conjunto cociente. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto

cociente? 13. Tenemos una red de 25 ordenadores M = {1, 2, 3, ..., 25}. Una de las 25 má-

quinas tiene funciones de servidor (la máquina 25). El servidor distribuye programas para ejecutar a las otras 24 máquinas. Llegan 8 programas para ejecutar P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y el servidor los distribuye usando la función f : P → M definida por f (n) = 3n − 2. a) Calculad a qué máquinas han ido a ejecutarse los programas. b) Calculad cuáles son los programas que se han ejecutado en máquinas que

tienen índice par. c) Tal y como está definida, comprobad si esta función es inyectiva, exhaustiva o biyectiva. Razonar la respuesta.


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Solucionario Actividades Actividad 1 1) La relación R sí que es de equivalencia porque cumple las tres propiedades

necesarias para ello. Veámoslo: • reflexiva: a R a, ya que se cumple que a +

1 = a + 1. a a

• simétrica: Si a R b, entonces se cumple que a + 1 = b + 1 , por tanto, tama b 1 1 bién se cumple que b + = a + , con lo que llegamos a la conclusión de b a que b R a.

1 1 • transitiva: Si a R b, entonces a + 1 = b + 1 y si b R c , tenemos b + = c + . b c a b 1 1 Si lo juntamos, obtenemos que a + = c + por lo que obtenemos a R c. a c Por tanto, R es una relación de equivalencia en el conjunto meros reales no nulos.

R



{0} de los nú-

2) La clase de equivalencia a es el conjunto de números reales no nulos tales

que están relacionados: a R x. Busquemos cuáles son dichos números x: Como, por definición, se tiene que a R x ⇒ x + 1 = a + 1 ⇒ x − a + 1 − 1 = 0 ⇒ x a x a a−x ⇒ x−a+ = 0 ⇒ ax2 − a2x + a − x = 0 ⇒ ax2 − (a2 + 1)x + a = 0 y resolviendo ax 1 la ecuación de 2º grado se obtiene como soluciones: x1 = a, x2 = . a Por tanto, a = ⎧⎨a, 1 ⎫⎬. ⎩ a⎭ 3) El conjunto cociente R  {0} / R, por definición, es el conjunto formado por

las clases de equivalencia de R



R



{0} definidas por R; esto es:

{0} / R = {x / x ∈ R



{0}} = ⎧⎨⎨⎧ x, 1 ⎬⎫ / x ∈ R {0}⎫⎬ ⎩⎩ x ⎭ ⎭ 

Ejercicios de autoevaluación 1. a) Por ser la unión de dos conjuntos tendremos que:

A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 7, 8, a, b, c , d , f , g } B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 7, 9, a, d , e, g } Aprovechando que ya conocemos A ∪ B, calculamos ( A ∪ B) ∪ C añadiendo los elementos de C que aún no estaban en A ∪ B: ( A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c , d , e, f , g } = U

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b) La intersección de dos conjuntos es el conjunto de los elementos comunes

en ambos. Por tanto, A ∩ C = ∅, ya que no tienen ningún elemento en común. Para calcular ( A ∩ B) ∩ C determinamos primero la intersección entre A y B: A ∩ B = {1, 4, d } En consecuencia: ( A ∩ B) ∩ C = {1, 4, d } ∩ {3, 5, 9, a, e} = ∅ c) Siempre que no se especifique el conjunto respecto al cual consideramos el

complementario supondremos que es el conjunto universal. Con esta hipótesis, el complementario de un conjunto será el conjunto de todos los elementos del universal que no pertenezcan al conjunto dado. Así, pues, tendremos: A = {3, 5, 7, 9, a, e, g }

A ∪ B = {3, 5, 9, e} A ∩ C = ∅ = U d) Dado que el conjunto de partes es el formado por todos los subconjuntos,

propios o no, del conjunto original, este conjunto lo obtendremos formando todas las combinaciones posibles de sus elementos. Por tanto, en nuestro caso tendremos:

℘(C) = {∅, {3}, {5}, {9}, {a}, {e}, {3, 5}, {3, 9}, {3, a}, {3, e}, {5, 9}, {5, a}, {5, e}, {9, a}, {9, e}, {a, e}, {3, 5, 9}, {3, 5, a}, {3, 5, e}, {3, 9, a}, {3, 9, e}, {3, a, e}, {5, 9, a}, {5, 9, e}, {5, a, e}, {9, a, e}, {3, 5, 9, a}, {3, 5, 9, e}, {3, 5, a, e}, {3, 9, a, e}, {5, 9, a, e}, {3, 5, 9, a, e}} Por otro lado, tenemos que ℘( A ∩ C) = ℘(∅) = {∅}. 2. a) i. Vemos que todos los conjuntos son no vacíos, Ai ≠ ∅, para i = 1, 2, 3, 4. ii. Todos son disjuntos (no tienen elementos en común):

A1 ∩ A2 = A1 ∩ A3 = A1 ∩ A4 = A2 ∩ A3 = A2 ∩ A4 = A3 ∩ A4 = ∅ iii. La unión de todos los subconjuntos da el conjunto total U :

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = {1, 5, 9, a, d , g , 3, 6, 8, b, c , 2, 7, e, f , 4} = = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c , d , e, f , g } = U b) B1, B2 y B3 no forman una partición de U ya que B1 ∩ B2 = {2, b} ≠ ∅

No obstante, los conjuntos: B1 D B2 = ( B1 ∪ B2) ( B1 ∩ B2) = {1, 4, 5, 6, 7, 9, a, c , e, f , g } B1 ∩ B2 = {2, b} B3 ( B2 ∩ B3) = {3, 8, d } 




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sí que forman una partición, ya que: i. No son vacíos: B1 D B2 ≠ ∅, B1 ∩ B2 ≠ ∅, B3 − ( B2 ∩ B3) ≠ ∅ ii. Son disjuntos: ( B1 D B2) ∩ ( B1 ∩ B2) =

∅, ( B1 D B2) ∩ ( B3 − ( B2 ∩ B3)) = ∅,

( B1 ∩ B2) ∩ ( B3 − ( B2 ∩ B3)) = ∅. iii. la unión de todos ellos es el total: ( B1 D B2) ∪ ( B1 ∩ B2) ∪ ( B3 − ( B2 ∩ B3)) =

= ( B1 ∪ B2) ∪ ( B3 − ( B2 ∩ B3)) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, a, b, c , e, f , g } ∪ {3, 8, d } = U 3. a)

• R no es reflexiva, ya que 0 R 0 ⇔ 0 · 0 > 0, lo cual no es cierto. ? • R es simétrica: Si x R y ⇒ y R x. En efecto: x R y ⇒ x · y > 0 ⇒ y · x > 0 ⇒ y R x. • R es transitiva: ∀ x, y , z ∈ Z si: x R y ⎫ ? e ⎪⎬ ⇒ x R z y R z ⎪⎭ En efecto: x R y ⇒ x · y > 0, y R z ⇒ y · z > 0 ⇒ (x · y ) · ( y · z) > 0 ⇒ ⇒ x · ( y 2) · z > 0 ⇒ x · z > 0 (por ser y 2 > 0 ya que y ≠ 0) ⇒ x R z. b)

• S es reflexiva: Ya que ∀ x ∈ Z se cumple x·x ≥ 0. • S es simétrica: Si x S y ⇒ x· y ≥ 0 ⇒ y ·x ≥ 0 ⇒ y S x. • S no es transitiva: Ya que, por ejemplo: −4 S 0 (ya que −4·0 ≥ 0) y 0 S 7 (ya que 0 · 7 ≥ 0), y no obstante −4 · 7 = = − 28 < 0 ⇒ −4 · 7 ‡ 0 ⇒ −4 S/ 7. 4. Veamos que satisface las propiedades:

• Reflexiva: ∀ (a, b) ∈ A × A, (a, b) R (a, b) ya que a – b = a – b. • Simétrica: ∀ (a, b), (c , d ) ∈ A × A, si (a, b) R (c , d ) ⇒ a – b = c – d ⇒ ⇒ c – d = a – b ⇒ (c , d ) R (a, b). • Transitiva: ∀ (a, b), (c , d ), (e, f ) ∈ A x A, si

(a, b) R (c , d )⎫ ⎪ ? y ⎬ ⇒(a, b) R( e, f ) . (c , d ) R (e , f ) ⎪⎭ En efecto, (a, b) R (c , d ) ⇒ a − b = c − d y (c , d ) R (e, f ) ⇒ c − d = e − f ⇒ a − b = = c − d = e − f ⇒ a − b = e − f ⇒ (a, b) R (e, f ) (como queríamos demostrar).


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En cuanto a las clases de equivalencia, diremos que una clase ( a,b) estará constituida por todos los pares (x, y ) ∈ A × A tales que a − b = x − y . Por ejemplo, la clase (1,3) estará formada por todos los pares tales que la diferencia entre sus componentes es −2. Así pues, tendremos las siguientes clases: (1,1) = {(1, 1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5, 5)} (1,2) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} (1,3) = {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} (1,4) = {(1, 4), (2, 5)} (1,5) = {(1, 5)} (2,1) = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)} (3,1) = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} (4,1) = {(4, 1), (5, 2)} (5,1) = {(5, 1)} 5. Para ver que se trata de una relación de orden parcial, tenemos que ver que

se cumplen las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. • Reflexiva: x R x ? ∃ n ∈ N tal que x = n · x ? Sí, n = 1 ∈ N • Antisimétrica:

x R y ⎫ y = n1 · x (1) e ⎪⎬ ⇒ ⇒ Substituimos la y de (1) en (2) y tenemos: · (2) x = n y 2 y R x⎪⎭ x = n2 · n1 · x ⇒ n2 · n1 = 1 ⇒ n1 = n2 = 1 ya que n1, n2 ∈ N Si tomamos n1 = 1 y lo substituimos en (1) obtenemos: y = x • Transitiva:

x R y ⎫ y = n1 · x (1) ⇒ Substituimos la y de (1) en (2) y tenemos: e ⎪⎬ ⇒ z = n2 · y (2) ⎪ y R z⎭ z = n2 · n1 · x ⇒ (z es múltiplo de x) x|z ⇒ x R z 6. a) Se comprueba si se verifica la relación para todos los pares posibles de nú-

meros. Por ejemplo, −2 R −1 ya que −2 < |−1| = 1 ⇒ (−2, −1) ∈ R. De esta manera la relación queda así: R = {(−2, −2), (−2, −1), (−2, 0), (−2, 1), (−1, −2), (−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −2), (0, −1), (0, 1), (1, −2)}


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La gráfica de la relación queda así. Figura 6

b) La relación binaria R no es:

• • • • •

Reflexiva: ya que (0, 0) ∉ R Simétrica: ya que (0, 1) ∈ R y (1, 0) ∉ R Transitiva: ya que (1, −2) ∈ R, (−2, −1) ∈ R y, no obstante, (1, −1) ∉ R Antirreflexiva: ya que (−1, −1) ∈ R Antisimétrica: ya que 1 ≠ −2, (1, −2) ∈ R y (−2, 1) ∈ R

7. Se comprueba si se verifica la relación para todos los pares posibles de nú-

meros. Por ejemplo, −1 R −2, ya que |−1 − (−2)| = |−1 + 2| = 1 ≤ 1. De esta manera se obtiene el gráfico de la relación R : R = {( −2, −2), (−2, −1), (−1, −2), (−1, −1), (−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} Figura 7

Por tanto, la relación es: • Reflexiva: ya que contiene todos los elementos de la diagonal principal (−2, −2), (−1, −1), ..., (3, 3). • Simétrica: ya que (x, y ) ∈ R ⇔ ( y , x) ∈ R.


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En este diagrama hay simetría respecto a la diagonal principal, por ejemplo: (−1, −2) ∈ R ⇒ (−2, −1) ∈ R ... • No transitiva: sólo hay que observar que (−1, 0) ∈ R, (0, 1) ∈ R y, sin embargo, ( −1, 1) ∉ R 8. a) G1 no es aplicación, ya que los elementos 1 y 2 tienen dos imágenes y, ade-

más, el elemento 4 no tiene ninguna. b) G2 es aplicación, ya que cada elemento de A tiene una, y sólo una, imagen

en B. G2 es inyectiva, ya que a diferentes elementos de A les corresponde imágenes diferentes en B. G2 no es exhaustiva, ya que el elemento b ∈ B no tiene antiimagen. Por tanto, tampoco será biyectiva. c) G3 es aplicación.

G3 no es inyectiva, ya que 1 ≠ 2 y, no obstante, G3 (1) = G3 (2) = a. G3 no es exhaustiva, ya que los elementos b, c , d , e ∈ B no tienen antiimagen. 9.

• ƒ es inyectiva. En efecto, ƒ (x, y , z) = ƒ (a, b, c ) ⇔ (x + y + 2z, x + y + z, −2x − y + z) = = (a + b + 2c , a + b + c , −2a − b + c ) ⇔ ⎧x + y + 2 z = a + b + 2 c ⇔ ⎪⎨x + y + z = a + b + c ⎪−2 x − y + z = −2a − b + c ⎩

⇔

⎧z = c ⎪ ⎨−x + 2z = −a + 2c ⎪x + y + z = a + b + c ⎩

⇔

⎧z = c ⎪ ⎨−x = −a ⎪a + y + c = a + b + c ⎩

⇔

⎧x = a ⎪ ⎨y = b ⎪z = c ⎩

• f es exhaustiva. Tenemos que resolver la ecuación f (x, y , z) = (a, b, c ) y hallar un elemento (x, y , z) del conjunto de salida: f (x, y , z) = (a, b, c ) ⇔ (x + y + 2z, x + y + z, −2x − y + z) = (a, b, c ) ⇔ ⎧x + y + 2 z = a ⇔ ⎪⎨x + y + z = b ⇔ ⎪−2 x − y + z = c ⎩ ⎧x = 2 a − 3b − c ⇔ ⎪⎨y = −3a + 5b + c ⎪z = a − b ⎩

⎧z = a − b ⎪ ⎨− x + 2 z = b + c ⎪x + y + z = b ⎩

⇔

⎧z = a − b ⎪ ⎨ x = 2z − b − c ⎪y = b − x − z ⎩

⇔

⎧x = 2 a − 3b − c ⎪ ⎨y = b − x − z ⎪z = a − b ⎩

10. a) Para escribir los pares de la relación, tenemos que fijarnos en la representa-

ción gráfica de la misma. Los pares que forman la relación son: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3)}

⇔

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b) Para comprobar si la relación es de equivalencia, hay que mirar si cumple

las siguientes propiedades: • Reflexiva: La relación R es reflexiva pues cada router está conectado consigo mismo (según se hace constar en la observación 1) • Simétrica: La relación es simétrica ya que, según se desprende de la observación 2, si hay una conexión entre el router u y el router v , también hay una conexión entre v y u. • Transitiva: La relación también es transitiva pues si el router u está conectado con el v y el v está conectado con el w, entonces, según la observación 3, el router u está conectado con el w. Por tanto, R es una relación de equivalencia. c) Hallemos el conjunto cociente. Para ello, primero debemos encontrar las

clases de equivalencia de éste. Sea V el conjunto de los 5 direccionadores y R la relación definida entre éstos. La clase de equivalencia del router 1 es el conjunto de router s de V que están relacionados con el router 1; es decir, que están conectados con el router 1. Por tanto, mirando la relación, tenemos que: 1 = {1, 2, 3, 4}. De igual manera tenemos que: 1 = 2 = 3 = 4 = {1, 2, 3, 4} Por otro lado, tenemos la clase de equivalencia del router 5, que es el conjunto de router s de V que están relacionados con el router 5. Y, en este caso, dado que el router 5 sólo está conectado consigo mismo, tenemos que:

5 = {5} Por tanto, el conjunto cociente está formado por dos clases de equivalencia: la que está formada por los routers 1, 2, 3 y 4, y la que está formada por el router 5; es decir, el conjunto cociente es: V / R {1, 5} 11. a) A = {árbol, ámbar, barca, barco, carpa, costa,...}

R = {(árbol R ámbar), (barca R barco), (carpa R costa),...} b) Para comprobar si la relación es de equivalencia, hay que mirar si cumple

las siguientes propiedades: • Reflexiva: La relación R es reflexiva, pues cada palabra p empieza por la misma letra que la propia palabra p (según se hace constar en la NOTA).


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• Simétrica: La relación es simétrica, ya que si p y q son palabras tales que p R q, entonces la primera letra de la palabra p es igual a la primera letra de la palabra q , por tanto q R p pues sus primeras letras son iguales. • Transitiva: La relación también es transitiva, pues si la primera letra de la palabra p es igual que la primera letra de la palabra q y la primera letra de la palabra q es igual que la primera letra de la palabra r , entonces la primera letra de la palabra p es igual que la primera letra de la palabra r . Por tanto, R es una relación de equivalencia. c) Hallemos el conjunto cociente. Para ello, primero debemos encontrar las

clases de equivalencia de éste. Sea A el conjunto de palabras generadas por el programa PAL5LET y R la relación definida entre éstas. Dentro del conjunto A, existen palabras que empiezan por la letra ‘a’, por la letra ‘b’, por la letra ‘c’, etc. Como representante de las palabras que empiezan por la letra ‘a’, tomamos la propia letra “a” (igualmente se podría haber tomado como representante la palabra ‘ámbar’, ‘altar’, etc...). La clase de equivalencia de las palabras que empiezan por la letra ‘a’ es el conjunto de palabras de A que están relacionados con la letra ‘a’; es decir, que empiezan por la letra ‘a’. Por tanto, mirando la relación, tenemos que: [a] = {árbol, ámbar, ...} o bien se podría haber indicado: [árbol] = {árbol, ámbar, altar,...} De igual manera, como representante de las palabras que empiezan por la letra ‘b’ tomamos a la propia letra “b” (igualmente se podría haber tomado como representante la palabra “balón”, “barca”, etc...). La clase de equivalencia de las palabras que empiezan por la letra ‘b’ es el conjunto de palabras de A que están relacionadas con la letra ‘b’; es decir, que empiezan por la letra ‘b’. Por tanto, mirando la relación, tenemos que: [b] = {barca, balón, ...} o bien se podría haber indicado: [barca] = {barca, balón, balsa, ...} Y así sucesivamente con el resto de letras del alfabeto español. Por tanto, el conjunto cociente está formado por 29 clases de equivalencia y el conjunto cociente es: A/ R = {[a], [b], [c ],...} NOTA: Igualmente sería correcto decir: A/ R = {[árbol], [barca], [casa],...}


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12. a) A = {M1, M2, M3, M4, C1, C2, C3}

R = {(M1 R M2), (C1 R C3),...} b) Para comprobar si la relación es de equivalencia, hay que mirar si cumple

las siguientes propiedades: • Reflexiva: La relación R es reflexiva, ya que la calidad de ser servidor miembro o servidor controlador de dominio la comparte cada elemento de la empresa consigo mismo (tal como se indica en la NOTA). • Simétrica: La relación es simétrica, ya que si m y n – elementos de la empresa– son ambos servidores miembros (respectivamente servidores controladores de dominio) entonces la misma propiedad la tienen n y m. • Transitiva: La relación también es transitiva, pues si m, n son dos servidores de dominio (respectivamente servidores controladores de dominio), y n y p son también servidores de dominio (respectivamente servidores controladores de dominio), entonces, m y p son servidores de dominio (respectivamente servidores controladores de dominio). Por tanto, R es una relación de equivalencia. c) Hallemos el conjunto cociente. Para ello, primero debemos encontrar las

clases de equivalencia de éste. Sea A el conjunto de elementos de la empresa y R la relación definida entre éstos. Dentro del conjunto A, existen servidores miembro y servidores controladores de dominio. Como representante de los servidores miembro, tomamos al M1 (igualmente se podría haber tomado a cualquiera de los otros servidores miembro). La clase de equivalencia de los servidores miembro es el conjunto de servidores de A que están relacionados con M1; es decir, que son servidores miembro. Por tanto, mirando la relación, tenemos que: [servidores miembro] = {M1, M2, M3, M4} o bien se podría haber indicado: [M1] = {M1, M2, M3, M4} Igualmente, como representante de los servidores controladores de dominio tomamos al C1 (igualmente se podría haber tomado cualquiera de los otros servidores controladores de dominio). La clase de equivalencia de los servidores controladores de dominio es el conjunto de servidores de A que están relacionados con C1; es decir, que son servidores controladores de dominio. Por tanto, mirando la relación, tenemos que: [servidores controladores de dominio] = {C1, C2, C3}


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o bien se podría haber indicado: [C1] = {C1, C2, C3} Por tanto, el conjunto cociente está formado por dos clases de equivalencia y el conjunto cociente es: A/ R = {[servidores miembros], [servidores controladores de dominio] } NOTA: Igualmente estaría correcto decir: A/ R = {[M1], [C1]} 13. a) Dado que ƒ(n) = 3n − 2, vamos a ver cuáles son las imágenes de nuestra fun-

ción. ƒ(1) = 3 · 1 − 2 = 1 ƒ(2) = 3 · 2 − 2 = 4 ƒ(3) = 3 · 3 − 2 = 7 ƒ(4) = 3 · 4 − 2 = 10 ƒ(5) = 3 · 5 − 2 = 13 ƒ(6) = 3 · 6 − 2 = 16 ƒ(7) = 3 · 7 − 2 = 19 ƒ(8) = 3 · 8 − 2 = 22 de manera que las máquinas que han ejecutado alguno de los ocho programas son: {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22} b) Solamente tenemos que calcular ƒ −1({2, 4, ... 24}). Ahora debemos observar que

no todos los elementos tienen anti-imagen, ƒ −1(2), ƒ−1(8), ƒ−1(12), ƒ−1(14), ƒ−1(18), ƒ−1(20) y ƒ−1(24) no existen. Entonces solamente tienen sentido ƒ −1(4), ƒ−1(10), ƒ−1(16) y ƒ−1(22). De manera que: ƒ−1({2, 4, ... 24}) = {2, 4, 6, 8 } son los programas que se han ejecutado en máquinas que tienen índice par. c) Es inyectiva, ya que ƒ(x) = ƒ( y ) ⇔ 3x − 2 = 3 y − 2 ⇔ x = y

No es exhaustiva, ya que por ejemplo no hay ningún x tal que ƒ(x) = 2. No es biyectiva, puesto que no exhaustiva.


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Glosario antirreflexiva f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que ningún elemento a ∈ A está relacionado consigo mismo. antisimétrica f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que dos elementos diferentes de A no pueden estar relacionados en los dos sentidos. aplicación f Correspondencia en la que a todo elemento del conjunto A le corresponde, como mucho, un elemento de B y cumple que el dominio es A. conjunto cociente m Dada una relación de equivalencia ~ en un conjunto no vacío A , el conjunto cociente A / ~ es el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia módulo ~. conjunto complementario m Respecto de un conjunto dado A, es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. conjunto universal m Conjunto de referencia en el cual están incluidos todos los conjuntos que intervienen. conjunto vacío m Único conjunto que no tiene ningún elemento. correspondencia f Dados dos conjuntos A y B, una correspondencia entre los dos es un subconjunto G del producto cartesiano A × B, en el que se establece una relación binaria entre los conjuntos A y B. equivalencia f Relación ~ en un conjunto A que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. función f Correspondencia en la que a todo elemento del conjunto de salida le corresponde como mucho un elemento del conjunto de llegada. función biyectiva f Función que es, a la vez, exhaustiva e inyectiva. función exhaustiva f Función en la que a todo elemento del conjunto de llegada le corresponde, como mínimo, una antiimagen en el conjunto de salida. función identidad f Función de un conjunto en sí mismo que no modifica los elementos. función inversa f Dada la función ƒ : A → B inyectiva, la función inversa es ƒ -1 : B → A de manera que ƒ −1( y ) = x si ƒ(x) = y. función inyectiva f Función en la que los elementos del conjunto d e llegada tienen, como mucho, un origen. función parcial f Función en la que el dominio de ésta está contenido o es igual al conjunto de salida. función total f Función en la que el dominio de ésta es igual al conjunto de salida. intersección f Dados dos conjuntos A y B, su intersección es el conjunto, cuyos elementos son aquellos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Notación: A ∩ B. orden (u orden parcial) m Dado un conjunto no vacío A, se trata de la relación ≤ que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. orden estricto m Dado un conjunto no vacío A, se trata de la relación < que cumple las propiedades antirreflexiva, antisimétrica y transitiva. orden total m Dado un conjunto no vacío A, es la relación de orden parcial que verifica que dos elementos están siempre relacionados. par ordenado m Agrupación de dos elementos en un cierto orden. partición f Dado un conjunto no vacío A, una partición de A es una familia de n subconjuntos de A, A1, A2, ..., Am, tales que: Ai ≠ ∅ (los subconjuntos no son vacíos) Ai ∩ A j = ∅ si i ≠ j (los subconjuntos son disjuntos) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am = A (la unión de todos ellos es el conjunto A) producto cartesiano m Dados dos conjuntos no vacíos A y B, su producto cartesiano es el conjunto A × B cuyos elementos son todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B. reflexiva f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que todo elemento a ∈ A está relacionado consigo mismo.


Modulo 1. Teoría de Conjuntos

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