Módulo de Poisson. Se conoce a la relación de Poisson, cuando un cuerpo se somete a una fuerza, este siempre se deformara en dirección a esta fuerza. Sin embargo, siempre que se producen deformaciones en dirección de la fuerza aplicada, también se producen deformaciones laterales. Las deformaciones laterales tienen una relación constante con las deformaciones axiales, por lo que esta relación es constante, siempre que se el material se encuentre en el rango elástico de esfuerzos, o sea que no exceda el esfuerzo del límite proporcionalidad; la relación es la siguiente: μ=ϵ lateral/ϵ axial Donde ϵ es la deformación unitaria y µ es el coeficiente de Poisson, llamado así en honor de Siméon Denis Poisson el que propuso este concepto en 1828. El coeficiente de Poisson depende indirectamente del módulo de elasticidad o módulo de Young (E), del módulo de rigidez o de cizalladura (G), la cual se puede expresar de esta manera: E=2G(μ+1) Cabe recalcar que el rango de valores para el coeficiente es muy pequeño, oscila dentro 0,25 y 0,35; habiendo excepciones, muy bajos como para algunos concretos (µ=0,1), o muy altos como lo es para el hule (µ=0,5), el cual es el valor más alto posible.
Obtención del coeficiente de Poisson Hay dos formas de determinarlo, por método directo o por método indirecto. Ambos se obtienen por la prueba de tensión y compresión. La ASTM (American Society for Testing and Materials), ha publicado guías para efectuar estas pruebas y proporcionan límites para los que el uso de un material particular se considera aceptable. Para dichas pruebas se usan maquinas, un ejemplo es la modelo 810 de la empresa MTS (Material Test System), que se muestra en la figura 2.
También se usan instrumentos convencionales de medición, como lo son el calibrador Vernier y el micrómetro. El calibrador se usa para la medición de dimensiones interiores, exteriores y profundidades con precisión de 0,1 mm. El micrómetro se usa para la medición de dimensiones exteriores con precisión de 0,01 mm. Otro dispositivo utilizado es el extensómetro, el cual se describirá más adelante.
Prueba de tensión-compresión Como se mencionó anteriormente se usa la prueba de tensión y compresión, en la cual se usan probetas cilíndricas del material que se desea probar y sacar diferentes conclusiones a partir de las pruebas y resultados.
Para obtener el coeficiente Poisson se puede hacer de dos maneras, directa e indirecta, sin embargo en ambos métodos se utiliza la prueba de resistencia de tensión o compresión. Pero para un mejor entendimiento es mejor explicar cada uno por separado.
Método directo
Este se realiza a partir de la ecuación: μ=ϵ lateral/ϵ axial Al colocar una probeta en la máquina de pruebas, se aplica una fuerza de tracción (tensión) o compresión esta hace que la probeta se alargue o encoja axialmente, por consiguiente también habrá un cambio de dimensiones transversales, y con los instrumentos convencionales de medición se pueden medir estos cambios, como lo son el calibrador Vernier y el micrómetro, para la medición de deformaciones laterales. Para la medición de deformaciones longitudinales se usan medios muy exactos, como lo son los extensómetros eléctricos desechables. “Estos se fabrican de alambre muy fino o laminitas muy delgadas que se pegan al miembro que se está investigando. Cuando las fuerzas son aplicadas al miembro, el alargamiento o contracción de los alambres o laminitas tiene lugar en forma concurrente con cambios similares en el material. Estos cambios alteran la resistencia eléctrica del extensómetro que puede medirse y calibrarse para indicar la deformación unitaria que se está llevando a cabo.” (Popov 2000, pág. 59) En la figura 5 se muestra un esquema de un extensómetro de alambres.
Al conocer las deformaciones unitarias, estas se pueden sustituir en la formula anteriormente mencionada, y así hacer la relación y obtener el coeficiente de Poisson. Método indirecto
Este consiste en obtener varios parámetros, para luego usarlos en una fórmula matemática, el primero de estos es el valor del módulo de Young (Y), que se averigua a través de un diagrama de esfuerzo-deformación. Este se construye a partir de pruebas de tensión y compresión. El módulo de Young puede determinarse de tres maneras: 1. Módulo medio Em, o pendiente de la porción recta de la curva.
2. Modulo tangente Et, o pendiente de la curva en un punto determinado de la misma (generalmente al 50% de la resistencia de pico).
3. Módulo secante Es, o pendiente de la línea recta que une el origen con la resistencia de pico.
En estos diagramas la resistencia de pico está conformada por el esfuerzo de límite de proporcionalidad (σp), en donde el material se comporta elásticamente. Con el valor de E del material, solo es necesario sacar el coeficiente de cizalladura (G), el cual se hace tomando un cubo del material y aplicándole una fuerza cortante como se muestra en la figura 9.
A partir de este ensayo se puede hacer la relación entre tensión y distorsión angular, de esta manera calculando G. G=T/θ=(F/A)/(∆x/h) Teniendo estas dos constantes propias de cada material, se puede determinar el
coeficiente μ=(E/2G)-1
de
Poisson
Obtención
(µ)
de
con
la
un
siguiente
resultado
formula.
confiable
El número de muestras es relativo a la exactitud que se necesite, se sabe que entre más iteraciones del proceso, más exacto es el resultado. Se pueden generar errores a la hora de la toma de resultados, esto también depende de la experiencia que se tenga en la realización de estas pruebas. En el caso especial de las rocas el tipo y número de ensayos depende del problema de ingeniería geológica a resolver y de las condiciones económicas. La realización de estos ensayos pueden verse afectados por factores referentes a la naturaleza. Así también como las condiciones del ensayo, las que destacan los siguientes puntos: *Forma y volumen de la probeta, ya que los esfuerzos principales varían con la geometría de la pieza en prueba. *Preparación y tallado de la probeta, el que las caras transversales a los extremos de la probeta se encuentre paralelas beneficia a que se llegue al esfuerzo pico con más carga aplicada. *La dirección en que sea proporcionada la carga, esto para rocas anisótropas. La anisotropía es una propiedad de los materiales, que en determinadas propiedades físicas vectoriales, según la dirección de estas, el material se comporta de diferentes maneras; en este caso la aplicación de una fuerza. *Velocidad de aplicación de la carga, se recomienda un incremento de 0,5 a 1 MPa, en un intervalos de tiempo de 5 a 10 min, ya que el incremento impetuoso puede ocasionar fracturas antes de llegar al esfuerzo pico. Obtención
de
la
rigidez
de
una
roca
a
partir
de
este
ensayo
Se puede determinar la rigidez de una roca, sabiendo en que momento de aplicada una fuerza esta va a fallar, en un diagrama de esfuerzodeformación, se nota que aplicada una fuerza se llega al esfuerzo de pico, a partir de aquí la roca pierde la resistencia. En general se asume que la roca llega al punto de falla después del esfuerzo de pico, pero por pruebas experimentales se ha notado que en rango del 50% el 95% del esfuerzo de pico, ya se comienzan a formar fisuras en la probeta. En la mayoría de las rocas se presenta un comportamiento lineal del módulo de elasticidad, dándole la cualidad de elástica, sin embargo no todas las rocas se comportan de esta manera, teniendo una conducta variable en su elasticidad, y no cumpliendo la ley de Hooke (E=ϵσ), en la figura 10 se muestran dos diagramas esfuerzo-deformación para dos rocas, el superior muestra el comportamiento elástico, por el contrario la curva inferior no presenta la linealidad.
