Distribución probabilística de Poisson En una distribución binomial cuando n es grande, por lo general mayor de cincuenta, y p, la probabiad de éxito de un suceso, se acerca a cero, mientras que q la probabilidad de fracaso, se aproxima a 1 de tal manera que el producto de np, llamado lambda A, es menor o igual a 5, debe utilizarse la . tribución de Poisson. Algunos autores consideran no sólo el hecho de que p sea muy pequeña, sino :ambién cuando p es tan grande que se aproxima a 1,también para A> 5, en ambos casos, se puede ::mlicar esta distribución.
-
Siendo . ..1,= np
le
fórmula es:
"Qi=hJmero = 2,71828 de casos
favorables.
Generalmente se dice que la distribución de Poisson tiene su mayor aplicación, cuando en el erimento que se realiza ocurren sucesos llamados raros, los cuales se identifican con una probabi-d de éxito sumamente pequeña (p) y el número de observaciones (n) grande; pero I~ verdad es __ .J esta distribución se aplica a una variedad de situaciones diferentes, como las ocurrencias respeca un campo continuo, como área o tiempo. Algunos de estos eventos aleatorios ocurren en forma -ependiente a una velocidad dentro de un campo o intervalo, generalmente de tiempo o espacio. ,0.. :::"::;:.::--:
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•••••
Son eje~e,l~.~p~.r~~elic~ciÓI1 de ladistribuCig~de,~oisson: el númérode personas que llegan ",-:..n aJmacéf1;¡R.~n9q'oaerbpoertoen tmtiempO detElrfl1inqdo;el número de lIamé,ldas telefónicas :.;x minuto; ·.el.·.n:: u:·•m·.· .~ .:·.·ro.:d Elqe.fectó ..s.. e..n·p.ie..zas .si·m .. j.t...•... a res. e ..nel mate..rial, y.a sea por ce.ntím.e.t.r..ocuao centí~~:\r~:·liRe~l;h~~erode ba.St~rias.~n un cultivo;.iinsecto~por·kiIómetro·cuad~ago;el - ":nero de fallá~\~e"uná l1}aq,-!!ría..durq~te una'l1oraó undía;:E)1 nún;¡e rodE) accidentes por día; el ero de re,s)~ITiBstRneio.~s>lisit'-!gE).~· a llDabori)pa.9Ja. de ~egurose(lun determinado período,
°
.•- Como se~q~9~;g~sé~~.r;:sélra~~.81ball.~fl~pr~9~lJílidad de ocurrenciade cualquixrpúrnero e éxitos (X) IJÓrriDIg,~~#e ··I'li~diciórí(n:íihuto:\l1oia,qía\se ritírpetr9: .rri~trOretc;) yenestcis probleue se pres.'.§¡¡¡i~QR~r~~(¡ Sblllci<5ndal}'yli¡~lorªelpgráry1etr9Ian1Hdá ('X 1.0 SE:¡a.;el.·'.promedio - -azón de ocurréiiC;¡'~5t~féYeñfo' ~léátofjo'pBrlíJnidáadetierlípo ti espaciQy:élnúmero'de éxitos. )\:\r::::;"\J;@V:,:(~:::\.~,:-::Y;):H\,:_:~.::: :S!J.:)-:=:,),:'::'¡':'>:.ii::::{/:',-:/·{;':1h)'\;:i{:·':?:}»::-f:t:: :~:::::;;::,::,,<:;-:;:,:.,.;: ..-.:., .. ,
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% de las bombiRas fabricadas por una compañía son defectuosas, _--"'. en una muestra de 100 bombillas, 3 sean defectuosas. ";
A = 100 (0,01) = 1
::'
"";,':',,,
'C_':'"
'->
--o';>
:, .- ',--,"
x=3
P(X=3)
hallar la probabilidad
de
13e-1 1(0,36788) =-1-3. = --~3.2.1. =0,06131 = 6,13 %
252
Ciro Martínez Bencardino
Ejercicios resueltos 1. Un 10 % de los utensilios producidos en un cierto proceso de fabTicación resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que de una muestra de diez utensilios, seleccionados al azar, sean exactamente dos los defectuosos, mediante: a) distribución binomial b) distribución de Poisson p = 0,10
Solución: a)
q = 0,90
n
= 10
x=2
Distribución binomial
P(X;2)
=C~ (0,1)2 (0,9)8
=45( 0,01)( 0,4305 )=0,1937=19,37%
b) Distribución de Poisson
x=2 12
p(
e-1
x;.. 2)= -2-'-
íl=np=10(O,1)=1
(1)( 0,36788) = ---~ 2 = 0,18394 = 18,39%
2. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es 0,001, determinar la probabilidad de que, de un total de 2.000 individuos, a) exactamente 3; b) más de 2 individuos tengan reacción. Solución:
p = 0,001
q = 0,999
a)
ílX e-Á 23 e-2 p(X;3)=Xi=-3-'--
b)
P(X~2)
p(
=?
;
_
8 (0,13534) 6
n = 2.000
= 018045 = 18,04 % '
x = 3, 4, 5,
2.000
x ~2) -_ 1- [20 ( 0,13534) O! ' 1, + 2' ( 0,13534)
p( X~3)
íl = 2.000 (0,001) = 2
= 1- ( 0,13534 + 0,27068 + 0,27068)
2 ! + 22 (0,13534)]
= 1- 0,67670 = 0,3233 = 32,33 %
3. Si el 3 % de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 bombillas a) O, b) 1, c) 2, d)3, e) 4, f) 5, sean defectuosas.
p = 0,03
Solución:
a) p(X;O)
=
3° e-3 _ -0-' ---
q = 0,97
1( 0,04979) = 0,04979
1
íl = O,03 ( 1 00 ) = 3
b)
n = 100
Capitulo VII. 'Distribuciones
e)
P(X=2)=
e)
p(
=
X=4)
Probabilisticas
253
Discretas y Contínuas
0,04979) = 0,22404
32
(
34
(0,04979) = 0,16803 4!
p( x
d)
2!
f)
Con el problema anterior, hallar la probabilidad de: o menos sean defectuosas.
= 33
=3)
p( X=5)
=
35
a) más de 5,
(
(
0,04979) = 0,22404 _. 0,04979) = 0,10082 5!
b) entre 1 y 3, e) 2
bombillas
Solución:
a
p( X>5) .
Pr x
>,
p( x>
x = 6, 7,8, ·· ..········· .. ······100
=?
5)
O! = 1-l- 3° (0,04979) +
5)
= 1- [( 0,04979 + 0,14937 + 0,22405 + 0,22405 + 0,16804 + 0,10082 ))
p( X>5)
=
1- 0,91612 = 0,08388 = 8,39 % 3' (0,04979) 32 (0,04979) l' +--2-'--+--31--
:; P(1~X~3)=
p( 1~ X
5! + 35 (0,04979)]
~3)
33
(
0,04979)
0,14937 + 0,22405 + 0,22405 = 0,59747 = 59,75 %
=
x=2,1,O 32
0,04979 )
(
3' ( 0,04979) +
2!
P(XS2)=
1!
3° ( 0,04979 ) +--O!--
p( x ~ 2) = 0,22405 + 0,14937 + 0,04979 = 0,42321 = 42,32 %
_
::1 número de ahogados en accidente, por año, en un país X es de tres por cada 100.000 habitan;es. Hallar la probabilidad de que en una ciud¿.d cuya p0blación es de 200.000 haya: a) O, ) 2, e) 6, d) 8, e) entre 4 y 8, f) menos de 3 ahogados por año.
olución:
p =
¡
0,00003
6° e-6 P
X~O)
_
P xX
6)
(
n = 200.000
= 0,00003 ( 200.000 ) = 6
1(0,002479)
= -0-' - = ----1--
p¡ x-- 6) = 66
A.
62
= 0,002479
b)
p( X=2
j
=
(
0,002479) . = 0,044622
. 2!
?.:9024~ = ~6.65~13 6, . 720002479l =, 115,6~ 720' = O1606= 16,06 %
= 68 ( 0,002479) = 1.679.616( 0,002479)_ 4.163,76 .. 010326 = 10 33 %
= 4, 5,
8!
64 4~X$8)=-
4$X~8)=
40.320
40.320'
,
6, 7, 8
(0,002479) 65 (0,002479) 66 (0,002479) 41 + 5! +-'-6-'---+---7'--+
67
(0,002479)
1.296(0,002479) 7.776(0,002479) 46.656(0,002479) . 24 - +---12-0---·+----72-0·---+---5.-04-0--
68
(
0,002479) 8i =
279.936 (0,002479) +
256
Ciro Martinez Benca;
Ejercicios para resolver (Ver respuestas al final del capítulo) 1.
Supongamos que de cada 5.000 vehículos, dos tienen problemas con las llantas en una autopista. Si 1, vehículos transitan por la autopista durante cierto día, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos vehío los tengan problemas con las llantas?
2.
Supongamos que, en promedio, una casa, de cada 2.000, en cierta zona de Buenos Aires, se incendia dura el año. Sí hay 6.000 casas en dicha zona, ¿cuál es la probabilidad de que: más de 3 casas se incendien durante el año? b) exactamente dos?
a) 3. a) 4.
El promedio de atracos en cierta ciudad es de dos por día. Utilizando la distribución de Poisson, determinar probabilidad de que en un día dado, haya: no más de tres atracos. b) a lo más dos atracos. Una compañía de seguros considera que solamente a alrededor del 0,01 % de la población le ocurre cierto;;:¡ de accidentes cada año. La empresa tiene 10.000 asegurados contra este tipo de accidentes, ¿cuál es probabilidad de que máximo tres de ellos sufran accidente?
5. Se toma una muestra de 1.500 artículos de un lote de producción que arroja 0,24% de defectuosos, la probabilidad de obtener: a) dos o menos artículos defectuosos? b) más de dos defectuosos?
¿cuá. "
6 .. Las estadísticas sobre la aplicación de normas de seguridad en una fábrica indican que, en promedio, presentan 10 accidentes cada trimestre. Utilice la distribución de Poisson para determinar la probabilidad que no haya más de doce accidentes de trabajo en cada trimestre. 7. a)
El número de demandas presentadas a una compañía de seguros, en promedio (np) es de tres por día. C la probabilidad de que en un día cualquiera, no se presente ninguna demanda? b) por lo menos se presenten dos demandas?
a)
La probabilidad de que un cajero se equivoque en el pago de un cheque es de 0,0005. ¿Cuál es la probabi de que en 800 cheques pagados por dicho cajero: por lo menos se equivoque en el pago de tres cheques? b) máximo se equivoque en dos?
o 9. a)
La tasa de mortalidad de cierta enfermedad es de tres por mil. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de personas, más de dos mueran? b) como máximo dos mueral'l?
10. En promedio, doce personas por hora consultan a un especialista en decoración en un almacén de telas. es la probabilidad de que durante un período de diez minutos, a) por lo menos dos se acerquen al'especialista? b) no más de dos se acerquen al especialis;a11. Se estima que una de cada 10.000 personas es alérgica a cierta sustancia utilizada en la fabricación de-para el cabello, ¿cuál es la probabilidad de que 30.000 usuarias de tintes, a) por lo menos dos sufran reacciones alérgicas?' b) más de una sufra reacciones alérgicas? 12. El conmutador de una clínica recibe un promedio de 20 llamadas cada 2 minutos, ¿cuál es la probabj" que lleguen, a) exactamente 4 llamadas en un período de 30 segundos? b) como máximo dos llamadas en un período de 15 segundos? 13. a) b) c)
Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes. en el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente. en cualquier hora dada llegue más de uno.
Calcule la probabilidad
de que:
14. Los clientes de una cafetería llegan a razón de nueve, en un período de 30 minutos. Calcule la probab; --a) de que en la primera media hora por lo menos lleguen 4 personas. b) de que en los 10 primeros minutos no llegue ningún cliente. 15. El cierre de bancos por problemas financieros ha ocurrido a razón de 5,7 clausuras por año, a) encuentre la probabilidad de que ningún Banco sea cerrado durante un período de cuatro meses, b) por lo menos un Banco sea cerrado durante el semestre.
