AÑO DE LA DIVERSIFICACION PRODUCTIVA Y FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACION “
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA
“PROCESOS ESTOCASTICOS NORMALES”
CURSO
:
PROCESOS ESTOCASTICOS
DOCENTE
:
RICARDO ANTONIO ARMAS JUAREZ
INTEGRANTES : AGUILAR YANAYACO LUZ MARIBEL CARREÑO SUNCIÓN LOURDES GABRIELA
PIURA, JULIO DEL 2015
Procesos de Poisson En estadística y simulación, un proceso de Poisson, también conocido como ley de los sucesos raros, es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene una distribución exponencial con el parámetro λ, y cada uno de estos tiempos entre llegadas se supone que es independiente de otros tiempos entre llegadas. Es llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson (1781–1840).
Un proceso Poisson con intensidad (o tasa) tiempo continuo
, donde
es un proceso de contar en
es una colección de variables
aleatorias con las siguientes propiedades: 1. 2. Si
. , entonces
3. Para todo
.
y
, las variables
aleatorias 4. Para toda
son independientes. y
y
5. 6.
. .
Donde o(h) es una función tal que:
tienen la misma distribución.
Procesos de Poisson compuestos Un proceso estocástico {X(t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson compuesto si se puede representar como
Donde {N (t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson e {Yi , i ≥ 1} es una familia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que son independientes de {N(t), t ≥ 0}. El proceso de Poisson compuesto cumple las siguientes propiedades: 1.- Tiene incrementos independientes y estacionarios. 2.- E [X (t)]= λtE [Y] 3.- VAR [X (t)]=λtE [Y2] 4. - COV[X (t), X(s)] = λE [Y2] min{s,t} 5.-La función generadora de momentos de la variable X(t) es Mx(t)(u)=E(eux(t))=exp [λt(My(u)-1]
Para calcular la media de X(t) en primer lugar obtenemos
es decir,
Luego,
Para la varianza tenemos
es decir,
Entonces,
Procesos de Poisson mixtos
Definición: Un proceso de Poisson mixto con v.a mezclante Λ>0 es un proceso a tiempo continuo {X(t), t ≥ 0} con espacio de estados {0,1,2,…. } , si condicionado al evento (Λ= λ) , {X(t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson de parámetro λ. Es decir : a) Xo=0 b) Dado (Λ= λ) ,los incrementos son ind c) Dado (Λ= λ) para 0
CASOS PARTICULARES 1.- Cuando Λ es constante λ se recupera el proceso de Poisson 2.- Supongamos Λ=
prob . p 1 {λλ 1con 2con prob . p 2
Con p1+p2=1 Sean los procesos de Poisson {X(t1), t1 ≥ 0} de parámetro {X(t2), t2≥ 0} de parámetro
λ1 λ2
Entonces el proceso de Poisson mixto con v.a mezclante Λ es Xt =
1 {XtXt 12 sisi Λ=λ Λ=λ 2
