banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc. l = 6 cheques sin fondo por día e = 2.718
DISTRIBUCION DE POISSON En una clínica el promedio de atención es 16 pacientes por 4 horas, encuentre la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas y que en 180 minutos se atiendan 12 pacientes. Usamos la distribución de Poisson P(X=x) = exp(-λ) exp(-λ) * λ^x / x! **la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas λ=16 pacientes en 4 horas --> --> λ=4 pacientes/hora pacientes/hora --> --> λ=2 pacientes/media hora debemos calcular P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) P(X=0) = exp(-2) * 2^0 / 0! = 0.1353 P(X=1) = exp(-2) * 2^1 / 1! = 0.2707 P(X=2) = exp(-2) * 2^2 / 2! = 0.2707 P(X<3) = 0.6767 **en 180 minutos se atiendan 12 pacientes λ=16 pacientes en 4 horas --> --> λ=4 pacientes/hora --> 180 minutos = 3 horas --> --> λ=3*4=12 pacientes/cada 180 minutos minutos P(X=12) = exp(-12) * 12^12 / 12! = 0.1144
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc. l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Características: En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,: - # de defectos de una tela por m 2 - # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm 2 de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc. - # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc. Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. Solución: a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata 2.
donde: p(x , l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto e = 2.718 x = = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
b)
x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416
Ejemplos: 1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Solución: a)
c)
x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata
x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al
1
= 0.0498026 + 0.149408 = 0.199210622
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA NORMAL. "De acuerdo con National Geographic el 32% de los australianos que viven en el interior beben "tinnies" una cerveza local. De los 500 australianos seleccionados aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 150 hayan bebido una tinnie? Aplicas la distribución binomial por la normal.
Redondeando: -2.83 =0.0023←valor de las tablas. a)p(x>30)=1-0.0023=0.9977
❸- Un examen consta de 50 preguntas de cierto y falso. Si un Formula: z=(x-μ)/σ
alumno contesta las preguntas del examen al azar ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente:
p=0.32 Binomial por normal q=0.68 a)p(x≤150) p(x≤150.5) ←corrección de continuidad. c ontinuidad. n=500
a) más de 36 preguntas? b) Entre 23 y 29 preguntas inclusive?
E(x)=n.p=500(0.32)=160 E(x)=n.p=500(0.32)=160 v(x)=n.p.q=500(0.32)(0.68)=√108.8 v(x)=n.p.q=500(0.32)(0.68)=√108.8 σ=10.43
Formula: z=(x-μ)/σ p=0.5 Binomial normal
q=0.5 a)p(x>36) p(x>36.5) ←corrección de continuidad.
Aplicando la formula: z=(150.5-160)/10.43=-0.9108 buscando en las tablas.
n=50
Redondeando: -0.91 =0.1814←valor de las tablas.
E(x)=n.p=50(0.5)=25 x)=n.p=50(0.5)=25 v(x)=n.p.q=50(0.5)(0.5)=√12.5
σ=3.53 a)p(x≤150)= 0.1814 esta es la probabilidad de que por lo menos 150 hayan bebido una tinnie.
Aplicando la formula: z=(36.5-25)/3.5355=3.2527 buscando en la s tablas.
❶-Suponga que un sistema constituido por 100 componentes, cada uno de los cuales tiene una confiabilidad del 80%.Si esos componentes funcionan independientemente uno de los otros, y el sistema completo funciona correctamente cuando al menos 75 componentes funcionan. Calcule la probabilidad de que el sistema funciona correctamente.
Redondeando: 3.26 =0.9994←valor de las tablas. a)p(x>36)=1-0.9994=0.0006
b) p(23≤X<≤29)
Resuelva considerando una aproximación con la distribución normal. Formula: z=(x-μ)/σ p=0.80 Binomial normal
aplicamos el factor de corrección necesario al aproximar una distribución discreta por una continua. z=(22.5-25)/3.5355=-0.7071
q=0.20 a)p(x≥75) p(x≥74.5) ←corrección de continuidad. n=100 E(x)=n.p=100(0.80)=80 E(x)=n.p=100(0.80)=80 v(x)=n.p.q=100(0.8)(0.2)=√16
z=(29.5-25)/3.5355=1.2728
σ=4
p(x<1.2728)-p(x<-0.7071)=
Aplicando la formula: z=(74.5-80)/4=-1.375 buscando en las tablas. Redondeando: -1.38 =0.0838←valor de las tablas. a)p(x≥75)=1-0.0838=0.9162
0.8985-0.2398=
❷- una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente el
❹-Un examen de opción múltiple consta de 30 preguntas con
0.6587
5% de sus píldoras para el control natal tiene un ingrediente que está por debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 30 píldoras en una muestra de 1000 sea ineficaz? a) Resuelva considerando una aproximación con la distribución normal.
a)calcula la probabilidad de que conteste co rrectamente más de 25 preguntas ?
Formula: z=(x-μ)/σ p=0.05 Binomial normal
b) para aprobar este examen se requieren más de 20 preguntas correctas ¿cuál es la probabilidad de que apruebe?
cinco respuestas cada una y solo una de ellas es la correcta, si el alumno no conoce la respuesta de 15 de ellas y las contesta al azar.
q=0.95 a)p(x>30) p(x>30.5) ←corrección de continuidad. n=1000
Formula: z=(x-μ)/σ p=1/5 Binomial normal
E(x)=n.p=1000(0.05)=50 E(x)=n.p=1000(0.05)=50 v(x)=n.p.q=1000(0.05)(0.95)=√47.5
q=4/5 a)p(x>10) p(x>10.5) ←corrección de continuidad.
σ=6.89
n=15
E(x)=n.p=15(1/5)=3 v(x)=n.p.q=15(1/5)(4/5)=√2.4 σ=1.54
Aplicando la formula: z=(30.5-50)/6.89=-2.8301 buscando en las tablas.
2
Aplicando la formula: z=(10.5-3)/1.54=4.87 buscando en las tablas.
Redondeando: 4.87 =←valor de las tablas. Nota: cuando el valor es mayor 3.59 el resultado de las tablas es igual a 1 Realizando cálculos , obtenemos:
a)p(x>10)=1-1=∅ b) a)p(x>5) Formula: z=(x-μ)/σ p=1/5 Binomial normal q=4/5 a)p(x>5) p(x>5.5) ←corrección de continuidad. n=15
TEOREMA DE BAYES La probabilidad que un hombre casado vea cierto programa de la televisión, es 40%, la probabilidad que su esposa vea el mismo programa es 50% y la probabilidad que el hombre vea el programa dado que su esposa lo vio es 70%. ¿cual es la probabilidad que al menos uno de los esposos vea el programa?
E(x)=n.p=15(1/5)=3 v(x)=n.p.q=15(1/5)(4/5)=√2.4 σ=1.54 Aplicando la formula: z=(5.5-3)/1.54=1.6233 buscando en las tablas.
H --> el hombre ve el programa M --> la mujer ve el programa.
Redondeando: 1.62 =0.9474←valor de las tablas.
P(H)=0.40
b)p(x>5)=1-0.9474=0.0526
P(M)=0.50
distribución hipergeometrica
P(H|M)=0.70 --> P(H|M)=P(H y M)/P(M) --> P(H y M) = P(H|M)*P(M) P(H|M)*P(M) = 0.70*0.50 = 0.35
5 fabricantes producen en determinado dispositivo cuya calidad varia de un fabricante a otro. si usted elige 3 fabricantes al azar, hallar la probabilidad que la seleccion contenga 2 de las 3 mejores.
Debemos calcular la probabilidad que al menos uno de los esposos vea el programa:
Es un caso de distrIbución hipergeométrica:
P(H o M) =P(H) + P(M) - P(H y M) = 0.40 + 0.50 - 0.35 = 0.55
P(X=x) = C(d,x) * C(N-d,n-x) / C(N,n)
TEOREMA DE BAYES
N --> tamaño de la población N=5
1- en cierta cuidad el 40% de la poblacion tiene cabello castaño, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tien los ojos y cabello castaño. si se escoje una persona al asar calcular :
d --> elementos favorables en la población d=3 (los tres mejores) n --> tamaño de la muestra : n=3
a) si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad q ta mbien tenga ojos castaños
P(X=2) = C(3,2) * C(5-3,3-2) / C(5,3)
b) si tien ojos castaños, cual es la pobabilidad de q tenga cabello castaño
P(X=2) = C(3,2) * C(2,1) / C(5,3) P(X=2) = 0.6 --> 60%
c) cual es la probabilidad de q tenga cabellos y ojos castaños.
Ejercicios: Distribución Hipergeométrica
Eventos:
Ejercicio:
C --> Cabello castaño
En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.
O --> Ojos castaños. Nos dicen que:
¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?
P(C)=0.40
Es una distribución hipergeométrica , co n los siguientes parámetros:
P(O)=0.25 P(C∩O) = 0.15
N=tamaño de población =20
a)os piden P(O|C)
n=tamaño de muestra=12
P(O|C) = P(C∩O) P(C∩O) / P(C) = 0.15/0.40 = 0.375
A=éxitos en la población=rosas=8
bNos piden P(C|O) =
k=éxitos en la muestra=rosas=3
P(C|O) = P(C∩O) / P(O) = 0.15/0.25 = 0.6 cP(C∩O)= 0.15 según el enunciado.
Sustituimos los valores en la fórmula general:
3
TEOREMA DE BAYES
Utilizando el teorema de Bayes
1- Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80% de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?
P(C1|D) = P(D|C1)*P(C1) / { P(D|C1)*P(C1) P(D|C1)*P(C1) + P(D|C2)*P(C2) P(D|C2)*P(C2) P(C1|D) = 0.625*0.5 / ( 0 .625*0.5 + 0.75*0.5) P(C1|D) = 0.4545 La probabilidad buscada es 0.4545 --> 45.45% TEOREMA DE BAYES
Eventos:
-el 5% de la produccion de sacos de café es rechazada cuando el cultivo tiene la plaga controlada. Si la plaga se sale de control, el 30% de la produccion de sacos de café es rechazada. La probabilidad marginal que la plaga este controlada es 0.92. Si se escoge un saco aleatoriamente y se sabe que va a ser rechazado ¿Cúal es la probabilidad que el cultivo tenga controlada la plaga?
D --> Sufrir deterioro --> D' Estar sano T --> Trastorno detectado Nos dicen que P(D)=0.20 --> P(D') = 0.80
Sucesos :
P(T|D)=0.80
R --> Saco rechazado
P(T|D') = 0.03
P --> Plaga controlada : P' --> Plaga no controlada
Nos piden calcular P(D|T) :
Nos dicen que
Por el teorema de Bayes:
P(R|P) = 0.05
P(D|T) = P(T|D)*P(D) / { P(T|D)*P(D) + P(T|D')*P(D') }
P(R|P') = 0.30
PD|T) = 0.80*0.20 / { 0.80*0.20 + 0.03*0.80 }
P(P) = 0.92 --> P(P') = 1-0.92 = 0.08
P(D|T) = 0.8696
Nos piden
TEOREMA DE BAYES
P(P|R)
-Se recibieron dos cajas de camisas para hombre provenientes de la fabrica, La caja 1 contenia 25 camisas deportivas y 15 de vestir y la caja 2 30 deportivas y 10 de vestir . Se eligio a azar una caja y se selecciono aleatoriamente una camisa de esa caja para inspeccionarla y la camisa resulto ser deportiva ¿ Cual es la probabilidad de que la caja de la que proviene la camisa sea la caja uno?
P(P|R) = 0.6571
Sucesos
La probabilidad buscada es 0.6571
Por el teorema de Bayes P(P|R) = P(R|P)*P(P) / ( P(R|P)*P(P) + P(R|P')*P(P') P(P|R) = 0.05*0.92 / ( 0.05*0.92 + 0.30*0,08)
D --> Camisas deportivas
Distribución multinomial
V --> Camisas de vestir C1 --> Caja 1
En una fiesta, el 20% de los asistentes son españoles, el 30% franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que 2 sean españoles y 2 italianos?
C2 --> Caja 2 La probabilidad de escoger cualquier caja es P(C1)=1/2 = 0.5 P(C2)=1/2 = 0.5
Aplicamos el modelo:
Según el enunciado la probabilidad de cada tipo de camisa en cada caja es P(D|C1)=25/(25+15) = 25/40 = 0.625
Luego
P(V|C1)=15/(25+15) = 15/40 = 0.375 P(D|C2) = 30/(30+10) = 30/40 = 0.75
P = 0,0384
P(V|C2) = 10/(30+10) = 10/40 = 0.25 1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?,
No piden calcular cual es la probabilidad de que la caja de la que proviene la camisa sea la caja uno si ha salido un camisa deportiva es decir, P(C1|D)
4
b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto?
8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul.
Solución: a) n = 9 x1= # de delegados que llegan por aire = 3 x2= # de delegados que llegan en autobús = 3 x3= # de delegados que llegan en auto = 1 x4= # de delegados que llegan en tren = 2
Solución: a) n = 6 x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde = 0.52 x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08
p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40 p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20 p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30 p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10
b) n=9 x1 = 4 por aire; x2 = 1 en autobús; x3 = 2 en auto; x4 = 2 en tren;
b)n = 6 x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde=0.52 x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08
p1 = 0.40 p2 = 0.20 p3 = 0.30 p4 = 0.10
c) n=9 x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30 x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70
2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros. Solución: a) n=8 x1 = 5 rojos; x2 = 2 negros; x3 = 1 blanco;
b) n=8 x1 = 3 rojos; x2 = 2 negros; x3 = 3 blancos;
p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50 p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25 p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25
p1 = 0.50 p2 = 0.25 p3 = 0.25
3.Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un
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