NIVELACION Números Enteros, Razones y Proporciones, Porcentajes

i c a á t 5 6 m 9 0 1 234 5 7

e

Módulo Nº 2

t

a

Plan de Nivelación

M

Matemática 2006 MÓDULO 2

Contenidos

Números Racionales Razones y Proporciones Porcentajes

8 7 6 5

4

3 2

1

8 9 0

6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación

Números Racionales Éstos están formados por los números enteros y todos los números que se pueden escribir como una fracción cuyos numerador y denominador son números enteros, pero el denominador es diferente de cero. Ejemplo de números racionales son: –0,3

– 1

8

51,2 – 51

2

– 8 7

– 7

0,5555... a

Observación:: Signo de una fracción: – ba = –b = – Observación

a b

Todo decimal tiene una parte entera y una parte decimal 51,17 parte

parte decimal

entera

0,35

Período de la parte decimal de número

Números decimales periódicos Número decimal periódico

0,7 0,3 3,5 –

0,35

Notación fraccionaria

7 9 3 1 = 9 3

3

5 9

35 – 35 99

Transformación de un número decimal periódico a notación fraccionaria 1.

El numerador queda queda formado por las cifras del número número decimal.

2 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

2.

El denominador denominador queda formado por tantos 9 como cifras tenga el período.

3.

Si el número es mayor mayor a 1, la parte entera se mantiene igual y se le resta al número formado por todas las cifras que posea dicho número, en el numerador de la fracción. 3

1

Ejemplos: 1) 0,3 = 9 = 3

2) 1,3 =

13 – 1 9

12

6 0 0 2 a c i t á m e t a M

4

= 9 = 3

Números decimales semiperiódicos Número decimal semiperiódico

Notación fraccionaria

0,07

7 90

0,25

23 90

0,34

31 90 117 990

0,118

Transformación de un número decimal semiperiódico a notación fraccionaria 1.

El numerador de la fracción fracción queda formado por la la diferencia de la la parte decimal del número número y el anteperíodo.

2.

El denominador de la fracción fracción queda formado por tantos tantos nueves (9) como cifras tenga el período y tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperíodo.

3.

Si el número decimal es mayor a 1, la parte entera se mantiene igual, y el numerador queda formado por la diferencia entre todas las cifras del número decimal menos el número entero y el anteperíodo.

Ejemplo: 0,225 =

225 – 2 990

223

= 990

Orden y densidad en los números racionales El conjunto de los números racionales es denso, debido a que entre dos números racionales cualesquiera siempre podemos intercalar otros.


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación Para comparar decimales, resulta conveniente expresar todos los números con la misma cantidad de cifras decimales. Ejemplo: Para ordenar de menor a may mayor or los siguientes números racionales 0,38 ; 0,38 y 0,38 los expresamos mediante 0,3888...... ; 0, 3838... y 0,3800... Ahora resulta muy fácil saber que el orden, de menor a mayor, según la comparación de sus cifras decimales es: 0,38 ; 0,38 ; 0,38.

Adición y Sustracción de Números Racionales Sean a, b, c, d diferentes de cero c a ± = d b

a·d±b·c b · d

con b · d = m.c.m. (b, d )

Multiplicación y División de Números Racionales • Para multiplicar fracciones debes multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

a c a·c · = b d b · d

con b y d ≠ 0

• Para dividir dos fracciones, el dividendo se multiplica por el inverso multiplicativo o recíproco del divisor:

d a c : = a · con b, c y d ≠ 0 b d b c

Observación: Todo número racional tiene un elemento inverso multiplicativo o recíproco. Observación: a b a b es el recíproco de , porque: · = 1, con a y b ≠ 0 b a b a

Potencias de 10 aplicadas a notación numérica Ejemplo: 2.358 = 2 · 1.000 + 3 · 100 U

C UM

D


+ 5 · 10 + 8

,

con UM : Unidad de mil C : Centenas D : Decenas U : Unidades

6 0 0 2

Luego se escribe en cada caso el exponente e xponente que corresponda: 2.358 = 2 · 103

a c i t á m e t a M

+ 3 · 102 + 5 · 101 + 8 · 100

Al escribir el número 2.358 de esta forma decimos que lo hemos escrito como una suma de ponderados de potencias de 10.

Notación científica Para expresar un número en notación científica, éste se debe descomponer en dos factores: El primero de ellos es un número mayor o igual a 1 y menor que 10, y el segundo factor es una potencia de 10. Ejemplo: 70.000.000 = 7 · 107

Para multiplicar 12.000.000 · 0,00 3, usando notación científica escribimos = (1,2 · 107) · (3 · 10 – 3) = (1,2 · 3) · (107 · 10 – 3) = 3,6 · 104 Entonces el producto de 12 .000.000 · 0,00 0,003 12.000.000 3 es 3,6 · 104

Ecuaciones con números racionales Ejemplos: 2

–1

a) 5 x = 4 8x = – 5

–5 = 8 –5 1 · x = 8 –5 x= 8 8x 8

/ · 20 / :8

b)

x–2 1 3 + = 2 4 4

(

/·4

)

x–2 1 3 4· 2 +4· =4· 4 4 2 + (x – 2) = 3

x=3


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación Ejercicios Propuestos 1.

Escribe los los siguientes siguientes decimales como fracción: fracción: a) – 0,4 b) 0,41 c) – 2,01 d) 6,38 e) 0,28 0,421 f) – 0,421 g) 0,302 h) 5,23 i) 2,171

2.

Escribe >, <, =, según corresponda. corresponda . 7 13

3 7

b) – 4

– 3

c) – 0,4

– 1,2

d) – 6,2

– 2

a)

3

e) 0,34

2

5 0,34

0,3 f) – 0,3

0,5 – 0,5

g) 0,7

9 10

h) 0,2

2 9


3.

6 0 0 2

Resuelve las siguientes adiciones adiciones y sustracciones sustracciones de números números racionales. a) 1 + – 8 2


16

b) – 1,36 + – 0,456 c) 4 1 + – 1 1 8

2

d) – 3 – – 3 5

7

e) – 6,23 – 8,5 f) – 2 1 – 2 1 4

8

– 15 g) 89,4 – – 15,2 h) – 0,0015 + 0,005 i) – 4 1 + 2 2 + 0,5 4

j)

1 3

3

– 2 + 0,5 9

k) 0,16 + 0,16


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación 4.

Resuelve las siguientes siguientes multiplicaciones multiplicaciones y divisiones de de números racionales: racionales: a) 5 ∙ – 9,6 b)

( ) 5 6

2

c) – 5 ∙ 0,1 d) 2 ∙ – 2 3

5

e) – 3 ∙ – 4 1 ∙ 3 2 3

4

5

f) – 4 ∙ – 1 ∙ – 5 5

5

1

g) 0,3 ∙ 6 ∙ 9 h) 1 : 5 2

i) – 1 : 3 8

4

1 4 : j) – 3

12 k) – 9 : – 12 27

l) m)

–5 2 5 –5 6 10

n) (1,01)3


5.

6 0 0 2

Resuelve los siguientes siguientes ejercicios ejercicios combinados: combinados:


a) (5 + 6) : – 1,4 =

b) (5 + – 6 + – 1,4) : 3 =

c)

–5

=

8 8

( )

d) 0,2 + 1 · 5 – –1 3

e) 0,2 + 3·

f)

1 3

2

[ ( ) ]

1 1 · 5 – 3 2

2

+ 16 · –1 4

2


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación

Razones y Proporciones Razón Una razón es una comparación entre dos cantidades que se expresa mediante un cuociente, es a decir, una razón se puede escribir esc ribir:: “ a es a b” o bien o bien a : b b

Orden en una razón En una razón, al anotar las cantidades, debemos mantener el orden en que se nombran los elementos que se están comparando. Resulta conveniente expresar la razón en la forma más simple posible. Ejemplo: En una fiesta de cumpleaños participaron 18 mujeres y 26 hombres, luego podemos afirmar que a) La razón entre los los hombres y las mujeres que participaron es de 26 a 18 ó b) La razón entre las mujeres mujeres y el total de los asistentes a la fiesta es de

18 44

ó

26 18 9 22

ó

13 9

.

.

Proporción a

c

a

c

Si y son razones equivalentes, se puede formar la siguiente proporci proporción: ón: = , es decir, a b d b d es a b como c es a d , en la cual se cumple que a · d = b · c Ejemplo: Se quiere ampliar una fotografía que tiene 9 cm de ancho por 15 cm de largo de manera de obtener una fotografía que tenga 24 cm de ancho. ¿Cuánto será el largo de la nueva foto? Luego, al realizar las comparaciones entre las medidas, se obtiene la proporción, la cual se 9 24 escribe por: = , donde x representa el largo buscado. Al aplicar la relación anterior se x 15 puede observar que el valor buscado se obtiene por: x = 24 ·15 = 40. Finalmente, el largo de 9 la nueva foto será de 40 cm.

Proporcionalidad directa e inversa proporcionales cionales si: • Dos magnitudes son directamente propor

Al aumentar una de ellas en cierta cantidad de veces la otra lo hace de la misma forma.


6 0 0 2

Ejemplo: Si una de ellas se duplica, la otra también se duplica.


Al disminuir una de ellas en cierta cantidad de veces la otra lo hace de la misma forma. Ejemplo: Si una disminuye a la tercera parte, la otra también lo hace. proporcionales cionales si: • Dos magnitudes son inversamente propor

Al aumentar una de ellas en cierta cantidad de veces, la otra se disminuye disminuye en esa cantidad de veces. Ejemplo: Si una se duplica, la otra se reduce a la mitad. Al disminuir una de ellas en cierta cantidad de veces, la otra aumenta en esa cantidad de veces. Ejemplo: Si una de ellas disminuye a la tercera parte, la otra se triplica.

Proporcionalidad Directa. Dos magnitudes son directamente proporcionales: i) Si al aumentar una de ellas, el valor de la razón o cuociente entre las las variables (k) se y mantiene constante, es decir: = k. x

ii) Si su gráfico son puntos pertenecientes a una misma misma recta de de pendiente positiva. iii) Si su variación se puede describir con la siguiente siguiente ecuación: y = k ⋅ x .

Observación:: Si y = k , k recibe el nombre de constante de proporcionalidad, con x ≠ 0. Observación x

Ejemplo: Supongamos que un estudiante escribe en un computador un promedio de una página tamaño carta en 5 minutos. ¿Cuántos minutos se demora en escribir 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 páginas? y =k x

N° de páginas

Cantidad de minutos

(x)

( y)

1

5

2

5 10

3

15

5

4

20

5

5

25

5

6

30

5

7

35

5

8

40

5

5


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación Proporcionalidad inversa Si dos variables son inversamente proporcionales, se presentan las siguientes características entre ellas: El producto entre las variables es constante, es decir: x · y = k . Su gráfico es una curva llamada hipérbola. Ésta nunca intersecta los ejes coordenados, sólo se acerca. Ejemplo: Se construye el piso de una pieza de 2,40 m de ancho por 3 m de largo. Para ello se ocuparán tablas con las siguientes medidas: 3,20 m de largo y un ancho variable entre 6 y 20 cm. En la siguiente tabla, x representa el ancho de la tabla en cm, mientras mientras que y representa la cantidad de tablas necesarias para cubrir la totalidad del piso de la pieza que está construyendo construyendo.. Ancho de la tabla en cm(x)

Cantidad de tablas (y) y

x·y=k

6

240

8

40 30

10

24

240

12

20

240

20

12

240

240

El siguiente gráfico muestra los valores que se obtuvieron en la tabla, los cuales posteriormente se unieron con una línea curva. Número de tablas

Y 40

30

20

12 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Ancho de

X la tabla (cm)

Observación: Para resolver un problema debes imaginar la situación, pensar, aplicar tus conocimientos, responder la pregunta y verificar si tu respuesta es pertinente a la situación.


6 0 0 2

Ejercicios Propuestos 1.


Una pareja de abuelos tiene 12 nietos y 18 nietas. a) ¿Cuál es la la razón entre entre las nietas nietas y los nietos?

b) ¿Cuál es la razón entre las nietas nietas y el total de nietos?

2.

Encuentra el término desconocido en las siguientes siguientes proporciones: proporciones: =

5 6

=

a 20

c) x – 1

=

3 0,2

d) 3

=

x 1 2 2 2x 5

a) x

30

b)

2,5 5

3

4

e) 7x – 4 = 0,5

f)

n 20

=

g)

1

=

h) i)

32 40 1

3 4 3 = 0,25 1 – 4 –2x + 1 = 20 1 2

2 m – 4x 2


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación 3.

Completa la siguiente siguiente tabla considerando que la variación entre entre sus valores valores se describe por la ecuación y = 15.000 · x. x y

1

5

10

15

20

25

• Completa la siguiente tabla considerando que la variación entre sus valores se describe por la ecuación y = 120 . x

x y

20

30

40

60

Porcentajes Puedes pensar en porcentajes como una razón que se compara con 100. El símbolo % representa por ciento o por cada 100. Razón

Fracción

Decimal

Porcentaje

25 100

1 4

0,25

25%

1 100

1 100

0,01

1%

20 100 80 100

1 5 4 5

30 100

0,2

20%

0,8

80%

3 10

0,3

30%

75 100

3 4

0,75

75%

75 100

1 8

0,125

12,5%

Cálculo de porcentajes Cálculo del porcentaje de una cierta cantidad dada Ejemplo: Se hizo una encuesta a 2.526 alumnos de un colegio y se preguntó ¿en qué actividades extracurriculares extracurricular es tú participas? El resultado se presenta en la tabla adjunta. 14 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

6 0 0 2

Preferencia de actividades extracurriculares Actividades extracurriculares


Porcentaje de alumnos

Teatro

48%

Deporte

82%

Pintura

16%

Baile

54%

Guitarra

36%

Si queremos calcular la cantidad de alumnos que eligieron Deporte, es decir, el 82% de 2.526, la respuesta, considerando que x representa el 82% de 2.526, se puede expresar de varias formas: i)

82 100

=

x 2.526

ii)

82 100

· 2.526 = x

iii) 0,82 · 2.526 = x

iv)

82 · 2.526 100

=x

Todas las operaciones anteriores se resumen en efectuar una simple proporción entre el porcentaje y la cantidad total entregada, la cual representará un 100%. En este caso, la respuesta, respue sta, luego de haber efectuado las multiplicaciones y divisiones respectivas, es 2.071,32 , lo que se traduce en 2.071 alumnos del colegio.

Cálculo del porcentaje de una cantidad respecto de otra Ejemplo: El total de población chilena mayor de 18 años durante el año 2000 fue de 10.100.354 de habitantes. Si de esta población 4.930.636 son hombres, ¿qué porcentaje de la población mayor de 18 años es hombre? x · 10.100.354 = 4.930.636 100 x 4.930.636 b) = 100 10.100.354 4.930.636 c) · 100 = x 10.100.354 100 · 4.930.636 d) x = 10.100.354

a)


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación Todas las operaciones anteriores se resumen en efectuar una proporción entre el porcentaje buscado y las cantidades entregadas, las cuales representan un 100% (10.100.354) y a un x% (4.930.636). En este caso, la respuesta luego de haber efectuado las multiplicaciones y divisiones respectivas, es 48,81646722 , lo que se traduce en un 49% de mayores de 18 años aproximadamente.

Cálculo de la cantidad total sabiendo un porcentaje de ella Ejemplo: En el cine, el día miércoles pagas el 40% del valor de la entrada si acreditas que eres estudiante. Si pagas $ 1.100, ¿cuál es el valor real de la entrada? Las siguientes estrategias te permiten obtener la respuesta: a)

40 x = 1.100 100

b) 0,4 · x = 1.100

c)

40 100

d)

1.100 · 100 40

=

1.100 x

=x

La entrada posee un valor de $ 2.750.

Porcentajes aplicados al cálculo del IVA Una forma en que el Estado recauda fondos es a través del cobro de impuestos. Uno de estos impuestos es el IVA (Impuesto al Valor Agregado), que corresponde actualmente al 19% del precio original de cualquier artículo.

Observaciones: 1)

Dado el precio total para calcular el precio neto neto se puede dividir por 1,19.

2)

Dado el valor del IVA, IVA, para calcular el precio neto se puede dividir dividir por 0,19.

Ejemplo: Se debe hacer una factura por un valor total de $ 48.000 (IVA incluido incluido).). Se debe especificar el precio sin IVA (valor neto) y el monto del IVA (19% del neto). Precio Neto: + IVA: Total: $ 48.000 Según lo anterior, el precio total se debe dividir por 1,19. Luego el IVA es de 7.663,8655... Es decir, el 19% de $ 48.000 es aproximadamente de $ 7.664, siendo el valor neto de $ 40.336.


6 0 0 2

Porcentajes aplicados al cálculo de intereses


Interés Simple Sean: K : capital inicial C : capital acumulado

n: períodos i : tasa de interés simple,

el interés simple de este capital será igual a: C = K · (1 + n · i )

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de tres meses a una tasa de interés simple mensual de un 10% sobre un capital inicial de $ 5000. C = 5.000 + 0,1 · 5.000 + 0,1 · 5.000 + 0,1 · 5.000 = 5.000 (1 + 3 · 0,1) = 5.000 · 1,3 = 6.500 C = $ 6.500

Interés Compuesto Sean: K : capital inicial C : capital acumulado

n: períodos i : tasa de interés simple,

el interés compuesto de este capital será igual a: C = K · (1 + i )n

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de 3 meses a una tasa de interés compuesto de un 10% sobre un capital inicial de $ 5.000. Capital acumulado al primer mes: Capital acumulado al segundo mes: Capital acumulado al tercer mes: o bien:

C 1 = 5.000 + 5.000 · 0,1 = $ 5.500 C 2 = 5.500 + 5.500 · 0,1 = $ 6.050 C 3 = 6.050 + 6.050 · 0,1 = $ 6.655

C = 5.000 (1 + 0,1)3 = 5.000 (1,1)3 = 5.000 · 1,331 C = $ 6.655


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación Ejercicios Propuestos: 1.

Calcula: a) 30% de $ 60.000 b) 45% de 700 kg c) 2% de $ 70.000 d) 25% de 500 personas e) 45% de 2

1 2

kg

• Determina: a) ¿De qué número es 29 el 58%? b) ¿De qué número es 1 el 200%? c) ¿De qué número es 4 el 0,2%?

• Calcula: a) ¿Qué porcentaje es 40 de 200? b) ¿Qué porcentaje es 28 de 1.400? c) ¿Qué porcentaje es 62 de 5?

2.

El 84% de un total de 2.000 alumnos que rindió el examen final de Matemática aprobó. a) ¿Cuántos alumnos aprobar aprobaron? on? b) ¿Qué % de los alumnos no aprobó? aprobó? c) ¿Cuántos alumnos reprobar reprobaron? on?


6 0 0 2

Actividades Propuestas


Números Racionales 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 1 x + 4 = 16 4

– x

b) 16 = 8 c) x – 3 = 5 4

d)

1 1 x – 2 4

=

7 12

e) 3 a – 1 = 2 2

4

f)

1 3

5

–1

+n= 2

g) 2x – 1,9 = – 3,2 h) 4 = i)

1 2

–5 x+1 6

+

3 –1 x= 4 8

j) 2 – x + 5 = –1 3

k) 0,5 –

2

1 x = 0,2 2

2 l) x – 5x – 3 = 3x – 5

3

m) x – (5x + 2) –

x = 1,5 2

n) 1 (x + 4) = 6 2

ñ) –3 x + 0,5 = – 1 1 – 0,5 4

2


6 0 0 2

Nivelación

–3 o) 2 (x + 1) = (x + 2)


5

3

p) 1 + 3x = 2x + 5 2

q) 1 x + 0,3 = 1 3

r) 0,5x = – 1,5 2.

Completa las siguientes tablas: a)

x

b)

x

1 6

–1 2

0,4

–1 3

–3 8

0,1

2

3.

4x

6x +

1 2

Determina el número en notación decimal que corresponde corresponde a: a) 4 ∙ 10 – 1 + 8 ∙ 10 – 2 + 1 ∙ 10 – 3 + 6 ∙ 10 – 4 b) 7 ∙ 100 + 8 ∙ 10 – 1 + 6 ∙ 10 – 2

4.

Escribe en notación científica científica los siguientes números: números: a) b) c) d) e) f) g) h)

0,000000002 30,001 0,00000202 55.342.000 6.200.000.000 0,00000074 24.500.000 716.000


5.

Escribe cada número en su notación decimal. decimal. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

6.

6 0 0 2 a c i t á m e t a M

2,7 ∙ 10 – 4 5,5 ∙ 10 – 7 9 ∙ 10 – 9 3,26 ∙ 10 – 8 3 ∙ 10 – 5 4,7 ∙ 10 – 8 9,09 ∙ 1012 3,025 ∙ 1015 7 ∙ 103 11 4 ∙ 10 – 11

9,3 ∙ 105 5,8 ∙ 109

Calcula y expresa tu resultado en notación científica. científica. a) 75∙580 ∙ 105∙000 b) 35∙000 ∙ – 0,0000007 c) 0,00055 : 0,00011 d) 144∙000∙000 : 0,000012

7.

e)

0,0032 · 0,16 0,0000008

f)

0,000003 · 0,1 23,25 . 0,0005

Escribe una ecuación para para resolver cada uno de estos problemas problemas y luego desarróllalos: desarróllalos: a) Si 3 de un número es restado del número, se obtiene el doble del número, disminuido 5 en 8. ¿Cuál es el número?


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación b) Macarena sacó de sus ahorros cierta cantidad de dinero, se gastó la tercera parte en comprarse una polera y le regaló a su hermano la cuarta cuar ta parte del dinero que le quedaba. Si ella se quedó con $ 4.500

• ¿cuánto le costó la polera? • ¿cuánto dinero le regaló a su hermano? c) Si a un número le resto 1 y le sumo 3 me resulta 2. ¿Cuál es el número? 2

4

d) ¿Cuántos octavos octavos le faltan a la fracción 1 para obtener 5 como resultado? 2

e) Carolina arrendó arrendó un auto por el día. El valor del cargo fijo es de $ 16.000 más $ 610,5 por kilómetro. ¿Cuántos km recorrió en el auto si pagó $ 27.900? f) El cociente de un número y cuatro es lo mismo que el número disminuido en 33. ¿Cuál es el número? g) Al aumentar en 20 unidades se obtienen 5 del número original. ¿Cuál es el número? 2

3

h) Después de de vender vender 5 de una pieza de género quedan 20 metros. ¿Cuántos metros de género tenía la pieza? i) Los ahorros de Claudia aumentados aumentados en la mitad de sus ahorros son son $ 150.000. ¿Cuánto son sus ahorros?

j) Un jarro tiene los 2 de su capacidad con jugo. Si Juan se toma 2,5 litros, quedará con los 5 12

3

de su capacidad. Para llenarlo nuevamente, ¿cuántos litros de jugo se necesitarán?


6 0 0 2

Razones y Propor Proporciones ciones 8.


Resuelve Resuel ve los siguient siguientes es problemas: a) En un rectángulo la razón entre el largo largo y el ancho es de 9 : 4. Si el largo lar go es 27 cm, ¿cuánto mide el ancho?

b) La razón entre el perímetro de un triángulo isósceles y su lado más largo es de 8 : 3. Si el perímetro es 32 cm, ¿cuánto mide el lado más largo?

c) Debes repartir $ 40.000 a dos amigos en la razón de 3 : 5. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

d) Debes repartir 180 kg de naranjas en bolsas de tal manera que queden en la razón de 1 : 5 : 6. ¿Cuántos kilogramos de naranjas deben ir en cada bolsa?

e) La razón entre el largo y ancho de una fotografía es de 5 : 3. ¿Cuál es el ancho de la fotografía si el perímetro es 96 cm?, ¿cuál es el largo de la fotografía si su área es 135 cm2?

9.

Determina si los datos de las tablas corresponden a una proporción directa, inversa o ninguna. Justifica. a) x 3 5 1 2

b) x 3 6 12

y 9 15 3 6

c)

x 3 4 5

y 6 8 15

y 8 4 2

d)

x 1 2 5

y 7 14 35


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Nivelación 10.

Considera la siguiente situación: “Para un campamento de scout de 40 niños se compran provisiones para 8 días”. a) Escribe una ecuación del tipo x · y = k que te permita calcular la cantidad de días que durarán las provisiones si van 25, 30, 32 y 50 niños. b) Calcula la cantidad de días que durarán las provisiones en cada caso.

emplead o en recorrer la pista es inversame inversamente nte proporcional 11. En una carrera de autos, el tiempo empleado al dinero que recibirán de premio. Si el primer lugar recibe un promedio de $ 1.000.000 por llegar a la meta en 5 minutos: a) ¿Cuánto recibirán el 2º y 3er lugar si han llegado a la meta a los 8 minutos y 10 minutos, respectivamente? b) ¿Cuál es la la constante de proporci proporcionalidad? onalidad? c) ¿Cuál es la la ecuación que representa este problema? problema?

12. Completa Completa la siguiente tabla la ecuación y = 240 . x

x y

20

30

40

considerando que la variación entre sus valores se describe por 60

13. El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo y la

altura de un estanque que se está

llenando de agua. Altura

80 60 40 20 0


1 2 3 4

5 6

tiempo (horas)

6 0 0 2

a) ¿En cuántas horas el estanque ha llegado a 80 cm de altura?


b) Si el estanque estanque comenzó a llenarse a las 12 horas del día, describe qué sucedió entre las 2 y las 5 de la tarde.

c) Compara la cantidad cantidad de agua que ingresó ingresó al estanque entre entre las 12 y las 2 horas y entre las 5 y las 7 horas. Da una interpretación a esta diferencia.

d) Señala si la variación descrita en este gráfico gráfico representa una variación variación proporcional

Porcentajes 14. Escribe Escribe cada

a) b) c) d) e) f)

decimal como porcentaje.

0,8 0,126 0,1 3,5 8,05 0,006

15. Escribe Escribe cada fracción

como porcentaje.

a) 5 b) c) d) e) f)

8 3 4 7 12 4 5 1 8 1 5 25 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

6 0 0 2

Nivelación 16. Escribe Escribe cada porcentaje como


a) b) c) d) e) f)

17.

decimal y como fracción.

60% 0,38% 0,07% 62,5% 136,75% 230%

De un total de 420 alumnos, la asistencia por mes durante el primer semestre fue la siguiente: Marzo: Abril : Mayo : Junio : Julio :

95% 90% 100% 80% 85%

a) ¿Cuántos alumnos asistieron asistieron a clases clases en el mes de mayo?

b) ¿Cuántos alumnos no asistieron a clases en el mes de junio?

18. Indica el

valor total de las siguientes cuentas:

a) Cuenta N°1: • 12 rollos de papel mural • 3 pegamentos • 1 escalera • 1 brocha Más el 19% del IVA: Total:


$ $ $ $

3.500 1.200 53.000 565

c/u c/u

6 0 0 2

b) Cuenta N°2: • 1 litro de aceite • 40 panes • 1 kg de detergente • 3 kg arroz • 2 kg de azúcar Más el 19% de IVA: Total: 19.

$ $ $ $ $

300 50 1.500 352 200


c/u c/u c/u

Gonzalo ganó un premio de $ 6.400.000. Decidió depositarlo en el banco a una tasa de interés del 4,5% anual. a) ¿Cuánto dinero dinero tendrá a fin de año? b) ¿Cuánto dinero ganaría en intereses intereses en 3 años si retira los intereses al término de cada año? c) ¿Cuánto dinero dinero ganaría en intereses intereses en 3 años si retira los intereses al término del tercer año? (interés compuesto)

20.

En una multitienda hay un aviso como el siguiente: TV color 14” (televisor color de 14 pulgadas) $ 325.850 Plan de pago: $ 25.000 pago contado y 24 cuotas con una tasa de interés del 20%.

a) Calcula cuál es el monto total de las 24 cuotas. b) Calcula el interés que deberá pagar en 1 año. c) Calcula el valor de cada cuota. d) Calcula el precio de la TV al final del pago.


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Solucionario

Solucionario Ejercicios Propuestos


a) –4 b)

9 41 99

c) –199 d) e)

99 632 99 26 90

f) –379 g) h) i)

2.

a) b) c) d) e) f) g) h)

900 299 990 518 99 215 99

> > > < < > < =


3.

a) 0 b) – 1,816 c)

21 8

d) –6 35

14, 73 e) – 14 –35

f) 8

g) 104,6 h) 0,0035 i)

–13 12

j)

11 18

k) 0,328

4.

6 0 0 2

48 a) – 48

b)

25 36

5.

a)

–5

c) 64

–4

d) 15

d) e) 221 20

1 2

h)

1 10

i) –2

37 18

e) 65 36

–4 5

g)


b) – 0,8

c) – 0,5

f)

–55 7

f) –3 2


3

a) 3 : 2 b) 3 : 5

12 j) – 12

k) 81

2.

a) x = 25

4

l)

–25 2

m) –1

b) a = 10 c) x = 46

12

d) x =

n) 1,030301

e) x =

15 8 10 17

f) n = 16 g) m = 6 h) x = – 6 i) x =

11 2 29 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

6 0 0 2

Solucionario


x y

3.

Actividades Propuestas 1

5

10

15

20

25

15.000 75.000 150.0000 225.000 300.000 375.000


x y

20

30

40

60

6

4

3

2

a) x = 48 128 b) x = – 128

c) x = 32 Porcentajes 1.

a) $ 18.000 b) 315 kg c) $ 1. 400 d) 125 personas e)

• a) b) c)

9 8

kg

50 0,5 2.000

5

d) x = 3 e) a = 6 f)

g) x = – 0, 65 h) x =

b) c)

20% 2% 1.240%

–18 5

i) x = –5 j) k)

• a)

5 –5 n= 6

l) m)

6 5 x= 2 3 x= 5 21 x= 55 –7 x= 9

n) x = 8 2.

a) 1.680 alumnos b) 16% c) 320 alumnos

10 3 –28 x= 19 9 x= 2 21 x= 10

ñ) x = o) p) q)

r) x = – 3 30 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

2.

5.

a)

x

x

2 3

– 2

0,4

1,6

–1 3

– 1

–3 8

–3 2

1 6

8

0,1

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

0,00027

6∙

a) b) c) d) e) f)

7,9359 ∙ 109 – 2,45 ∙ 10 – 2 5 ∙ 100 1,2 ∙ 1013 6,4 ∙ 102 2,58 ∙ 10 – 5

7.

a) x – 3 x = 2x – 8, con x = 5

1 2

6x +

–1 2

2

3.

b)

4x

1 2 1 2

1,1

a) 0,4816 b) 7,86

4∙

a) 2 ∙ 10 – 9

6 0 0 2

b) 3,0001 ∙ 101 c) 2,02 ∙ 10 – 6 d) 5,5342 ∙ 107


0,00000055 0,000000009 0,0000000326 0,00003 0,000000047 9.090.000.000.000 3.025.000.000.000.000 7.000 0,00000000004 930.000 5.800.000.000

e) 6,2 ∙ 109 f) 7,4 ∙ 10 – 7 g) 2,45 ∙ 10

7

5

b) x – x – 3

h) 7,16 ∙ 105

1 (x – x )= 4.500 4 3

• La polera le costó $ 3.000 • Le regaló a su hermano $1.500 c) x – 1

+

2

3 4

= 2, con x =

7 4

d) x + 1 = 5, con x = 36 8

2

e) 16.000 + 610,5x = 27.900, recorrió 19,5 km


6 0 0 2

Solucionario

f) x = x – 33, con x = 44 4 40 g) x + 20 = 5 x, con x = 3 2 3 h) x – 5 x = 20, con x = 50 metros. x i) x + 2 =150.000, conx =$ 100.000


5 x, con x = 10 litros. j) 2 x – 2,5 = 3

9.

10.

a) 12 cm b) 12 cm c) $ 15.000 y $ 25.000 d) 15 kg , 75 kg y 90 kg e) 18 cm y 15 cm

a) b) c) d)

Directa Inversa Ninguna Directa

Revisa profesor o profesora

11. a)

x y

20

30

40

60

12

8

6

4

13. a) 6 horas

b) revisa profesor o profesora profesora c) revisa profesor o profesora profesora d) revisa profesor o profesora profesora

12


12.

$ 625.000 el 2º lugar y $ 500.000 el 3er lugar

b) 5.000.000 y = 5.000.000 c) x · y


Porcentajes 14. a) 80%

b) c) d) e) f)

12,6% 10% 350% 805% 0,6%

15. a) 62,5%

b) c) d) e) f)

75% 58,3% 80% 12,5% 20%

6 0 0 2 16. a) 0,6 y

b) c) d) e) f)

3 5


19 0,0038 y 5.000 7 0,0007 y 10.000 0,625 y 5 8 1,3675 y 547 400 23 2,3 y 10

17. a) 420 alumnos b) 84 alumnos

18.

a) con 19% de IVA: $ 18.841, total: $ 118.006 b) con 19% de IVA: $ 999, total: $ 6.255

19. a)

$ 6.688.000 al término del primer año b) $ 864.000 c) $ 903.463

20. a)

$ 361.020 b) $ 30.085 c) $ 15.043 d) $ 386.020


6 0 0 2 a c i t á m e t a M

Solucionario Mis notas


6 0 0 2

Mis notas



NIVELACION Números Enteros, Razones y Proporciones, Porcentajes

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