s o r e t n e s o r e m ú N
n ó i c c u d o r t n I
, s l a s a n a a e s o s i v v o n n u i t a e o l c i t c i d a n i d i n o e e g r t ó e p s o o o i m t t c c n r e c a a a s e s t t p e r e n s i d a d e p n e e e t a o s o i e e m s d e i c r a i l a p D s e l u e . t o d b t a a i s s l s r e e h o a a c u s e l i s D u d a t d j . s i r é e r s a r e i a a f m b t r r v t r a e i i e a r r r s t a t a p a p g o n e o l a s s a e í f e í n a o n d s n r o v o o s e e e e i p d t i t c e e a o a d t n j e b r n d n n i e t u e o o e n r e p m a n e t o u a l a c t q i s s m e l c n a r s ú r a e s e n a y a t p e s m n r e r e e o l s p e d g t , o e l u b r e r s o a l o a t p l r o e s p e p r a b r u g e e P r c . a r a q n s r e t , i v e s o o o l s o d c v l o e s i a c n n l t a e a v e r e c ó i g n e e n n r e c á e d a c e r n s z e o r g e s i r d y t o o u n s p l q t o e o e x r i v c s e m s t e p t n a o n l a i n m . s o s o c m n o e s u e c l e p l l o t e v a p i n s n y t , y s e m a a o n i i r s g d e e s l e s e e u o a d t n m r r l s ú o n u o a n i e n t c a y l m a a s s u l e o n u n o a n l a , t e v i z a s s s d i t d i o l c l i o r a i s n i t r n e d e i u é e a i o p c n e m u m t s s u s u q ú n a e r o a e n a n s t r t e s u a r s e r o e q t e l p s e m p c u ú n n s e E e e r e d e s p n
D A D I N U A L E D S O D I N E T N O
C
, y s a s l , e o o s r r d l n a o e e e r e t t l o n . e l s n e n u e s t b e o d e l e e c n a n i r r s d t e s m e o s a e á r l t n e e o n t c ó i l s p s r n n e c o n b o e ó e e i l o s e d o d a r s l c o . i e e s c r c m s i e y n l e a e a a o ú n t p p m e í n z r r o i e i n o s l n e t a y ú u r i e t e p e n u s t i n q c e i m r m n a u e s i r d d i o O s s e e r ú t , n o o a a t y s n s c n l n m i o e M p e o a ó i s c m . e d n l p e i e d v s e s d d m s i e r C d l e c e y r o o t n j e o c e b l c l a d r a v g r o n o e n a o c i o i r r c e ó i ó r c e o t e o n t i e i a p p a r ó s n c i c n c d g d r d u é a a e o e e n n e y í a c z d c t a s i a n s g t d p ó n m s y r e r r u o i e o e e o e e s o l c s n n r n o t o v o d p e v e i u c i o p i l s r t ó l r a i l a i t r s a c i b e s p t a n t o c h r l o p e i l o n o m t c s a e s e c d m i i e e e n C d r R r r c e p s I a e d e r •
o c i t p ó n i s o r d a u C
1 Santillana Bicentenario
e d . a n s t c ó . i o r s e c . r e o s c t r . . a a o n s l e r s t t v e i o o s t n r n s r a e e e e u s o g t r t s y n e n e n n e ó e o i r n m s c e y s ó a ú o o s . t m i n r r ú c i o s n e n d e e e v o i r s . a m t d m i e e o ú e e ú s t r t n d n o n p d u n ó e l i p e e n e s c d . o s s r a s d ó i a . a y i o o c n b c c i r r n r a n c m s l e o e e e é r i ó a p ó l i i r b r s t c i t e l m m d m l o i t s v ú ú r u a d u o u i r n N N O n V A S P e M D • • • • • • • • •
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14 |
•
•
. , s o s o l e l e t o l n l s l l n d n e a s e e a r a e e s e a s i o r u d a s r u t r n e e a , c e q e a m i r a e d a v a s a p t t o s n n i l c á m i n c a s i o e r n s d e s e i o d b l c é e e r n m o n r v s b s é l o e i r o , m n o e e t o i o e e s m a r u d c s r m b p d c a a p i n r c l e u o m o o r e f r d ú r e a o a i i d e r m n r l a p p t t n ú o r n c s i g s i c e t b d i l t e s n n e d e u e s a V n n l o p n ó r s l i s v h ó s p F s a u l y i j c o n o n a o l a e y y r c s l m r n a i O e o s o u o s i e n o s c l e s l r c m r m e i o s u c e o s n c p s r n f q n l o ú s l a a i e ó o r e e a e v r u b i i o e i n n l m , r i c t e n i c r r n . d r o e s o a r d u r d e o l e s o i c a d t e f n y p o t t d s e a s o n n r n e r c a o o a á o t u s s e r t e r a e u r i e m s x s l p i e n t e e p l e e e e t e c r l p t c t p r b m s a c m a e e n n n t u o p a e t o o u e t m e s f m r o n e r e e ú C c q i t I n i s E m p c • • •
s o t e s c e d e o t e n p d z x s o s s e l a l e e e c a i a d i t d l n g n u s n e a o o o q e e t v c t c s n o a a r l n x e o d t n l o i t ó e e c n s i c a e d c n s n z s n l a o c a e a r i a t l t l s ó e m o s f a r i e v u e c n e l n d s a e y i b t y e u s l , s o a i o r i a s c s s i s t a p i f e o l v i a r e á g n e n e n e d g i o t a l a t d i s n s i c e l , a o . l r n y d n t , ó s a s a s i ó e t a a s i c o o c s n m r o u s n e l v l u a u l a e i r t o h o z b g i s e a s c e o l m l v i e i i r r t ú R d u n e r e r d p p • s o d i n s e o s t o n l l o e e c d s z d o e y l d l s o i o d a n v d . a a a i z s l z l o i i l r t d i i t a z u n u i l s e e a t o t t b n n n o a a e s i y i d l , m o u e i t d d s i a t e e v n c l u a l l e o r s o d p e r
s e l a s r e v s n a r t s e l a t n e m a d n u f s o v i t e j b O
. a i c a . c i f e t e n y a v d e l a e d i r r a n l ó c i c n a o c m r , s o f a i n . i p e o j a l a r z p r i a d s n n e o n i e c r o i c p c e a l c i o e t v s u . n y a a o c c e i o d t t y í n s . r s e e s c o i o t o t j m d i a a u n c i e d a i o c b a y r m n a t i o p a t c a y i c n l c s í t e e s a r s , e r l a r c s a a e e a d z y t i l i d t d a o i , u a e d s , i d t i e t d i v n n n a t e o d r e i s i f l a e l i l a r a e n e r c u y p o a d a l i o s l , v c l a i r s i r e a d d n c m i a c o l t i e d ó n b e n a o o d u m c r i l i y m e p o d r b a o c s v e d v n i y a l o x r e a d l i o p s s f c s e e e a r e r r r p p a e y t o x c d a n e í a l d e e i a y i d d m o s c n m a d é a o s r a n d t p e i e u p i l t a n c a l b i a l a e a l l e r r r h a r l a l a l a l l e l l r v o o o a o r r r r r r t i a a m a s s s c r o e r e e e j P D D D E • • • • •
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15 |
. s a n a m e s 5 a 4
o d a m i t s e o p m e i T
s e n o i c a v r e s b O
Esquema de la unidad NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS Números enteros
Orden y representación en la recta numérica
Valor absoluto
Operatoria
Adición
Multiplicación
Sustracción
División
Resolución de problemas
Sugerencias metodológicas PÁGINAS DE INICIO (Páginas 8 y 9)
Actividades complementarias • Comentar con los estudiantes situaciones en que se hace necesario extender el conjunto de los números naturales a números que representen cantidades negativas, mostrar ejemplos de información donde aparezcan cantidades negativas y analizar el significado de esta representación en ese contexto. Otro ejemplo cotidiano que puede ser comentado con los alumnos(as) son los ascensores. Por último, analizar con los estudiantes algunos casos de la sustracción de números naturales, en los cuales, el minuendo es menor que el sustraendo, mencionando que este tipo de situaciones puede ser resuelta mediante el uso de números enteros.
Información para el docente • Al empezar está unidad se propone un proyecto grupal que tiene como objetivo que los alumnos(as) se familiaricen con el uso de números negativos en diversos contextos, por ejemplo, en el concepto de profundidad. En este proyecto se pide que investiguen acerca del punto submarino más profundo del planeta (actividad 6), este lugar es llamado Fosa Challenger o de las Marianas y se ubica en el Pacífico al sur de Japón, fue descubierto en 1951 por la nave sonda Challenger y tiene una profundidad de 11.022 m.
Santillana Bicentenario
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16 |
UNIDAD 1 | Números enteros
Tareas Para mayor conocimiento de la historia de los números visita la página: http://edumate.files.wordpress.com/2007/01/numeros–enteros–origen–e–historia.pdf
¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 10 y 11)
Información para el docente • Es importante recordar las operaciones aritméticas con números naturales y el orden en la recta numérica con estos números, para luego generalizarlas a los números positivos y negativos.
Indicador Utilizar las operaciones con números naturales, para resolver e interpretar situaciones.
Construir e interpretar la recta numérica.
Nº de pregunta
Respuesta
Logrado con
1
$ 1.000
3/5
2
Recibe $ 250
3
$ 240
4
$ 1.800
5
No, faltan $ 300
6
Orden cronológico: B, A, C, E, D.
Remediales/ sugerencias de profundización • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) ejerciten las 4 operaciones con números naturales. Realizar sustracciones en que identifiquen cuáles son posibles de resolver en los números naturales y cuales no. • Realizar problemas cuya resolución implique operar con números naturales, ejercitando las 4 operaciones.
1/1
• Ejercitar el orden de los números naturales en la recta numérica. • Resolver problemas en que los alumnos deban ordenar cantidades positivas de menor a mayor. • Construir ejemplos de rectas numéricas en diferentes escalas y que ubiquen en ella números naturales dados.
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NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS (Páginas 12 y 13)
Información para el docente • Es muy útil para los alumnos(as) entender el concepto de número positivo y negativo gracias a los muchos modelos que existen en donde se utilizan estas cantidades, sin embargo, hay modelos que se ajustan mejor que otros a las propiedades matemáticas de este conjunto numérico, y por lo tanto, el docente debe realizar las aclaraciones correspondientes para que no se produzcan contradicciones o errores entre el modelo dado como ejemplo y los fundamentos matemáticos. Por ejemplo, en el caso del modelo de pisos de un edificio, se debe condicionar a que el cero corresponde a la primera planta, y en otros casos simplemente no se considera el cero.
Actividades complementarias • La siguiente actividad puede ser previa al trabajo con estas páginas. 5m
Ubica los siguientes elementos en el dibujo: 1. Un flotador que esté al nivel del mar. 2. Un buzo que esté 5 m bajo el nivel del mar. 3. Un pez que esté a –3 m. 4. Un pelícano que esté a 10 m sobre el buzo. 5. Una caracola que esté a 6 m bajo el pelícano. 6. Un submarino que esté a 2 m de la caracola.
4m 3m 2m 1m 0m
A partir de lo anterior, responde. 7. ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar está
–1 m –2 m
el pelícano? 8. ¿A cuántos metros bajo el nivel del mar está la caracola? 9. ¿A cuántos metros bajo el nivel del mar está el submarino?
–3 m –4 m –5 m
NÚMEROS ENTEROS (Páginas 14 y 15)
Información para el docente • Es importante hacer énfasis en que en el conjunto de los números enteros se cumplen, entre otras, dos importantes propiedades: el inverso aditivo y el neutro aditivo, lo cual no ocurre en los números naturales. Los estudiantes deben reconocer estas propiedades y saber su importancia dentro de la aritmética.
Santillana Bicentenario
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UNIDAD 1 | Números enteros
Actividades complementarias De acuerdo a las propiedades que se cumplen en el conjunto de los números enteros, responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos números enteros se pueden intercalar entre (–5) y 5? 2. ¿Qué número sumado con (–5) resulta 0? 3. ¿Cuál es el inverso aditivo de 0? 4. Si a es un número negativo, ¿cómo representamos el número que sumado con a resulta 0?
Tareas El Aconcagua es el cerro más alto de la cordillera de los Andes con una altura de 6.959 m sobre el nivel del mar. Por otra parte, la fosa de Atacama tiene una profundidad aproximada de 8.000 m. Responde. 5. Cuál es la distancia entre la cima del Aconcagua y la profundidad de la fosa de Atacama? 6. Supón que el Aconcagua estuviera apoyando su base sobre la fosa de Atacama. ¿Aparecería la cumbre sobre el nivel del mar? ¿A qué distancia del nivel del mar quedaría la cumbre? 7. Averigua cuál es la cumbre más alta de Chile y compárala con el Aconcagua.
ORDEN Y REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA(Páginas 16 y 17)
Información para el docente • El ejemplo relacionado con los años antes de Cristo y después de Cristo es muy usado para explicar la representación de números enteros en la recta numérica, sin embargo, hay que aclarar a los estudiantes que el año cero que correspondería al cero de la recta numérica no existe como tal en nuestro calendario, en el cual el año 1 a. C. precede al año 1 d. C., es decir, desde el año 1 a. C. al 1 d. C. ha transcurrido solo un año.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Es muy común que los alumnos(as) identifiquen el antecesor de un número negativo como el antecesor del valor absoluto del número y le agregan el signo –, por ejemplo, erróneamente señalan que el antecesor de –7 es –6 y no –8 que es lo correcto. Lo mismo ocurre con el sucesor. Para evitar este error, el uso de la recta numérica es indispensable, ya que para el alumno(a) será más fácil identificar cuál es el antecesor y sucesor de una manera gráfica.
Actividades complementarias Ordena las siguientes temperaturas desde la más baja hasta la más alta. 3 ºC
–3 ºC
–2 ºC
ºC,
ºC,
|
19 |
5 ºC ºC,
ºC,
–7 ºC ºC,
0 ºC ºC
Completa la tabla. Antecesor
Número
Sucesor
0 –13 2 12 –19 –30
VALOR ABSOLUTO (Páginas 18 y 19)
Información para el docente • Es importante señalar a los alumnos(as) que en situaciones cotidianas, los números negativos no tienen ningún sentido si no se ocupan como representación y ligados a un contexto determinado, como por ejemplo, de profundidad, de deudas o de temperatura bajo cero.
Actividades complementarias • Plantear a los alumnos(as) la siguiente situación: El recorrido de un caracol al subir una muralla es el siguiente: sube 3 metros y baja 2 metros. Si la muralla tiene 10 metros de altura ¿cuánto recorre el caracol para llegar a la cima de la muralla? 1. Expresa la suma de las distancias recorridas con números enteros. 2. Expresa la suma de las distancias con valores absolutos y calcula el recorrido total del caracol.
• Para profundizar este contenido se pueden realizar los siguientes tipos de ejercicios.
Completa, en cada caso, con el signo >, = ó < según corresponda. 3. –| –1 | 4. | – 1 | 5. –| –1 |
–| 1 | |1| –1
Errores frecuentes o posibles dificultades • Para los alumnos es difícil entender que existan dos números distintos, que tengan el mismo valor en su valor absoluto. Una manera simple de justificar y fácil de entender es mostrando en una recta numérica que tanto –3 como 3 (u otros valores) tienen la misma distancia al cero y por lo tanto el mismo valor absoluto.
Santillana Bicentenario
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20 |
UNIDAD 1 | Números enteros ¿CÓMO VOY? (Páginas 20 y 21)
Nº de pregunta
Respuesta
Logrado con
Remediales/ sugerencias de profundización
1
C
1/2
2
B
• Realizar actividades en que los alumnos(as) busquen ejemplos cotidianos donde sea necesario utilizar los números enteros, por ejemplo buscar en diarios o en internet. • Realizar actividades en que los alumnos investiguen acerca de los números enteros en la contabilidad y comparen la notación utilizada en este contexto con la de otros modelos.
Representar números enteros en una recta numérica y establecer relaciones de orden entre ellos.
3
B
2/3
4
A
5
C
• Realizar actividades en que los alumnos(as) ordenen números enteros en la recta numérica, de menor a mayor y viceversa. También ejercitar el concepto de antecesor y sucesor en los números enteros usando la recta numérica. • Realizar actividades en que los alumnos ordenen números enteros en situaciones problemáticas, por ejemplo usando puntos a favor o en contra.
Aplicar el concepto de valor absoluto y de inverso aditivo de un número entero.
6
D
2/3
7
D
8
Debería subir el anzuelo.
• Realizar ejercicios en que los alumnos(as) identifiquen el valor absoluto de un número entero y su inverso aditivo. • Para profundizar, realizar ejercicios en que se mezclen ambos conceptos, por ejemplo, el inverso aditivo del valor absoluto de a, el valor absoluto del inverso aditivo de a, etc.
Indicador Interpretar números enteros en contextos cotidianos.
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 22 y 23)
Información para el docente • La adición de números enteros, sobre todo de números de distinto signo no es algo natural para los alumnos(as). Aunque logran aprender las reglas de los signos, pueden surgir ciertas
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21 |
dificultades o confusiones en ciertos casos. El utilizar la recta numérica para representar la adición es una buena opción porque gráficamente aclara la regla de los signos, pero hay que tener cuidado en fundamentarlas correctamente; el caso de la adición de un número positivo implica siempre un avance, pero si se está sumando un número negativo, se cambia de dirección, lo que se traduce en un retroceso.
Errores frecuentes o posibles dificultades • En el caso de la adición de números de distinto signo, los alumnos(as) restar ambos números pero se equivocan frecuentemente en el signo del resultado. El docente debe remediar estos errores realizando diferentes actividades para que logren practicar el algoritmo, utilizando la recta numérica, o bien, algún contexto, por ejemplo, situaciones de deudas y haberes, que sirven para que los alumnos, que aún no manejen la regla de signos, logren identificar el signo del resultado de una adición.
Actividades complementarias • Trabajar con los alumnos(as) las propiedades de clausura, asociatividad y conmutatividad, de manera particular, en los números enteros, de modo que mejoren su comprensión de la estructura de este ámbito numérico.
• Para profundizar este contenido se pueden realizar los siguientes tipos de ejercicios:
Completa con los signos =, < ó >, según corresponda. 1. –2 + 3 2. | –2 | + 3
| –2 + 3 | | –2 + 3 |
3. –2 + 3
| –2 | + 3
4. 2 + –3
| 2 + –3 |
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 24 y 25)
Información para el docente • Para introducir la sustracción de números enteros, comentar con los alumnos(as) situaciones cotidianas donde es necesario calcular la diferencia entre números positivos y negativos, por ejemplo, la oscilación térmica, distancias entre altura y profundidad, saldos a favor y en contra, etc. Al realizar este tipo de ejercicios, los estudiantes calcularán sin dificultad el resultado de la sustracción, por lo que será más fácil justificar el procedimiento a seguir, incluso los mismos alumnos(as), guiados(as) por el docente podrán deducir el algoritmo.
Santillana Bicentenario
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22 |
UNIDAD 1 | Números enteros
Errores frecuentes o posibles dificultades • Para que los estudiantes logren resolver sustracciones de números enteros de manera correcta, es necesario que manejen el concepto de inverso aditivo. Se le sugiere repasar y profundizar este concepto antes de realizar este tipo de sustracciones. Al margen de la página 24, aparece una ayuda para recordar qué es el inverso aditivo de un número.
Actividades complementarias • Para reforzar el algoritmo de la sustracción, se propone realizar la siguiente actividad.
Completa la tabla. a
b
c
–2
3
4
5
–2
6
–3
–4
7
3
–1
–5
a–b
b–a
b–c
c–b
a–c
PROBLEMAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ENTEROS (Páginas 26 y 27)
Errores frecuentes o posibles dificultades • Los alumnos(as) aprendieron a calcular sustracciones “transformándolas” en adiciones utilizando el inverso aditivo, pero al resolver problemas, es posible que se confundan y no logren reconocer cuándo se debe restar dos cantidades y cuándo se debe sumar. El docente debe hacer énfasis en que al traducir el problema a las operaciones matemáticas se identifiquen correctamente las sustracciones y las adiciones y luego se realicen las transformaciones correspondientes para encontrar el resultado.
Información para el docente • Cuando los estudiantes resuelvan problemas donde se combinen adiciones y sustracciones de números enteros, se les puede sugerir, que agrupen los números positivos y los negativos por separado y los sumen, respectivamente, luego resten los dos resultados, según corresponda.
Tareas Representar en la recta numérica las siguientes operaciones. 1. –2 + 5 – (–4) 2. 20 + (–3 – 5) + –3 – (–2) 3. 10 – (–3) – 4 – (3 – 4)
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23 |
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 28 y 29)
Errores frecuentes o posibles dificultades • La multiplicación de números enteros reside su dificultad en la regla de los signos, está se acrecienta ya que en ningún modelo anteriormente utilizado es posible representar la multiplicación y justificar la regla de los signos. Los alumnos(as) comúnmente creen que el producto de dos factores es mayor que cada uno de los factores, lo cual no necesariamente ocurre en el caso de los números enteros, para corregir esta idea, el docente puede recurrir, de manera previa, a ejemplos de productos de números decimales o fracciones en que esto tampoco se cumple.
Actividades complementarias • Para ayudar a los alumnos(as) a deducir la regla de los signos para la multiplicación de números enteros, se propone realizar los siguientes ejercicios.
Completa los casilleros pintados con el producto que corresponda a cada caso.
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
5
Completa los casilleros en blanco con los productos que faltan siguiendo el orden en la recta numérica.
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
5
0
1
2
3
4
5
6
0
5
10
15
20
25
30
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 30 y 31)
Información para el docente • Es importante justificar a los alumnos(as) porqué la división de números enteros tiene la misma regla de los signos que la multiplicación, simplemente recordando que una es la operación inversa de la otra, el docente debe mostrarles que la división se puede expresar como una multiplicación utilizando el inverso multiplicativo del divisor. Lo más probable es que sea necesario y útil, para un mejor entendimiento de los alumnos(as), recordar la división de fracciones. • En el caso de realizar ejercicios combinados, recordarles que aquí también se cumple la misma prioridad de las operaciones que en los conjuntos numéricos estudiados en años anteriores.
Santillana Bicentenario
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24 |
UNIDAD 1 | Números enteros
Actividades complementarias Un buzo bajó 24 metros en 4 horas a una velocidad constante. 1. ¿Cuántos metros bajó en cada hora? 2. Al transcurrir 3 horas, ¿a cuántos metros del nivel del mar estaba el buzo? Felipe, pide su estado de cuenta en un cajero automático, en él se indica que debe $ 96.000 de su línea de crédito. Se sabe que en los últimos 4 días retiró la misma cantidad de dinero y no se realizaron otros movimientos en su cuenta. 3. ¿Cuánto dinero retiró cada día? 4. Al tercer día, ¿cuánto dinero había ocupado de su línea de crédito? • En el caso en que la división de números enteros no sea exacta, el docente puede aprovechar esta oportunidad para introducir decimales y fraccionales negativas para posteriormente ampliar los números enteros a los números racionales.
EJERCICIOS RESUELTOS (Páginas 32 y 33)
Actividades complementarias Resuelve lo siguiente. Pedro, al ir del colegio a su casa, decidió jugando, que por cada 6 pasos que caminara, iba a retroceder 2, a lo cual llamó “una jugada”. Suponiendo que cada paso mide lo mismo: 130 cm, ¿cuánto avanza si lleva 5 jugadas? ¿Cuál es la distancia entre el colegio y su casa, si para llegar de una a otro debe realizar 120 jugadas?
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Páginas 34 y 35)
Información para el docente • El matemático George Polya, en sus últimos años, invirtió un esfuerzo considerable en intentar caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas, y para describir cómo debería enseñarse y aprender la manera de resolver problemas. En un plan de cuatro pasos, Polya sintetiza su visión acerca del actuar al resolver problemas: - comprender el problema - crear un plan - ponerlo en práctica y - examinar lo hecho El docente puede poner en práctica estos 4 pasos al resolver problemas con sus alumnos(as) e invitarlos a conocer más sobre este matemático y sus aportes.
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25 |
TRABAJO CON LA INFORMACIÓN Y SÍNTESIS (Páginas 36 y 37)
Información para el docente • Revisar con los estudiantes el proyecto presentado al principio de la unidad. Comentar y reflexionar con ellos acerca de la importancia de los números negativos en nuestra vida cotidiana. Enfrentar a los alumnos(as) a situaciones en que deban reflexionar y proponer soluciones a partir de lo estudiado en la unidad, por ejemplo, preguntarles qué simbología utilizarían para representar los números negativos si no existiera el signo menos.
PREGUNTAS TIPO SIMCE (Páginas 38 y 39)
Información para el docente • La prueba internacional TIMSS, evalúa las siguientes habilidades: conocimiento, uso de procedimientos de rutina, uso de procedimientos complejos, investigación y resolución de problemas, comunicación y razonamiento. El docente puede guiarse por lo anterior y realizar ejercicios con los alumnos(as) para evaluar cada una de estas habilidades. También puede organizar las preguntas de sus pruebas y controles en función de estos objetivos para que los alumnos(as) se vean enfrentados a este tipo de medición o bien como preparación a la prueba SIMCE.
¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 40 a 42)
Actividades complementarias Escribe la expresión numérica que corresponda en cada caso y resuelve. 1. A 13 le restas el cociente entre –22 y –11 y le sumas 15. 2. Al cuádruple de 9 le restas el producto entre 7 y –7. 3. Al triple de –7 le sumas el cuádruple de 8. 4. A –25 le restas el triple de –10. CÓMO ME FUE (Páginas 42)
Indicador Caracterizar números enteros y reconocer situaciones en las que se pueden utilizar o requerir.
Santillana Bicentenario
Nº de pregunta
Respuesta
Logrado con
Remediales/ sugerencias de profundización
1
B
2/3
2
D
3
C
• Realizar ejercicios en que los alumnos(as) identifiquen números enteros en situaciones de la vida cotidiana y los representen en su notación matemática. • Realizar ejercicios en los cuales dado un número entero inventen una situación cotidiana donde sea pertinente la utilización del número mencionado.
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26 |
UNIDAD 1 | Números enteros
Representar números enteros en la recta numérica y establecer relaciones de orden. Utilizar conceptos como valor absoluto e inverso aditivo de un número. Aplicar las operaciones de adición y sustracción con números enteros relacionándolas con situaciones en las que se utilizan. Calcular y utilizar multiplicaciones y divisiones con números enteros.
4
B
5
A
11
–3 y 3
12
4
15
Verdadero
6
C
7
A
10
C
13
2.100 ºC
8
B
9
C
14
1.750 ºC
3/5
• Realizar ejercicios en que deban ordenar números enteros y ubicarlos en la recta numérica. También reconocer el valor absoluto de un número y el inverso aditivo utilizando la recta numérica. • Resolver ejercicios con los alumnos(as) en que comparen valores absolutos e inversos aditivos de números por separado y mezclando ambos conceptos.
2/4
• Realizar ejercicios con los alumnos en que resuelvan problemas contextualizados que involucren adiciones y sustracciones por separado. También realizar ejercicios numéricos combinando ambas operaciones. • Resolver problemas contextualizados en que deban calcular adiciones y sustracciones combinadas.
2/3
• Realizar ejercicios numéricos en que los alumnos(as) resuelvan multiplicaciones y divisiones por separado. • Resolver problemas contextualizados en que deban calcular multiplicaciones y divisiones combinadas.
EJERCICIOS DE REFUERZO Y PROFUNDIZACIÓN (Páginas 44 y 45)
Actividades complementarias • Separar en grupos el curso y asignar a cada grupo un modelo en donde se utilice números enteros (temperatura sobre 0 y bajo 0, años a. C. y d. C., altura y profundidad, pisos y subterráneo, deuda o haber, etc.) y plantéeles que inventen un problema que pueda ser resuelto mediante la siguiente secuencia de operaciones [(34 – 12) : 11] · 3. Luego, que cada grupo presente el problema inventado y en conjunto lo resuelvan e interpreten el resultado obtenido.
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27 |
Evaluación de la unidad
Material fotocopiable
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. 1. Un avión vuela a 460 m de altura sobre el nivel del
5. El valor de | –5 | es:
mar y un pez se encuentra a 18 m de profundidad. ¿Cómo se pueden representar ambas distancias?
A. B. C. D.
A. B. C. D.
–460 y –18 460 y 18
0 5 10
460 y –18 –460 y 18
2. En un día la temperatura mínima fue de 10 ºC bajo
6. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
cero y la máxima de 2 ºC bajo cero. ¿En cuántos grados varió la temperatura?
A. B. C. D.
–5
A. B. C. D.
2 ºC 8 ºC
–2 < –3 –2 < 3 2 < –3 –2 > 3
10 ºC 12 ºC
3. ¿Cuál de las siguientes alternativas siempre es verdadera?
7. ¿Qué grupo está ordenado de mayor a menor? A. B. C. D.
A. Todo número positivo es menor que un número negativo.
B. Todo número negativo es menor que un número positivo.
–989, –998, –1.100, –1.010, –1.001 –998, –989, –1.001, –1.010, –1.100 –989, –998, –1.001, –1.010, –1.100 –1.100, –1.010, –1.001, –998, –989
C. El cero es mayor que todo número positivo. D. El cero es menor que todo número negativo.
4. ¿Cuál de las siguientes temperaturas es mayor
8. El antecesor y sucesor de –7 son, respectivamente:
que –2 ºC?
A. B. C. D.
A. B. C. D.
–5 ºC –4 ºC –3 ºC –1 ºC
Santillana Bicentenario
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28 |
–8 y –6 –6 y –8 6y8 –8 y 6
9. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de
13. Felipe se encuentra en el piso 5 y debe ir al
$ 20.000. ¿Cuánto se debe depositar para que el monto de la cuenta sea de $ 20.000 a favor?
A. B. C. D.
estacionamiento que se encuentra en el piso –2. ¿Cuántos pisos recorrerá Felipe? (Considera que la planta baja corresponde al piso 0).
$ 10.000
A. B. C. D.
$ 20.000 $ 30.000 $ 40.000
10. El valor de –7 + 4 + 10 – 6 – 4 es: A. B. C. D.
3 7 –3 –7
14. Cada vez que se ingresa un número a una unidad procesadora como la que se muestra a continuación, que realiza 3 operaciones, se obtiene un número de salida. ¿Qué número de salida se obtiene al ingresar –10?
–3 3 –11 11
Entrada
D
T
M
Salida
D = Duplica, T = Triplica y M = Valor absoluto
A. B. C. D.
10 20 60
15. ¿Cuál es el número que dividido por (–5) es igual a 10?
11. ¿A cuál alternativa no equivale la operación –3 – (–9)?
A. B. C. D.
–60
A. B. C. D.
6 9–3 9 + (–3)
–50 –2 2 50
–9 – 3
16. La temperatura de la mañana fue 2 ºC bajo cero y
12. Pitágoras nació en el año 580 a. C. y Sócrates nació el año 469 a. C. ¿Cuántos años hubiese cumplido Pitágoras el año en que nació Sócrates?
ascendió 2 ºC por cada 30 minutos. Al cabo de 4 horas, ¿qué temperatura se registró?
A. B. C. D.
A. B. C. D.
69 años. 110 años. 111 años. 114 años.
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29 |
–18 ºC –14 ºC 14 ºC 18 ºC
