MODELOS DETERMINÍSTICOS DE INVENTARIOS.
Una empresa o una industria suele tener un inventario razonable de bienes para asegurar su funcionamiento continuo. En forma tradicional se considera a los inventarios como un mal necesario; si son muy pocos, causan costosas interrupciones; si son demasiados equivalen a hacer un capital ocioso. El problema del inventario determina la cantidad que equilibra los dos casos extremos.
Un factor importante en la formulación y la solución de un modelo de inventarios es que la demanda de un artículo (por unidad de tiempo) sea determinística (que conozca con certidumbre) o probabilística (que se pueda describir con una distribución de probabilidad).
Modelo general de inventario.
La naturaleza del problema de los inventarios (o existencias) consiste en colocar y recibir en forma repetitiva pedidos (u "ordenes") de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos. Desde este punto, una política de inventarios consta de las siguientes preguntas:
¿Cuánto pedir?
¿Cuándo pedir?
La respuesta de estas preguntas se basa en minimizar el siguiente modelo de costos:
(Costo total del inventario) =
(costo de compra)+
(costo de preparación)+
(costo de almacenamiento) +
(costo de faltante)
Todos esos costos se deben expresar en la cantidad económica de pedido (¿Cuánto pedir?) y el tiempo entre los pedido (¿Cuándo pedir?).
El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante o puede ofrecerse con descuentos.
El costo de preparación representa el costo fijo incurrido cuando se coloca un pedido. Es independiente de la cantidad pedida.
El costo de almacenamiento o de posesión representa el costo se mantener una existencia de inventario. Comprende el interés sobre el capital y el costo de almacenamiento, mantenimiento y manejo.
El costo de faltantes es la penalización en que se incurre cuando se terminan las existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos y el costo, mas subjetivo, de perdida de la buena voluntad del cliente.
Un sistema de inventario se puedo basar en la revisión periódica (por ejemplo, pedir cada semana o cada mes), cuando se reciben nuevo pedidos al iniciar cada periodo. En forma alternativa, el sistema se puede basar en revisión continua, cuando se colocan los nuevos pedidos y la cantidad de inventarios bajo hasta cierto nivel, que se llama punto de reorden.
Los modelos de inventarios, pueden abarcar dos clases de modelos determinísticos: estáticos y dinámicos. Los modelos estáticos tienen una demanda constante en función del tiempo. En los modelos dinámicos, la demanda cambia en función del tiempo.
Modelos estáticos de cantidad económica de pedido (CEP, o EOQ)
A continuación de explican tres variaciones del modelo de cantidad económica de pedido (CEP, o EOQ, del inglés economic order quantity) con demanda estática.
Modelo clásico de cantidad económica de pedido.
El más sencillo de los modelos de inventarios implica una tasa constante de demanda con el surtido instantáneo del pedido y sin faltantes. Se definen.
y=cantidad pedida cantidad de unidades
D=tasa de demanda unidad de tiempo
To=duracion del ciclo de pedido (unidades de tiempo)
El nivel de inventario sigue el patrón de la figura 11.1. Cuando el inventario llega al valor cero, se coloca un pedido cuyo tamaño es y unidades, y se recibe en forma instantánea. Después la existencia se consume uniformemente a la tasa constante de demanda D. el ciclo de pedido para este comportamiento es.
To=yD unidades de tiempo
El nivel promedio de inventario que resulta es
Nivel promedio de inventario =y2 unidades
El modelo de costo requiere de dos parámetros:
K = Costo de preparación correspondiente a la colocación de un pedido ($/pedido)
h = Costo de almacenamiento ($ por unidad en inventario por unidad de tiempo)
El costo total por unidad de tiempo (TCU, del total cost per unit time) se calcula como sigue:
TCU=costo de preparacion por unidad de tiempo+costo de almacenamiento por unidad de tiempo
=costo de preparacion +costo de almacenamiento por ciclo ToTo
=KyD+hy2
El valor óptimo de la cantidad de pedido y se determina minimizando TCU (y) con respecto a y. suponiendo que y sea continua, una condición necesaria para determinar el valor óptimo de y es.
dTCUydy= -KDy2+h2=0
Esta condición también es suficiente, porque TCU (y) es convexa.
La solución de la ecuación da como resultado la siguiente cantidad económica de pedido, y*:
y*=2KDh
Así, la política óptima de inventario para el modelo propuesto se resume como sigue:
pedir y*=2KDh unidades cada to*=y*D unidades de tiempo
En realidad no necesita hacer un nuevo pedido en el instante en que se pide., como se ha descrito aquí. En lugar de ello puede trascurrir un tiempo de entrega positivo, L, entre la colocación y la recepción de un pedido, como se ve en la figura 11,2. En este caso, el punto de reorden se representa cuando el nivel de inventario bajo a LD unidades.
En la figura 11.2 se supone que el tiempo de entrega L es menor que la longitud del ciclo to* lo cual en general no es el caso. Para tener en cuenta otras situaciones, se definirá el tiempo efectivo de entrega como sigue:
Le=L-nto*
Donde n es el entero mayor no mayor que Lto*. Este resultado se justifica, porque después de n ciclos de to* cada uno, el estado del inventario es como si el inventario entre colocar el pedido y recibir otro es Le. Así, el punto de reorden está en las LeD unidades, y la política de inventario se puede renunciar como sigue:
pedir la cantidad y*siempre que la cantidad de inventario baja a LeD unidades
Ejercicio.
Se cambian luces de neón en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $0,02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política óptima de inventario para pedir las luces de neón.
De acuerdo con los datos de este problema.
D=100 unidades por dia
K=$100 por pedido
h=$0,02 por unidad y por dia
L=12 dias
Así.
y*=2KDh=21001000,02=100 luces de neon
La longitud del ciclo correspondiente es:
to*=y*D=1000100=10 dias
Con el tiempo de entrega L = 12 días es mayor que la longitud del ciclo to*=10 dias, se debe calcular Le. La cantidad de ciclos incluidos en L es.
n=(entero mayor Lto*)
=(entero mayor 1210)
=1
Entonces
Le=L-nto*=12-1x10=2 dias
Entonces, el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a
LeD=2x100=200 luces de neon
La política de inventario para pedir las luces de neón es
Pedir 100 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades
El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es
TCU(y)=KyD+hy2
TCUy=1001000100+0,0210002=$20 por dia.
Cantidad económica de pedido con discontinuidades de precio.
Este modelo es el mismo que anterior, con la excepción de que el artículo es inventario se puede comprar con descuento si el tamaño del pedido y es mayor que determinado limite q; esto es, que el precio unitario de compra c es.
c=cto si y qczo si y >q, c1>c2
Por consiguiente
Precio de compra por unidad de tiempo=c1yto=c1yyD=Dc1 y qc2yto=c2yyD=Dc2 y >q
al usar la notacion TCU1y=Dc1+KDy+h2y,y q TCU2y=Dc2+KDy+h2y,y >q
Las funciones TCU1 y TCU2 se grafican en la figura 11.3. Como las dos funciones solo difieren en una cantidad constante, sus mínimos se presentan en
ym=2KDh
La función de costo TCU (y) comienza a la izquierda, con TCU1(y) y baja hasta TCU2(y) en el punto de discontinuidad de precio q. la figura 11.3 muestra que la determinación de la cantidad económica de pedido y depende de donde está el punto de discontinuidad de precio q con respecto a las zonas I, II, III, limitadas por (0,Ym), (Ym, Q) y (Q, α), respectivamente. El valor de Q (>ym) se determina con la ecuación.
TCU2Q=TCU1Ym
c2D+KDQ+hQ2=TCU1(Ym)
Esto reduce la ecuación de Q a
Q2+2c2D-TCU1(YmhQ+2KDH=0
En la figura 11.4 muestra cómo se determina la cantidad óptima y*que se busca:
y*=Ym*, si Q esta en las zonas I o IIIq, si q esta en la zona II
Los pasos para determinar y* son:
Paso 1.- Determinar ym=2KDh. Si q está en la zona I, entonces y=ym; detenerse. En caso contrario continuar en el paso 2.
Paso 2.- Determinar Q(>ym) con la ecuación de Q.
Q2+2c2D-TCU1(YmhQ+2KDH=0
Definir las zonas II y III. Si q está en la zona II, entonces y*=q. En caso contrario, q está en la zona III y y*=ym
Ejercicio.
LubeCar se especializa en cambio rápido de aceite para motor de automóvil. El servicio compra aceite para motor a granel, a $3 por galón. Si LubeCar compra más de 100 galones, obtiene un descuento de $2,50 por galón. LubeCar guarda el aceite a granel con un costo de $0,02 por galón y por día. También, el costo de colocar un pedido de aceite a granel es de $20. Hay un tiempo de 2 días para la entrega, determine la política óptima de inventario,
El consumo diario es
D=150 automoviles por diax1,25 galones por automovil=187,5 galones por dia
También los datos son
h=$0,02 por galon por dia
K=$20 por pedido
L=2 dias
C1=$3 por galon
C2=$2,5 por galon
q=1000 galones
Paso 1.- Calcular.
ym=2KDh=2x20x187,50,02=612,37 galones
Como q=100 es mayor que ym continuamos con el paso 2.
Paso 2.- Determinar Q.
TCU(Ym)= c1D+KDym+hym2
=3x187,5+20x187,5612,37+0,02x617,372=574,75
En consecuencia, la ecuación de Q se calcula como sigue
Q2+22,5x187,5-574,750,02Q+2x20x187,50,02=0
O sea
Q2+10599,74Q+375000=0
El resultado de esto es
Q=10564,25>ymentonces,
zona II=(612,37;10564,25)
zona III=(10564,25;α)
Como q (=1000) cae en la zona II, la cantidad optima de perdido es y*=q=1000 galones.
Como el tiempo de entrega es de 2 días, el punto de reorden es 2D=2X187,5=375 galones. Así, la política de inventario óptimo es
pedir 1000 galones cuando el nivel de inventario baja a 375 galones
Cantidad económica de pedido de varios artículos con limitaciones de almacén.
Este modelo se aplica al caso con n (>1) artículos cuyo inventario fluctúa de acuerdo con la pauta de la figura 11.1 (no se permiten faltantes). La diferencia está en que los artículos compiten por un espacio limitado de almacenamiento.
Se definiría, para el artículo i, i=1,2,…,n:
Di=tasa de demanda
Ki=costo de preparacion
hi=costo unitario de almacenamiento por unidad de tiempo
yi=cantidad de pedido
ai=Area de almacenamiento necesaria por unidad de inventario
A=area maxima disponible de almacenamiento para lo n articulos
Suponiendo que no hay faltantes, el modelo matemático que representa la situación del inventario es
maximizar TCUy1,y2,…,yn=i=1nkiDiyi+hyi2
Sujeta a:
i=1naiyi A
yi=0, i=1,2,…,n
Los pasos para resolver el problema son los siguientes.
Paso 1. Los pasos para resolver los valores óptimos no restringidos de las cantidades de pedido con:
y*=2kiDihi, i=1,2,…,n
Paso 2. Comprobar so los valores óptimos no restringidos de las cantidades y*i i=1,2,…,n es óptima. En caso contario seguir en el paso 3.
Paso 3. Se debe satisfacer la restricción del almacenamiento en forma de ecuación. Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar los valores restringidos óptimos de las cantidades de pedido.
El paso3, la fórmula de Lagrange se formula como sigue:
Lλ,y1,y2,…,yn=TCUy1,y2,…,yn-λi=1naiyi-A
=i=1nkiDiyi+hyi2-λi=1naiyi-A
Donde λ(<0) es el multiplicador de Lagrange
Como la función de Lagrange es convexa, los valores óptimos de yi y λ se determinan con la siguiente condición necesaria:
L yi=-KiDiyi2+hi2-λai=0
L yi=-i=1naiyi+A=0
La segunda ecuación indica que se debe satisfacer la restricción en forma de ecuación para el óptimo.
De la primera ecuación
yi*=2KiDihi-2 λ*ai
La fórmula nos indica que yi* depende del valor de λ*=0, yi* da la solución sin restricción.
El valor de λ*se puede determinar como sigue: como la definición λ<0 para el caso de minimización, se disminuye λ en forma sucesiva una cantidad razonablemente pequeña, y se sustituye en la fórmula para calcular la yi*asociada. La λ* deseada produce los valores de yi*que satisfacen la restricción de almacenamiento en forma de ecuación.
Ejercicio.
Los datos describen tres artículos de inventario.
Articulo i
Ki ($)
Di (unidad por dia)
hi ($)
ai (ft2)
1
10
2
0,3
1
2
5
4
0,1
1
3
15
4
0,2
1
Área total disponible = 25 pies2
