MODELOS DE FRACTURA 2D
Modelos 2D
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MODELOS Un Modelo de un proceso es una representación del mismo que captura sus características principales de manera de proveer una comprensión sencilla del mismo. La construcción del modelo depende del tipo de respuestas que necesitemos. Los tres tipos de modelos principales son Modelos Físicos Modelos Empíricos Modelos Mecánicos o Analíticos
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Tipos de Modelo • Físicos – Modelo a escala del proceso actual • Ventaja: Incorporan las suposiciones correctas • Desventajas: Costo. Requieren de modelos a escala. • Ejemplo: Aviones, puentes
• Empíricos – Modelo desarrollado mediante la observación • Ventaja: Incorporan las suposiciones correctas • Desventaja: No es extrapolable • Ejemplos: Pruebas de laboratorio Modelos 2D
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TIPOS DE MODELOS: 1. Modelos Físicos: Son modelos a escala de proceso actual. Su principal ventaja es que –por definición, incorporan las consideraciones correctas acerca del comportamiento del material. Por ejemplo, en nuestro caso, si un fluido de fractura debe moverse entre dos caras paralelas con rugosidad similar a la de una roca, entonces no necesitamos hacer consideraciones acerca de cómo el fluido se va a comportar reológicamente, ya que esto es simplemente observable. Infortunadamente los modelos físicos tienen la desventaja de ser usualmente costosos para construir y usar. Además tienen problemas de escala, ya que hay varios procesos en que sus resultados dependen de su escala real. Por ejemplo, un puente puede modelarse a escala reducida, pero sus prestaciones y resistencia dependen de su peso real. Por lo tanto, el puente real puede romperse aunque el modelo no lo haga. No obstante, otros procesos, como los hidráulicos y aerodinámicos pueden ser perfectamente modelados a escala, mediante leyes de similitud, como la de Reynolds. 2. Modelos Empíricos: Son modelos desarrollados mediante la observación. Típicamente los datos provenientes del laboratorio y del campo son combinados para crear “Cartas de Diseño” o Ecuaciones empíricas, las cuales pueden usarse posteriormente para predecir los resultados de procesos semejantes. Por ejemplo, los datos de una gran cantidad de pozos fracturados con diferentes fluidos pueden ser evaluados siguiendo la producción de los pozos y así determinar una relación entre el volumen utilizado y la producción obtenida, la cual será aplicada a nuevos pozos a fracturar. La ventaja es que no hay ningún efecto escalar, ni es necesario hacer consideraciones acerca del comportamiento. Su desventaja es que la validez del mismo es limitado al campo de estudio y es posible que no se pueda generalizar fuera del mismo.
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Tipos de Modelo • Analíticos o Mecánicos – Representaciones matemáticas del proceso físico a estudiar • Ventaja: Los resultados y procedimientos pueden extrapolarse fuera del ámbito de investigación • Desventajas: Las suposiciones tomadas para desarrollar el modelo no siempre pueden generalizarse • Ejemplo: Programas de simulación.
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TIPOS DE MODELOS: 3. Modelos Mecánicos o Analíticos: Son representaciones matemáticas del fenómeno a modelar, en donde el mecanismo gobernante está representado por una ecuación que gobierna su estado. La ecuación típicamente incluye Leyes Físicas (Como la Conservación de Masa) y Leyes Constitutivas (Como la de Elasticidad). Las Leyes Físicas son inviolables, ya que la Naturaleza dice que es así, mientras que las segundas son hipótesis de trabajo que deben ser confirmadas por trabajos de laboratorio y observación en el campo que confirmen que su aplicación en el proceso en estudio es correcta. Su principal ventaja es que pueden ser extrapoladas fuera del campo de estudio. Así si la constante elástica de un determinado material ha sido medida, es de esperar que ese comportamiento se repita cuando el material esté aplicado a otro proceso. Su principal desventaja es que está basado en determinadas consideraciones que nos permitieron desarrollar el modelo. Por ejemplo, se supone que las rocas son homogéneas, aunque no lo son en absoluto. Aún así el modelo puede ser aplicado con ciertas limitaciones.
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Modelos de Fractura Son Modelos Analíticos o Mecánicos con todas las ventajas y desventajas que ellos supone. Objetivos: – Cálculo del volumen de fluido y cantidad de apuntalante necesarios para crear una fractura de conductividad predeterminada. – Geometría resultante de una determinada cédula de fractura. Modelos 2D
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MODELOS DE FRACTURA: Son Modelos Mecánicos o Analíticos desarrollados para explicar como y porqué se parte la roca. Normalmente son llamados “Simuladores” ya que son una implementación computacional de un Modelo. Muchos modelos analíticos son solo manejables si se utiliza un ordenador numérico, aunque se pueden desarrollar curvas que aproximan la solución. Con la popularización de la computadoras es ahora reconocido que es más aceptable resolver numéricamente un modelo generalizado, antes que exactamente uno simplificado. No obstante, se debe considerar que es posible desarrollar reglas y relaciones simples entre diversas variables utilizando soluciones analíticas que nos dan soluciones sencillas a complejos problemas. Muchas de ellas probablemente no serían descubiertas utilizando complejos simuladores numéricos sin un gran esfuerzo.
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Modelos de Fractura • Desarrollados con el fin de: – Realizar optimizaciones económicas • Tamaño óptimo de tratamiento con respecto a la producción post-fractura esperada.
– Diseñar una cédula de fractura – Calcular la geometría de fractura estimada para una determinada cédula de fractura – Evaluar el tratamiento • Comparación entre lo obtenido y lo que se diseñó.
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MODELOS DE FRACTURA: Hay cuatro razones importantes para desarrollar Modelos Matemáticos de Fractura Hidráulica: OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA: Tamaño del tratamiento que nos da el mejor retorno de la inversión. DISEÑO DE LA CÉDULA DE BOMBEO SIMULAR LA GEOMETRÍA DE FRACTURA OBTENIDA: Para una celda de bombeo específica y determinar cuál es la geometría si la misma cambia. EVALUAR EL TRATAMIENTO: Comparación de la producción estimada con la real obtenida luego de fracturar. En cada uno de estos casos el objetivo es la estimación cuantitativa del volumen de fluido y apuntalante requeridos para crear una fractura con las características deseadas de geometría y conductividad, aplicando un programa específico de bombeo.
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Modelo Básico •
Fue desarrollado por Sneddon (1946) y perfeccionado posteriormente por otros investigadores.
•
Hoy se lo conoce como Modelo 2D Radial.
– Supone una falla o fractura en un ambiente homogéneo, en donde un campo de fuerzas y presiones estáticas se aplican sobre un espécimen
– La fractura tiene la forma de una moneda, de alli que se la conoce como “Penny-Shape” Modelos 2D
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MODELO BASICO: Sneddon (1946) y Sneddon y Elliot (1946) desarrollaron una solución para modelar el campo de esfuerzos y presiones asociado a una rotura estática por presión. La fractura tiene una forma de moneda, de allí su nombre “Penny Shape” y la presión interna es constante en todos los puntos.
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Modelo Básico • Ancho de Fractura w( r ) =
(
8PNETA R 1 − υ 2 πE
) (1 − (r / R )) 2
• Volumen de Fractura V=
(
)
16 1 − υ 2 R 3 PNETA 3E
• Presión Neta PNETA =
πγ F E 2 1 −υ 2 R2
(
)
Modelos 2D
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MODELO BASICO: NOMENCLATURA: E = [psi]
Módulo de Young
ν = Adimensional
Relación de Poisson
R = [pies]
Radio alcanzado
r = [pies]
Radio intermedio
γF = [pies2]
Energía de fractura específica por unidad de superficie. Esta energía es la que se debe suministrar al sistema para crear y extender la fractura.
Estas ecuaciones de Ancho y Volumen fueron desarrolladas utilizando la Teoría de la Elasticidad Linear. La Presión Neta –considerada como la diferencia entre la presión dentro de la fractura y la presión de ruptura de la misma-, se calculó utilizando la Mecánica de Fractura Elástica Linear. Sacks (1946) demostró que la energía necesaria para extender la fractura debe ser igual al trabajo realizado por la presión dentro de la fractura para abrir un ancho adicional determinado.
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Modelo Básico • Perkins y Kern (1961)
2π 3γ F 3 E 2 PNETA = 2 3 1 − υ 2 V
(
0 .2
)
Esta ecuación nos permite calcular la Presión Neta si conocemos el volumen de fluido (V) colocado dentro de la fractura.
V = V F + V L = qi .t Donde
VF = Volumen de la fractura VL = Volumen filtrado. Si CL = 0, luego VL = 0 VF =V
Nota: Los volumenes en [pies3] Modelos 2D
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MODELO BASICO: Combinando las dos últimas ecuaciones anteriores, Perkins y Kern (1961) demostraron que la Presión de Propagación de una fractura es proporcional al volumen de fluido utilizado. Así es posible determinar el valor de R si conocemos el volumen V.
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Modelo Básico •
Sneddon y Elliot
w= • •
)
Es el ancho máximo que se obtiene para una fractura planar de Altura finita y penetración horizontal infinita. La forma de la sección normal de la fractura es elíptica, es decir, el ancho es máximo en el ecuador y nulo en los extremos, luego el ancho promedio es:
w=
•
(
2 PNETA hF 1 − υ 2 E
π 4
w
El Término E’ es el Módulo de Elasticidad Planar
E' =
E
(1 − υ ) 2
Modelos 2D
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MODELO BASICO: Sneddon y Elliot (1946) también demostraron que para fracturas de altura fija finita y extensión horizontal infinita, el ancho es variable y su sección tienen una forma elíptica. El Término
E' =
E 1−υ 2
(
)
Es muy común en fractura y se llama Módulo de Deformación Planar. Una Deformación Planar se define como aquella en donde los planos que son paralelos antes de su deformación por la aplicación del Campo de Esfuerzos, permanecen paralelos luego de deformados. Esta es la condición de cálculo para aquellos casos en donde una dimensión de la fractura (Longitud o Altura) es mucho mayor que la otra.
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Modelos 2D Avanzados
•
Modelo de Carter (1957) • Desecha los efectos de la viscosidad del fluido y de la mecánica de falla y se concentra en el filtrado.
•
Khristianovich y Zheltov (1955). • Se enfoca en la mecánica de falla y en algunos aspectos del movimiento del fluido.
•
Perkins y Kern (1961). • Se enfoca en el movimiento del fluido y asume que la mecánica de falla tiene una influencia mínima. Modelos 2D
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MODELOS 2D AVANZADOS: Todos estos modelos fueron desarrollados para calcular el ancho en función del largo de la fractura y el caudal, manteniendo la tercer dimensión –altura- constante. De allí que se denominan bi-dimensionales o 2D y son aplicables solamente a fracturas perfectamente confinadas. Tampoco intentaban satisfacer el balance de materiales. El primer intento por satisfacer el balance de materiales –es decir, introducir el término filtradofue hecho por Carter en 1955, pero consideraba que el ancho era constante y uniforme. Este modelo se utilizó hasta los ’70 principalmente para asegurar que el apuntalante entrara en la fractura, pero quedó obsoleto a partir del perfeccionamiento introducido a los modelos de Khistianovich y Zheltov y de Perkins y Kern por los investigadores Geertsma y de Klerk (1969) y Nordgreen (1972) respectivamente, dando origen a los modelos 2D hoy conocidos como KGD y PKN. Estos fueron los primeros modelos en introducir balance de materiales y mecánica de sólidos. Ambos modelos utilizan los mismos principios, pero difieren en la forma en que transforman el mecanismo de falla 3D de la roca en un problema 2D (Planar).
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Modelo KGD •
Considera que la deformación planar es horizontal
– –
Todas las secciones normales horizontales son iguales y actúan independientemente El ancho es constante en el eje vertical. La sección normal vertical tiene forma rectangular.
• •
Esto es cierto si la altura (hf) es mucho mayor que la longitud (Lt) Hay resbalamiento en ambos bordes verticales de la fractura
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MODELO KGD: Khristianovich y Zheltov consideraron que el plano de deformación es horizontal, así todas las secciones normales horizontales son independientes unas de otras y tienen la misma forma rectangular. Eso nos dice que el ancho de la fractura casi no cambia en forma vertical, resultando en una sección normal rectangular. Esto es cierto si se asume que el desarrollo de la presión neta dentro en cualquier punto dentro de la fractura está dominada por la longitud y no por la altura de la fractura. En otras palabras, la altura es mucho mayor que la longitud y existe un resbalamiento en el borde de la zona de interés. El Efecto de Borde (Tip Effect) es de gran importancia en este modelo, mientras que los gradientes de presión originados por el movimiento del fluido pueden ser aproximados o incluso despreciados.
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Modelo PKN •
Considera que la deformación planar es vertical
– –
Todas las secciones normales verticales son iguales y actúan independientemente El ancho es variabe en el eje vertical. La sección normal vertical tiene forma elipsoidal.
• •
Esto es cierto si la longitud (Lt) es mucho mayor que la altura (hf) No hay resbalamiento en ambos bordes verticales de la fractura Modelos 2D
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MODELO PKN: Perkins y Kern consideran que cada sección vertical actúa independientemente. Lo que es equivalente a asumirque el desarrollo de la presión neta en cualquier punto dentro de la fractura está dominada por la altura de la fractura y no por la longitud de la misma. Los efectos de la mecánica de fractura y de borde (Tip) no son considerados. La propagación por concentración de tensiones se produce por efectos del movimiento del fluido y los correspondientes gradientes de presión creados en cada punto. Esta diferencia básica en considerar el desarrollo del Plano de Deformación, lleva a dos soluciones muy diferentes de resolver la geometría de la fractura. Geométricamente puede considerarse que el Modelo PKN es el mismo Modelo KGD, pero rebatido –o girado- 90 grados.
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603
Modelo PKN: Ecuaciones •
Considerando que el fluido se mueve como newtoniano a través de una área elíptica (Lamb 1932):
dp 64qµ =− πh f w3 dx • •
Obtenemos el ancho (w) y reemplazamos su expresión en la ecuación de Sneddon. Considerando que el caudal es constante (CL = 0) y PNET]TIP = 0, se la integra a lo largo de x para obtener la presión neta:
16 µqi E '3 PNETA = L 4 πh f
0.25
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MODELO PKN: Recordemos que este modelo considera que la fractura vertical está confinada, es decir, que los planos superior e inferior entre los que se desarrolla la fractura son perfectamente impermeables e irrompibles. Por lo tanto al altura de la fractura es constante y solo puede propagarse horizontalmente a lo largo de un único plano. También consideramos que la sección normal vertical de la fractura es elíptica, con el ancho máximo en el centro. El mismo depende de la presión neta alcanzada en ese punto y es independiente del ancho en cualquier otro punto (Deformación Planar Vertical). El movimiento del fluido dentro de la fractura responde a las leyes de un Fluido Newtoniano fluyendo a través de un área elíptica. En la ecuación de la Presión Neta es evidente que es necesario conocer la altura de fractura (hf) y la longitud de la misma. Si la altura puede determinarse por otros medios –mediciones directas en el campo, por ejemplo-, es posible aplicar esta ecuación en un ámbito 3D para calcular el largo de la fractura si la Presión Neta es conocida.
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604
Modelo PKN: Ecuaciones •
De la misma manera el ancho en boca de fractura en unidades standard SI (q = [bpm] y w = [pulg]):
q µL wMAX = ww = 0.38 i E'
•
Donde
qi = Q/2
Luego el ancho promedio (w) es igual a:
w=
•
0.25
π 4
ww ≈ 0.8wMAX
Podemos ver que el cálculo del ancho es independiente de la altura. – Sólo es válido para Fluidos Newtonianos
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MODELO PKN: También podemos calcular el ancho de fractura independientemente que la propagación sea en 2D o 3D ya que para fluidos newtonianos, el modelo es independiente de la altura de la fractura. Perkins y Kern notaron que los resultados obtenidos para la Presión Neta excedían a la realmente necesaria para propagar la fractura en condiciones estables o estática y sólo entraban en un rango tolerable bajo condiciones irreales extremas, es decir, muy bajo caudal o viscosidad del fluido casi nula. Este hecho justifica que los investigadores no hayan considerado el mecanismo de falla de la roca. Bajo estas condiciones la fractura podría continuar extendiéndose luego de detener el bombeo, mientras el filtrado o la condición de presión neta mínima lo permitan. Se pueden hacer varias observaciones con respecto a esta solución: Asume que el plano de deformación es vertical Demuestra que el Efecto de Borde (Tenacidad) de la fractura puede ser despreciada, porque la energía necesaria para propagar la fractura es mucho menor que aquella requerida para mover el fluido a lo largo de la misma. Asume que el filtrado y el almacenamiento o cambio de volumen en la fractura puede ser despreciado. Calcula en forma directa el ancho de la fractura Considera que la altura es constante en un valor fijo. No provee directamente una longitud de fractura como parte de la solución.
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Modelo PKN: Ecuaciones •
Si ahora consideramos el filtrado, es decir CL >0, entonces:
uL = •
CL >0 (t − texp )
Carter (1957)
Luego, el balance de materiales resulta:
qi = qL + q f •
Asumiendo que el ancho promedio (w) es constante, luego: A f (t )
qi = 2
∫ 0
u L dA f + w
∂A f ∂t
Af = Area de la cara de fractura
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MODELO PKN: INCLUSIÓN DEL FILTRADO: Aunque Perkins y Kern sugirieron que su modelo podría ser usado para aplicaciones prácticas, ellos despreciaron losl efectos del filtrado y del almacenamiento de fluido en la fractura. Asumieron que algún otro método podría ser usado para calcular la longitud de la fractura, como el de Carter, por ejemplo. En la figura se muestran las ecuaciones básicas de Carter.
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Modelo PKN: Ecuaciones •
Resolviendo la integración por Transformada de Laplace:
Af =
•
qi w s 2 2 e erfc( S ) + S − 1 2 π 4πC L
S=
2C L π .t w
Harrington y Hannah simplificaron la anterior expresión para que sea más práctica:
Af = •
Donde
qi t w + 2C L 2t
Como sabemos el Area Af, la longitud de fractura por Ala (Xf) es:
Xf =
Af
Donde Xf = f (t)
2h f
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MODELO PKN: Una vez que llegamos a la determinación del área, la longitud de la fractura se obtiene en forma directa. Es interesante ver que la longitud es una función del tiempo de bombeo. A pesar de todo, el cálculo del Área continúa siendo engorroso, por eso, Harrington y Ana introdujeron una transformada que hizo más sencillos los cálculos sin generar un error importante. Los diseños eran realizados iterando entre la Técnica de Carter para obtener la longitud y la de Perkins y Kern para calcular el ancho, hasta obtener una solución aceptable. Como la altura es constante, luego la geometría quedaba completada. Para obtener la presión, se usaba la correspondiente a la PNET vista más arriba. Para introducir el Spurt, simplemente se reemplaza w por las siguientes expresiones:
w = w + 2Sp
Donde:
w=
π 4
ww
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Modelo PKN: Ecuaciones •
Norgreen (1972) agregó un balance energético para introducir los conceptos de filtrado y almacenamiento:
∂q ∂A + qL + =0 ∂x ∂t
•
Donde:
q = Es el caudal fluyente por la sección normal. A = Es el Area Normal de flujo. No es Af
A=
πwh f 4
qL = Caudal de filtrado
q L = 2h f u L Modelos 2D
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MODELO PKN: Hasta ahora hemos hablado del Modelo 2D introducido por Perkins y Kern a partir del Modelo Básico de Sneedon. Hasta aquí lo que se hacía para calcular una fractura era iterar entre Perkins y Kern para calcular el ancho y Carter para obtener la longitud. Nordgreen (1972) introdujo el concepto de Almacenamiento y Filtrado dentro del modelo original de Perkins y Kern, dando origen a lo que hoy se conoce como el Modelo Perkins, Kern y Nordgreen, o PKN. Para ello agregó un balance energético a las ecuaciones originales de Sneedon.
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Modelo PKN: Ecuaciones •
Reemplazando cada uno de los términos por sus equivalentes de acuerdo a las ecuaciones ya vistas:
E ' ∂ 2 w4 8C L ∂w = + 2 128µh f ∂x π (t − texp ( x)) ∂t •
Nordgreen resolvió esta ecuación introduciendo el concepto de “Tiempo Adimensional” (tD):
64C L 5 E ' h f tD = 2 3 π µqi
–
0.66
t
El tD es más sensible al coeficiente CL que al tiempo (t) Modelos 2D
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MODELO PKN: Como vemos, el coeficiente de “Tiempo Adimensional” (tD) es principalmente dependiente del Coeficiente de Filtrado, no tanto del tiempo transcurrido tD = f (CL5x0.66) = f (CL3.33) tD = f(t) Esta solución solo puede ser resuelta numéricamente y no analíticamente. No obstante puede ser aproximada para los casos de filtrado total o baja eficiencia de fluido (CL = o alta eficiencia de fluido(CL=0).
∞) y filtrado nulo
Por ejemplo, para el caso de filtrado alto (CL →∝), la longitud generada es simplemente una función del balance de materiales entre el flujo dentro de la fractura y el filtrado, es decir que la longitud crece hasta que el filtrado balancea el flujo dentro de la fractura.
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Modelo PKN: Ecuaciones •
La ecuación puede ser iterada entre 2 casos: – Alta eficiencia o Filtrado ínfimo (CL ~ 0).
•
La propagación de la fractura es dominada por el efecto de almacenamiento 0.2
E ' qi 3 0.8 L(t ) = 0.39 t 4 µh f
–
Baja eficiencia o Filtrado alto (CL
•
0.2
µq 2 ww = 2.18 i t 0.2 E ' h f
∞).
La propagación de la fractura es dominada por el efecto de filtrado del fluido
L(t ) =
µq 2 ww = 4 3 i π E ' C L h f
qi t 0.5 2πC L h f Modelos 2D
0.25
t 0.125
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MODELO PKN: Es conveniente enfatizar que este modelo es válido siempre y cuando la longitud sea mucho mayor que la altura. Por lo general, si HF ≤ 2XF/3, el error resultante de usar la condición de Deformación Planar para el cálculo de la geometría es despreciable.
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Modelo KGD: Ecuaciones •
Considerando que el fluido se mueve como newtoniano a través de una área rectangular:
∂p 12qµ =− ∂x h f w3 • •
Obtenemos el ancho (w) y reemplazamos su expresión en la ecuación de Sneddon. Considerando que el caudal es constante (CL = 0) y PNET]TIP = 0, se la integra a lo largo de x para obtener la presión neta:
PNETA =
6 µqi hf
L
dx
∫w
3
0
Modelos 2D
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MODELO KGD: Khristianovich y Zheltov (1955) desarrollaron su modelo considerando que la deformación planar era horizontal. Esto equivale a considerar que la sección normal de la fractura es rectangular y que existe un deslizamiento en los bordes superior e inferior de la fractura, lo cuál es correcto si la fractura es mucho más alta que larga. Además tuvo en cuenta el mecanismo de falla de la roca, al considerar los Efectos de Borde (Tip Effect). Para simplificar la solución es necesario resolver analíticamente el conjunto de ecuaciones que rige el modelo. Para ello consideraron que el caudal dentro de la fractura es constante (No hay filtrado) y que la presión dentro de la fractura también se mantiene constante, excepto por una pequeña región cerca del borde que no posee movimiento de fluido y, por lo tanto, no tiene presión. Esto es posible porque en este modelo el gradiente de presión generado por el movimiento del fluido es muy sensible al ancho de fractura creado, y su variación ocurre principalmente en el borde de la misma, adonde el ancho se cierra. Tomando este modelo como base, Geertsma y de Klerk (1969) utilizaron una solución analítica más simple para describir el modelo de falla.
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Modelo KGD: Ecuaciones •
Aplicando la condición de Barenblatt, es decir que la fractura debe cerrarse suavemente en el borde: L
∫ 0
•
PNETA ( x)dx 1 − ( x / L) 2
=0
Aplicando Barenblatt al cálculo del ancho, obtenemos un resultado que es similar al del modelo básico, reemplazando hf por 2L.
wMAX = ww =
4 L.PNETA E'
Modelos 2D
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MODELO KGD: La condición de Barenblatt exige que la fractura cierre en el borde muy suavemente y en una distancia ínfima. Equivale a decir que el Factor de Intensidad de Esfuerzos (KI) es igual a cero, lo que es totalmente aplicable a este modelo. Este concepto permanece como un importante elemento para comprender la mecánica de falla de este modelo y ha sido demostrado prácticamente (Warpinsky, 1985). Considerando el hecho de la existencia de esta zona, cuya extensión es ínfima con respecto a la longitud total de la fractura, podemos considerar que la presión en un punto cualquier dentro del canal es casi igual a la presión en el pozo, con una disminución brusca en el extremo de la fractura. Luego podemos considerar que el ancho es constante a lo largo de la fractura. .
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Modelo KGD: Ecuaciones •
Reemplazando y resolviendo las ecuaciones resulta:
21µqi PNETA ≈ E '3 2 64 π h L f 84 µqi L2 ww = πE 'h f
•
0.25
0.25
Son expresiones similares al caso del Modelo PKN
Modelos 2D
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MODELO KGD: Como en el caso del Modelo PKN, podemos completar las ecuaciones para Ancho y Presión Neta.
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Modelo KGD: Ecuaciones •
En el caso de que el filtrado sea nulo (CL=0):
E ' qi 3 L(t ) = 0.38 3 µh f µq 3 ww = 1.48 i 3 E ' h f
•
0.167
t 0.66
0.167
t 0.33
Para el caso de que el filtrado sea alto, la solución para el Modelo PKN aplica para el KGD – Geertsma y de Klerk nunca explicitaron una solución para este caso, pero si incluyeron el efecto del filtrado. Modelos 2D
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MODELO KGD: Como en el caso del Modelo PKN, podemos completar las ecuaciones para los casos de filtrado nulo (CL →0) y filtrado infinito o muy alto (CL → ∞).
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Modelo KGD: Ecuaciones •
Geertsma y de Klerk asimilaron las ecuaciones de Carter a su modelo para incluir el efecto del filtrado: – Se consideró que no afecta ni la forma de la fractura ni la distribución de las presiones.
Vf = •
π 2
h f .L.wV w= π h .L.w f
2
f
Donde Vf = Volumen de fractura
w
Luego introduciendo el concepto de balance de materiales procediendo similarmente a Carter, se obtiene:
L=
qi ww 2 64C L h f
2 2S e erfc( S ) + π S − 1
Modelos 2D
S=
8C L π .t π .ww 24
MODELO KGD: Para el caso de filtrado no nulo, el procedimiento para solucionar la ecuación es similar al del PKN, aplicando la solución desarrollada por Harrington y Hannah. Para introducir el efecto del Spurt, debe reemplazarse ww por la siguiente expresión:
8 ww = ww + Sp π
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Modelos PKN y KGD •
Consideraciones:
–
La Fractura es Planar y Confinada
•
Se propaga en un único plano perpendicular al esfuerzo horizontal mínimo y de altura constante
–
El movimiento del fluido en monodimensional (1D) Newtoniano
– –
El filtrado se comporta de acuerdo a la Teoría de Carter La roca es homogénea, isotrópica y elásticamente sólida
–
Una dimensión es mucho más grande que la otra
–
• • • •
A lo largo del plano de la fractura
Responde a la Ley de Hooke KGD: Altura. El gradiente de presión depende de la longitud. PKN: Longitud. El gradiente de presión depende de la altura.
Hay un efecto dominante:
• •
KGD: Efecto de borde (Tip Effect). Hay deslizamiento PKN: No tiene en cuenta la Mecánica de Falla. No hay deslizamiento Modelos 2D
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MODELO KGD vs PKN: En realidad las consideraciones para ambos casos son similares, lo que se ve reflejado en las ecuaciones de propagación. Es como si un modelo es igual al otro girado 90 grados. En ambos casos se consideraron fluidos newtonianos, aunque Perkins y Kern también desarrollaron una solución para fluidos potenciales.
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Modelo Radial: Ecuaciones • • •
Ambos grupos de investigadores desarrollaron modelos Radiales. Se aplica cuando no existe una barrera que mantenga la fractura confinada y ésta crece verticalmente. Es aplicable también al caso de fracturas horizontales.
µq R ww = 2.56 i E' R=
0.25
qi (4 ww + 15S p ) 2 S 2 2 e erfc( S ) + π S − 1 30π 2C L
•
S=
15C L π .t 4 ww + 15S p
La resolución se hace aplicando el mismo procedimiento visto anteriormente. Modelos 2D
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MODELO RADIAL: Tanto Perkins y Kern como Khistianovich y Zheltov desarrollaron modelos radiales, que crecen sin confinamiento dentro de la roca desde un punto de origen. Estos modelos son aplicables cuando no existen barreras confiables y visibles por encima y debajo de la zona a fracturar, o para calcular fractura horizontales.
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Modelo Radial: Ecuaciones •
•
Para solucionar explicitamente las ecuaciones se utiliza el principio de inyección desde un punto –el central-, para lo cuál la presión generada es función del término ln(R/rw), donde rw es el radio del pozo. En el caso de que la pérdida sea nula o muy baja (CL 0).
E ' qi 3 R = 0.52 µ
•
0.11
µ 2q 3 ww = 2.17 2i E'
t 0.45
En el caso de que la pérdida sea alta (CL
R=
2 1 qi t 2 π CL
0.11
t 0.11
∞)
0.25
Modelos 2D
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MODELO RADIAL: No se ha provisto de una expresión para el ancho en el caso de pérdida alta, pero puede ser deducido reemplazando la R correspondiente en la ecuación para ww de la página anterior resolviendo por Transformada de Laplace aplicando la solución de Harrington y Hannah.
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