Modelo físico aplicado al movimiento de un proyectil y colisiones inelásticas
Marulanda Z. Luisa 1*, Suarez T. Leidy 1, Quiceno R. Camila 1 1: Estudiante de ingeniera de Materiales, !ni"ersidad de #ntio$uia, Medelln, Colom%ia
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ABSTRACT T&e aim o' t&is (or) is t&e t&eoretical study related to t&e e+erimental +art a%out t&e +roectile launc&ing under to s+eci-ed coordinates. T&e +roectile is launc&ed %y mean a mec&anism t&at de+ends on an angle and a &eig&t, as (ell as ot&er im+ortant +arameters suc& as s+eed and time. n order to get t&e launc&ing angle in t&e di/erent le"els o' t&e s+ring com+ression, t&e initial s+eed o' t&e launc&er is o%tained using a +&otogate sensor. sensor. T&is re+ort s&o(s a clear clear and summar summarize ized d mat&ema mat&ematic tical al calcul calculati ations ons and met&od met&ods s used used in t&e e+eriment. KEYWORDS: Collision, parabolic shot, inclined plane.
INTRODCCI!N La mec0nica +rocura la re+r re+rese esenta ntaci cin n del mo"imi mo"imient ento o de un cuer+o a tra"2s del tiem+o y del es+acio, esta%leciendo un m2todo a +artir de leyes y teoremas. Entre la gran gran di"e di"ers rsid idad ad de mo"i mo"imi mient entos os tomaremos uno de los m0s sim+les, al $ue a+licaremos +ara su inter+retacin las leyes $ue rigen el mo"imiento de +royectiles. !na !na %ala ala de ca3 ca3n, n, una una +ied iedra lan lanzada zada con cier cierta ta incl nclinac inaci in, n, descri%en conocidas trayectorias del mismo ti+o: la +ar0%ola 415. Esta es la trayectoria ideal de un +royectil $ue se mue"e en un medio $ue no
o'rece o'rece resis resisten tencia cia al a"ance a"ance y $ue est0 sueto a un cam+o gra"itatorio uni'or uni'orme. me. 6or 6or a&ora a&ora no inter interesa esa el +roceso mediante el cual el o%eto es lanz lanzad ado o o +roy +royec ecta tado do.. Solo Solo se consid considera era su mo"imi mo"imient ento o des+u2 des+u2s s de $ue $ue es +roy +royec ecta tado do y ante antes s de $ue to$ue tierra o sea atra+ado7 es decir, se analizar0 el o%eto +roy +royec ecta tado do solo solo cuan cuando do est0 est0 en mo"imiento li%remente a tra"2s del aire ire y %ao la sola sola acci ccin n de la gra" gra"ed edad ad.. 6or con" con"en enie ienc ncia ia,, se su+one $ue el mo"imiento comienza en el tiem+o t89 en el origen de un sist sistem ema a coor coorde dena nado do y asi asi $ue 98y989; 4<5.
Modelo físico aplicado al movimiento de un proyectil y colisiones inelsticas !niversidad de "ntio#uia, 2$%& Cuando estudiamos el mo"imiento de +royectiles es con"eniente tener
cual$uier instante t y de estas ecuaciones +odemos o%tener muc&a in'ormacin 4@5.
en cuenta di"ersas nociones $ue surgen im+licadas en la cinem0tica las cuales son: "elocidad inicial, 0ngulo,
altura,
alcance
y
des+lazamiento. Estos conce+tos nos
+ermitieron
o%ser"ar las dos dimensiones $ue se +resentan a la &ora $ue act=a un mo"imiento de +royectiles como son en el ee >? con "elocidad constante y en ee >y? mo"imiento rectilneo uni'ormemente acelerado. 6odemos e+resar todas las relaciones "ectoriales de +osicin, "elocidad y aceleracin del +royectil, con ecuaciones inde+endientes +ara las com+onentes &orizontales y "erticales. 6odemos re+resentar la "elocidad inicial con su magnitud v 9 la ra+idez inicial; y su 0ngulo con el ee ' . En t2rminos de estas cantidades, las com+onentes v 9 ' y v 9 y de la "elocidad inicial son 0 x =¿ v 0 cos α
,
v¿ x =¿ v 0 cos α v¿ x =v 0 cos α t
,
0 y =¿ v 0 senα
y =¿ v 0 senα −¿ v¿ 1
,
,
v¿
#&ora %ien, luego de "eri-car las caractersticas cinem0ticas del mo"imiento +ara%lico "eamos como al colocar un segundo o%eto en la lnea de mira del dis+arador del tiro +ara%lico, los dos o%etos de%en colisionar, inde+endientemente de la ra+idez $ue se im+rima al tiro +ara%lico. Luego de e'ectuar el e+erimento "arias "eces y "eri-car este &ec&o, se o%tienen los modelos matem0ticos $ue relacionan a la +osicin con el tiem+o de am%os o%etos, a +artir de los cuales se +uede "eri-car el instante y la +osicin en las $ue ocurre dic&a colisin. !na %ala $ue se incrusta en un %lo$ue de madera es un c&o$ue inel0stico. Es un error com=n +ensar $ue los (nicos c&o$ues inel0sticos son a$uellos en $ue los cuer+os $uedan +egados. En realidad, los c&o$ues inel0sticos incluyen muc&as situaciones en $ue los cuer+os no se +egan. Si dos autos c&ocan "iolentamente y re%otan, el tra%ao e'ectuado +ara de'ormar las de'ensas no +uede recu+erarse como energa cin2tica de los autos, de manera $ue el c&o$ue es inel0stico 4@5.
,
MAT"RIA#"S $ M%TODOS 2
y = v 0 senαt − g t 2
. Estas ecuaciones descri%en la +osicin y "elocidad del +royectil en
6ara realizar la +r0ctica se utilizaron los siguientes instrumentos: +lano inclinado, lanzador, %alin, 'otocom+uerta. 6or medio del lanzador se +retenda realizar un tiro +ara%lico controlando la
Modelo físico aplicado al movimiento de un proyectil y colisiones inelsticas !niversidad de "ntio#uia, 2$%& "elocidad y el 0ngulo de modo $ue el o%eto cayera en un +unto determinado, tam%i2n se realiz el ensayo con el lanzamiento del o%eto &acia un carro en mo"imiento descendiendo +or un +lano inclinado. nicialmente se caracteriz el lanzador realizando lanzamientos consecuti"os en los $ue se midiA el tiem+o con la ayuda de la 'otocom+uerta, estos "alores de "elocidad 'ueron +romediados +ara o%tener un resultado en cada ni"el del resorte, luego se calcularon distancias a di'erentes +untos del lanzador +ara realizar +rue%as con la "elocidad y el 0ngulo calculado.
o%tenidas res+ecto a la com+resin del resorte.
Burante la ela%oracin y caracterizacin del dis+arador se &icieron "arios lanzamientos &orizontales en los cuales se o%tu"ieron los siguientes datos: Tabla 1: Com+resin del resorte 'elocid yad "elocidad inicial del lanzador
inicial del lan(ado @,D9, r < ms )Má*+ 1<< D
F,G D9,@@ ms 1FI D 9,1 cm
9,1 cm
H,<
1G< D 9,1 cm
Tabla 2: Bistancias m0imas con dis+aro &orizontal.
Los c0lculos em+leados +ara la caracterizacin del 0ngulo +ara u%icar adecuadamente el lanzador son los siguientes:
Figura 1: Montae del lanzamiento a un determinado 0ngulo 4F5. 6ara el caso de im+actar un o%eto en mo"imiento carro; en un +lano inclinado se sigui el mismo m2todo de caracterizacin +ero a di'erencia del anterior se de%a considerar el 0ngulo del +lano inclinado y la "elocidad a la $ue el carro recorra el +lano +ara estimar el tiem+o y la distancia a la $ue el o%eto lanzado im+actar0 el carro.
R"S#TADOS $ AN&#ISIS # continuacin en la ta%la 1 se muestran las "elocidades iniciales
Constant Resorte 'elocidad e del comprimid inicial del resorte o ,m-s. lan(ador N-m @,D9,< I D9,1 cm ms H,I D9,1 F,G D9,@@ cm ms H,<
,919J@ D9,9KF K,GIH19J @ D9,9K9 ,FH@ 19J
Tabla 1: Com+resin del resorte y
0 x =¿ v 0 cos α
v¿ 0 y =¿ v 0 senα
v¿ x =¿ v 0 cos α v¿
y =¿ v 0 senα −¿ v¿ x =v 0 cos α t 1
2
y = v 0 senαt − g t 2
y89
Modelo físico aplicado al movimiento de un proyectil y colisiones inelsticas !niversidad de "ntio#uia, 2$%& 0 =v 0 senαt −
1
1 2
∝
2
g t
Tomando como "elocidad inicial la o%tenida en la +osicin < de resorte 8F,G D9,@@ ms y una distancia &orizontal a la cual esta%a el o%eto 8 19I,I cm.
2
g t = v 0 senαt
2
t =
2 v 0 senα
x =
2
2 senαcosα
g
0ngulo o%tenido 'ue el siguiente: ∝
0 =v 0 sen α −¿
y89 t =
Cuando el cuer+o es lanzado, 'orma un 0ngulo con la &orizontal, y la =nica 'uerza $ue act=a es la gra"itatoria g; con la &orizontal, el
g v0
v 0 senα g 2
v 0 senα 1 v 0 sen α α (¿ )− g ( ) g g 2 y = v 0 sen ¿
y =
1 2
2
v 0 sen ∝ g
2
2
1 v 0 sen ∝
g
2 1
2
2
v 2 senαcosα = 0 g
2
sen ∝ =2 sen αcosα
2
sen α = 4 cosα tan ∝= 4
= tan−1 4
∝
=75,96 °
=75,96 °
6or medio de la medida de la trayectoria &orizontal y la "elocidad inicial del %aln, 'ue +osi%le o%tener el 0ngulo del +royectil7 la trayectoria "ara de acuerdo a este 0ngulo y al "alor de com+resin con $ue se realiz el ensayo, adem0s de la +recisin del e+erimentador, la $uietud a la &ora de dis+arar y la mala cali%racin en los sistemas de medicin, en la +r0ctica, 'ue necesario modi-car un +oco el 0ngulo o%tenido a ∝=70 ° y a $ue en el +rimer lanzamiento, el %aln no alcanza a tocar el o%eto, de esta manera, al disminuir el 0ngulo del +royectil, la trayectoria &orizontal aumenta y el %aln toca satis'actoriamente el o%eto. Esto se de%e a las incertidum%res de los datos o%tenidos y los errores en los $ue se incurri en la +r0ctica del ensayo.
Modelo físico aplicado al movimiento de un proyectil y colisiones inelsticas !niversidad de "ntio#uia, 2$%& 6ara la caracterizacin del o%eto m"il se tomaron las medidas de la ram+a y con ellas se us el teorema del seno +ara &allar el 0ngulo de inclinacin con el cual se +udo &allar tericamente la "elocidad a la cual descenda el o%eto m"il. 6or conser"acin de energa mec0nica +ara encontrar la "elocidad se tiene $ue 1
2
mgh= m v , h =d∗sin β 2
v =√ 2∗g∗d∗sin β 8,474
(¿¿) 2∗10∗1,9∗ sin ¿ v =√ ¿ v =2,36 ± 9,1< ms Con este ensayo se +uede acordar $ue el estudio del tiro +ara%lico +ermite im+actar otro o%eto o +unto con coordenadas es+ec-cas, +or esto es muy =til en casos de la "ida cotidiana, como en los lanzamientos de las +elotas de gol', '=t%ol, tenis, la trayectoria $ue sigue una Nec&a o un dardo, inclusi"e el c&orro de agua lanzado desde una manguera. La 'sica nos +ermite &acer modelos a escala de +rocesos reales en los $ue cotidianamente no se esta%lece una relacin inmediata.
CONC#SION"S Oinalmente se +uede concluir $ue se logr 'amiliarice con algunas t2cnicas e+erimentales de la 'sica y de la ingeniera "eri-cando e+erimentalmente algunas de las +redicciones de los modelos, leyes y
teoras estudiados en los cursos de 'sica. Es +osi%le estimar el momento en $ue el o%eto lanzado im+acte al o%eto en mo"imiento en un +lano inclinado +or medio del c0lculo de +ar0metros como: "elocidad del o%eto en mo"imiento, tiem+o en el $ue el o%eto en mo"imiento recorre el +lano inclinado, 0ngulo y medidas del +lano inclinado, distancia del +lano inclinado al lanzador, constante el0stica del resorte del lanzador, "elocidad del lanzamiento o tiro +ara%lico. Con los datos o%tenidos en la +r0ctica 'ue +osi%le &allar el 0ngulo al cual 'ue lanzado el o%eto +ara $ue im+actar0 en el lugar determinado, $uiere decir $ue se cum+lieron los o%eti"os trazados al inicio de esta e+eriencia. Es im+ortante tener en cuenta el ni"el de com+resin del resorte en el lanzamiento ya $ue de este de+ende la "elocidad inicial del +royectil, de manera $ue si aumentamos este ni"el, se o%tendr0 una mayor "elocidad inicial, de%ido a $ue el %aln tendr0 un mayor im+ulso, lo mismo sucede si em+leamos el ni"el de com+resin m0s %ao.
R"/"R"NCIAS 415. >La e"olucin de Pi%lioteca Sal"at.Parcelona.1GH.
la 'sica. cient-ca
4<5. Bouglas C. >Osica. 6rinci+ios con a+licaciones?. 6earson educacin. M2ico. <99H. 4@5. Sears. >Osica uni"ersitaria?. 6earson educacin. M2ico. <99G.
Modelo físico aplicado al movimiento de un proyectil y colisiones inelsticas !niversidad de "ntio#uia, 2$%& 4F5. La%oratorio de mec0nica mo"imiento de +royectiles.
!ni"ersidad de +am+lona 'acultad de ciencias %0sicas.
