El problema dual
Dado un conjunto cualquiera de datos para un modelo de programación lineal, se pueden usar los mismos datos para formar un modelo diferente. El problema resultante se llamara dual del original, el dual tiene importancia teórica, económica y computacional. ¿Cómo se forma el problema dual? Reglas de transformación Para eaminar la teor!a de la dualidad en una forma satisfactoria, se tiene que desec"ar la restricción de que las #ariables de un modelo de programación lineal sean no negati#as. Por ejemplo, considerar el siguiente problema. Problema $E%& 'a ( ) *% + - -* 0.1.
/ariable /ariabless duales
% %-- + ** ≤ %y% 2-% + *- + * ≤ 3 y24% + - 2 3* 5 2 6 y* $E-& *% + - -* ) %6 y % 5 6, - ≤ 6, * no restringida en signo ) $irrestricta $ irrestricta en signo& signo &
0e obser#a en este problema, la presencia de todos tipos de restricciones $ ≤, 5, e )&. 1dem7s se "a desec"ado el requerimiento de que todas las #ariables deban ser no negati#as. En este ejemplo, solo se "a requerido que % sea no negati#a, se "a requerido que la #ariable - sea positi#a, * carece de restricción de signo, $es decir, el #alor optimo de * podr7 ser positi#o, negati#o o cero&. El dual de este problema $E%&, se formula aplicando las siguientes reglas. Regla 18 El n9mero de #ariables del problema dual es igual al n9mero de restricciones del problema original. El n9mero de restricciones del problema dual es igual al n9mero de #ariables del problema original.
Dado que $E%& tiene cuatro restricciones y tres #ariables, el dual de $E %& tendr7 tres restricciones y cuatro #ariables, cada una de las cuatro #ariables de dual $E %& corresponder7 a una de las restricciones del problema $E-&. Por esta ra:ón se muestra la columna de #ariables duales y %, y-, y*, y, a la derec"a de $E %&. Regla 28 ;os coeficientes de la función objeti#o en el problema dual ser7 el #ector de recursos del problema original.
1s!, de acuerdo con la regla -, la función objeti#o del problema dual ser7. %-y% + 3y- 6y* + %6y Regla 38 0i el problema original es un modelo de maimi:ación, el dual ser7 uno de minimi:ación. 0! el problema original es un modelo de minimi:ación, el dual ser7 uno de maimi:ación. maimi:ación.
Por tanto, como $E %& es un modelo de maimi:ación, la función objeti#o completa para el dual es8 'in %-y% + 3y- 2 6y * + %6y Regla 48 ;os coeficientes de la primera función de restricción del problema dual, son los coeficientes de la prime primera ra #ariab #ariable le en las restri restricci ccione oness del proble problema ma origin original, al, y en forma forma an7log an7logaa para para las otras otras restricciones.
Entonces, de acuerdo con la regla, la primera función de restricción para el problema dual ser7. y% -y- 4y* + *y
;a segunda restricción ser7. 2 %-y% + *y- + y* + y
unción de restricción ;D
y% -y- 4y* + *y 2 %-y% + *y- + y* + y *y% + y- 3y* -y
* 2-
Regla 68 El sentido de la i esima restricción dual es ) s! y solo s! la i esima #ariable del problema original no tiene restricción en signo. Entonces, ya que la tercera #ariable del problema original $E %& no tiene restricción dual es una igualdad8
*y% + y- 3y* -y ) 2 Regla 78 s!, el problema original es un modelo de maimi:ación $minimi:ación& entonces, despus de aplicar la regla 3, asignar a las restantes restricciones duales el mismo $opuesto& sentido a la #ariable correspondiente del problema original.
Para aplicar la regla @, obser#ar que la primera #ariable del modelo original $maimi:ación& es 5 6 y que la segunda es ≤ 6. Esto significa que la primera restricción dual ser7 5 y l a segunda ≤8 y% -y- 4y* + *y 5 * 2 %-y% + *y- + y* + y ≤ ;a regla @ significa, tambin que si $E %& "a sido formulado como un problema de minimi:ación las desigualdades anteriores se "abr!an escrito como ≤ * y 5 , respecti#amente. Regla 88 ;a i esima #ariable del problema dual no tendr7 restricción de signo s! y solo s! la i esima restricción del problema original es una igualdad. Puesto que la cuarta restricción del problema original, es una igualdad, la regla A establece que la cuarta #ariable dual y , no tendr7 restricción de signo. Regla 98 0!, el problema original es un modelo de maimi:ación $minimi:ación& entonces, despus de aplicar la regla A, asignar a las dem7s #ariables duales el signo contrario $el mismo signo& que la restricción correspondiente en el problema original. Ba que las restricciones primera y segunda del problema original de maimi:ación son ≤, la regla establece que y % 5 6, y - 5 6. Puesto que la tercera restricción del problema original es 5, se debe tener y * ≤ 6.
;a aplicación a $E %& de las nue#e reglas anteriores produce el siguiente problema dual8 Dual del problema $E %&
'in %-y% + 3y- 6y * + %6y 0. 1. y% -y- 4y* + *y 5 * 2 %-y% + *y- + y* + y ≤ *y% + y- 3y* -y ) 2 $E-& y% 5 6, y - 5 6, y * ≤ 6, y no restringida en signo
1"ora que $E -& es el problema original. 0ean %, - y * las #ariables del problema dual $E -& se puede #erificar que la aplicación de las reglas anteriores a $E -&, regresa al problema $E %&. Esto significa que tomar el dual del dual produce el problema original. 0e "a llamado a $E -& el dual de $E %&, pero ser!a igualmente correcto decir que $E %& es el dual de $E -&. 0implemente depende de cual problema se considera el original. ;as reglas anteriores pueden parecer en principio demasiadas para recordarlas. 0in embargo, comparar las reglas 3 y A y obser#ar que son simtricas, simplemente especifican que en cualquier problema una #ariable que no tiene restricción de signo corresponde a una restricción de igualdad en el otro, las reglas @ y son casi simtricas. En una representación esquem7tica, dicen que8 odelo! a"
odelo in
i 5 6 i
≤
la i esima restricción es 5 6
6
;a i esima restricción es
la i esima restricción es ≤ 6 ≤
;a i esima restricción es 5
yi 5 6 yi
≤ 6
1lternati#a de representación esquem7tica de la relación primal dual #rimal $ual 'a ( ) C in y6 ) F y 'in ( ) C Restricción i ≤ b i
' 'a y6 ) F y /ariable i 5 6
Restricción i ) b i
/ariable i no restringida
Restricción i 5 b i
/ariable i
/ariable j 5 6
Restricción i 5 C i
/ariable j no restringida
Restricción i ) Ci
/ariable j ≤ 6
≤
Restricción i
6
≤
Ci
Referencia tomada del libro Gn#. De
%n&erpre&aci'n econ'mica del problema dual
Concentrarse por algunos minutos en la interpretación del problema dual como un todo. Por ejemplo, a menudo, el problema primal tiene una interpretación de encontrar ni#eles de maimi:ación de utilidad de la producción sujeta a restricciones sobre escase: de recursos. ¿Cómo se interpretar!a el dual de este problema? Puesto que el dual ser!a un problema de minimi:ación, se dir!a que es un modelo de minimi:ación de costos. Pero ¿minimi:ar el costo de "acer qu? El siguiente panorama dar7 la respuesta a esta pregunta. 0upóngase que una firma posee dos f7bricas en dos diferentes distritos mercantiles. Por simplicidad, supóngase que cada f7brica usa las mismas tres materias primas, escasas. ;a f7brica % elabora dos productos, tales como segadoras de pasto y esparcidoras, en las cantidades % y -. ;a fabrica - elabora tres diferentes productos, perillas para puertas, manijas para refrigerador y cencerro! para el ganado, en las cantidades :%, :- y : * y la fabrica - usa precisamente las mismas materias primas que la fabrica %. ;os datos de la fabrica % se dan en la siguiente figura %. Entonces, se obtendr!a. (igura 1, da&o! de la )*brica 1
'ateria prima % * Redituabilidad Por unidad
odelo de producci'n de la )*brica 1
'a % + *-
Gnsumo por segadora de Gnsumo por Disponibilidad pasto 1spersora total 3 *A % * * %6 @ *
0. 1. 3% + - ≤ *A % + *- ≤ * %6% + @- ≤ % 5 6, - 5 6
En la figura - se presentan los datos an7logos para la fabrica -. De esta se obtendr7 (igura 2, da&o! de la )*brica 2 'ateria prima % * Redituabilidad por unidad
Gnsumo por Gnsumo por manija perilla de refrigerador * 3 4 3 -
Gnsumo por Disponibilidad cencerro Jotal @ 4 A %-3 ** %
odelo de producci'n de la )*brica 2
'a 3:% + -:- + :* 0. 1. :% + -:- + @:* ≤ 4 *:% + :- + A:* ≤ %-3 3:% + 4:- + -:* ≤ ** :% 5 6, : - 5 6, : * 5 6
$>-&
$>%&
+u- e! un precio ju!&o.
Recordar los supuestos de que la misma empresa posee ambas f7bricas y que stas est7n situadas en diferentes distritos mercantiles. 0uponer tambin que las tres materias primas son escasas porque largos pla:os para su reparto. 0uponer a"ora que el administrador obtiene información de que por di#ersas ra:ones económicas, los precios $es decir, las utilidades& en el distrito de la fabrica - #an a subir en forma dr7stica. Ko se sabe eactamente cu7nto #an a aumentar, pero el administrador conf!a en que el aumento ser7 tan grande que con#iene que la fabrica - se "aga cargo de toda la producción. 1s!, todas la eistencias de la fabrica % de materias primas deber7n transferirse a la fabrica -. 0in embargo, el administrador decide que la f7brica - deber7 pagar un “precio ju!&o” a la fabrica % por la transferencia de esas materias primas. +/u*l !er* e!e precio. Gntuiti#amente parece claro que, al menos desde el punto de #ista de la f7brica %, el precio justo ser!a aquel que igualase la m7ima utilidad posible que sta obtendr!a si retu#iese el uso de sus recursos, que a"ora se #an a pasar a la fabrica -. Este es el /< de la f7brica % y ser!a un justo Lpago por paqueteM por las tres materias primas. ;a firma, sin embargo, necesita saber m7s que el pago en paquete. Debe tener precios por unidad de cada material. Estos precios se necesitan para el informe financiero $es decir, para el impuesto&. Joda la contabilidad para productos indi#iduales se formula sobre una base por art!culo. ;a firma debe encontrar precios LjustosM por unidad que puedan aceptar el escrutinio de una re#isión cuidadosa. Para obtener precios LjustosM por unidad se "ar7n las siguientes obser#aciones. 0i la f7brica - paga por unidad precios de y %, y -, y y * por las materias primas, puesto que la f7brica % posee *A, * y unidades, respecti#amente, de cada materia prima, Cantidad que paga la fabrica - ) *Ay % + *y- + y* ;a fabrica - quiere obtener la m7ima utilidad posible, por lo que su meta es 'in *Ay% + *y- + y* 0in embargo, la f7brica % quiere asegurarse de que obtendr!a tanta utilidad como si permaneciese en el negocio por s! misma. En la figura % se #e que si la f7brica % tu#iese 3 unidades de la materia prima %, % unidad de la materia prima - y %6 unidades de la materia prima *, podr!a producir una segadora de pasto para obtener una utilidad de N . Recordar que y % es el precio de #enta de la materia prima i insistir7 en que 3y% + y- + %6y* 5 0i esta condición no se sostiene, la f7brica % preferir7 no #ender sus materias primas a la f7brica -. =sando las materias primas para producir segadoras de pasto producir7 m7s utilidades. De igual manera, la f7brica % insistir7 en que y% + *y- +@y* 5 * De otro modo, resulta m7s pro#ec"oso fabricar aspersoras que #ender las materias primas a la f7brica -. En s!ntesis, entonces, el problema de determinar precios justos consiste en El modelo de liquidación de la fabrica %
'in *Ay% + *y- + y* 0. 1. 3y% + y- + %6y* 5 y% + *y- + @y* 5 * y%, y- 5 6
B este problema es el dual de $>%&. Con esto se "a demostrado que el dual del problema de producción tiene la siguiente interpretación. #roporciona “precio! ju!&o!” en el !en&ido de 0ue producen el pago mnimo acep&able de li0uidaci'n
